סיכום קצר על טורי טיילור לכל מי שקצת מסתבך עם הרעיון הבסיסי. כרגע יש רק מבוא קצר, אני מקווה בהמשך להוסיף עוד מידע גם על השארית וגם על שימושים שונים של הטור. אבל נכון לרגע זה, יש בסיכום בעיקר הסבר בסיסי על הרעיון של טורי טילור + דוגמאות.

1. ‫חדו"א 2 ־ סמסטר ב' ־ תשע"ד ‪k‬‬
‫‪ k‬קצת הסברים על טורי טיילור‬
‫טורי טיילור‬
‫1‬
‫הגדרה‬
‫ראינו כי אם:‬
‫∞‬
‫‪an (x − a)n‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫0=‪n‬‬
‫הוא סכום חזקות, אז הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בקטע מהצורה )‪.(a − R, a + R‬‬
‫שאלה:‬
‫בהינתן פונקציה שניתן לגזור אינסוף פעמים, האם אפשר לכתוב אותה כסכום של טור חזקות?‬
‫נראה כי בדרך־כלל התשובה היא כן, אבל לא תמיד....‬
‫טענה 1.1 נניח כי ‪− a)n‬‬
‫∞‬
‫‪n=0 an (x‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫= )‪ f (x‬ו־ ‪ f‬גזירה אינסוף פעמים בסביבה של ‪ ,a‬אזי בהכרח:‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪. an‬‬
‫הוכחה:‬
‫· · · + 2)2 − ‪f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x‬‬
‫)‪f (0) (a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫=‬
‫!0‬
‫1‬
‫· · · + 2)‪f (x) = a1 + 2a2 (x − a) + 3a3 (x − a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫= 1‪f (a) = a1 ⇒ a‬‬
‫!1‬
‫· · · + 2)‪f (x) = 2a2 + 3 · 2a3 (x − a) + 4 · 3a4 (x − a‬‬
‫= 0‪f (a) = a0 ⇒ a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫!2‬
‫= 2‪f (a) = 2a2 ⇒ a‬‬
‫הגדרה 2.1 עבור פונקציה ‪ f‬שהיא גזירה אינסוף פעמים בסביבה של ‪ a‬נגדיר את הטור:‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫זה טור טיילור ממורכז ב־‪ .a‬זה טור טיילור של הפונקציה ‪ f‬ב־‪.a‬‬
‫∞‬
‫0=‪n‬‬
‫)אם 0 = ‪ ,a‬קוראים לו גם טור מקלורן של ‪.(f‬‬
‫1‬

2. ‫חדו"א 2 ־ סמסטר ב' ־ תשע"ד ‪k‬‬
‫‪ k‬קצת הסברים על טורי טיילור‬
‫הגדרה 3.1 תהי ‪ f‬פונקציה גזירה אינסוף פעמים ב־‪ .a‬יהי 0 ≥ ‪ .n‬אזי פולינום טיילור מסדר ‪ n‬ב־‪ ,a‬של ‪ f‬הוא:‬
‫)‪f (k) (a‬‬
‫‪(x − a)k‬‬
‫!‪k‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫+ · · · + 2)‪(x − a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!2‬
‫!‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪pn,a (x‬‬
‫0=‪k‬‬
‫+ )‪= f (a) + f (a) (x − a‬‬
‫כאשר ]‪.pn,a ∈ Rn [x‬‬
‫)הערה: מספיק ש־ ‪ f‬תהיה גזירה ‪ n‬פעמים, אבל כל הפונקציות שנראה תהינה גזירות אינסוף פעמים(.‬
‫‬
‫הסבר וסיכום:‬
‫‪n‬‬
‫∞‬
‫‪n=0 an (x‬‬
‫= )‪) f (x‬בסביבה של ‪.(a‬‬
‫נתוננה לנו פונקציה ‪ f‬כטור חזקות, כלומר: )‪− a‬‬
‫כעת, נניח כי הפונקציה גזירה אינסוף פעמים )גם מספר סופי של פעמים זה בסדר, אבל לעת עתה נניח שמדובר‬
‫באינסוף פעמים(, אזי אנחנו רוצים לכתוב אותה באופן הבא:‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫+ )‪(x − a)n = f (a‬‬
‫+ )‪(x − a‬‬
‫· · · + 2)‪(x − a‬‬
‫!‪n‬‬
‫!1‬
‫!2‬
‫∞‬
‫= )‪pn,a (x‬‬
‫0=‪n‬‬
‫)‪(a‬‬
‫כאשר ‪ ,an‬המקדם, שווה ל־ )‪. f n!(a‬‬
‫לכן, 0‪ a‬שווה לערך של )‪ ,f (a‬כלומר, פשוט נציב את ‪ a‬ב־ ‪) f‬הנגזרת מספר אפס היא הפונקציה עצמה( והערך של‬
‫)5(‬
‫5‪ a‬שווה ל־ )‪ , f 5!(a‬כלומר לערך של ‪ a‬כאשר נציב אותו בנגזרת החמישית של ‪.f‬‬
‫ומה שנקבל לבסוף הוא פולינום מהצורה הבאה:‬
‫)‪f (a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫+ )‪(x − a‬‬
‫· · · + 2)‪(x − a‬‬
‫!1‬
‫!2‬
‫+ )‪f (a‬‬
‫דוגמא פשוטה ניקח את הפונקציה 2 − 2‪ f (x) = x‬בסביבה של 3. ניתן לראות שאחרי שתי נזגרות הנגזרת שווה ל־0,‬
‫לכן בפועל אין לנו טעם לחשב יותר משתי נגזרות....‬
‫7‬
‫7 = !0 = 0‪f (3) = 7 ⇒ a‬‬
‫6‬
‫6 = !1 = 1‪f (x) = 2x, f (3) = 6 ⇒ a‬‬
‫2‬
‫1 = !2 = 2‪f (x) = 2, f (3) = 2 ⇒ a‬‬
‫החישוב הבא כבר יתן לנו 0...‬
‫לכן הטור שלנו הינו:‬
‫2)3 − ‪pn,3 (x) = 7 + 6 · (x − 3) + 1 · (x‬‬
‫הסבר לסימון: ‪ pn,a‬פירושו פולינום טיילור )‪ (p‬מסדר ‪ n‬מסביב ל־‪ .a‬לכן אם יש לנו פולינום טיילור מסדר 5 סביב‬
‫‪ , π‬איז נרשום את זה כך: ‪.p5, π‬‬
‫2‬
‫2‬
‫2‬

3. ‫‪ k‬קצת הסברים על טורי טיילור‬
‫2‬
‫1.2‬
‫חדוא 2 ־ סמסטר ב' ־ תשעד ‪k‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪a = 0 , f (x) = ex‬‬
‫2 )0( ‪f‬‬
‫‪f (n) (0) n‬‬
‫+ ··· + ‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫!2‬
‫!‪n‬‬
‫+ ‪pn,0 (x) = f (0) + f (0) x‬‬
‫= 0‪= e‬‬
‫1‬
‫1 = )0( ‪−→ f‬‬
‫‪ex‬‬
‫)0( ‪f‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫1 = )0( )‪f (n) (x) = ex −→ f (n‬‬
‫לכן:‬
‫3‪x2 x‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪1 n‬‬
‫+‪x =1+x‬‬
‫+‬
‫+ ··· +‬
‫!‪n‬‬
‫!2‬
‫!3‬
‫!‪n‬‬
‫2.2‬
‫∞‬
‫= )‪pn,0 (x‬‬
‫0=‪n‬‬
‫‪a = 1 ,f (x) = ex‬‬
‫)1( )‪f (n‬‬
‫‪(x − 1)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫+ · · · + 2)1 − ‪pn,1 (x) = f (1) + f (1) (x − 1) + f (1) (x‬‬
‫אנחנו יודעים ש־‪f (n) (x) = ex ⇒ f (n) (1) = e‬‬
‫ולכן:‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪(x − 1)2 + · · · + (x − 1)n‬‬
‫!2‬
‫!‪n‬‬
‫+ )1 − ‪pn,1 (x) = e + e (x‬‬
‫ועכשיו נעבור לדוגמא קצת יותר מורכבת:‬
‫3.2‬
‫)‪a = 0 ,f (x) = cos (x‬‬
‫צריך לחשב את )0( )‪ f (k‬לכל ‪.k‬‬
‫1 = 0‪a‬‬
‫⇒‬
‫1 = )0( ‪f (0) = cos‬‬
‫0 = 2‪⇒ a‬‬
‫1‬
‫1−‬
‫= 2‪f (x) = − cos (x) , f (0) = −1 ⇒ a‬‬
‫−=‬
‫!2‬
‫2‬
‫0 = 3‪f (x) = sin (x) , f (0) = 0 ⇒ a‬‬
‫0=‬
‫)0( ‪f (x) = sin (x) , f‬‬
‫וכמובן ־ )‪ ,f (4) (x) = f (0) (x) = cos (x‬לכן, יש מחזוריות של 4 בנגזרות של )‪ cos (x‬ב־0, הן שוות ל־. . . ,0 ,1− ,0 ,1.‬
‫לכן, מה שמעניין אותנו הוא רק האינדקסים הזוגיים, לכן במקום ‪ n‬נרשום ‪ 2n‬כי במקרה של אינדקס אי־זוגי, זה לא‬
‫מעניין אותנו כי הוא שווה ל־0.‬
‫מה שנקבל הוא:‬
‫0‬
‫1‬
‫0‬
‫1‬
‫‪(−1)n 2n‬‬
‫+ · · · − 4‪x − x2 + x3 + x‬‬
‫‪x‬‬
‫!1‬
‫!2‬
‫!3‬
‫!4‬
‫!)‪(2n‬‬
‫6‪x2 x4 x‬‬
‫‪(−1)n x2n‬‬
‫−1=‬
‫+‬
‫−‬
‫+ ··· +‬
‫)‪= p2n+1,0 (x‬‬
‫2‬
‫!4‬
‫!6‬
‫!)‪(2n‬‬
‫+ 1 = )‪p2n+1,0 (x‬‬
‫3‬

4. ‫חדוא 2 ־ סמסטר ב' ־ תשעד ‪k‬‬
‫‪ k‬קצת הסברים על טורי טיילור‬
‫השיווין האחרון נעשה כי המקדם של 1+‪ x2n‬הוא 0.‬
‫היות ומה שמעניין אותנו אלו רק האינקסים הזוגיים, ניתן פשוט לפסוח על האי־זוגיים, לכן בסוף יש‬
‫שאינדקס מספר 3 לא מעניין אותנו.‬
‫לכן, ניתן לרשום את הביטוי בצורה הבאה:‬
‫‪(−1)k x2k‬‬
‫)!‪(2k‬‬
‫‪ x2n‬מכיוון‬
‫‪n‬‬
‫= )‪p2n,0 (x‬‬
‫0=‪k‬‬
‫כי מה שהוא יתן לנו זה רק את האינדקסים הזוגיים. כלומר, כל פעם שיש אינדקס אי־זוגי, אנחנו נדלג מעליו, לכן‬
‫מה שנקבל הוא רק: ... ,6 ,4 ,2 ,0 = ‪.k‬‬
‫3 0=‬
‫)‪f (x)−pn,a (x‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(x−a‬‬
‫‪limx→a‬‬
‫פולינום טיילור מסדר ‪ n‬של ‪ f‬מסביב ‪ a‬הוא הפולינום מסדר ‪ n‬המקרב הכי טוב את הפונקציה ‪ f‬בסביבה של ‪.a‬‬
‫מה זה אומר שפולינום )‪ pn,a (x‬הוא הכי קרוב ל־)‪ f (x‬בסביבה של ‪?a‬‬
‫זה אומר ש־)‪ f (x) − pn,a (x‬הוא קטן, הוא שואף ל־0 מהר כש־‪ x‬שואף ל־‪.a‬‬
‫4‬