Dokumen tersebut menjelaskan tentang dalil proyeksi pada segitiga. Dalil proyeksi digunakan untuk menentukan panjang sisi segitiga dengan cara memproyeksikan salah satu sisinya ke sisi lainnya. Rumus dalil proyeksi untuk segitiga lancip diperoleh dengan menggabungkan teorema Pythagoras dan panjang hasil proyeksi, sedangkan untuk segitiga tumpul dengan menambahkan panjang hasil proyeksi.

1. KELOMPOK 3
ADAM APRILIANSYAH
BAYU SHAGARA PUTRA
NABILA YULIANI NASUTION
NADIA SALSABILLA
NAUFAL IHSAN RASHAD
DALIL PROYEKSI

2. Dalam mengerjakan soal
matematika khususnya tentang
segitiga kita akan melibatkan dalil
Stewart untuk menyelesaikannya,
misalnya sebuah segitiga
sembarang ABC yang dibagi oleh
sebuah garis AD yang memotong
AB sehingga menjadi dua bagian
segitiga yaitu ΔACD dan ΔBCD
seperti gambar berikut ini.
A B
C
D
ab
c
x
Pengertian Dalil Proyeksi

3. Dapatkah kita menentukan panjang
CD pada segitiga tadi?
Garis yang berwarna merah
yakni garis A'B' adalah
proyeksi garis AB terhadap
garis l.
A
B
l
A’ B’
Jika pada tiap ujung garis l kita tarik garis yang tegak lurus dengan
garis AB maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.
A
B
l
Pada gambar di samping,
ruas garis yang berwarna
merah adalah proyeksi
ruas garis l terhadap AB.

4. Berdasarkan dari kedua
contoh di atas maka dapat
disimpulkan bahwa proyeksi
adalah pemetaan suatu
daerah secara tegak lurus
terhadap daerah lainnya.

5. Untuk mencari atau membuktikan dalil
proyeksi pada segitiga lancip, kita harus
paham dengan pengertian proyeksi, karena
untuk mencari rumus proyeksi pada segitiga
lancip dapat dilakukan dengan cara
memproyeksikan salah satu sisinya ke sisi
yang lain. Sekarang perhatikan gambar
segitiga lancip ABC di bawah ini.
A B
C
a
b
c
Rumus dalil proyeksi pada
segitiga lancip

6. Jika garis BC diproyeksikan terhadap
garis AB maka garis BD merupakan hasil
proyeksinya sedangkan AD merupakan
sisa dari panjang sisi yang kena proyeksi,
seperti gambar berikut ini.
A
𝐶
B
x
t
ab
c
D

7. Masih ingatkah dengan teorema
Pythagoras? Sekarang perhatikan
ΔACD pada Gambar 2 di atas
yang siku-sikunya di D. Dengan
menggunakan teorema
Phytagoras maka CD dapat
ditentukan dengan rumus:
CD 2 = AC 2 – AD
t 2 = b 2 – x 2 . . . . (persamaan 1)
Sekarang perhatikan ΔBCD yang siku-sikunya
ada di D juga. Dengan menggunakan teorema
Phytagoras maka CD dapat ditentukan
dengan rumus:
CD 2 = BC 2 – BD 2
CD 2 = BC 2 – (AB – AD) 2
t 2 = a 2 – (c – x) 2
t 2 = a 2 – (c 2 – 2cx + x 2)
t 2 = a 2 – c 2 + 2cx – x 2 . . . . . (persamaan 2)
Dari persamaan (2) dan persamaan
(1) akan diperoleh persamaan yang
baru yakni:
a 2 – c 2 + 2cx – x 2 = b 2 – x 2
a 2 = b 2 + c 2 – 2cx atau
BC 2 = AC 2 + AB 2 – 2AB.AD
A
𝐶
B
x
t
ab
c

8. Berdasarkan penjelasan di atas maka
dapat disimpulkan bahwa dalil
proyeksi dapat dicari dengan cara
mengkombinasikan teorema
Phytagoras dengan sisa dari hasil
panjang proyeksi. Misalnya jika kita
mencari sisi BC, maka proyeksikan sisi
BC ke salah satu sisinya misalnya sisi
AB sehingga diperoleh hasil proyeksi
BD. Cari panjang BC dengan teorema
phytagoras (BC2 = AC2 + AB2)
kemudian dikurangi dengan dua kali
sisa hasil panjang proyeksi yang sudah
dikalikan dengan panjang sisi sebagi
tempat proyeksi (2AB.AD). Makaakan
diperoleh panjang BC adalah:
BC 2 = AC 2 + AB 2 – 2AB.AD

9. Sekarang misalkan sisi BC kita proyeksikan
ke sisi AC, seperti gambar di bawah ini.
maka sisa hasil proyeksinya adalah AD. Panjang
BC dapat dicari dengan mengkombinasikan
teorema phytagoras dengan mengurangi dua kali
sisa proyeksi dengan panjang sisi yang dikenai
proyeksi, maka:
BC 2 = AC 2 + AB 2 – 2AD.AC atau
a 2 = b 2 + c 2 – 2bz
A B
C
D
a
b
c
z

10. a
b
c B
C
A
Segitiga
Tumpul
a
b
c
x y
B
C
A
D
Jika garis BC diproyeksikan
terhadap garis AC maka garis CD
merupakan hasil proyeksinya,
seperti gambar di bawah ini.
Rumus dalil proyeksi pada segitiga
tumpul

11. Sekarang perhatikan ΔABD pada
Gambar dibawah yang siku-sikunya
di D. Dengan menggunakan teorema
Phytagoras maka BD dapat
ditentukan dengan rumus:
BD 2 = AB 2 – AD 2
y 2 = c 2 – x 2 . . . . (persamaan 1)
Sekarang perhatikan ΔBCD yang siku-sikunya
ada di D juga. Dengan menggunakan teorema
Phytagoras maka BD dapat ditentukan dengan
rumus:
BD 2 = BC 2 – CD 2
BD 2 = BC 2 – (AC + AD) 2
y 2 = a 2 – (b + x) 2
y 2 = a 2 – (b 2 + 2bx + x 2)
y 2 = a 2 – b 2 – 2bx – x 2 . . . . . (persamaan 2)
Dari persamaan (2) dan persamaan (1) akan
diperoleh persamaan yang baru yakni:
a 2 – b 2 – 2bx – x 2 = c 2 – x 2
a 2 = b 2 + c 2 + 2bx atau
BC 2 = AC 2 + AB 2 + 2AD.CD
a
b
c
x y
B
C
A
D

12. Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa
dalil proyeksi pada segitiga tumpul dapat dicari dengan cara
mengkombinasikan teorema Phytagoras dengan penambahan
panjang dari hasil panjang proyeksi. Misalnya jika kita mencari
sisi BC, maka proyeksikan sisi BC ke salah satu sisinya misalnya
sisi AC sehingga diperoleh hasil proyeksi CD. Cari panjang BC
dengan teorema phytagoras (BC2 = AC2 + AB2) kemudian
ditambahkan dengan dua kali pertambahan panjang hasil
proyeksi dikalikan dengan panjang yang kena proyeksi (2AC.AD).
Maka akan diperoleh panjang BC adalah:
BC 2 = AC 2 + AB 2 + 2AC.AD atau a 2 = b 2 + c 2 + 2xy