1. Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

2. 1. tunnin laskinharjoittelua ja kertausta Lue esimerkit 2 ja 3 ja harjoittele laskimen käyttöä Tee tehtäviä 7, 8, 10, 13, 17, 18

3. Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta Jotta funktion kuvaajan saisi skaalattua laskimen näyttöön kokonaan, pitäisi tietää ainakin funktion ääriarvot (MA07 asiaa) ja ns. kulkukaavio Joutuu skaalaamaan x ja y –akselia, katso esimerkki 1 s. 19

4. Yhtälön graafinen ratkaisu Piirrä molemmat funktiot graafisella laskimella ja määritä leikkauspisteiden koordinaatit. Esim. 3 sivulla 24. Kaikki termit voi myös siirtää yhtälön vasemmalle puolelle ja ratkaista syntyvän funktion nollakohdat.

5. Kertausta Määrittelyjoukko ja toisen asteen epäyhtälön ratkaisu Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö ja kuvaajan piirtäminen. Esim. 4 s. 27.

6. Lukujärjestelmät 10-järjestelmässä luvut esitetään 10 potenssin avulla ja käytössä on 10 lukua. Esim. tietokoneissa on käytössä binäärijärjestelmä (kaksijärjestelmä), joten luvut esitetään kakkosen potensseina ja lukuina on vain 0 ja 1. Esim.

7. Polynomien jakolasku Esim. (2x 2 +3x-2):(x+2)

8. Murtofunktion asymptootit Murtofunktio ei saa arvoja nimittäjän nollakohdissa, vaan funktion arvot ainoastaan lähenevät sitä Toinen asymptootti tulee polynomin jakolaskun tuloksena Esim. (x 2 +1):(x+2)

9. Polynomien jaollisuus Jos jakolaskun P(x):S(x) osamäärä on Q(x) ja jakojäännös R(X), niin P(x):S(X) = Q(X) + R(x):S(x) eli P(x) = Q(x)S(x) + R(x) Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla S(x), kun jakojäännös R(x) = 0 Huom! Jakojäännöksen asteluku on pienempi kuin jakajan asteluku

10. Binomilla x-a jakaminen Tällöin P(x) = (x-a)Q(x) + r P(a) = (a-a)Q(x) + r = r Eli jakolasku P(x):(x-a) menee tasan eli x-a on polynomin P(x) tekijä joss P(a) = 0

11. Polynomien jaollisuus – tekijöihin jako Esim. s 50. Tekijöihin jako nollakohtien perusteella päättele ensimmäinen nollakohta esim. kuvaajasta jaa jakokulmassa, niin saat muut tekijät Esim. s. 50. s. 52 yleisesti Esim. s. 53. Tehtävä 111.

12. Tekijöihin jako Jos n. asteen polynomilla P on n nollakohtaa x 1 , x 2 , …, x n (ei voi olla enempää), niin P = a(x - x 1 ) (x – x 2 )…(x - x n ), missä a on korkeimman asteen tekijä Esim. ax 2 +bx+c = a(x - x 1 ) (x – x 2 ) Kaksinkertainen juuri tarkoittaa sitä, että sama nollakohta toistuu. Esim. x 2 +4x+4 = (x+2)(x+2)=(x+2) 2

13. Korkeamman asteen yhtälöt Ratkaisut voi päätellä kuvaajasta, kunhan toteaa, että ne myös ovat nollakohdat. S. 56. Tulon nollasääntö. S. 57. Jos nähdään selkeästi vain yksi nollakohta x 1 , niin muut saadaan jakamalla jakokulmassa tällä tekijällä (x – x 1 ). S. 58. Esim. s. 60. Aina ei tarvitse ”arvata”.

14. Huom!

15. Huom! Nollakohdan voi ’arvata’ myös näin.

16. Likiarvon tarkkuus Merkitseviä numeroita on kaikki muut paitsi ei kokonaisluvun lopussa olevat nollat ja desimaaliluvun alussa olevat nollat Esim. 13000 on kaksi merkitsevää numeroa Esim. 0,002340 on neljä merkitsevää numeroa Esim. 1,00 on kolme merkitsevää numeroa Tulos ilmoitetaan epätarkimman avulla Monesti järkevä pyöristyssääntö on desimaalien lukumäärä tai mittayksikön tarkkuus

17. summassa ja erotuksessa käytetään epätarkinta desimaalilukua pyöristyssääntönä tulossa ja osamäärässä käytetään epätarkinta merkitsevää numeroa pyöristyssääntönä

18. Virhe Esim. Jos suorakulmion mitat on 3 m ja 5 m, niin todelliset mitat voivat olla välillä [2,5 ; 3,5[ tai [4,5 ; 5,5[ Tällöin todellinen pinta-ala voi olla pienimmillään 2,5 * 4,5 =11,25 m 2 suurimmillaan 3,5*5,5 = 19,25 m 2 Absoluuttinen virhe on tällöin 15 – 11,25 = 3,75 tai 19,25 – 15 = 4,25 Suhteellinen virhe on tällöin 4,25 : 15 = 28 %

19. Jonot ja raja-arvot Esim. 84. Miten laskimella? Esim. s.78. Lukujonossa n on luonnollinen luku. Miten tableset nyt toimii, kun n lähestyy ääretöntä? Eli lasketaan lukujonon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä. Tällöin lukujono suppenee.

20. Funktion nollakohdat

21. Esim. Osoita, että funktiolla f(x) = x 3 +2x 2 +2x-1 on tasan yksi nollakohta ja määritä sen likiarvo Bolzanon lauseen avulla haarukoimalla.

22. Derivointiesimerkkejä Mikä oli derivaatta? Miten derivaatta liittyy funktion kasvamiseen/vähenemiseen?

23. Newtonin menetelmä Lasketaan derivoituvan funktion nollakohtia Valitaan b nollakohdan likiarvoksi Piste c on pisteeseen (b, f(b)) piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauspiste Tällöin c on yleensä lähempänä nollakohtaa kuin b Toistetaan toimenpidettä, jotta saadaan tarkempia likiarvoja

24. Itse prosessi on seuraava Tangentin yhtälö on

25. Esim.

26. Iterointi Pyritään ratkaisemaan yhtälö, joka on saatettu muotoon x = g(x) Sijoitetaan funktioon g(x) alkuarvaus x 0 , josta saadaan uusi arvo x 1 , joka sijoitetaan takaisin funktioon g(x) jne. Alkuarvauksen voi katsoa kuvaajasta

28. Graafinen iterointi Kuva tilanteesta on sivun 115 yläreunassa Jos käy hyvin, niin x n lähestyy x:n ja g(x):n leikkauspistettä (x=g(x))

29. Esim.

30. Esim.

31. Kiintopiste s. 114 Äskeisessä esimerkissä x:n joutuu ratkaisemaan kahdella eri tavalla, jotta iterointi onnistuu. Iterointi onnistuu, jos |g’(a)|<1 ns. puoleensa vetävä piste Iterointi ei onnistu, jos |g’(a)|>1 ns. hylkivä piste a voi käytännössä olla alkuarvaus

32. Derivaatta Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa

33. Erotusosamäärä

34. Derivaatan määritelmä osa I

35. Derivaatan määritelmä osa II Täsmälleen sama idea, mutta merkinnät hieman muuttuvat. x – a = h, jolloin x = a + h ja derivaatan määritelmä on

36. Esim. Laske molempien määritelmien avulla funktion f(x)= x – x 3 derivaatta numeerisesti kohdassa -1.

37. Numeerinen derivaatta Jos |h| on riittävän pieni, niin kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin on likimain

39. Esim.

40. Pinta-alan numeerinen määrittäminen

41. Ala suorakulmioiden avulla Määritetään pinta-alojen ns. ylä –ja alasummat Jaetaan kysyttävä pinta-ala n:ään osaväliin. Mitä suurempi n on, sitä tarkempi ala on

42. Keskipistesääntö Jaetaan väli [a,b] n:ään yhtä pitkään osaväliin ja valitaan suorakulmion korkeudeksi välien keskipisteet

43. Puolisuunnikassääntö Tehdään suorakulmiosta puolisuunnikas

44. t. 289

45. Simpsonin sääntö

46. Esim. Laske yksikköympyrän pinta-ala Simpsonin säännöllä laskemalla ensin neljänneksen ala käyttämällä kuutta osaväliä

47. Määrätty integraali Lasketaan funktion ja x-akselin väliin jäävää alaa. Kun jakovälien lukumäärä lähestyy ääretöntä, niin tämän raja-arvon tuloksena saadaan alan tarkka arvo. (Simpsonin sääntö, puolisuunnikassääntö)

48. Esim.