כחלק מהקורס בסיבוכיות מגיעים לבעיית ההכרעה, ולשם כך מדברים על ההוכחות בשיטת האלכסון. הסיכום הזה בא להסביר את שיטת האלכסון ולתת דוגמאות בנושא. (האלכסון זה כמובן האלכסון של קנטור). לסיכום המלא של הקורס: https://www.slideshare.net/csnotes/ss-257932922

1. '‫ב‬ ‫נספח‬
‫החישובים‬ ‫ומורכבות‬ ‫חישוביות‬
AT M /
∈ R :‫המשפט‬ ‫להוכחת‬ ‫תזכורות‬
(‫שלו‬ ‫ההוכחה‬ ‫)כולל‬
"‫"תזכורות‬ ‫לעשות‬ ‫נצטרך‬ ‫כריעה‬ ‫אינה‬ AT M ‫ש־‬ ‫כלומר‬ ,AT M /
∈ R :‫המשפט‬ ‫הוכחת‬ ‫לשם‬
.‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫ההוכחה‬ ‫לגבי‬ ‫קצרות‬
.‫המשפט‬ ‫הוכחת‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫לנו‬ ‫יעזרו‬ ‫הללו‬ ‫התזכורות‬
‫האלכסון‬ ‫)שיטת‬ |N| < |(0, 1)| :‫המשפט‬ ‫הוכחת‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫תזכורת‬ 1
(‫קנטור‬ ‫של‬
.(0, 1) ‫הקטע‬ ‫מעוצמת‬ ‫קטנה‬ N ‫עוצמת‬ ,‫כלומר‬
:‫הוכחה‬
‫בצורה‬ ‫אינסופי‬ ‫כשבר‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ (0, 1) ‫בקטע‬ ‫ממשי‬ ‫מספר‬ ‫שכל‬ ‫בעובדה‬ ‫נשתמש‬ ‫כל‬ ‫ראשית‬
.‫יחידה‬
:‫למשל‬
0.120000... ⇒ 0.119999...
0.567000... ⇒ 0.5669999...
0 ≤ ai ≤ 9 :1 ≤ i < k ‫עבור‬ ‫כאשר‬ 0.a1a2 · · · ak0000... ‫מהצורה‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬
0.a1a2 · · · (ak − 1) 9999.... :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫אותו‬ ‫נציג‬ 0 < ak ≤ 9‫ו־‬
.‫בר־מניה‬ ‫אינו‬ (0, 1)‫ש־‬ ‫צ"ל‬
(0, 1)‫ב־‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫לסדר‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ ,‫בר־מנייה‬ ‫הוא‬ (0, 1)‫ש־‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬ ‫כך‬ ‫לשם‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫בסדרה‬
0. a11 a12 · · ·
0. a21 a22 · · ·
0. a31 a32 a33 · · ·
.
.
.
0. an1 an1 · · · ann
:‫האלכסון‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬
0. a11 a12 · · ·
0. a21 a22 · · ·
0. a31 a32 a33 · · ·
.
.
.
0. an1 an1 · · · ann
1

2. '‫ב‬ ‫נספח‬
‫החישובים‬ ‫ומורכבות‬ ‫חישוביות‬
:‫נגדיר‬ i ≥ 1 ‫לכל‬ ,‫כעת‬
bi =
(
2 aii 6= 2
3 aii = 2
,n1 aii 6= n2 :n1 6= n2‫ש־‬ ‫בתנאי‬ ‫רק‬,‫כמובן‬ ‫אחרים‬ ‫מספרים‬ ‫גם‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫)זה‬
.(1 ≤ n1, n2 ≤ 9 ‫וכמובן‬ n2 aii = n1
:‫בשבר‬ ‫ונסתכל‬
b = 0.b1b2b3 · · ·
:‫אזי‬
‫בספרה‬ ‫־‬ ‫הזו‬ ‫בסדרה‬ ‫־י‬k‫ה־‬ ‫מהאיבר‬ ‫שונה‬ b ‫כי‬ ,‫הנ"ל‬ ‫בסדרה‬ ‫מופיע‬ ‫אינו‬ b ‫אבל‬ b ∈ (0, 1)
!k
.‫לסתירה‬ ‫והגענו‬
|A| < 2A
:A ‫קבוצה‬ ‫לכל‬ :‫המשפט‬ ‫הוכחת‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫תזכורת‬ 2
:‫הוכחה‬
.(‫חח"ע‬ ‫היא‬ f (a) = {a} ,f : A → 2A
‫הפונקציה‬ ‫)כי‬ |A| ≤ 2A
‫כי‬ ‫ברור‬ ‫כל‬ ‫ראשית‬
:|A| 6= 2A
‫ש־‬ ‫להוכיח‬ ‫רק‬ ‫צריך‬
.‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ f : A → 2A
‫פונקציה‬ ‫ישנה‬ ‫אזי‬ ,|A| = 2A
‫ש־‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬
:‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ ‫אזי‬ ,f (x) ⊆ A :x ∈ A ‫לכל‬ ,‫כעת‬
x /
∈ f (x) ‫או‬ x ∈ f (x)
:‫נסמן‬
B =
n
x ∈ A x /
∈ f (x)
o
.‫שלה‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫בהכרח‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ A‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫מכילה‬ B‫ו־‬ ‫היות‬ ‫כי‬ B ∈ 2A
‫אז‬
‫להיות‬ ‫חייב‬ ,‫כלומר‬ ,f (b) = B‫ש־‬ ‫כך‬ b ∈ A ‫קיים‬ ‫אזי‬ ,‫על‬ ‫פונקציית‬ ‫היא‬ f‫ו־‬ ‫היות‬ ‫כעת‬
B‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫ששולח‬ A‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫איזה‬
?b ∈ f (b) ‫האם‬ ,‫כלומר‬ ?b ∈ B ‫האם‬ :‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫כעת‬
.b /
∈ B :‫כלומר‬ , b ∈ f (b) :B ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ ‫אזי‬ ,b ∈ B ‫אם‬ :‫אחד‬ ‫מצד‬
.b ∈ B :‫כלומר‬ ,b /
∈ f (b) :B ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ ‫אזי‬ ,b /
∈ B ‫אם‬ :‫שני‬ ‫מצד‬
!‫לסתירה‬ ‫הגענו‬ ‫־‬ b /
∈ B ‫אם‬ ‫ובין‬ b ∈ B ‫אם‬ ‫בין‬ ,‫כלומר‬
.‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מסיים‬ ‫וזה‬ ,‫על‬ ‫שהיא‬ f : A → 2A
‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ‫שלא‬ ‫מראה‬ ‫זאת‬ ‫סתירה‬
.‫מש"ל‬
2

3. '‫ב‬ ‫נספח‬
‫החישובים‬ ‫ומורכבות‬ ‫חישוביות‬
:‫הערה‬
:‫האלכסון‬ ‫הוכחת‬ ‫כמו‬ ‫בעצם‬ ‫היא‬ |A| < 2A
‫ש־‬ ‫ההוכחה‬
f (x) f (b)
x
b
.b ‫המספר‬ ‫הגדרת‬ ‫כמו‬ ‫היא‬ B ‫שהגדרת‬ ‫לב‬ ‫ונשים‬
(‫כריעה‬ ‫אינה‬ ATM ‫ש־‬ ,‫)כלומר‬ ATM /
∈ R‫ש־‬ ‫ההוכחה‬
:‫תזכורת‬
AT M =
n
hM, wi w ∈ L (M) ,‫מילה‬ w ,‫מ"ט‬ M
o
:‫ההכרעה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫מתארת‬ ‫זו‬ ‫שפה‬
.w ‫את‬ ‫מקבלת‬ M ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫־‬ M ‫של‬ ‫הקלט‬ ‫בא"ב‬ w ‫ומילה‬ ‫מ"ט‬ ‫בהינתן‬
.(AT M ∈ RE ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫)ואנחנו‬
:‫הוכחה‬
. AT M ‫את‬ ‫שמכריעה‬ S ‫מ"ט‬ ‫קיימת‬ ‫אז‬ ,‫כריעה‬ AT M ‫ש־‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ D ‫מ"ט‬ ‫נבנה‬
,‫מ"ט‬ ‫היא‬ M ‫כאשר‬ ,hMi ‫קלט‬ ‫"עם‬ =D
.(‫עוצרת‬ ‫בהכרח‬ S ‫)כי‬ ‫שתעצור‬ ‫עד‬ hM, hMii ‫על‬ S ‫את‬ ‫הרץ‬ .1
" .‫קבל‬ ‫־‬ ‫דחתה‬ S ‫אם‬ ,‫דחה‬ ‫־‬ ‫קיבלה‬ S ‫אם‬ .2
.‫מכריעה‬ ‫מ"ט‬ ‫היא‬ D
:D ‫של‬ ‫השפה‬
L (D) =
n
hMi hMi ‫את‬ ‫מקבלת‬ ‫אינה‬ M ,‫מ"ט‬ ‫היא‬ M
o
?hDi ‫את‬ ‫מקבלת‬ D ‫האם‬ :‫שאלה‬
?hDi ∈ L (D) ‫האם‬ ,‫כלומר‬
(L (D) ‫השפה‬ ‫)ואפיון‬ D ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ ‫אז‬ ,hDi ‫את‬ ‫מקבלת‬ D ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,hDi ∈ L (D) ‫אם‬
.hDi ‫את‬ ‫מקבלת‬ ‫אינה‬ D ‫אז‬ ‫־‬
‫ז"א‬ ,hDi ‫את‬ ‫מקבלת‬ D ,‫למעלה‬ L (D) ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫על־סמך‬ ‫אז‬ ,hDi /
∈ L (D) ‫אם‬
.hDi ∈ L (D)
!‫סתירה‬
S ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫לא‬ ,‫על־כן‬ ,AT M ‫את‬ ‫שמכריעה‬ S ‫מ"ט‬ ‫שקיימת‬ ‫מההנחה‬ ‫נבעה‬ ‫זו‬ ‫סתירה‬
.‫כנ"ל‬
.‫כריעה‬ ‫אינה‬ AT M :‫משמע‬
3