.

1. RUANG VEKTOR
bagian pertama

2. Ruang Vektor
• Definisi:
Misalkan V sembarang himpunan benda yang dua
operasinya didefinisikan, yakni penambahan dan
perkalian dalam skalar (bilangan riil).
Penambahan tersebut dipahami untuk
mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap
pasang benda u dan v dalam V, yang
mengandung elemen u + v , yang dinamakan
jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan
aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk
setiap skalar maupun untuk setiap benda u pada
V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan
perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k.

3. • Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh
semua benda u, v, w pada V dan oleh semua
skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah
ruang vektor (vector space) dan benda-benda
pada V kita namakan vektor:
(1) Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u + v
berada di V.
(2) u + v = v + u
(3) u + (v + w) = (u + v) + w
(4) Ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0

4. (5) Untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V
yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) =
(-u) + u = 0
(6) Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah
sembarang benda di V, maka ku berada di V.
(7) k(u + v) = ku + kv
(8) (k +l)u = ku +lu
(9) k(lu) = (kl)u
(10)1u = u

5. Sifat-sifat vektor
• Teorema
Misalkan V adalah ruang vektor, u sebuah vektor
pada V, dan k sebuah skalar maka:
(a) 0u = 0
(b)K0 = 0
(c) (-1)u = -u
(d)Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

6. Sub ruang
• Definisi:
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V
dinamakan subruang (subspace) V jika W itu
sendiri adalah ruang vektor di bawah
penambahan dan perkalian skalar yang
didefinisikan pada V.

7. KOMBINASI LINIER
VEKTOR-VEKTOR
• DEFINISI
Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linier dari
vektor–vektor v1, v2,…,vr jika bisa dinyatakan
dalam bentuk:
w = k1 v1 + k2 v2 + ... + kr vr
dengan k1, k2, …, kr adalah skalar, disebut sebagai
koefisien dari kombinasi linier.

8. contoh
Setiap vektor v=(a,b,c) dalam R3 bisa dinyatakan sebagai
suatu kombinasi linier dari vektor-vektor basis standar
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
karena
v(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
=ai+bj+ck

9. contoh
Tinjau vektor u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3.
Tunjukkan bahwa w =(9,2,7) adalah kombinasi linier dari u
dan v dan bahwa w’ =(4,-1,8) bukanlah kombinasi linier dari
u dan v

10. RENTANG
• TEOREMA:
Jika v1, v2,…,vr adalah vektor-vektor dalam suatu
ruang vektor V, maka:
a. Himpunan W semua kombinasi linier dari v1,
v2,…,vr merupakan suatu sub-ruang dari V
b. W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi
v1, v2,…,vr dalam pengertian bahwa setiap sub-
ruang lain dari V yang berisi v1, v2,…,vr pasti
mengandung W.

11. RENTANG
• DEFINISI:
Jika S = {v1, v2,…,vr} adalah suatu himpunan
vektor dalam suatu ruang vektor V, maka sub-
ruang W dari V yang mengandung semua
kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S
disebut ruang terentang oleh v1, v2,…,vr dan kita
katakan bahwa vektor-vektor v1, v2,…,vr adalah
rentang W. Untuk menunjukkan bahwa W adalah
ruang terentang oleh vektor-vektor dalam
himpunan S = {v1, v2,…,vr} kita tuliskan
W=rent(S) atau W=rent {v1, v2,…,vr}

12. RENTANG
• TEOREMA:
Jika S= {v1, v2,…,vr} dan S’= {w1, w2,…,wr} adalah dua
himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka
rent {v1, v2,…,vr}=rent {w1, w2,…,wr}
jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah
himpunan suatu kombinasi linier dari vektor-vektor dalam
S’, dan sebaliknya setiap vektor dalam S’ adalah suatu
kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S.

13. contoh
Tentukan apakah v = (1,1,2), v = (1,0,1), dan v = (2,1,3)
merentangkan ruang vektor R3

14. KEBEBASAN LINEAR
DEFINISI:
Jika S={v1,v2, … , vr} adalah suatu himpunan vektor-
vektor tak kosong, maka persamaan vektor:
k1v1+k2v2+…+krvr = 0
mempunyai paling tidak satu penyelesaian yaitu:
k1=0, k2=0, …,kr=0
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S
disebut suatu himpunan yang bebas secara linear.
Jika ada penyelesaian lain, maka S disebut himpunan
yang tak bebas secara linear

15. KEBEBASAN LINEAR
TEOREMA:
Suatu himpunan S dengan dua2 atau lebih vektor disebut:
a) Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling
tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan
sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor
lainnya dalam S
b)Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada
vektor dalam S yang dapat dinyatakan sabagai suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain dalam S

16. KEBEBASAN LINEAR
TEOREMA:
a) Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol
tak bebas secara linear
b) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara
linier jika dan hanya jika vektor yang satu bukan
merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya
TEOREMA:
Anggap S = {v1,v2,…vr} adalah suatu himpunan vektor-
vektor dalam Rn. Jika r>n maka S tak bebas secara linier

17. BASIS UNTUK SEBUAH
RUANG VEKTOR
• DEFINISI:
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S= {v1, v2,…,vr}
adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam V, maka S
disebut suatu basis untuk V jika dua syarat berikut ini
terpenuhi:
a. S bebas secara linier
b. S merentangkan V

18. TEOREMA:
Jika S= {v1, v2,…,vr} adalah suatu basis untuk suatu ruang
vektor V, maka setiap vektor v dalam V bisa dinyatakan
dalam bentuk
v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn
dalam tepat satu cara.
BASIS UNTUK SEBUAH
RUANG VEKTOR

19. Vektor v bisa dinyatakan dalam bentuk
v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn
juga sebagai
v = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn
Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan
pertama akan didapatkan
0 = (c1-k1)v1 + (c2-k2)v2 + ... + (cn-kn)vn
BASIS UNTUK SEBUAH
RUANG VEKTOR

20. Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu
kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S, maka
kebebasan linier dari S mengimplikasikan bahwa
c1-k1=0, c2-k2=0, ..., cn-kn=0
yaitu:
c1=k1, c2=k2, ..., cn=kn
Jadi, kedua ekspresi untuk v adalah sama.
BASIS UNTUK SEBUAH
RUANG VEKTOR

21. contoh
Anggap v1=(1,2,1), v2=(2,9,0) dan v3=(3,3,4). Tunjukkan
bahwa himpunan S={v1,v2,v3} adalah suatu basis untuk R3

22. DIMENSI
DEFINISI:
Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi
terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor
terhingga {v1,v2,…vn} yang membentuk suatu basis.
Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V
disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol
berdimensi terhingga

23. DIMENSI
TEOREMA:
jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi
terhingga dan {v1,v2,…vn} adalah sembarang basis, maka:
• Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak
bebas secara linear
• Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n
yang merentang V.

24. DIMENSI
TEOREMA:
Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi
terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama
DEFINISI: DIMENSI
Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang
dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah
vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol
mempunyai dimensi nol.

25. DIMENSI
Contoh:
Tentukan suatu basis dan dimensi dari ruang
penyelesaian sistem homogen berikut:
2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0
-x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
Penyelesaian umum:
x1 = -s-t, x2 = s, x3 = -t x4 = 0, x5 = t

26. DIMENSI
Oleh karena itu penyelesaiannya bisa ditulis sbb.:












































































































1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
5
4
3
2
1
t
s
t
t
t
s
s
t
t
s
t
s
x
x
x
x
x

27. DIMENSI
Yang menunjukkan bahwa:
Merentangkan ruang penyelesaian. Karena vektor-vektor ini
juga bebas secara linear (tunjukkan), maka {v1, v2} adalah
suatu basis, dan ruang penyelesaiannya berdimensi dua




































1
0
1
0
1
dan
0
0
0
1
1
2
1 v
v

28. DIMENSI
TEOREMA: (Teorema Plus/Minus)
Anggap S adalah himpunan vektor tak kosong dlm suatu ruang vektor V.
a) Jika S adalah himpunan yang bebas secara linear, dan jika v adalah suatu
vektor dalam V yang berada di luar rentang (S), maka himpunan S  {v}
yang dihasilkan dengan menyelipkan v ke S tetap bebas linear
b) Jika v adalah suatu vektor dalam S yg dapat dinyatakan sbg kombinasi
linear dari vektor-vektor lain dalam S, dan jika S – {v} menyatakan
himpunan yg diperoleh dengan memindahkan v dari S, maka S dan S – {v}
merentangkan ruang yg sama:
Rent(S) = rent(S – {v})

29. DIMENSI
TEOREMA:
Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n,
dan jika S adalah suatu himpunan dalam V
dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu
basis untuk V jika S merentang V atau S bebas
secara linear

30. DIMENSI
TEOREMA:
Anggap S adalah suatu himpunan terhingga vektor-vektor dalam
suatu ruang vektor berdimensi terhingga V.
a) Jika S merentang V tetapi bukan merupakan basis untuk V,
maka S bisa direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan
menghilangkan vektor yg tepat dari S
b) Jika S adalah suatu himpunan yang bebas secara linear yang
belum menjadi suatu basis untuk V, maka S bisa diperbesar
menjadi basis untuk V dengan menyelipkan vektor-vektor
yang tepat ke dalam S

31. DIMENSI
TEOREMA:
Jika W adalah suatu sub-ruang vektor berdimensi
terhingga V, maka dim(W) ≤ dim(V):
Jika dim(W) = dim(V), maka W = V.