מבני נתונים

‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬ ‫תשע"ד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬
I ‫חלק‬
‫המספרים‬ ‫בתורת‬ ‫נושאים‬
‫שארית‬ ‫עם‬ ‫חילוק‬ 1
:N ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬
,N‫ל־‬ ‫חלקית‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ A ‫קבוצה‬ ‫בכל‬ ‫־‬ ‫הטוב‬ ‫הסדר‬ ‫עיקרון‬ .1
.‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫שהוא‬ ‫איבר‬ ‫יש‬
‫מספריים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .2
:‫דברים‬ ‫שני‬ ‫שמקיימת‬
.1 ∈ A (‫)א‬
.n + 1 ∈ A ‫אזי‬ n ∈ A ‫אם‬ (‫)ב‬
A = N ‫אזי‬
‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫השלמה‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .3
:‫שמקיימת‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬
.1 ∈ A (‫)א‬
.n ∈ A ‫אזי‬ k ∈ A ‫מתקיים‬ k < n ‫לכל‬ ‫אם‬ (‫)ב‬
A = N ‫אזי‬
.‫שקולות‬ ‫הטענות‬ ‫ששלושת‬ ‫להוכיח‬ ‫ניתן‬
:Z ‫של‬ ‫בסיסית‬ ‫תכונה‬
‫קיימים‬ ,n > 0 a, n ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 1.1 ‫משפט‬
‫כאשר‬ a = q · n + r ‫ש־‬ ‫כך‬ q, r ‫יחידים‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬
1
.0 ≤ r < n
.(q = 4, r = 3) .a = 4 · 5 + 3 ⇐ a = 23, n = 5 :‫דוגמה‬
:Z ‫של‬ ‫נוספת‬ ‫תכונה‬
.n‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫שארית‬ ‫נקרא‬ r‫ו־‬ ,‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q1
‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬A ⊆ Z ‫תהי‬ 1.2 ‫למה‬
.A = d · Z‫ש־‬ ‫כך‬ d ∈ Z ‫קיים‬ ‫אז‬ 2
‫לחיסור‬ ‫ביחס‬ ‫שסגורה‬
,d · Z =

d · m m ∈ Z = :‫כאשר‬
.d ‫של‬ ‫השלמות‬ ‫הכפולות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬
.4 · Z = {−12, −4, 8, 32, −40, ...} :‫למשל‬
‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2
‫התחלקות‬ ‫יחס‬ 2.1
b‫ש־‬ ‫)או‬ b ‫את‬ ‫מחלק‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬ a, b ∈ Z ‫עבור‬ 2.1 ‫הגדרה‬
.a·k = b‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫קיים‬ ‫אם‬ a | b ‫ורושמים‬ (a ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬
....6 - 3 ‫אבל‬ ,3 | 6 :‫למשל‬
‫ההתחלקות‬ ‫יחס‬ ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ 2.1.1
.‫וטרנזיטיבי‬ ‫רפלקסיבי‬ .1
.a = ±b ‫אזי‬ b | a‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .2
.a | xb + yc ∀x, y ∈ Z :‫אזי‬ a | c‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .3
‫מספר‬ ‫זהו‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ .a, b ∈ Z ‫יהיו‬ 2.2 ‫הגדרה‬
. c | d ‫וגם‬ c | a ‫שמקיים‬ c ∈ Z ‫שלם‬
b‫ו־‬ a ‫של‬ (gcd ‫או‬ ‫)ממ`מ‬ ‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2.3 ‫הגדרה‬
:‫הבאות‬ ‫התכונות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ d ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬
.d | b ‫וגם‬ d | a .1
:‫)במילים‬ .c | d ‫גם‬ ‫אזי‬ c | b ‫וגם‬ c | a ‫מקיים‬ c ∈ Z ‫אם‬ .2
.(d ‫־‬ ‫ה־ממ`מ‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫לחלק‬ ‫חייב‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫מחלק‬ ‫כל‬
.18‫ו־‬ 12 ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ −6 ‫וגם‬ 6 ‫גם‬ :‫דוגמא‬
‫משותף‬ ‫מחלק‬ ‫הוא‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ a = b = 0 ‫אם‬ 2.4 ‫הערה‬
.b‫ו־‬ a‫ל־‬ ‫ממ`מ‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ b‫ו־‬ a ‫של‬
‫ואין‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ ±a ‫אז‬ b = 0‫ו־‬ a 6= 0 ‫אם‬ 2.5 ‫הערה‬
.‫אחרים‬
d ‫ממ`מ‬ ‫קיים‬ ,a, b 6= 0 ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 2.6 ‫משפט‬
.d = xa + yb x, y ∈ Z ‫בצורה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ ‫והוא‬
.6 = 3 · 18 + (−4) · 12 ‫או‬ ,6 = 1 · 18 + (−1) · 12 :‫למשל‬
‫אזי‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ d1, d2 ‫כי‬ ‫ונניח‬ a, b ∈ Z 2.7 ‫הערה‬
.(d1 | d2, d2 | d1 ‫להתקיים‬ ‫צריך‬ ‫ההגדרות‬ ‫ע`פ‬ ‫)כי‬ .d1 = ±d2
‫כדי‬ ‫)עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הממ`מ‬ 2.8 ‫מסקנה‬
.(‫סימן‬
‫ואחד‬ ‫חיובי‬ ‫אחד‬ ‫ממ`מ‬ ‫שני‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ‫מאפס‬ ‫שונים‬ a.b ‫אם‬
.‫החיובי‬ ‫מינוס‬ ‫שהוא‬
.a, b ‫של‬ (‫)והיחיד‬ ‫החיובי‬ ‫של‬ ‫הממ`מ‬ ‫הוא‬ gcd (a, b) :‫סימון‬
.gcd (a, b) = gcd (−a, b) = gcd (a, −b) = gcd (−a, −b)
.gcd (a, b) = 1 ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫הם‬ a, b ∈ Z ‫מספרים‬ ‫שני‬ 2.9 ‫הגדרה‬
‫הם‬ x, y .xa + yb = 1 :‫שמתקיים‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ ,‫לכן‬
.Be'zout ‫מקדמי‬
.a, b ∈ A ⇒ a − b ∈ A :‫כלומר‬2
1

‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ 2.2
‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫למצוא‬ ‫היא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫)המטרה‬
.(‫טבעיים‬
.a, b ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫זוג‬ :‫קלט‬
.gcd (a, b) :‫פלט‬
q, r ∈ Z ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫כלומר‬ ,‫שארית‬ ‫עם‬ b‫ב־‬ a ‫את‬ ‫חלק‬ .1
.0 ≤ r b‫ו־‬ a = qb + r‫ש־‬ ‫כך‬
:r 0 ‫אם‬ .2
.(a‫ל־‬ b ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫)הכנס‬ .a ← b (‫)א‬
.b ← r (‫)ב‬
.1‫ל־‬ ‫חזור‬ (‫)ג‬
.b ‫את‬ ‫כפלט‬ ‫החזר‬ .3
‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫למצוא‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫בעזרת‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬
.‫הצבה‬ ‫באמעות‬ ‫איך‬ .(Be'zout ‫)מקדמי‬ gcd (a, b) = xa + yb
:‫הבאה‬ ‫בדוגמא‬ ‫הסבר‬
:gcd (76, 14) ‫את‬ ‫אוקלידס‬ ‫ע`פ‬ ‫נמצא‬
76 = 5 · 14 + 6 (1)
14 = 2 · 6 + 2 (2)
6 = 2 · 3 + 0 (3)
gcd (76, 14) = 2
‫השורה‬ ,‫אחרונה‬ ‫לפני‬ ‫האחת‬ ‫)השורה‬ (2) ‫משורה‬ ‫נתחיל‬ ‫כעת‬
:(‫כשארית‬ ‫הממ`מ‬ ‫לנו‬ ‫מופיע‬ ‫שבה‬
‫השארית‬ ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫למעלה‬ ‫שורה‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬ ,2 = 1·14−2·6
‫ואז‬ ,6 = 1·76−5·14 :‫נקבל‬ ,6 ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ ‫ונציב‬
‫ממשיכים‬ ‫היינו‬ ‫שורות‬ ‫יותר‬ ‫היו‬ ‫אם‬ ,‫שקיבלנו‬ ‫במה‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נציב‬
:(‫האחרונה‬ ‫השורה‬ ‫עד‬ ‫ככה‬
2 = 1 · 14 − 2 · (1 · 76 − 5 · 14) = 1 · 14 − 2 · 76 + 10 · 14 =
−2 · 76 + 11 · 14 ⇒ 2 = −2 · 76 + 11 · 14
!‫שרצינו‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫וקיבלנו‬
Zn‫ב־‬ ‫הופכי‬ ‫חישוב‬ 3
.Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} :‫תזכורת‬
‫עבור‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ Zn ‫על‬ (·n) n ‫מודולו‬ ‫כפל‬ 3.1 ‫הגדרה‬
.
a · b
n
‫מ־‬ ‫השארית‬ ‫היא‬ a ·n b ,a, b ∈ Zn
‫לכפל‬ ‫ביחס‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫קיים‬ ‫אז‬ ,0 6= a ∈ Zn ‫יהי‬ 3.2 ‫טענה‬
3
.gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬
.a · a−1 = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a−1 ∈ Zn ‫קיים‬ ,‫כלומר‬3
Zn‫ב־‬ a ‫איבר‬ ‫של‬ ‫הופכי‬ ‫לחישוב‬ ‫הדרך‬ 3.1
.(‫אוקלידס‬ ‫)לפי‬ gcd (a, n) ‫את‬ ‫מחשבים‬ .1
!Zn‫ב־‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫אין‬ ‫־‬ gcd (a, n) 6= 1 ‫אם‬
‫־‬ ‫ואז‬ 1 = xa + yn‫ש־‬ ‫כך‬ ‫שלמים‬ x, y ‫מוצאים‬ ‫אחרת‬ .2
.a−1
= x (mod n)
‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ a, b ∈ Z
. gcd (a, b) = xa + yb
.1 = xa + yb :‫אזי‬ ,‫זרים‬ b‫ו־‬ a ‫ואם‬
‫החד־‬ ‫הפריקות‬ ‫ומשפט‬ ‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ 4
‫ערכית‬
gcd (a, b) = 1‫ו־‬ a | b · c ‫אם‬ .0 6= a, b, c ∈ Z ‫יהיו‬ 4.1 ‫למה‬
.a | c ‫אז‬
‫רק‬ ‫שמתחלק‬ p 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ 4.2 ‫הגדרה‬
.±p‫וב־‬ ±1‫ב־‬
:‫הערות‬ ‫כמה‬
p | a ⇔ p | a·b :a, b ∈ Z :‫עבור‬ ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬ .1
.p | b ‫או‬
.1 ≤ i ≤ k ‫עבור‬ p | ai ⇐ p | a1 · a2 · · · ak .2
‫אז‬ ,‫ראשוניים‬ q1, . . . , qn ‫כאשר‬ p | q1 · q2 · · · qn ‫אם‬ .3
.1 ≤ i ≤ n ‫עבור‬ p = qi
:‫ומתקיים‬ ‫ראשוניים‬ q1, q2, . . . , qm, p1, p2, . . . , pn ‫אם‬ .4
‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫וכל‬ n = m ‫אזי‬ p1 · · · pn = q1 · · · qm
‫מספר‬ ‫אותו‬ ,‫השני‬ ‫באגף‬ ‫גם‬ ‫מופיע‬ ‫האגפים‬ ‫באחד‬ ‫שמופיע‬
.‫פעמים‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ 4.3 ‫טענה‬
.‫ראשוניים‬
‫הפריקות‬ ‫]משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫)המשפט‬ 4.4 ‫משפט‬
‫של‬ ‫למכפלה‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ :([‫ערכית‬ ‫החד‬
‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬
.‫הראשוניים‬
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬
:‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
.n = pk1
1 , pk2
2 , . . . , pkm
m
‫ראשוניים‬ p1 p2 p3 · · · pm ,N 3 m ≥ 1 ‫כאשר‬
‫ההצגה‬ ‫־‬ ‫יקרא‬ ‫זה‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .‫שונים‬
.n ‫של‬ (‫)הנורמלית‬ ‫הקנונית‬
.n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫־‬ ν (n) :‫מסמנים‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬
:‫אז‬ (‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ .n = pk1
1 , pk2
2 , . . . , pkm
m ‫אם‬
2

ν (n) =
m
Y
i=1
(ki + 1)
(‫)חפיפה‬ ‫קונגרואנציה‬ 5
a, b ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫עבור‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.1 ‫הגדרה‬
‫ורושמים‬ n | (a − b) ‫אם‬ n ‫מודולו‬ b‫ל־‬ ‫קונגרואנטי‬ a‫ש־‬ ‫נאמר‬
.a ≡ b (mod n)
:‫המשמעות‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.a ≡ b (mod n) ⇔ a = n · k + b
.k ∈ Z
:‫ז`א‬ ,a (mod n) = b (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n) :‫הערה‬
⇔ .n‫ב־‬ ‫אותם‬ ‫מחלקים‬ ‫כאשר‬ ‫שארית‬ ‫אותה‬ ‫משאירים‬ a, b
.k ∈ Z, a = k · n + b
.Z ‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ (n ‫מודולו‬ '‫)קונ‬ ‫זה‬ ‫יחס‬ .1
‫שניים‬ ‫אף‬ ‫־‬ 0, 1, ..., n − 1 ‫השלמים‬ ‫במספרים‬ ‫נסתכל‬ .2
‫מספר‬ ‫וכל‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫יאנם‬ ‫אלה‬ ‫ממספרים‬
‫מהמספרים‬ ‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫הוא‬ a ‫מודול‬ ‫שלם‬
.‫בלבד‬ ‫הללו‬
:‫אז‬ ,c = d (mod n)‫ו־‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .3
a ± c ≡ b ± d (mod n) (‫)א‬
.ac ≡ bd (mod n) (‫)ב‬
:‫נובע‬ 3‫מ־‬ .4
.a±̇c ≡ b±̇c (mod n) ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)א‬
ak
≡ bk
‫־‬ k ∈ N ‫לכל‬ ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)ב‬
.(mod n)
gcd (c, n) = 1‫ו־‬ ac ≡ bc (mod n) ‫אם‬ .5
.a ≡ b (mod n) ‫אז‬
.a ≡ b (mod n) 6⇐ ac ≡ bd (mod n) ‫בד`כ‬ ‫אבל‬
a
d ≡ b
d (mod n
d ) ⇔ :a, b, n ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ d‫ש־‬ ‫נניח‬ .6
.a ≡ b (mod n)
.a ≡ b (mod m) ‫אז‬ m | n ‫ואם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .7
⇔ a ≡ b (mod m) ‫וגם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .8
.l = lcm (a, b) ‫כאשר‬ a ≡ b (mod l)
a ≡ b (mod n) :‫אז‬ ‫זרים‬ m, n ‫אם‬ :8‫מ־‬ ‫מסקנה‬ .9
.a ≡ b (mod n · m) ⇔ a ≡ b (mod m) ‫ו־‬
:‫אזי‬ ‫שונים‬ ‫ראשוניים‬ p, q ‫אם‬ :‫בפרט‬ .10
a ≡ b ‫וגם‬ a ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ b (mod p · q)
.(mod q)
n ‫מודולו‬ ‫הפיכות‬ 5.1
‫קיים‬ ‫אם‬ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫שמספר‬ ‫אומרים‬ 5.2 ‫הגדרה‬
.a · b = 1 (mod n) ‫ש־‬ ‫כך‬ b ‫שלם‬ ‫מספר‬
.3 · 7 = 1 (mod 10), 3 · 17 = 1 (mod 10) :‫למשל‬
.gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ 5.3 ‫משפט‬
‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ gcd (a, n) = 1 ‫אם‬ 5.1.1
?n
1 =‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫מוצאים‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ע`י‬
.n ‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x ‫ואז‬ xa + yn
‫ראשונה‬ ‫ממעלה‬ ‫קונגרואנציות‬ ‫פתרון‬ 5.2
.2x ≡ 3 (mod 5) :‫הבאה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫רוצים‬
.(‫אותה‬ ‫שמקיימים‬ x‫ה־‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ,‫)כלומר‬
:3‫ב־‬ ‫שנכפול‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬
.6x ≡ 9 (mod 5) ⇒ x ≡ 4 (mod 5)
‫יש‬ ax ≡ b mod n '‫לקונ‬ a, b ∈ Z‫ו־‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.4 ‫משפט‬
:‫מהצורה‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬ gcd (a, n) | b ⇔ ‫פתרון‬
‫אחרות‬ ‫]במילים‬ d = gcd (a, n) ‫כאשר‬ x ≡ c (mod b
d )
.[n ‫מודולו‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬
‫פתרון‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ ‫אז‬
?ax ≡ b (mod n) ‫לקונגרואנציה‬
.(!‫פתרון‬ ‫אין‬ ‫)אחרת‬ .gcd (a, n) | b‫ש־‬ ‫מוודאים‬ .‫א‬
.(‫וזרים‬ ‫שלמים‬ a
d , n
d ) a
d x ≡ b
d (mod n
d ) :‫את‬ ‫פותרים‬ .‫ב‬
‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ a
d ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ .‫ג‬
‫־‬ ‫ואז‬ (x, y ∈ Z ‫)כאשר‬ 1 = a
d x + n
d y‫ש־‬ ‫כך‬ ‫אוקלידס‬
.a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x
.x‫ב־‬ ‫כולה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫כופלים‬ .‫ד‬
.p | b ‫וגם‬ p | a‫ש־‬ ‫כך‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫אין‬ ⇔ gcd (a, b) = 1
.n‫ל־‬ ‫זרים‬ a · b ⇔ n‫ל־‬ ‫זר‬ b‫ו־‬ n‫ל־‬ ‫זר‬ a :‫חשובה‬ ‫עובדה‬
‫ערכית‬ ‫החד־חד‬ ‫הפריקות‬ ‫משפט‬ 6
‫הפריקות‬ ‫)משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 6.1 ‫משפט‬
:(‫ערכית‬ ‫החד־חד‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫של‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראושניים‬
.‫הראושניים‬
:‫המשפט‬ ‫להצגת‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬
:‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
p1 p2 · · · ‫ו־‬ 1 ≤ m ∈ N ‫כאשר‬ n = pk1
1 · pk2
2 · · · pkm
m
‫זאת‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .(‫)שונים‬ ‫ראשוניים‬ pm
.n ‫של‬ (‫)נורמלית‬ ‫הקנונית‬ ‫ההצגה‬ ‫נקראת‬
?4
n‫ל־‬ ‫יש‬ ‫מחלקים‬ ‫כמה‬ :‫שאלה‬
‫המחלקים‬ ‫אזי‬ ,(‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ n = pk1
1 ·pk2
2 · · · pkm
m ‫אם‬ :‫תשובה‬
:‫בדיוק‬ ‫הם‬ n ‫של‬ ‫הטבעים‬
.0 ≤ αi ≤ ki ‫כאשר‬ pα1
1 · pα2
2 · · · pαm
m
‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ,2 ‫עבור‬ ‫אפרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ,150 = 2 · 3 · 52 :‫למשל‬4
‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬ ,(‫בריבוע‬ ‫שהוא‬ ‫)בגלל‬ 5 ‫עבור‬ ‫אפשרויות‬ 3‫ו־‬ ,3 ‫עבור‬
.2 · 2 · 3 = 12 ‫הינו‬ 150
3

.(α1 + 1) (α2 + 1) · · · (αm + 1) :‫הוא‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬
.n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ = ν (n) :‫סימון‬
:‫אזי‬ ,n = pα1
1 · pα2
2 · · · pαm
m ‫אם‬
ν (n) =
m
Y
i=1
(αi + 1)
‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ 7
:‫ע`י‬ ‫שמוגדרת‬ ϕ : N → N ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬
‫שווים‬ ‫או‬ ‫קטנים‬ ‫אשר‬ (k) ‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫=מספר‬ ϕ (n)
.n‫ל־‬ ‫וזרים‬ (n ≥) n‫ל־‬
. ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (10) = 4 :‫למשל‬
.ϕ (p) = p − 1 ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 7.1 ‫הערה‬
n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ 7.1
‫שאף‬ b1, . . . , bn ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ n ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.2 ‫הגדרה‬
.n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫מהם‬ ‫שנים‬
.n = 5 : 10, 21, 32, 54 ,n = 3 : 3, 7, 8 :‫למשל‬
n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ 7.2
:n‫ל־‬ ‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n) ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.3 ‫הגדרה‬
.n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫אינם‬ ‫מהם‬ ‫שניים‬ ‫שאף‬ ,b1, . . . bϕ(n)
.n = 10 : 1, 3, 7, 9, n = 8 : 1, 3, 5, 7 :‫למשל‬
:‫הערות‬ ‫מספר‬
.1
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬
‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫יהיה‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n
.‫בלבד‬ ‫־ים‬bi
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬
‫יהיה‬ n‫ל־‬ ‫הזר‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬
.‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬
.2
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬
ab1 + :‫אז‬ gcd (a, n) = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a, k ∈ Z ‫ואם‬ ,n
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ k, . . . , abn+k
.n
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬
‫גם‬ ‫אז‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ a ‫ואם‬ n ‫מודולו‬
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ ab1, . . . , abϕ(n)
.n ‫מודולו‬
‫של‬ ‫שלמות‬ ‫מערכות‬ ‫הן‬ c1, . . . , cn‫ו־‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ .3
‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫רונגרואנטי‬ ci ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬
‫גם‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫עבור‬ ‫דומה‬ ‫)טענה‬ .‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬
.(‫נכונה‬
‫בדיוק‬ ‫מכילה‬ b1, . . . , bn :n ‫מודולו‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫כל‬ .4
.n‫ל־‬ ‫הזרים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n)
‫הם‬ m, n ‫אם‬ :‫הבא‬ ‫במובן‬ ‫כפלית‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ϕ 7.4 ‫משפט‬
.ϕ (m · n) = ϕ (m) · ϕ (n) :‫אז‬ ,‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬
:‫אז‬ ,‫בזוגות‬ ‫זרים‬ n1, ..., nk ‫אם‬ 7.5 ‫מסקנה‬
.ϕ (n1 · n2 · · · nk) = ϕ (n1) · ϕ (n2) · · · ϕ (nk)
:‫אזי‬ , ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n‫ו־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫יהי‬ 7.6 ‫טענה‬
.ϕ (pn
) = pn
− pn−1
:‫כך‬ ‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ ‫את‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬
ϕ (n) = n ·
m
Y
i=1

1 −
1
pi

:‫מקובל‬ ‫יותר‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬
ϕ (n) = n ·
Y
p|n

1 −
1
p

..(n ‫את‬ ‫המחלק‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ p | n)
‫אוילר‬ ‫משפט‬ 8
:‫אזי‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ a ‫ויהי‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬
aϕ(n)
≡ 1 (mod n)
4

‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ 9
:‫מתקיים‬ p‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אז‬ , ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬
ap−1
≡ 1 (mod p)
.(‫אוילר‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬ 9.1
.ap−1
≡ 1 (mod p) :1 ≤ a p ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬
:‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫למשפט‬ ‫ההפוך‬ ‫המשפט‬
an−1
≡ 1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n .1 n ∈ N ‫יהי‬ 9.1 ‫משפט‬
.1 ≤ a n ‫לכל‬
:‫שמקיימים‬ ‫ראשוניים‬ ‫לא‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫קיימים‬ 9.2 ‫הערה‬
.n‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ an−1
≡ 1 (mod n)
.561 = 3 · 11 · 17 ‫הוא‬ ‫זאת‬ ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫המספר‬
.‫קריימקל‬ ‫מספרי‬ ‫נקראים‬ ‫אלו‬ ‫מספרים‬
:a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 9.3 ‫משפט‬
.ap
≡ a (mod p)
‫וילסון‬ ‫משפט‬ 10
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ n 1 ‫יהי‬ 10.1 ‫משפט‬
.(n − 1)! ≡ −1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n
II ‫חלק‬
‫חבורות‬
‫הגדרה‬ 11
‫פעולה‬ ‫מוגדרת‬ ‫שעליה‬ G ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫חבורה‬ 11.1 ‫הגדרה‬
‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫אשר‬ ((G, ∗)‫ב־‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫)ונהוג‬ ∗ ‫בינארית‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫ארבע‬
‫חד־ערכי‬ ‫באופן‬ ‫מוגדר‬ a ∗ b ,a, b ∈ G :‫הפעולה‬ ‫קשירות‬ .1
.a ∗ b ∈ G‫ו־‬
:a, b, c ∈ G ‫לכל‬ ‫ז`א‬ :G ‫על‬ ‫אסוציאטיבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ∗ .2
.(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
‫יש‬ :‫אומרת‬ ‫זאת‬ ,∗ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .3
.a ∈ G ‫לכל‬ a ∗ e = e ∗ a = a‫ש־‬ ‫כך‬ e ∈ G
‫קיים‬ ,‫כלומר‬ ,∗‫ל־‬ ‫ביחס‬ ‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .4
.a ∗ a0
= a0
∗ a = e‫ש־‬ ‫כך‬ a0
∈ G
:‫הערות‬ ‫כמה‬
,G‫ב־‬ ‫יחיד‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫שיש‬ ‫להוכיח‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ 11.2 ‫הערה‬
‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫לכן‬ .‫יחיד‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ a ∈ G ‫ולכל‬
.a ‫של‬ ‫וההופכי‬
.‫בנקודה‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫בדרך־כלל‬ 11.3 ‫הערה‬
‫איבר‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ .a · b ‫במקום‬ ab ‫רושמים‬ ‫אפילו‬
‫חבורה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .a−1
‫ב־‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫ואת‬ e‫ב־‬ ‫היחידה‬
.(‫כפלית‬
‫במקרה‬ ,`+`‫ב־‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ ‫לפעמים‬ 11.4 ‫הערה‬
‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .−a ‫יסומן‬ a ‫של‬ ‫וההפכי‬ 0 ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ,‫זה‬
.(‫חיבורית‬ ‫חבורה‬ ‫על‬
‫לחבורות‬ ‫דוגמאות‬ 12
‫כלשהו‬ ‫שדה‬ ‫־‬ F 12.1
.‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫חבורה‬ ‫אינה‬ F) .F ‫של‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ ‫אז‬
.(‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ 0‫ל־‬ ‫כי‬ ‫השדה‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬
.F∗
=

a ∈ F a 6= 0 :‫סימון‬
.F ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ F∗
.‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C∗
, Q∗
, R∗
.‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C, Q, R
5
‫קומוטטבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהפעולה‬ ‫חבורה‬ 12.1 ‫הגדרה‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫נקראת‬
.‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ F, F∗
‫החבורות‬
(‫)השלמים‬ Z 12.2
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .‫השלמים‬ ‫חיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬
Zn 12.3
‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1} ,1 n ∈ N ‫עבור‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬
.0 :‫היחידה‬ ‫איבר‬
:a ‫של‬ ‫ההופכי‬
a−1
=
(
n − a a 6= 0
0 a = 0
Z∗
n 12.4
:‫נסמן‬ .1 n ∈ N ‫יהי‬
.Z∗
n =
(
a 1 ≤ a n, gcd (a, n) = 1
)
.Z∗
10 = {1, 3, 7, 9} , Z∗
8 = {1, 3, 5, 7} :‫למשל‬
.|Z∗
n| = ϕ (n) :♥ ‫לשים‬ ‫כדאי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n
a, b ∈ G ‫לכל‬ ,a ∗ b = b ∗ a5
5

SX 12.5
:‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ X ‫של‬ ‫תמורה‬ .‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
.f : X → X
.X ‫של‬ ‫התמורות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ SX‫ב־‬ ‫מסמנים‬
.X‫ל־‬ X‫מ־‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫ההרכבה‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ SX
. : X → X . :‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫זאת‬ ‫בחבורה‬
.x ∈ X ‫לכל‬ (x) = x
‫ההפוכה‬ ‫=הפונקציה‬f−1
‫הוא‬ f ∈ SX ‫איבר‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬
.f ‫לפונקציה‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬
Sn 12.6
‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ X :‫הקודמת‬ ‫הדוגמא‬ ‫של‬ ‫חשוב‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬
‫ומסמנים‬ 1, 2, ..., n‫ב־‬ X ‫אברי‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ .‫איברים‬ n ‫בעלת‬
:‫כך‬ f ∈ Sn ‫איבר‬
f =

1 2 3 · · · n
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)

. =

1 2 3 · · · n
1 2 3 · · · n

:‫למשל‬
n × n ‫מסדר‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫־‬ GLn (F) 12.7
‫המטריצות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫את‬ GLn (F)‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬
.F ‫מעל‬ n × n ‫מסדר‬ ‫ההפיכות‬
‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ GLn (F)
.(‫הפיכה‬ ‫מטריצה‬ ‫יוצרת‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫כפל‬ :‫)תזכורת‬
.(‫היחידה‬ ‫)מטריצת‬ I ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איברו‬
.A−1
‫המטריצה‬ ‫היא‬ A ∈ GLn (F) ‫של‬ ‫וההופכי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬
X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ 12.8
.X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ PX‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
.PX =

A A ⊆ X
.|PX| = 2|X|
:‫תזכורת‬
:PX ‫על‬ 6
∆ ‫הסימטרי‬ ‫להפרש‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ PX
.A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B) :A, B ∈ PX ‫עבור‬
.∅ ‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ ‫הינה‬PX‫ב־‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
‫חבורה‬ ‫)זו‬ .(‫עצמה‬ ‫)הקבוצה‬ A ‫הוא‬ PX‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬
.(‫עצמו‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ ‫בה‬ ‫איבר‬ ‫שכל‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫כמובן‬ ‫זו‬
U ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ 12.9
C ‫למרוכבים‬ ‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ 12.9.1
‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ ‫לעשות‬ ‫כדאי‬ ‫הבאות‬ ‫החבורות‬ ‫לשתי‬ ‫שניגשים‬ ‫לפני‬
:‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫על‬
.i2
= −1‫ו־‬ a, b ∈ R ‫כאשר‬ ,7
z = a + bi :‫אזי‬ ,z ∈ C‫ש־‬ ‫נניח‬
.r = |z| =
√
a2 + b2
U =

z ∈ C |z| = 1
.|z1| = 1, |z2| = 1 ⇒ |z1 · z2| = |z1| · |z2| = 1
‫המישור‬ ‫של‬ ‫הסיבובים‬ ‫)חבורת‬ ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ ‫זאת‬ ‫חבורה‬
.(‫הראשית‬ ‫סביב‬
‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫חבורת‬ 12.10
‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ Un‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬
zn
= :‫שמקיימים‬ z ‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ n ‫מסדר‬
.(1
‫של‬ ‫בסיכום‬ ‫היחידה‬ ‫ושורשי‬ ‫המרוכבים‬ ‫על‬ ‫נוסף‬ ‫חומר‬ ‫למצוא‬ ‫]ניתן‬
‫)שנה‬ ‫ברתל‬ ‫לור‬ ‫ד`ר‬ ‫מאת‬ `‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫מתמטיים‬ ‫`כלים‬ ‫הקורס‬
.[3‫־‬4 ‫עמודים‬ ('‫א‬ ‫סמסטר‬ ,'‫א‬
.‫חבורה‬ ‫איננה‬ ‫היא‬ ‫והחיתוך‬ ‫האיחוד‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬6
.z ‫של‬ ‫המדומה‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ b‫ו־‬ ,z ‫של‬ ‫הממשי‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ a7
6

‫נתונות‬ ‫מחבורות‬ ‫חדשה‬ ‫חבורה‬ ‫יצור‬ 13
‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .G, H ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫נתונות‬
.G × H :‫הקרטזית‬ ‫במכפלה‬ ‫נסתכל‬ .◦‫ב־‬ H
G×H ‫על‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ ‫נגדיר‬ ,G×H =

(a, b) a ∈ G, b ∈ H
:‫הבא‬ ‫באופן‬
:(a, b) , (c, d) ∈ G × H ‫עבור‬
(a, b) · (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d)
.‫הזו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬
‫איבר‬ ‫־‬ eH .(eG, eH) ‫הוא‬ G × H ‫בחבורה‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
.G ‫של‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫־‬ eG ,H ‫של‬ ‫היחידה‬
:G × H ‫בחבורה‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬
.(a, b)
−1
= a−1
, b−1

.H‫ו־‬ G ‫של‬ ‫הישירה‬ ‫המכפלה‬ ‫־‬ ‫נקראת‬ G × H
‫חבורות‬ ‫חשבון‬ 14
:‫אזי‬ a1, ..., an ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .1
‫אינו‬ ‫המכפלה‬ ‫ערך‬ ‫־‬ a1 ·a2 · · · an = (((a1) · a2) · · · )·an
.‫האיברים‬ ‫בין‬ ‫סוגריים‬ ‫משמיטים‬ ‫או‬ ‫מכניסים‬ ‫אם‬ ‫משתנה‬
:a, b, c ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2
.(‫מימין‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ac = ab ‫אם‬ (‫)א‬
.(‫משמאל‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ca = cb ‫אם‬
.a = e ‫אזי‬ a · a = a ‫אם‬ (‫)ב‬
. a−1
−1
= a (‫)ג‬
.(a · b)
−1
= b−1
· a−1
(‫)ד‬
‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחיד‬ x ‫קיים‬ a, b ∈ G ‫לכל‬ (‫)ה‬
.( x = a−1
· b) a · x = b
(a1 · · · ak)
−1
= a−1
k · · · a−1
1 (‫)ו‬
an
= a · a · a · · · a
| {z }
n times
(‫)ז‬
:(‫)חזקות‬ ‫בנוסף‬ ‫מגדירים‬ .3
.a0
= e (‫)א‬
.a−n
= a−1
n
= (an
)
−1
(‫)ב‬
:‫מתקיים‬ n, m ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ (‫)ג‬
.an
· am
= an+m
.i
.(an
)
m
= anm
.ii
‫מתקיים‬ ‫אינו‬ (ab)
n
= an
bn
‫החוק‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬ .iii
.‫אבלית‬ ‫בחבורה‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ ‫אלא‬ ,‫בחבורות‬ ‫בד`כ‬
‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫בחבורה‬ ,‫)כלומר‬ ‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ (‫)ד‬
‫כללי‬ ‫שני‬ ‫ולכן‬ ,na ‫רושמים‬ an
‫החזקה‬ ‫את‬ ‫אז‬ (`+`
:‫החזקה‬
n‫ל־‬ m‫ה־‬ ‫שבין‬ ‫)הפלוס‬ (n + m) a = na+ma .i
‫שבין‬ ‫הפלוס‬ ‫ואילו‬ ,‫מספרים‬ ‫של‬ ‫רגיל‬ ‫חיבור‬ ‫זה‬
.‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫זאת‬ na‫ו־‬ ma
.m (na) = (mn) a .ii
a ‫של‬ ‫הסדר‬ 15
.a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 15.1 ‫הגדרה‬
‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ ord (a) ‫מסומן‬ a ‫של‬ ‫הסדר‬
‫אזי‬ ,‫כזה‬ n ‫ואין‬ ‫במידה‬ .‫כזה‬ n ‫יש‬ ‫אם‬ ,an
= e ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬
.‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫דוגמאות‬ 15.1
:Z∗
10‫ב־‬
.(34
= 1 ‫)כי‬ ,ord (3) = 4
.(74
= 1 ‫)כי‬ ,ord (7) = 4
:a, b ∈ G‫ו־‬ G ‫חבורה‬ ‫עבור‬
‫כך‬ m 6= 0 ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬ ⇔ ‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a 15.2 ‫משפט‬
.am
= e‫ש־‬
.a = e ⇔ ord (a) = 1 15.3 ‫משפט‬
.‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫סופית‬ ‫בחבורה‬ 15.4 ‫משפט‬
‫כל‬ ‫אז‬ G ‫בחבורה‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ 15.5 ‫למה‬
:i, j ∈ Z ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ a ‫חזקות‬
.ai
6= aj
⇐ i 6= j
‫כאשר‬ am
= ar
:m ∈ Z ‫לכל‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫אם‬ 15.6 ‫משפט‬
.r ≡ m (mod n)
:‫הן‬ a ‫של‬ ‫השונות‬ ‫החזקות‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫נניח‬ 15.7 ‫משפט‬
.e = a0
, a1
, ..., an−1
:‫משפטים‬ ‫שני‬ ‫נובעים‬ ‫האחרון‬ ‫מהמשפט‬
.ai
6= aj
:0 ≤ i j ≤ n − 1 ‫לכל‬ 15.8 ‫משפט‬
.am
= ar
‫ש־‬ ‫כך‬ 0 ≤ r ≤ n − 1 ‫יש‬ m ∈ Z ‫לכל‬ 15.9 ‫משפט‬
:m ∈ Z ‫עבור‬ ‫אז‬ .ord (a) = n ‫נניח‬ 15.10 ‫למה‬
.n | m ⇔ am
= e
:‫טבעי‬ k ‫לכל‬ ‫אז‬ ,ord (a) = n ‫אם‬ 15.11 ‫טענה‬
ord ak

=
n
gcd (n, k)
:k ∈ Zn ‫לכל‬ :Zn ‫בחבורה‬ 15.12 ‫משפט‬
ord (k) =
n
gcd (k, n)
7

‫תת־חבורות‬ 16
‫כי‬ ‫נניח‬ ,G ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 16.1 ‫הגדרה‬
‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ :‫)ז`א‬ G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H
..(a · b ∈ H
‫על‬ ‫שמושרית‬ ‫פעולה‬ ‫לאותה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ H ‫אם‬
.G ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫אז‬ G ‫של‬ ‫מהפעולה‬ H
.H G :‫זאת‬ ‫ומסמנים‬
.Z R :‫למשל‬
‫חבורות‬ ‫לתת‬ ‫תנאים‬ 16.1
‫ישנם‬ .8
G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ H ‫תת־קבוצה‬ ‫ונתונה‬ G ‫חבורה‬ ‫נתונה‬
‫היא‬ H‫ש־‬ ‫בטוחים‬ ‫להיות‬ ‫כדי‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריכים‬ ‫דברים‬ ‫שלושה‬
:(H G) G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬
:1 ‫טענה‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ H ‫אם‬
:‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ,‫ז`א‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H .1
.a · b ∈ H
.a−1
∈ H :‫מתקיים‬ a ∈ H ‫לכל‬ :‫ז`א‬ ,‫להופכי‬ ‫סגורה‬ H .2
.H G ‫אזי‬
:2 ‫טענה‬
.‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H ‫אז‬ a · b−1
∈ H ‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ‫אם‬
:3 ‫טענה‬
‫אם‬ .G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫ולא‬ ‫סופית‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהא‬
.H G ‫אז‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H
‫לתת־חבורות‬ ‫דוגמאות‬ 16.2
,SLn (F) =

A ∈ Mn (F) det (A) = 1
.SLn (F) GLn (F)
‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ 17
.a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.1 ‫הגדרה‬
:‫מסמנים‬
hai =

an
n ∈ Z

.(hai =

n · a n ∈ Z :‫חיבורי‬ ‫)בכתיב‬
.a ∈ hai ‫כי‬ hai 6= ∅ :‫כמובן‬
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ hai :‫טענה‬
.hai ‫ע`י‬ ‫שנוצרת‬ ,G ‫של‬ ‫הציקלית‬ ‫התת־חבורה‬ ‫נקראת‬ hai
hai ‫של‬ ‫המבנה‬ 17.1
:‫אזי‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬
.hai =

. . . , a−1
, a−1
, a0
= e, a1
, a2
, . . .
: ‫תהיה‬ H‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ ‫כאן‬ ‫החזקות‬ ‫כל‬
.ai
· aj
= ai+j
, ∀i, j ∈ Z
‫מדויק‬ ‫העתק‬ ‫היא‬ hai ,‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ ,‫זה‬ ‫)במקרה‬
.(Z ‫של‬
.∅‫ב־‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ,‫תת־חבורה‬ ‫אינה‬ ∅8
:‫אזי‬ ord (a) = n ‫אם‬
‫־‬ hai =

a0
= e, a1
, a2
, . . . , an−1
:‫היא‬ hai‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזה‬ ‫זה‬ ‫שונים‬ ‫כאן‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬
‫העתק‬ ‫היא‬ hai ‫זה‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ ,ai
· aj
= ai+j (mod n)
.(Zn ‫של‬ ‫מדויק‬
.‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמובן‬ ‫מדובר‬ ,Z8 ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫למשל‬
h2i = {0 · 2, 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2} = ‫־‬ ‫לכן‬ ,ord (2) = 4 .‫א‬
{0, 2, 4, 6}
.h6i = h2i ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .h3i = Z8‫ש־‬ ‫ישירות‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ ‫לכן‬ ,ord (3) = 8
.h1i = h3i = h5i = h7i
.(‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫)כל‬ h2i =

n · 2 n ∈ Z :Z‫ב־‬
.h1i = h−1i = Z
‫כך‬ a ∈ G ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫נראת‬ G ‫חבורה‬ 17.2 ‫הגדרה‬
.G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫נראה‬ ‫כזה‬ a .hai = G‫ש־‬
‫מספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ |G| ‫מסומן‬ G ‫סופית‬ ‫חבורה‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫הסדר‬
.G ‫של‬ ‫האיברים‬
.ord (a) = |hai| 17.3 ‫משפט‬
G = :‫נגיד‬ ,G‫ל־‬ ,‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.4 ‫משפט‬
.a, a−1
:‫יוצרים‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬ ‫יש‬ G‫ל־‬ .hai
.G = |n| .n ‫מסדר‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.5 ‫משפט‬
.ord (a) = n ⇐⇒ G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ a ∈ G ‫איבר‬
.n ‫מסדר‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ ⇐⇒ ‫ציקלית‬ G 17.6 ‫משפט‬
‫־‬ G ‫של‬ ‫היוצרים‬ ,n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.7 ‫משפט‬
.n‫ל־‬ ‫זר‬ k‫ו־‬ 0 ≤ k n ‫כאשר‬ ak
‫הינם‬
.ϕ (n) ‫הינו‬ ‫הללו‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬
‫שמקיימים‬ k ∈ Zn ‫האיברים‬ ‫הם‬ Zn ‫של‬ ‫היוצרים‬ :‫דוגמא‬
.gcd (k, n) = 1
:Z∗
n ‫לגבי‬
‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n 1 ‫יהי‬ 17.8 ‫משפט‬
:‫הבאות‬ ‫הצורות‬ ‫מאחת‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒
‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ ‫־‬ n = 2, n = 4, n = pk
, n = 2pk
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ k‫ו־‬ ‫אי־זוגי‬
.‫ציקלית‬ ‫אינה‬ ‫־‬ Z∗
12 ,‫ציקלית‬ ‫־‬ Z∗
50 :‫למשל‬
.ϕ (ϕ (n)) :‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬ ‫ציקלית‬ ‫היא‬ Z∗
n‫ש־‬ ‫בהנחה‬
.n ‫של‬ ‫פרימיטבי‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬ Z∗
n ‫החבורה‬ ‫של‬ ‫יוצר‬ 17.9 ‫הגדרה‬
.‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n ⇐⇒ ‫פרימטיבי‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ n‫ל־‬
:‫הינו‬ n ‫של‬ ‫הפרימיטיבים‬ ‫השורשים‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ ‫)ובמקרה‬
.(ϕ (ϕ (n))
.G × H ‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ .‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהינה‬ 17.10 ‫טענה‬
G ‫של‬ ‫יוצר‬ a ‫אזי‬ ,G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫היוא‬ (a, b) ∈ G × H ‫אם‬
.H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬
G, H ‫גם‬ ‫אזי‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫שאם‬ ‫נובע‬ ‫מכך‬
.‫ציקליות‬
8

‫יוצר‬ 1 :‫למשל‬ ,‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הנ`ל‬ ‫לטענה‬ ‫ההפוכה‬ ‫הטענה‬ :‫הערה‬
ord (1, 1) = 4 ‫כי‬ Z∗
4 ×Z∗
2 ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫אינו‬ (1, 1) ‫אבל‬ ,Z∗
4, Z∗
2 ‫של‬
.|Z∗
4 × Z∗
2| = 8‫ש־‬ ‫בעוד‬ Z∗
4 × Z∗
2‫ב־‬
.gcd (|G| , |H|) = 1 ⇐⇒ G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫יהיה‬ (a, b)
:‫נסמן‬ .‫סופיות‬ ‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהיינה‬ 17.11 ‫משפט‬
.|G| = n, |H| = m
.gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫אז‬
‫(כאשר‬a, b) ‫הזוגות‬ ‫בדיוק‬ ‫יהיו‬ G × H ‫של‬ ‫היוצרים‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬
.H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬ G ‫של‬ ‫יוצר‬ a
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬
.gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Zn × Zm
‫תמורות‬ 18
(a1a2 · · · ar) ‫תמורה‬ ‫של‬ ‫ההצגה‬ ‫אופן‬ 18.1
:‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
f =

1 2 3 4 5 6
3 4 2 1 6 5

:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬
3 ,3‫ל־‬ 1‫ו־‬ 1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 4) f = 1 3 2 4

5 6

.(5‫ל־‬ 6‫ו־‬ 6‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 5 ...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬
‫ב־‬ ‫מסמנים‬ (‫)שונים‬ 9
a1, . . . , ar ∈ [n] ‫עבור‬ 18.1 ‫הגדרה‬
‫וכך‬ ,a2‫ל־‬ a1 ‫את‬ ‫ששולחת‬ Sn‫ב־‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ (a1a2 · · · an)
.a1‫ל־‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ar ‫את‬ ...‫הלאה‬
(a1a2 · · · ar) ‫־‬ !‫לעצמו‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ‫מופיע‬ ‫שאינו‬ ‫אחר‬ ‫איבר‬ ‫וכל‬
.r ‫מאורך‬ (‫)מעגל‬ ‫ציקלוס‬ ‫נקרא‬ ‫־‬
‫ורואים‬ ‫התמורה‬ ‫של‬ ‫המעגלים‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫אנחנו‬ ?‫הרעיון‬ ‫מה‬
:‫למשל‬ ,‫לכן‬ ,‫אותנו‬ ‫מעביר‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לאן‬
1) 1 3 2 4

= 4 1 3 2

= 1 3 2 4

.(...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 3 ,3‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬
.‫ציקלוס‬ ‫באותו‬ ‫פעמיים‬ ‫להופיע‬ ‫יכול‬ ‫אינו‬ ‫איבר‬ ‫כמובן‬
:‫כך‬ ‫גם‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ ‫שלמעלה‬ ‫התמורה‬ ‫שאת‬ ‫כמובן‬
f = 5 6

1 3 2 4

:‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬
f =

1 2 3 4
3 2 1 4

:‫הסיבה‬ ,f = 1 3

:‫כך‬ ‫אותה‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬
....‫שלנו‬ ‫במקרה‬ = (2) = (4) ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫הזהות‬ ‫תמורת‬ , ‫את‬
‫נקראים‬ (b1 · · · bs) ‫ו־‬ (a1 · · · ar) ‫ציקלוסים‬ ‫שני‬ 18.2 ‫הגדרה‬
.i, j ‫לכל‬ ai 6= bj ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫ציקלוסים‬
.‫הזה‬ ‫באופן‬ ‫רק‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫והלאה‬ ‫מעתה‬ ,‫לכן‬
‫תמורות‬ ‫של‬ (‫)הרכבה‬ ‫הכפלה‬ 18.2
f = (135) (27) , g = :S8‫ב־‬ ‫תמורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫ויש‬ ‫נניח‬
,(1254) (68)
.f ◦ g = f · g = (172) (354) (68) ‫היא‬ ‫בניהם‬ ‫המכפלה‬ ‫אזי‬
?‫לתוצאה‬ ‫מגיעים‬ ‫איך‬
:‫הינה‬ ‫התמורות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫הכללית‬ ‫המכפלה‬
f · g = (135) (27) (1254) (68)
[n] = {1, . . . , n}9
‫מעגל‬ ‫לסגור‬ ‫לנסות‬ ‫הוא‬ ‫צריכים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
.‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫ולעבור‬ (‫)ציקלוס‬
‫)אפשר‬ g ‫מה‬ ‫רואים‬ ‫קודם‬ ‫אזי‬ f ◦g ‫בהרכבה‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬ ?‫איך‬
f ‫מה‬ ‫ואז‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬ (‫בנפרד‬ f‫וב־‬ g‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫להסתכל‬
.‫מעגל‬ ‫שנסגר‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ g‫מ־‬ ‫שקיבלנו‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬
:‫בקצרה‬ ‫האלגוריתם‬
:10
1‫מ־‬ ‫מתחילים‬ .1
.1 → a :‫אותנו‬ ‫שולח‬ 1 ‫לאן‬ g‫ב־‬ ‫מתסכלים‬ (‫)א‬
.a → b :‫אותנו‬ ‫שולח‬ a ‫לאן‬ :f‫ב־‬ ‫מסתכלים‬ (‫)ב‬
?‫מעגל‬ ‫נסגר‬ ‫האם‬ (‫)ג‬
‫לנו‬ ‫ויש‬ ,1 ‫במקום‬ b ‫עם‬ ‫רק‬ (‫ל־)א‬ ‫חוזרים‬ :‫לא‬ .i
.(1b... :‫כבר‬
‫סוגרים‬ :(‫התחלנו‬ ‫שממנו‬ ‫מספר‬ ‫לאותו‬ ‫)חזרנו‬ ‫כן‬ .ii
‫יש‬ ♣ ‫)במקום‬ (1b....♣) :(‫)ציקלוס‬ ‫המעגל‬ ‫את‬
‫ל־‬ ‫וחוזרים‬ .(1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫שמחזיר‬ ‫המספר‬ ‫את‬
‫נמצא‬ ‫שאינו‬ ‫ממנו‬ ‫שגדול‬ ‫הבא‬ ‫המספר‬ ‫עם‬ .1
.(‫)בציקלוס‬ ‫במעגל‬
:‫שלמעלה‬ ‫לדוגמא‬ ‫מפורט‬ ‫יותר‬ ‫קצת‬ ‫הסבר‬ ‫הנה‬
:1‫מ־‬ ‫מתחילים‬
‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כבר‬ ‫לכן‬ ,2 → 7 :f‫ב־‬ 2 ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫ולכן‬ 1 → 2 :g‫ב־‬
‫היה‬ ‫רק‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫הזה‬ ‫בחלק‬ ‫מתעלמים‬ 2‫)מה־‬ (17.... ‫הוא‬ ‫לנו‬
‫מה‬ ,‫לכן‬ ,7 → 2 :f‫וב־‬ 7 → 7 :g‫ל־‬ 7‫ה־‬ ‫עם‬ ‫נחזור‬ ,(`‫`מעבר‬
:f‫וב־‬ 2 → 5 :g‫ב־‬ ‫־‬ 2 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ (172... :‫הוא‬ ‫כרגע‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬
‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאן‬ ‫סגרנו‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .5 → 1
.(172)
:3‫ל־‬ ‫נמשיך‬ ‫לכן‬ ,‫שייך‬ ‫הוא‬ ‫מעגל‬ ‫לאיזה‬ ‫יודעים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ 2 ‫לגבי‬
:‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,3 → 5 :f‫וב־‬ 3 → 3 :g‫ב־‬
‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ 4 → 4 :f‫וב־‬ 5 → 4 :g‫ב־‬ ,5 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ .(35...
4 → 1 :g‫ב־‬ :4 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬ .(354... ‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬
‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאו‬ ‫נסגר‬ ‫־‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫ואם‬ .1 → 3 :f‫וב־‬
.(354) :‫הוא‬ ‫השני‬
.‫במעגלים‬ ‫לנו‬ ‫נמצאים‬ ‫כבר‬ ‫הם‬ ‫כי‬ ‫לדלג‬ ‫ניתן‬ 4, 5, 7 ‫על‬
:6 ‫עם‬ ‫נמשיך‬
‫לכן‬ .6 → 6 :‫שהוא‬ ‫כמו‬ ‫אותו‬ ‫משאיר‬ f‫ו־‬ 8 → 6 ‫את‬ ‫שולח‬ g
.(68... ‫הוא‬ ‫בינתיים‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬
‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .6 → 6 :f‫וב־‬ 8 → 6 :g‫ב־‬ :8 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬
.‫מעגל‬ ‫סגרנו‬
.(172) (354) (68) :‫הוא‬ ‫שקיבלנו‬ ‫מה‬ ,‫סה`כ‬
‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ציקלוס‬ ‫הוא‬α (a1, . . . , an) ‫אם‬ 18.3 ‫משפט‬
:‫ע`י‬ ‫שמוגדרת‬ ‫התמורה‬ ‫היא‬ αk
, k ‫טבעי‬
αk
(ai) = ai+k (mod r)
.0 ‫ולא‬ r ‫הוא‬ r (mod r) :‫אחד‬ ‫הבדל‬ ‫עם‬
.‫נוחות‬ ‫מטעמי‬ 1 ‫בחרתי‬ .n‫ל־‬ 1 ‫בין‬ ‫מספר‬ ‫מכל‬ ‫להתחיל‬ ‫אפשר‬10
9

‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 19
H ‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .‫חבורות‬ G, H ‫תהיינה‬
.·‫ב־‬
:‫שמקיימת‬ ϕ : G → H ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬
‫שומרת‬ ϕ ,‫)כלומר‬ .ϕ (a ∗ b) = ϕ (a) · ϕ (b) ∀a, b ∈ G
.(‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫על‬
‫שהוא‬ ϕ : G → H ‫הומומורפיזם‬ ‫זהו‬ ,H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬
.‫ועל‬ ‫חח`ע‬
‫קיים‬ ‫אם‬ G ∼
= H ‫ורושמים‬ H‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ G‫ש־‬ ‫אומרים‬
.H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬
.ϕ (x) = 2x
,ϕ : R → R∗
:‫למשל‬
:x, y ∈ R ‫לכל‬
ϕ ‫לכן‬ ,ϕ (x + y) = 2x+y
= 2x
· 2y
= ϕ (x) · ϕ (y)
‫אינה‬ ‫היא‬ ‫לכן‬ ,‫על‬ ‫ואינה‬ ‫חח`ע‬ ‫אינה‬ ‫אך‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬
.‫איזומורפיזם‬
:‫אזי‬ ‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומופריזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.1 ‫משפט‬
.ϕ (eG) = eH .1
.a ∈ G ‫לכל‬ ϕ a−1

= ϕ (a)
−1
.2
:a1, ..., an ∈ G ‫לכל‬ .3
.ϕ (a1 · a2 · · · an) = ϕ (a1) · ϕ (a2) · · · ϕ (an)
.ϕ (an
) = ϕ (a)
n
:n ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ .4
:‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ .5
.ϕ (0G) = 0H (‫)א‬
.ϕ (−a) = −ϕ (a) (‫)ב‬
.ϕ (a1 + · · · + an) = ϕ (a1) + · · · + ϕ (an) (‫)ג‬
.ϕ (n · a) = n · ϕ (a) (‫)ד‬
‫וטווח‬ ‫גרעין‬ 19.1
:‫מגדירים‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬
.ker ϕ =

a ∈ G ϕ (a) = eH :ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬
Imϕ =

ϕ (a) a ∈ G =

b ∈ H ∃a ∈ G ⇒ ϕ (a) = b
:ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬
.ker (ϕ) ∈ G, Im (ϕ) ∈ H :‫כמובן‬
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 19.2 ‫טענה‬
.H ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ Im (ϕ) 19.3 ‫טענה‬
:‫אזי‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.4 ‫טענה‬
.(‫טריוויאלי‬ ‫)גרעין‬ ker (ϕ) = {eG} ⇔ ‫חח`ע‬ ‫הוא‬ ϕ
‫אז‬ ‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ 19.5 ‫טענה‬
.‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ−1
: H → G
‫היא‬ iG : G → G ‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ,G ‫חבורה‬ ‫לכל‬ 19.6 ‫הערה‬
.‫איזומורפיזם‬
ϕ : G → H ‫ההעתקה‬ H, G ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לכל‬ 19.7 ‫הערה‬
‫הוא‬ ‫זה‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬ ϕ (a) = eH ,a ∈ G ‫שלכל‬ ‫כך‬
.Im (ϕ) = {eH} ,ker (ϕ) = G .‫הטריוויאלי‬ ‫ההומומורפיזם‬
.‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ‫חבורות‬ ‫בין‬ ‫האיזומורפיזם‬ ‫יחס‬ 19.8 ‫משפט‬
‫איזומורפיות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ G, H ‫אם‬ 19.9 ‫הערה‬
‫שנכונה‬ ‫החבורות‬ ‫תורת‬ ‫של‬ ‫טענה‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ ,(G ∼
= H :‫)כלומר‬
.‫בשניה‬ ‫נכונה‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫מהן‬ ‫באחת‬
:‫חשוב‬ ‫משפט‬
.Z‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ ‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .1
.Zn‫ל־‬ ‫אזיומורפית‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .2
.Zn × Zm :‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ ,n, m ∈ N ‫יהיו‬ 19.10 ‫משפט‬
Zn × Zm‫ש־‬ ‫בעבר‬ ‫הוכחנו‬
.gcd (n, m) = 1 ⇔ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬
:‫מקבלים‬ ‫הקודם‬ ‫ומהמשפט‬ ‫ומזה‬
.gcd (n, m) = 1 ⇔ Zn × Zm
∼
= Zn·m
.Z8 × Z10 Z80, Z9 × Z10
∼
= Z90 :‫למשל‬
.Z∗
n
∼
= Zϕ(n)‫ו־‬ ,(‫ראשוני‬ p ‫)עבור‬ Z∗
p
∼
= Zp−1 :‫כמו־כן‬
‫ומשפט‬ ‫שמאלית‬/‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ 20
'‫לגרנאז‬
‫וסימונים‬ ‫הגדרות‬ 20.1
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
:‫נסמן‬ a ∈ G ‫עבור‬
.H · a =

h · a h ∈ H
.a · H =

a · h h ∈ H
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ Ha
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫שמלאית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ aH
:‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬
.H + a =

h + a h ∈ H
. a + H =

a + h h ∈ H
‫הן‬ G‫ב־‬ H ‫של‬ (‫שמאלית‬ ‫)או‬ ‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ 20.1 ‫למה‬
.‫שוות‬ ‫או‬ ‫זרות‬ ‫או‬
‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לוקחים‬ ‫אזי‬ ,G ‫של‬ H ‫תת־חבורה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ :‫כלומר‬
‫מחלקה‬ ‫מקבלים‬ ‫ככה‬ .G ‫אברי‬ ‫בכל‬ ‫אותו‬ ‫וכופלים‬ H ‫בחבורה‬
‫קבוצה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫שלפעמים‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬ .‫שמאלית‬/‫ימנית‬
‫זה‬ ,(‫כמובן‬ ‫אחר‬ ‫באחד‬ ‫פעם‬ ‫)כל‬ ‫שונים‬ ‫איברים‬ ‫בשני‬ ‫נכפול‬ ‫אם‬
.‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫נמצאים‬ ‫הללו‬ ‫שהאיברים‬ ‫אומר‬
10

:a, b ∈ G ‫עבור‬ 20.2 ‫למה‬
.b · a−1
∈ H ⇔ a · b−1
∈ H ⇔ Ha = Hb .1
.b − a ∈ H ⇔ a − b ∈ H ⇔ Ha = Hb :‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬
.a−1
b ∈ H ⇔ b−1
a ∈ H ⇔ aH = bH .2
|aH| = |Ha| = H :a ∈ G ‫לכל‬ 20.3 ‫למה‬
:‫סימון‬
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫השמאליות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ L
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ R
.|L| = |R| 20.4 ‫למה‬
:‫הגדרה‬
,G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫האינדקס‬ ‫נקראת‬ (R ‫של‬ ‫)או‬ L ‫של‬ ‫העוצמה‬
.[G : H] :‫ומסומנת‬
(‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫מספר‬ = [G : H] ,‫כלומר‬
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬
‫מאינדקס‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ,‫אינסופי‬ ‫זה‬ ‫מספר‬ ‫אם‬
.G‫ב־‬ ‫אינסופי‬
'‫לגרנז‬ ‫משפט‬ 20.2
:‫אזי‬ .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
|G| = |H| · [G : H]
'‫לגראנז‬ ‫ממשפט‬ ‫מסקנות‬ 20.2.1
:‫אזי‬ ,G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H‫ו־‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫אם‬ .1
.|H| | |G|
:‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2
.ord (a) | |G|
‫איבר‬ ‫וכל‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ ‫ראשוני‬ ‫מסדר‬ G ‫חבורה‬ ‫כל‬ .3
.G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ G ‫בחבורה‬ e‫מ־‬ ‫שונה‬
:a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ (|G| = n) n ‫מסדר‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .4
.an
= e
:a ∈ Z∗
n ‫לכל‬ ,G = Z∗
n ‫ניקח‬ .(4 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .5
.aϕ(n)
= 1
‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ .(5 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .6
.ap−1
= 1 :a ∈ Z∗
p
‫עד‬ ,‫)כלומר‬ G ∼
= Zp ‫אז‬ (‫ראשוני‬ p) |G| = p ‫אם‬ 20.5 ‫מסקנה‬
‫ראושני‬ p‫ש־‬ ‫)בתנאי‬ Zp ‫וזוהי‬ p ‫מסדר‬ ‫אחת‬ ‫חבורה‬ ‫רק‬ ‫יש‬ ‫איזומופריזם‬ ‫כדי‬
.(‫כמובן‬
.n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 20.6 ‫משפט‬
:‫נסמן‬
:‫אזי‬ .Cd =

x ∈ G xd
= e
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ Cd .1
.hai = Cd :‫מתקיים‬ ord (a) = d‫ש־‬ ‫כך‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .2
:‫מהמשפט‬ ‫מסקנות‬
:‫אזי‬ .n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
.d ‫מסדר‬ ‫יחידה‬ ‫תת־חבורה‬ G‫ב־‬ ‫קיימת‬ .1
.d ‫מסדר‬ ϕ (d) ‫בדיוק‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .2
‫מנה‬ ‫חבורות‬ 21
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.1 ‫הגדרה‬
H / G ‫ורושמים‬ G ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬
.Ha = aH :‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אם‬
:‫אזי‬ H G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.2 ‫טענה‬
.a−1
· h · a ∈ H :h ∈ H ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ ⇐⇒ H / G
.(‫קבוע‬ ‫)נתון‬ H / G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.3 ‫הגדרה‬
:‫נסמן‬
G/H =

Ha a ∈ G
‫של‬ (11
‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ G/H
.G‫ב־‬H
G/H‫ב־‬ ‫שיווויון‬ 21.1
:Ha, Hb ∈ G/H
a · b−1
∈ H ⇐⇒ Ha = Hb
G/H ‫של‬ ‫הפעולה‬ 21.2
:Ha, Hb ∈ G/H ‫עבור‬
(Ha) · (Hb) = Ha · b
‫כאשר‬ G/H‫ב־‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫כפל‬ ‫זה‬ ‫כאן‬ ‫יש‬ ‫שבצעם‬ ‫מה‬
‫סוג‬ ‫באיזה‬ ‫)תלוי‬ a · b ‫ל־‬ ‫בהתאם‬ ‫אחרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ ‫התוצאה‬
.(‫מדובר‬ ‫חבורה‬
‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫הוא‬ x‫ש־‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ x ∈ G/H ‫שאם‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.(‫שמאלית‬ ‫)או‬
‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫כלומר‬ ,‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנ`ל‬ ‫הפעולה‬ 21.4 ‫טענה‬
‫אם‬ ,‫כלומר‬ .‫בנציגים‬
:‫ומתקיים‬ a, a1, b, b1 ∈ G
.Hab = Ha1b1 :‫אזי‬ Hb = Hb1‫ו־‬ Ha = Ha1
.‫שהגדרנו‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G/H 21.5 ‫טענה‬
‫תת־‬ ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ ‫היא‬ .H‫ב־‬ G ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ G/H
.G ‫של‬ H ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬
.‫הבדל‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ H / G‫ש־‬ ‫בגלל‬11
11

‫הקנוני‬ ‫ההומומורפיזם‬ 22
:‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ , H / G ‫תהי‬
π : G → G/H
π (a) = Ha
:‫אזי‬
:a, b ∈ G ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ π .1
.π (a.b) = Hab = (Ha) · (Hb) = π (a) · π (b)
.(‫חח`ע‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ .‫הגדרתו‬ ‫)מעצם‬ ‫על‬ ‫הוא‬ π‫ש־‬ ‫לראות‬ ‫קל‬ .2
:‫הוכחה‬ ,ker (π) = H .3
π (a) = eG/H
⇔ a ∈ ker (π) ⇔ Ha = H ⇔ a ∈ H
.G/H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הקנוני‬ ‫ההומומופריזם‬ ‫נקרא‬ π
,‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫תמיד‬ :‫הערה‬
:‫אזי‬ ,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫מורפיזם‬ ‫הומו‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ ,‫כלומר‬
.(ker (ϕ)) / G
‫האיזומורפיזם‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 23
G/ker (ϕ) ∼
= Im (ϕ)
?‫זה‬ ‫במשפט‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬
H, K G ‫כאשר‬ H, K, G :‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫נתונות‬
G/K ∼
= H‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬
ϕ : G → H ‫העתקה‬ ‫למצוא‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ,‫אזי‬
.G/K ∼
= H‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ואז‬ ker (ϕ) = K‫ו־‬ Im (ϕ) = H‫ש־‬ ‫כך‬
:‫דוגמא‬
Z/4 · Z ∼
= Z4‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬
ϕ (a) = a .ϕ : Z → Z :‫הבאה‬ ‫ההעתקה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫אזי‬
.a ∈ Z ‫עבור‬ (mod 4)
,(4 | k‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫מספר‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ker (ϕ) = 4 · Z ‫אזי‬
.Im (ϕ) = Z4‫ו־‬
:‫המשפט‬ ‫ע`פ‬ ,‫לכן‬
Z/4 · Z ∼
= Z4
III ‫חלק‬
‫ושדות‬ ‫חוגים‬
‫הגדרה‬ 24
(+) ‫חיבור‬ :‫פעולות‬ ‫שתי‬ ‫מוגדרות‬ ‫שעליה‬ R ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ ‫חוג‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שמתקיימות‬ ‫כך‬ 12
(·) ‫וכפל‬
‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ,(‫מהכפל‬ ‫)מתעלמים‬ ‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ .1
,0 ,‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫יש‬ :‫אלה‬ ‫דרישות‬ ‫בין‬ ,‫דרישות‬ ‫חמש‬ ‫כולל‬ ‫)זה‬
.(−a ‫נגדי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ a ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫ולכן‬
:‫מתקיים‬ ,1‫ל־‬ ‫בנוסף‬ .2
‫חד־ערכית‬ ‫מוגדר‬ a · b ,a, b ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫קשירות‬ (‫)א‬
.a · b ∈ R‫ו־‬
:‫מתקיים‬ a, b, c ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫אסוציאטיביות‬ (‫)ב‬
.a (bc) = (ab) c
a, b, c ∈ ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫מעל‬ ‫הכפל‬ ‫דיסטריבוטיביות‬ (‫)ג‬
:R
a (b + c) = ab + ac .i
.(a + b) c = ac + bc .ii
:‫דברים‬ ‫לשני‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדאים‬
.‫בכפל‬ ‫יחידה‬ ‫לאיבר‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ .‫א‬
.‫לקומוטטיביות‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ ‫בכפל‬ .‫ב‬
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫סוגים‬ 25
,‫)ז`א‬ ‫קומוטטיבית‬ ‫היא‬ ‫הכל‬ ‫פעולת‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬
.(ab = ba ,a, b ∈ R ‫לכל‬
‫אם‬ .‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬
.`1` ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫קיים‬
‫שני‬ ‫של‬ ‫)שילוב‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫שדה‬
‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ ‫מאפס‬ ‫שונה‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫שבו‬ (‫יחד‬ ‫הקודמים‬
.‫לכפל‬
‫ההופכי‬ ‫אז‬ ,‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫הוכפי‬ ‫יש‬ 0 6= a ∈ R ‫לאיבר‬ ‫אם‬ :‫הערה‬
.a−1
‫ב־‬ ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬
‫יכול‬ ‫זה‬ ‫בחבורות‬ ‫כמו‬ ‫אבל‬ ,‫פעולות‬ ‫אותן‬ ‫את‬ ‫מכנים‬ ‫אנחנו‬ ‫שככה‬ ,‫כמובן‬12
.‫אחר‬ ‫משהו‬
12

‫לחוגים‬ ‫דוגמאות‬ 26
Z 26.1
‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬
‫רק‬ ,‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫לא‬ ‫)אבל‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬
.(‫הופכי‬ ‫יש‬ 1, −1‫ל־‬
...C, R, Q 26.2
.‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ (‫שדה‬ ‫כל‬ ‫)או‬
Zn 26.3
‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ n ‫מודולו‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬ ‫יחד‬
.‫יחידה‬
.‫ראשוני‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ Zn
Mn (F) 26.4
‫מסדר‬ ‫המטריצות‬ ‫על‬ ‫קבוצה‬ Mn (F) ‫ותהי‬ ‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ Mn (F) .F ‫מעל‬ n × n
‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫לא‬ ‫חוג‬ ‫זה‬ .‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הרגילים‬
.‫יחידה‬
R = 2 · Z 26.5
‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ‫הזוגיים‬ ‫השלמים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬
..‫יחידה‬ ‫ללא‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫היא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬
PX 26.6
.X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ PX ‫ותהי‬ ,‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ PX ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬ .PX =

A A ⊆ X
.(‫קסור‬ ,‫סימטרי‬ ‫)הפרש‬ A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
. A · B = A ∩ B
‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ,‫אלו‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ,PX
.(1 = X) X
.0 = ∅ :‫החוג‬ ‫של‬ ‫האפס‬
.A = −A :‫עצמה‬ A ‫היא‬ :A ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫הנגדי‬ ‫האיבר‬
.A + Ac
= 1, A · Ac
= 0 :‫זה‬ ‫בחוג‬
R × S 26.7
:‫בקבוצה‬ ‫נסתכל‬ ,‫חוגים‬ R, S ‫יהיו‬
,R × S =

(a, b) a ∈ R, b ∈ S
:‫הבא‬ ‫באופן‬ R × S ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬
.(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
.(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
.‫חוג‬ ‫הוא‬ R × S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬
‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ :‫הערה‬
.(‫לכפל‬ ‫קשר‬ ‫)בלי‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬
‫גם‬ ‫נכון‬ ,‫חיבוריות‬ ‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫לגבי‬ ‫שנכון‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ,‫לכן‬
.‫בחוגים‬
‫בחבבורה‬ a ‫של‬ ‫־ית‬n‫ה־‬ ‫החזקה‬ ‫זוהי‬ na ,n ∈ Z‫ו־‬ a ∈ R ‫עבור‬
.R ‫החיבורית‬
.‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמו‬ ‫מתייקמים‬ ‫החזקה‬ ‫כללי‬
.a · 0 = 0 · a = 0 a ∈ R ‫לכל‬ ‫אז‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ :‫טענה‬
‫אפס‬ ‫מחלקי‬ 27
‫אם‬ ‫אפס‬ ‫מחלק‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ 27.1 ‫הגדרה‬
.ba = 0 ‫או‬ ab = 0‫ש־‬ ‫כך‬ 0 6= b ∈ R ‫וקיים‬a 6= 0
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫הם‬ 4, 3 ‫לכן‬ 4 · 3 = 0 :Z6‫ב־‬ :‫למשל‬
‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫וחוג‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28
‫שאין‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28.1 ‫הגדרה‬
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫בו‬
,‫נכון‬ ‫אינו‬ ‫ההפך‬ ‫אבל‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ F ‫שדה‬ ‫כל‬ :‫הערה‬
.‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ Z :‫למשל‬
:a, b, c ∈ R ‫לכל‬ ‫שמקיים‬ R ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ 28.2 ‫הגדרה‬
.a = b ‫אז‬ c 6= 0‫ו־‬ ca = cb ‫או‬ ac = bc ‫אם‬
:‫דוגמאות‬
4 6= 0, 2 6= 0 ‫אבל‬ 4 · 2 = 0 :‫למשל‬ ‫כי‬ ‫שלמות‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ Z8
.2 6= 6 ‫אבל‬ 4 · 6 = 4 · 2 ‫כי‬ ‫צמצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫כן‬ ‫וכמו‬
‫ואידאל‬ ‫תת־חוג‬ 29
‫לא‬ ‫חלקית‬ ‫תת־קובצה‬ S ⊆ R ‫ותהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.1 ‫הגדרה‬
‫אוטומטית‬ ‫מוגדרות‬ R ‫של‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פועלות‬ ‫אז‬ R ‫של‬ ‫ריקה‬
‫אז‬ ‫אלו‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ S ‫אם‬ .S ‫אברי‬ ‫על‬
.R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ S‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫הבאה‬ ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ R ‫של‬ I ‫תת־חוג‬ ‫זה‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬
I ,‫)ז`א‬ ir ∈ I, ri ∈ I :‫מתקיים‬ i ∈ I ‫ולכל‬ r ∈ R ‫לכל‬
.(‫אצלו‬ ‫נשארות‬ ‫המכפלות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופג‬
(m ∈ Z ‫)כאשר‬ m · Z ‫הינם‬ ‫החוגים‬ ‫תתי‬ ,Z ‫בחוג‬ ,‫למשל‬ ⊕
.‫אידאל‬ ‫הוא‬ m · Z‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬ .‫בלבד‬
‫הינם‬ Z‫ב־‬ ‫השונים‬ ‫והאדיאלים‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ Z ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫כל‬
.m ≥ 0, m · Z
.[n = ±m ⇐⇒ n · Z = m · Z]
‫אלה‬ ,R‫ב־‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ R‫ו־‬ {0} , R ‫חוג‬ ‫בכל‬ 29.2 ‫הגדרה‬
.‫הטריוויאלים‬ ‫האידאלים‬ ‫נראים‬
‫היא‬ R ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ 29.1
?‫אידאל‬ ‫או‬ ‫תת־חוג‬
.‫חוג‬ R ‫יהי‬
‫תת־חוג‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.1
‫מספיק‬ R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ 6= S ⊆ R ‫תהי‬
:‫לבדוק‬
.a − b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ S .1
.a · b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לכפל‬ ‫סגורה‬ S .2
13

‫אידאל‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.2
‫מספיק‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ 6= I ⊆ R ‫תהי‬
:‫לבדוק‬
.‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ I .1
:‫מתקיים‬ b ∈ R ‫ולכל‬ a ∈ I ‫לכל‬ ,‫ז`א‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופגת‬ I .2
.b · a ∈ I ‫וגם‬ a · b ∈ I
.I = R ‫אזי‬ 13
1 ∈ I ‫ואם‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ‫אם‬ 29.3 ‫הערה‬
.a = a · 1 ∈ I :a ∈ R ‫לכל‬ ‫כי‬
‫איבר‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.4 ‫הגדרה‬
‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .a · b = b · a = 1‫ש־‬ ‫כך‬ b ∈ R ‫יש‬ ‫אם‬ ‫הפיך‬
.a−1
‫ומסומן‬ a ‫של‬ ‫הוהפכי‬ ‫נקרא‬ ‫הוא‬ .‫יחיד‬
‫)עם‬ ‫בחוג‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ R∗
‫ב־‬ ‫מסמנים‬
‫ונקראת‬ R ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R∗
.R (‫יחידה‬
.R‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫חבורת‬
‫מספרים‬ ‫כפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ,Z∗
= {−1, 1} :‫למשל‬
.‫שלמים‬
:‫דוגמאות‬ ‫כמה‬ ‫עוד‬
.(Zn)
∗
= Z∗
n .1
.F∗
= F − {0} :‫שדה‬ F ‫אם‬ .2
.Mn (F)
∗
= GLn (F) .3
.(‫טריביאלית‬ ‫)חבורה‬ P∗
X = {X} = {e} :‫קבוצה‬ X .4
R ‫אם‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.5 ‫משפט‬
⇐ 1 ∈ I ⇐ b · a ∈ I ‫כי‬ .I = R ‫אזי‬ 14
a ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫מכיל‬
.I = R
‫שדה‬ ‫הוא‬ R ‫אז‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.6 ‫משפט‬
R‫ב־‬ ‫אין‬ ,‫)ז`א‬ .R‫ו־‬ {0} ‫הם‬ R‫ב־‬ ‫היחידים‬ ‫האידאלים‬ ⇐⇒
.(‫טריביאלים‬ ‫לא‬ ‫אידאלים‬
:‫סימון‬
:‫מסמנים‬ a ∈ R ‫לכל‬ . ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬
.hai = a · R =

a · r r ∈ R
.R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ hai 29.7 ‫טענה‬
.hai ⊆ J ‫מקיים‬ a ∈ J ‫המקיים‬ R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫כל‬ 29.8 ‫טענה‬
.(a ‫את‬ ‫המכיל‬ R ‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫האידאל‬ ‫הוא‬ hai ,‫)כלומר‬
‫הראשי‬ ‫האידאל‬ ‫נקרא‬ ‫למעלה‬ ‫בטענה‬ hai ‫האידאל‬ 29.9 ‫הגדרה‬
.a ‫ע`י‬ ‫הנוצר‬
‫ע`י‬ ‫הנוצר‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫בחוג‬ ‫ראשי‬ ‫אידאל‬
.h3i = 3 · Z :‫למשל‬ ,‫הנ`ל‬ ‫בגרך‬ R ‫של‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬
.‫ראשי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫אידאל‬ ‫כל‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זו‬ ‫ראשי‬ ‫חוג‬ 29.10 ‫הגדרה‬
.(‫השמאלית‬ ‫בעמודה‬ ⊕ ‫)ראו‬ .Z :‫למשל‬
.‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R‫ש־‬ ‫מניחים‬ ‫אנחנו‬13
.‫כמובן‬ R‫ב־‬ ‫הפיך‬14
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 30
:a, b ∈ R ‫לכל‬ ,‫מקיים‬ S‫ל־‬ R‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬ .‫חוגים‬ S, R ‫יהיו‬
.ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) .1
.ϕ (a · b) = ϕ (a) · ϕ (b) .2
.‫איזומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫שהוא‬ ‫הומומורפיזם‬
‫איזומורפיזם‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫איזומורפים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ S, R ‫חוגים‬ ‫שני‬
:‫זאת‬ ‫ורושמים‬ ,ϕ : R → S
R ∼
= S
.‫חוגים‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬
:‫הערה‬
ϕ ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : R → S ‫אם‬
.S ‫החיבורית‬ ‫לחבורה‬ R ‫החיבורית‬ ‫מהחבורה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬
,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫על‬ ‫שלנו‬ ‫הידע‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ליישם‬ ‫ניתן‬ ‫לכן‬
:‫למשל‬
,ϕ (0R) = 0S
,a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (−a) = −ϕ (a)
....'‫וכו‬ , a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (na) = nϕ (a)
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫ותמונה‬ ‫גרעין‬ 30.1
.‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : R → S ‫יהי‬
:ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬
ker (ϕ) =

a ∈ R ϕ (a) = 0S
ϕ : R → ‫החיבוריות‬ ‫החבורות‬ ‫של‬ ‫ההומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫)זהו‬
.S
:ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬
Im (ϕ) =

ϕ (a) a ∈ R =

b ∈ S ∃a ∈ R, ϕ (a) = b
( ) .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 30.1 ‫טענה‬
.S ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ Im (ϕ) 30.2 ‫טענה‬
a·b ∈ ker (ϕ) ‫מתקיים‬ b ∈ R‫ו־‬ a ∈ ker (ϕ) ‫לכל‬ :( ) ‫הוכחה‬
:‫כי‬ b · a ∈ ker (ϕ)‫ו־‬
‫מראים‬ ‫דומה‬ ‫ובאופן‬ ϕ (ab) = ϕ (a) · ϕ (b) = 0 · ϕ (b) = 0
.ba ∈ ker (ϕ)‫ש־‬
ker (ϕ) 6=‫ש־‬ ‫מחבורות‬ ‫לנו‬ ‫וידוע‬ ‫מכפולת‬ ‫סופג‬ ker (ϕ)‫ש־‬ ‫הראנו‬
.(‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫)ולכן‬ ‫לחיסור‬ ‫סגור‬ ‫גם‬ ‫ושהוא‬ ∅
‫מנה‬ ‫חוג‬ 30.2
‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ I ‫בוודאי‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬
‫תת־‬ ‫היא‬ I ‫בוודאי‬ ‫לכן‬ (‫אבלית‬ ‫)שהיא‬ R ‫החיבורית‬ ‫החבורה‬
.R/I‫כ־‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫מוגדרת‬ ‫לכן‬ ,R ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬
14

R/I ‫המנה‬ ‫חברות‬ ‫מבנה‬ 30.2.1
,‫כלומר‬ :a ∈ R ‫כאשר‬ I + a ‫הינם‬ ‫האיברים‬
.R/I =

I + a a ∈ R
:R/I‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫שיוויון‬
.(‫מחלקות‬ ‫)שוייון‬ a − b ∈ I ⇐⇒ I + a = I + b
:R/I‫ב־‬ ‫הפעולה‬
.(I + a) · (I + b) = I + (a + b)
.I + 0 = I :(‫)אפס‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
− (I + a) = I + (−a) :(‫)הופכי‬ ‫נגדי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R/I
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ R/I ‫על‬ ‫נגדיר‬ ,‫כעת‬
.(I + a) · (I + b) = I + a · b
‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫)כלומר‬ ‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנ`ל‬ ‫הפעולה‬ :‫טענה‬
.(‫בנציגים‬
‫ופעולת‬ ‫שציינו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R/I 30.3 ‫טענה‬
‫הוא‬ ‫הכפל‬ (‫ש־א‬ ‫לבדוק‬ ‫רק‬ ‫צריך‬ ‫זה‬ ‫)בשביל‬ .‫שהגדרנו‬ ‫הכפל‬
‫מימין‬ ‫דיסטריביוטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ג‬ .‫אסוציאטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ב‬ .‫קשיר‬
.(‫הוכח‬ ‫כבר‬ ‫השאר‬ ‫כל‬ .‫ומשמאל‬
.R‫ב־‬ I ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חוג‬ ‫נקרא‬ R/I 30.4 ‫הגדרה‬
.R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.5 ‫הערה‬
‫איבר‬ .R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.6 ‫הערה‬
.I + 1 :‫הוא‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ R/I ‫של‬ ‫היחידה‬
.0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄ :‫הינן‬ ‫המחלקות‬ .Z/5 · Z :‫דוגמה‬
. Z/h5i :Z/5 · Z ‫במקום‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ,‫כמו־כן‬
‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ 30.3
I 6= R ‫אם‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫נקרא‬ R ‫בחוג‬ I ‫אידאל‬ 30.7 ‫הגדרה‬
.I $ J $ R‫ש־‬ ‫כך‬ R ‫של‬ J ‫אידאל‬ ‫קיים‬ ‫ולא‬
:‫אחרות‬ ‫במילים‬
‫אם‬ :R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫ולכל‬ I 6= R ⇐⇒ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I
. J = R‫ש־‬ ‫או‬ J = I‫ש־‬ ‫או‬ ‫אז‬ I ⊆ R
:‫הינם‬ ‫בו‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ ‫אזי‬ ,Z6 ‫ניקח‬ :‫למשל‬
,h0i = {0}
,h1i = Z6
,h3i = {0, 3} ,h2i = {0, 2, 4}
,h4i = {0, 4, 2} = h2i
.h5i = {0, 5, 4, 3, 2, 1} = Z6
‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫כי‬ ‫מקסימליים‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ ‫־‬ h2i , h3i
:h3i ‫את‬ ‫ניקח‬ ,‫למשל‬ ,`‫`בניהם‬ ‫לשים‬ ‫שנוכל‬
.{0, 3} $ J $ Z6‫ש־‬ ‫כך‬ ,J 6= Z6 ‫אחר‬ ‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫אין‬
.h2i ‫לגבי‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ,‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ h3i ‫ולכן‬
‫אבל‬ ,‫אידאל‬ ‫הוא‬ h4i‫ש־‬ ‫לומר‬ ‫יכולים‬ ‫גם‬ ‫היינו‬ :h2i ‫לגבי‬ ‫הערה‬
‫אידאל‬ ‫הוא‬ h2i‫ש־‬ ‫פשוט‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ h2i = h4i‫ש־‬ ‫בגלל‬
.h4i‫ה־‬ ‫על‬ ‫גם‬ ‫ישליך‬ ‫וזה‬ ‫מקסימלי‬
.(J = I‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ההגדרה‬ ‫ע`פ‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫)כי‬
‫כאשר‬ hmi = m·Z :‫הם‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ Z ‫בחוג‬ :‫דוגמא‬
.m ∈ N
.h1i = Z ,h0i = {0} :‫כמובן‬
:n, m 1 ‫שעבור‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ m ⇐⇒ (n | m ⇐⇒ m · Z ⊂ n · Z)
I ‫ויהי‬ ,(1 6= 0) ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 30.8 ‫משפט‬
:‫אז‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬
.R‫ב־‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ R/I
‫פולינומים‬ ‫חוגי‬ 31
‫הגדרות‬ 31.1
R ‫מעל‬ ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.1 ‫הגדרה‬
:‫מהצורה‬ `‫פורמלי‬ ‫`ביטוי‬ ‫זהו‬
‫ו־‬ n ∈ N ‫כאשר‬ p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · + anxn
. a1, . . . , an ∈ R
p (x) ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.2 ‫הגדרה‬
:‫מהצורה‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫של‬ ‫אינסופית‬ ‫סדרה‬ ‫הוא‬ R ‫מעל‬
.i ≥ n0 ‫לכל‬ ai = 0‫ש־‬ n0 ∈ N ‫שקיים‬ ‫כך‬ p (x) = (a0, a1, . . .)
:‫סימון‬
‫הוא‬ ‫כאן‬ R) .R ‫מעל‬ ‫הפולינומים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = R [X] :‫מסמנים‬
.(‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬
‫ולעומת‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫הם‬ ‫המקדמים‬ ‫בפולינום‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.N‫ב־‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫אלו‬ ‫החזקות‬ ‫זאת‬
.(R‫ב־‬ ‫הם‬ ‫להציב‬ ‫יכולים‬ ‫שאנחנו‬ ‫־ים‬x‫ה־‬ ‫גם‬ ,‫)כמו־כן‬
‫פולינומים‬ ‫שיווייון‬ 31.2
‫הם‬ q (x) = (b0, b1, . . .)‫ו־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫פולינומים‬ ‫שני‬
.i ‫לכל‬ ai = bi ‫אם‬ (p (x) = q (x) ‫)בסימון‬ ‫שווים‬
R [X] ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫פעולות‬ 31.3
‫באופן‬ ‫וחיבור‬ ‫כפל‬ ‫מגדירים‬ p (x) , q (x) ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬
: ‫הבא‬
‫חיבור‬ 31.3.1
p (x) + q (x) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . )
‫כפל‬ 31.3.2
p (x) · q (x) = (c0, c1, . . . )
:k ∈ N ‫לכל‬ ‫כאשר‬
ck =
k
X
i=0
ai · bk−i =
X
i+j=k
aibj
‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R [X] 31.3 ‫משפט‬
.‫אלו‬
,p (x) = (0, 0, 0, . . .) ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫איבר‬
.p (x) = (1, 0, 0, . . .) :‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
‫כ־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫הפולינום‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫נהוג‬
p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · ·
15

p (x) ∈ R [X] ‫פולינום‬ ‫של‬ (degree) ‫המעלה‬ 31.4
‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫השלם‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדרת‬ deg p (x) ‫מסומנת‬
‫המעלה‬ ‫לכן‬ ,‫כזה‬ n ‫אין‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ .an 6= 0 ‫שעבורו‬ n
.15
‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫של‬
p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · :‫הכתיבה‬ ‫בצורת‬
.‫מונום‬ ‫נקרא‬ aixi
‫במונום‬ ‫המקדם‬ ‫הוא‬ ai .‫מונומים‬ ‫של‬ ‫כסכום‬ ‫נרשום‬ ‫פולינום‬
.aixi
‫)משמיטים‬ ‫אפסים‬ ‫שלהם‬ ‫שהמקדמים‬ ‫מונומים‬ ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫בד`כ‬
.(‫אותם‬
‫אם‬ :‫בפרט‬ .R [X] ‫גם‬ ‫כך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.4 ‫הערה‬
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫אין‬ F [X]‫ב־‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ F
:‫מתקיים‬ ‫תמיד‬ R [X]‫ב־‬ 31.5 ‫הערה‬
deg (p (x) · deg q (x)) ≤ deg p (x) · deg q (x)
:‫אז‬ (‫שדה‬ ‫)ופרט‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫ואם‬
deg (p (x) · q (x)) = deg p (x) + deg q (x)
‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.6 ‫טענה‬
p (x) = a (‫קבועים‬ ‫)פולינומים‬ 0 ‫ממעלה‬ ‫הפולינומים‬ ‫הם‬ R [X]
.R‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫כאשר‬
F [X]‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ ‫הוא‬ F ‫אם‬ 31.7 ‫מסקנה‬
.0 6= a ∈ F ‫כשאר‬ p (x) = a ‫הם‬
p (x) = 1, p (x) = :‫הפיכים‬ ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ Z [X] ‫ב־‬ :‫למשל‬
.−1
,(‫שדה‬ F) F [X] ‫יהי‬ 31.8 ‫משפט‬
‫קיימים‬ (b (x) 6= 0 ‫)כאשר‬ a (x) , b (x) ∈ F [X] ‫לכל‬ ,‫אזי‬
.a (x) = q (x) b (x) + r (x)‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחידים‬ ‫פולינומים‬
.deg (r (x)) ≤ deg (q (x)) ‫או‬ r (x) = 0 ‫כאשר‬
‫נקרא‬ r (x) ,b (x)‫ב־‬ a (x) ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q (x)
.‫השארית‬
R ‫כאשר‬ R [X] ‫לחוג‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫האחרון‬ ‫המשפט‬ ‫את‬ :‫הערה‬
‫שהמקדם‬ ‫לדרוש‬ ‫צריך‬ .b (x) ‫על‬ ‫תנאי‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬
.R [X]‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫יהיה‬ ‫העליון‬
‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫שורש‬ 31.5
:‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ c ∈ F ‫לכל‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬
ϕc : F [X] → F
∀p (x) ∈ F [X] : ϕc (p (x)) = p (c)
:‫אזי‬ ,p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · anxn
‫אם‬ ?p (c) ‫זה‬ ‫מה‬
.p (c) = a0 + a1 · c + a2 · c2
+ · · · + ancn
p (x) , q (x) ∈ ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕc
:F [X]
ϕc (p (x) + q (x)) = ϕc (p (x)) + ϕc (q (x))
ϕc (p (x) · q (x)) = ϕc (p (x)) · ϕc (q (x))
(c ‫)הצבת‬ ‫הצבה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ϕc
.−∞ ‫היא‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫שמעלת‬ ‫אומרים‬ ‫לחילופין‬ ‫או‬15
.ker (ϕc) =
n
p (x) ∈ F [x] p (c) = 0
o
,Im (ϕc) = F
p (c) = 0 ‫אם‬ p (x) ∈ F [X] ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c ∈ F‫ש־‬ ‫אומרים‬
.
b (x) ‫את‬ ‫מחלק‬ a (x)‫ש־‬ ‫אומרים‬ R [X]‫ב־‬ 31.9 ‫הגדרה‬
‫ש־‬ ‫כך‬ c (x) ∈ R [X] ‫קיים‬ ‫אם‬ a (x) | b (x) ‫ורושמים‬
.a (x) · c (x) = b (x)
.(‫כאן‬ ‫כאלה‬ ‫במקרים‬ ‫נתעסק‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫)אבל‬ (4xn + 1) | 1 ‫־‬ Z8 [X]‫ב־‬
‫הוא‬ c ∈ F ‫אם‬ .p (x) ∈ F [X] ‫יהי‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ 31.10 ‫משפט‬
:‫אז‬ p (x) ‫של‬ ‫שורש‬
16
(x − c) | p (x)
p (2) = .p (x) = x3
+x2
+2x+2 ‫את‬ ‫ניקח‬ Z3 [X]‫ב־‬ :‫דוגמה‬
.(x − 2) | p (x) ‫כלומר‬ .p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ 2 ‫לכן‬ 0
.p (x) = (x − 2) · a (x) ‫ש־‬ ‫כך‬ a (x) ∈ Z3 [X] ‫קיים‬ ,‫כלומר‬
‫עם‬ ‫חילוק‬ ‫)ע`י‬ a (x) ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ ,deg (a (x)) = 2
.(0 ‫שארית‬ ‫לקבל‬ ‫חייבים‬ .‫שארית‬
.p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ c ∈ F ‫ויהי‬ p (x) ∈ F [X] ‫יהי‬ 31.11 ‫הגדרה‬
‫נקרא‬ (x − c)
m
| p (x) ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הגדול‬ m ‫הטבעי‬ ‫המספר‬
‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c ‫אם‬ .p (x) ‫של‬ c ‫השורש‬ ‫של‬ (‫)האלגברי‬ ‫הריבוי‬
.1 ≤ m ≤ deg (p (x))‫ו־‬ ‫כזה‬ m ‫אחד‬ ‫שקיים‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ p (x)
‫הוא‬ ‫אחרת‬ ,m = 1 ‫אם‬ p (x) ‫של‬ ‫פשוט‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c‫ש־‬ ‫אומרים‬
.‫מרובה‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬
‫של‬ (F‫)מ־‬ ‫שונים‬ ‫שורשים‬ ‫הם‬ c1, ..., ck ‫אם‬ 31.12 ‫מסקנה‬
:‫אזי‬ F [X]‫מ־‬ p (x) ‫פולינום‬
.deg (p (x)) ≥ k ‫ולכן‬ (x − c1)·(x − c2) · · · (x − ck) | p (x)
‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ p (x)‫ל־‬ ‫אז‬ deg (p (x)) = n ‫אם‬ ‫לכן‬
.‫שונים‬ ‫שורשים‬ n
‫ממעלה‬ p (x) ∈ F [X] ‫פולינום‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ 31.13 ‫הגדרה‬
‫פולינומים‬ ‫קיימים‬ ‫לא‬ ‫אם‬ F ‫מעל‬ ‫אי־פריק‬ ‫פולינום‬ ‫נקרא‬ ‫חיובית‬
‫כאשר‬ p (x) = a (x) · b (x)‫ש־‬ ‫כך‬ a (x) , b (x) ∈ F [X]
.(p (x) ‫ממעלת‬ ‫)וקטנה‬ deg (a (x)) , deg (b (x)) 0
(F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫בפולינומים‬ ‫)מדובר‬ :‫הערות‬
.F ‫מעל‬ ‫אי־פריק‬ ‫הוא‬ F [X]‫ב־‬ 1 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫כל‬ .1
‫אזי‬ ,F‫ב־‬ p (x)‫ל־‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ ‫ואם‬ deg (p (x)) 1 ‫אם‬ .2
.F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ p (x)
,F ‫מעל‬ ‫פריק‬ ‫הוא‬ p (x) ‫אפ‬ .‫ז`א‬ ,‫נכון‬ ‫אינו‬ 2 ‫של‬ ‫ההפך‬ .3
.F‫ב־‬ p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫לא‬ ‫אז‬
:‫אבל‬ ,‫שורש‬ ‫יאן‬ ‫לפולינום‬ ,p (x) = x4
+1 ∈ R [X] :‫למשל‬
.x4
+ 1 = x2
− x + 1

x2
+ x + 1

.3 ‫או‬ 2 ‫יהיה‬ deg (p (x)) ‫אם‬ ‫נכון‬ ‫יהיה‬ ‫כן‬ 2 ‫של‬ ‫ההפך‬ .4
,F‫ב־‬ p (x)‫ל־‬ ‫שורש‬ ‫ואין‬ deg (p (x)) = 2 or 3 ‫אם‬ :‫ז`א‬
.F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫אי‬ p (x) ‫אזי‬
:F [X]‫ב־‬ 3 ‫או‬ 2 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ ,‫כלומר‬
.x‫ב־‬ ‫שורשים‬ p (x)‫ל־‬ ‫אין‬ ⇐⇒ F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫אי‬ p (x)
:‫דוגמאות‬ ‫כמה‬
:Z2 [X]‫ב־‬ 2 ‫ממעלה‬ ‫פריקים‬ ‫אי‬ ‫פעולינום‬
‫בתוך‬ ‫שנמצא‬ ‫הפולינום‬ ‫־‬ x2
, x2
+ 1, x2
+ x, x2
+ x + 1
‫היחיד‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ Z2 [X]‫ב־‬ ‫שורש‬ ‫לו‬ ‫שאין‬ ‫היחיד‬ ‫הוא‬ ‫המלבן‬
.‫פריק‬ ‫שאינו‬
.F [X]‫ב־‬ 1 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ,x − c16
16

מבני נתונים

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to מבני נתונים

Similar to מבני נתונים (20)

More from csnotes

More from csnotes (18)

מבני נתונים