סיכום זה כולל בין השאר כל מיני נושאים: תורת המספרים, משפט השאריות הסיני, תורת החבורות, תורת החוגים והשדות, משפט פרמה הקטן, משפט אוליר,אידאלים, חוגי מנה, משפט לגרנז', חבורות ציקליות, חבורות אבליות, חוגי פולינומים, מציין של איבר בשדה, ועוד.... סיכומים נוספים ניתן למצוא באתר - http://www.letach.net

1. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬‫תשע"ד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬
I ‫חלק‬
‫המספרים‬ ‫בתורת‬ ‫נושאים‬
‫שארית‬ ‫עם‬ ‫חילוק‬ 1
:N ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬
,N‫ל־‬ ‫חלקית‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ A ‫קבוצה‬ ‫בכל‬ ‫־‬ ‫הטוב‬ ‫הסדר‬ ‫עיקרון‬ .1
.‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫שהוא‬ ‫איבר‬ ‫יש‬
‫מספריים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .2
:‫דברים‬ ‫שני‬ ‫שמקיימת‬
.1 ∈ A (‫)א‬
.n + 1 ∈ A ‫אזי‬ n ∈ A ‫אם‬ (‫)ב‬
A = N ‫אזי‬
‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫השלמה‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .3
:‫שמקיימת‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬
.1 ∈ A (‫)א‬
.n ∈ A ‫אזי‬ k ∈ A ‫מתקיים‬ k < n ‫לכל‬ ‫אם‬ (‫)ב‬
A = N ‫אזי‬
.‫שקולות‬ ‫הטענות‬ ‫ששלושת‬ ‫להוכיח‬ ‫ניתן‬
:Z ‫של‬ ‫בסיסית‬ ‫תכונה‬
‫קיימים‬ ,n > 0 a, n ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 1.1 ‫משפט‬
‫כאשר‬ a = q · n + r ‫ש־‬ ‫כך‬ q, r ‫יחידים‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬
1
.0 ≤ r < n
.(q = 4, r = 3) .a = 4 · 5 + 3 ⇐ a = 23, n = 5 :‫דוגמה‬
:Z ‫של‬ ‫נוספת‬ ‫תכונה‬
.n‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫שארית‬ ‫נקרא‬ r‫ו־‬ ,‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q1
‫ביחס‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬A ⊆ Z ‫תהי‬ 1.2 ‫למה‬
.A = d · Z‫ש־‬ ‫כך‬ d ∈ Z ‫קיים‬ ‫אז‬ 2
‫לחיסור‬
,d · Z = d · Z m ∈ Z = :‫כאשר‬
.d ‫של‬ ‫השלמות‬ ‫הכפולות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬
.4 · Z = {−12, −4, 8, 32, −40, ...} :‫למשל‬
‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2
‫התחלקות‬ ‫יחס‬ 2.1
b‫ש־‬ ‫)או‬ b ‫את‬ ‫מחלק‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬ a, b ∈ Z ‫עבור‬ 2.1 ‫הגדרה‬
.a·k = b‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫קיים‬ ‫אם‬ a | b ‫ורושמים‬ (a ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬
....6 3 ‫אבל‬ ,3 | 6 :‫למשל‬
‫ההתחלקות‬ ‫יחס‬ ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ 2.1.1
.‫וטרנזיטיבי‬ ‫רפלקסיבי‬ .1
.a = ±b ‫אזי‬ b | a‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .2
.a | xb + yc ∀x, y ∈ Z :‫אזי‬ a | c‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .3
‫מספר‬ ‫זהו‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ .a, b ∈ Z ‫יהיו‬ 2.2 ‫הגדרה‬
. c | d ‫וגם‬ c | a ‫שמקיים‬ c ∈ Z ‫שלם‬
‫זהו‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ (gcd ‫או‬ ‫)ממ"מ‬ ‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2.3 ‫הגדרה‬
:‫הבאות‬ ‫התכונות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ d ‫שלם‬ ‫מספר‬
.d | b ‫וגם‬ d | a .1
:‫)במילים‬ .c | d ‫גם‬ ‫אזי‬ c | b ‫וגם‬ c | a ‫מקיים‬ c ∈ Z ‫אם‬ .2
.(d ‫־‬ ‫ה־ממ"מ‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫לחלק‬ ‫חייב‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫מחלק‬ ‫כל‬
.18‫ו־‬ 12 ‫של‬ ‫ממ"מ‬ ‫הם‬ −6 ‫וגם‬ 6 ‫גם‬ :‫דוגמא‬
‫משותף‬ ‫מחלק‬ ‫הוא‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ a = b = 0 ‫אם‬ 2.4 ‫הערה‬
.b‫ו־‬ a‫ל־‬ ‫ממ"מ‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ b‫ו־‬ a ‫של‬
‫ואין‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ"מ‬ ‫הם‬ ±a ‫אז‬ b = 0‫ו־‬ a = 0 ‫אם‬ 2.5 ‫הערה‬
.‫אחרים‬
d ‫ממ"מ‬ ‫קיים‬ ,a, b = 0 ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 2.6 ‫משפט‬
.d = xa + yb x, y ∈ Z ‫בצורה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ ‫והוא‬
.6 = 3 · 18 + (−4) · 12 ‫או‬ ,6 = 1 · 18 + (−1) · 12 :‫למשל‬
‫אזי‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ"מ‬ ‫הם‬ d1, d2 ‫כי‬ ‫ונניח‬ a, b ∈ Z 2.7 ‫הערה‬
.(d1 | d2, d2 | d1 ‫להתקיים‬ ‫צריך‬ ‫ההגדרות‬ ‫ע"פ‬ ‫)כי‬ .d1 = ±d2
‫כדי‬ ‫)עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הממ"מ‬ 2.8 ‫מסקנה‬
.(‫סימן‬
‫ואחד‬ ‫חיובי‬ ‫אחד‬ ‫ממ"מ‬ ‫שני‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ‫מאפס‬ ‫שונים‬ a.b ‫אם‬
.‫החיובי‬ ‫מינוס‬ ‫שהוא‬
.a, b ‫של‬ (‫)והיחיד‬ ‫החיובי‬ ‫של‬ ‫הממ"מ‬ ‫הוא‬ gcd (a, b) :‫סימון‬
.gcd (a, b) = gcd (−a, b) = gcd (a, −b) = gcd (−a, −b)
.gcd (a, b) = 1 ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫הם‬ a, b ∈ Z ‫מספרים‬ ‫שני‬ 2.9 ‫הגדרה‬
‫הם‬ x, y .xa + yb = 1 :‫שמתקיים‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ ,‫לכן‬
.Be'zout ‫מקדמי‬
.a, b ∈ A ⇒ a − b ∈ A :‫כלומר‬2
1

2. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬‫תשע"ד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ 2.2
‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫ממ"מ‬ ‫למצוא‬ ‫היא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫)המטרה‬
.(‫טבעיים‬
.a, b ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫זוג‬ :‫קלט‬
.gcd (a, b) :‫פלט‬
q, r ∈ Z ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫כלומר‬ ,‫שארית‬ ‫עם‬ b‫ב־‬ a ‫את‬ ‫חלק‬ .1
.0 ≤ r < b‫ו־‬ a = qb + r‫ש־‬ ‫כך‬
:r > 0 ‫אם‬ .2
.(a‫ל־‬ b ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫)הכנס‬ .a ← b (‫)א‬
.b ← r (‫)ב‬
.1‫ל־‬ ‫חזור‬ (‫)ג‬
.b ‫את‬ ‫כפלט‬ ‫החזר‬ .3
‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫למצוא‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫בעזרת‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬
.‫הצבה‬ ‫באמעות‬ ‫איך‬ .(Be'zout ‫)מקדמי‬ gcd (a, b) = xa + yb
:‫הבאה‬ ‫בדוגמא‬ ‫הסבר‬
:gcd (76, 14) ‫את‬ ‫אוקלידס‬ ‫ע"פ‬ ‫נמצא‬
76 = 5 · 14 + 6 (1)
14 = 2 · 6 + 2 (2)
6 = 2 · 3 + 0 (3)
gcd (76, 14) = 2
‫השורה‬ ,‫אחרונה‬ ‫לפני‬ ‫האחת‬ ‫)השורה‬ (2) ‫משורה‬ ‫נתחיל‬ ‫כעת‬
:(‫כשארית‬ ‫הממ"מ‬ ‫לנו‬ ‫מופיע‬ ‫שבה‬
‫השארית‬ ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫למעלה‬ ‫שורה‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬ ,2 = 1·14−2·6
‫ואז‬ ,6 = 1·76−5·14 :‫נקבל‬ ,6 ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ ‫ונציב‬
‫ממשיכים‬ ‫היינו‬ ‫שורות‬ ‫יותר‬ ‫היו‬ ‫אם‬ ,‫שקיבלנו‬ ‫במה‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נציב‬
:(‫האחרונה‬ ‫השורה‬ ‫עד‬ ‫ככה‬
2 = 1 · 14 − 2 · (1 · 76 − 5 · 14) = 1 · 14 − 2 · 76 + 10 · 14 =
−2 · 76 + 11 · 14 ⇒ 2 = −2 · 76 + 11 · 14
!‫שרצינו‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫וקיבלנו‬
Zn‫ב־‬ ‫הופכי‬ ‫חישוב‬ 3
.Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} :‫תזכורת‬
‫עבור‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ Zn ‫על‬ (·n) n ‫מודולו‬ ‫כפל‬ 3.1 ‫הגדרה‬
.
a · b
n
‫מ־‬ ‫השארית‬ ‫היא‬ a ·n b ,a, b ∈ Zn
‫לכפל‬ ‫ביחס‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫קיים‬ ‫אז‬ ,0 = a ∈ Zn ‫יהי‬ 3.2 ‫טענה‬
3
.gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬
.a · a−1 = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a−1 ∈ Zn ‫קיים‬ ,‫כלומר‬3
Zn‫ב־‬ a ‫איבר‬ ‫של‬ ‫הופכי‬ ‫לחישוב‬ ‫הדרך‬ 3.1
.(‫אוקלידס‬ ‫)לפי‬ gcd (a, n) ‫את‬ ‫מחשבים‬ .1
!Zn‫ב־‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫אין‬ ‫־‬ gcd (a, n) = 1 ‫אם‬
‫־‬ ‫ואז‬ 1 = xa + yn‫ש־‬ ‫כך‬ ‫שלמים‬ x, y ‫מוצאים‬ ‫אחרת‬ .2
.a−1
= x (mod n)
‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ a, b ∈ Z
. gcd (a, b) = xa + yb
.1 = xa + yb :‫אזי‬ ,‫זרים‬ b‫ו־‬ a ‫ואם‬
‫החד־‬ ‫הפריקות‬ ‫ומשפט‬ ‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ 4
‫ערכית‬
gcd (a, b) = 1‫ו־‬ a | b · c ‫אם‬ .0 = a, b, c ∈ Z ‫יהיו‬ 4.1 ‫למה‬
.a | c ‫אז‬
‫רק‬ ‫שמתחלק‬ p > 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ 4.2 ‫הגדרה‬
.±p‫וב־‬ ±1‫ב־‬
:‫הערות‬ ‫כמה‬
p | a ⇔ p | a·b :a, b ∈ Z :‫עבור‬ ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬ .1
.p | b ‫או‬
.1 ≤ i ≤ k ‫עבור‬ p | ai ⇐ p | a1 · a2 · · · ak .2
‫אז‬ ,‫ראשוניים‬ q1, . . . , qn ‫כאשר‬ p | q1 · q2 · · · qn ‫אם‬ .3
.1 ≤ i ≤ n ‫עבור‬ p = qi
:‫ומתקיים‬ ‫ראשוניים‬ q1, q2, . . . , qm, p1, p2, . . . , pn ‫אם‬ .4
‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫וכל‬ n = m ‫אזי‬ p1 · · · pn = q1 · · · qm
‫מספר‬ ‫אותו‬ ,‫השני‬ ‫באגף‬ ‫גם‬ ‫מופיע‬ ‫האגפים‬ ‫באחד‬ ‫שמופיע‬
.‫פעמים‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬ n > 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ 4.3 ‫טענה‬
.‫ראשוניים‬
‫הפריקות‬ ‫]משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫)המשפט‬ 4.4 ‫משפט‬
‫של‬ ‫למכפלה‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n > 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ :([‫ערכית‬ ‫החד‬
‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬
.‫הראשוניים‬
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬
:‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n > 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
.n = pk1
1 , pk2
2 , . . . , pkm
m
‫ראשוניים‬ p1 < p2 < p3 < · · · < pm ,N m ≥ 1 ‫כאשר‬
‫ההצגה‬ ‫־‬ ‫יקרא‬ ‫זה‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .‫שונים‬
.n ‫של‬ (‫)הנורמלית‬ ‫הקנונית‬
.n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫־‬ ν (n) :‫מסמנים‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬
:‫אז‬ (‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ .n = pk1
1 , pk2
2 , . . . , pkm
m ‫אם‬
ν (n) =
m
i=1
(ki + 1)
2

3. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬‫תשע"ד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
(‫)חפיפה‬ ‫קונגרואנציה‬ 5
a, b ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫עבור‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.1 ‫הגדרה‬
‫ורושמים‬ n | (a − b) ‫אם‬ n ‫מודולו‬ b‫ל־‬ ‫קונגרואנטי‬ a‫ש־‬ ‫נאמר‬
.a ≡ b (mod n)
:‫המשמעות‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.a ≡ b (mod n) ⇔ a = n · k + b
.k ∈ Z
:‫ז"א‬ ,a (mod n) = b (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n) :‫הערה‬
⇔ .n‫ב־‬ ‫אותם‬ ‫מחלקים‬ ‫כאשר‬ ‫שארית‬ ‫אותה‬ ‫משאירים‬ a, b
.k ∈ Z, a = k · n + b
.Z ‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ (n ‫מודולו‬ '‫)קונ‬ ‫זה‬ ‫יחס‬ .1
‫שניים‬ ‫אף‬ ‫־‬ 0, 1, ..., n − 1 ‫השלמים‬ ‫במספרים‬ ‫נסתכל‬ .2
‫מספר‬ ‫וכל‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫יאנם‬ ‫אלה‬ ‫ממספרים‬
‫מהמספרים‬ ‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫הוא‬ a ‫מודול‬ ‫שלם‬
.‫בלבד‬ ‫הללו‬
:‫אז‬ ,c = d (mod n)‫ו־‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .3
a ± c ≡ b ± d (mod n) (‫)א‬
.ac ≡ bd (mod n) (‫)ב‬
:‫נובע‬ 3‫מ־‬ .4
.a ˙±c ≡ b ˙±c (mod n) ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)א‬
ak
≡ bk
‫־‬ k ∈ N ‫לכל‬ ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)ב‬
.(mod n)
gcd (c, n) = 1‫ו־‬ ac ≡ bc (mod n) ‫אם‬ .5
.a ≡ b (mod n) ‫אז‬
.a ≡ b (mod n) ⇐ ac ≡ bd (mod n) ‫בד"כ‬ ‫אבל‬
a
d ≡ b
d (mod n
d ) ⇔ :a, b, n ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ d‫ש־‬ ‫נניח‬ .6
.a ≡ b (mod n)
.a ≡ b (mod m) ‫אז‬ m | n ‫ואם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .7
⇔ a ≡ b (mod m) ‫וגם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .8
.l = lcm (a, b) ‫כאשר‬ a ≡ b (mod l)
a ≡ b (mod n) :‫אז‬ ‫זרים‬ m, n ‫אם‬ :8‫מ־‬ ‫מסקנה‬ .9
.a ≡ b (mod n · m) ⇔ a ≡ b (mod m) ‫ו־‬
:‫אזי‬ ‫שונים‬ ‫ראשוניים‬ p, q ‫אם‬ :‫בפרט‬ .10
a ≡ b ‫וגם‬ a ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ b (mod p · q)
.(mod q)
n ‫מודולו‬ ‫הפיכות‬ 5.1
‫קיים‬ ‫אם‬ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫שמספר‬ ‫אומרים‬ 5.2 ‫הגדרה‬
.a · b = 1 (mod n) ‫ש־‬ ‫כך‬ b ‫שלם‬ ‫מספר‬
.3 · 7 = 1 (mod 10), 3 · 17 = 1 (mod 10) :‫למשל‬
.gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ 5.3 ‫משפט‬
‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ gcd (a, n) = 1 ‫אם‬ 5.1.1
?n
1 =‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫מוצאים‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ע"י‬
.n ‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x ‫ואז‬ xa + yn
‫ראשונה‬ ‫ממעלה‬ ‫קונגרואנציות‬ ‫פתרון‬ 5.2
.2x ≡ 3 (mod 5) :‫הבאה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫רוצים‬
.(‫אותה‬ ‫שמקיימים‬ x‫ה־‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ,‫)כלומר‬
:3‫ב־‬ ‫שנכפול‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬
.6x ≡ 9 (mod 5) ⇒ x ≡ 4 (mod 5)
‫יש‬ ax ≡ b mod n '‫לקונ‬ a, b ∈ Z‫ו־‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.4 ‫משפט‬
:‫מהצורה‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬ gcd (a, n) | b ⇔ ‫פתרון‬
‫אחרות‬ ‫]במילים‬ d = gcd (a, n) ‫כאשר‬ x ≡ c (mod b
d )
.[n ‫מודולו‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬
‫פתרון‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ ‫אז‬
?ax ≡ b (mod n) ‫לקונגרואנציה‬
.(!‫פתרון‬ ‫אין‬ ‫)אחרת‬ .gcd (a, n) | b‫ש־‬ ‫מוודאים‬ .‫א‬
.(‫וזרים‬ ‫שלמים‬ a
d , n
d ) a
d x ≡ b
d (mod n
d ) :‫את‬ ‫פותרים‬ .‫ב‬
‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ a
d ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ .‫ג‬
‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x ‫־‬ ‫ואז‬ (x, y ∈ Z ‫)כאשר‬ 1 = a
d x + n
d y‫ש־‬ ‫כך‬
.a
.x‫ב־‬ ‫כולה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫כופלים‬ .‫ד‬
.p | b ‫וגם‬ p | a‫ש־‬ ‫כך‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫אין‬ ⇔ gcd (a, b) = 1
.n‫ל־‬ ‫זרים‬ a · b ⇔ n‫ל־‬ ‫זר‬ b‫ו־‬ n‫ל־‬ ‫זר‬ a :‫חשובה‬ ‫עובדה‬
‫ערכית‬ ‫החד־חד‬ ‫הפריקות‬ ‫משפט‬ 6
‫הפריקות‬ ‫)משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 6.1 ‫משפט‬
:(‫ערכית‬ ‫החד־חד‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫של‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראושניים‬
.‫הראושניים‬
:‫המשפט‬ ‫להצגת‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬
:‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
p1 p2 · · · ‫ו־‬ 1 ≤ m ∈ N ‫כאשר‬ n = pk1
1 · pk2
2 · · · pkm
m
‫זאת‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .(‫)שונים‬ ‫ראשוניים‬ pm
.n ‫של‬ (‫)נורמלית‬ ‫הקנונית‬ ‫ההצגה‬ ‫נקראת‬
?4
n‫ל־‬ ‫יש‬ ‫מחלקים‬ ‫כמה‬ :‫שאלה‬
‫המחלקים‬ ‫אזי‬ ,(‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ n = pk1
1 ·pk2
2 · · · pkm
m ‫אם‬ :‫תשובה‬
:‫בדיוק‬ ‫הם‬ n ‫של‬ ‫הטבעים‬
.0 ≤ αi ≤ ki ‫כאשר‬ pα1
1 · pα2
2 · · · pαm
m
.(α1 + 1) (α2 + 1) · · · (αm + 1) :‫הוא‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬
.n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ = ν (n) :‫סימון‬
:‫אזי‬ ,n = pα1
1 · pα2
2 · · · pαm
m ‫אם‬
ν (n) =
m
i=1
(αi + 1)
‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ,2 ‫עבור‬ ‫אפרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ,150 = 2 · 3 · 52 :‫למשל‬4
‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬ ,(‫בריבוע‬ ‫שהוא‬ ‫)בגלל‬ 5 ‫עבור‬ ‫אפשרויות‬ 3‫ו־‬ ,3 ‫עבור‬
.2 · 2 · 3 = 12 ‫הינו‬ 150
3

4. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ 7
:‫עי‬ ‫שמוגדרת‬ ϕ : N → N ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬
‫שווים‬ ‫או‬ ‫קטנים‬ ‫אשר‬ (k) ‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫=מספר‬ ϕ (n)
.n‫ל־‬ ‫וזרים‬ (n ≥) n‫ל־‬
. ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (10) = 4 :‫למשל‬
.ϕ (p) = p − 1 ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 7.1 ‫הערה‬
n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ 7.1
‫שאף‬ b1, . . . , bn ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ n ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.2 ‫הגדרה‬
.n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫מהם‬ ‫שנים‬
.n = 5 : 10, 21, 32, 54 ,n = 3 : 3, 7, 8 :‫למשל‬
n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ 7.2
:n‫ל־‬ ‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n) ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.3 ‫הגדרה‬
.n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫אינם‬ ‫מהם‬ ‫שניים‬ ‫שאף‬ ,b1, . . . bϕ(n)
.n = 10 : 1, 3, 7, 9, n = 8 : 1, 3, 5, 7 :‫למשל‬
:‫הערות‬ ‫מספר‬
.1
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬
‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫יהיה‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n
.‫בלבד‬ ‫־ים‬bi
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬
‫יהיה‬ n‫ל־‬ ‫הזר‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬
.‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬
.2
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬
ab1 + :‫אז‬ gcd (a, n) = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a, k ∈ Z ‫ואם‬ ,n
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ k, . . . , abn+k
.n
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬
‫גם‬ ‫אז‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ a ‫ואם‬ n ‫מודולו‬
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ ab1, . . . , abϕ(n)
.n ‫מודולו‬
‫של‬ ‫שלמות‬ ‫מערכות‬ ‫הן‬ c1, . . . , cn‫ו־‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ .3
‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫רונגרואנטי‬ ci ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬
‫גם‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫עבור‬ ‫דומה‬ ‫)טענה‬ .‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬
.(‫נכונה‬
‫בדיוק‬ ‫מכילה‬ b1, . . . , bn :n ‫מודולו‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫כל‬ .4
.n‫ל־‬ ‫הזרים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n)
‫הם‬ m, n ‫אם‬ :‫הבא‬ ‫במובן‬ ‫כפלית‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ϕ 7.4 ‫משפט‬
.ϕ (m · n) = ϕ (m) · ϕ (n) :‫אז‬ ,‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬
:‫אז‬ ,‫בזוגות‬ ‫זרים‬ n1, ..., nk ‫אם‬ 7.5 ‫מסקנה‬
.ϕ (n1 · n2 · · · nk) = ϕ (n1) · ϕ (n2) · · · ϕ (nk)
:‫אזי‬ , ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n‫ו־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫יהי‬ 7.6 ‫טענה‬
.ϕ (pn
) = pn
− pn−1
:‫כך‬ ‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ ‫את‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬
ϕ (n) = n ·
m
i=1
1 −
1
pi
:‫מקובל‬ ‫יותר‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬
ϕ (n) = n ·
p|n
1 −
1
p
..(n ‫את‬ ‫המחלק‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ p | n)
‫אוילר‬ ‫משפט‬ 8
:‫אזי‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ a ‫ויהי‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬
aϕ(n)
≡ 1 (mod n)
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ 9
:‫מתקיים‬ p‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אז‬ , ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬
ap−1
≡ 1 (mod p)
.(‫אוילר‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬
4

5. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬ 9.1
.ap−1
≡ 1 (mod p) :1 ≤ a p ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬
:‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫למשפט‬ ‫ההפוך‬ ‫המשפט‬
an−1
≡ 1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n .1 n ∈ N ‫יהי‬ 9.1 ‫משפט‬
.1 ≤ a n ‫לכל‬
:‫שמקיימים‬ ‫ראשוניים‬ ‫לא‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫קיימים‬ 9.2 ‫הערה‬
.n‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ an−1
≡ 1 (mod n)
.561 = 3 · 11 · 17 ‫הוא‬ ‫זאת‬ ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫המספר‬
.‫קריימקל‬ ‫מספרי‬ ‫נקראים‬ ‫אלו‬ ‫מספרים‬
:a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 9.3 ‫משפט‬
.ap
≡ a (mod p)
‫וילסון‬ ‫משפט‬ 10
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ n 1 ‫יהי‬ 10.1 ‫משפט‬
.(n − 1)! ≡ −1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n
II ‫חלק‬
‫חבורות‬
‫הגדרה‬ 11
‫פעולה‬ ‫מוגדרת‬ ‫שעליה‬ G ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫חבורה‬ 11.1 ‫הגדרה‬
‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫אשר‬ ((G, ∗)‫ב־‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫)ונהוג‬ ∗ ‫בינארית‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫ארבע‬
‫חד־ערכי‬ ‫באופן‬ ‫מוגדר‬ a ∗ b ,a, b ∈ G :‫הפעולה‬ ‫קשירות‬ .1
.a ∗ b ∈ G‫ו־‬
:a, b, c ∈ G ‫לכל‬ ‫זא‬ :G ‫על‬ ‫אסוציאטיבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ∗ .2
.(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
‫יש‬ :‫אומרת‬ ‫זאת‬ ,∗ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .3
.a ∈ G ‫לכל‬ a ∗ e = e ∗ a = a‫ש־‬ ‫כך‬ e ∈ G
‫קיים‬ ,‫כלומר‬ ,∗‫ל־‬ ‫ביחס‬ ‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .4
.a ∗ a = a ∗ a = e‫ש־‬ ‫כך‬ a ∈ G
:‫הערות‬ ‫כמה‬
,G‫ב־‬ ‫יחיד‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫שיש‬ ‫להוכיח‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ 11.2 ‫הערה‬
‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫לכן‬ .‫יחיד‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ a ∈ G ‫ולכל‬
.a ‫של‬ ‫וההופכי‬
.‫בנקודה‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫בדרך־כלל‬ 11.3 ‫הערה‬
‫איבר‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ .a · b ‫במקום‬ ab ‫רושמים‬ ‫אפילו‬
‫חבורה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .a−1
‫ב־‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫ואת‬ e‫ב־‬ ‫היחידה‬
.(‫כפלית‬
‫במקרה‬ ,+‫ב־‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ ‫לפעמים‬ 11.4 ‫הערה‬
‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .−a ‫יסומן‬ a ‫של‬ ‫וההפכי‬ 0 ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ,‫זה‬
.(‫חיבורית‬ ‫חבורה‬ ‫על‬
‫לחבורות‬ ‫דוגמאות‬ 12
‫כלשהו‬ ‫שדה‬ ‫־‬ F 12.1
.‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫חבורה‬ ‫אינה‬ F) .F ‫של‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ ‫אז‬
.(‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ 0‫ל־‬ ‫כי‬ ‫השדה‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬
.F∗
= a ∈ F a = 0 :‫סימון‬
.F ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ F∗
.‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C∗
, Q∗
, R∗
.‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C, Q, R
5
‫קומוטטבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהפעולה‬ ‫חבורה‬ 12.1 ‫הגדרה‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫נקראת‬
.‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ F, F∗
‫החבורות‬
(‫)השלמים‬ Z 12.2
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .‫השלמים‬ ‫חיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬
Zn 12.3
‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1} ,1 n ∈ N ‫עבור‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬
.0 :‫היחידה‬ ‫איבר‬
:a ‫של‬ ‫ההופכי‬
a−1
=
n − a a = 0
0 a = 0
Z∗
n 12.4
:‫נסמן‬ .1 n ∈ N ‫יהי‬
.Z∗
n = a 1 ≤ a n, gcd (a, n) = 1
.Z∗
10 = {1, 3, 7, 9} , Z∗
8 = {1, 3, 5, 7} :‫למשל‬
.|Z∗
n| = ϕ (n) :♥ ‫לשים‬ ‫כדאי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n
SX 12.5
:‫ועל‬ ‫חחע‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ X ‫של‬ ‫תמורה‬ .‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
.f : X → X
.X ‫של‬ ‫התמורות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ SX‫ב־‬ ‫מסמנים‬
.X‫ל־‬ X‫מ־‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫ההרכבה‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ SX
. : X → X . :‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫זאת‬ ‫בחבורה‬
.x ∈ X ‫לכל‬ (x) = x
‫ההפוכה‬ ‫=הפונקציה‬f−1
‫הוא‬ f ∈ SX ‫איבר‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬
.f ‫לפונקציה‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬
a, b ∈ G ‫לכל‬ ,a ∗ b = b ∗ a5
5

6. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
Sn 12.6
‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ X :‫הקודמת‬ ‫הדוגמא‬ ‫של‬ ‫חשוב‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬
‫ומסמנים‬ 1, 2, ..., n‫ב־‬ X ‫אברי‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ .‫איברים‬ n ‫בעלת‬
:‫כך‬ f ∈ Sn ‫איבר‬
f =
1 2 3 · · · n
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)
. =
1 2 3 · · · n
1 2 3 · · · n
:‫למשל‬
n × n ‫מסדר‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫־‬ GLn (F) 12.7
‫המטריצות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫את‬ GLn (F)‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬
.F ‫מעל‬ n × n ‫מסדר‬ ‫ההפיכות‬
‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ GLn (F)
.(‫הפיכה‬ ‫מטריצה‬ ‫יוצרת‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫כפל‬ :‫)תזכורת‬
.(‫היחידה‬ ‫)מטריצת‬ I ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איברו‬
.A−1
‫המטריצה‬ ‫היא‬ A ∈ GLn (F) ‫של‬ ‫וההופכי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬
X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ 12.8
.X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ PX‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
.PX = A A ⊆ X
.|PX| = 2|X|
:‫תזכורת‬
:PX ‫על‬ 6
∆ ‫הסימטרי‬ ‫להפרש‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ PX
.A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B) :A, B ∈ PX ‫עבור‬
.∅ ‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ ‫הינה‬PX‫ב־‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
‫חבורה‬ ‫)זו‬ .(‫עצמה‬ ‫)הקבוצה‬ A ‫הוא‬ PX‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬
.(‫עצמו‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ ‫בה‬ ‫איבר‬ ‫שכל‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫כמובן‬ ‫זו‬
U ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ 12.9
C ‫למרוכבים‬ ‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ 12.9.1
‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ ‫לעשות‬ ‫כדאי‬ ‫הבאות‬ ‫החבורות‬ ‫לשתי‬ ‫שניגשים‬ ‫לפני‬
:‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫על‬
.i2
= −1‫ו־‬ a, b ∈ R ‫כאשר‬ ,7
z = a + bi :‫אזי‬ ,z ∈ C‫ש־‬ ‫נניח‬
.r = |z| =
√
a2 + b2
U = z ∈ C |z| = 1
.|z1| = 1, |z2| = 1 ⇒ |z1 · z2| = |z1| · |z2| = 1
‫המישור‬ ‫של‬ ‫הסיבובים‬ ‫)חבורת‬ ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ ‫זאת‬ ‫חבורה‬
.(‫הראשית‬ ‫סביב‬
‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫חבורת‬ 12.10
‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ Un‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬
zn
= :‫שמקיימים‬ z ‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ n ‫מסדר‬
.(1
‫של‬ ‫בסיכום‬ ‫היחידה‬ ‫ושורשי‬ ‫המרוכבים‬ ‫על‬ ‫נוסף‬ ‫חומר‬ ‫למצוא‬ ‫]ניתן‬
‫)שנה‬ ‫ברתל‬ ‫לור‬ ‫דר‬ ‫מאת‬ ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫מתמטיים‬ ‫כלים‬ ‫הקורס‬
.[3‫4־‬ ‫עמודים‬ ('‫א‬ ‫סמסטר‬ ,'‫א‬
.‫חבורה‬ ‫איננה‬ ‫היא‬ ‫והחיתוך‬ ‫האיחוד‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬6
.z ‫של‬ ‫המדומה‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ b‫ו־‬ ,z ‫של‬ ‫הממשי‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ a7
‫נתונות‬ ‫מחבורות‬ ‫חדשה‬ ‫חבורה‬ ‫יצור‬ 13
‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .G, H ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫נתונות‬
.G × H :‫הקרטזית‬ ‫במכפלה‬ ‫נסתכל‬ .◦‫ב־‬ H
G×H ‫על‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ ‫נגדיר‬ ,G×H = (a, b) a ∈ G, b ∈ H
:‫הבא‬ ‫באופן‬
:(a, b) , (c, d) ∈ G × H ‫עבור‬
(a, b) · (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d)
.‫הזו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬
‫איבר‬ ‫־‬ eH .(eG, eH) ‫הוא‬ G × H ‫בחבורה‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
.G ‫של‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫־‬ eG ,H ‫של‬ ‫היחידה‬
:G × H ‫בחבורה‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬
.(a, b)
−1
= a−1
, b−1
.H‫ו־‬ G ‫של‬ ‫הישירה‬ ‫המכפלה‬ ‫־‬ ‫נקראת‬ G × H
‫חבורות‬ ‫חשבון‬ 14
:‫אזי‬ a1, ..., an ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .1
‫אינו‬ ‫המכפלה‬ ‫ערך‬ ‫־‬ a1 ·a2 · · · an = (((a1) · a2) · · · )·an
.‫האיברים‬ ‫בין‬ ‫סוגריים‬ ‫משמיטים‬ ‫או‬ ‫מכניסים‬ ‫אם‬ ‫משתנה‬
:a, b, c ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2
.(‫מימין‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ac = ab ‫אם‬ (‫)א‬
.(‫משמאל‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ca = cb ‫אם‬
.a = e ‫אזי‬ a · a = a ‫אם‬ (‫)ב‬
. a−1 −1
= a (‫)ג‬
.(a · b)
−1
= b−1
· a−1
(‫)ד‬
‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחיד‬ x ‫קיים‬ a, b ∈ G ‫לכל‬ (‫)ה‬
.( x = a−1
· b) a · x = b
(a1 · · · ak)
−1
= a−1
k · · · a−1
1 (‫)ו‬
an
= a · a · a · · · a
n times
(‫)ז‬
:(‫)חזקות‬ ‫בנוסף‬ ‫מגדירים‬ .3
.a0
= e (‫)א‬
.a−n
= a−1 n
= (an
)
−1
(‫)ב‬
:‫מתקיים‬ n, m ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ (‫)ג‬
.an
· am
= an+m
.i
.(an
)
m
= anm
.ii
‫מתקיים‬ ‫אינו‬ (ab)
n
= an
bn
‫החוק‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬ .iii
.‫אבלית‬ ‫בחבורה‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ ‫אלא‬ ,‫בחבורות‬ ‫בדכ‬
‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫בחבורה‬ ,‫)כלומר‬ ‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ (‫)ד‬
‫כללי‬ ‫שני‬ ‫ולכן‬ ,na ‫רושמים‬ an
‫החזקה‬ ‫את‬ ‫אז‬ (+
:‫החזקה‬
n‫ל־‬ m‫ה־‬ ‫שבין‬ ‫)הפלוס‬ (n + m) a = na+ma .i
‫שבין‬ ‫הפלוס‬ ‫ואילו‬ ,‫מספרים‬ ‫של‬ ‫רגיל‬ ‫חיבור‬ ‫זה‬
.‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫זאת‬ na‫ו־‬ ma
.m (na) = (mn) a .ii
6

7. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
a ‫של‬ ‫הסדר‬ 15
.a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 15.1 ‫הגדרה‬
‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ ord (a) ‫מסומן‬ a ‫של‬ ‫הסדר‬
‫אזי‬ ,‫כזה‬ n ‫ואין‬ ‫במידה‬ .‫כזה‬ n ‫יש‬ ‫אם‬ ,an
= e ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬
.‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫דוגמאות‬ 15.1
:Z∗
10‫ב־‬
.(34
= 1 ‫)כי‬ ,ord (3) = 4
.(74
= 1 ‫)כי‬ ,ord (7) = 4
:a, b ∈ G‫ו־‬ G ‫חבורה‬ ‫עבור‬
‫כך‬ m = 0 ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬ ⇔ ‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a 15.2 ‫משפט‬
.am
= e‫ש־‬
.a = e ⇔ ord (a) = 1 15.3 ‫משפט‬
.‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫סופית‬ ‫בחבורה‬ 15.4 ‫משפט‬
‫כל‬ ‫אז‬ G ‫בחבורה‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ 15.5 ‫למה‬
:i, j ∈ Z ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ a ‫חזקות‬
.ai
= aj
⇐ i = j
‫כאשר‬ am
= ar
:m ∈ Z ‫לכל‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫אם‬ 15.6 ‫משפט‬
.r ≡ m (mod n)
:‫הן‬ a ‫של‬ ‫השונות‬ ‫החזקות‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫נניח‬ 15.7 ‫משפט‬
.e = a0
, a1
, ..., an−1
:‫משפטים‬ ‫שני‬ ‫נובעים‬ ‫האחרון‬ ‫מהמשפט‬
.ai
= aj
:0 ≤ i j ≤ n − 1 ‫לכל‬ 15.8 ‫משפט‬
.am
= ar
‫ש־‬ ‫כך‬ 0 ≤ r ≤ n − 1 ‫יש‬ m ∈ Z ‫לכל‬ 15.9 ‫משפט‬
:m ∈ Z ‫עבור‬ ‫אז‬ .ord (a) = n ‫נניח‬ 15.10 ‫למה‬
.n | m ⇔ am
= e
:‫טבעי‬ k ‫לכל‬ ‫אז‬ ,ord (a) = n ‫אם‬ 15.11 ‫טענה‬
ord ak
=
n
gcd (n, k)
:k ∈ Zn ‫לכל‬ :Zn ‫בחבורה‬ 15.12 ‫משפט‬
ord (k) =
n
gcd (k, n)
‫תת־חבורות‬ 16
‫כי‬ ‫נניח‬ ,G ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 16.1 ‫הגדרה‬
‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ :‫)זא‬ G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H
..(a · b ∈ H
‫על‬ ‫שמושרית‬ ‫פעולה‬ ‫לאותה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ H ‫אם‬
.G ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫אז‬ G ‫של‬ ‫מהפעולה‬ H
.H G :‫זאת‬ ‫ומסמנים‬
.Z R :‫למשל‬
‫חבורות‬ ‫לתת‬ ‫תנאים‬ 16.1
‫ישנם‬ .8
G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ H ‫תת־קבוצה‬ ‫ונתונה‬ G ‫חבורה‬ ‫נתונה‬
‫היא‬ H‫ש־‬ ‫בטוחים‬ ‫להיות‬ ‫כדי‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריכים‬ ‫דברים‬ ‫שלושה‬
:(H G) G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬
:1 ‫טענה‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ H ‫אם‬
:‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ,‫זא‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H .1
.a · b ∈ H
.a−1
∈ H :‫מתקיים‬ a ∈ H ‫לכל‬ :‫זא‬ ,‫להופכי‬ ‫סגורה‬ H .2
.H G ‫אזי‬
:2 ‫טענה‬
.‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H ‫אז‬ a · b−1
∈ H ‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ‫אם‬
:3 ‫טענה‬
‫אם‬ .G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫ולא‬ ‫סופית‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהא‬
.H G ‫אז‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H
‫לתת־חבורות‬ ‫דוגמאות‬ 16.2
,SLn (F) = A ∈ Mn (F) det (A) = 1
.SLn (F) GLn (F)
‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ 17
.a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.1 ‫הגדרה‬
:‫מסמנים‬
a = an
n ∈ Z
.( a = n · a n ∈ Z :‫חיבורי‬ ‫)בכתיב‬
.a ∈ a ‫כי‬ a = ∅ :‫כמובן‬
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ a :‫טענה‬
. a ‫עי‬ ‫שנוצרת‬ ,G ‫של‬ ‫הציקלית‬ ‫התת־חבורה‬ ‫נקראת‬ a
a ‫של‬ ‫המבנה‬ 17.1
:‫אזי‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬
. a = . . . , a−1
, a−1
, a0
= e, a1
, a2
, . . .
: ‫תהיה‬ H‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ ‫כאן‬ ‫החזקות‬ ‫כל‬
.ai
· aj
= ai+j
, ∀i, j ∈ Z
‫מדויק‬ ‫העתק‬ ‫היא‬ a ,‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ ,‫זה‬ ‫)במקרה‬
.(Z ‫של‬
.∅‫ב־‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ,‫תת־חבורה‬ ‫אינה‬ ∅8
7

8. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:‫אזי‬ ord (a) = n ‫אם‬
‫־‬ a = a0
= e, a1
, a2
, . . . , an−1
:‫היא‬ a ‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזה‬ ‫זה‬ ‫שונים‬ ‫כאן‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬
‫העתק‬ ‫היא‬ a ‫זה‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ ,ai
· aj
= ai+j (mod n)
.(Zn ‫של‬ ‫מדויק‬
.‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמובן‬ ‫מדובר‬ ,Z8 ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫למשל‬
2 = {0 · 2, 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2} = ‫־‬ ‫לכן‬ ,ord (2) = 4 .‫א‬
{0, 2, 4, 6}
. 6 = 2 ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ . 3 = Z8‫ש־‬ ‫ישירות‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ ‫לכן‬ ,ord (3) = 8
. 1 = 3 = 5 = 7
.(‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫)כל‬ 2 = n · 2 n ∈ Z :Z‫ב־‬
. 1 = −1 = Z
‫כך‬ a ∈ G ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫נראת‬ G ‫חבורה‬ 17.2 ‫הגדרה‬
.G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫נראה‬ ‫כזה‬ a . a = G‫ש־‬
‫מספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ |G| ‫מסומן‬ G ‫סופית‬ ‫חבורה‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫הסדר‬
.G ‫של‬ ‫האיברים‬
.ord (a) = | a | 17.3 ‫משפט‬
G = :‫נגיד‬ ,G‫ל־‬ ,‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.4 ‫משפט‬
.a, a−1
:‫יוצרים‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬ ‫יש‬ G‫ל־‬ . a
.G = |n| .n ‫מסדר‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.5 ‫משפט‬
.ord (a) = n ⇐⇒ G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ a ∈ G ‫איבר‬
.n ‫מסדר‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ ⇐⇒ ‫ציקלית‬ G 17.6 ‫משפט‬
‫־‬ G ‫של‬ ‫היוצרים‬ ,n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.7 ‫משפט‬
.n‫ל־‬ ‫זר‬ k‫ו־‬ 0 ≤ k n ‫כאשר‬ ak
‫הינם‬
.ϕ (n) ‫הינו‬ ‫הללו‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬
‫שמקיימים‬ k ∈ Zn ‫האיברים‬ ‫הם‬ Zn ‫של‬ ‫היוצרים‬ :‫דוגמא‬
.gcd (k, n) = 1
:Z∗
n ‫לגבי‬
‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n 1 ‫יהי‬ 17.8 ‫משפט‬
:‫הבאות‬ ‫הצורות‬ ‫מאחת‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒
‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ ‫־‬ n = 2, n = 4, n = pk
, n = 2pk
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ k‫ו־‬ ‫אי־זוגי‬
.‫ציקלית‬ ‫אינה‬ ‫־‬ Z∗
12 ,‫ציקלית‬ ‫־‬ Z∗
50 :‫למשל‬
.ϕ (ϕ (n)) :‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬ ‫ציקלית‬ ‫היא‬ Z∗
n‫ש־‬ ‫בהנחה‬
.n ‫של‬ ‫פרימיטבי‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬ Z∗
n ‫החבורה‬ ‫של‬ ‫יוצר‬ 17.9 ‫הגדרה‬
.‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n ⇐⇒ ‫פרימטיבי‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ n‫ל־‬
:‫הינו‬ n ‫של‬ ‫הפרימיטיבים‬ ‫השורשים‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ ‫)ובמקרה‬
.(ϕ (ϕ (n))
.G × H ‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ .‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהינה‬ 17.10 ‫טענה‬
G ‫של‬ ‫יוצר‬ a ‫אזי‬ ,G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫היוא‬ (a, b) ∈ G × H ‫אם‬
.H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬
G, H ‫גם‬ ‫אזי‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫שאם‬ ‫נובע‬ ‫מכך‬
.‫ציקליות‬
‫יוצר‬ 1 :‫למשל‬ ,‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הנל‬ ‫לטענה‬ ‫ההפוכה‬ ‫הטענה‬ :‫הערה‬
ord (1, 1) = 4 ‫כי‬ Z∗
4 ×Z∗
2 ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫אינו‬ (1, 1) ‫אבל‬ ,Z∗
4, Z∗
2 ‫של‬
.|Z∗
4 × Z∗
2| = 8‫ש־‬ ‫בעוד‬ Z∗
4 × Z∗
2‫ב־‬
.gcd (|G| , |H|) = 1 ⇐⇒ G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫יהיה‬ (a, b)
:‫נסמן‬ .‫סופיות‬ ‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהיינה‬ 17.11 ‫משפט‬
.|G| = n, |H| = m
.gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫אז‬
‫(כאשר‬a, b) ‫הזוגות‬ ‫בדיוק‬ ‫יהיו‬ G × H ‫של‬ ‫היוצרים‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬
.H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬ G ‫של‬ ‫יוצר‬ a
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬
.gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Zn × Zm
‫תמורות‬ 18
(a1a2 · · · ar) ‫תמורה‬ ‫של‬ ‫ההצגה‬ ‫אופן‬ 18.1
:‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
f =
1 2 3 4 5 6
3 4 2 1 6 5
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬
3 ,3‫ל־‬ 1‫ו־‬ 1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 4) f = 1 3 2 4 5 6
.(5‫ל־‬ 6‫ו־‬ 6‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 5 ...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬
‫ב־‬ ‫מסמנים‬ (‫)שונים‬ 9
a1, . . . , ar ∈ [n] ‫עבור‬ 18.1 ‫הגדרה‬
‫וכך‬ ,a2‫ל־‬ a1 ‫את‬ ‫ששולחת‬ Sn‫ב־‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ (a1a2 · · · an)
.a1‫ל־‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ar ‫את‬ ...‫הלאה‬
(a1a2 · · · ar) ‫־‬ !‫לעצמו‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ‫מופיע‬ ‫שאינו‬ ‫אחר‬ ‫איבר‬ ‫וכל‬
.r ‫מאורך‬ (‫)מעגל‬ ‫ציקלוס‬ ‫נקרא‬ ‫־‬
‫ורואים‬ ‫התמורה‬ ‫של‬ ‫המעגלים‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫אנחנו‬ ?‫הרעיון‬ ‫מה‬
:‫למשל‬ ,‫לכן‬ ,‫אותנו‬ ‫מעביר‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לאן‬
1) 1 3 2 4 = 4 1 3 2 = 1 3 2 4
.(...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 3 ,3‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬
.‫ציקלוס‬ ‫באותו‬ ‫פעמיים‬ ‫להופיע‬ ‫יכול‬ ‫אינו‬ ‫איבר‬ ‫כמובן‬
:‫כך‬ ‫גם‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ ‫שלמעלה‬ ‫התמורה‬ ‫שאת‬ ‫כמובן‬
f = 5 6 1 3 2 4
:‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬
f =
1 2 3 4
3 2 1 4
:‫הסיבה‬ ,f = 1 3 :‫כך‬ ‫אותה‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬
....‫שלנו‬ ‫במקרה‬ = (2) = (4) ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫הזהות‬ ‫תמורת‬ , ‫את‬
‫נקראים‬ (b1 · · · bs) ‫ו־‬ (a1 · · · ar) ‫ציקלוסים‬ ‫שני‬ 18.2 ‫הגדרה‬
.i, j ‫לכל‬ ai = bj ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫ציקלוסים‬
.‫הזה‬ ‫באופן‬ ‫רק‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫והלאה‬ ‫מעתה‬ ,‫לכן‬
‫תמורות‬ ‫של‬ (‫)הרכבה‬ ‫הכפלה‬ 18.2
f = (135) (27) , g = :S8‫ב־‬ ‫תמורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫ויש‬ ‫נניח‬
,(1254) (68)
.f ◦ g = f · g = (172) (354) (68) ‫היא‬ ‫בניהם‬ ‫המכפלה‬ ‫אזי‬
?‫לתוצאה‬ ‫מגיעים‬ ‫איך‬
:‫הינה‬ ‫התמורות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫הכללית‬ ‫המכפלה‬
f · g = (135) (27) (1254) (68)
[n] = {1, . . . , n}9
8

9. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫מעגל‬ ‫לסגור‬ ‫לנסות‬ ‫הוא‬ ‫צריכים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
.‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫ולעבור‬ (‫)ציקלוס‬
‫)אפשר‬ g ‫מה‬ ‫רואים‬ ‫קודם‬ ‫אזי‬ f ◦g ‫בהרכבה‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬ ?‫איך‬
f ‫מה‬ ‫ואז‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬ (‫בנפרד‬ f‫וב־‬ g‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫להסתכל‬
.‫מעגל‬ ‫שנסגר‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ g‫מ־‬ ‫שקיבלנו‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬
:‫בקצרה‬ ‫האלגוריתם‬
:10
1‫מ־‬ ‫מתחילים‬ .1
.1 → a :‫אותנו‬ ‫שולח‬ 1 ‫לאן‬ g‫ב־‬ ‫מתסכלים‬ (‫)א‬
.a → b :‫אותנו‬ ‫שולח‬ a ‫לאן‬ :f‫ב־‬ ‫מסתכלים‬ (‫)ב‬
?‫מעגל‬ ‫נסגר‬ ‫האם‬ (‫)ג‬
‫לנו‬ ‫ויש‬ ,1 ‫במקום‬ b ‫עם‬ ‫רק‬ (‫ל־)א‬ ‫חוזרים‬ :‫לא‬ .i
.(1b... :‫כבר‬
‫סוגרים‬ :(‫התחלנו‬ ‫שממנו‬ ‫מספר‬ ‫לאותו‬ ‫)חזרנו‬ ‫כן‬ .ii
‫יש‬ ♣ ‫)במקום‬ (1b....♣) :(‫)ציקלוס‬ ‫המעגל‬ ‫את‬
‫ל־‬ ‫וחוזרים‬ .(1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫שמחזיר‬ ‫המספר‬ ‫את‬
‫נמצא‬ ‫שאינו‬ ‫ממנו‬ ‫שגדול‬ ‫הבא‬ ‫המספר‬ ‫עם‬ .1
.(‫)בציקלוס‬ ‫במעגל‬
:‫שלמעלה‬ ‫לדוגמא‬ ‫מפורט‬ ‫יותר‬ ‫קצת‬ ‫הסבר‬ ‫הנה‬
:1‫מ־‬ ‫מתחילים‬
‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כבר‬ ‫לכן‬ ,2 → 7 :f‫ב־‬ 2 ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫ולכן‬ 1 → 2 :g‫ב־‬
‫היה‬ ‫רק‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫הזה‬ ‫בחלק‬ ‫מתעלמים‬ 2‫)מה־‬ (17.... ‫הוא‬ ‫לנו‬
‫מה‬ ,‫לכן‬ ,7 → 2 :f‫וב־‬ 7 → 7 :g‫ל־‬ 7‫ה־‬ ‫עם‬ ‫נחזור‬ ,(‫מעבר‬
:f‫וב־‬ 2 → 5 :g‫ב־‬ ‫־‬ 2 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ (172... :‫הוא‬ ‫כרגע‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬
‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאן‬ ‫סגרנו‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .5 → 1
.(172)
:3‫ל־‬ ‫נמשיך‬ ‫לכן‬ ,‫שייך‬ ‫הוא‬ ‫מעגל‬ ‫לאיזה‬ ‫יודעים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ 2 ‫לגבי‬
:‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,3 → 5 :f‫וב־‬ 3 → 3 :g‫ב־‬
‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ 4 → 4 :f‫וב־‬ 5 → 4 :g‫ב־‬ ,5 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ .(35...
4 → 1 :g‫ב־‬ :4 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬ .(354... ‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬
‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאו‬ ‫נסגר‬ ‫־‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫ואם‬ .1 → 3 :f‫וב־‬
.(354) :‫הוא‬ ‫השני‬
.‫במעגלים‬ ‫לנו‬ ‫נמצאים‬ ‫כבר‬ ‫הם‬ ‫כי‬ ‫לדלג‬ ‫ניתן‬ 4, 5, 7 ‫על‬
:6 ‫עם‬ ‫נמשיך‬
‫לכן‬ .6 → 6 :‫שהוא‬ ‫כמו‬ ‫אותו‬ ‫משאיר‬ f‫ו־‬ 8 → 6 ‫את‬ ‫שולח‬ g
.(68... ‫הוא‬ ‫בינתיים‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬
‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .6 → 6 :f‫וב־‬ 8 → 6 :g‫ב־‬ :8 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬
.‫מעגל‬ ‫סגרנו‬
.(172) (354) (68) :‫הוא‬ ‫שקיבלנו‬ ‫מה‬ ,‫סהכ‬
‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ציקלוס‬ ‫הוא‬α (a1, . . . , an) ‫אם‬ 18.3 ‫משפט‬
:‫עי‬ ‫שמוגדרת‬ ‫התמורה‬ ‫היא‬ αk
, k ‫טבעי‬
αk
(ai) = ai+k (mod r)
.0 ‫ולא‬ r ‫הוא‬ r (mod r) :‫אחד‬ ‫הבדל‬ ‫עם‬
.‫נוחות‬ ‫מטעמי‬ 1 ‫בחרתי‬ .n‫ל־‬ 1 ‫בין‬ ‫מספר‬ ‫מכל‬ ‫להתחיל‬ ‫אפשר‬10
‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 19
H ‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .‫חבורות‬ G, H ‫תהיינה‬
.·‫ב־‬
:‫שמקיימת‬ ϕ : G → H ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬
‫שומרת‬ ϕ ,‫)כלומר‬ .ϕ (a ∗ b) = ϕ (a) · ϕ (b) ∀a, b ∈ G
.(‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫על‬
‫שהוא‬ ϕ : G → H ‫הומומורפיזם‬ ‫זהו‬ ,H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬
.‫ועל‬ ‫חחע‬
‫קיים‬ ‫אם‬ G ∼= H ‫ורושמים‬ H‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ G‫ש־‬ ‫אומרים‬
.H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬
.ϕ (x) = 2x
,ϕ : R → R∗
:‫למשל‬
:x, y ∈ R ‫לכל‬
ϕ ‫לכן‬ ,ϕ (x + y) = 2x+y
= 2x
· 2y
= ϕ (x) · ϕ (y)
‫אינה‬ ‫היא‬ ‫לכן‬ ,‫על‬ ‫ואינה‬ ‫חחע‬ ‫אינה‬ ‫אך‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬
.‫איזומורפיזם‬
:‫אזי‬ ‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומופריזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.1 ‫משפט‬
.ϕ (eG) = eH .1
.a ∈ G ‫לכל‬ ϕ a−1
= ϕ (a)
−1
.2
:a1, ..., an ∈ G ‫לכל‬ .3
.ϕ (a1 · a2 · · · an) = ϕ (a1) · ϕ (a2) · · · ϕ (an)
.ϕ (an
) = ϕ (a)
n
:n ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ .4
:‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ .5
.ϕ (0G) = 0H (‫)א‬
.ϕ (−a) = −ϕ (a) (‫)ב‬
.ϕ (a1 + · · · + an) = ϕ (a1) + · · · + ϕ (an) (‫)ג‬
.ϕ (n · a) = n · ϕ (a) (‫)ד‬
‫וטווח‬ ‫גרעין‬ 19.1
:‫מגדירים‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬
.ker ϕ = a ∈ G ϕ (a) = eH :ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬
Imϕ = ϕ (a) a ∈ G =
b ∈ H ∃a ∈ G ⇒ ϕ (a) = b
:ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬
.ker (ϕ) ∈ G, Im (ϕ) ∈ H :‫כמובן‬
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 19.2 ‫טענה‬
9

10. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
.H ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ Im (ϕ) 19.3 ‫טענה‬
:‫אזי‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.4 ‫טענה‬
.(‫טריוויאלי‬ ‫)גרעין‬ ker (ϕ) = {eG} ⇔ ‫חחע‬ ‫הוא‬ ϕ
‫אז‬ ‫ועל‬ ‫חחע‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ 19.5 ‫טענה‬
.‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ−1
: H → G
‫היא‬ iG : G → G ‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ,G ‫חבורה‬ ‫לכל‬ 19.6 ‫הערה‬
.‫איזומורפיזם‬
ϕ : G → H ‫ההעתקה‬ H, G ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לכל‬ 19.7 ‫הערה‬
‫הוא‬ ‫זה‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬ ϕ (a) = eH ,a ∈ G ‫שלכל‬ ‫כך‬
.Im (ϕ) = {eH} ,ker (ϕ) = G .‫הטריוויאלי‬ ‫ההומומורפיזם‬
.‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ‫חבורות‬ ‫בין‬ ‫האיזומורפיזם‬ ‫יחס‬ 19.8 ‫משפט‬
‫איזומורפיות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ G, H ‫אם‬ 19.9 ‫הערה‬
‫שנכונה‬ ‫החבורות‬ ‫תורת‬ ‫של‬ ‫טענה‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ ,(G ∼= H :‫)כלומר‬
.‫בשניה‬ ‫נכונה‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫מהן‬ ‫באחת‬
:‫חשוב‬ ‫משפט‬
.Z‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ ‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .1
.Zn‫ל־‬ ‫אזיומורפית‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .2
.Zn × Zm :‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ ,n, m ∈ N ‫יהיו‬ 19.10 ‫משפט‬
Zn × Zm‫ש־‬ ‫בעבר‬ ‫הוכחנו‬
.gcd (n, m) = 1 ⇔ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬
:‫מקבלים‬ ‫הקודם‬ ‫ומהמשפט‬ ‫ומזה‬
.gcd (n, m) = 1 ⇔ Zn × Zm
∼= Zn·m
.Z8 × Z10 Z80, Z9 × Z10
∼= Z90 :‫למשל‬
.Z∗
n
∼= Zϕ(n)‫ו־‬ ,(‫ראשוני‬ p ‫)עבור‬ Z∗
p
∼= Zp−1 :‫כמו־כן‬
‫ומשפט‬ ‫ימניות/שמאלית‬ ‫מחלקות‬ 20
'‫לגרנאז‬
‫וסימונים‬ ‫הגדרות‬ 20.1
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
:‫נסמן‬ a ∈ G ‫עבור‬
.H · a = h · a h ∈ H
.a · H = a · h h ∈ H
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ Ha
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫שמלאית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ aH
:‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬
.H + a = h + a h ∈ H
. a + H = a + h h ∈ H
‫הן‬ G‫ב־‬ H ‫של‬ (‫שמאלית‬ ‫)או‬ ‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ 20.1 ‫למה‬
.‫שוות‬ ‫או‬ ‫זרות‬ ‫או‬
‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לוקחים‬ ‫אזי‬ ,G ‫של‬ H ‫תת־חבורה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ :‫כלומר‬
‫מחלקה‬ ‫מקבלים‬ ‫ככה‬ .G ‫אברי‬ ‫בכל‬ ‫אותו‬ ‫וכופלים‬ H ‫בחבורה‬
‫קבוצה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫שלפעמים‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬ .‫ימנית/שמאלית‬
‫זה‬ ,(‫כמובן‬ ‫אחר‬ ‫באחד‬ ‫פעם‬ ‫)כל‬ ‫שונים‬ ‫איברים‬ ‫בשני‬ ‫נכפול‬ ‫אם‬
.‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫נמצאים‬ ‫הללו‬ ‫שהאיברים‬ ‫אומר‬
:a, b ∈ G ‫עבור‬ 20.2 ‫למה‬
.b · a−1
∈ H ⇔ a · b−1
∈ H ⇔ Ha = Hb .1
.b − a ∈ H ⇔ a − b ∈ H ⇔ Ha = Hb :‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬
.a−1
b ∈ H ⇔ b−1
a ∈ H ⇔ aH = bH .2
|aH| = |Ha| = H :a ∈ G ‫לכל‬ 20.3 ‫למה‬
:‫סימון‬
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫השמאליות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ L
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ R
.|L| = |R| 20.4 ‫למה‬
:‫הגדרה‬
,G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫האינדקס‬ ‫נקראת‬ (R ‫של‬ ‫)או‬ L ‫של‬ ‫העוצמה‬
.[G : H] :‫ומסומנת‬
(‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫מספר‬ = [G : H] ,‫כלומר‬
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬
‫מאינדקס‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ,‫אינסופי‬ ‫זה‬ ‫מספר‬ ‫אם‬
.G‫ב־‬ ‫אינסופי‬
'‫לגרנז‬ ‫משפט‬ 20.2
:‫אזי‬ .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
|G| = |H| · [G : H]
'‫לגראנז‬ ‫ממשפט‬ ‫מסקנות‬ 20.2.1
:‫אזי‬ ,G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H‫ו־‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫אם‬ .1
.|H| | |G|
:‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2
.ord (a) | |G|
‫איבר‬ ‫וכל‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ ‫ראשוני‬ ‫מסדר‬ G ‫חבורה‬ ‫כל‬ .3
.G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ G ‫בחבורה‬ e‫מ־‬ ‫שונה‬
:a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ (|G| = n) n ‫מסדר‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .4
.an
= e
:a ∈ Z∗
n ‫לכל‬ ,G = Z∗
n ‫ניקח‬ .(4 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .5
.aϕ(n)
= 1
‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ .(5 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .6
.ap−1
= 1 :a ∈ Z∗
p
‫עד‬ ,‫)כלומר‬ G ∼= Zp ‫אז‬ (‫ראשוני‬ p) |G| = p ‫אם‬ 20.5 ‫מסקנה‬
‫ראושני‬ p‫ש־‬ ‫)בתנאי‬ Zp ‫וזוהי‬ p ‫מסדר‬ ‫אחת‬ ‫חבורה‬ ‫רק‬ ‫יש‬ ‫איזומופריזם‬ ‫כדי‬
.(‫כמובן‬
.n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 20.6 ‫משפט‬
:‫נסמן‬
:‫אזי‬ .Cd = x ∈ G xd
= e
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ Cd .1
. a = Cd :‫מתקיים‬ ord (a) = d‫ש־‬ ‫כך‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .2
:‫מהמשפט‬ ‫מסקנות‬
:‫אזי‬ .n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
.d ‫מסדר‬ ‫יחידה‬ ‫תת־חבורה‬ G‫ב־‬ ‫קיימת‬ .1
.d ‫מסדר‬ ϕ (d) ‫בדיוק‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .2
10

11. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫מנה‬ ‫חבורות‬ 21
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.1 ‫הגדרה‬
H G ‫ורושמים‬ G ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬
.Ha = aH :‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אם‬
:‫אזי‬ H G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.2 ‫טענה‬
.a−1
· h · a ∈ H :h ∈ H ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ ⇐⇒ H G
.(‫קבוע‬ ‫)נתון‬ H G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.3 ‫הגדרה‬
:‫נסמן‬
G/H = Ha a ∈ G
‫של‬ (11
‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ G/H
.G‫ב־‬H
G/H‫ב־‬ ‫שיווויון‬ 21.1
:Ha, Hb ∈ G/H
a · b−1
∈ H ⇐⇒ Ha = Hb
G/H ‫של‬ ‫הפעולה‬ 21.2
:Ha, Hb ∈ G/H ‫עבור‬
(Ha) · (Hb) = Ha · b
‫כאשר‬ G/H‫ב־‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫כפל‬ ‫זה‬ ‫כאן‬ ‫יש‬ ‫שבצעם‬ ‫מה‬
‫סוג‬ ‫באיזה‬ ‫)תלוי‬ a · b ‫ל־‬ ‫בהתאם‬ ‫אחרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ ‫התוצאה‬
.(‫מדובר‬ ‫חבורה‬
‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫הוא‬ x‫ש־‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ x ∈ G/H ‫שאם‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.(‫שמאלית‬ ‫)או‬
‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫כלומר‬ ,‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנל‬ ‫הפעולה‬ 21.4 ‫טענה‬
‫אם‬ ,‫כלומר‬ .‫בנציגים‬
:‫ומתקיים‬ a, a1, b, b1 ∈ G
.Hab = Ha1b1 :‫אזי‬ Hb = Hb1‫ו־‬ Ha = Ha1
.‫שהגדרנו‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G/H 21.5 ‫טענה‬
‫תת־‬ ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ ‫היא‬ .H‫ב־‬ G ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ G/H
.G ‫של‬ H ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬
.‫הבדל‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ H G‫ש־‬ ‫בגלל‬11
‫הקנוני‬ ‫ההומומורפיזם‬ 22
:‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ , H G ‫תהי‬
π : G → G/H
π (a) = Ha
:‫אזי‬
:a, b ∈ G ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ π .1
.π (a.b) = Hab = (Ha) · (Hb) = π (a) · π (b)
.(‫חחע‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ .‫הגדרתו‬ ‫)מעצם‬ ‫על‬ ‫הוא‬ π‫ש־‬ ‫לראות‬ ‫קל‬ .2
:‫הוכחה‬ ,ker (π) = H .3
π (a) = eG/H
⇔ a ∈ ker (π) ⇔ Ha = H ⇔ a ∈ H
.G/H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הקנוני‬ ‫ההומומופריזם‬ ‫נקרא‬ π
,‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫תמיד‬ :‫הערה‬
:‫אזי‬ ,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫מורפיזם‬ ‫הומו‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ ,‫כלומר‬
.(ker (ϕ)) G
‫האיזומורפיזם‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 23
G/ker (ϕ) ∼= Im (ϕ)
?‫זה‬ ‫במשפט‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬
H, K G ‫כאשר‬ H, K, G :‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫נתונות‬
G/K ∼= H‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬
ϕ : G → H ‫העתקה‬ ‫למצוא‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ,‫אזי‬
.G/K ∼= H‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ואז‬ ker (ϕ) = K‫ו־‬ Im (ϕ) = H‫ש־‬ ‫כך‬
:‫דוגמא‬
Z/4 · Z ∼= Z4‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬
ϕ (a) = a .ϕ : Z → Z :‫הבאה‬ ‫ההעתקה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫אזי‬
.a ∈ Z ‫עבור‬ (mod 4)
,(4 | k‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫מספר‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ker (ϕ) = 4 · Z ‫אזי‬
.Im (ϕ) = Z4‫ו־‬
:‫המשפט‬ ‫עפ‬ ,‫לכן‬
Z/4 · Z ∼= Z4
11

12. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
III ‫חלק‬
‫ושדות‬ ‫חוגים‬
‫הגדרה‬ 24
(+) ‫חיבור‬ :‫פעולות‬ ‫שתי‬ ‫מוגדרות‬ ‫שעליה‬ R ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ ‫חוג‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שמתקיימות‬ ‫כך‬ 12
(·) ‫וכפל‬
‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ,(‫מהכפל‬ ‫)מתעלמים‬ ‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ .1
,0 ,‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫יש‬ :‫אלה‬ ‫דרישות‬ ‫בין‬ ,‫דרישות‬ ‫חמש‬ ‫כולל‬ ‫)זה‬
.(−a ‫נגדי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ a ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫ולכן‬
:‫מתקיים‬ ,1‫ל־‬ ‫בנוסף‬ .2
‫חד־ערכית‬ ‫מוגדר‬ a · b ,a, b ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫קשירות‬ (‫)א‬
.a · b ∈ R‫ו־‬
:‫מתקיים‬ a, b, c ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫אסוציאטיביות‬ (‫)ב‬
.a (bc) = (ab) c
a, b, c ∈ ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫מעל‬ ‫הכפל‬ ‫דיסטריבוטיביות‬ (‫)ג‬
:R
a (b + c) = ab + ac .i
.(a + b) c = ac + bc .ii
:‫דברים‬ ‫לשני‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדאים‬
.‫בכפל‬ ‫יחידה‬ ‫לאיבר‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ .‫א‬
.‫לקומוטטיביות‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ ‫בכפל‬ .‫ב‬
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫סוגים‬ 25
,‫)זא‬ ‫קומוטטיבית‬ ‫היא‬ ‫הכל‬ ‫פעולת‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬
.(ab = ba ,a, b ∈ R ‫לכל‬
‫אם‬ .‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬
.1 ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫קיים‬
‫שני‬ ‫של‬ ‫)שילוב‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫שדה‬
‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ ‫מאפס‬ ‫שונה‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫שבו‬ (‫יחד‬ ‫הקודמים‬
.‫לכפל‬
‫ההופכי‬ ‫אז‬ ,‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫הוכפי‬ ‫יש‬ 0 = a ∈ R ‫לאיבר‬ ‫אם‬ :‫הערה‬
.a−1
‫ב־‬ ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬
‫יכול‬ ‫זה‬ ‫בחבורות‬ ‫כמו‬ ‫אבל‬ ,‫פעולות‬ ‫אותן‬ ‫את‬ ‫מכנים‬ ‫אנחנו‬ ‫שככה‬ ,‫כמובן‬12
.‫אחר‬ ‫משהו‬
‫לחוגים‬ ‫דוגמאות‬ 26
Z 26.1
‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬
‫רק‬ ,‫שדה‬ ‫יאנו‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫לא‬ ‫)אבל‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬
.(‫הופכי‬ ‫יש‬ 1, −1‫ל־‬
...C, R, Q 26.2
.‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ (‫שדה‬ ‫כל‬ ‫)או‬
Zn 26.3
‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ n ‫מודולו‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬ ‫יחד‬
.‫יחידה‬
.‫ראשוני‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ Zn
Mn (F) 26.4
‫מסדר‬ ‫המטריצות‬ ‫על‬ ‫קבוצה‬ Mn (F) ‫ותהי‬ ‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ Mn (F) .F ‫מעל‬ n × n
‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫לא‬ ‫חוג‬ ‫זה‬ .‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הרגילים‬
.‫יחידה‬
R = 2 · Z 26.5
‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ‫הזוגיים‬ ‫השלמים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬
..‫יחידה‬ ‫ללא‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫היא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬
PX 26.6
.X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ PX ‫ותהי‬ ,‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ PX ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬ .PX = A A ⊆ X
.(‫קסור‬ ,‫סימטרי‬ ‫)הפרש‬ A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
. A · B = A ∩ B
‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ,‫אלו‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ,PX
.(1 = X) X
.0 = ∅ :‫החוג‬ ‫של‬ ‫האפס‬
.A = −A :‫עצמה‬ A ‫היא‬ :A ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫הנגדי‬ ‫האיבר‬
.A + Ac
= 1, A · Ac
= 0 :‫זה‬ ‫בחוג‬
R × S 26.7
:‫בקבוצה‬ ‫נסתכל‬ ,‫חוגים‬ R, S ‫יהיו‬
,R × S = (a, b) a ∈ R, b ∈ S
:‫הבא‬ ‫באופן‬ R × S ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬
.(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
.(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
.‫חוג‬ ‫הוא‬ R × S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬
‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ :‫הערה‬
.(‫לכפל‬ ‫קשר‬ ‫)בלי‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬
‫גם‬ ‫נכון‬ ,‫חיבוריות‬ ‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫לגבי‬ ‫שנכון‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ,‫לכן‬
.‫בחוגים‬
‫בחבבורה‬ a ‫של‬ ‫־ית‬n‫ה־‬ ‫החזקה‬ ‫זוהי‬ na ,n ∈ Z‫ו־‬ a ∈ R ‫עבור‬
.R ‫החיבורית‬
.‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמו‬ ‫מתייקמים‬ ‫החזקה‬ ‫כללי‬
.a · 0 = 0 · a = 0 a ∈ R ‫לכל‬ ‫אז‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ :‫טענה‬
12

13. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אפס‬ ‫מחלקי‬ 27
‫אם‬ ‫אפס‬ ‫מחלק‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ 27.1 ‫הגדרה‬
.ba = 0 ‫או‬ ab = 0‫ש־‬ ‫כך‬ 0 = b ∈ R ‫וקיים‬a = 0
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫הם‬ 4, 3 ‫לכן‬ 4 · 3 = 0 :Z6‫ב־‬ :‫למשל‬
‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫וחוג‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28
‫שאין‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28.1 ‫הגדרה‬
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫בו‬
,‫נכון‬ ‫אינו‬ ‫ההפך‬ ‫אבל‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ F ‫שדה‬ ‫כל‬ :‫הערה‬
.‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ Z :‫למשל‬
:a, b, c ∈ R ‫לכל‬ ‫שמקיים‬ R ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ 28.2 ‫הגדרה‬
.a = b ‫אז‬ c = 0‫ו־‬ ca = cb ‫או‬ ac = bc ‫אם‬
:‫דוגמאות‬
4 = 0, 2 = 0 ‫אבל‬ 4 · 2 = 0 :‫למשל‬ ‫כי‬ ‫שלמות‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ Z8
.2 = 6 ‫אבל‬ 4 · 6 = 4 · 2 ‫כי‬ ‫צמצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫כן‬ ‫וכמו‬
‫ואידאל‬ ‫תת־חוג‬ 29
‫לא‬ ‫חלקית‬ ‫תת־קובצה‬ S ⊆ R ‫ותהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.1 ‫הגדרה‬
‫אוטומטית‬ ‫מוגדרות‬ R ‫של‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פועלות‬ ‫אז‬ R ‫של‬ ‫ריקה‬
‫אז‬ ‫אלו‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ S ‫אם‬ .S ‫אברי‬ ‫על‬
.R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ S‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫הבאה‬ ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ R ‫של‬ I ‫תת־חוג‬ ‫זה‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬
I ,‫)זא‬ ir ∈ I, ri ∈ I :‫מתקיים‬ i ∈ I ‫ולכל‬ r ∈ R ‫לכל‬
.(‫אצלו‬ ‫נשארות‬ ‫המכפלות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופג‬
(m ∈ Z ‫)כאשר‬ m · Z ‫הינם‬ ‫החוגים‬ ‫תתי‬ ,Z ‫בחוג‬ ,‫למשל‬ ⊕
.‫אידאל‬ ‫הוא‬ m · Z‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬ .‫בלבד‬
‫הינם‬ Z‫ב־‬ ‫השונים‬ ‫והאדיאלים‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ Z ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫כל‬
.m ≥ 0, m · Z
.[n = ±m ⇐⇒ n · Z = m · Z]
‫אלה‬ ,R‫ב־‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ R‫ו־‬ {0} , R ‫חוג‬ ‫בכל‬ 29.2 ‫הגדרה‬
.‫הטריוויאלים‬ ‫האידאלים‬ ‫נראים‬
‫היא‬ R ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ 29.1
?‫אידאל‬ ‫או‬ ‫תת־חוג‬
.‫חוג‬ R ‫יהי‬
‫תת־חוג‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.1
‫מספיק‬ R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ = S ⊆ R ‫תהי‬
:‫לבדוק‬
.a − b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ S .1
.a · b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לכפל‬ ‫סגורה‬ S .2
‫אידאל‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.2
‫מספיק‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ = I ⊆ R ‫תהי‬
:‫לבדוק‬
.‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ I .1
:‫מתקיים‬ b ∈ R ‫ולכל‬ a ∈ I ‫לכל‬ ,‫זא‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופגת‬ I .2
.b · a ∈ I ‫וגם‬ a · b ∈ I
.I = R ‫אזי‬ 13
1 ∈ I ‫ואם‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ‫אם‬ 29.3 ‫הערה‬
.a = a · 1 ∈ I :a ∈ R ‫לכל‬ ‫כי‬
‫איבר‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.4 ‫הגדרה‬
‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .a · b = b · a = 1‫ש־‬ ‫כך‬ b ∈ R ‫יש‬ ‫אם‬ ‫הפיך‬
.a−1
‫ומסומן‬ a ‫של‬ ‫הוהפכי‬ ‫נקרא‬ ‫הוא‬ .‫יחיד‬
‫)עם‬ ‫בחוג‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ R∗
‫ב־‬ ‫מסמנים‬
‫ונקראת‬ R ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R∗
.R (‫יחידה‬
.R‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫חבורת‬
‫מספרים‬ ‫כפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ,Z∗
= {−1, 1} :‫למשל‬
.‫שלמים‬
:‫דוגמאות‬ ‫כמה‬ ‫עוד‬
.(Zn)
∗
= Z∗
n .1
.F∗
= F − {0} :‫שדה‬ F ‫אם‬ .2
.Mn (F)
∗
= GLn (F) .3
.(‫טריביאלית‬ ‫)חבורה‬ P∗
X = {X} = {e} :‫קבוצה‬ X .4
R ‫אם‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.5 ‫משפט‬
⇐ 1 ∈ I ⇐ b · a ∈ I ‫כי‬ .I = R ‫אזי‬ 14
a ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫מכיל‬
.I = R
‫שדה‬ ‫הוא‬ R ‫אז‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.6 ‫משפט‬
R‫ב־‬ ‫אין‬ ,‫)זא‬ .R‫ו־‬ {0} ‫הם‬ R‫ב־‬ ‫היחידים‬ ‫האידאלים‬ ⇐⇒
.(‫טריביאלים‬ ‫לא‬ ‫אידאלים‬
:‫סימון‬
:‫מסמנים‬ a ∈ R ‫לכל‬ . ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬
. a = a · R = a · r r ∈ R
.R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ a 29.7 ‫טענה‬
. a ⊆ J ‫מקיים‬ a ∈ J ‫המקיים‬ R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫כל‬ 29.8 ‫טענה‬
.(a ‫את‬ ‫המכיל‬ R ‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫האידאל‬ ‫הוא‬ a ,‫)כלומר‬
‫הראשי‬ ‫האידאל‬ ‫נקרא‬ ‫למעלה‬ ‫בטענה‬ a ‫האידאל‬ 29.9 ‫הגדרה‬
.a ‫עי‬ ‫הנוצר‬
‫עי‬ ‫הנוצר‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫בחוג‬ ‫ראשי‬ ‫אידאל‬
. 3 = 3 · Z :‫למשל‬ ,‫הנל‬ ‫בגרך‬ R ‫של‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬
.‫ראשי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫אידאל‬ ‫כל‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זו‬ ‫ראשי‬ ‫חוג‬ 29.10 ‫הגדרה‬
.(‫השמאלית‬ ‫בעמודה‬ ⊕ ‫)ראו‬ .Z :‫למשל‬
.‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R‫ש־‬ ‫מניחים‬ ‫אנחנו‬13
.‫כמובן‬ R‫ב־‬ ‫הפיך‬14
13

14. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 30
:a, b ∈ R ‫לכל‬ ,‫מקיים‬ S‫ל־‬ R‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬ .‫חוגים‬ S, R ‫יהיו‬
.ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) .1
.ϕ (a · b) = ϕ (a) · ϕ (b) .2
.‫איזומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ‫ועל‬ ‫חחע‬ ‫שהוא‬ ‫הומומורפיזם‬
‫איזומורפיזם‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫איזומורפים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ S, R ‫חוגים‬ ‫שני‬
:‫זאת‬ ‫ורושמים‬ ,ϕ : R → S
R ∼= S
.‫חוגים‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬
:‫הערה‬
ϕ ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : R → S ‫אם‬
.S ‫החיבורית‬ ‫לחבורה‬ R ‫החיבורית‬ ‫מהחבורה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬
,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫על‬ ‫שלנו‬ ‫הידע‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ליישם‬ ‫ניתן‬ ‫לכן‬
:‫למשל‬
,ϕ (0R) = 0S
,a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (−a) = −ϕ (a)
....'‫וכו‬ , a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (na) = nϕ (a)
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫ותמונה‬ ‫גרעין‬ 30.1
.‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : R → S ‫יהי‬
:ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬
ker (ϕ) = a ∈ R ϕ (a) = 0S
ϕ : R → ‫החיבוריות‬ ‫החבורות‬ ‫של‬ ‫ההומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫)זהו‬
.S
:ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬
Im (ϕ) = ϕ (a) a ∈ R = b ∈ S ∃a ∈ R, ϕ (a) = b
( ) .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 30.1 ‫טענה‬
.S ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ Im (ϕ) 30.2 ‫טענה‬
a·b ∈ ker (ϕ) ‫מתקיים‬ b ∈ R‫ו־‬ a ∈ ker (ϕ) ‫לכל‬ :( ) ‫הוכחה‬
:‫כי‬ b · a ∈ ker (ϕ)‫ו־‬
‫מראים‬ ‫דומה‬ ‫ובאופן‬ ϕ (ab) = ϕ (a) · ϕ (b) = 0 · ϕ (b) = 0
.ba ∈ ker (ϕ)‫ש־‬
ker (ϕ) =‫ש־‬ ‫מחבורות‬ ‫לנו‬ ‫וידוע‬ ‫מכפולת‬ ‫סופג‬ ker (ϕ)‫ש־‬ ‫הראנו‬
.(‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫)ולכן‬ ‫לחיסור‬ ‫סגור‬ ‫גם‬ ‫ושהוא‬ ∅
‫מנה‬ ‫חוג‬ 30.2
‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ I ‫בוודאי‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬
‫תת־‬ ‫היא‬ I ‫בוודאי‬ ‫לכן‬ (‫אבלית‬ ‫)שהיא‬ R ‫החיבורית‬ ‫החבורה‬
.R/I‫כ־‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫מוגדרת‬ ‫לכן‬ ,R ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬
R/I ‫המנה‬ ‫חברות‬ ‫מבנה‬ 30.2.1
,‫כלומר‬ :a ∈ R ‫כאשר‬ I + a ‫הינם‬ ‫האיברים‬
.R/I = I + a a ∈ R
:R/I‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫שיוויון‬
.(‫מחלקות‬ ‫)שוייון‬ a − b ∈ I ⇐⇒ I + a = I + b
:R/I‫ב־‬ ‫הפעולה‬
.(I + a) · (I + b) = I + (a + b)
.I + 0 = I :(‫)אפס‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
− (I + a) = I + (−a) :(‫)הופכי‬ ‫נגדי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R/I
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ R/I ‫על‬ ‫נגדיר‬ ,‫כעת‬
.(I + a) · (I + b) = I + a · b
‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫)כלומר‬ ‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנל‬ ‫הפעולה‬ :‫טענה‬
.(‫בנציגים‬
‫ופעולת‬ ‫שציינו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R/I 30.3 ‫טענה‬
‫הוא‬ ‫הכפל‬ (‫ש־א‬ ‫לבדוק‬ ‫רק‬ ‫צריך‬ ‫זה‬ ‫)בשביל‬ .‫שהגדרנו‬ ‫הכפל‬
‫מימין‬ ‫דיסטריביוטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ג‬ .‫אסוציאטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ב‬ .‫קשיר‬
.(‫הוכח‬ ‫כבר‬ ‫השאר‬ ‫כל‬ .‫ומשמאל‬
.R‫ב־‬ I ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חוג‬ ‫נקרא‬ R/I 30.4 ‫הגדרה‬
.R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.5 ‫הערה‬
‫איבר‬ .R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.6 ‫הערה‬
.I + 1 :‫הוא‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ R/I ‫של‬ ‫היחידה‬
.¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4 :‫הינן‬ ‫המחלקות‬ .Z/5 · Z :‫דוגמה‬
. Z/ 5 :Z/5 · Z ‫במקום‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ,‫כמו־כן‬
‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ 30.3
I = R ‫אם‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫נקרא‬ R ‫בחוג‬ I ‫אידאל‬ 30.7 ‫הגדרה‬
.I J R‫ש־‬ ‫כך‬ R ‫של‬ J ‫אידאל‬ ‫קיים‬ ‫ולא‬
:‫אחרות‬ ‫במילים‬
‫אם‬ :R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫ולכל‬ I = R ⇐⇒ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I
. J = R‫ש־‬ ‫או‬ J = I‫ש־‬ ‫או‬ ‫אז‬ I ⊆ R
:‫הינם‬ ‫בו‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ ‫אזי‬ ,Z6 ‫ניקח‬ :‫למשל‬
, 0 = {0}
, 1 = Z6
, 3 = {0, 3} , 2 = {0, 2, 4}
, 4 = {0, 4, 2} = 2
. 5 = {0, 5, 4, 3, 2, 1} = Z6
‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫כי‬ ‫מקסימליים‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ ‫־‬ 2 , 3
: 3 ‫את‬ ‫ניקח‬ ,‫למשל‬ ,‫בניהם‬ ‫לשים‬ ‫שנוכל‬
.{0, 3} J Z6‫ש־‬ ‫כך‬ ,J = Z6 ‫אחר‬ ‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫אין‬
. 2 ‫לגבי‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ,‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ 3 ‫ולכן‬
‫אבל‬ ,‫אידאל‬ ‫הוא‬ 4 ‫ש־‬ ‫לומר‬ ‫יכולים‬ ‫גם‬ ‫היינו‬ : 2 ‫לגבי‬ ‫הערה‬
‫אידאל‬ ‫הוא‬ 2 ‫ש־‬ ‫פשוט‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ 2 = 4 ‫ש־‬ ‫בגלל‬
. 4 ‫ה־‬ ‫על‬ ‫גם‬ ‫ישליך‬ ‫וזה‬ ‫מקסימלי‬
.(J = I‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ההגדרה‬ ‫עפ‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫)כי‬
‫כאשר‬ m = m·Z :‫הם‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ Z ‫בחוג‬ :‫דוגמא‬
.m ∈ N
. 1 = Z , 0 = {0} :‫כמובן‬
:n, m 1 ‫שעבור‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ m ⇐⇒ (n | m ⇐⇒ m · Z ⊂ n · Z)
14

15. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
I ‫ויהי‬ ,(1 = 0) ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 30.8 ‫משפט‬
:‫אז‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬
.R‫ב־‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ R/I
‫פולינומים‬ ‫חוגי‬ 31
‫הגדרות‬ 31.1
R ‫מעל‬ ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.1 ‫הגדרה‬
:‫מהצורה‬ ‫פורמלי‬ ‫ביטוי‬ ‫זהו‬
‫ו־‬ n ∈ N ‫כאשר‬ p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · + anxn
. a1, . . . , an ∈ R
p (x) ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.2 ‫הגדרה‬
:‫מהצורה‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫של‬ ‫אינסופית‬ ‫סדרה‬ ‫הוא‬ R ‫מעל‬
.i ≥ n0 ‫לכל‬ ai = 0‫ש־‬ n0 ∈ N ‫שקיים‬ ‫כך‬ p (x) = (a0, a1, . . .)
:‫סימון‬
‫הוא‬ ‫כאן‬ R) .R ‫מעל‬ ‫הפולינומים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = R [X] :‫מסמנים‬
.(‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬
‫זאת‬ ‫ולעומת‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫הם‬ ‫המקדמים‬ ‫בפולינום‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.N‫ב־‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫אלו‬ ‫החזקות‬
.(R‫ב־‬ ‫הם‬ ‫להציב‬ ‫יכולים‬ ‫שאנחנו‬ ‫־ים‬x‫ה־‬ ‫גם‬ ,‫)כמו־כן‬
‫פולינומים‬ ‫שיווייון‬ 31.2
‫הם‬ q (x) = (b0, b1, . . .)‫ו־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫פולינומים‬ ‫שני‬
.i ‫לכל‬ ai = bi ‫אם‬ (p (x) = q (x) ‫)בסימון‬ ‫שווים‬
R [X] ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫פעולות‬ 31.3
‫באופן‬ ‫וחיבור‬ ‫כפל‬ ‫מגדירים‬ p (x) , q (x) ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬
: ‫הבא‬
‫חיבור‬ 31.3.1
p (x) + q (x) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . )
‫כפל‬ 31.3.2
p (x) · q (x) = (c0, c1, . . . )
:k ∈ N ‫לכל‬ ‫כאשר‬
ck =
k
i=0
ai · bk−i =
i+j=k
aibj
‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R [X] 31.3 ‫משפט‬
.‫אלו‬
,p (x) = (0, 0, 0, . . .) ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫איבר‬
.p (x) = (1, 0, 0, . . .) :‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
‫כ־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫הפולינום‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫נהוג‬
p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · ·
p (x) ∈ R [X] ‫פולינום‬ ‫של‬ (degree) ‫המעלה‬ 31.4
‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫השלם‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדרת‬ deg p (x) ‫מסומנת‬
‫המעלה‬ ‫לכן‬ ,‫כזה‬ n ‫אין‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ .an = 0 ‫שעבורו‬ n
.15
‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫של‬
p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · :‫הכתיבה‬ ‫בצורת‬
.‫מונום‬ ‫נקרא‬ aixi
‫במונום‬ ‫המקדם‬ ‫הוא‬ ai .‫מונומים‬ ‫של‬ ‫כסכום‬ ‫נרשום‬ ‫פולינום‬
.aixi
‫)משמיטים‬ ‫אפסים‬ ‫שלהם‬ ‫שהמקדמים‬ ‫מונומים‬ ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫בדכ‬
.(‫אותם‬
‫אם‬ :‫בפרט‬ .R [X] ‫גם‬ ‫כך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.4 ‫הערה‬
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫אין‬ F [X]‫ב־‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ F
:‫מתקיים‬ ‫תמיד‬ R [X]‫ב־‬ 31.5 ‫הערה‬
deg (p (x) · deg q (x)) ≤ deg p (x) · deg q (x)
:‫אז‬ (‫שדה‬ ‫)ופרט‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫ואם‬
deg (p (x) · q (x)) = deg p (x) + deg q (x)
‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.6 ‫טענה‬
p (x) = a (‫קבועים‬ ‫)פולינומים‬ 0 ‫ממעלה‬ ‫הפולינומים‬ ‫הם‬ R [X]
.R‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫כאשר‬
F [X]‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ ‫הוא‬ F ‫אם‬ 31.7 ‫מסקנה‬
.0 = a ∈ F ‫כשאר‬ p (x) = a ‫הם‬
p (x) = 1, p (x) = :‫הפיכים‬ ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ Z [X] ‫ב־‬ :‫למשל‬
.−1
,(‫שדה‬ F) F [X] ‫יהי‬ 31.8 ‫משפט‬
‫קיימים‬ (b (x) = 0 ‫)כאשר‬ a (x) , b (x) ∈ F [X] ‫לכל‬ ,‫אזי‬
.a (x) = q (x) b (x) + r (x)‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחידים‬ ‫פולינומים‬
.deg (r (x)) ≤ deg (q (x)) ‫או‬ r (x) = 0 ‫כאשר‬
‫נקרא‬ r (x) ,b (x)‫ב־‬ a (x) ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q (x)
.‫השארית‬
R ‫כאשר‬ R [X] ‫לחוג‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫האחרון‬ ‫המשפט‬ ‫את‬ :‫הערה‬
‫שהמקדם‬ ‫לדרוש‬ ‫צריך‬ .b (x) ‫על‬ ‫תנאי‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬
.R [X]‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫יהיה‬ ‫העליון‬
‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫שורש‬ 31.5
:‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ c ∈ F ‫לכל‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬
ϕc : F [X] → F
∀p (x) ∈ F [X] : ϕc (p (x)) = p (c)
:‫אזי‬ ,p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · anxn
‫אם‬ ?p (c) ‫זה‬ ‫מה‬
.p (c) = a0 + a1 · c + a2 · c2
+ · · · + ancn
p (x) , q (x) ∈ ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕc
:F [X]
ϕc (p (x) + q (x)) = ϕc (p (x)) + ϕc (q (x))
ϕc (p (x) · q (x)) = ϕc (p (x)) · ϕc (q (x))
(c ‫)הצבת‬ ‫הצבה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ϕc
.−∞ ‫היא‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫שמעלת‬ ‫אומרים‬ ‫לחילופין‬ ‫או‬15
15