Forum Turunan dan aplikasinya

1. Profesional Modul 3 - KB 4 - Turunan dan Aplikasinya
NAMA : ANITA ANGGRAENI
NO : 19022118010085
1. Periksa apakah persamaan diferensial (3y – 4x)dx + (y-x)dy = 0 homogen atau tidak
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa :
(3y – 4x)dx + (y-x)dy = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑦 − 4𝑥
𝑥 − 𝑦
𝑥 (3
𝑦
𝑥
− 4)
𝑥 (1 −
𝑦
𝑥
)
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
3
𝑦
𝑥
− 4
1 −
𝑦
𝑥
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Karena variabel persamaan diferensial di atas dapat ditulis kembali sebagai v =
𝑦
𝑥
, maka
persamaan diferensial ini homogen.
2. Persamaan differensial linier berikut:
Penyelesaian :
y2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0
y2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0
(y3 + y2)dx + (xy2 – y2)dy = 0
M( x,y) = y3 + y2 =>
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 1
N (x,y) = xy2 – y2 =>
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 1
Ternyata
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
dengan demikian persamaan diperensial eksak.
Dapat ditulis
𝜕𝑀
𝜕𝑥
= M(x,y) = y3 + y2
µ = M(x,y) = ∫(y3+y2)dx + p(y)
=
1
4
y4 +
1
3
y3 + p(y)
𝜕𝑀
𝜕𝑥
= xy2 + p’(y) = xy2 – y2
Didapat p’(y) = -y2, dan berarti p(y) = −
1
3
y3

2. Jadi solusi persamaan diferensial eksak y2(y+1)dx + y2(x-1) dy = 0 adalah :
µ (x,y) = C
(
1
4
y4 +
1
3
y3) + (−
1
3
y3) = C
1
4
y4 +
1
3
y3 -
1
3
y3 = C
1
4
y4 = C, C konstan sebarang
3. Selesaikanlah persamaan differensial linier berikut:
Penyelesaian :
(3x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0
(3x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0
M( x,y) = 3x + 2y =>
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2
N (x,y) = 2x + y =>
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 2
Ternyata
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
dengan demikian persamaan diferensial eksak.
Dapat ditulis
𝜕𝑀
𝜕𝑥
= M(x,y) = 3x + 2y
µ = M(x,y) = ∫(3x+2y)dx + p(y)
=
3
2
x2 + 2xy + p(y)
𝜕𝑀
𝜕𝑥
= 2x + p’(y) = 2x + y
Didapat p’(y) = y, dan berarti p(y) =
1
2
y2
Jadi solusi persamaan diferensial eksak (3x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0 adalah :
µ (x,y) = C
(
3
2
x2 +2xy) + (
1
2
y2) = C
3
2
x2 +2xy +
1
2
y2 = C, C konstan sebarang

3. 4. Lima ekortikus dalam suatu populasi sebesar1000 yang stabil secarasengaja ditulari
suatu penyakit menular untuk menguji teori sebaran epidemic yang memperkirakan
bahwa laju perubahan dalam populasi yang terinfeksi tersebut proporsional dengan
hasil kali jumlah tikus yang tertular dengan jumlah tikus yang tidak tertular.
Mengasumsikan bahwa teori tersebut adalah benar, berapa lama waktu yang
dibutuhkan sehingga setengah dari populasi tersebut menjadi tertular?
Penyelesaian :
Anggaplah N(t) melambangkan jumlah tikus yang tertular pada waktu t.
Kita mengetahui bahwa N(0)=5, dengan demikian 100 – N(t) adalah jumlah tikus yang
tidak tertular pada waktu t
Dimaka k adalah konstanta proporsionalitas. Karena laju perubahan tidak lagi proposional
terhadap jumlah tikut yang tertular saja. Sehingga kita memiliki berntuk diferensial
Pada saat t=0, N=5. Dengan dimasukan nilai-nilaike bentuk terkahir,
Sehingga C=1/99, maka
Kita mencari nilai t ketika N=500, setengah dari populasi. Dengan dimasukan N=500 ke
bentuk terakhir, maka t=0,00919/k unit waktu
Jadi waktu yang dibutuhkan sehingga setengah dari populasi menjadi tertular adalah t =
0.00919/k unit waktu

4. Semangat bapak ibu..................