linear programming

1. -LINEAR PROGRAMMING-

2.  Linear programming merupakan salah satu alat
untuk menyelesaikan masalah dalam hal
mencapai tujuan dengan cara menentukan
keputusan untuk mengalokasikan sumber daya
yang terbatas.
 Feasible Solution
 Variabel-variabel yang memenuhi persyaratan dalam
kendala/batasan
 Solusi optimal
 Feasible solution yang menghasilkan nilai fungsi
tujuan yang masksimal (jika fungsi tujuannya adalah
memaksimalkan); nilai fungsi tujuan yang minimal
(jika fungsi tujuannya adalah meminimalkan)

3. Karakteristik LP
 Fungsi Tujuan
 Pada umumnya perusahaan/organisasi
mempunyai tujuan memaksimalkan laba dan/atau
meminimalkan biaya.
 Hubungan fungsi matematis yang linear yang
menggambarkan tujuan dari perusahaan terkait
dengan dengan variabel keputusan
 Kendala/batasan & Variabel Keputusan
 Didalam usahanya mencapai tujuan tersebut, ada
kendala/batasan yang dapat mempengaruhi
keputusan dalam mengalokasikan sumber
dayanya (tenaga kerja, waktu, energi, bahan
baku, uang, dll)

4.  Contoh masalah yang dapat diselesaikan
dengan linear programming
 Manager pemasaran ingin mengalokasikan media
iklan (radio, televisi, koran, majalah) yang dapat
memaksimalkan efektifitas iklan.
 Seorang analis keuangan harus menentukan
investasi portfolio dari berbagai alternatif investasi
stock dan bond yang dapat memaksimalkan
return of investment.
 Sebuah perusahaan ingin menentukan jumlah
produk yang dikirim dari gudang yang tersedia ke
konsumen sehingga biaya transportasi menjadi
minimal

5.  Linear programming menggunakan model
matematika untuk menggambarkan
permasalahan.
 Linear:
 fungsi matematika dalam model bersifat linear
 perubahan dalam variabel keputusan
menghasilkan perubahan yang relatif sama dalam
nilai fungsi tujuan
 Programming: langkah-langkah dalam
memecahkan masalah atau untuk
mendapatkan solusi yang optimal

6. Latihan Fungsi Linear
 Jika, x, y, dan z adalah variabel keputusan,
tentukan mana diantara model matematika
berikut yang mempunyai fungsi linear?
 4x² + 3y +6z
 5x/y + z
 2xy + 8yz
 9x + 3y + ¾ z
 6x + 2x² + 5z³

7. Formulasi Model
 Langkah penting dalam formulasi model
1. Memahami permasalahan
2. Menjelaskan fungsi tujuan dalam bentuk kalimat
3. Menjelaskan tiap kendala/batasan dalam bentuk
kalimat
4. Menentukan keputusan variabel
5. Menulis fungsi tujuan dalam bentuk keputusan
variabel
6. Menulis fungsi kendala/batasan dalam bentuk
keputusan variabel

8. Bentuk Umum LP
Sumber/Kegiat
an
Pemakaian sumber/unit Kapasitas Sumber
1 2 3 … n
1 a11 a12 a13 … a1n b1
2 a21 a22 a23 … a2n b2
3 a31 a32 a33 … a3n b3
. . . . … . .
. . . . … . .
m am1 am2 am3 … anm bm
∆Z/unit c1 c2 c3 … cn
banyak kegiatan x1 x2 x3 … Xn

9.  Maksimumkan Z = c1x1+ c2x2+ c3x3+ … + cnxn
Batasan:
a11x1+ a12x2+ a13x3+… a1nxn < b1
a21x1+ a22x2+ a23x3+… a2nxn < b2
:
:
am1x1+ am2x2+ am3x3+… amnxn < bm
x1 > 0, x2 > 0, … xn> 0
Bentuk Umum LP

10. Sifat/Asumsi Model LP
 Proportionality
 Perubahan ukuran nilai variabel keputusan
menghasilkan perubahan yang relatif sama dalam
nilai fungsi
 Additivity
 Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi.
Tidak ada korelasi antara variabel keputusan.
 Divisibility
 Variabel keputusan dapat berupa pecahan (tidak
bulat)
 Deterministik
 Semua parameter dalam fungsi tujuan,
kendala/batasan diketahui dengan pasti (bukan

11. Contoh masalah LP
 Sebuah perusahaan mempunyai lini elektronik dan perakitan yang
dapat digunakan untuk memproduksi handphone dan tablet.
Perusahaan tersebut ingin menentukan jumlah handphone dan
tablet yang dapat menghasilkan keuntungan yang maksimum.
 Handphone:
 8 jam kerja elektronik
 7 jam perakitan
 Tablet
 4 jam kerja elektronik
 6 jam perakitan
 Waktu yang tersedia
 320 jam kerja elektronik
 420 jam perakitan
 Laba / unit: HP $6, Tablet $4
X1 = jumlah handphone yang diproduksi
X2 = jumlah tablet yang diproduksi

12. Formulasi Model
Maksimumkan Z = 6x1 + 4x2
Kendala
8x1 + 4x2 <= 320
7x1 + 6x2 <= 420
x1 >= 0
x2 >= 0
elektronik
perakitan

13. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
X2
X1

14. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
X1 = 0, X2 = 80
X1 = 40, X2 = 0
X2
X1
8X1 + 4X2 < 320
X1 , X2 > 0

15. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
X1 = 0, X2 = 70
X1 = 60, X2 = 0
X2
X1
7X1 + 6X2 < 420
X1 , X2 > 0

16. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
Area fisibel – yang memenuhi syarat batasan
X2
X1

17. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
X2
X1
(X1 ,X2 ) ?
Z = 6X1 + 4X2

18. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
X2
X1
(12,56); $296
8X1+ 4X2 = 320 –> dikali 7
7X1+ 6X2 = 420 –> dikali -8
56X1+ 28X2 = 2240
-56X1 -48X2 = -3360
0X1- 20X2 = -1120
X2 = 56
8X1 + 4(56) = 320
8X1 = 96
X1 = 12

19.  Keputusan
 Memproduksi Handphone (X1)sebanyak 56
dan memproduksi Tablet sebanyak (X2)12
karena memberikan keuntungan maksimum
sebesar $296.

20. Hal-lain yang perlu diperhatikan
dalam LP Metode Grafik
 Minimasi
 Garis Z digeser ke kiri
 Apabila batasan “hanya bertanda =“
 Daerah feasible solution untuk batasan tersebut
berada pada sepanjang garis tersebut

21. Metode Grafik
0 20 40 60 80
80
20
40
60
0
100
HP
Tablet
X2
X1
(12,56); $296
(40, 0); $240
Z= 6X1 + 4X2
(0, 70); $280
(0, 0); $0
Membandingkan nilai Z pada
tiap-tiap alternatif

22. Sebuah pabrik perabotan kecil menghasilkan meja dan kursi.
Diperlukan waktu 2 jam untuk merakit sebuah meja dan 30 menit
untuk merakit sebuah kursi.
Perakitan dikerjakan oleh empat karyawan atas dasar shift tunggal
selama 8 jam per hari. Para pelanggan biasanya membeli paling
banyak empat kursi untuk setiap meja, yang berarti bahwa pabrik
tersebut harus memproduksi jumlah kursi yang paling banyak empat
kali lebih banyak dari meja.
Harga penjualan adalah $135 per meja dan $50 per kursi.
Tentukan produksi harian meja dan kursi yang akan memaksimumkan
pendapatan harian total untuk pabrik tersebut.