Dokumen tersebut membahas tentang teorema Pythagoras dan aplikasinya dalam menentukan jenis segitiga dan menghitung panjang sisi-sisinya. Terdapat pembahasan tentang perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku khusus dengan sudut 30°, 60°, dan 45° yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal terkait. Beberapa contoh soal pun diberikan beserta penyelesaiannya.

1. Name :
TEOREMA PYTHAGORAS
A. Teorema Pythagoras
Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang
sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
Jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga,
a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan
teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
B. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah
suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Misalnya,sisi c adalah sisi terpanjang pada ABC
Jika c2
= a2
+ b2
maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika c2
> a2
+ b2
maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika c2
< a2
+ b2
maka ABC adalah segitiga lancip.
C. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan
terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52
= 42
+ 32
c2
= a2
+ b2

2. D. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku Istimewa
Segitiga siku-siku istimewa terdiri atas dua jenis, yaitu segitiga siku-siku yang salah satu
sudutnya 450
dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 600
.
1. Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 450
Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku
adalah 450
maka sudut yang lain adalah 450
. Jadi
segitiga siku-siku tersebut adalah segitiga siku-siku
sama kaki.
Per bandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki ABC dengan
a sebagai hipotenusanya
adal ah :
2. Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 600
Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah
600
maka sudut yang lain adalah 300
. Jadi segitiga siku-
siku tersebut adalah segitiga siku-siku sama kaki.
Perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki ABC
dengan a sebagai hipotenusanya adalah :
a : b : c = √2 ∶ 1 : 1
a : b : c = 2 : √3 ∶ 1

3. a) Sudut 30° dan 60°
Perhatikan gambar ∆ABC di bawah ini.
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2x cm dan
dengan ∠CAD = ∠ABC = ∠ACB = 60°, kemudian dari titik C ditarik garis tegak lurus
(90°) dengan garis AB dan berpotongan di titik D. Akibatnya ∠ACB terbagi menjadi dua
yakni ∠ACD = ∠BCD = 30° dan garis AD sama dengan garis BD, sehingga garis AD
sama dengan setengah garis AB, maka:
AD = ½ AB
AD = ½ . 2x cm
AD = x cm
Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang CD dapat di cari yakni:
CD2
= AC2
– AD2
CD2
= (2x)2
– x2
CD2
= 4x2
– x2
CD2
= 3x2
CD = x√3 cm

4. Dengan demikian, diperoleh perbandingan sisi pada segitiga siku-siku pada sudut 30°
dan 60°, yakni:
AD : CD : AC = x : x√3 : 2x
AD : CD : AC = 1 : √3 : 2
Misalkan garis AD kita sebut sisi terpendek, garis CD kita sebut sebagai sisi menengah,
dan AC kita sebut sebagai sisi terpanjang, maka secara umum perbandingan segitiga
siku-siku dengan sudut 30° dan 60° yakni:
sisi pendek : sisi tengah : sisi panjang = 1 : √3 : 2
b) Sudut 45°
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Segitiga ABC pada gambar di atas adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan sudut
siku-siku di titik B. Di mana panjang AB = BC = 2x cm, ∠ ABC = 90° dan∠BAC = ∠ACB
= 45°.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang AC diperoleh:
AC = √(AB2
+ BC2
)
AC = √((2x)2
+ (2x)2
)
AC = √(4x2
+ 4x2
)
AC = √8x2
AC = 2x√2 cm
Berdasarkan hasil di atas maka diperoleh perbandingan segitiga siku-siku pada sudut
45° yakni:
AB : BC : AC = 2x : 2x : 2x√2
AB : BC : AC = 1 : 1 : √2

6. Contoh Soal 1
Perhatikan gambar persegi panjang PQRS di bawah ini.
Diketahui panjang diagonal PR = 20 cm dan ∠RPS =
60°. Tentukan
a) panjang PS;
b) panjang PQ;
c) luas PQRS;
d) keliling PQRS.
Penyelesaian:
a) panjang PS dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus (30°
dan 60°), yakni:
sisi pendek : sisi panjang = 1 : 2
PS : PR = 1 : 2
PS : 20 cm = 1 : 2
PS = ½ x 20 cm
PS = 10 cm
b) panjang PQ juga dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus
(30° dan 60°), yakni:
sisi tengah : sisi panjang = √3 : 2
PQ : PR = √3 : 2
PQ : 20 cm = √3 : 2
PQ = (√3/2) x 20 cm
PQ = 10√3 cm
c) luas PQRS dapat dicari dengan menggunakan rumus luas persegi panjang yakni:
L = p x l
L = PS x PQ
L = 10 cm x 10√3 cm
L = 100√3 cm2
d) keliling PQRS dapat dicari dengan rumus keliling persegi panjang yakni:
K = 2(p + l)
K = 2(PS + PQ)

7. K = 2(10 cm + 10√3 cm)
K = 20(1 + √3) cm
Contoh Soal 2
Perhatikan gambar persegi ABCD di bawah ini.
Diketahui panjang diagonal AC = 10 cm dan ∠BAC =
45°. Tentukan
a) panjang AB;
b) luas ABCD;
c) keliling ABCD.
Penyelesaian:
a) panjang AB dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus (45°),
yakni:
AB : AC = 1 : √2
AB : 10 cm = 1 : √2
AB = (1/√2) x 10 cm
AB = (10/√2) cm
AB = 5√2 cm
b) luas ABCD dapat dicari dengan menggunakan rumus luas persegi yakni:
L = s2
L = AB2
L = (5√2 cm)2
L = 50 cm2
e) keliling PQRS dapat dicari dengan rumus keliling persegi yakni:
K = 4s
K = 4AB
K = 4 . 5√2 cm
K = 20√2 cm

8. 3. Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut khusus
a. Sudut 30° dan 60°
Segitiga ABC diatas merupakan segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm
dan ∠A = ∠B = ∠C = 60º. Dikarenakan CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis
tinggi sekaligus garis bagi ∠C, sehingga
∠ACD = ∠BCD =30º. Dan diketahui ∠ ADC = ∠ BDC = 90º. Titik D merupakan titik
tengah AB, dimana panjang AB = 2x cm sehingga panjang BD = x cm.
Perhatikanlah segitiga CBD. Kita gunakan teorema pythagoras maka diperoleh
CD² = BC² – BD²
CD = √[BC² – BD²]
CD = √[(2x)²-x²]
CD = √[4x²-x²]
CD = √[3x²]
CD = x√3
Dengan demikian diperoleh perbandingan sebagai berikut :
BD : CD : BC = x : x√3 : 2x

9. BD : CD : BC = 1 : √3 : 2
Perbandingan diatas dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan
segitiga siku-siku khusus.

10. b. Sudut 45º
Segitiga ABC diatas adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan sudut B adalah sudut
siku-siku dimana panjang AB = BC = x cm dan ∠ A = ∠ C =45º.
Kita gunakan teorema pythagoras maka diperoleh :
AC² = AB² + BC²
AC = √(AB²+BC²)
AC = √(x²+x²)
AC = √(2x²)
AC = x√2
Dengan demikian, diperoleh perbandingan sebagai berikut :
AB : BC : AC = x : x : x√2