Semoga bermanfaat :)

1. PERSAMAAN
DIFERENSIAL BIASA
P.D.B.
ORDER 1
P.D.B.
ORDER 2
P.D.B. ORDER
TINGGI
1. P.D PEUBAH
TERPISAH
2. P.D HOMOGEN
3. P.D LINEAR
4. P.D BERNOULLI
5. P.D NON
HOMOGEN
6. P.D EKSAK
7. FAKTOR
INTEGRASI
1. P.D
HOMOGEN
2. P.D NON
HOMOGEN
3. P.D EULER
CAUCHY
1. P.D
HOMOGEN
2. P.D NON
HOMOGEN

2. PDB ORDER 1
1. PD PEUBAH TERPISAH
 Bentuk Umum :
a. ),( yxf
dx
dy

)().( 21 yfxf
dx
dy

  dxxf
yf
dy
)(
)(
1
2
b. 0),(),(  dyyxgdxyxf
0)().()().( 2121  dyygxgdxyfxf
12 .
1
gf

0
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
 dy
yf
yg
dx
xg
xf
 Contoh :
a. 0cos.tansin.sin  xdyyydxx
0cos.tansin.sin  xdyyydxx
xy cos.sin
1

0
sin
tan
cos
sin
 dy
y
y
dx
x
x
0
sin
tan
cos
sin
  dy
y
y
dx
x
x
c
y
dy
x
xd
ln
coscos
)(cos
 
cdyy
x
lnsec
cos
1
ln  
cdy
yy
yy
y
x
ln
)tan(sec
)tan(sec
.sec
cos
1
ln 


 
cdy
yy
yyy
x
ln
)tan(sec
)tansec(sec
cos
1
ln
2



 
cdy
yy
yyd
x
ln
)tan(sec
)tan(sec
cos
1
ln 


 
cyy
x
ln)tanln(sec
cos
1
ln 
cxyy ln))(costanln(sec 
cxyy  ))(costan(sec
Misal
Ingat :
Misal

3. 2. PD DIFERENSIAL HOMOGEN
 Bentuk Umum
),( yxf
dx
dy

dimana ),( yxf adalah fungsi homogen derajat nol dalam )(lambda .
Definisi : ),( yxf disebut fungsi homogen derajat ndalam  jika
),(),( yxfyxf n
 
 Contoh
x
yxy
dx
dy
22

 ).(.......... i
Misal xuy 
dx
du
xu
dx
dy
 ).(.......... ii
Subsitusikan persamaan (ii) ke (i)
x
xuxux
dx
du
xu
222


x
uux
dx
du
xu
)1( 2


2
1 uu
dx
du
xu 
 
 x
dx
u
du
2
1
cx
d
lnln
sin1
cos
2


 

 
x
c
d ln
x
c
ln
x
c
u lnarcsin 
 Misal


4. x
c
x
y
lnarcsin 
x
c
x
y
lnsin
3. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
 Bentuk Umum
)()(. xqxpy
dx
dy
 )......(i
Penyelesaian
Misal :






dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy
vuy
)......(ii
Subsitusikan persamaan (ii) ke (i)
)()(.. xqxpvu
dx
du
v
dx
dv
u  )......(iii
Dari persamaan (iii) ambil dua persamaan sebagai berikut :
0)(..  xpvu
dx
dv
u
dan
)(xq
dx
du
v 

0)(..  xpvu
dx
dv
u
0)(. 





 xpv
dx
dv
u
0)(.  xpv
dx
dv
)(. xpv
dx
dv

  pdx
v
dv
 pdxvln

 pdx
ev
Subsitusi persamaan (v) pada persamaan berikutnya

)(xq
dx
du
v 

5. )(
1
xq
vdx
du

dxxq
e
du pdx
)(
1


dxxqedu pdx
)(. 

Cdxxqeu pdx
  
)(.
vuy 
  
 
pdxpdx
eCdxxqey )(.
 Contoh


cossec  r
d
dr
)......(i
Misal






 d
du
v
d
dv
u
d
dr
vur
)......(ii
Subsitusi persamaan (ii) ke (i)


cossec..  vu
d
du
v
d
dv
u )......(iii
Dari persamaan (iii) ambil dua persamaan sebagai berikut :

0sec..  

vu
d
dv
u )......(iii
0sec. 





 

v
d
dv
u


sec.v
d
dv

d
v
dv
  sec
 tanseclnln v
 tansec
1

v
Subsitusi persamaan (iv) ke persamaan (v)



cos
d
du
v )......(iii


ddu cos
tansec
1


 ddu cos)tan(sec 
 ddu   sin

6. Cu   cos
vur 
 Cr 

 

cos
tansec
1
4. PERSAMAAN BERNOULLI
 Bentuk Umum
n
yxqyxp
dx
dy
).().(  )......(i
Dimana n≠0 dan n≠1
Bagi persamaan (i) dengan
n
y
sehingga
)().(. 1
xqyxp
dx
dy
y nn
 
)......(ii
Misal :









dx
dy
yn
dx
dz
yz
n
n
)1(
1
)......(iii
Subsitusikan persamaan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh
)().(
)1(
1
xqzxp
dx
dz
n


)()1()1().( xqnnzxp
dx
dz
 )......(iv
Persamaan (iv) adalah persamaan diferensial linear
 Contoh
4
xyy
dx
dy
 ).....(i
4
xyy
dx
dy
 4
1
y

xy
dx
dy
y   34
)......(ii

7. Misal :















dx
dy
y
dx
dz
dx
dy
y
dx
dz
yz
4
4
3
3
1
3 )......(iii
Subsitusikan persamaan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh
xz
dx
dz

3
1
)......(iv
Misal :






dx
du
v
dx
dv
u
dx
dz
vuz
)......(v
Subsitusi persamaan (v) ke (iv)
xvu
dx
du
v
dx
dv
u 





 .
3
1
xvu
dx
du
v
dx
dv
u  .
3
1
3
1
)......(vi
Dari persamaan (vi) diambil 2 persamaan :
 0
3
1






 v
dx
dv
u
v
dx
dv

3
1
v
dx
dv
3
  dx
v
dv
3
x
ev
xv
3
3ln


Subsitusi nilai v pada persamaan berikutnya
 x
dx
du
v 
3
1

8.  


dx
e
x
du
xdxdue
x
dx
du
e
x
x
x
3
3
3
3
3
1
3
1
Ceu x
 3
ln
 Cee
y
vuy
yz
xx





33
3
3
3
ln
1
5. PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN-KOEFISIEN LINEAR
(P.D. NON HOMOGEN)
 Bentuk Umum
0)()(  dyrqypxdxcbyax
Atau
111 cybxa
cbyax
dx
dy


 ).....(i
Dimana 0, 1 cc dan 0
11

ba
ba
Terdapat 3 macam cara penyelesain, antara lain :
a. Bila 0c dan 01 c , maka persamaan (i) menjadi ;
11 byax
byax
dx
dy


 ).....(ii
b. Bila 0
11

ba
ba
, maka byax  dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari
ybxa 11  ,misalkan )(11 byaxkybxa 
Dengan pemisalan )........(iii
dx
dy
ba
dx
dz
byaxz






Subsitusikan persamaan (iii) ke persamaan (i) sebagai berikut :
a
ckz
cz
b
dx
dz
ckz
cz
a
dx
dz
b



















1
1
1
).....(iv

9. Persamaan (iv) adalah P.D. Peubah Terpisah
c. Bila 0, 1 cc dan 0
11

ba
ba
, maka langkah-langkah penyelesaiannya
sebagai berikut :
 Pandang





0
0
11 cybxa
cbyax
adalah dua garis yang berpotongan di suatu
titik, sebut ),( kh
 Misal
1
1
11
11
dx
dy
dx
dy
dydykyy
dxdxhxx






).....(v
 Subsitusikan persamaan (v) ke (i)
11111
11
1
1
)()(
)()(
ckybhxa
ckybhxa
dx
dy



1111111
11
1
1
ckbhaybxa
cbkahbyax
dx
dy


 ).....(vi
 Dari persamaan (vi) ambil





0
0
11 ckbha
cbkah
sebagai sistem persamaan
linear (SPL) dalam h dan k.
 Selanjutnya,
1111
11
1
1
ybxa
byax
dx
dy


 adalah P. D. Homogen.
 Contoh
dxyxdyyx )14()2( 
Jawab
2
14



yx
yx
dx
dy
).....(i
Persamaan (i) memenuhi ketiga syarat
 Misal
1
1
11
11
dx
dy
dx
dy
dydykyy
dxdxhxx






).....(ii
Dari persamaan (i) dan (ii)
2)()(
1)()(4
11
11
1
1



kyhx
kyhx
dx
dy
2
144
11
11
1
1



khyx
khyx
dx
dy
).....(iii
Dari persamaan (iii) dapat diambil

10. 





02
014
kh
kh
3
1
13
2
14




h
h
kh
kh
3
7
3
1
2
2



k
k
kh
11
11
1
1 4
yx
byx
dx
dy


 ).....(iv
Misal







1
1
1
1
11
dx
du
xu
dx
dy
uxy
).....(v
Subsitusikan persamaan (v) ke (iv)
4
1
3
4
1
3
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
11
11
1
1
)2)(2(
ln)2ln()2ln(
ln)2ln(
4
3
)2ln(
4
1
ln
)2(4
3
)2(4
1
lnln
)2()2(
4
1
1
4
)1(
)1(
)1(
)4(
)1(
)4(
4









































Cxuu
Cxuu
Cxuu
Cx
u
du
u
du
Cxdu
u
B
u
A
x
dx
du
u
u
u
u
dx
du
x
u
uu
u
u
dx
du
x
ux
ux
dx
du
xu
uxx
uxx
dx
du
xu
Subsitusikan kembali nilai u pada persamaan (v)
Misal

11. )........(..........)2)(2(
22
22
1111
4
1
3
1
11
1
11
4
1
3
1
1
1
1
viCyxyx
Cx
x
yx
x
yx
Cx
x
y
x
y






 





 















Mencari nilai x1 dan y1 dengan mensubsitusikan nilai h dan k pada persamaan
(ii)
3
7
3
1
111
111


yykyykyy
xxhxxhxx
Subsitusi nilai x1 dan y1 ke persamaan (vi)
Cyxyx
Cyxyx












































3
3
)32(
3
5
2
3
7
3
1
2
3
7
3
1
2
6. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK
 Bentuk Umum
0),(),(  dyyxNdxyxM ).....(i
Persamaan (i) disebut P. D. Eksak jika persamaan tersebut merupakan turunan
dari fungsi cyxu ),( , sehingga :
0





dy
y
u
dx
x
u
).....(ii
Dari persamaan (i) dan (ii), maka :
yx
u
y
M
ythd
diturunkan
x
u
M









2
)(
dan
yx
u
x
N
xthd
diturunkan
y
u
N









2
)(
Syarat P.D. Eksak :
x
N
y
M






12.  Contoh
0)(2 22
 dyyxxydx
Jawab
0)(2 22
 dyyxxydx ).....(i
x
y
M
xyM
2
2




x
x
N
yxN
2
22




Karena
x
N
y
M





, maka (i) adalah P. D. Eksak
).........(
2
2
2
2
iiyyxu
xxyu
xy
x
u
xyM







Cari y , dengan menurunkan u terhadap y
Cyyx
Cyxu
Cyyxu
Cy
dyyd
dy
d
y
dy
d
xyx
dy
d
xN
dy
d
x
y
u












32
32
3
2
2
222
2
2
3
1
),(
3
1
3
1






7. FAKTOR INTEGRASI
 Bentuk Umum
Jika 0),(),(  dyyxNdxyxM ).....(i tidak memenuhi syarat eksak
x
N
y
M





maka (i) dapat diubah menjadi P. D. Eksak dengan cara
mengalikan dengan faktor integrasi u, sehingga

13. 0),(),(  dyyxNudxyxMu ).....(ii
merupakan P. D. Eksak karena (ii) P.D. Eksak, maka (ii) memenuhi syarat
eksak
)..(..........
)()(
iii
y
u
M
x
u
N
x
N
y
M
u
x
u
N
x
N
u
y
u
M
y
M
u
Nu
x
Mu
y


































Nilai u dapat dicari melalui persamaan (iii). Ada banyak kemungkinan untuk
u, antara lain :
a. Bila faktor integrasi u hanya tergantung dari x saja
0,)( 






y
u
dx
du
x
u
xuu ).....(iv
Subsitusikan persamaan (iv) ke (iii)







































dx
N
x
N
y
M
eu
dx
N
x
N
y
M
u
du
dx
du
N
x
N
y
M
u
dx
du
N
x
N
y
M
u 0
b. Bila faktor integrasi u hanya tergantung dari y saja
dy
du
y
u
x
u
xuu 





 ,0)( ).....(v
Subsitusikan persamaan (v) ke (iii)





























dy
M
x
N
y
M
eu
dy
M
x
N
y
M
u
du
dy
du
M
x
N
y
M
u 0
c. Bila faktor integrasi u hanya tergantung pada )( yx 

14. ).....(
)(')1(.
)('.
1,1)(
vi
zu
z
u
dy
dz
z
u
y
u
zu
z
u
dx
dz
z
u
x
u
dy
dz
dx
dz
yxzuu




























Subsitusikan persamaan (vi) ke (iii)
dz
MN
x
N
y
M
u
du
MN
x
N
y
M
u
zu
zuMN
x
N
y
M
u
zuMzuN
x
N
y
M
u








































)('
)(')(
))('()('.
d. Bila faktor integrasi u hanya tergantung pada ).( yx saja
).....(
).('.
).('.
,.)(
vii
xzu
dy
dz
z
u
y
u
yzu
dx
dz
z
u
x
u
x
dy
dz
y
dx
dz
yxzuu






















Subsitusikan persamaan (vii) ke (iii)
dz
MxNy
x
N
y
M
u
du
MxNy
x
N
y
M
u
zu
zuMxNy
x
N
y
M
u
xzuMyzuN
x
N
y
M
u
 











































)('
)(')(
)('.)('.
e. Bila faktor integrasi u hanya tergantung pada )( 22
yx  saja

15. ).....(
2)..('.
2).('.
2,2)( 22
viii
yzu
dy
dz
z
u
y
u
xzu
dx
dz
z
u
x
u
y
dy
dz
x
dx
dz
yxzuu






















Subsitusikan persamaan (viii) ke (iii)
dz
yMxN
x
N
y
M
u
du
yMxN
x
N
y
M
u
zu
zuyMxN
x
N
y
M
u
yzuMxzuN
x
N
y
M
u
 











































22
22
)('
)(')22(
2)('.2)('.
 Contoh
Tentukan penyelesaian umum dari 0)1()23( 2
 dyxdxy mempunyai
faktor integrasi hanya fungsi dari x
Jawab
2
23




y
M
yM
x
x
N
xN
2
12




Karena
x
N
y
M





maka (i) bukan P. D. Eksak

16. 2
2
)1ln(ln
)1ln(2ln
)1)(1(
)1(2
ln
1
22
0








































 
 
xu
xu
dx
xx
x
u
dx
x
x
u
du
dx
N
x
N
y
M
u
du
dx
du
N
x
N
y
M
u
dx
du
N
x
N
y
M
u
2
)1(
1


x
u kalikan dengan persamaan (i)
0
)1(
)1(
)1(
)23(
2
2
2






dy
x
x
dx
x
y
2
2
)1(
2
)1(
23








xy
M
x
y
M
22
2
2
)1(
2
)1(
)1()1(
)1(
)1(
)1)(1(
)1)(1(
)1(
1

















xx
xx
x
N
x
x
xx
xx
x
x
N
x
N
y
M





y
x
y
u
y
x
yu
x
y
du
x
y
x
u
x
y
M




















 
)1(
32
)1(
1
)23(
)1(
23
)1(
23
)1(
23
2
2
2
Cari y , dengan menurunkan u terhadap y

17. Cy
x
y
cyxu
y
x
y
u
y
dyd
x
x
dy
d
dy
d
xx
x
dy
d
x
N
dy
d
xy
u



























)1(
32
),(
)1(
32
)1(
2)1(
)1(
2
)1(
)1(
)1(
2
)1(
2





