סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות, בין השאר נמצאים בסיכום: אוטומטי DFA, NFA, NFA עם מסעי אפסילון, אוטומט מחסנית, אוטומט, רבין, ביטוים רוגלרים, משפט נירוד, מחלקות שקילות, אלגוריתמים על אוטומטים... הסיכום לקוח מהאתר - http://www.letach.net

1. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬
‫פורמליות‬ ‫ושפות‬ ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬
‫תשע"ו‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
I ‫חלק‬
‫בסיסיות‬ ‫הגדרות‬
‫יקראו‬ ‫שאבריה‬ Σ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫שפה‬ ‫של‬ ‫־‬ (‫)א"ב‬ ‫אלפבית‬
.(‫תווים‬ ‫)או‬ ‫אותיות‬
‫אותיות‬ ‫של‬ ‫סופית‬ ‫סדרה‬ ‫זוהי‬ ‫־‬ Σ ‫א"ב‬ ‫מעל‬ (‫מחרוזת‬ ‫)או‬ ‫מילה‬
.‫הסדרה‬ ‫אברי‬ ‫בין‬ ‫פסיקים‬ ‫ללא‬ ‫כשירשור‬ ‫שרשומה‬ ,Σ‫מ־‬
:(w‫ב־‬ ‫מסומנת‬ ‫)אשר‬ ‫מילה‬
ai ∈ Σ, w = a1a2...an
:‫למשל‬ ‫הינן‬ Σ ‫מעל‬ ‫מילים‬ ‫אזי‬ Σ = {0, 1} ‫אם‬ :‫למשל‬
0, 0111, 01010, ...
.w‫ב־‬ ‫האותיות‬ ‫מספר‬ ‫בתור‬ ‫ומוגדר‬ |w| ‫מסומן‬ w ‫מילה‬ ‫של‬ ‫האורך‬
‫את‬ #a (w)‫ב־‬ ‫מסמנים‬ Σ ‫מעל‬ w ‫ומילה‬ a ∈ Σ ‫עבור‬
.w‫ב־‬ a ‫של‬ ‫המופעים‬ ‫מספר‬
:‫מתקיים‬ ‫אזי‬
X
a∈Σ
#a (w) = |w|
.‫הריקה‬ ‫המילה‬ ‫ונקראת‬ ε‫ב־‬ ‫מסומנת‬ ‫אפס‬ ‫באורך‬ ‫מילה‬
.Σ ‫א"ב‬ ‫מעל‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫את‬ Σ∗
‫ב־‬ ‫מסמנים‬
:‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.‫בת־מנייה‬ ‫אבל‬ ,‫אינסופית‬ ‫־‬ Σ∗
,‫סופית‬ ‫־‬ Σ
:Σ∗
‫מ־‬ ‫מילים‬ ‫שתי‬ ‫עבור‬
:‫מסומן‬ w, v ‫של‬ ‫השירשור‬ ‫אזי‬ v = b1 · · · bn‫ו־‬ w = a1 · · · an
:‫ע"י‬ ‫ומוגדר‬ wv
wv = a1 · · · anb1 · · · bn
.Σ∗
‫מ־‬ ‫מילים‬ ‫אוסף‬ ‫הינה‬ Σ ‫א"ב‬ ‫מעל‬ ‫שפה‬
.L ⊆ Σ∗
⇐⇒ Σ ‫על‬ ‫שפה‬ L
.2ℵ0 ‫מעוצמה‬ ‫היא‬ ,‫מנייה‬ ‫בת‬ ‫אינה‬ Σ ‫מעל‬ ‫השפות‬ ‫שמשפחת‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫מוגדרות‬ Σ ‫מעל‬ ‫שפות‬ ‫בין‬ ‫לכן‬ ,Σ∗
‫של‬ ‫תת־קבוצות‬ ‫הן‬ ‫שפות‬
:‫ומשלים‬ (L1 ∩ L2) ‫חיתוך‬ ,(L1 ∪ L2) ‫איחוד‬ ‫פעולות‬
.LC
= Σ∗
− L
‫שירשור‬ :‫פעולות‬ ‫שתי‬ ‫עוד‬ Σ ‫מעל‬ ‫שפות‬ ‫בין‬ ‫מוגדרות‬ ,‫בנוסף‬
:‫ואיטרציה‬
‫שירשור‬
:‫ע"י‬ ‫מוגדר‬ L1L2 ‫השירשור‬ L1, L2 ⊆ Σ∗
‫עבור‬
L1L2 =
uv u ∈ L1, v ∈ L2
‫איטרציה‬
:‫באינדוקציה‬ Ln
‫נגדיר‬ ‫שלם‬ n ≥ 0 ‫ועבור‬ L ⊆ Σ∗
‫שפה‬ ‫עבור‬
L0
= {ε}
Ln+1
= Ln
· L
.L ‫מעל‬ ‫מילים‬ n ‫של‬ ‫השירשורים‬ ‫כל‬ ‫שפת‬ = Ln
:‫עי‬ ‫ומוגדרת‬ L∗
‫מסומנת‬ ‫־‬ (L ‫של‬ * :‫)או‬ L ‫של‬ ‫האיטרציה‬
L∗
=
[
n≥0
Ln
= L0
∪ L1
∪ L2
· · · ∪ Ln
‫מתוך‬ ‫מילים‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫מספר‬ ‫של‬ ‫השירשורים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = L∗
.(L‫מ־‬ ‫מילים‬ ‫אפס‬ ‫של‬ ‫שירשור‬ ‫־‬ ε ‫)כולל‬ L
‫ריקה‬ ‫מילה‬ ‫ועל‬ ‫ריקה‬ ‫שפה‬ ‫על‬ ‫הערות‬ ‫כמה‬ 0.1
,L = ∅ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ .‫הריקה‬ ‫לשפה‬ ‫הריקה‬ ‫המילה‬ ‫בין‬ ‫הבדל‬ ‫ישנו‬
:‫אזי‬
L ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ ε ∈ L ‫־‬ ‫אם‬ ‫אבל‬ .‫הוגדר‬ ‫זה‬ ‫אם‬ ‫אלא‬ ,ε /
∈ L
:‫כלומר‬ ,‫ריקה‬ ‫אינה‬
.L 6= ∅
‫ואחת‬ L1 · L2 ‫לשרשר‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬ ,‫ההגדרה‬ ‫עפ‬ ,‫כמו־כן‬
,‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ ‫יהיה‬ ‫שלהן‬ ‫השירשור‬ ‫גם‬ ‫אזי‬ ,‫ריקה‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ ‫מהן‬
:‫כלומר‬
.L1 · L2 = ∅
.‫הללו‬ ‫לדברים‬ ♥ ‫לשים‬ ‫כדאי‬
1

2. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
II ‫חלק‬
‫סופיים‬ ‫אוטומטיים‬
(‫)אסד‬ ‫דטרמיניסטי‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬ 1
‫פורמלית‬ ‫הגדרה‬ 1.1
‫המכיל‬ ‫)דבר‬ ‫חמישה‬ ‫זהו‬ ‫־‬ (DFA) ‫דטרמיניסטי‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬
:(‫דברים‬ ‫חמישה‬
A = hQ, Σ, δ, q0, F i
:‫כאשר‬
.‫מצבים‬ ‫נקראים‬ ‫שאבריה‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫־‬ Q •
.‫האוטומט‬ ‫של‬ ‫האב‬ ‫זה‬ .‫אב‬ ‫־‬ Σ •
.δ : Q × Σ → Q ‫־‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ‫־‬ δ •
:‫שמסומן‬ ‫מצב‬ ‫מתאימה‬ δ ,a ∈ Σ ‫ולכל‬ q ∈ Q ‫לכל‬ ,‫כלומר‬
‫נמצא‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ‫האוטומט‬ ‫יכנס‬ ‫שאליו‬ ‫המצב‬ ‫זה‬ .δ (q, a)
.a ‫האות‬ ‫את‬ ‫וקורא‬ q ‫במצב‬
.‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬ ‫שנקרא‬ Q‫ב־‬ ‫מיוחד‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ ‫־‬ q0 •
‫שאבריה‬ [‫מצבים‬ ‫]קבוצת‬ Q‫ל־‬ ‫חלקית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫־‬ F •
.‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫או‬ ,‫הסופיים‬ ‫המצבים‬ ‫נקראים‬
‫נוספות‬ ‫הגדרות‬ 1.2
.DFA ,A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫יהי‬
:Σ∗
‫ב־‬ w = a1 · · · an ‫מילה‬ ‫עבור‬
‫כך‬ q0, q1, q2, ..., qn :‫מצבים‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬ ‫־‬ w ‫על‬ A ‫של‬ ‫הריצה‬
:‫מתקיים‬ 1 ≤ i ≤ n ‫ולכל‬ ,A ‫של‬ ‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬ ‫הוא‬ q0‫ש־‬
qi = δ (qi−1, ai)
‫במצב‬ ‫מסתיימת‬ w ‫על‬ A ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫אם‬ w ‫המילה‬ ‫את‬ ‫מקבל‬ A
.(qn ∈ F ,‫)זא‬ (‫סופי‬ ‫)או‬ ‫מקבל‬
.w ‫את‬ ‫דוחה‬ A ,‫אחרת‬
:‫עי‬ ‫ומוגדרת‬ L (A) ‫מסומנת‬ ,A ‫של‬ ‫השפה‬
L (A) =
n
w ∈ Σ∗
o
.w ‫את‬ ‫מקבל‬ A ‫־‬
‫גרפי‬ ‫סימון‬ 1.3
‫מסומנים‬ ‫קשתות‬ ‫עם‬ ‫מכוונים‬ ‫גרפים‬ ‫באמצעות‬ DFA ‫נציג‬
.‫האוטומט‬ ‫מ־אב‬ ‫באותיות‬
:‫מצבים‬ ‫יסמנו‬ ‫צמתים‬
.‫התחלתי‬ ‫מצב‬ ‫־‬ //
.(‫מקבל‬ ‫מצב‬ :‫)או‬ ‫סופי‬ ‫מצב‬ ‫־‬
.δ (q, a) = p :‫מסמן‬ q a // p :‫קשתות‬
q
a,b
// p :‫כך‬ ‫מקצרים‬ q
a
**
b
44 p
.Σ ‫לכתוב‬ ‫פשוט‬ ‫ניתן‬ ,‫קשת‬ ‫על‬ ‫האב‬ ‫את‬ ‫לכתוב‬ ‫במקום‬ ,‫כמו־כן‬
‫מקבל‬ A (DFA) ‫דטרמיניסטי‬ ‫סופי‬ ‫שאוטומט‬ ‫אומרים‬ :‫הערה‬
.L (A) = L ‫אם‬ (L ‫את‬ ‫מזהה‬ A :‫)או‬ L ‫השפה‬ ‫את‬
‫דוחה‬ ‫בור‬ 1.4
‫שממנו‬ ‫מצב‬ ‫כלומר‬ ,‫דוחה‬ ‫בור‬ ‫הוא‬ ‫להכיר‬ ‫שכדאי‬ ‫הדברים‬ ‫אחד‬
.‫אחר‬ ‫מצב‬ ‫לשום‬ ‫לצאת‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬
‫מכילות‬ ‫אשר‬ ‫המילים‬ ‫על‬ ‫היא‬ L‫ו־‬ Σ = {0, 1} ‫אצלנו‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬
:‫הינו‬ ‫זאת‬ ‫שפה‬ ‫שמקבל‬ ‫האוטומט‬ ‫אזי‬ ,‫בלבד‬ 1
// q0
1
0 // q1
0,1
‫למצב‬ ‫נכנסים‬ ‫אנחנו‬ 0 ‫האות‬ ‫את‬ ‫שקיבלנו‬ ‫שברגע‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.‫דוחה‬ ‫לבור‬ ‫הגענו‬ ,‫כלומר‬ ‫־‬ ‫ממנו‬ ‫לצאת‬ ‫דרך‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫שאין‬
‫השפה‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬ ,‫ההפך‬ ‫כמובן‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫זה‬ ‫כן‬ ‫כמו‬
‫אזי‬ ,‫לפחות‬ ‫אחד‬ 0 ‫יש‬ ‫מילה‬ ‫בכל‬ ‫שבה‬ ‫שפה‬ ,‫כלומר‬ ,‫המשלימה‬
:‫הינו‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫שיקבל‬ ‫האוטומט‬
// q0
1
0 // q1
0,1
‫המילה‬ ‫את‬ ‫מקבל‬ ‫האוטומט‬ ‫־‬ ‫אחד‬ 0 ‫היה‬ ‫שבקלט‬ ‫ברגע‬ ,‫כאן‬ ‫וגם‬
.(‫מקבל‬ ‫בור‬ ‫הפעם‬ ‫)שנקרא‬ ‫כזה‬ ‫לבור‬ ‫והגענו‬
δ ‫הרחבת‬ 1.5
‫עבור‬ ‫תקפה‬ ‫שתהיה‬ δ ‫את‬ ‫להרחב‬ ‫ניתן‬ ,‫להסברים‬ ‫להיכנס‬ ‫מבלי‬
:‫כלומר‬ ,‫אות‬ ‫עבור‬ ‫רק‬ ‫ולא‬ ‫מילה‬
δ : Q × Σ∗
→ Q
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫תתנהג‬ ‫הפונקציה‬ ‫ולכן‬
(
δ (q, ε) = q, ∀q ∈ Q
δ (q, wa) = δ (δ (q, w) , a) , ∀q ∈ Q, ∀w ∈ Σ∗
, ∀a ∈ Σ
2

3. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
:‫ש‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
L (A) =
(
w ∈ Σ∗
δ (q0, w) ∈ F
)
:‫במילים‬ ‫או‬
δ (q0, w) ∈ F ⇐⇒ w ‫המילה‬ ‫את‬ ‫מקבל‬ A
:δ ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫נוספת‬ ‫תכונה‬
δ (q, u · v) = δ (δ (q, u) , v), ∀q ∈ Q, ∀u, v ∈ Σ∗
‫רגולרית‬ ‫שפה‬ 1.6
DFA ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫רגולרית‬ ‫שפה‬ ‫נקראת‬ L ⊆ Σ∗
‫שפה‬ 1.1 ‫הגדרה‬
.L (A) = L‫ש־‬ ‫כך‬ A
‫או‬ L =
an
bn
n ∈ N ,Σ = {a, b} :‫רגולרית‬ ‫לא‬ ‫לשפה‬ ‫דוגמא‬
. L =
w #a (w) = #b (w) :‫אחר‬ ‫בכתיב‬ ‫שפה‬ ‫אותה‬
(‫מסוים‬ ‫אב‬ ‫)מעל‬ ‫הרגולריות‬ ‫השפות‬ ‫משפחת‬ 1.7
.‫אב‬ Σ ‫יהי‬
:‫רגולרית‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ ‫־‬ Σ∗
.1
// q0
Σ
.Σ∗
‫את‬ ‫מזהה‬ ‫הנל‬ ‫האוטומט‬
:‫רגולרית‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ ∅ .2
// q0
Σ
.F = ∅ ‫זה‬ ‫באוטומט‬ .∅ ‫את‬ ‫מזהה‬ ‫זה‬ ‫אוטומט‬
‫מכפלה‬ ‫אוטומט‬ 1.8
:‫יהיו‬
A1 = hQ1, Σ, δ1, q1, F1i
A2 = hQ2, Σ, δ2, q2, F2i
‫זהו‬ A2‫ו־‬ A1 ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫אוטומט‬ ,Σ ‫אב‬ ‫אותו‬ ‫מעל‬ ‫־ים‬DFA ‫שני‬
:A (DFA) ‫אוטומט‬
A = hQ, Σ, δ, q0, Fi
:‫שמקיים‬
Q = Q1 × Q2 =
n
q × r q ∈ Q1, r ∈ Q2
o
•
δ : Q × Σ → Q •
δ ((q, r) , a) = (δ1 (q, a) , δ2 (r, a)) •
q = (q1, q2) •
.(‫למשנהו‬ ‫אחד‬ ‫מכפלה‬ ‫מאוטומט‬ ‫משתנה‬ ‫)היא‬ F ⊆ Q •
.‫יקבל‬ ‫שהאוטומט‬ ‫שרוצים‬ ‫השפה‬ ‫לפי‬ ‫אותה‬ ‫קובע‬ ‫המשתמש‬
‫של‬ ‫שילוב‬ ‫בעצם‬ ‫זה‬ ‫מכפלה‬ ‫אוטומט‬ ,‫אופן‬ ‫שבאיזשהו‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬
‫היא‬ ‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫וקבוצת‬ ‫במקביל‬ ‫שרצים‬ ‫אוטומטים‬ ‫שני‬
.‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫למה‬ ‫בהתאמה‬
(...‫בהמשך‬ ‫)דוגמא‬
‫מכפלה‬ ‫באוטומט‬ δ ‫הרחבת‬ 1.8.1
δ : Q × Σ∗
→ Q
(
δ ((q, r) , ε) = (q, r) , ∀ (q, r) ∈ Q
δ ((q, r) , wa) = δ (δ ((q, r) , w) , a) , ∀ (q, r) ∈ Q, w ∈ Σ∗
, a ∈ Σ
‫מכפלה‬ ‫לאטומט‬ ‫דוגמא‬ 1.8.2
:‫הבאים‬ ‫האוטומטים‬ ‫בשני‬ ‫נסתכל‬
:A1
// q0
b
a
**
q1
a
jj
b
:A2
// r0
a
b // r1
a
b
~~
r2
a
b
``
3

4. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
:‫ש‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
L (A1) =
n
w ∈ {a, b}
∗
2 | #a (w)
o
L (A2) =
n
w ∈ {a, b}
∗
3 | #b (w)
o
‫־ים‬b‫ה־‬ ‫מספר‬ ‫־‬ L (A2) ,‫זוגי‬ ‫־ים‬a‫ה־‬ ‫מספר‬ ‫־‬ L (A1) :‫כלומר‬
.(m ‫את‬ ‫מחלק‬ n‫ש־‬ ‫פירושו‬ n | m :‫)תזכורת‬ 3‫ב־‬ ‫מתחלק‬
‫שישה‬ ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫)ישנם‬ :‫כך‬ ‫נראה‬ A2‫ו־‬ A1 ‫של‬ ‫אוטומט‬ ‫כל‬
:(|Q1| · |Q2| = 6‫ו־‬ ‫היות‬ ,‫מצבים‬
// (q0, r0)
a
--
b
(q1, r0)
a
mm
b
(q0, r1)
a
--
b
(q1, r1)
a
mm
b
(q0, r2)
a
--
b
==
(q1, r2)
a
mm
b
aa
?‫מכפלה‬ ‫האוטומט‬ ‫את‬ ‫בונים‬ ‫כיצד‬
‫ואז‬ ,‫אוטומט‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬ ,(q0, r0)‫מ־‬ ‫מתחילים‬
‫לנו‬ ‫יש‬ ‫נניח‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬ ‫מובילה‬ ‫היא‬ ‫לאן‬ ‫באב‬ ‫אות‬ ‫כל‬ ‫בודקים‬
‫נותנים‬ ‫כאשר‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ q0 ‫לאן‬ ‫בודקים‬ ‫אזי‬ a ‫האות‬ ‫את‬ ‫באב‬
q0 → q3 :‫לדוגמא‬ ,a ‫לו‬ ‫שנותנים‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ r0 ‫ולאן‬ a ‫לו‬
:‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ ‫ואז‬ r0 → r2‫ו־‬
// (q0, r0)
a // (q3, r2)
(q3, r2)‫ל־‬ ‫ללכת‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ x ∈ Σ ‫לכל‬ ‫ככה‬ ‫שעשינו‬ ‫ואחרי‬
‫כל‬ ‫עבור‬ ‫בדיוק‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫ולעשות‬ [‫ישנו‬ ‫אם‬ ‫אחר‬ ‫מצב‬ ‫]או‬
.x ∈ Σ
‫או‬ ‫המצבים‬ ‫לכל‬ ‫מגיעים‬ ‫שאנחנו‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫ממשיכים‬ ‫אנחנו‬ ‫וכך‬
‫לכל‬ ‫שנגיע‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫)לא‬ ‫להמשיך‬ ‫לאן‬ ‫שאין‬ ‫רואים‬ ‫שאנחנו‬
.(‫המצבים‬ |Q1| · |Q2|
‫עבור‬ ‫ובודקים‬ (q0, r0)‫מ־‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ,‫יותר‬ ‫פורמלית‬ ‫בצורה‬
‫לאיזשהו‬ ‫ממשכים‬ ‫מכן‬ ‫ולאחר‬ δ ((q0, r0) , x) :‫מהי‬ x ∈ Σ ‫כל‬
.‫אליו‬ ‫אותנו‬ ‫הוביל‬ (q0, r0)‫ש־‬ ‫אחר‬ ‫מצב‬
‫היא‬ ‫־‬ F ‫־‬ ‫מכפלה‬ ‫באוטומט‬ ‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫לגבי‬
‫לכך‬ ‫בהתאם‬ .‫לצורך‬ ‫בהתאם‬ ‫אותה‬ ‫להגדיר‬ ‫וניתן‬ !‫קבועה‬ ‫אינה‬
.‫כמובן‬ ‫המכפלה‬ ‫אוטומט‬ ‫שפה‬ ‫תוגדר‬ ‫גם‬
:‫הנל‬ ‫המכפה‬ ‫אוטומט‬ ‫לגבי‬ ,‫נבחר‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬
F = (F1 × Q1)∪(Q1 × F2) =
n
(q, r) ∈ Q q ∈ F1 ∨ r ∈ F2
o
:‫היא‬ (‫המכפלה‬ ‫)אוטומט‬ ‫האוטומט‬ ‫ששפת‬ ‫נקבל‬ ‫אזי‬
L (A) = L (A1) ∪ L (A2)
.
‫נוספים‬ ‫משפטים‬ ‫כמה‬ 1.9
‫לאיחוד‬ ‫סגורה‬ Σ ‫אב‬ ‫מעל‬ ‫הרגולריות‬ ‫השפות‬ ‫משפחת‬ 1.2 ‫משפט‬
.‫וחיתוך‬
L1 ∪ L2 ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ‫רוגלריות‬ ‫שפות‬ ‫הן‬ L1, L2 ⊆ Σ∗
‫אם‬ ,‫כלומר‬
.L1 ∩ L2‫ו־‬
‫לאיחוד‬ ‫סגורה‬ Σ ‫אב‬ ‫מעל‬ ‫הרגולריות‬ ‫השפות‬ ‫משפחת‬ 1.3 ‫מסקנה‬
.1
‫שפות‬ ‫של‬ ‫סופי‬ ‫מספר‬ ‫של‬ ‫ולחיתוך‬
‫רגולרית‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ L = {w} ‫השפה‬ w ∈ Σ∗
‫לכל‬ 1.4 ‫הערה‬
.(‫אחת‬ ‫מילה‬ ‫בת‬ ‫)שפה‬
‫כי‬ ,‫נכון‬ ‫)זה‬ ‫רגולרית‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ Σ ‫מעל‬ ‫סופית‬ ‫שפה‬ ‫כל‬ 1.5 ‫מסקנה‬
‫מכילה‬ ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫שכל‬ ‫שפות‬ ‫של‬ ‫סופי‬ ‫איחוד‬ ‫היא‬ ‫סופית‬ ‫שפה‬ ‫כי‬
.(‫רגולרית‬ ‫היא‬ ‫ולכן‬ ,‫אחת‬ ‫מילה‬
‫להפרש‬ ‫סגורה‬ Σ ‫אב‬ ‫מעל‬ ‫הרגולריות‬ ‫השפות‬ ‫משפחת‬ 1.6 ‫טענה‬
.‫סימטרי‬ ‫ולהפרש‬
:‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ‫רגולריות‬ ‫שפות‬ ‫הן‬ L1, L2 ⊆ Σ∗
‫אם‬ ,‫כלומר‬
. 3 2
. L1L2 = L1 − L2‫ו־‬ L1∆L2 = L1 ⊕ L2
‫ניתן‬ ‫אזי‬ ,‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫שאינם‬ ‫מצבים‬ ‫באוטומט‬ ‫קיימים‬ ‫אם‬
‫שקשורים‬ (‫)החצים‬ ‫המעברים‬ ‫כל‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ,‫אלה‬ ‫מצבים‬ ‫להסיר‬
‫של‬ ‫שפה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫שמזהה‬ DFA ‫עדיין‬ ‫הוא‬ ‫שישאר‬ ‫מה‬ .‫אליהם‬
.‫המקורי‬ ‫האוטומט‬
.‫נכון‬ ‫אינו‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ‫רגולריות‬ ‫שפות‬ ‫של‬ ‫אינסופי‬ ‫מספר‬ ‫של‬ ‫במקרה‬1
L1 − L2 = L1L2 =
n
w w ∈ L1 ∧ w /
∈ L2
o
2
‫חייב‬ ‫האיבר‬ ‫כלומר‬ ‫־‬ L1∆L2 = L1 ⊕ L2 =
w w ∈ L1 ⊕ w ∈ L2
3
!‫בלבד‬ ‫אחת‬ ‫בקבוצה‬ ‫להיות‬
4

5. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
(‫)אסלד‬ ‫דטרמינסטי‬ ‫לא‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬ 2
:‫חמישיה‬ ‫הוא‬ ‫אסלד‬
A = hQ, Σ, δ, q0, Fi
:‫כאן‬ ‫אבל‬ DFA ‫בהגדרת‬ ‫כמו‬ ‫בדיוק‬ ‫הם‬ Q, Σ, q0, F :‫שבה‬
δ : Q × Σ → 2Q
.Q ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ 2Q
= P (Q) =
n
P P ⊆ Q
o
‫כאשר‬
‫קבוצה‬ ‫מותאמת‬ ‫מצב‬ ‫לכל‬ ‫דטרמיניסטי‬ ‫סופי‬ ‫לאוטומט‬ ‫בניגוד‬ ,‫כאן‬
.‫מצבים‬ ‫של‬
‫קבוצה‬ ‫היא‬ δ (q, a) ,‫כלומר‬ ,δ (q, a) ⊆ Q :a ∈ Σ‫ו־‬ q ∈ Q ‫עבור‬
.‫מצבים‬ ‫של‬
‫לעבור‬ ‫יכול‬ ‫הוא‬ a ‫את‬ ‫וקורא‬ q‫ב־‬ ‫נמצא‬ ‫נמצא‬ ‫כשהאוטומט‬
‫המשך‬ ‫את‬ ‫לנחש‬ ‫יכול‬ ‫]האוטומט‬ δ (q, a)‫ב־‬ ‫מהמצבים‬ ‫אחד‬ ‫לכל‬
.[‫החישוב‬
q‫ב־‬ ‫נמצא‬ ‫האוטומט‬ ‫שאם‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫־‬ δ (q, a) = ∅ ‫ש־‬ ‫ייתכן‬
.‫בחישוב‬ ‫להמשיך‬ ‫יכול‬ ‫ולא‬ ‫נתקע‬ ‫הוא‬ a ‫וקורא‬
‫המילים‬ ‫כל‬ ‫היא‬ ‫השפה‬ ‫כאשר‬ Σ = {0, 1} ‫עבור‬ ‫אסלד‬ ‫הנה‬ ,‫למשל‬
:1 ‫היא‬ ‫אחרונה‬ ‫לפני‬ ‫האחת‬ ‫האות‬ ‫שבהן‬
// q0
0,1
1 // q1
0,1
// q2
‫קשתות‬ ‫מספר‬ ‫לצאת‬ ‫יכולים‬ Q ‫ממצב‬ ‫האוטומט‬ ‫את‬ ‫המייצג‬ ‫בגרף‬
.‫קלט‬ ‫אות‬ ‫באותה‬ ‫שמסומנות‬ (‫קשתות‬ 0 ‫גם‬ ‫)ייתכנו‬
:‫למשל‬
r
q
a
88
a
p
:‫הציור‬ ‫משמעות‬
‫לא‬ ‫באופן‬ ‫יכול‬ ‫הוא‬ a ‫את‬ ‫וקורא‬ q ‫במצב‬ ‫נמצא‬ ‫כשהאוטומט‬
.r‫ל־‬ ‫או‬p‫ל־‬ ‫לעבור‬ ‫דטרמיניסטי‬
‫אם‬ ,‫כזה‬ ‫במקרה‬ .a‫ב־‬ ‫שמסומנת‬ ‫קשת‬ ‫יוצאת‬ ‫לא‬ q‫שמ־‬ ‫ייתכן‬
‫ולא‬ (q‫)ב־‬ ‫נתקע‬ ‫האוטומט‬ ‫־‬ a ‫את‬ ‫וקורא‬ q‫ב־‬ ‫נמצא‬ ‫האוטומט‬
.‫שלו‬ ‫בריצה‬ ‫להמשיך‬ ‫יכול‬
‫מצב‬ ‫הוא‬ q ‫אם‬ ‫אפילו‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫דוחה‬ ‫האוטומט‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬
.(‫)מקבל‬ ‫סופי‬
w = a1a2 · · · an ‫מילה‬ ‫על‬ A ‫של‬ (‫חישוב‬ ‫מסלול‬ :‫)או‬ ‫ריצה‬
‫סדרת‬ ‫)אורך‬ q0, q1, ..., qn :‫מצבים‬ ‫סדרה‬ ‫היא‬ (ai ∈ Σ) Σ∗
‫מ־‬
:‫שמקיימת‬ (|w| + 1 :‫המצבים‬
.qi ∈ δ (qi−1, ai) :1 ≤ i ≤ n ‫ולכל‬ ‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬ ‫הוא‬ q0
‫מספר‬ .w ‫קלט‬ ‫מילת‬ ‫על‬ ‫אפשריות‬ ‫ריצות‬ ‫מספר‬ ‫יש‬ A‫של־‬ ‫כמובן‬
.0 ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫זה‬
‫לפני‬ ‫להיתקע‬ ‫יכול‬ ‫האוטומט‬ ‫מסויימת‬ ‫קלט‬ ‫מילת‬ ‫על‬ ,‫]כלומר‬
.[‫המילה‬ ‫קריאת‬ ‫את‬ ‫שסיים‬
(|w| = n ‫)כאשר‬ w ‫הקלט‬ ‫מילת‬ ‫את‬ ‫מקבל‬ A ‫שאסלד‬ ‫אומרים‬
,‫)כלומר‬ qn ∈ F‫ש־‬ ‫כך‬ w ‫על‬ A ‫של‬ q0, ..., qn ‫ריצה‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬
.(‫סופי‬ ‫במצב‬ ‫שמסתיימת‬ ‫פעמים‬ n ‫של‬ ‫ריצה‬
:‫להיות‬ ‫ומוגדרת‬L (A) ‫מסומנת‬ A ‫אסלד‬ ‫של‬ ‫השפה‬
L (A) =
(
w ∈ Σ∗
:
)
.w ‫את‬ ‫מקבל‬ A ‫־‬ :
‫על‬ ‫שריצה‬ ‫ייתכן‬ :‫הבא‬ ‫הכלל‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫גם‬ ‫כדאי‬
‫שהאוטומט‬ ‫או‬ ‫מקבל‬ ‫לא‬ ‫במצב‬ ‫תסתיים‬ ‫בשפה‬ ‫מילה‬
‫שאינה‬ ‫מילה‬ ‫האוטומט‬ ‫על‬ ‫שנריץ‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫יתקע‬
‫)אלא‬ ‫מקבל‬ ‫במצב‬ ,‫כלשהי‬ ‫בריצה‬ ,‫תסתיים‬ ‫והיא‬ ‫בשפה‬
.(‫המילה‬ ‫את‬ ‫דוחה‬ ‫שהאוטומט‬ ‫נחשב‬ ‫זה‬ ‫ואז‬ ‫נתקע‬ ‫האוטומט‬ ‫אם‬
‫בעצם‬ ‫הוא‬ DFA .NFA ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ ‫הוא‬ DFA 2.1 ‫הערה‬
.q ∈ Q ‫ולכל‬ a ∈ Σ ‫לכל‬ |δ (q, a)| = 1 ‫שבו‬ NFA
NFA ‫מסוג‬ ‫אוטומטים‬ ‫לכמה‬ ‫דוגמאות‬ 2.1
:‫ראשונה‬ ‫דוגמא‬
Σ = {0, 1} ‫האב‬ ‫מעל‬ ‫יהיו‬ ‫בדוגמאות‬ ‫האוטומטים‬ ‫כל‬
L = {00, 01, 010} ‫כאשר‬ L∗
:‫הבאה‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמזהה‬ ‫אוטומט‬
q2
1
**
q0
0
**
0
jj
0
q1
0
jj q2
1
jj
:‫שניה‬ ‫דוגמא‬
‫השלישית‬ ‫האותה‬ ‫שבהן‬ ‫בשפה‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫שמזהה‬ ‫אוטומט‬
:1 ‫היא‬ ‫מהסוף‬
// q0
0,1
1 // q1
0,1
// q2
0,1
// q3
:‫נגדיר‬ a ∈ Σ ‫ועבור‬ P ⊆ Q ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫עבור‬
δ (P, a) =
[
q∈P
δ (q, a)
.(a ∈ Σ ‫ולכל‬ q ∈ Q ‫לכל‬ ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ δ (q, a) :‫)תזכורת‬
‫אם‬ ‫להגיע‬ ‫האוטומט‬ ‫יכול‬ ‫שאליהם‬ ‫המצבים‬ ‫קבוצת‬ = δ (P, a)
.a ‫וקורא‬ P‫ב־‬ ‫המצבים‬ ‫באחד‬ ‫נמצא‬ ‫הוא‬
:‫השנייה‬ ‫בדוגמא‬ ,‫למשל‬
δ ({q0, q1} , 0) = {q0, q2}
δ ({q0, q1} , 1) = {q0, q1, q2}
δ ({q3} , 0) = ∅
δ ({q1, q3} , 1) = {q2}
5

6. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫ולכן‬ ,δ : Q × Σ∗
→ 2Q
:‫מילה‬ ‫עבור‬ ‫גם‬ δ ‫את‬ ‫להרחיב‬ ‫ניתן‬
:w ∈ Σ∗
‫ולכל‬ q ∈ Q ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ δ (q, w)
‫אליהם‬ ‫להגיע‬ ‫יכול‬ ‫שהאוטומט‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = δ (q, w)
.w ‫את‬ ‫לקרוא‬ ‫ומנסה‬ q ‫במצב‬ ‫מתחיל‬ ‫הוא‬ ‫אם‬
w ‫על‬a ‫של‬ ‫הריצות‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫קורה‬ ‫זה‬ .δ (q, w) = ∅‫ש־‬ ‫ייתכן‬
.‫נתקעות‬
‫ו־‬ P ⊆ Q ‫עבור‬ δ (P, w) ‫להגדיר‬ ‫ניתן‬ ,‫אופן‬ ‫באותו‬ ,‫)כמו־כן‬
.(w ∈ Σ∗
A ‫לא־דטמינסטי‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬ ‫של‬ ‫השפה‬ 2.2
:‫כך‬ ‫מוגדרת‬ A ‫אסלד‬ ‫של‬ ‫השאפה‬
L (A) =
(
w ∈ Σ∗
δ (q0, w) ∩ F 6= ∅
)
:w ∈ Σ∗
‫עבור‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬
.δ (q0, w) ∩ F 6= ∅ ⇐⇒ w ‫את‬ ‫מקבלת‬ A
‫חזקה‬ ‫אוטומט‬ 2.3
.L (A) = L (B)‫ש־‬ ‫כך‬ B ‫אסד‬ ‫קיים‬ ,A ‫אסלד‬ ‫לכל‬ 2.2 ‫טענה‬
‫אוטומט‬ ‫בונים‬ ‫איך‬ ‫אסביר‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ,‫הטענה‬ ‫את‬ ‫אוכיח‬ ‫לא‬ ‫)אני‬
(‫דוגמא‬ ‫באמצעות‬ ‫כזה‬
‫בעצם‬ ‫הוא‬ (‫בונים‬ ‫שנאחנו‬ ‫)האסד‬ B‫ב־‬ ‫מצב‬ ‫שכל‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬ ‫רק‬
,(‫בהמשך‬ ‫)יובהר‬ A‫מ־‬ ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬
.{q0} ‫הוא‬ B ‫של‬ ‫ההתחלתי‬ ‫והמצב‬
:(Σ = {0, 1} ‫)מעל‬ ‫הבא‬ ‫האוטומט‬ ‫לנו‬ ‫ונתון‬ ‫נניח‬
// q0
0,1
1 // q1
0,1
// q2
‫)וזה‬ ‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫נעשה‬ ‫שלנו‬ DFA‫ה־‬ ‫את‬ ‫לבנות‬ ‫בשביל‬ ,‫אזי‬
(NFA ‫אוטומט‬ ‫לכל‬ ‫נכון‬
‫נשלח‬ ‫אם‬ ‫נגיע‬ ‫אנחנו‬ ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫לאיזו‬ ‫ונראה‬ {q0}‫מ־‬ ‫נתחיל‬
:4
Σ‫ב־‬ ‫מהאותיות‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫לו‬
‫מתחילה‬ ‫כך‬ ,‫ולכן‬ δ ({q0} , 0) = {q0} , δ ({q0} , 1) = {q0, q1}
:‫הבניה‬
// {q0}
0
1 // {q0, q1}
,‫עבורו‬ ‫לבדוק‬ ‫מה‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ q0 ‫אל‬ ‫אותנו‬ ‫מוביל‬ 0‫ו־‬ ‫היות‬ ,‫כעת‬
‫קבוצת‬ ‫לאן‬ ‫כעת‬ ‫נבדוק‬ ‫ולכן‬ {q0, q1}‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫הוביל‬ 1 ‫אבל‬
:‫אותנו‬ ‫מובילה‬ ‫הזאת‬ ‫המצבים‬
δ ({q0, q1} , 0) = {q0, q2} , δ ({q0, q1} , 1) = {q0, q1, q2}
.δ (P, a) =
S
q∈P δ (q, a) :‫זה‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫איך‬ ‫הוסבר‬ ‫מקודם‬4
:‫עכשיו‬ ‫יראה‬ ‫הגרף‬ ‫ולכן‬
// {q0}
0
1 // {q0, q1}
0
,,
1
%%
{q0, q2}
{q0, q1, q2}
‫ולבדוק‬ ‫בחרנו‬ ‫לא‬ ‫שעוד‬ ‫המצבים‬ ‫אחד‬ ‫את‬ ‫לבחור‬ ‫נצטרך‬ ‫כעת‬
‫מצב‬ ‫אותו‬ ‫עבור‬ ‫אותנו‬ ‫שולחת‬ ‫באב‬ ‫אות‬ ‫כל‬ ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫לאיזו‬
:(‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫בעצם‬ ‫)שהוא‬
‫היות‬ ,‫כעת‬ ,δ ({q0, q2} , 0) = {q0} , δ ({q0, q2} , 1) = {q0, q1}
:‫חצים‬ ‫אליהם‬ ‫נמתח‬ ‫פשוט‬ ,‫בגרף‬ ‫הנל‬ ‫המצבים‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫וכבר‬
// {q0}
0
1 // {q0, q1}
0
,,
1
%%
{q0, q2}
1
ll
0
ww
{q0, q1, q2}
‫קבוצת‬ ‫לאיזה‬ ‫ונבדוק‬ ‫בדקנו‬ ‫לא‬ ‫שאותו‬ ‫אחד‬ ‫מצב‬ ‫עוד‬ ‫נותר‬ ,‫כעת‬
:‫אותנו‬ ‫מביאה‬ ‫מהאב‬ ‫אות‬ ‫כל‬ ‫מצבים‬
δ ({q0, q1, q2} , 0) = {q0, q2} , δ ({q0, q1, q2} , 1) =
:‫הוא‬ ‫הגרף‬ ‫ולכן‬ {q0, q1, q2}
// {q0}
0
1 // {q0, q1}
0
,,
1
%%
{q0, q2}
1
ll
0
ww
{q0, q1, q2}
1
XX
0
OO
‫אחרים‬ ‫שמצבים‬ ‫כלומר‬ ,‫לבדוק‬ ‫מצבים‬ ‫יותר‬ ‫שאין‬ ‫לראות‬ ‫נוכל‬ ‫כעת‬
‫נוכל‬ ‫שלא‬ ‫)כאלה‬ ‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫אינם‬ ‫בגרף‬ ‫כאן‬ ‫נמצאים‬ ‫שלא‬
‫אותם‬ ‫לבדוק‬ ‫סיבה‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ (q0‫מ־‬ ‫לעולם‬ ‫אליהם‬ ‫להגיע‬
.‫בגרף‬ ‫אותם‬ ‫ולרשום‬
‫המקבל‬ ‫המצב‬ ‫המקורי‬ ‫ובגרף‬ ‫היות‬ :‫המקבלים‬ ‫למצבים‬ ‫הסבר‬
‫הוא‬ ‫מאיבריו‬ ‫שאחד‬ ‫החדש‬ ‫בגרף‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ q2 ‫הוא‬ ‫היחיד‬
‫לפי‬ ‫הולכים‬ ‫שאנחנו‬ ‫זה‬ ‫עושים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ .‫מקבל‬ ‫מצב‬ ‫יהיה‬ q2
‫הוא‬ q ‫אזי‬ q ∩ F 6= ∅ ‫אם‬ ,‫החדש‬ ‫בגרף‬ q ‫מצב‬ ‫לכל‬ :‫הבא‬ ‫הכלל‬
...‫מקבל‬ ‫מצב‬
,‫כעת‬ .A NFA ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫אוטומט‬ ‫נקרא‬ ‫שבנינו‬ B DFA‫ה־‬
NFA‫ל־‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ ‫הוא‬ DFA‫ש־‬ ‫ומהעובדה‬ ‫האחרונה‬ ‫מהטענה‬
:‫משפט‬ ‫מתקבל‬
:‫אזי‬ ‫שפה‬ L ⊆ Σ∗
‫תהי‬ 2.3 ‫משפט‬
.L (A) = L‫ש־‬ ‫כך‬ A NFA ‫קיים‬ ⇐⇒ ‫רגולרית‬ L
6

7. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
ε (‫)מעברי‬ ‫מסעי‬ ‫עם‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬ 3
‫הגדרה‬ 3.1
‫יש‬ NFA ‫להיותו‬ ‫שבנוסף‬ NFA ‫זהו‬ ε ‫מסעי‬ ‫עם‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬
:(‫הריקה‬ ‫)המילה‬ ε‫ב־‬ ‫המסומנות‬ ‫קשתות‬ ‫אותו‬ ‫המייצג‬ ‫בגרף‬
p ε // q
‫הוא‬ q‫ב־‬ ‫נמצא‬ ‫האוטומט‬ ‫שאם‬ :‫היא‬ ‫כזה‬ (‫)מעבר‬ ‫קשת‬ ‫משמעות‬
.‫מהקלט‬ ‫אות‬ (‫לצרוך‬ :‫)או‬ ‫לקרוא‬ ‫מבלי‬ p ‫למצב‬ ‫לקפוץ‬ ‫יכול‬
:‫למשל‬
r p
q
ε
@@
ε
^^
a
s
:‫הן‬ ‫האפשרויות‬ ‫אזי‬ a ‫וקורא‬ q‫ב־‬ ‫נמצא‬ ‫האוטומט‬ ‫אם‬
‫את‬ ‫ולקרוא‬ r ‫או‬ p‫ל־‬ ‫ללכת‬ :‫או‬ ,‫הבאה‬ ‫לאות‬ ‫ולעבור‬ s‫ל־‬ ‫ללכת‬
‫את‬ ‫לקרוא‬ ‫ואז‬ ε ‫של‬ ‫הקפיצה‬ ‫את‬ ‫לעשות‬ ‫קודם‬ ,‫)כלומר‬ ‫משם‬ a
.(!‫ההפך‬ ‫ולא‬ ,‫האות‬
.NFA‫ל־‬ ‫זהים‬ ‫־‬ ‫זה‬ ‫במודל‬ ‫הפרטים‬ ‫שאר‬ ‫כל‬
‫דוגמא‬ 3.1.1
// q0
a
ε // q1
b
ε // q2
c
a∗
b∗
c∗
=
n
al
bm
cn
l, m, n ≥ 0
o
:‫היא‬ ‫זה‬ ‫אוטומט‬ ‫שפת‬
‫פורמלית‬ ‫הגדרה‬ 3.2
.5
Σε = Σ ∪ {ε} :‫נסמן‬ ‫אזי‬ ‫אב‬ ‫הוא‬ Σ ‫אם‬ :‫סימון‬
‫זוהי‬ εNFA ‫בסימון‬ ,ε ‫מסעי‬ ‫עם‬ ‫דטרמיניסטי‬ ‫אל‬ ‫אוטומט‬
:‫חמישיה‬
A = hQ, Σ, δ, q0, Fi
!‫הריקה‬ ‫המילה‬ ‫אלא‬ ,‫אות‬ ‫אינה‬ ‫זאת‬ ‫־‬ {ε}5
:‫פה‬ ‫אבל‬ ,NFA ‫בהגדרת‬ ‫כמו‬ ‫בדיוק‬ ‫הם‬ Q, Σ, q0, F :‫כאשר‬
δ : Q × Σε → 2Q
δ (q, ε) ⊆ .q ∈ Q ‫עבור‬ δ (q, ε) ‫גם‬ ‫מוגדרת‬ ‫שכאן‬ ‫הוא‬ ‫)ההבדל‬
.q‫מ־‬ ‫שיוצאים‬ ε ‫מעברי‬ ‫אין‬ ‫כלומר‬ ,δ (q, ε) = ∅‫ש־‬ ‫ייתכן‬ .Q
. q ε // p :‫כזה‬ ‫מעבר‬ 6
‫בגרף‬ ‫יש‬ ⇐⇒ p ∈ δ (q, ε)
‫למילים‬ δ ‫הרחבת‬ 3.3
q ‫של‬ ε ‫סגור‬ 3.3.1
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ε ‫של‬ ‫סגור‬ ‫נגדיר‬ q ∈ Q ‫מצב‬ ‫עבור‬
‫להגיע‬ ‫יכול‬ ‫שהאוטומט‬ A‫ב־‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = CLε (q)
.ε ‫במעברי‬ ‫שימוש‬ ‫עי‬ ,‫כלומר‬ ,‫קלט‬ ‫שום‬ ‫קריאת‬ ‫ללא‬ ‫אליהם‬
,CLε (q0) = {q0, q1, q2} :‫שלמעלה‬ ‫בדוגמא‬ ,‫למשל‬
.CLε (q2) = {q2}‫ו־‬ CLε (q1) = {q1, q2}
:‫מסמנים‬ P ⊆ Q ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫עבור‬
CLε (P) =
[
q∈P
CLε (q)
‫ללא‬ q ∈ P ‫מאיזשהו‬ ‫אליהם‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫כלומר‬
.‫קלט‬ ‫אות‬ ‫קריאת‬
:δ ‫הרחבת‬
δ̂ : Q × Σ∗
→ 2Q
:‫כך‬ ‫מוגדרת‬
(
δ̂ (q, ε) = CLε (q)
δ̂ (q, va) =
S
r∈δ̂(q,v) CLε (δ (r, a)) ∀v ∈ Σ∗
, a ∈ Σ
.w ∈ Σ∗
‫ולכל‬ q ∈ Q ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ δ̂ (q, w) ‫כך‬
‫מתחילים‬ ‫אם‬ ‫אליהם‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = δ̂ (q, w)
.(‫)מילה‬ w ‫את‬ ‫וקוראים‬ q ‫במצב‬
a ∈ Σ ‫)עבור‬ !δ̂ (q, a) 6= δ (q, a) :‫הבא‬ ‫לדבר‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬
.(q ∈ Q‫ו־‬
‫במעברי‬ ‫להשתמש‬ ‫לנו‬ ‫מותר‬ ,‫ההגדרה‬ ‫עפ‬ ,δ̂ (q, a)‫ב־‬ :‫הסבר‬
‫לעומת‬ .‫למעבר‬ ‫מהאפשרויות‬ ‫כחלק‬ ε ‫את‬ ‫מכללים‬ ‫אנחנו‬ ‫כי‬ ε
‫אנחנו‬ ‫כי‬ ,ε ‫במעברי‬ ‫להשתמש‬ ‫יכולים‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ δ (q, a)‫ב־‬ ,‫זאת‬
‫קריאת‬ ‫עי‬ q‫מ־‬ ‫אליהם‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ ‫המצבים‬ ‫לכל‬ ‫כאן‬ ‫מתייחסים‬
.‫כאן‬ ‫מוגדרת‬ δ (q, ε) ‫גם‬ ‫כזכור‬ .(δ̂‫ב־‬ ‫כמו‬ ‫המילה‬ ‫)ולא‬ a ‫האות‬
εNFA ‫של‬ ‫השפה‬ ‫הגדרת‬ 3.4
:‫עי‬ ‫מוגדרת‬ A εNFA ‫של‬ ‫השפה‬
L (A) =
n
w ∈ Σ∗
δ̂ (q0, w) ∩ F 6= ∅
o
.A ‫האוטומט‬ ‫את‬ ‫המייצג‬6
7

8. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
εNFA‫מ־‬ NFA ‫בניית‬ 3.5
:ε ‫מסעי‬ ‫ללא‬ NFA ‫נבנה‬ A = hQ, Σ, δ, q0, Fi εNFA ‫בהינתן‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ B = hQ, Σ, δ0
, q0, F0
i
δ0
: Q × Σ → 2Q
δ0
(q, a) = δ̂ (q, a)
‫)המילה‬ ε ‫את‬ ‫מקבל‬ A ‫האוטומט‬ ‫האם‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ,F0
‫לגבי‬ ,‫כעת‬
:(‫הריקה‬
F0
=
(
F ∪ {q0} CLε ∩ F 6= ∅ ( ⇐⇒ ε ∈ L (A))
F CLε ∩ F = ∅ ( ⇐⇒ ε /
∈ L (A))
‫המילה‬ ‫)עבור‬ δ0
(q, w) = δ̂ (q, w) :ε 6= w ∈ Σ∗
‫מילה‬ ‫עבור‬
(q0 ‫עבור‬ ‫רק‬ ‫נכון‬ ‫זה‬ ε ‫הריקה‬
‫גם‬ ‫תקף‬ ‫זה‬ ‫)וכלל‬ w ∈ L (B) ⇐⇒ w ∈ L (A) ‫ש־‬ ‫נובע‬ ‫מכאן‬
.(‫הריקה‬ ‫המילה‬ ‫עבור‬
.L (A) = L (B) :‫מתקיים‬ ,‫כלומר‬
‫מצב‬ ‫ואותו‬ ‫מהצבים‬ ‫אותם‬ ‫את‬ ‫יש‬ B‫ו־‬ A‫שב־‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ 3.1 ‫הערה‬
.‫התחלתי‬
‫עם‬ ,B (ε ‫מסעי‬ ‫)ללא‬ NFA ‫קיים‬ A εNFA ‫לכל‬ 3.2 ‫משפט‬
.L (A) = L (B) :‫שמקיים‬ ‫התחלתי‬ ‫מצב‬ ‫ואותו‬ ‫מצבים‬ ‫אותם‬
A εNFA ‫קיים‬ ⇐⇒ ‫רגולרית‬ ‫היא‬ L ⊆ Σ∗
‫שפה‬ 3.3 ‫משפט‬
.L ‫את‬ ‫שמזהה‬
‫בבניה‬ ‫שמתואר‬ ,‫שקול‬ (ε ‫מסעי‬ ‫)ללא‬ NFA‫ל־‬ εNFA‫מ־‬ ‫המעבר‬
.ε (‫)מסעי‬ ‫מעברי‬ ‫הסרת‬ :‫נקרא‬ ‫הנל‬
A‫ב־‬ ‫מצב‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫המעבר‬ ‫את‬ ‫לעשות‬ ‫גם‬ ‫ניתן‬
‫על‬ ‫נתסכל‬ (εNFA)
ε ‫מעברי‬ ‫הסרת‬ ‫תהליך‬ ‫תיאור‬ 3.5.1
.A = hQ, Σ, δ, q0, Fi εNFA ‫נתון‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ε (‫)מסעי‬ ‫מעברי‬ ‫את‬ ‫נסיר‬
p‫ל־‬ q‫מ־‬ ‫מסלול‬ ‫יש‬ A ‫בגרף‬ ‫אם‬ ,(q, p) ‫מצבים‬ ‫זוג‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ .1
‫באות‬ ‫המסומנת‬ ‫אחת‬ ‫מלבד‬ ,ε‫ב־‬ ‫מסומנות‬ ‫בו‬ ‫הקשתות‬ ‫שכל‬
‫וקשת‬ ‫)במידה‬ ‫לגרף‬ q a // p ‫קשת‬ ‫מוסיפים‬ ‫אזי‬ ,a
.(‫קיימת‬ ‫אינה‬ ‫כזאת‬
.ε‫ב־‬ ‫שמסומנות‬ ‫הקשתות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מוחקים‬ .2
‫אזי‬ F ∩ CLε (q0) 6= ∅ ‫אם‬ :F ‫את‬ ‫משנים‬ ‫הצורך‬ ‫במידת‬ .3
.F‫ל־‬ q0 ‫את‬ ‫מוסיפים‬
‫האלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ ε ‫מעברי‬ ‫את‬ ‫נסיר‬ ‫שאם‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ :‫הערה‬
‫זה‬ ‫אבל‬ .‫ההגדרה‬ ‫עפ‬ ‫נסיר‬ ‫אם‬ ‫שנעשה‬ ‫מזה‬ ‫שונה‬ NFA ‫לנו‬ ‫יצא‬
‫תמיד‬ ‫מקרה‬ ‫בכל‬ ‫לכן‬ .‫דבר‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫שלנו‬ DFA‫ה־‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫בסדר‬
‫אפשר‬ ‫אז‬ ‫התאמה‬ ‫שאין‬ ‫ברגע‬ ‫כי‬ ‫־‬ ‫חלקית‬ ‫)אפילו‬ ‫לבדוק‬ ‫כדאי‬
.(‫להפסיק‬
‫שפות‬ ‫על‬ ‫רגולריות‬ ‫פעולות‬ 3.6
.‫ואיטרציה‬ ‫שירשור‬ ,(‫חיתוך‬ ‫)ולא‬ ‫איחוד‬ :‫שפות‬ ‫על‬ ‫רגולריות‬ ‫פעולות‬
7
.‫רגולריות‬ ‫לפעולות‬ ‫סגורה‬ ‫הרגולריות‬ ‫השפות‬ ‫משפחת‬ :‫משפט‬
.‫נפרד‬ ‫בדף‬ ‫הוכחה‬7
III ‫חלק‬
‫רגולריים‬ ‫ביטויים‬
‫הגדרה‬ 4
.‫אב‬ Σ ‫יהי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫ברקורסיה‬ ‫מוגדר‬ (Σ ‫)מעל‬ ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬
.‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫הוא‬ a :a ∈ Σ ‫לכל‬ .1
.‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫היא‬ (‫הריקה‬ ‫)המילה‬ ε .2
.‫רגולרי‬ ‫ביטורי‬ ‫היא‬ ∅ .3
‫הוא‬ r + s, rs, r∗
:‫גם‬ ‫אזי‬ ‫רגולריים‬ ‫ביטויים‬ ‫הם‬ s‫ו־‬ r ‫אם‬ .4
.‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬
(1 + 0)
∗
1 ,[Σ∗
‫ל־‬ ‫שקול‬ ,Σ‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫]כל‬ (0 + 1)
∗
,0 :‫למשל‬
....,[1‫ב־‬ ‫שמסתיימות‬ ‫המילים‬ ‫]כל‬
‫רקורסיבית‬ ‫ומוגדרת‬ L (r) ‫מסומנת‬ r ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫של‬ ‫השפה‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬
.a ∈ Σ ‫לכל‬ L (a) = {a} .1
.L (ε) = {ε} .2
.L (∅) = ∅ .3
:‫אזי‬ ,‫רגולריים‬ ‫ביטויים‬ ‫הם‬ r, s ‫אם‬ .4
.L (r + s) = L (r) ∪ L (s) (‫)א‬
.L (rs) = L (r) · L (s) (‫)ב‬
L (r∗
) = L (r)
∗
(‫)ג‬
‫ביטויים‬ ‫נקראים‬ L (r) = L (s) ‫שמקיימים‬ r, s ‫רגולריים‬ ‫ביטויים‬
.‫שקולים‬ ‫רגולריים‬
‫ניתן‬ ‫־‬ ‫שקולים‬ ‫הם‬ ‫־‬ r = (0∗
1)
∗
, s = ε + (0 + 1)
∗
1 :‫למשל‬
.‫מילים‬ ‫אותן‬ ‫את‬ ‫מהם‬ ‫לייצר‬
.‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫הוא‬ α ‫כאשר‬ ,αα∗
:‫פירושו‬ α+
,‫כמו־כן‬
‫שלו‬ ‫השפה‬ ‫לבין‬ ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫בין‬ ‫ההבחנה‬ ‫את‬ ‫נשמיט‬ 4.1 ‫הערה‬
.‫מגדיר‬ ‫הוא‬ ‫שאותה‬ ‫לשפה‬ ‫כמו‬ ‫רגולרי‬ ‫לביטוי‬ ‫ונתייחס‬
.r = s ‫רגולריים‬ ‫ביטויים‬ ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫נרשום‬ ,‫על־כן‬
8

9. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫פעולות‬ ‫סדר‬ 4.1
‫מבחינת‬ ‫למה‬ ‫קודם‬ ‫מה‬ ,‫)כלומר‬ ‫רגולריים‬ ‫בביטויים‬ ‫הפעולות‬ ‫סדר‬
:(‫יורד‬ ‫בסדר‬ ‫החשיבות‬
.‫סוגריים‬ ‫־‬ () .1
.∗ .2
.(‫)שירשור‬ · .3
.+ .4
Kleene ‫משפט‬ 5
.‫אב‬ Σ ‫יהי‬
‫כך‬ r ‫רוגלרי‬ ‫ביטוי‬ ‫קיים‬ ⇐⇒ ‫רגולרית‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ L ⊆ Σ∗
‫שפה‬
.L (r) = L‫ש־‬
.(‫סופי‬ ‫לאוטומט‬ ‫שקול‬ ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ,‫אחרות‬ ‫)במילים‬
‫לאוטומט‬ ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫הפיכת‬ 5.1
:‫אטומי‬ ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫לשפת‬ ‫שווה‬ ‫ששפתו‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬
. // a // :a
. // :ε
. // :∅
:‫סופי‬ ‫לאוטומט‬ ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫כל‬ ‫להפוך‬ ‫נוכל‬ ,‫כעת‬
‫אותו‬ ‫ונהפוך‬ (01 + 0)
∗
‫הרגולרי‬ ‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫למשל‬
:‫סופי‬ ‫לאוטומט‬
‫עם‬ 1‫ו־‬ 0 ‫השפות‬ ‫שירשור‬ ‫עי‬ 01 ‫השפה‬ ‫את‬ ‫מליצור‬ ‫נתחיל‬
:‫אפסילון‬
. // 0 // :0
. // 1 // :1
:‫הוא‬ ‫השירשור‬ ‫ולכן‬
. // 0 // ε // 1 //
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫נבטא‬ + ‫את‬ ,‫כעת‬
:‫השפות‬ ‫לשתי‬ ε ‫מסעי‬ ‫שני‬ ‫באמצעות‬ ‫נחבר‬ ‫ואותו‬ ‫מצב‬ ‫עוד‬ ‫נוסיף‬
0 // ε // 1 //
//
ε
99
ε
%% 0 //
‫מעבר‬ ‫נשים‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ .∗‫ה־‬ ‫את‬ ‫וכעת‬
‫המצב‬ ‫ואת‬ ‫לשפה‬ ‫שמוביל‬ ε‫ה־‬ ‫מעבר‬ ‫אחרי‬ ‫שנמצא‬ ‫לקודקוד‬ ε
‫ונהפוך‬ ‫קודקוד‬ ‫עוד‬ ‫נוסיף‬ :‫אחרות‬ ‫)במילים‬ ‫למקבל‬ ‫נהפוך‬ ‫שלפניו‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫קשתות‬ ‫שתי‬ ‫ונשלח‬ (‫מקבל‬ ‫למצב‬ ‫אותו‬
0 // ε // 1 //
// ε //
ε
99
ε
%% 0 //
WW
(01 + 0)
∗
: ‫היא‬ ‫ששפתו‬ ‫סופי‬ ‫אוטומט‬ ‫זהו‬
‫רגולרי‬ ‫לביטוי‬ DFA ‫אוטומט‬ ‫הפיכת‬ 5.2
‫חדש‬ ‫חישובי‬ ‫מודול‬ ‫נציג‬ ‫רגולרי‬ ‫לביטוי‬ DFA ‫הפיכת‬ ‫לתאר‬ ‫כדי‬
.(G=Generalized ,‫מוכלל‬ ‫)אוטומט‬ GNFA ‫שנקרא‬
‫בו‬ ‫שהקשתות‬ ‫רק‬ NFA ‫כמו‬ ,‫מכוון‬ ‫גרף‬ ‫עי‬ ‫מוצג‬ GNFA
. ‫רגולרים‬ ‫בביטוים‬ ‫מסומנות‬
.qs ‫יחיד‬ ‫התחלתי‬ ‫ומצב‬ ,qt ‫־‬ ‫יחיד‬ ‫סופי‬ ‫מצב‬ ‫יש‬ :‫נוסף‬ ‫דבר‬
.qt‫מ־‬ ‫שיוצאת‬ ‫קצת‬ ‫ואין‬ qs‫ל־‬ ‫שנכנסת‬ ‫קשת‬ ‫אין‬
:‫למשל‬
// qs
a∗
b∗
//
b $$
qt
q0
a∗
::
:‫הסברים‬
x‫מ־‬ ‫יעבור‬ ‫האוטומט‬ ‫אזי‬ ,GNFA‫ב־‬ ‫קשת‬ ‫היא‬ x
r // y :‫אם‬
‫־‬ L (r) ,r ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ ‫משפת‬ ‫שהיא‬ w ‫מילה‬ ‫קורא‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ y‫ל־‬
.r ‫הרגולרי‬ ‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫יקרא‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ y‫ל־‬ x‫מ־‬ ‫יעבור‬ ‫הוא‬ ‫כלומר‬
‫קריאת‬ ‫עי‬ qt‫ל־‬ qs‫מ־‬ ‫לעבור‬ ‫יכול‬ ,w ‫מילה‬ ‫מקבל‬ ‫אשר‬ GNFA
.w
‫דהיינו‬ ,‫מקבל‬ ‫שהאוטומט‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ ‫האוטומט‬ ‫שפת‬
.δ (qs, w) = qt‫ש־‬ ‫כך‬ w ∈ Σ∗
‫כל‬
.a∗
b∗
+ ba∗
:‫הינה‬ ‫שלמעלה‬ GNFA‫ה־‬ ‫שפת‬ ,‫למשל‬
.(a∗
‫ואז‬ b ‫או‬ a∗
b∗
‫או‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ qt‫ל־‬ qs‫מ־‬ ‫להגיע‬ ‫בשביל‬ ‫)כי‬
GNFA‫ל־‬ DFA ‫אוטומט‬ ‫הפיכת‬ 5.2.1
:‫הבאה‬ ‫בדרך‬ GNFA‫ל־‬ A DFA ‫כל‬ ‫להפוך‬ ‫ניתן‬
‫ואת‬ ‫מקבלים‬ ‫לא‬ ‫למצבים‬ A‫ב־‬ ‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫נהפוך‬
.‫התחלתי‬ ‫לא‬ ‫למצב‬ ‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬
:‫חדשים‬ ‫מצבים‬ ‫שני‬ ‫נוסיף‬
.‫התחלתי‬ ‫מצב‬ ‫־‬ qs
.‫סופי‬ ‫מצב‬ ‫־‬ qt
‫ונוסיף‬ A‫ב־‬ ‫התחלתי‬ ‫שהיה‬ ‫למצב‬ qs‫מ־‬ ε‫ב־‬ ‫מסומנת‬ ‫קשת‬ ‫נוסיף‬
.qt‫ל־‬ A‫ב־‬ ‫סופי‬ ‫מצב‬ ‫שהיה‬ ‫מבצ‬ ‫מכל‬ ε‫ב־‬ ‫שמסומנת‬ ‫קשת‬
:‫הבא‬ DFA‫ה־‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ :‫למשל‬
// q0
0
1 // q1
0,1
:‫נקבל‬ GNFA‫ל־‬ ‫אותו‬ ‫נהפוך‬ ‫אם‬ ‫אזי‬
// qs
ε // q0
0
1 // q1
0+1
ε // qt
q0 ‫את‬ ‫להשמיט‬ ‫נוכל‬ GNFA‫ה־‬ ‫של‬ ‫הראשונה‬ ‫בדוגמא‬ :‫הערה‬
:‫השפה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫שמקבל‬ ‫יותר‬ ‫קטן‬ GNFA ‫ולקבל‬
// qs
a∗
b∗
+ba∗
// qt
9

10. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
:GNFA‫ל־‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמא‬
q
1∗
0
$$
// qs
01∗
::
(00)∗
$$
qt
p
11
::
:‫זה‬ ‫אוטומט‬ ‫שפת‬
01∗
1∗
0 + (00)
∗
11 = 01∗
0 + (00)
∗
11
GNFA‫ל־‬ ‫פורמלית‬ ‫הגדרה‬ 5.2.2
A = hQ, Σ, λ, qs, qti ‫חמישייה‬ ‫זוהי‬ GNFA
:‫כאשר‬
.|Q| ≥ 2 ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ = Q •
.‫אב‬ = Σ •
.‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬ ‫יקרא‬ ‫־‬ qs ∈ Q •
.‫המקבל‬ ‫המצב‬ ‫יקרא‬ ‫־‬ qt ∈ Q •
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ λ •
λ : (Q − {qt}) × (Q − {qs}) → RΣ
.Σ ‫מעל‬ ‫הרוגלרים‬ ‫הביטויים‬ ‫קבוצת‬ = RΣ ‫כאשר‬
GNFA‫ב־‬ ‫קשתות‬ ‫סימון‬ 5.2.3
‫הוא‬ λ (p, q) ‫־‬ ((qs, qt) ‫)מלבד‬ (p, q) ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫סדור‬ ‫סוג‬ ‫לכל‬
‫את‬ ‫)או‬ ‫הקשת‬ ‫את‬ ‫שמסמל‬ ‫הרגולרי‬ ‫הביטוי‬ ‫זהו‬ .‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬
.q‫ל־‬ p‫מ־‬ (‫הצלע‬
:rpq‫ב־‬ ‫זה‬ ‫ביטוי‬ ‫נסמן‬
rpq = λ (p, q)
p
rpq
// q
.λ (p, q) = rpq = ∅ ‫ש־‬ ‫כמובן‬ ‫ייתכן‬
rqsq = 01∗
, rqp = ∅ :‫שלמעלה‬ ‫בדוגמא‬ ,‫למשל‬
.(‫ישנה‬ ‫)אם‬ ‫הצלע‬ ‫את‬ ‫משמיטים‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬
:‫דוגמא‬ ‫עוד‬
x
1∗
(00)
// y 0101 // z
.rxy = 1∗
00, ryz = 0101, rzy = ∅ :‫הזה‬ ‫במקרה‬
.z‫ל־‬ x‫מ־‬ (‫)צלע‬ ‫קשת‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ‫־‬ rxz = ∅ ‫ו־‬
‫אם‬ w ‫את‬ ‫מקבל‬ A‫ש־‬ ‫אומרים‬ .w ∈ Σ∗
‫ותהי‬ GNFA A ‫יהי‬
,‫פשטות‬ ‫)לשם‬ qs, q1, q2, ..., qk, qt :A‫ב־‬ ‫מצבים‬ ‫סדרת‬ ‫קיימת‬
(qt = qk+1‫ו־‬ ,qs = q0 :‫נסמן‬
‫שלכל‬ ‫כך‬ w = w1w2 · · · wk+1 :‫מהצורה‬ w ‫של‬ ‫פירוק‬ ‫וקיים‬
:‫כלומר‬ wi ∈ λ (qi−1, qi) :‫מתקיים‬ 1 ≤ i ≤ k + 1
wi ∈ rqi−1qi
.‫מקבל‬ A‫ש־‬ w ∈ Σ∗
‫המילים‬ ‫על‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ L ‫האוטומט‬ ‫שפת‬
GNFA ‫של‬ ‫צימצום‬ 5.2.4
‫נוכל‬ |Q| 2 ‫עם‬ A = hQ, Σ, λ, qs, qti GNFA ‫בההינתן‬
‫שקול‬ A0
GNFA ‫עם‬ ‫ולהישאר‬ 1‫ב־‬ ‫המצבים‬ ‫מסםר‬ ‫את‬ ‫להקטין‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ A‫ל־‬
.(d 6= qs, qt ,‫)כלומר‬ d ∈ Q − {qs,qt} ‫מצב‬ ‫נבחר‬ .1
‫נעדכן‬ ‫שנשארו‬ ‫מהמצבים‬ (p, q) ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫סדור‬ ‫זוג‬ ‫לכל‬ .2
:rpq ‫את‬
d
rdd
rdq
p
rpd
@@
rpq
// q
⇓
p
rpq+rpd(rdd)∗
rdq
// q
:rpq ‫את‬ ‫הוא‬ ‫פה‬ ‫מעדכנים‬ ‫הוא‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ,‫כלומר‬
rpq ← rpq + rpd (rdd)
∗
rdq
.
‫יוצאות‬ ‫או‬ ‫שנכנסות‬ ‫הקשתות‬ ‫שאר‬ ‫כל‬ ‫ואת‬ d ‫את‬ A‫מ־‬ ‫נשמיט‬ .3
.d‫מ־‬
q‫ל־‬ p ‫בין‬ ‫מסילה‬ ‫אינה‬ rpq ,‫כלומר‬ ,‫בצעלות‬ ‫שמדובר‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.‫קודקודים‬ ‫בני‬ ‫בין‬ ‫קשת‬ ‫אלא‬
:‫אזי‬ rpd, rdq :‫ריקה‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫מהבאים‬ ‫אחד‬ ‫אם‬ :‫תזכורת‬
8
.rpd (rdd)
∗
rdq = ∅
.rdd = ε‫ש־‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,(‫מעגל‬ ‫אין‬ ,‫)כלומר‬ ‫כלום‬ rdd‫ב־‬ ‫אין‬ ‫אם‬8
10

11. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫רגולרי‬ ‫לביטוי‬ DFA ‫הפיכת‬ ‫אלגוריתם‬ 5.2.5
.Aְ DFA :‫קלט‬
.L (r) = L (A)‫ש־‬ ‫כך‬ r ‫רגולרי‬ ‫ביטוי‬ :‫פלט‬
.B GNFA‫ל־‬ A ‫את‬ ‫הפוך‬ .1
‫במצב‬ B ‫את‬ ‫צמצם‬ ‫־‬ 2‫מ־‬ ‫גדול‬ B‫ב־‬ ‫המצבים‬ ‫מספר‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ .2
.‫אחד‬
.‫כפלט‬ rqsqt ‫הרגולרי‬ ‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫החזר‬ .3
‫קצר‬ ‫סיכום‬ 6
:‫רגולריות‬ ‫שפות‬ ‫של‬ ‫ייצוג‬ ‫של‬ ‫שונים‬ ‫סוגים‬ ‫ארבעה‬ ‫ראינו‬
DFA
♥
{{
RE
♣
##
NFA
3
dd
εNFA
♠
::
.(5.1 ‫)סעיף‬ ‫לאוטומט‬ ‫רוגלרי‬ ‫ביטוי‬ ‫הפיכת‬ ‫־‬ ♣
.(3.5 ‫)סעיף‬ ε ‫מסעי‬ ‫הסרת‬ ‫־‬ ♠
.(2.3 ‫)סעיף‬ ‫החזקה‬ ‫אוטומט‬ ‫־‬ 3
.(5.2 ‫)סעיף‬ ‫רגולרי‬ ‫לביטוי‬ ‫אוטומט‬ ‫הפיכת‬ ‫־‬ ♥
‫הניפוח‬ ‫למת‬ 7
(‫הלמה‬ ‫)ניסוח‬ ‫הגדרה‬ 7.1
.‫רגולרית‬ ‫שפה‬ L ⊆ Σ∗
‫תהי‬
|w| ≥ n ‫עם‬ w ∈ L ‫מילה‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬ :‫אזי‬
‫הדרישות‬ ‫ומתקיימות‬ x, y, z ∈ Σ∗
‫כאשר‬ w = xyz ‫פירוק‬ ‫קיים‬
:‫הבאות‬
.|xy| ≤ n .1
.(y 6= ε :‫)כלומר‬ |y| 0 .2
‫את‬ ‫לנפח‬ ‫ניתן‬ ,‫כלומר‬ ‫־‬ xyi
z ∈ L :‫מתקיים‬ i ≥ 0 ‫לכל‬ .3
.‫המילה‬
‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫רגלורית‬ ‫לשפה‬ ‫הכרחי‬ ‫תנאי‬ ‫הינה‬ ‫הניפוח‬ ‫למת‬ :‫הערה‬
‫שמקיימת‬ ‫שפה‬ ‫כל‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫הלמה‬ ‫תנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫רגולרית‬ ‫שפה‬
.‫רגולרית‬ ‫היא‬ ‫הלמה‬ ‫תנאי‬ ‫את‬
‫אינה‬ ‫היא‬ ‫־‬ ‫הלמה‬ ‫תנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫שפה‬ ‫אם‬ ‫־‬ ‫אחרות‬ ‫במילים‬
.‫רגולרית‬ ‫בהכרח‬
‫לתנאי‬ ‫עד‬ ‫קיים‬ ‫מהמילה‬ ‫)החל‬ ‫הניפוח‬ ‫תנאי‬ ‫נקראים‬ ‫אלו‬ ‫תנאים‬
.(3
‫תנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ L ‫אזי‬ ‫רגולרית‬ ‫היא‬ L ‫שפה‬ ‫שאם‬ ‫אומרת‬ ‫הלמה‬
.‫הניפוח‬
.‫הניפוח‬ ‫קבוע‬ ‫נקרא‬ ‫הניפוח‬ ‫בתנאי‬ n ‫המספר‬
‫ב־‬ ‫המצבים‬ ‫למספר‬ ‫שווה‬ ‫גדול‬ ‫או‬ ‫שווה‬ n‫ש־‬ ‫בהכ‬ ‫להניח‬ ‫ניתן‬
.L ‫את‬ ‫שמזהה‬ DFA
L ‫שפה‬ ‫של‬ ‫אי־רגולריות‬ ‫להראות‬ ‫הוא‬ ‫הלמה‬ ‫של‬ ‫העיקרי‬ ‫השימוש‬
‫זה‬ ‫בדכ‬ ,‫הניפוח‬ ‫תנאי‬ ‫את‬ ‫לקיים‬ ‫יכולה‬ ‫לא‬ L‫ש־‬ ‫שמראים‬ ‫כך‬ ‫)עי‬
.(‫השלישי‬ ‫התנאי‬ ‫יהיה‬
‫הניפוח‬ ‫בלמת‬ ‫לשימוש‬ ‫קצרה‬ ‫דוגמא‬ 7.2
:‫השפה‬ ‫כי‬ ‫נוכיח‬
L =
n
aj
bj
i = j, i, j ≥ 0
o
.‫רגולרית‬ ‫אינה‬
:‫הוכחה‬
‫ניפוח‬ ‫קבוע‬ ‫קיים‬ ‫אזי‬ ,‫רגולרית‬ ‫אכן‬ L ‫השפה‬ ‫כי‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬
‫שלושת‬ ‫מתקיימים‬ |w| ≥ n‫ש־‬ ‫כך‬ w ∈ L ‫שלכל‬ ‫כך‬ n ∈ N
.‫הנל‬ ,‫התנאים‬
.‫בתנאים‬ ‫תעמוד‬ ‫שלא‬ ‫אחת‬ ‫מילה‬ ‫זאת‬ ‫למצוא‬ ‫שעלינו‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ,‫כעת‬
‫השפה‬ ,‫כלומר‬ ,‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הלמה‬ ‫אזי‬ ,‫כזאת‬ ‫מילה‬ ‫שמצאנו‬ ‫ברגע‬
‫לכתוב‬ ‫נצטרך‬ n ‫מהו‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ‫שאנחנו‬ ‫בגלל‬ ‫אבל‬ .‫רגולרית‬ ‫אינה‬
.‫תבניתית‬ ‫בצורה‬ ‫המילה‬ ‫את‬
‫השפה‬ ‫הגדרת‬ ‫עפ‬ w ∈ L ‫ואכן‬ w = an
bn
:‫המילה‬ ‫את‬ ‫נקח‬
‫תנאי‬ ‫את‬ ‫לקיים‬ ‫צריכה‬ ‫היא‬ ‫רגולרית‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫ולכן‬ ,|w| ≥ n‫ו־‬
.‫הניפוח‬
:‫ומתקיים‬ x, y, z ∈ Σ∗
‫כאשר‬ w = xyz ‫פירוק‬ ‫ישנו‬ ,‫הלמה‬ ‫לפי‬
.|xy| ≤ n .1
.|y| 0 .2
.xyi
z ∈ L :‫מתקיים‬ 0 ≤ i ∈ N ‫לכל‬ .3
x = al
, y = am
, z = an−l−m
bn
:‫חלוקה‬ ‫שקיימת‬ ‫נקבל‬ 2‫ו־‬ 1‫מ־‬
.‫שבחרנו‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫לחלק‬ ‫איך‬ ‫לבחור‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ ‫שאין‬ ‫לב‬ ‫)נשים‬
.(‫משתנים‬ ‫שמים‬ ‫אנחנו‬ ‫ולכן‬ ,‫הלמה‬ ‫מתוך‬ ‫נובעת‬ ‫החלוקה‬
‫ש־‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬ .m 0‫ו־‬ l + m ≤ n :(‫הלמה‬ ‫)עפ‬ ‫כשאר‬
.(z‫ב־‬ ‫נמצאים‬ ‫־ים‬a‫ה־‬ ‫כל‬ ,‫אחד‬ a ‫מלבד‬ ,‫ואז‬ l = 0, m = 1
‫נשים‬ ‫אם‬ ‫אבל‬ ,xz ∈ L‫ש־‬ ‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ i = 0 ‫נבחר‬ ‫אם‬ ,‫כעת‬
.xz = al
· an−l−m
· bn
= an−m
bn
:‫לב‬
xz /
∈ L‫ש־‬ ‫שאומר‬ ‫מה‬ n − m n ‫אזי‬ m 0‫ש־‬ ‫בגלל‬ ‫אבל‬
.‫לסתירה‬ ‫והגענו‬
.‫רגורלית‬ ‫אינה‬ L‫ש־‬ ‫מכאן‬
‫הלמה‬ ‫באמצעות‬ ‫רגורלית‬ ‫היא‬ ‫ששפה‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לסתור‬ ‫רוצים‬ ‫כאשר‬
‫בתנאי‬ i‫ה־‬ ‫את‬ ‫נחפש‬ ,‫כאן‬ ‫בדוגמא‬ ‫כמו‬ ,‫שתמיד‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬
.‫רגולרית‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫וכך‬ L‫מ־‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫שיוציא‬ ‫השלישי‬
‫באמצעותה‬ ‫שנוכל‬ ‫מילה‬ ‫למצוא‬ .‫א‬ :‫בעצם‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫האתגר‬ ‫לכן‬
‫שעבורנו‬ ‫המתאים‬ i‫ה־‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ .‫ב‬ .‫השפה‬ ‫רגולריות‬ ‫את‬ ‫לסתור‬
.(‫מסוים‬ i ‫)עבור‬ ‫בשפה‬ ‫נמצאת‬ ‫לא‬ ‫שבחרנו‬ ‫המילה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬
‫נוספת‬ ‫למה‬ 8
‫מצבים‬ n ‫עם‬ DFA ‫אוטומט‬ A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫יהי‬
.L = L (A) ‫ותהי‬ (|Q| = n)
:‫אזי‬
.(|w| n) n ‫מאורך‬ ‫מילה‬ ‫מכילה‬ L ⇐⇒ L 6= ∅ .1
.n ≤ |w| ≤ 2n‫ש־‬ ‫כך‬ w ‫מילה‬ ‫מכילה‬ L ⇐⇒ ‫אינסופית‬ L .2
11

12. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
IV ‫חלק‬
‫רגולריות‬ ‫לשפות‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיות‬
.‫לא‬ ‫או‬ ‫כן‬ ‫היא‬ ‫עליה‬ ‫שהתשובה‬ ‫בעיה‬ :‫הכרעה‬ ‫בעיית‬
:‫הבאות‬ ‫ההכרעה‬ ‫בבעיות‬ ‫ונדון‬ DFA ‫עי‬ ‫רגולריות‬ ‫שפות‬ ‫נציג‬
,(A ‫של‬ Σ ‫)מאב‬ w ‫ומילה‬ A DFA ‫נתון‬ :‫השייכות‬ ‫בעיית‬ .1
?w ∈ L (A) ‫האם‬
?L (A) = ∅ ‫האם‬ ,A DFA ‫נתון‬ :‫הרייקנות‬ ‫בעיית‬ .2
?‫אינסופית‬ L (A) ‫האם‬ ,ְ DFA ‫נתון‬ :‫הסופיות‬ ‫בעיית‬ .3
‫האם‬A2‫ו־‬ A1 ‫־ים‬DFA ‫שני‬ ‫נתונים‬ :‫השקילות‬ ‫בעיית‬ .4
?L (A1) = L (A2)
‫שהוצגו‬ ‫הבעיות‬ ‫פתרונות‬ 9
‫השייכות‬ ‫בעיית‬ ‫פתרון‬ 9.1
w = a1a2 · · · an ∈ ‫ומילה‬ A = hQ, Σ, δ, q0, Fi DFA :‫קלט‬
.Σ∗
.‫אחרת‬ ‫לא‬ ,w ∈ L (A) ‫אם‬ ‫כן‬ :‫פלט‬
.q = q0 .1
.δ (q, ai) → q :i = 1, 2, ..., n ‫עבור‬ .2
.‫לא‬ ‫החזר‬ ‫אחרת‬ .‫כן‬ ‫החזר‬ q ∈ F ‫אם‬ .3
‫הריקנות‬ ‫בעיית‬ ‫פתרון‬ 9.2
|Q| = n‫ו־‬ |w| n ‫כאשר‬ w ‫מילה‬ ‫איזושיה‬ ‫מקבל‬ A ‫אם‬ ‫בודקים‬
.
.‫לא‬ ‫מחזירים‬ ‫אחרת‬ ,‫כן‬ ‫מחזירים‬ ‫אזי‬ ,‫מקבל‬ ‫הוא‬ ‫אם‬
‫הסופיות‬ ‫בעיית‬ ‫פתרון‬ 9.3
.n ≤ |w| ≤ 2n ‫כאשר‬ w ‫מילה‬ ‫מקבל‬ A ‫אם‬ ‫בודקים‬
.‫לא‬ ‫מחזירים‬ ,‫לא‬ ‫אם‬ ,‫כן‬ ‫מחזירים‬ ‫־‬ ‫כן‬ ‫אם‬
‫האחרונה‬ ‫מהלמה‬ ‫נובעת‬ ‫האחרונים‬ ‫האלגוריתמים‬ ‫שני‬ ‫)נכונות‬
.(‫שהראנו‬
‫הנל‬ ‫לאלגוריתמים‬ ‫יעלים‬ ‫פתרונות‬ 9.4
.BFS‫ב־‬ ‫נשתמש‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ .‫שהוצגו‬ ‫לבעיות‬ ‫יעלים‬ ‫פתרונות‬ ‫נציג‬
.q ∈ Q ‫כאשר‬ R (q)‫ו־‬ R0 (q) :‫חשובים‬ ‫מושגים‬ ‫שני‬ ‫עוד‬ ‫ונכיר‬
R (q)‫ו־‬ R0 (q) 9.4.1
:‫נסמן‬ q ∈ Q ‫עבור‬ ,A = hQ, Σ, δ, q0, Fi DFA ‫יהי‬
R0 (q) =
n
δ (q, w) w ∈ Σ∗
o
‫מילה‬ ‫באמצעות‬ q‫מ־‬ ‫אליהם‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬
‫ולכן‬ ‫הריקה‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫כולל‬ ‫כמובן‬ ‫)שזה‬ w ∈ Σ∗
‫כלשהי‬
‫קיימת‬ ‫אזי‬ p ∈ R0 (q)‫ש־‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ,‫לכן‬ ,(q ∈ R0 (q) ‫תמיד‬
.δ (q, w) = p‫ש־‬ ‫כך‬ w ∈ Σ∗
‫מילה‬
R (q) =
n
δ (q, w) w ∈ Σ∗
, |w| 0
o
‫עם‬ ‫אבל‬ q‫מ־‬ ‫אליהם‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ Q‫ב־‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬
‫קיימת‬ ‫אזי‬ p ∈ R (q) ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫הריקה‬ ‫המילה‬ ‫מלבד‬ ‫מילה‬ ‫כל‬
.δ (q, w) = p :‫שמתקיים‬ ‫כך‬ ε 6= w ∈ Σ∗
‫מילה‬
9
‫חיובי‬ ‫מאורך‬ ‫מעגל‬ ‫קיים‬ ‫כי‬ , q ∈ R (q) ‫ייתכן‬ ‫כי‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.q‫ל־‬ ‫בחזרה‬ ‫נגיע‬ w = 0 ‫עבור‬ ‫אזי‬ q
0
11 :‫למשל‬ .‫לעצמו‬ q‫מ־‬
.q‫ל־‬ p‫מ־‬ ‫מסלול‬ ‫יש‬ ⇐⇒ p ∈ R0 (q)
.p‫ל־‬ q‫מ־‬ ‫חיובי‬ ‫מאורך‬ ‫מסלול‬ ‫יש‬ ⇐⇒ p ∈ R (q)
.R0 (q) = R (q) ∪ {q} :‫נכון‬ ‫תמיד‬
‫מאורך‬ ‫מעגל‬ ‫שיש‬ ‫)במקרה‬ R0 (q)−{q} = R (q) :‫נכון‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬
.(‫חיובי‬
(R0 (q) ‫של‬ ‫)או‬ R (q) ‫של‬ ‫יעיל‬ ‫חישוב‬ 9.4.2
:A ‫של‬ q ‫ומצב‬ A ‫בהינתן‬
.R (q) =
δ (q, a) ∀a ∈ Σ .1
:p ∈ R (q) ‫ולכל‬ a ∈ Σ ‫לכל‬ .2
.R (q)‫ל־‬ p ‫את‬ ‫הוסף‬ ‫אזי‬ δ (p, a) /
∈ R (q) ‫אם‬ (‫)א‬
.2 ‫לצעד‬ ‫חזור‬ ‫־‬ ‫חדש‬ ‫מצב‬ R (q)‫ל־‬ ‫התווסף‬ 2 ‫בצעד‬ ‫אם‬ .3
.R (q) ‫את‬ ‫החזר‬ .4
‫עצמו‬ q ‫את‬ ‫נוסיף‬ ‫)פשוט‬ ‫דומה‬ ‫ממש‬ ‫באופן‬ ‫נעשה‬ R0 (q) ‫חישוב‬
.(‫ונחזיר‬
‫הריקנות‬ ‫לבעיית‬ ‫יעיל‬ ‫פתרון‬ 9.4.3
:‫ונבדוק‬ R0 (q0) ‫נחשב‬ A = hQ, Σ, δ, q0, Fi DFA ‫בהינתן‬
.‫ריקה‬ ‫אינה‬ ‫השפה‬ ‫־‬ ‫כן‬ ‫נחזיר‬ ‫אזי‬ ‫־‬ Ro (q0) ∩ F 6= ∅ ‫אם‬
.‫ריקה‬ ‫השפה‬ ‫־‬ ‫לא‬ ‫נחזיר‬ ‫־‬ ‫לא‬ ‫אם‬
DFA‫ב־‬ ‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫שאינם‬ ‫מצבים‬ ‫הסרת‬ 9.4.4
‫ב־‬ ‫שאינו‬ q ‫מצב‬ ‫כל‬ ‫מהאוטומט‬ ‫משמיטים‬ ‫־‬ R0 (q0) ‫מחשבים‬
‫יוצאות‬ ‫או‬ ‫מצב‬ ‫לאותו‬ ‫שנכנסות‬ ‫הקשתות‬ ‫כל‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ R0 (q0)
.‫ממנו‬
.‫הקשתות‬ ‫מספר‬ = ‫המעגל‬ ‫אורך‬9
12

13. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫הסופיות‬ ‫לבעיית‬ ‫יעיל‬ ‫פתרון‬ 9.4.5
‫ניתנים‬ ‫מצביו‬ ‫שכל‬ A = hQ, Σ, δ, q0, Fi DFA ‫יהי‬ ‫למה‬
.L = L (A) ‫ותהי‬ ‫להשגה‬
q ∈ R (q) ‫שמקיים‬ q ∈ Q ‫מצב‬ ‫קיים‬ ⇐⇒ ‫אינסופית‬ L :‫אזי‬
.R0 (q) ∩ F 6= ∅‫ו־‬
‫־‬
:A = hQ, Σ, δ, q0, Fi DFA ‫בהינתן‬
.‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫שאינם‬ ‫המצבים‬ ‫את‬ A‫מ־‬ ‫נשמיט‬ .1
‫ו־‬ q ∈ R (q) ‫אם‬ ‫ונבדוק‬ q ∈ Q ‫לכל‬ R (q) ‫את‬ ‫נחשב‬ .2
.R0 (q) ∩ F 6= ∅
.‫ונעצור‬ ‫כן‬ ‫נחזיר‬ ‫כזה‬ ‫נמצא‬ ‫אם‬ (‫)א‬
.‫לא‬ ‫נחזיר‬ .3
‫השקילות‬ ‫בעיית‬ ‫פתרון‬ 9.4.6
A2 = A1 = hQ1, Σ, δ1, q1, F1i :‫־ים‬DFA ‫שני‬ ‫נתונים‬
.hQ2, Σ, δ2, q2, F2i
‫התחלתי‬ ‫מצב‬ ‫עם‬ A2‫ו־‬ A1 ‫של‬ A ‫מכפלה‬ ‫אוטומט‬ ‫נבנה‬ .1
:‫סופיים‬ ‫מצבים‬ ‫וקבוצת‬ (q1, q2)
.F = (F1 − F2) ∪ (F2 − F1)
.‫ריקה‬ L (A) ‫אם‬ ‫נבדוק‬ .2
.‫כן‬ ‫נחזיר‬ ‫כן‬ ‫אם‬ (‫)א‬
.‫לא‬ ‫נחזיר‬ ‫לא‬ ‫אם‬ (‫)ב‬
V ‫חלק‬
‫רגולריות‬ ‫לשפות‬ ‫אלגברי‬ ‫אפיון‬
.Σ∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחסי‬ ‫על‬ ‫נדבר‬
:‫עי‬ Σ∗
‫על‬ S‫ו־‬ R ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫נגדיר‬ :‫למשל‬
:(Σ = {a, b}) x, y ∈ Σ∗
‫עבור‬
.|x| = |y| ⇐⇒ xRy .1
.#a (x) = #a (y) ⇐⇒ xSy .2
:R ‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬
:α ∈ Σ ‫עבור‬
[ε] , [α] ,
α2
,
α3
, ...
:i ≥ 1 ‫ולכל‬ [ε] = {ε} ‫כאן‬
αi
=
n
w ∈ Σ∗
|w| = i
o
:S ‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬
:α ∈ Σ ‫עבור‬
[ε] , [α] ,
α2
,
α3
, ...
[ε] =
n
w ∈ Σ∗
#α (w) = 0
o
:‫כאן‬
:i ≥ 1 ‫לכל‬
αi
=
n
w ∈ Σ∗
#α (w) = i
o
‫שקילות‬ ‫יחסי‬ ‫עידון‬ 10
.Σ∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחסי‬ R, S ‫יהיו‬
.R ⊆ S ‫אם‬ S ‫של‬ ‫עידון‬ ‫הוא‬ R‫ש־‬ ‫אומרים‬
.(xRy ⇒ xSy :x, y ∈ Σ∗
‫עבור‬ ,‫)כלומר‬
‫היא‬ S ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫כל‬ ⇐⇒ S ‫של‬ ‫עידון‬ ‫הוא‬ R :‫הערה‬
.R ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ ‫איחוד‬
‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫קבוצת‬ 11
‫־‬ Σ∗
/R :‫מסומנת‬ Σ∗
‫ב־‬ R ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫קבוצת‬
Σ∗
/R =
n
[x] x ∈ Σ∗
o
:x, y ∈ Σ∗
‫שעבור‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
xRy ⇐⇒ [x] = [y]
.(Σ∗
/R‫ב־‬ ‫השוויון‬ ‫)משמעות‬
:‫שלמעלה‬ ‫הדוגמאות‬ ‫בשתי‬ ,‫ולמשל‬
Σ∗
/R =
n
ai
i ≥ 0
o
(rank) ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ (‫)האינדקס‬ ‫הדרגה‬ 11.1
R ‫של‬ (‫האינדקס‬ ‫)או‬ ‫הדרגה‬ ‫נקראת‬ Σ∗
/R ‫הקבוצה‬ ‫עוצמת‬
.rank (R) :‫ומסומנת‬
‫על‬ ‫סופי‬ ‫מאינדקס‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ R‫ש־‬ ‫אומרים‬ ,rank (R) ∞ ‫אם‬
.(‫אינסופי‬ ‫מאינדקס‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬R ,‫)אחרת‬ Σ∗
‫מאינדקס‬ ‫הן‬ S ‫וגם‬ R ‫גם‬ ‫שלמעלה‬ ‫הדוגמאות‬ ‫בשתי‬ ‫למשלת‬
‫אינסופיץ‬
.R ‫היחס‬ ‫של‬ ‫השונות‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫מספר‬ = rank (R)
‫עידון‬ R) R ⊆ S ‫אם‬ .Σ∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחסי‬ S‫ו־‬ R ‫יהיו‬ 11.1 ‫למה‬
rank (S) ≤ rank (R) :‫אזי‬ (S ‫של‬
‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ ‫איחוד‬ ‫היא‬ S ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫כל‬ ‫)כי‬
.(R
‫אזי‬ , S = S1 ∪ S2‫ו־‬ R =
S8
i=1 ri :‫שקילות‬ ‫יחסי‬ R, S :‫למשל‬
:‫הינו‬ ‫אפשרי‬ (‫)עידון‬ R ⊆ S
‫אך‬ ?, - ∈ S2 ,☼, , ∈ S1 ‫כאן‬ ‫במקרה‬
.R‫ב־‬ ‫אינו‬ ‫מהללו‬ ‫אחד‬ ‫אף‬
.S1∪S2‫ב־‬ ‫נמצא‬ x ∈ R ‫כל‬ ‫־‬ ‫זאת‬ ‫לעומת‬
S1 : S2 :
r1 r2 r5 r6
r3 r4 r7 r8
☼ , ? -
13

14. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫מימין‬ ‫אינווריאנטי‬ ‫יחס‬ 12
.Σ∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ R ‫תהי‬
‫כל‬ ‫עבור‬ ,‫מקיים‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ‫מימין‬ ‫אינווריאנטי‬ R‫ש־‬ ‫אומרים‬
:x, y, z ∈ Σ∗
xRy ⇒ xzRyz
.‫מימין‬ ‫אינוריאנטים‬ 10
R, S ‫־‬ ‫ממקודם‬ ‫שלנו‬ ‫בדוגמאות‬
:‫מימין‬ ‫אינוריאנטי‬ ‫שאינו‬ ‫ליחס‬ ‫דוגמא‬
.(‫ברוורס‬ w ‫המילה‬ ‫זאת‬ ‫־‬ wR
) x = yR
∨ x = y ⇐⇒ xRy
,‫מימין‬ ‫אינוריאנטי‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ , {a, b}
∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬
:‫למשל‬ ‫כי‬
.abaRbaa ‫אבל‬ abRba
‫שפה‬ ‫משמר‬ ‫יחס‬ 13
.‫שפה‬ L ⊆ Σ∗
‫ותהי‬ Σ∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ R ‫יהי‬
‫עבור‬ ‫אם‬ (L ‫את‬ ‫מעדן‬ R ‫)או‬ L ‫את‬ ‫משמר‬ R‫ש־‬ ‫אומרים‬
:x, y ∈ Σ∗
.y ∈ L ⇐ x ∈ L ∧ xRy
(y ∈ L ⇔ y ∈ L) ⇐ xRy :‫כך‬ ‫זאת‬ ‫לנסח‬ ‫גם‬ ‫אפשר‬
.R ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ ‫איחוד‬ ‫היא‬ L ⇐⇒ ‫קורה‬ ‫זה‬
‫באוטומט‬ q ∈ Q ‫מצב‬ ‫של‬ ‫שפה‬ 14
:‫מסמנים‬ q ∈ Q ‫עבור‬ DFA A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫יהי‬
L (q) =
n
w ∈ Σ∗
δ (q0, w) = q
o
‫מהמצב‬ ‫האוטומט‬ ‫את‬ ‫שמעבירות‬ Σ∗
‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫אלו‬ ,‫כלומר‬
.q ‫למצב‬ ‫ההתחלתי‬
.q ‫המצב‬ ‫שפת‬ :‫נקראת‬ L (q)
‫ניתן‬ ‫שאינו‬ ‫מצב‬ ‫הוא‬ q ‫אםם‬ ‫קורה‬ ‫)זה‬ L (q) = ∅‫ש־‬ ‫יתכן‬
.(‫להשגה‬
.L (p) ∩ L (q) = ∅ ‫אזי‬ p 6= q ‫אם‬
:‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
L (A) =
[
q∈F
L (q)
‫האוטומט‬ ‫שאותה‬ ‫השפה‬ ,‫האוטומט‬ ‫שפת‬ ‫־‬ L (A) :‫)תזכורת‬
.(‫מקבל‬
:‫הבא‬ ‫באוטומט‬ ‫נסתכל‬ ,‫למשל‬
// q0
0
1 // q1
1 //
0
q2
0 //
1
q3
0,1
q4
0,1
UU
.‫הקודם‬ ‫שבדף‬ ‫בשירטוט‬ ‫ולא‬ ‫בהתחלה‬ ‫שהיו‬ ‫לאלו‬ ‫הכוונה‬10
:‫הנל‬ ‫האוטומט‬ ‫של‬ ‫המצבים‬ ‫שפות‬ ‫אזי‬
L (q0) = 0∗
L (q1) = 0∗
10∗
L (q2) = 0∗
10∗
1
L (q3) = 0∗
10∗
1 0 ((0 + 1) (0 + 1))
∗
+ 1 (0 + 1) ((0 + 1) (0 + 1))
∗
L (q4) = 0∗
10∗
1 1 ((0 + 1) (0 + 1))
∗
+ 0 (0 + 1) ((0 + 1) (0 + 1))
∗
r1 = :‫נסמן‬ ‫אזי‬ q2, q4 ‫הינם‬ ‫המקבלים‬ ‫והמצבים‬ ‫היות‬ ,‫כעת‬
:‫אזי‬ L (q2) , r2 = L (q4)
L (A) = r1 + r2 = L (q2) ∪ L (q4)
RL
‫ו־‬ RA
‫חשובים‬ ‫שקילות‬ ‫יחסי‬ ‫שני‬ 15
RA
‫־‬ ‫ראשון‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ 15.1
Σ∗
‫על‬ RA ‫יחס‬ ‫נגדיר‬ .Σ ‫מעל‬ DFA A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫יהי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬
:x, y ∈ Σ∗
‫עבור‬
δ (q0, x) = δ (q0, y) ⇐⇒ xRA
y
‫לאותו‬ ‫אותנו‬ ‫מביאות‬ ‫אשר‬ Σ∗
‫ב־‬ ‫מילים‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬
‫מחלקות‬ ,‫כלומר‬ .‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫באותה‬ ‫נמצאות‬ ‫שתיהן‬ ‫אזי‬ ‫מצב‬
,‫מצב‬ ‫לאותו‬ ‫אותנו‬ ‫מביאות‬ ‫אשר‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫הינן‬ RA ‫של‬ ‫השקילות‬
δ (q0, w) = q‫ש־‬ ‫כך‬ Σ∗
‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫יהיו‬ q ‫במחלקה‬ ,‫כלומר‬
.‫המילה‬ ‫זאת‬ w ‫כאשר‬
.(‫לבדוק‬ ‫)קל‬ Σ∗
‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬ .1
.‫מימין‬ ‫אינווריאנטי‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬ .2
:‫הינן‬ RA
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ .3
: x ∈ Σ∗
‫עבור‬
[x] =
n
y ∈ Σ∗
xRA
y
o
=





y ∈ Σ∗
δ (q0, x)
| {z }
=q
= δ (q0, y)





=
n
y ∈ Σ∗
δ (q0, y) = q
o
= L (q)
‫של‬ ‫המצבים‬ ‫שפות‬ ‫הינן‬ RA
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ,‫כלומר‬
.‫האוטומט‬
:‫קיבלנו‬
[x] = L (q)
q = δ (q0, x)
‫של‬ ‫המצבים‬ ‫שפות‬ ‫הן‬ RA
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ :‫לכן‬
.‫ריקות‬ ‫שאינן‬A
‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫אזי‬ ,‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫שאינם‬ ‫מצבים‬ A‫ב־‬ ‫אין‬ ‫אם‬
.A ‫של‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫שפות‬ ‫הן‬ A ‫של‬
14

15. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫שנאמר‬ ‫מה‬ ‫סמך‬ ‫על‬ ,‫אזי‬ .n‫ב־‬ A ‫של‬ ‫המצבים‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .4
‫ש־‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ 3‫ב־‬
rank (A) ≤ n
:‫אזי‬ ,‫להשגה‬ ‫הניתנים‬ ‫מצבים‬ A‫ב־‬ ‫אין‬ ‫ואם‬
rank (A) = n
‫היא‬ L ‫כי‬ ,L ‫את‬ (‫)מעדן‬ ‫משמר‬ RA ‫אז‬ L = L (A) :‫נסמן‬ .5
:‫כי‬ RA ‫היחס‬ ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ ‫איחוד‬
L = L (A) =
[
q∈F
L (q)

Σ∗
=
[
q∈Q
L (q)


:‫דוגמא‬
:‫להיות‬ A ‫את‬ ‫ניקח‬
// q0
1
0 // q1
1
0 // q2
0,1
:‫הינן‬ RA ‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬
[ε] = L (q0) = 1∗
[0] = L (q1) = 1∗
01∗
[00] = L (q2) = 1∗
01∗
0 (0 + 1)
∗
‫הכי‬ ‫במילה‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫בוחרים‬ ‫אנחנו‬ :‫הערה‬
.[ε] , [0] , [00] ‫את‬ ‫בחרנו‬ ‫לפיכך‬ ,‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫שיש‬ ‫קצרה‬
RL
‫־‬ ‫שני‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ 15.2
:‫הבא‬ ‫באופן‬ Σ∗
‫על‬ RL
‫יחס‬ ‫נגדיר‬ L ⊆ Σ∗
‫שפה‬ ‫עבור‬
x, y ∈ Σ∗
:‫עבור‬
∀z ∈ Σ∗
: (xz ∈ L ⇔ yz ∈ L) ⇐⇒ xRL
y
‫מילה‬ ‫קיימת‬ ‫אםם‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫באותה‬ ‫נמצאים‬ x, y :‫כלומר‬
‫להיות‬ ‫שיכולת‬ ‫)כמובן‬ yz ∈ L ‫וגם‬ xz ∈ L ‫שגם‬ ‫כך‬ z ∈ Σ∗
.(‫כאלו‬ ‫מילים‬ ‫מספר‬
:‫נוספת‬ ‫בדרך‬ RL
‫הגדרת‬ ‫את‬ ‫ננסח‬
‫של‬ ‫הימני‬ ‫ההקשר‬ , x ∈ Σ∗
‫ומילה‬ L ⊆ Σ∗
‫שפה‬ ‫עבור‬ :‫הגדרה‬
:‫עי‬ ‫ומוגדר‬ rcL
(x) :‫מסומן‬ L‫ב־‬ x
rcL
(x) =
n
z ∈ Σ∗
xz ∈ L
o
:x, y ∈ Σ∗
‫עבור‬ ‫לראות‬ ‫קל‬ ,‫כעת‬
rcL
(x) = rcL
(y) ⇐⇒ xRL
y
.(‫שלמעלה‬ ‫ליחס‬ ‫שקולה‬ ‫הגדרה‬ ‫)זוהי‬
.‫מימין‬ ‫אינווריאנטי‬ ‫ויחס‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ RL
‫דוגמאות‬ ‫מספר‬ 15.3
‫סופיות‬ ‫לשפות‬ ‫דוגמאות‬ 15.3.1
.L = {a, ba, baa}‫ו־‬ Σ = {a, b} :‫ניקח‬
:RL
‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
RL
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫יהיו‬ (‫)השמאלי‬ ‫הראשון‬ ‫בטור‬
‫בניהן‬ ‫שיבדיל‬ ‫מה‬ ,Σ∗
‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫על‬ ‫בעצם‬ ‫הוא‬ ‫שלהם‬ ‫שאיחוד‬
‫לאותה‬ ‫שתגרום‬ z ∈ Σ∗
‫המילה‬ ‫־‬ rcL
‫ה־‬ ‫כלומר‬ ,‫הסיפא‬ ‫הוא‬
.‫בשפה‬ ‫להיות‬ ‫השמאלי‬ ‫שבטור‬ ‫מילה‬
(Σ∗
‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫)כל‬ x rcL
(x)
ε a + ba + baa
a + baa ε
b a + aa
ba ε + a
(a‫ש־‬ ‫היכן‬ ,‫כזאת‬ ‫מחלקה‬ ‫כבר‬ ‫)יש‬ baa ε
‫המילים‬ ‫שאר‬ ‫כל‬ ∅
‫הכי‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫לוקחים‬ ,‫)תזכורת‬ ‫הינן‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫לכן‬
:([‫השמאלי‬ ‫]הטור‬ ‫מחלקה‬ ‫מכל‬ ‫קצרה‬
[ε] [a] [b] [ba] [aa]
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
{ε} {a, baa} {b} {ba} ⊕
. ‫המילים‬ ‫שאר‬ ‫כל‬ ‫־‬ ⊕
,‫למשל‬ ,‫הימני‬ ‫הטור‬ ‫זה‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫שקובע‬ ‫מה‬
‫אפשר‬ ‫לשניהם‬ ‫היא‬ ‫שיקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫באותה‬ baa‫ו־‬ a‫ש־‬ ‫הסיבה‬
‫הקצרה‬ ‫המילה‬ ‫זאת‬ a ‫והיות‬ ,‫בשפה‬ ‫יהיו‬ ‫שהם‬ ‫כדי‬ ε ‫רק‬ ‫להוסיף‬
.‫המחלקה‬ ‫את‬ ‫שתייצג‬ ‫בחרנו‬ ‫אותה‬
‫שאם‬ Σ∗
‫ב־‬ ‫היחידה‬ ‫המילה‬ ‫היא‬ ‫כי‬ [b] = {b} ‫המחלקה‬ ‫למשל‬
.‫בשפה‬ ‫תהיה‬ ‫היא‬ z = a + aa ‫לה‬ ‫נוסיף‬
‫שאם‬ ‫היחידה‬ ‫המילה‬ ‫זאת‬ ‫־‬ ‫כנל‬ ‫סיבה‬ ‫מאותה‬ [ba] = {ba} :‫או‬
.‫בשפה‬ ‫תהיה‬ ‫היא‬ z = ε + a ‫לה‬ ‫נוסיף‬
.‫השקילות‬ ‫חלקות‬ ‫בין‬ ‫להפריד‬ ‫לנו‬ ‫עוזר‬ (‫הימני‬ ‫)הטור‬ rcL
‫ה־‬
:‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫המילה‬ ,z) ‫סיפא‬ ‫אותה‬ ‫זאת‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫בין‬ ‫שמבדיל‬ ‫מה‬
.‫לשפה‬ ‫תיכנס‬ ‫שהיא‬ ‫כדי‬ x‫ל־‬ ‫מוסיפים‬ ‫שאנחנו‬ (‫מוסיפים‬ ‫שאנחנו‬
‫אם‬ ‫לשתיהן‬ ‫כי‬ baa ‫עם‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫באותה‬ ‫נמצאת‬ a :‫למשל‬
.‫לא‬ ‫אחרת‬ ,‫בשפה‬ ‫תישאר‬ ‫המילה‬ ε ‫רק‬ ‫נוסיף‬
a ‫וגם‬ ε ‫גם‬ ,‫להוסיף‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ ba ‫למילה‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬
‫לא‬ ‫היא‬ ‫לכן‬ ,‫בשפה‬ ‫תישאר‬ ‫היא‬ ‫המקרים‬ ‫ובשני‬ (z = a + ε)
.a ‫את‬ ε‫ל־‬ ‫בנוסף‬ ‫לה‬ ‫כי‬ ,[a] ‫השקילות‬ ‫ממחלקת‬ ‫חלק‬
‫מחלקות‬ ‫בין‬ ‫להפריד‬ ‫בשביל‬ rcL
‫ב־‬ ‫שונה‬ ‫אחת‬ ‫מילה‬ ‫שיש‬ ‫מספיק‬
!‫השקילות‬
‫ב־‬ :a ‫המילה‬ ‫היא‬ [a] , [ba] ‫המחלקות‬ ‫מחלקת‬ ‫בין‬ ‫ההבדל‬ ,‫למשל‬
‫את‬ ‫או‬ ‫להוסיף‬ ‫אפשר‬ [ba]‫ב־‬ ‫זאת‬ ‫ולעומת‬ ,ε ‫רק‬ ‫להוסיף‬ ‫נוכל‬ [a]
.‫בשפה‬ ‫תישאר‬ ‫הנל‬ ‫השיקלות‬ ‫שבמחלקת‬ ‫המילים‬ ‫וכל‬ a ‫את‬ ‫או‬ ε
‫אינסופיות‬ ‫לשפות‬ ‫דוגמאות‬ 15.3.2
.L = 10∗
1∗
,Σ = {0, 1}
‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫)ההבדל‬ L1 = 10∗
+ 10∗
11∗
‫כ־‬ ‫זאת‬ ‫שפה‬ ‫על‬ ‫נחשוב‬
0‫ב־‬ ‫שמסתיימות‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫היא‬ ‫אחת‬ ‫אפשרות‬ ‫־‬ ‫המילה‬ ‫סוף‬
.L‫ב־‬ 1‫ב־‬ ‫שמתסיימות‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫אפשרות‬ L ‫בשפה‬
.(L = L1
15

16. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
:RL
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
(Σ∗
‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫)כל‬ x rcL
(x)
ε 10∗
+ 10∗
11∗
10∗
0∗
+ 0∗
11∗
10∗
11∗
1∗
0 (0 + 1)
∗
+ 10∗
11∗
0 (0 + 1)
∗
∅
:RL
‫היחס‬ ‫של‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ 4 ‫ישנן‬ ‫על־ען‬
[ε] [1] [11] [0]
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
{ε} {10∗
} {10∗
11}
0 (0 + 1)
∗
+ 10∗
11∗
0 (0 + 1)
∗
‫לפחות‬ ‫מפרידה‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫כל‬ ‫שבין‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬
‫מילה‬ ‫שיש‬ ‫ובודקים‬ rcL
(x)‫ה־‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ,‫)כלומר‬ ‫אחת‬ ‫מילה‬
‫אזי‬ ‫־‬ ‫כזאת‬ ‫מילה‬ ‫אין‬ ‫אם‬ ‫־‬ ‫המחלקות‬ ‫בין‬ ‫שמפרידה‬ ‫לפחות‬ ‫אחת‬
.(‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫באותה‬ ‫מדובר‬
‫למצוא‬ ‫צריך‬ :(x) ‫המחלקות‬ ‫של‬ ‫המילים‬ ‫את‬ ‫בונים‬ ‫איך‬ ‫לגבי‬
‫לא‬ 0∗
‫ו־‬ ε :‫למשל‬ .‫שונות‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫לנו‬ ‫יתנו‬ ‫מילים‬ ‫אילו‬
‫ניתן‬ ‫לכן‬ ,({ε} ∈ 0∗
‫)כי‬ ‫שונות‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫לנו‬ ‫יניבו‬ ‫בהכרח‬
.‫ההבדל‬ ‫את‬ ‫ליצור‬ ‫כדי‬ 00∗
‫לשים‬ ‫למשל‬
:‫נוספת‬ ‫דוגמא‬
‫שמקבלת‬ ‫השפה‬ ‫זאת‬ ‫־‬ L = (0 + 1)
∗
1 (0 + 1) ,Σ = {1, 0}
‫היא‬ (‫מהסוף‬ ‫)השנייה‬ ‫אחרונה‬ ‫לפני‬ ‫האחת‬ ‫שהאות‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫את‬
.”1”
:RL
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
(Σ∗
‫ב־‬ ‫המילים‬ ‫)כל‬ x rcL
(x)
ε + 0 + (0 + 1)
∗
00 (0 + 1)
∗
1 (0 + 1)
1 + (0 + 1)
∗
01 0 + 1 + (0 + 1)
∗
1 (0 + 1)
(0 + 1)
∗
10 ε + (0 + 1)
∗
1 (0 + 1)
(0 + 1)
∗
11 ε + 0 + 1 + (0 + 1)
∗
1 (0 + 1)
:‫הינן‬ RL
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ,‫ולכן‬
.(‫ביטוי‬ ‫מכל‬ ‫קצרה‬ ‫הכי‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫)לוקחים‬ [ε] , [1] , [10] , [11]
‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫אינסוף‬ ‫אם‬ ‫אינסופית‬ ‫לשפה‬ ‫דוגמא‬ 15.3.3
. L =
n
w ∈ Σ∗
#a (w) = #b (w)
o
,Σ = {a, b}
:x ∈ Σ∗
‫מילה‬ ‫עבור‬
rcL
(x) =
n
z ∈ Σ∗
#a (x) + #a (z) = #b (x) + #b (z)
o
=
n
z ∈ Σ∗
#a (z) − #b (z) = #b (z) − #a (z)
o
:‫הינן‬ RL
‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ,‫לכן‬
...,
b3
,
b2
, [b] , [ε] , [a] ,
a2
,
a3
, ...
:‫כאשר‬
[ε] =
n
x ∈ Σ∗
#a (x) = #b (x)
o
:i ≥ 1 ‫ולכל‬
ai
=
n
x ∈ Σ∗
#a (x) − #b (x) = i
o
bi
=
n
x ∈ Σ∗
#b (x) − #a (x) = i
o
.‫אינסופי‬ (‫)מדרגה‬ ‫מיחס‬ ‫היא‬ RA
‫זאת‬ ‫בדוגמא‬
A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫ויהי‬ ,Σ ‫מעל‬ ‫רגולרית‬ ‫שפה‬L ‫תהי‬ 15.1 ‫למה‬
:‫אזי‬ L ‫את‬ ‫שמזהה‬ DFA
RA
⊆ RL
:‫הלמה‬ ‫מנתוני‬ ‫מסקנה‬
rank (RA
) ≤ rank (RL
)
‫מייהיל־נרוד‬ ‫משפט‬ 16
(MyhillNerode theorem)
:‫אזי‬ .‫שפה‬ L ⊆ Σ∗
‫ותהי‬ ‫אב‬ Σ ‫יהי‬
rank (RL
) ∞ ⇐⇒ ‫רגולרית‬ L
.‫רגולרית‬ ‫היא‬ ‫ששפה‬ ‫להוכיח‬ ‫לנו‬ ‫עוזר‬ ‫זה‬ ‫משפט‬
‫־‬ RL
‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ ‫סופי‬ ‫מספר‬ ‫שישנם‬ ‫מראים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬
.‫רגולרית‬ ‫היא‬ ‫השפה‬ ‫אזי‬
‫מינימלי‬ DFA ‫אוטומט‬ ‫בניית‬ 16.1
,‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫את‬ ‫ומצאנו‬ ‫סופי‬ ‫האוטומט‬ ‫כי‬ ‫שגילינו‬ ‫אחרי‬
‫מצבים‬ ‫מספר‬ ‫עם‬ L ‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמזהה‬ DFA ‫אוטומט‬ ‫לבנות‬ ‫ניתן‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מינימלי‬
:‫סופית‬ ‫בקבוצה‬ ‫מדובר‬ ‫כלומר‬ ‫־‬ rank (RL
) ∞ ‫כי‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬
:‫נבנה‬ ‫אזי‬
AL
= hQ, Σ, δ, q0, Fi
‫)קבוצה‬ RL
‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ Q = Σ∗
/L •
.(‫סופית‬
.ε ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫־‬ qo = [ε] •
‫שהנציג‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ‫־‬ F =
n
[x] x ∈ L
o
•
.(x ∈ L) L‫ב־‬ x ‫שלהם‬
:‫המעברים‬ ‫פונקציית‬ •
δ : Q × Σ → Q
δ ([x] , a) = [xa]
:‫מילה‬ ‫עבור‬ ‫גם‬ ‫תקף‬ ‫וזה‬
∀w ∈ Σ∗
, [x] ∈ Q :
δ ([x] , w) = [xw]
16

17. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
‫שהיו‬ ‫השפות‬ ‫של‬ ‫לדוגמאות‬ ‫המינמליים‬ ‫האוטומטים‬ ‫את‬ ‫נראה‬
:(RL
‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫)עפ‬ ‫מקודם‬
:L = {a, ba, baa}
[a]
aa // [aa]
0,1
// [ε]
a
99
b %%
[b] a
//
b
AA
[ba]
b
OO
a
]]
:L = 10∗
1∗
= 10∗
+ 10∗
11
[1]
1
0
// [ε]
1
99
0 %%
[11]
1
0
xx
[0]
0,1
XX
:L = (0 + 1)
∗
1 (0 + 1)
[10]
1
ss
// [ε]
0
1 // [1]
0
33
1
[11]
0
OO
1
XX
‫מייהיל־נרוד‬ ‫משפט‬ ‫באמצעות‬ ‫להוכחה‬ ‫דוגמא‬ 16.2
‫רגולרית‬ ‫אינה‬ ‫ששפה‬
.‫רגולרית‬ ‫אינה‬ L =
n
0n
1n
n ≥ 0
o
‫השפה‬ ‫כי‬ ‫נוכיח‬
‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫של‬ ‫אינסופי‬ ‫מספר‬ ‫שיש‬ ‫להראות‬ ‫מספיק‬ :‫הוכחה‬
:‫ואכן‬ ,RL
‫היחס‬ ‫של‬
.bi
/
∈ rcL
aj
‫אבל‬ bi
∈ rcL
ai
‫)כי‬ ai
RL
aj
:i 6= j ‫לכל‬
‫ו־‬
ai
‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫מפרידה‬ ‫מילה‬ ‫היא‬ bi
,‫כלומר‬
.(
aj
‫ביחס‬ ‫שונות‬ ‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫הן‬ [ε] , [a] ,
a2
,
a3
, ... :‫לכן‬
‫מייהיל־נרוד‬ ‫משפט‬ ‫עפ‬ ‫ולכן‬ ‫אינסופי‬ ‫מאינדקס‬ ‫הוא‬ RL
‫לכן‬ ,RL
.‫רגולרית‬ ‫אינה‬ L
VI ‫חלק‬
DFA ‫אוטומט‬ ‫של‬ ‫מינימיזציה‬
‫את‬ ‫שבנינו‬ ‫כך‬ ‫עי‬ L ‫לשפה‬ ‫מינימלי‬ ‫אוטומט‬ ‫בנינו‬ ‫מקודם‬
‫לבניית‬ ‫מסובכת‬ ‫פחות‬ ‫קצת‬ ‫דרך‬ ‫נראה‬ ‫כעת‬ ,AL
‫האוטומט‬
.AL
‫של‬ ‫לזה‬ ‫זהה‬ ‫מצבים‬ ‫מספר‬ ‫עם‬ L ‫את‬ ‫שיזהה‬ ‫אוטומט‬
‫להפרדה‬ ‫ניתנים‬ ‫מצבים‬ 17
.p, q ∈ Q ‫כאשר‬ ,‫כלשהו‬ DFA A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫יהי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ 11
Q ‫על‬ E ‫יחס‬ ‫נגדיר‬
: ∀z ∈ Σ∗
(δ (p, z) ∈ F ⇔ δ (q, z) ∈ F ) ⇐⇒ : pEq
‫משנה‬ ‫זה‬ ‫אין‬ z ∈ Σ∗
‫מילה‬ ‫כל‬ ‫שעבור‬ ‫היא‬ ‫שהמשמעות‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.‫שלא‬ ‫או‬ ‫משניהם‬ ‫תתקבל‬ ‫שהיא‬ ‫או‬ ‫־‬ q‫ב־‬ ‫או‬ p‫ב־‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬
.(‫שקולים‬ q‫ו־‬ p) .q‫ל־‬ ‫שקול‬ p‫ש־‬ ‫אומרים‬ pEq ‫אם‬
.‫שקילות‬ ‫למחלקות‬ ‫אותו‬ ‫שמחלק‬ Q ‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ E
.‫להפרדה‬ ‫ניתנים‬ q‫ו־‬ p‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫שקולים‬ ‫אינם‬ q‫ו־‬ p ‫אם‬
‫כך‬ w ∈ Σ∗
‫מילה‬ ‫קיימת‬ ⇐⇒ ‫להפרדה‬ ‫ניתנים‬ q‫ו־‬p
.(‫להפך‬ ‫)או‬ δ (q, w) /
∈ L∧δ (p, w) ∈ L‫ש־‬
.‫מפרידה‬ ‫מילה‬ ‫נקראת‬ ‫כזאת‬ w ‫מילה‬
:‫דוגמא‬
A = q1
1
1
// q0
0
88
1
q3
0,1
q2
0
YY
1
88
:z ∈ Σ∗
‫עבור‬ ‫כי‬ ‫־‬ q1Eq2
.(δ (q1, z) ∈ F ⇔ δ (q2, z) ∈ F) ⇐⇒ z ∈ 0∗
1 (0 + 1)
∗
.(‫)למשל‬ ”1” ‫מפרידה‬ ‫מילה‬ ‫־‬ q0Eq1
.(‫)למשל‬ ”1” ‫מפרידה‬ ‫מילה‬ ‫־‬ q0Eq2
.(‫)למשל‬ ”ε” ‫מפרידה‬ ‫מילה‬ ‫־‬ q1Eq3
‫ולקבל‬ ‫אחד‬ ‫למצב‬ A‫ב־‬ ‫השקולים‬ ‫המצבים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫לצמצם‬ ‫ניתן‬
:‫יותר‬ ‫קטן‬ ‫מצבים‬ ‫מספר‬ ‫עם‬ A‫ל־‬ ‫שקול‬ ‫אוטומט‬
// q0
0,1
// q1,2
0
1 // q3
0,1
:‫היא‬ ‫שלהם‬ ‫השפה‬ ‫־‬ ‫שקולים‬ ‫האוטומטים‬ ‫שני‬
.(0 + 1) 0∗
1 (0 + 1)
∗
.‫מילים‬ ‫על‬ ‫ולא‬ ‫מצבים‬ ‫על‬ ‫יחס‬ ‫שזהו‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬11
17

18. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
A ‫של‬ ‫הצימצום‬ ‫אוטומט‬ ‫בניית‬ 18
A0
‫אוטומט‬ ‫נבנה‬ ,A = hQ, Σ, δ, q0, Fi DFA ‫אוטומט‬ ‫בהינתן‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ A ‫של‬ ‫הצמצום‬ ‫הנקרא‬
A0
= hQ0
, Σ, δ0
, q0
0, F0
i
:‫כאשר‬
.E ‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ Q0
= Q/E •
.Q0
=
n
[q] q ∈ Q
o
.q0
0 = [q0] •
‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫כל‬ ‫לא‬ :‫)הערה‬ F0
=
n
[q] q ∈ F
o
•
‫מחלקות‬ ‫כל‬ ‫כלומר‬ .(‫שקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫באותה‬ ‫להיות‬ ‫חייבים‬
.F ‫של‬ ‫השקילות‬
:δ0
‫לגבי‬ •
δ0
: Q0
× Σ → Q0
δ0
([q] , a) = [δ (q, a)] , (∀a ∈ Σ)
:w ∈ Σ∗
‫מילה‬ ‫עבור‬ ‫גם‬ δ0
‫את‬ ‫להרחיב‬ ‫שניתן‬ ‫וכמובן‬
.δ0
([q] , w) = [δ (q, w)]
‫נקרא‬ ‫שקולים‬ ‫שונים‬ ‫מצבים‬ ‫בו‬ ‫שאין‬ DFA ‫אוטומט‬ 18.1 ‫הגדרה‬
:‫מתקיים‬ ‫אםם‬ ‫מצומצם‬ ‫הוא‬ ‫אוטומט‬ .‫מצומצם‬ ‫אוטומט‬
.p = q ⇐ pEq :p, q ∈ Q ‫כל‬ ‫עבור‬
DFA‫ב־‬ ‫שקולים‬ ‫מצבים‬ ‫לזוהי‬ ‫אלגוריתם‬ 18.1
A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫נתון‬
:‫נסמן‬ p, q ∈ Q ‫שונים‬ ‫מצבים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ :‫מקדים‬ ‫שלב‬
∆ (p, q) = ∅
‫אזי‬ (‫ההפך‬ ‫)או‬ p /
∈ F ∧ q ∈ F ‫אם‬ :p 6= q ‫לכל‬ .1
.∆ (p, q) = ε
‫ולכל‬ ∆ (p, q) = ∅ ‫שעבורם‬ p, q ‫שונים‬ ‫מצבים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ .2
:‫האם‬ ‫בודקים‬ a ∈ Σ
∆ (δ (p, a) , δ (q, a)) 6= ∅
.‫מסומן‬ ‫זה‬ ‫־‬ ‫כלומר‬
‫)נפסיק‬ ‫הבא‬ ‫לזוג‬ ‫ונעבור‬ ∆ (p, q) = a ‫־‬ ‫נסמן‬ :‫כן‬ ‫אם‬ (‫)א‬
.(‫הזה‬ ‫הזוג‬ ‫עבור‬ ‫לחפש‬
,‫חדש‬ ‫מצבים‬ ‫זוג‬ ‫לפחות‬ ‫סומן‬ 2 ‫צעד‬ ‫של‬ ‫האחרון‬ ‫בביצוע‬ ‫אם‬ .3
.2‫ל־‬ ‫חזור‬ ‫אז‬
∆ (p, q) = ∅ ‫שעבורם‬ p, q ‫שונים‬ ‫מצבים‬ ‫זוג‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫הכרז‬ .4
.‫ועצור‬ ‫שוקלים‬ ‫כמצבים‬
‫באלגוריתם‬ ‫לשימוש‬ ‫דוגמא‬ 18.1.1
:‫הבא‬ ‫האוטומט‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
q1
1
0
**
q3
1
0
jj
// q0
0
66
1 ((
q2
1
OO
0
YY
q4
0
oo
1
bb
‫אחד‬ ‫תא‬ ‫שמכילה‬ ‫טבלה‬ ‫שבונים‬ ‫בכך‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫מיישמים‬
‫שכבר‬ ‫תאים‬ ‫זה‬ ‫השחור‬ ‫הריבוע‬ ‫עם‬ ‫)תאים‬ :‫שונים‬ ‫מצבים‬ ‫זוג‬ ‫לכל‬
∆ (p, q) ‫כאשר‬ ∅ ‫פירושו‬ ‫ריק‬ ‫תא‬ ‫וכל‬ ,‫בטבלה‬ ‫תא‬ ‫שלהם‬ ‫לזוג‬ ‫יש‬
.(‫התא‬ ‫תוכן‬ =
q1
q2
q3
q4
q0 q1 q2 q3
ε (‫ההפך‬ ‫)או‬ q /
∈ F‫ו־‬ p ∈ F‫ש־‬ ‫כך‬ ‫מצבים‬ ‫זוג‬ ‫לכל‬ ‫נשים‬ ‫כעת‬
:‫בתא‬
q1
q2 ε ε
q3
q4 ε ε ε
q0 q1 q2 q3
‫ש־‬ ‫ונראה‬ a = 0 ‫ניקח‬ :(q0, q1)‫מ־‬ ‫נתחיל‬
.∆ (δ (q0, 0) , δ (q1, 0)) = ∆ (q1, q3) = ∅
:‫לחפש‬ ‫להמשיך‬ ‫נצטרך‬ ‫האלגוריתם‬ ‫עפ‬ ‫לכן‬
.∆ (δ (q0, 1) , δ (q1, 1)) = ∆ (q2, q1) = ε
:∆ (q0, q1) = 1 ‫ולכן‬ ‫־‬ ‫ריק‬ ‫אינו‬ ‫התא‬ !‫זהו‬
q1 1
q2 ε ε
q3
q4 ε ε ε
q0 q1 q2 q3
:‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ :(q0, q3)‫ל־‬ ‫נעבור‬ ‫כעת‬
‫לכן‬ ‫מצב‬ ‫לאותו‬ ‫והגענו‬ ‫־‬ ∆ (δ (q0, 0) , δ (q3, 0)) = ∆ (q1, q1)
.‫ריק‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נשאיר‬
‫למצב‬ ‫הגענו‬ ‫כאן‬ ‫גם‬ ‫־‬ ∆ (δ (q0, 1) , δ (q3, 1)) = ∆ (q2, q4) = ∅
.(‫ריק‬ ‫)במצב‬ ∆ (q0, q3) = ∅ ‫את‬ ‫נשאיר‬ ‫לכן‬ .‫ריק‬
18

19. ‫אוטומטים‬
‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬
:(q1, q3)‫ל־‬ ‫נעבור‬ ‫כעת‬
‫נמשיך‬ ‫ולכן‬ ‫־‬ ∆ (δ (q1, 0) , δ (q3, 0)) = ∆ (q3, q1) = ∅
...‫הלאה‬
∆ (q1, q3) = 1 ‫ולכן‬ ∆ (δ (q1, 1) , δ (q3, 1)) = ∆ (q1, q4) = ε
:‫הטבלה‬ ‫את‬ ‫ונעדכן‬
q1 1
q2 ε ε
q3 1
q4 ε ε ε
q0 q1 q2 q3
:(q2, q3)‫ל־‬ ‫נעבור‬
.∆ (q2, q3) = 0 ‫ולכן‬ ∆ (δ (q2, 0) , δ (q3, 0)) = ∆ (q2, q1) = ε
q1 1
q2 ε ε
q3 1 0
q4 ε ε ε
q0 q1 q2 q3
:(q2, q4) ‫הזוג‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ,‫כעת‬
q2‫ל־‬ ‫בשניהם‬ ‫נגיע‬ 0 ‫עבור‬ ‫)כי‬ ∅ ‫נקבל‬ ‫המקרים‬ ‫בשני‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.(q1‫ל־‬ ‫בשניהם‬ ‫נגיע‬ 1 ‫ועבור‬
.‫שהיא‬ ‫כמו‬ ‫הטבלה‬ ‫את‬ ‫נשאיר‬ ‫אנחנו‬ ‫ולכן‬
:‫הינה‬ ‫הסופית‬ ‫הטבלה‬
q1 1
q2 ε ε
q3 1 0
q4 ε ε ε
q0 q1 q2 q3
‫על‬ E ‫היחס‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫כלומר‬ ,q0Eq3, q2Eq4 :‫ולכן‬
:‫הינן‬ Q
. [q0] = {q0, q3} , {q1} = [q1] , {q2, q4} = [q2]
:A ‫של‬ ‫הצמצום‬ ‫אוטומט‬ ‫את‬ ‫נבנה‬ ,‫כעת‬
// [q0]
1 //
0
[q2]
0
1
yy
[q1]
1
XX
0
``
‫ולכן‬ ,‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫שאינם‬ ‫מצבים‬ ‫ישנם‬ A‫שב־‬ ‫ייתכן‬ 18.2 ‫הערה‬
‫שאינם‬ ‫מצבים‬ ‫ישנם‬ (A ‫של‬ ‫הצמצום‬ ‫)אוטומט‬ A0
‫ב־‬ ‫שגם‬ ‫יתכן‬
‫מורכבת‬ A DFA ‫אוטומט‬ ‫של‬ ‫מינימיזציה‬ ,‫לכן‬ .‫להשגה‬ ‫ניתנים‬
:‫שלבים‬ ‫משני‬
.A‫ב־‬ ‫להשגה‬ ‫ניתנים‬ ‫שאינם‬ ‫מצבים‬ ‫הסרת‬ .‫א‬
.‫שנשאר‬ ‫האוטומט‬ ‫צמצום‬ .‫ב‬
L ‫את‬ ‫שמזהה‬ A0
DFA ‫נותנת‬ A DFA ‫אוטומט‬ ‫של‬ ‫מינימיזציה‬
.A ‫את‬ ‫שמזהים‬ ‫האוטומטים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬ ‫מינימלי‬ ‫והוא‬
.AL
‫את‬ ‫נותן‬ ‫זה‬ ‫למעשה‬
‫אוטומטים‬ ‫בין‬ ‫איזומורפיזם‬ 19
‫יהיו‬ :‫הגדרה‬
A1 = hQ1, Σ, δ1, q1, F1i
A2 = hQ2, Σ, δ2, q2, F2i
.‫־ים‬DFA ‫שני‬
‫קיימת‬ ‫אם‬ A1
∼
= A2 ‫ורושמים‬ A2‫ל־‬ ‫איזומופרי‬ A1 ‫ש‬ ‫אומרים‬
,‫ההתחלתי‬ ‫המצב‬ ‫על‬ ‫ששומרת‬ f : Q1 → Q2 ‫ועל‬ ‫חחע‬ ‫פונקציה‬
,‫כלומר‬ ,‫המעברים‬ ‫פונקציית‬ ‫על‬ ‫ושומרת‬ ‫סופיים‬ ‫מצבים‬ ‫על‬ ‫שומרת‬
:‫שמקיימת‬ ‫פונקציה‬
.f (q1) = q2 .1
:q ∈ Q1 ‫עבור‬ .2
.f (q) ∈ F2 ⇐⇒ q ∈ F1
.a ∈ Σ ‫ולכל‬ q ∈ Q1 ‫לכל‬ ,δ2 (f (q) , a) = f (δ1 (q, a)) .3
‫המינימלי‬ ‫האוטומט‬ ‫יחידות‬ ‫משפט‬ 19.1
‫ניתנים‬ ‫מצביו‬ ‫שכל‬ ‫מצומצם‬ DFA A = hQ, Σ, δ, q0, Fi ‫יהי‬
:‫אזי‬ ,L = L (A) ‫ותהי‬ ‫להשגה‬
A ∼
= AL
‫של‬ ‫הנושא‬ ‫סוף‬
!!‫אוטומטים‬
19