1. Polynomi

2. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.

3. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.

4. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:

5. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi),

6. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja

7. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja +1 (vakio)

8. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja +1 (vakio)
Yksittäinen termi koostuu kertoimesta ja kirjainosasta.

9. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja +1 (vakio)
Yksittäinen termi koostuu kertoimesta ja kirjainosasta.
esim.
termin – 5x kerroin on –5 ja kirjainosa x.

10. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja +1 (vakio)
Yksittäinen termi koostuu kertoimesta ja kirjainosasta.
esim.
termin – 5x kerroin on –5 ja kirjainosa x.
Polynomin aste on sen muuttujan korkein eksponentti.

11. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja +1 (vakio)
Yksittäinen termi koostuu kertoimesta ja kirjainosasta.
esim.
termin – 5x kerroin on –5 ja kirjainosa x.
Polynomin aste on sen muuttujan korkein eksponentti.
esim.
polynomin 17x4 – 3x6 + x aste on

12. Polynomi
Polynomi on summanmuotoinen lauseke, jossa esiintyy muuttuja.
esim.
4x2 – 5x + 1
on polynomi, jonka muuttuja on x.
Polynomi koostuu termeistä.
esim.
polynomissa 4x2 – 5x + 1 on kolme termiä, jotka ovat:
4x2 (toisen asteen termi), –5x (ensimmäisen asteen termi) ja +1 (vakio)
Yksittäinen termi koostuu kertoimesta ja kirjainosasta.
esim.
termin – 5x kerroin on –5 ja kirjainosa x.
Polynomin aste on sen muuttujan korkein eksponentti.
esim.
polynomin 17x4 – 3x6 + x aste on 6.

13. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.

14. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:

15. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5
x

16. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5 = 7
x

17. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5 = 7
x
Edellinen lasku merkitään matemaattisesti seuraavasti:

18. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5 = 7
x
Edellinen lasku merkitään matemaattisesti seuraavasti:
Polynomi P(x) = 4x – 5, laske P(3).

19. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5 = 7
x
Edellinen lasku merkitään matemaattisesti seuraavasti:
Polynomi P(x) = 4x – 5, laske P(3).
Merkintä P(x) = 4x – 5 tarkoittaa, että polynomin nimi on P ja sen muuttuja on x.

20. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5 = 7
x
Edellinen lasku merkitään matemaattisesti seuraavasti:
Polynomi P(x) = 4x – 5, laske P(3).
Merkintä P(x) = 4x – 5 tarkoittaa, että polynomin nimi on P ja sen muuttuja on x.
Merkintä P(3) tarkoittaa, että polynomiin P sijoitetaan muuttujan x paikalle luku 3.

21. Polynomin arvo
esim.
Laske polynomin 4x – 5 arvo, kun x = 3.
Sijoitetaan x:n paikalle luku 3:
4 •3 – 5 = 7
x
Edellinen lasku merkitään matemaattisesti seuraavasti:
Polynomi P(x) = 4x – 5, laske P(3).
Merkintä P(x) = 4x – 5 tarkoittaa, että polynomin nimi on P ja sen muuttuja on x.
Merkintä P(3) tarkoittaa, että polynomiin P sijoitetaan muuttujan x paikalle luku 3.
P(3) = 4 • 3 – 5 =7

22. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).

23. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) =

24. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 •

25. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2

26. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 •

27. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1)

28. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1

29. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
=

30. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
= 3•

31. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
= 3•1

32. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
= 3•1 +4

33. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
= 3•1 +4 +1

34. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
= 3•1 +4 +1
= 8.

35. Esimerkki
esim.
Q(a) = 3a2 – 4a + 1. Laske Q(–1).
Q(–1) = 3 • (–1)2 – 4 • (–1) + 1
= 3•1 +4 +1
= 8.
Vastaus: Q(–1) = 8.