Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas analisis sensitivitas pada permasalahan pemrograman linear. Secara singkat, analisis sensitivitas digunakan untuk mengetahui dampak perubahan parameter-parameter pada solusi optimal yang telah dicapai, dengan mengevaluasi bagaimana perubahan tersebut mempengaruhi nilai batas dan koefisien baris nol pada tabel optimal. Ada enam jenis perubahan yang dianalisis dalam analisis sensitivitas.
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
Limit fungsi dan kekontinuan. Dokumen ini membahas pengertian limit fungsi di satu titik secara intuitif dan matematis, serta hubungannya dengan kekontinuan fungsi. Juga dibahas tentang limit kiri, kanan, dan limit tak hingga.
Dokumen tersebut membahas dua metode untuk menyelesaikan masalah linear programming (LP) dengan fungsi tujuan minimisasi, yaitu metode perubahan fungsi tujuan menjadi maksimum dan metode langsung menggunakan fungsi tujuan minimisasi. Dokumen tersebut juga membahas penyelesaian masalah LP yang memiliki kendala lebih besar sama dengan dan sama dengan dengan menambahkan variabel buatan."
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi rasional pada pelajaran matematika. Terdapat pengertian fungsi rasional, contoh fungsi rasional, grafik fungsi rasional, dan langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas analisis sensitivitas pada permasalahan pemrograman linear. Secara singkat, analisis sensitivitas digunakan untuk mengetahui dampak perubahan parameter-parameter pada solusi optimal yang telah dicapai, dengan mengevaluasi bagaimana perubahan tersebut mempengaruhi nilai batas dan koefisien baris nol pada tabel optimal. Ada enam jenis perubahan yang dianalisis dalam analisis sensitivitas.
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
Limit fungsi dan kekontinuan. Dokumen ini membahas pengertian limit fungsi di satu titik secara intuitif dan matematis, serta hubungannya dengan kekontinuan fungsi. Juga dibahas tentang limit kiri, kanan, dan limit tak hingga.
Dokumen tersebut membahas dua metode untuk menyelesaikan masalah linear programming (LP) dengan fungsi tujuan minimisasi, yaitu metode perubahan fungsi tujuan menjadi maksimum dan metode langsung menggunakan fungsi tujuan minimisasi. Dokumen tersebut juga membahas penyelesaian masalah LP yang memiliki kendala lebih besar sama dengan dan sama dengan dengan menambahkan variabel buatan."
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi rasional pada pelajaran matematika. Terdapat pengertian fungsi rasional, contoh fungsi rasional, grafik fungsi rasional, dan langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan bentuk grafiknya, termasuk lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk setiap bentuk grafik.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat, termasuk bentuk umum fungsi kuadrat, sifat-sifat grafiknya, dan cara menentukan persamaan fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan seperti titik-titik, titik potong sumbu, dan titik puncak grafik.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
PT. Eb07 akan memproduksi kain sutra dan wol. Mereka memiliki keterbatasan sumber daya dan waktu. Metode simpleks digunakan untuk menentukan produksi optimal guna memaksimalkan laba. Hasilnya menunjukkan X2 = 20 sebagai produksi kain wol optimal.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.
Refleksi adalah transformasi geometri yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula. Terdapat beberapa jenis refleksi, yaitu refleksi terhadap sumbu koordinat, garis y=x, y=-x, dan garis x=k.
Teori permainan membahas situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan dengan asumsi setiap pemain bertindak secara rasional dan independen. Model permainan diklasifikasikan berdasarkan jumlah pemain dan strategi serta besarnya keuntungan. Solusi optimal diperoleh dengan menggunakan prinsip minimaks dan maximin."
Dokumen tersebut membahas berbagai sistem koordinat termasuk koordinat Kartesius, koordinat polar, koordinat tabung, dan koordinat bola beserta konversi antara sistem-sistem koordinat tersebut. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya terkait empat sistem koordinat utama.
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.
Fungsi dua variabel atau lebih merupakan pemetaan dari domain dua variabel atau lebih ke kodomain. Grafik fungsi dua variabel ditampilkan pada tiga sumbu koordinat. Level kurva merupakan proyeksi kurva pada bidang dua variabel bebas.
Aplikasi integral dalam bidang ekonomiNunu Nugraha
Dokumen tersebut membahas tentang penerapan integral dalam bidang ekonomi, khususnya untuk mendapatkan fungsi-fungsi ekonomi seperti biaya total, penerimaan total, konsumsi, tabungan, dan kapital dari turunan pertamanya. Secara khusus dijelaskan bagaimana fungsi tersebut dapat dihitung melalui integrasi dari fungsi marginalnya, dan beberapa contoh perhitungan fungsi ekonomi disajikan.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian pemrograman linier sebagai salah satu teknik operasi riset yang luas digunakan untuk mengalokasikan sumber daya terbatas secara optimal. Diberikan contoh soal pemrograman linier untuk memaksimalkan keuntungan produksi barang dengan kendala sumber daya dan contoh soal komposisi makanan dengan kendala gizi minimal dan maksimal.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan bentuk grafiknya, termasuk lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk setiap bentuk grafik.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat, termasuk bentuk umum fungsi kuadrat, sifat-sifat grafiknya, dan cara menentukan persamaan fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan seperti titik-titik, titik potong sumbu, dan titik puncak grafik.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
PT. Eb07 akan memproduksi kain sutra dan wol. Mereka memiliki keterbatasan sumber daya dan waktu. Metode simpleks digunakan untuk menentukan produksi optimal guna memaksimalkan laba. Hasilnya menunjukkan X2 = 20 sebagai produksi kain wol optimal.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.
Refleksi adalah transformasi geometri yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula. Terdapat beberapa jenis refleksi, yaitu refleksi terhadap sumbu koordinat, garis y=x, y=-x, dan garis x=k.
Teori permainan membahas situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan dengan asumsi setiap pemain bertindak secara rasional dan independen. Model permainan diklasifikasikan berdasarkan jumlah pemain dan strategi serta besarnya keuntungan. Solusi optimal diperoleh dengan menggunakan prinsip minimaks dan maximin."
Dokumen tersebut membahas berbagai sistem koordinat termasuk koordinat Kartesius, koordinat polar, koordinat tabung, dan koordinat bola beserta konversi antara sistem-sistem koordinat tersebut. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya terkait empat sistem koordinat utama.
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.
Fungsi dua variabel atau lebih merupakan pemetaan dari domain dua variabel atau lebih ke kodomain. Grafik fungsi dua variabel ditampilkan pada tiga sumbu koordinat. Level kurva merupakan proyeksi kurva pada bidang dua variabel bebas.
Aplikasi integral dalam bidang ekonomiNunu Nugraha
Dokumen tersebut membahas tentang penerapan integral dalam bidang ekonomi, khususnya untuk mendapatkan fungsi-fungsi ekonomi seperti biaya total, penerimaan total, konsumsi, tabungan, dan kapital dari turunan pertamanya. Secara khusus dijelaskan bagaimana fungsi tersebut dapat dihitung melalui integrasi dari fungsi marginalnya, dan beberapa contoh perhitungan fungsi ekonomi disajikan.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian pemrograman linier sebagai salah satu teknik operasi riset yang luas digunakan untuk mengalokasikan sumber daya terbatas secara optimal. Diberikan contoh soal pemrograman linier untuk memaksimalkan keuntungan produksi barang dengan kendala sumber daya dan contoh soal komposisi makanan dengan kendala gizi minimal dan maksimal.
Dokumen tersebut membahas model linear programming yang mencakup pengertian, contoh masalah, perumusan model, dan metode penyelesaian secara grafik dan matematis."
Dokumen tersebut membahas tentang program linier yang merupakan metode untuk mengalokasikan sumber daya terbatas antara beberapa aktivitas secara optimal. Ia menjelaskan definisi, model, variabel, dan asumsi dasar dari program linier serta contoh soal aplikasinya untuk menentukan jumlah produk yang harus diproduksi perusahaan secara maksimal.
Dokumen tersebut membahas tentang linear programming, termasuk pengertian, contoh masalah, perumusan model, dan metode penyelesaian secara grafis dan matematis menggunakan metode simpleks. Diberikan dua contoh soal untuk mendemonstrasikan proses perumusan model linear programming dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas perencanaan kapasitas produksi yang terdiri dari tiga jenis perencanaan berdasarkan waktu (jangka pendek, menengah, panjang) dan dua pengukuran sistem (utilisasi dan efisiensi). Dokumen ini juga menjelaskan metode perhitungan break even point untuk satu dan lebih produk serta penentuan kapasitas optimal menggunakan programming linear.
Bahan kuliah ini membahas tentang teknik riset operasi yang mencakup pendahuluan riset operasi, program linear menggunakan metode grafik dan simplek, dualitas dan analisis sensitivitas, persoalan penugasan, transportasi, dan jaringan. Juga dibahas contoh soal dan penyelesaiannya menggunakan teknik riset operasi."
Similar to ANALISIS SENSITIVITAS METODE GRAFIK.pptx (20)
3. Definisi :
Analisis sensitivitas digunakan untuk mengetahui dampak perubahan
kapasitas sumber daya yang sifatnya mengikat serta perubahan
koefisien fungsi tujuan terhadap nilai optimal.
Analisisi sensitivitas dirancang untuk mempelajari pengaruh
perubahan dalam parameter model LP terhadap pemecahan
optimum.
Analisis seperti ini memberikan karakteristik dinamis pada model yang
memungkinkan seorang analis untuk mempelajari perilaku
pemecahan optimum sebagai hasil dari perubahan dalam parameter
model.
4. Dalam PL, parameter (data input) dari model dapat diubah dalam batasan
tertentu, tanpa mengubah solusi optimal. Hal ini ditinjau dalam analisa
sensitivitas.
Pendekatan analisa sensitivitas:
secara grfafis
secara aljabar (metode simpleks)
2
2 / 15
Pemrograman Linier (6)
5. Dua hal yang ditinjau dalam analisa sensitivitas:
1. Sensitivitas dari solusi optimal terhadap
ketersediaan sumber daya (ruas kanan
kendala). Menentukan sumber daya yang bisa
ditambah atau dikurang.
2. Sensitivitas dari solusi optimal terhadap
perubahan profit/biaya (koefisien fungsi
objektif). Perbandingan antara perubahan
nilai Z terhadap perubahan ketersediaan
sumber ( shadow price )
Pemrograman Linier (6)
6. 1. Menentukan sumber daya yang bisa ditambah atau
dikurangi
Contoh
Suatu Perusahaan memproduksi dua produk dengan menggunakan dua
mesin. Satu unit produk 1 membutuhkan 2 jam proses pada mesin A dan
1 jam pada mesin B. Untuk satu unit produk 2, dibutuhkan 1 jam proses
pada mesin A dan 3 jam pada mesin B. Keuntungan per unit produk 1
dan produk 2 masing-masing adalah $30 dan $20. Ketersediaan jam kerja
harian untuk kedua mesin masing-masing adalah 8 jam.
Tentukan keuntungan harian maksimal untuk Perusahaan tsb,
dengan menggunakan metode grafis.
Pemrograman Linier (6)
7. Variabel keputusan:
x1: banyaknya produk 1 yang diproduksi per hari (unit)
x2: banyaknya produk 2 yang diproduksi per hari (unit)
Maks Z = 30x1 + 20x2
Dengan kendala:
2x1 + x2 ≤ 8 (mesin A)
x1 + 3x2 ≤ 8 (mesin B)
x1, x2 ≥ 0
Pemrograman Linier (6)
9. Pertanyaan :
Jika kapasitas mesin A ditingkatkan dari 8 jam/hari menjadi 9 jam/hari,
berapakah peningkatan keuntungannya?
Model PL menjadi:
Maks Z = 30x1 + 20x2
Dengan kendala:
2x1 + x2 ≤ 9 (mesin A)
x1 + 3x2 ≤ 8 (mesin B)
x1, x2 ≥ 0
Pemrograman Linier (6)
11. Dual price
zakhir −zawal
Dual price =
kapasitas akhir − kapasitas awal
Dual price mesin A =
142 − 128
= 14
9 −8
yang berarti: setiap penambahan [pengurangan] satu satuan kapasitas
mesin A akan menambah [mengurangi] fungsi objektif sebesar dual
price-nya.
Istilah lain: shadow price
9
9 / 15
Pemrograman Linier (6)
12. Dengan dual price $ 14 untuk mesin A, perubahan kapasitas mesin A
menyebabkan perubahan pada nilai fungsi objektif sbb:
Kapasitas
mesin A
(jam)
Nilai
fungsi objektif
($)
. .
.
6
7
.
100
114
8 128 solusi dari problem awal
9
10
142
156
.
. .
.
Pertanyaan : Dengan dual price $14, berapakah kapasitas minimum
dan maksimum dari mesin A?
10
10 / 15
Pemrograman Linier (6)
14. Feasibility range kapasitas mesin A
Dalam model, kendala yang berasal dari mesin A direpresentasikan oleh
kendala 1, yaitu:
2x1 + x2 ≤ 8
Dan telah diketahui bahwa dual price dari kapasitas mesin A adalah
$ 14/jam.
Pertanyaan: Dengan dual price $ 14, berapakah kapasitas minimum
dan maksimum dari mesin A?
Pemrograman Linier (6)
15. Feasibility range kapasitas mesin A
Titik terkiri kendala 1 : x1 = 0 ; x2 = 2.67
Kapasitas minimum mesin A = 2 × 0 + 1 × 2, 67 = 2, 67 jam
Titik terkanan kendala 1: x1 = 8; x2 = 0
Kapasitas maksimum mesin A = 2 × 8 + 1 × 0 = 16 jam
Jadi, untuk dual price $ 14, feasibility range dari kapasitas mesin A adalah:
2, 67 jam ≤ kapasitas mesin A ≤ 16 jam
Pemrograman Linier (6)
16. Tentukan dual price dan feasibility range untuk kapasitas mesin B!
Pemrograman Linier (6)
17. Pertanyaan 1:
Jika Perusahaan dapat meningkatkan kapasitas mesin A dan B,
mesin manakah yang mendapat prioritas tertinggi?
Disarankan untuk meningkatkan kapasitas mesin A dan B dengan
biaya tambahan $10/jam. Apakah saran ini dapat diterima?
Jika kapasitas mesin A ditingkatkan dari 8 jam/hari menjadi 13
jam/hari, berapakah nilai keuntungan optimal yang diperoleh?
Miaslkan kapasitas mesin A ditingkatkan menjadi 20 jam/hari.
Berapakah nilai keuntungan optimal yang diperoleh?
15
15 / 15
Pemrograman Linier (6)