Geometri affin teorema 4.4

1.  Sebarang dua titik A dan A’ menentukan translasi tunggal
A  A’ :
 Bukti
 Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila
tidak mempunyai titik invarian. Translasi
A  A’ sama dengan translasi B  B’, jika AA’ B’B suatu
jajargenjang.
A
A’
B
B’

2.  Dilatasi AB  A’B’ mentransformasikan setiap titik.
 Bukti A  A’ atau B  B’.
A
C
B
A’
C’
B’

3.  Dalam Geometri Terurut, ada Teorema yang mengatakan,
bahwa jika ABC dan A’B’C’ merupakan dua pasangan 3 titik
yang segaris sedemikian, hingga garis-garis AA’, BB’, dan CC’
tidak mempunyai titik potong dan jika [ACB] maka [A’C’B’]
jika kita misalkan garis AA’ ialah garis a, garis BB’ ialah garis b
dan garis CC’ ialah garis c maka kita dapat [ACB].
 Maka untuk setiap titik C, titik potong C dengan suatu
segmen AB dengan A pada a dan B pada b, berlaku [ACB].
Maka Teorema di atas terbukti.

4. A
C B
A’
C’
B’
a
c
b
Jika ABC dan A’B’C’ merupakan dua pasangan 3 titik
yang segaris pada garis-garis yang berlainan
sedemikian sehingga ketiga garis AA’ BB’ dan CC’
mempunyai titik persekutuan O yang tidak terletak
antara A dan A’, tidak terletak antara B dan B’, dan juga
tidak antara C dan C’, dan jika [ACB], maka [A’C’B’].

5. Hal ini juga mudah dibuktikan
mengingat bahwa sinar OC terletak
di dalam sudut AOB sehingga
untuk setiap titik C’, titik potong
OC dengan suatu segmen A’B’
dengan A’ pada sinar OA dan B’
pada sinar OB dipenuhi [A’C’B’]

6. A C
B
A’
C’
B’
O
a b c
A’ C’
B’
A C
B
O
A’ C’ B’
A C B

7.  Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada
garis invarian digunakan garis-garis sejajar
sebagai pertolongan untuk menunjukkan
kebenaran Teorema 4.5 ini.
 [ACB]  [A1CB1]  [A2C’B2]  [A’C’B’]
 [ACB]  [A1CB1]  [A2C’B2]  [A’C’B’]
 Jadi terbukti, jika [ACB], maka [A’C’B’]

8. a c b a’
c’
b’A A
A C B
B B
A’ C’ B’
0
A’
A C B A’
A2
B2
C’ B’
a
c
b
a
c b