Dokumen tersebut membahas beberapa teorema tentang transformasi linear dan operator linear. Teorema-teorema tersebut membahas tentang kernel, daerah hasil, satu-satu, kekosongan, dan representasi matriks dari transformasi linear dan operator linear berdasarkan basis yang berbeda.

1. Teorema 3
Jika T : V W adalah suatu transformasi linear, maka:
(a) Kernel dari T adalah sub-ruang dari V
(b) Daerah hasil dari T adalah sub-ruang dari W
Bukti (a)
Untuk menunjukkan bahwa ker (T) adalah suatu sub-ruang, kita harus menunjukkan bahwa ker
(T) mengandung paling tdak satu vekttor dan tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
skalar. Berdasarkan bagian (a) teorema 1, vector berada dalam ker(T), sehingga himpunan ini
mengandung paling tidak satu vektor. Anggap v1 dan v2 adalah vektor-vektor pada ker (T), dan
anggap k adalah sebarang skalar. Maka:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0
Sehingga v1 + v2 berada dalam ker(T). juga,
T(kv1) = kT(v1) = k0 = 0
Sehingga kv1 berada dalam ker(T).
Bukti (b)
Karena T(0) = 0 paling tidak ada satu vektor pada R(T). Anggap w1 dan w2 adalah vektor-vektor
pada daerah hasil dari T, dan anggap k adalah sebarang skalar. Untuk membuktikan bagian ini
kita harus menunjukkan bahwa w1 + w2 dan kw1 berada dalam daerah hasil dari T; yaitu kita
harus menccari a dan b pada v sedemikian sehingga T(a1) = w1 dan T(a2) = w2. Anggap a = a1
+ a2 dan b = ka1. Maka
T(a) T(a1 + a2) = T(a1) + T(a2) = w1 + w2
Dan
T(b) = T(ka1) = kT(a1) = kw1
Yang melengkapi bukti ini.
Teorema 4
Jika A adalah suatu matriks m x n dan TA : adalah perkalian dengan A, maka:
(a) Kekosongan (TA) = kekosongan (A)
(b) Rank(TA) = rank(A)
Teorema 5
(Teorema dimensi untuk tranformasi linear). Jika T : V W adalah suatu transformasi linear
dari suatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang vektor W, maka
Rank(T) + Kekosongan(T) = n

2. Dalam kata kata, teorema ini menyatakan bahwa untuk transformasi linear peringkat ditambah
kekosongan sama dengan dimensi daerah asal
Bukti
Kita harus menunjukkan bahwa
dim(R(T)) + dim(ker(T)) = n
kami akan memberikan bukti untuk kasus dimana 1 dim(ker(T)) n. kasus dim(ker(T)) = 0
dan dim(ker(T)) = n ditinggalkan sebagai latihan. Anggap dim(ker(T)) = r, dan anggap v1, …., vr
adalah basis untuk kernel tersebut. Karena {v1, …, vr} bebas secara linear, teorema 5.4.6b
menyatakan bahwa ada n-? vektor, vr+1, …, vn, sedemikian sehingga {v1, …, vr, vr+1, …, vn}
adalah basis untuk V. untuk melengkapan bukti tersebut, kita akan menunjukkan bahwa n – r
vektor pada himpunan S = {T(vr+1), …, T(vn)} membentuk suatu basis untuk daerah hasil dari T.
sehingga kkita dapat
dim(R(T)) + dim(ker(T)) = (n – r) + r = n
pertama kita tunjukkan bahwa S merentang daerah hasil dari T. jika b adalah sebarang
vektor pada daerah hasil dari T, maka b = T(v) untuk suatu vaktor v pada V. karena {v1, …, vr,
vr+1, …, vn} adalah basis untuk V, maka vektor v bisa ditulis dalam bentuk
v = c1v1 + …. + crvr + cr+1vr+1 + …. + cnvn
karena v1, …., vrterletak pada kernel dari T, kita dapatkan T(v1) = … = T(vr) = 0 sehingga
b = T(v) = cr+1T(vr+1) + …. + cnT(vn)
jadi, S merentang daerah hasil dari T
akhirnya, kita tunjukkan bahwa S adalah suatu himpunan yang bebas secara linear dan akibatnya
membentuk suatu basis untuk daerah hasil dari T. Anggap suatu kombinasi linear dari vektor -
vektor pada S adalah nol; yaitu,
kr+1T(vr+1) + … + knT(vn) = 0 (2)
Kita harus menunjukkan kr+1 = … = kn = 0. Karena T linear, (2) bisa ditulis ulang sebagai
T(kr+1vr+1) + … + knvn) = 0
Yang mengatakan bahwa kr+1vr+1) + … + knvn adalah kernel dari T. Oleh karena itu vektor ini bisa
ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor basis {v1, …, vr}, katakanlah
Kr+1vr+1 + … + knvn = k1v1 + … + krvr
Jadi
K1v1 + … + krvr – kr+1vr+1 - … - knvn = 0
Karena {v1, …, vn} bebas secara linear, secara k nol; secara khusus, kr+1 = … = kn = 0, yang
melengkapkan bukti tersebut.
Teorema 6

3. Jika T : V W adalah suatu transformasi linear maka yang berikut ini ekuivalen.
(a) T adalah satu – satu
(b) Kernel dari T hanya terdiri dari vektor nol; yaitu ker(T) = {0}
(c) Kekosongan(T) = 0.
Bukti
Kami meninggalkannya sebagai latihan sederhana untuk menunjukkan kesetaraan (b) dan (c);
kami akan melengkapi bukti tersebut dengan membuktikan kesetaraan (a) dan (b).
(a) (b): anggap T satu-satu, dan anggap v adalah sebarang vektor pada ke(T) karena v dan 0
keduanya terletak pada ker(T), kita dapatkan T(v) = 0 dan T(0) = 0, sehingga T(v) = T(0). Tetapu
ini mengimplikasikan bahwa v = 0, karena T satu-satu; jadi, ker(T) hanya berisi vektor nol.
(b) (a): Anggap ker(T) = {0} dan anggap v dan w adalah vektor-vektor berbeda pada V; yaitu
V – w 0 (1)
Untuk membuktikan bahwa T satu-satu kita harus menunjukkan bahwa T(v) dan T(w) adalah
vektor-vektor yang berbeda. Tetapi jika tidak demikian adanya, maka kitaakan mendapatkan
T(v) = T(w)
T(v) – T(w) = 0
T(v-w) = 0
Yang mengimplementasikan bahwa v – w berada dalam kernel dari T. karena ker(T) = {0}, hal
ini mengimplementasikan bahwa
v – w = 0
yang berkontradiksi dengan (1). Jadi, T(v) dan T(w) pastilah berbeda.
Teorema 7
Jika V adalah ruang vektor berdimensi terhingga, dan T : V V adalah suatu operator linear,
maka pernyataan – pernyataan berikut ini ekuivalen.
(a) T satu – satu
(b) Ker(T) = {0}
(c) Kekosongan(T) = 0
(d) Daerah hasil dari T adalah V; yaitu, R(T) = V
Bukti
Kita sudah tau bahwa (a), (b), dan (c) adalah ekuivalen, sehingga kita bisa menyelesaikan bukti
tersebut dengan membuktikan kesetaraan (c) dan (d).
(c) (d): anggap dim(V) = n dan kekosongan(T) = 0 dari teorema dimensi (teorema 5) kita
dapatkan bahwa.
Rank(T) = n – kekosongan(T) = n

4. Per definisi, rank(T) adalah dimensi daerah hasil dari T, sehingga daerah hasil dari T mempunyai
dimensi n. sekarang dari teorema 5.4.7 kita dapatkan bahwa daerahhasil dari T adalah V, karena
dua ruang tersebut mempunyai dimensi yang sama.
(d) (c): anggap dim(V) = n dan R(T) = V. Dari hubungan ini kita dapatkanbahwa dim(R(T)) =
n, atau secara ekuivalen, rank(T) = n. Jadi, dari teorema dimensi (teorema 5) kita dapatkan
bahwa
Kekosongan(T) = n – rank(T) = n – n = 0
Teorema 8
Jika T1 : U V dan T2 : V W adalah transformasi linear satu-satu, maka:
(a) T2 T1 satu-satu
(b) =
Bukti (a)
Kita ingin menunjukkan bahwa T2 T1 memetakan vektor-vektor berbeda pada U ke vektor-
vektor berbeda pada W. tetapi jika u dan v adalah vektor-vektor yang berbeda pada V karena T1
satu-satu. Hal ini danfakta bahwa T2 mengimplikasikan bahwa
T2(T1(u)) dan T2(T1(v))
Sehingga T2 T1 memetakan u dan v ke vektor-vektor berbeda ke W.
Bukti (b)
Kita ingin menunjukkan bahwa (w) = ( )(w)
Untuk setiap vektor w pada daerah hasil dari untuk tujuan ini anggap
u = (w) (3)
sehingga sasaran kita adalah menunjukkan bahwa
u = ( )(w)
tetapi dari (3) kita dapatkan bahwa
(u) = w
Atau secara ekuivalen
T2(T1(u)) = w
Sekarang dengan mengambil dari setiap ruas persamaan ini dan kemudian dari setiap
ruas hasilnya kita akan mendapatkan (tunjukkan)
u = ( (w))
u = ( )(w)

5. Teorema 9
Jika T : Rn Rm adalah suatu transformasi linear dan jika B dan Br adalah basis basis masing-
masing untuk Rn dan Rm, maka
[T]B
’
,B = [T]
Teorema ini mengatakan kepada kita bahwa pada kasus khusus dimana T memetakan Rn ke Rm,
matriks untuk T berkenaan dengan basis standar adalah matriks standar untuk T. pada kasus ini
rumus (4a) bagian ini tereduksi menjadi
[T]x = T(x)
Teorema 10
Jika T1 : U V dan T2 : V W adalah transformasi-transformasi linear, dan jika B, B’’, B’
masing masing adlah basis basis untuk U,V,dan W maka
B
’
,B = [T2] B
’
,B[T1] B
’
,B
Teorema 11
Jika T : V V adalah suatu operator linear, dan jika b adalah suatu basis untuk V, maka
pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen.
(a) T satu-satu
(b) [T]B dapat dibalik
Lebih jauh, jika syarat kesetaraan ini dipenuhi
[T-1]B = [T]B
-1
Teorema 12
Jika B dan Bt adalah basis basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V. dan jika I : V
V adalah operator identitas, maka [I] B
’
,B adalah matriks transisi dari B’ ke B
Bukti
Anggap B = {u1, u2, …., un} dan Bt = { u1’, u2’, …., un’} adalah basis basis untuk V. dengan
menggunakan fakta bahwa I(v) = v untuk semua v pada V, dari rumus dengan B dan Bt dibalik
kita dapatkan bahwa
[I] B,B’ = [[I(u1’)]B , [I(u2’)]B , ….. , [I(un’)]B]
= [[u1’]B , [u2’]B , ….. , [un’]B]
jadi dari persamaan, kita dapatkan [I] B,B’ = p, yg menunjukkan bahwa [I] B,B’ adalah matriks
transisi dari B’ ke B.
Teorema 13
Anggap T : V V adalah suatu operator linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V,
dan anggap B dan B’ adalah basis basis untuk V. Maka

6. [T]B’ = P-1[T]BP
Dimana P adalah matriks tansisi dari B’ ke B