1. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.

2. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)

3. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:

4. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0

5. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0
= 6x – 6

6. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0
= 6x – 6
Lasketaan f’(2)

7. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0
= 6x – 6
Lasketaan f’(2)
f’(2) = 6 • 2 – 6

8. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0
= 6x – 6
Lasketaan f’(2)
f’(2) = 6 • 2 – 6
= 12 – 6

9. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0
= 6x – 6
Lasketaan f’(2)
f’(2) = 6 • 2 – 6
= 12 – 6
=6

10. Tehtävä 1: Määritä funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn
tangentin kulmakerroin.
Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin tarkoittaa
funktion derivaattaa f’(x) kohdassa x = 2, eli f’(2)
Derivoidaan:
f’(x) = 3 • 2x – 6 • 1 + 0
= 6x – 6
Lasketaan f’(2)
f’(2) = 6 • 2 – 6
= 12 – 6
=6
Vastaus: Funktion f(x) kuvaajalle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin
kulmakerroin on 6.

11. Kuvaajalle kohtaan x = 2
Funktion f(x) = 3x2 – 6x + 1 kuvaaja asetettu tangentti
10
9
8
7
6
Kulmakerroin on 6
5 x-koordinaatin m
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3

12. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?

13. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).

14. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.

15. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:

16. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1

17. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3

18. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5

19. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5

20. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5 Siirretään +3 oikealle puolelle

21. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5 Siirretään +3 oikealle puolelle
–2x = –5 – 3

22. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5 Siirretään +3 oikealle puolelle
–2x = –5 – 3
–2x = –8

23. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5 Siirretään +3 oikealle puolelle
–2x = –5 – 3
–2x = –8 Jaetaan puolittain –2:lla

24. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5 Siirretään +3 oikealle puolelle
–2x = –5 – 3
–2x = –8 Jaetaan puolittain –2:lla
x=4

25. Tehtävä 2: Mihin kohtaan funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaajalle piirretyn tangentin
kulmakerroin on –5?
Funktion f(x) kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on f’(x).
Derivaatta kertoo tangentin kulmakertoimen mielivaltaisessa pisteessä x.
Derivoidaan:
f’(x) = –2x + 3 • 1
= –2x + 3
Lasketaan milloin f’(x) = –5
–2x + 3 = –5 Siirretään +3 oikealle puolelle
–2x = –5 – 3
–2x = –8 Jaetaan puolittain –2:lla
x=4
Vastaus: Tangentin kulmakerroin on –5 kohdassa x = 4

26. Kuvaajalle kohtaan x = 4
Funktion f(x) = –x2 + 3x kuvaaja asetettu tangentti
6
5
Kulmakerroin on -5
4
3
2 x-koordinaatin m
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
-4
-5
-6