1. Esimerkki
Suoran ympyrälieriön korkeuden ja pohjan
halkaisijan summa on 20. Määritä lieriön korkeus
siten, että lieriö on tilavuudeltaan
mahdollisimman suuri. Laske suurin tilavuus.

2. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat

3. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.

4. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
h
r

5. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
r

6. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
r

7. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
r

8. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r

9. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20

10. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen

11. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r

12. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle

13. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h

14. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r

15. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)

16. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3

17. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat

18. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0

19. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).

20. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.

21. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio

22. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2

23. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0

24. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi

25. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0

26. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0

27. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0
6 π r = 40 π

28. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0
6 π r = 40 π
r = 20/3

29. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0
6 π r = 40 π
r = 20/3

30. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
6 π r = 40 π
r = 20/3

31. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
6 π r = 40 π
V(r)
r = 20/3

32. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
6 π r = 40 π
V(r)
r = 20/3

33. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
6 π r = 40 π
V(r)
r = 20/3

34. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
6 π r = 40 π
V(r)
r = 20/3

35. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
0
6 π r = 40 π
V(r)
r = 20/3

36. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
0
6 π r = 40 π –
V(r)
r = 20/3

37. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
0
6 π r = 40 π –
V(r)
r = 20/3

38. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r)
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

39. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) +
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

40. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

41. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

42. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

43. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

44. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle Tilavuus on suurin kun r = 20/3
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

45. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle Tilavuus on suurin kun r = 20/3
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r Tällöin h = 20 – 2 • 20/3 = 20/3
V(r) = π r2 (20 – 2r)
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

46. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle Tilavuus on suurin kun r = 20/3
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r Tällöin h = 20 – 2 • 20/3 = 20/3
V(r) = π r2 (20 – 2r) Ja tilavuus on
= 20 π r2 – 2 π r3
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3

47. 1. Piirretään kuva ja nimetään muuttujat
Olkoon lieriön korkeus h ja pohjan säde r.
2. Pitää etsiä tilavuuden V suurin arvo. Muodostetaan lauseke V:lle
h
V = π r2 h
3. Etsitään muuttujien välinen yhteys
Pohjan halkaisijan ja korkeuden summa on 20. r
2r + h = 20 Ratkaistaan muuttujan h suhteen
h = 20 – 2r
4. Muodostetaan yhden muuttujan funktio tilavuudelle Tilavuus on suurin kun r = 20/3
V = π r2 h Sijoitetaan h:n paikalle 20 – 2r Tällöin h = 20 – 2 • 20/3 = 20/3
V(r) = π r2 (20 – 2r) Ja tilavuus on
= 20 π r2 – 2 π r3 V = π • (20/3)2 • 20/3 ≈ 931
5. Määritetään muuttujan rajat
Säde r on pienimmillään 0
Toisaalta r on suurimmillaan 10, koska tällöin h = 0 (halkaisija on 20).
Yhdessä saadaan 0 ≤ r ≤ 10.
6. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat ja tehdään kulkukaavio
V’(r) = 40 π r – 6 π r2
40 π r – 6 π r2 = 0 Otetaan r yhteiseksi tekijäksi
r(40 π – 6 π r) = 0
0 20/3 10 +
r = 0 tai 40 π – 6 π r = 0 V’(r) + –
0
6 π r = 40 π – –
V(r)
r = 20/3