1. Esimerkki
Määritä funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 suurin ja
pienin arvo välillä [–2, 0].
Huom! [–2, 0] tarkoittaa, että –2 ≤ x ≤ 0.

2. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.

3. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan

4. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3

5. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)

6. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0

7. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta

8. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla

9. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla

10. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –

11. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –

12. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1

13. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1

14. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio

15. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli

16. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli

17. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
f’(x)

18. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
f’(x)
f(x)

19. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1
f’(x)
f(x)

20. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
f’(x)
f(x)

21. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
f’(x) 0
f(x)

22. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
f’(x) 0
–
f(x)

23. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) 0
–
f(x)

24. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) 0
– –
f(x)

25. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – 0
– –
f(x)

26. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + 0
– –
f(x)

27. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)

28. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)

29. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)

30. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)

31. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.

32. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.

33. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
f’(x)

34. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
f’(x)
f(x)

35. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2
f’(x)
f(x)

36. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1
f’(x)
f(x)

37. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x)
f(x)

38. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) –
f(x)

39. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) – +
f(x)

40. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) – +
f(x)

41. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) – +
f(x)

42. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) – +
f(x)
MAX

43. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) – +
f(x)
MAX MIN

44. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0
f’(x) – +
f(x)
MAX MIN MAX

45. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0 Pienin arvo kohdassa x = –1.
f’(x) – + Pienin arvo on f(–1) = –(–1)3 + 3 • (–1) + 1 = –1
f(x)
MAX MIN MAX

46. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 3x + 1 kulkua välillä –2 ≤ x ≤ 0.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 3 • 1 + 0 = –3x2 + 3
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (nämä ovat ääriarvokohtia)
–3x2 +3 = 0 Toisen asteen yhtälö termi bx puuttuu: voidaan ratkaista käyttäen neliöjuurta
–3x2 = –3 Siirretään vakio +3 oikealle. Jaetaan puolittain –3:lla
x2 = 1 Otetaan neliöjuuri oikeasta puolesta. Muista molemmat vaihtoehdot: + ja –
x = ± √1
x=±1
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
–1 1
+
f’(x) – + – 0
– –
f(x)
4. Rajataan kulkukaavio välille –2 ≤ x ≤ 0.
–2 –1 0 Pienin arvo kohdassa x = –1.
f’(x) – + Pienin arvo on f(–1) = –(–1)3 + 3 • (–1) + 1 = –1
f(x) Suurin arvo kohdassa x = –2 tai x = 0
Suurin arvo on f(–2) = –(–2)3 + 3 • (–2) + 1 = 3 tai
MAX MIN MAX
f(0) = 1 (suurempi lihavoitu).

47. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2

48. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2

49. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2

50. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2

51. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2

52. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2

53. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2