סיכום של הקורס מבוא להצפנה מאת ד"ר לור ברתל.

1. ‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ 2
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫להצפנה‬ ‫מבוא‬
...‫בסוף‬ ‫עניינים‬ ‫תוכן‬
:I ‫חלק‬
u‫רקע‬U
z ‫בסייסים‬ ‫מושגים‬ .1 Z
,2 | 8 :‫למשל‬ ,a · k = b-‫ש‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫קיים‬ ‫אם‬ a | b - a, b ∈ Z ‫עבור‬ :“‫את‬ ‫”מחלק‬ .1.1 ‫הגדרה‬
...‫וכו‬ 7 | 35
‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫מוגדר‬ a, b ∈ N ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מקסימלי‬ ‫מחלק‬ .1.2 ‫הגדרה‬
,gcd (a, b) :‫ומסומן‬ n | a ∧ n | b :‫מקיים‬ ‫אשר‬ n ∈ N
.6 | 18 ∧ 6 | 12 :‫מקיים‬ ‫אשר‬ ‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫המספר‬ ‫הוא‬ 6 ‫כי‬ gcd (18, 12) = 6 :‫למשל‬
.gcd (a, b) = gcd (b, a) .1.3 ‫הערה‬
:1 < a < p ‫לכל‬ ‫או‬ - gcd (a, p) = 1 a 6= p ‫שלכל‬ ‫כל‬ p ∈ N ‫מספר‬ ‫הוא‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ .1.4 ‫הגדרה‬
.a - p
(1.4 ‫)הגדרה‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫שאינו‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ ‫פריק‬ ‫מספר‬ .1.5 ‫הגדרה‬
.‫זרים‬ ‫הם‬ b-‫ו‬ a ‫כי‬ ‫אומרים‬ ‫אזי‬ gcd (a, b) = 1 ‫אם‬ a, b ∈ N ‫עבור‬ :‫זרים‬ ‫מספרים‬ .1.6 ‫הגדרה‬
.A-‫ב‬ ‫האיברים‬ ‫כמספר‬ ‫תוגדר‬ |A| :A ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫עבור‬ .1.7 ‫הגדרה‬
z ‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ .2 Z
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ ‫אשר‬ φ : N → N ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ‫אוילר‬ ‫פונקציית‬
φ (n) =
n
a gcd (a, n) = 1
o
.n ∈ N ‫למספר‬ (1.6 ‫)הגדרה‬ ‫הזרים‬ ‫המספרים‬ ‫כמות‬ ‫את‬ ‫שמזירה‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ ‫כלומר‬
.{1, 3, 7, 9} :‫הם‬ 10-‫ל‬ ‫שזרים‬ ‫המספרים‬ ‫כי‬ φ (10) = 4 :‫למשל‬
1

2. Z∗
n-‫ו‬ Zn ‫הקבוצות‬ 3
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ ‫לחישוב‬ ‫נוסחה‬ 2.1
:‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫לחשוב‬ ‫ניתן‬ ‫שדרכן‬ ‫נוסחאות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬
.n = pα1
1 · pα2
2 · · · pαk
k :‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫באמצעות‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ .2.1 ‫משפט‬
φ (n) =
Y
pi|n
1 −
1
pi
.(‫כאלה‬ ‫כמה‬ ‫להיות‬ ‫)ויכולים‬ .n ‫את‬ ‫שמחלק‬ ‫ראשוני‬ ‫הוא‬ pi ‫כאשר‬
:‫הבאה‬ ‫הנוסחה‬ ‫באמצעות‬ ‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫ניתן‬ ‫כן‬-‫וכמו‬
φ (n) =
Y
pi|n
pαi
i − pαi−1
i
:‫אזי‬ n = 25 = 52 · 21 ‫את‬ ‫ניקח‬ .2.2 ‫דוגמה‬
φ (25) = 52
− 51
21
− 20
= 20 · 1 = 20
‫אוילר‬ ‫ליאונרד‬
.φ (p) = p − 1 ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ p ‫אם‬ .2.3 ‫הערה‬
z Z∗
n-‫ו‬ Zn ‫הקבוצות‬ .3 Z
Zn = {0, 1, . . . , n − 1} ‫הקבוצה‬ ‫היא‬ Zn ‫הקבוצה‬ .3.1 ‫הגדרה‬
:‫או‬
Zn =
(
k k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n − 1
)
:n-‫ל‬ ‫זרים‬ ‫אשר‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מכילה‬ ‫אשר‬ ‫הקבוצה‬ ‫היא‬ Z∗
n ‫הקבוצה‬ .3.2 ‫הגדרה‬
Z∗
n =
(
k k ∈ N, gcd (a, n) = 1
)
.φ (n) = |Z∗
n| .3.3 ‫הערה‬
.(0 k p :k ∈ N ‫המספרים‬ ‫)כל‬ φ (p) = Z∗
p = p − 1 ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ p ‫אם‬ .3.4 ‫משפט‬
2

3. ax ≡ b (mod n) ‫מהצורה‬ ‫משוואת‬ 4
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
≡ (mod n) ‫הסימן‬ 3.1
,n = 18 ‫כלומר‬ ,Z18 ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫למשל‬ ,Zn-‫ב‬ a = b-‫ש‬ ‫היא‬ a ≡ b (mod n) ‫מהצורה‬ ‫במשוואה‬ ‫הרעיון‬
:‫אזי‬
19 ≡ 1 (mod 18)
.1 ‫עוד‬ ‫והמשכנו‬ (18) 0-‫ל‬ ‫שהגענו‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,Z18-‫ב‬ 19 ‫לנו‬ ‫אין‬ ‫כי‬
:‫שליליים‬ ‫מספרים‬ ‫לגבי‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ‫וזה‬
−3 ≡ 15 (mod 18)
Zn-‫ב‬ ‫הפיכים‬ ‫איברים‬ 3.2
-‫ש‬ ‫כך‬ b ∈ Zn ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫הופכי‬ ‫אביר‬ ‫לו‬ ‫קיים‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬ ,a ∈ Zn ‫בקבוצה‬ ‫איבר‬ ‫עבור‬ .3.5 ‫הגדרה‬
.a · b ≡ 1 (mod n)
.a−1 :‫ע“י‬ ‫מסומן‬ ‫והוא‬ ,a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫האיבר‬ ‫קוראים‬ b-‫ל‬
‫כך‬ b ∈ Z∗
n ‫קיים‬ a ∈ Z∗
n ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,n-‫ל‬ ‫ההופכיים‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫נמצאים‬ Z∗
n ‫בקבוצה‬ .3.6 ‫הערה‬
.a · b ≡ 1 (mod n)-‫ש‬
.‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ a ∈ {1, . . . , p − 1} ‫לכל‬ ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ p ‫אם‬ .3.7 ‫משפט‬
.b ‫הופכי‬ ‫איבר‬ a-‫ל‬ ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫אזי‬ a /
∈ Z∗
n ‫אם‬ .3.8 ‫הערה‬
z ax ≡ b (mod n) ‫מהצורה‬ ‫משוואת‬ .4 Z
.n | (ax − b) :‫ש‬ ‫פירושו‬ ax ≡ b (mod n) :a, b, n ∈ N ‫עבור‬ .4.1 ‫הגדרה‬
ax ≡ b (mod n) ‫מהצורה‬ ‫משוואות‬ ‫פתרון‬ 4.1
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ax ≡ b (mod n) ‫מהצורה‬ ‫משוואות‬ ‫נפתור‬
.d = gcd (a, n) :‫נסמן‬
.x = a−1b (mod n) :‫שהוא‬ ‫יחיד‬ ‫פתרון‬ ‫ישנו‬ ‫אזי‬ d = 1 ‫אם‬ -
:‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ,d 1 ‫אם‬ -
.(‫למשוואה‬ ‫פתרון‬ ‫)אין‬ ax 6≡ b (mod n) : d - c p
ax ≡ b ‫למשוואה‬ ‫אבל‬ ,n
d ‫מודולו‬ ‫אחד‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ a
d x ≡ b
b (mod n
d ) ‫למשווה‬ ‫אזי‬ :d | c p
:‫פתרונות‬ d ‫ישנן‬ (mod n)
(
x0 + k ·
n
d
k ∈ N, 0 ≤ k ≤ d − 1
)
3

4. ‫אלפבתית‬-‫חד‬ ‫הצפנה‬ 5
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
:II ‫חלק‬
u‫סימטרית‬ ‫הצפנה‬U
‫ששמה‬ ‫סימטרית‬-‫א‬ ‫הצפנה‬ ‫)לעומת‬ ‫הצדדים‬ ‫לשני‬ ‫משותף‬ ‫מפתח‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫סימטרית‬ ‫בהצפנה‬
.(‫שלו‬ ‫המפתח‬ ‫את‬ ‫יש‬ ‫צד‬ ‫לכל‬
z ‫אלפבתית‬-‫חד‬ ‫הצפנה‬ .5 Z
‫ששמה‬ (7 ‫)בעמוד‬ ‫אלפבתית‬-‫רב‬ ‫הצפנה‬ ‫לעומת‬ ,‫בנפרד‬ ‫אות‬ ‫כל‬ ‫מצפינים‬ ‫אנחנו‬ ‫אלפבתית‬-‫חד‬ ‫בהצפנה‬
.‫אותיות‬ ‫של‬ ‫בלוקים‬ ‫מצפינים‬ ‫אנחנו‬
‫הזזה‬ ‫צפני‬ 5.1
.(‫אופנים‬ ‫כמה‬ ‫ישנם‬ ‫)כי‬ ‫בהמשך‬ ‫שתוגדר‬ ‫כלשהי‬ ‫פונקציה‬ ‫ע“י‬ ‫האותיות‬ ‫את‬ ‫מזיזים‬ ‫אנחנו‬ ‫הזזה‬ ‫בצפני‬
‫סימונים‬ 5.1.1
.‫אותיות‬ n ‫שמכיל‬ ‫בית‬-‫האלף‬ ‫ישנו‬
.‫המקורי‬ ‫הטקסט‬ ‫מרחב‬ = P .5.1 ‫רישום‬ ‫צורת‬
.‫המוצפן‬ ‫הטקסט‬ ‫מרחב‬ = C .5.2 ‫רישום‬ ‫צורת‬
.‫המפתחות‬ ‫מרחב‬ = K .5.3 ‫רישום‬ ‫צורת‬
P = C = K = Zn
.‫ההצפנה‬ ‫פונקציית‬ ‫זוהי‬ - e (x)
.‫הפענוח‬ ‫פונקציית‬ ‫זוהי‬ - d (x)
‫כללי‬ ‫הזזה‬ ‫צופן‬ 5.1.2
ek (x) = x + k mod n : ‫הצפנה‬ ‫פונקציית‬
dk (y) = y − k mod n : ‫פיענוח‬ ‫פונקציית‬
.‫בא“ב‬ ‫אותיות‬ ‫אילו‬ x, y ‫כאשר‬
.‫לאותיות‬ ‫הזזה‬ ‫עושים‬ ‫פשוט‬ ‫אנחנו‬ ‫שוב‬ ‫פשוט‬ ‫הצפנה‬ ‫צופן‬ ‫זהו‬
‫קיסר‬ ‫צופן‬ 5.1.3
.k = 3 ‫שבו‬ ‫קיסר‬ ‫צופן‬ ‫הוא‬ ‫כללי‬ ‫הזזה‬ ‫לצופן‬ ‫דוגמה‬
.k = 0 ‫כאשר‬ ‫הוא‬ ‫הטריוויאלי‬ ‫הצופן‬ ,‫זאת‬ ‫הצפנה‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫הטריוויאלי‬ ‫הצופן‬
.ek (x) = dx (x) = x ‫אזי‬
4

5. ‫אלפבתית‬-‫חד‬ ‫הצפנה‬ 5
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫הזזה‬ ‫צופן‬ ‫על‬ ‫התקפות‬ 5.1.4
. (|Zn|) ‫מאוד‬ ‫קטן‬ ‫המפתחות‬ ‫מספר‬ ‫כי‬ ‫מאוד‬ ‫קל‬ ‫זה‬ .‫גס‬ ‫כוח‬ ‫באמצעות‬ ‫אפשר‬ -
‫ואז‬ ek (x) = y-‫ש‬ ‫כך‬ (x, y) ‫אותיות‬ ‫זוג‬ ‫למצוא‬ ‫מספיק‬ ,‫המקור‬ ‫טקסט‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ‫ואם‬ -
:‫המפתחות‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬
y ≡ x + k (mod n) ⇒ k ≡ y − x (mod n)
‫החלפה‬ ‫צופן‬ 5.2
:‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ ‫כלומר‬ .‫האותיות‬ ‫כול‬ ‫על‬ ‫תמורה‬ ‫מבצעים‬ ‫אנחנו‬ ‫החלפה‬ ‫בצופן‬
σ : Zn → Zn
.|Zn|! :‫הוא‬ ‫המפתחות‬ ‫מספר‬ ‫ולכן‬
‫החלפה‬ ‫צופן‬ ‫על‬ ‫התקפות‬ 5.2.1
,‫צמדים‬ ‫ע“פ‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ,‫מספיק‬ ‫זה‬ ‫ואם‬ ,‫אותיות‬ ‫של‬ ‫תדירות‬ ‫בדיקת‬ ‫ע“י‬ ‫בקלות‬ ‫הצופן‬ ‫את‬ ‫לתקוף‬ ‫ניתן‬
...'‫וכו‬ .th, er :‫באנגלית‬ ‫למשל‬ .‫אותיות‬ ‫צמדי‬ ‫של‬ ‫נפיצות‬ ‫ע“פ‬ ,‫כלומר‬
‫אפיני‬ ‫צופן‬ 5.3
. k = |Z∗
n| · |Zn| ‫זאת‬ ‫לעומת‬ ‫אבל‬ ,P = C = |Zn| :‫אשר‬ ,‫מורכב‬ ‫יותר‬ ‫טיפה‬ ‫צופן‬ ‫הוא‬ ‫אפיני‬ ‫צפן‬
ek (x) = ax + b mod n : ‫הצפנה‬ ‫פונקציית‬
dk (y) = a−1
(y − b) mod n : ‫פיענוח‬ ‫פונקציית‬
.b ∈ Zn-‫ו‬ a ∈ Z∗
n :‫כאשר‬
‫הצופן‬ ‫פענוח‬ 5.3.1
‫אם‬ ,‫כאן‬ ‫)וגם‬ ‫לפענח‬ ‫כדי‬ ‫ומהצופן‬ ‫המקור‬ ‫מטקסט‬ ‫אותיות‬ ‫לשני‬ ‫זקוקים‬ ‫אנחנו‬ ‫הפענוח‬ ‫בשביל‬ ‫הפעם‬
.(‫האותיות‬ ‫בתדירות‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ,‫ארוך‬ ‫מספיק‬ ‫הטקסט‬
.‫משוואות‬ ‫שתי‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫כך‬ ‫ולשם‬ (a, b) ‫נעלמים‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫היא‬ ‫לכך‬ ‫הסיבה‬
:‫היא‬ ‫המשוואה‬ ‫אזי‬ c → t ‫כי‬ ‫לנו‬ ‫ונתון‬ 5.3.2-‫ב‬ ‫כמו‬ ‫המרחב‬ ‫על‬ ‫למשל‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬
2a + b = 19 (mod 26)
:‫יותר‬ ‫כללי‬ ‫ובאופן‬
.(ψ (d) = 3 :5.3.2-‫ב‬ ,‫)למשל‬ ‫שלו‬ ‫המספרי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫בא“ב‬ A ‫עבור‬ ‫מחזירה‬ ψ (A) ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
:‫תהיה‬ ‫המשוואה‬ ‫אזי‬ A → C ‫כי‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ :‫בא“ב‬ A, C ‫עבור‬ ,‫אזי‬
ψ (A) a + b ≡ ψ (C)
5

6. ‫אלפבתית‬-‫חד‬ ‫הצפנה‬ 5
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫לפענוח‬ ‫דוגמאות‬ 5.3.2
:C ‫המקור‬ ‫בטקסט‬ ‫כאשר‬ Z26 ‫על‬ ‫נדבר‬ ‫ולכן‬ abc-‫ה‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫יהיה‬ ‫הדוגמאות‬ ‫בשתי‬
.0 7→ a, 1 7→ b, . . . , 25 7→ z
:‫כלומר‬ ,gj → ns :‫פשוטה‬ ‫מדוגמה‬ ‫נתחיל‬ ‫פשוטה‬ ‫דוגמה‬
(
6a + b ≡ 13 (mod 26) (1)
9a + b ≡ 18 (mod 26) (2)
:‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫ומה‬ (2) − (1) :‫נחסר‬
3a ≡ 5 (mod 26)
:4.1 ‫חלק‬ ‫ע“פ‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫נפתור‬ ‫וכעת‬
.‫אחד‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ‫ולכן‬ gcd (3, 26) = 1
:‫ונקבל‬ 9-‫ב‬ ‫נכפול‬ ‫ולכן‬ 9 ‫הוא‬ ,3 ∈ Z∗
26 ‫כי‬ ‫הופכי‬ ‫לו‬ ‫ויש‬ ,Z26-‫ב‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬
a = 19
.b = 3 ⇐ 6 · 19 + b ≡ 13 (mod 26) :b ‫את‬ ‫ונקבל‬ (1)-‫ב‬ ‫למשל‬ ,‫נציב‬ ‫כעת‬
,e (x) = 19x + 3 :‫היא‬ ‫ההצפנה‬ ‫פונקציית‬ ‫ולכן‬
.d (y) = 11 (y − 3) :‫היא‬ ‫הפענוח‬ ‫פונקציית‬ ‫ואילו‬
...‫בדרך‬ “‫”מכשול‬ ‫לנו‬ ‫יהיה‬ ‫שהפעם‬ ‫רק‬ ,‫דוגמה‬ ‫עוד‬ ‫נעשה‬ ‫יותר‬ ‫מורכבת‬ ‫דוגמה‬
:‫ולכן‬ ,e (6) = 13, e (10) = 11 :‫כלומר‬ ,gk → nl :‫על‬ ‫נסתכל‬
(
6a + b ≡ 13 (mod 26) (1)
10a + b ≡ 11 (mod 26) (2)
:‫ונקבל‬ (1) − (2) ‫נעשה‬ ‫כעת‬
22a ≡ 2 (mod 26)
.gcd (22, 26) = 2 6= 1 - ‫בעיה‬ ‫וישנה‬
:‫ונקבל‬ 2-‫ב‬ ‫המשוואה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫שנחלק‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬
11a ≡ 1 (mod 13)
.a = 19 :‫ולכן‬ 19 ‫הוא‬ Z26-‫ב‬ 11 ‫של‬ ‫ההופכי‬
.b = 3 :‫ונקבל‬ (1)-‫ב‬ ‫למשל‬ ,‫המשוואות‬ ‫באחת‬ ‫נציב‬
,e (x) = 19x + 3 :‫היא‬ ‫ההצפנה‬ ‫ופונקציית‬
.d (y) = 11 (y − 3) :‫היא‬ ‫הפענוח‬ ‫ופונקציית‬
6

7. ‫אלפבתית‬-‫רב‬ ‫הצפנה‬ 6
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
z ‫אלפבתית‬-‫רב‬ ‫הצפנה‬ .6 Z
‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫כל‬ ‫נצפין‬ ,‫כלומר‬ .‫בבלוקים‬ ‫נצפין‬ ‫אנחנו‬ ‫כאן‬ ,‫אות‬-‫אות‬ ‫הצפנו‬ ‫אלפבתית‬-‫חד‬ ‫בהצפנה‬ ‫אם‬
.‫אות‬-‫אות‬ ‫ולא‬ ‫אופן‬ ‫באותו‬ (‫)בלוק‬ ‫אותיות‬
.R-‫ב‬ ‫או‬ N-‫ב‬ ‫מספרים‬ ‫יהיו‬ α, β, γ, . . . ‫זה‬ ‫בחלק‬
(Vigenere) ‫ויג'נר‬ ‫צופן‬ 6.1
.Z26 ‫עם‬ ‫ונעבוד‬ 5.3.2-‫ב‬ ‫כמו‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬ .n ‫בגודל‬ ‫א“ב‬ ‫עם‬ ‫עובדים‬
.[k, e, y] ↔ [10, 4, 24] :‫למשל‬ ,α ‫באורך‬ ‫מפתח‬ ‫בוחרים‬ -
:‫כך‬ ‫עובדת‬ ‫ההצפנה‬ ‫השיטת‬ -
.α ‫בגודל‬ ‫לבלוקים‬ ‫המקור‬ ‫טקסט‬ ‫את‬ ‫מחלקים‬ p
.(ki ‫לה‬ ‫מוספים‬ ,‫)כלומר‬ ki-‫ב‬ ‫הזזה‬ ‫עושים‬ ‫בבלוק‬ i ‫מספר‬ ‫האות‬ ‫על‬ p
‫באופן‬ ‫מוצפנת‬ ‫אות‬ ‫שכל‬ ‫כיוון‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫עוזרת‬ ‫אינה‬ ‫האותיות‬ ‫תדירות‬ ‫בדיקת‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬
(‫המפתח‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫שאנחנו‬ ‫)בהנחה‬ ‫בלוק‬ ‫בכל‬ α-‫ה‬ ‫במקום‬ ‫האות‬ ‫לפי‬ ‫בודקים‬ ‫אם‬ ‫אבל‬ .‫שונה‬
.‫הצופן‬ ‫את‬ ‫לפענח‬ ‫להתחיל‬ ‫כך‬ ‫באמצעות‬ ‫אפשר‬ ‫אזי‬
‫דוגמה‬ 6.1.1
[k, e, y] ↔ [10, 4, 24] :‫ממקודם‬ ‫המפתח‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
:‫למשל‬ ,‫הצפנה‬ ‫נבצע‬ ‫וכעת‬
h e l l o w o r l d ‫נצפין‬ ‫שאותה‬ ‫המילה‬
10 4 24 10 4 24 10 4 24 10 ‫אות‬ ‫לכל‬ ‫נוסיף‬ ‫כמה‬
r i j v s u y v j n ‫המוצפן‬ ‫הטקסט‬
.h = 7 ⇒ 7 + 10 = 17 = r :‫למשל‬ ‫כי‬
‫הצופן‬ ‫פיענוח‬ 6.1.2
:‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫דברים‬ ‫שני‬ ‫ישנם‬ ‫הצופן‬ ‫את‬ ‫לפענח‬ ‫כדי‬
.‫המפתח‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ .1
.‫המפתח‬ ‫אותיות‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ .2
.‫בשנייה‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫טובה‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫אחת‬ ‫אם‬ .‫הצופן‬ ‫לפענוח‬ ‫שיטות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬
7

8. ‫אלפבתית‬-‫רב‬ ‫הצפנה‬ 6
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫הטקסט‬ ‫סיבוב‬ ‫ע“י‬ ‫המפתח‬ ‫אורך‬ ‫מציאת‬ 6.1.3
‫סיבוב‬ ‫ע“י‬ ‫התאמות‬ ‫מציאת‬
.α-‫ב‬ ‫אותו‬ ‫ומסובבים‬ ‫עצמו‬ ‫מעל‬ ‫הטקסט‬ ‫את‬ ‫שמים‬ ‫אנחנו‬
:‫אזי‬ abac :‫הוא‬ ‫המקור‬ ‫טקסט‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬
.‫לעצמו‬ ‫ביחס‬ ‫הטקסט‬ ‫את‬ ‫הזזנו‬ ‫בכמה‬ ‫אומרת‬ α = . . . ‫הראשונה‬ ‫השורה‬
.‫הטקסט‬ ‫היא‬ - abac - ‫השנייה‬ ‫השורה‬
.‫המוזז‬ ‫הטקסט‬ ‫היא‬ - ‫השלישית‬ ‫השורה‬
α = 1 α = 2 α = 3
abac abac abac
caba acab baca
(a :‫משמאל‬ ‫השלישית‬ ‫)באות‬ α = 2 ‫כאשר‬ ‫אחת‬ ‫התאמה‬ ‫ששינה‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫קפיצה‬ ‫תהיה‬ ‫הזה‬ ‫במקום‬ ‫כלל‬ ‫)בדרך‬ ‫התאמות‬ ‫הרבה‬ ‫הכי‬ ‫יש‬ ‫שעבורו‬ α-‫ה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
.(‫ארוך‬ ‫מספיק‬ ‫שהוא‬ ‫בטקסט‬ ‫שמדובר‬ ‫בהנחה‬ ,‫במספר‬ ‫משמעותית‬
.6.1.5 :‫כאן‬ ‫שמתוארות‬ ‫בדרכים‬ ‫לפענח‬ ‫ניתן‬ ‫ואז‬
‫וקטורית‬ ‫מכפלה‬ ‫ע“י‬ ‫המפתח‬ ‫אורך‬ ‫מציאת‬ 6.1.4
,‫הזזה‬ ‫ללא‬ ‫המקורי‬ ‫הווקטור‬ ‫שזה‬ V0-‫ב‬ ‫המוצפן‬ ‫בטקסט‬ ‫האותיות‬ ‫של‬ ‫התדירויות‬ ‫וקטור‬ ‫את‬ ‫את‬ ‫נסמן‬
,V1 = [4, 1, 2, 3] ‫אזי‬ V0 = [1, 2, 3, 4] ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫ימינה‬ 1 ‫של‬ ‫ציקלית‬ ‫בהזזה‬ ‫הוקטור‬ ‫את‬ V1-‫ב‬
...'‫וכו‬ V2 = [3, 4, 1, 2]
:‫היא‬ ‫להתאמה‬ ‫ההסתברות‬ α 6= β-‫ו‬ ‫הא“ב‬ ‫גודל‬ ‫זה‬ n ‫כאשר‬ ,α, β ∈ Zn ‫עבור‬
Vα • Vβ =
X
i∈Zn
(Vα [i] · Vβ [i])
[‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ‫אפשרי‬ ‫]בלתי‬ α = β-‫ש‬ ‫או‬ ‫כאשר‬ ‫יהיה‬ ‫וזה‬ Vα • Vβ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
‫כפולה‬ ‫או‬ ‫המפתח‬ ‫אורך‬ ‫לפי‬ ‫היא‬ ‫ימינה‬ ‫שההזזה‬ ‫)כלומר‬ ‫הצפנה‬ ‫אותה‬ ‫לפי‬ ‫מוצפנות‬ ‫האותיות‬ ‫כאשר‬ ‫או‬
.(‫שלו‬
.‫שונה‬ ‫בסדר‬ ‫אך‬ ‫רכיבים‬ ‫אותם‬ ‫את‬ ‫ישנם‬ ‫הווקטורים‬ ‫לשני‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫לדעת‬ ‫לנו‬ ‫מאפשרות‬ ‫הם‬ ,‫כלומר‬ ,‫הסתברותיות‬ ‫הינן‬ ‫האחרונות‬ ‫השיטות‬ ‫ששתי‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.‫אורכו‬ ‫אכן‬ ‫שזהו‬ ‫בוודאות‬ ‫לנו‬ ‫מבטיחות‬ ‫לא‬ ‫אך‬ ‫המפתח‬ ‫אורך‬ ‫מה‬ ‫גבוהה‬ ‫בהסתברות‬
‫המפתח‬ ‫מילת‬ ‫פענוח‬ 6.1.5
:‫ראשונה‬ ‫שיטה‬
.‫האותיות‬ ‫תדירות‬ ‫לפי‬ ‫היא‬ ‫הראשונה‬ ‫השיטה‬
.‫תדירות‬ ‫ונבדוק‬ ‫בלוק‬ ‫בכל‬ ‫הראשונה‬ ‫האות‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
‫בכמה‬ ‫לדעת‬ ‫כדי‬ ‫כזאת‬ ‫אחת‬ ‫אות‬ ‫)ומספיקה‬ .e ‫הנראה‬ ‫ככל‬ ‫היא‬ ‫גבוהה‬ ‫הכי‬ ‫התדירות‬ ‫עם‬ ‫האות‬
.(...‫הזזנו‬
...'‫וכו‬ ‫בלוק‬ ‫בכל‬ ‫השנייה‬ ‫לאות‬ ‫נעשה‬ ‫ככה‬
‫שאומר‬ ‫מה‬ k ‫למשל‬ ‫היא‬ ‫בתדירות‬ ‫השנייה‬ ‫שהאות‬ ‫נגלה‬ ‫לפעמים‬ ‫כי‬ ‫עובדת‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬ ‫הזאת‬ ‫השיטה‬ ‫אבל‬
.(‫משמעות‬ ‫תהיה‬ ‫לא‬ ‫כולו‬ ‫לפענוח‬ ‫גם‬ ‫)ואז‬ ‫נכון‬ ‫לא‬ ‫פענחנו‬ ‫הנראה‬ ‫שככל‬
8

9. ‫אלפבתית‬-‫רב‬ ‫הצפנה‬ 6
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
:‫אחרת‬ ‫שיטה‬ ‫יש‬ ‫כך‬ ‫לשם‬
.‫מסוימת‬ ‫אות‬ ‫לקבל‬ ‫ההסתברות‬ ‫ע“פ‬ ‫שעובדת‬
:‫חשובה‬ ‫הערה‬
‫בא“ב‬ ‫האותיות‬ ‫תדירות‬ ‫של‬ ‫ההסתברות‬ ‫וקטור‬ ‫לנו‬ ‫שיהיה‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫הזאת‬ ‫השיטה‬ ‫בשביל‬
.‫כללי‬ ‫באופן‬ ‫שלנו‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ,‫תדירויות‬ ‫וקטור‬ ‫ונבנה‬ ‫בלוק‬ ‫בכל‬ ‫הראשונה‬ ‫האות‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
:‫תדירויות‬ ‫וקטור‬ ‫בונים‬ ‫כיצד‬
.(‫סימנים‬ ‫של‬ ‫וסופית‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫)קבוצה‬ ‫שלנו‬ ‫הא“ב‬ = Σ :‫נסמן‬
‫המופעים‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ϕ (A)-‫ב‬ ‫נסמן‬ A ∈ Σ ‫ועבור‬ ,‫שלנו‬ ‫א“ב‬-‫ב‬ ‫האותיות‬ ‫מספר‬ = n = |Σ|
.‫מסוים‬ ‫בטקסט‬ A ‫של‬
:‫יהיה‬ ‫התדירויות‬ ‫וקטור‬ ,‫כלשהו‬ ‫טקסט‬ ‫עבור‬ ‫אזי‬
U =
ϕ (A)
n
A ∈ Σ
#
.1 ‫לקבל‬ ‫צריך‬ ‫הווקטור‬ ‫אברי‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫סוכמים‬ ‫שאם‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫הא“ב‬ ‫של‬ ‫התדירויות‬ ‫וקטור‬ ‫את‬ V0-‫ב‬ ‫נסמן‬ ‫אזי‬ ,‫מסוים‬ ‫טקסט‬ ‫עבור‬ ‫התדירויות‬ ‫וקטור‬ ‫הוא‬ U ‫אם‬
.(6.1.4-‫ב‬ ‫שתואר‬ ‫)כפי‬ ‫ימינה‬ α-‫ב‬ ‫הוקטור‬ ‫של‬ ‫ציקלית‬ ‫הזזה‬ ‫הוא‬ α ∈ N ‫עבור‬ Vα-‫ו‬ ‫בכללי‬
:‫הוא‬ ‫למצוא‬ ‫שעלינו‬ ‫מה‬ ‫כעת‬
max
n
β β = Vα • U , α ∈ Zn
o
,‫מקסימלי‬ ‫הוא‬ Vα•U ‫שעבורו‬ α ‫אותו‬ ‫את‬ ‫בהתאמה‬ ‫נמצא‬ ‫אזי‬ ‫מקסימלי‬ β ‫ערך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫שנמצא‬ ‫אחרי‬
.‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ ‫שאותה‬ ‫האות‬ ‫זאת‬ ‫הזה‬ α-‫וה‬
.a ‫היא‬ ‫הראשונה‬ ‫האות‬ ‫אזי‬ α = 0 ‫כי‬ ‫ונראה‬ ‫בלוק‬ ‫בכל‬ ‫הראשונה‬ ‫האות‬ ‫על‬ ‫זאת‬ ‫נעשה‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬
...c ‫היא‬ ‫הראשונה‬ ‫האות‬ ‫כי‬ ‫נדע‬ ‫אזי‬ α = 2 ‫ואם‬
.‫הלאה‬ ‫וכך‬
.‫הקודמת‬ ‫השיטה‬ ‫מוצלחת‬ ‫יותר‬ ‫בעיקרון‬ ‫הזאת‬ ‫השיטה‬
9

10. ‫היל‬ ‫צופן‬ 7
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
z ‫היל‬ ‫צופן‬ .7 Z
.‫מטריצות‬ ‫באמצעות‬ ‫בלוקים‬ ‫של‬ ‫הצפנה‬ ‫על‬ ‫שעובד‬ ‫צופן‬ ‫הוא‬ (Hill Cipher) ‫היל‬ ‫צופן‬
.n ∈ N ‫בגודל‬ ‫לבלוקים‬ ‫המקור‬ ‫טקסט‬ ‫מחלקים‬ ‫כאשר‬
‫הצפנה‬ 7.1
n × n ‫בגודל‬ ‫הפיכה‬ M ∈ Mn×n (Zm) ‫מטריצה‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫המקור‬ ‫טקסט‬ ‫את‬ ‫להצפין‬ ‫בשביל‬
.(‫הבלוקים‬ ‫גודל‬ ‫זה‬ n ‫)כאשר‬
‫מסמל‬ ‫מספר‬ ‫וכל‬ ‫הא“ב‬ ‫גודל‬ ‫הוא‬ m ‫כאשר‬ Zm-‫ב‬ ‫במספרים‬ ‫הם‬ ‫המטריצה‬ ‫בתאי‬ ‫המספרים‬ ‫כאשר‬
.‫בא“ב‬ ‫אות‬
‫אברי‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ a = 0, b = 1, . . . , z = 25 ‫כאשר‬ (‫הלטיניות‬ ‫)האותיות‬ abcd...-‫ה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ,‫למשל‬
:‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫המטריצה‬ ‫אזי‬ n = 2 ‫כי‬ ‫ונניח‬ ,Z26-‫ב‬ ‫יהיו‬ K ‫המטריצה‬
M =
1 2
7 13
:‫הוא‬ ‫שלנו‬ ‫המקור‬ ‫טקסט‬ ‫כי‬ ‫ונניח‬
rabbit
:‫הראשון‬ ‫הבלוק‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ ,‫במטריצה‬ ‫בלוק‬ ‫כל‬ ‫ונכפול‬ (ra|bb|it) 2 ‫בגודל‬ ‫של‬ ‫לבלוקים‬ ‫אותו‬ ‫נחלק‬ ‫אזי‬
M ·
r
a
= M ·
17
1
=
1 2
7 13
·
17
1
=
19
2
= tb
.tbgour :‫תהיה‬ ‫בסוף‬ ‫והתוצאה‬
‫פענוח‬ 7.2
.(...‫כמובן‬ ‫הבלוקים‬ ‫גודל‬ ‫)ואת‬ M−1 ‫את‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫פענוח‬ ‫לשם‬
:‫שלנו‬ ‫במקרה‬
M−1
=
13 2
7 25
‫במטריצה‬ ‫אותם‬ ‫ונכפול‬ (tb|go|ur) 2 ‫בגודל‬ ‫לבלוקים‬ ‫המוצפן‬ ‫הטקסט‬ ‫את‬ ‫נחלק‬ ‫פשוט‬ ‫לפענח‬ ‫ובשביל‬
.‫המקורי‬ ‫הטקסט‬ ‫את‬ ‫את‬ ‫לקבל‬ ‫כדי‬ M−1
:tb-‫מ‬ ‫נתחיל‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬
13 2
7 25
·
t
b
=
13 2
7 25
·
19
2
=
17
1
=
r
a
= ra
.rabbit :‫בסוף‬ ‫שנקבל‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬
10

11. ‫וקסור‬ 2 ‫מודולו‬ ‫חיבור‬ 8
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫ההצפנה‬ ‫מטריצת‬ ‫מציאת‬ 7.3
?‫אותה‬ ‫למצוא‬ ‫נוכל‬ ‫כיצד‬ ,M ‫מהי‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ‫ואנחנו‬ ‫נניח‬
‫גדלים‬ ‫לנסות‬ ‫צריך‬ ‫פשוט‬ ‫אזי‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ,‫הבלוקים‬ ‫גודל‬ ‫מה‬ ‫לדעת‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ .7.1 ‫הערה‬
...‫שנצליח‬ ‫עד‬ ‫שונים‬
:‫מטריצות‬ ‫שתי‬ ‫נבנה‬ ‫ולכן‬ rabb → tbgo ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬
P =
r b
a b
, C =
t g
b o
:‫ולכן‬ M · P = C ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫ואנחנו‬
M = C · P−1
‫נוכל‬ ‫שממנו‬ ‫אחר‬ ‫טקסט‬ ‫למצוא‬ ‫נצטרך‬ ,‫כזה‬ ‫במצב‬ .‫הפיכה‬ ‫אינה‬ P ‫שהמטריצה‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ .7.2 ‫הערה‬
.(‫המוצפן‬ ‫בטקסט‬ ‫להן‬ ‫המקבילות‬ ‫אותיות‬ 4-‫ו‬ ‫המקורי‬ ‫הטקסט‬ ‫של‬ ‫אותיות‬ 4) ‫הנ“ל‬ ‫המטריצות‬ ‫את‬ ‫לייצר‬
:III ‫חלק‬
u‫מודולו‬ ‫הצפנות‬U
z ‫וקסור‬ 2 ‫מודולו‬ ‫חיבור‬ .8 Z
.(2 ‫בעמוד‬ ,3.1 ‫הגדרה‬ ‫)ע“פ‬ Z2 = {0, 1}
:x, y ∈ Z2 ‫עבור‬
x + y (mod 2) = x − y (mod 2) = x ⊕ y
:x1, . . . , xk ∈ Z2 ‫משתנים‬ m ‫עבור‬ ‫נכון‬ ‫והדבר‬


X
1≤i≤m
xi

 mod 2 =
M
1≤i≤m
xi
.{0, 1}-‫ב‬ - ‫כלומר‬ ,Z2-‫ב‬ ‫הוא‬ ‫ערכה‬ ‫אשר‬ ‫אחד‬ ‫מאורך‬ ‫יחידה‬ ‫זוהי‬ ‫ביט‬ .8.1 ‫הגדרה‬
11

12. ‫זרם‬ ‫הצפנות‬ 9
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
z ‫זרם‬ ‫הצפנות‬ .9 Z
.(‫בלוקים‬ ‫להצפנת‬ ‫)בניגוד‬ ‫בנפרד‬ ‫ביט‬ ‫כל‬ ‫מצפינים‬ ‫אנחנו‬ ‫זרם‬ ‫בהצפנות‬
.m ‫אורך‬ ‫באותו‬ ‫ביטים‬ ‫של‬ ‫אוסף‬ ‫כולם‬ - c ‫המוצפן‬ ‫והטקסט‬ k ‫המפתח‬ ,p ‫המקור‬ ‫טקסט‬
:‫ההצפנה‬ ‫פונקציית‬
:1 ≤ i ≤ m ‫לכל‬
ci = e (pi) = pi ⊕ ki = pi + ki (1)
:‫הפענוח‬ ‫פונקציית‬
:1 ≤ i ≤ m ‫לכל‬
pi = d (ci) = ci ⊕ ki = ci + ki (2)
:‫כאשר‬
‫המקור‬ ‫מטקסט‬ ‫סיבית‬ ‫זאת‬ pi
‫מהמפתח‬ ‫סיבית‬ ‫זאת‬ ki
‫המוצפן‬ ‫מהטקסט‬ ‫סיבית‬ ‫זאת‬ ci
‫פונקציות‬ ‫לינארי‬ ‫הזזה‬ ‫אוגר‬-‫ו‬ ‫אקראית‬ ‫סיביות‬ ‫מחוללי‬ ‫פעמי‬-‫חד‬ ‫פנקס‬ :‫הבאות‬ ‫הזרם‬ ‫הצפנות‬ ‫בכל‬
‫זהות‬ ‫הן‬ (2) ‫והפענוח‬ (1) ‫ההצפנה‬
‫ליצור‬ ‫לנו‬ ‫כדאי‬ ‫הכי‬ ‫דרך‬ ‫באיזו‬ ,‫כלומר‬ ?‫המפתח‬ ‫את‬ ‫יוצרים‬ ‫אנחנו‬ ‫כיצד‬ ‫היא‬ ‫העיקרית‬ ‫השאלה‬ ‫כעת‬
.‫מפתח‬
(OTP) ‫פעמי‬-‫חד‬ ‫פנקס‬ 9.1
‫פעם‬ ‫רק‬ ‫במפתח‬ ‫משתמשים‬ :‫הסיבה‬ ,(!‫מושלמת‬ ‫)אפילו‬ ‫וטובה‬ ‫חזקה‬ ‫מאוד‬ ‫הצפנה‬ ‫זאת‬ ‫פעמי‬-‫חד‬ ‫פנקס‬
.‫וזהו‬ ‫אחת‬
.k0, k1, k2 . . . , km ∈ Z2 ‫סיביות‬ ‫של‬ ‫אקראית‬ ‫סדרה‬ ‫מכיל‬ ‫הפנקס‬
‫על‬ ‫דבר‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫לגלות‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ ‫המוצפן‬ ‫הטקסט‬ ,‫בפנקס‬ ‫הסיביות‬ ‫של‬ ‫האקראיות‬ ‫בגלל‬ .9.1 ‫הערה‬
.‫המקור‬ ‫טקסט‬
.‫מידע‬ ‫להעברת‬ ‫באינטרנט‬ ‫מחשבים‬ ‫לתקשורת‬ ‫בעיקר‬ ‫שימש‬ .9.2 ‫הערה‬
‫אקראיות‬ ‫סיביות‬ ‫מחוללי‬ 9.2
TNRG 9.2.1
‫שהוא‬ ‫כיוון‬ ‫לשחזר‬ ‫אפשר‬ ‫שאי‬ ‫סיביות‬ ‫מחולל‬ ‫זהו‬ - True Random Number Generator - TNRG
.‫פיזיקליות‬ ‫תופעות‬ ‫על‬ ‫מבוסס‬
PRNG 9.2.2
‫חישוב‬ ‫ידי‬-‫על‬ ‫הנוצרת‬ ‫סיביות‬ ‫של‬ ‫סדרה‬ ‫זוהי‬ - Pseudo Random Number Generator - PRNG
:‫למשל‬ ,‫ברקורסיה‬
s0 = 12
si+1 = 115si + 19 mod 312
...‫אקראיים‬ ‫לא‬ ‫הם‬ ‫כי‬ ‫מושלמת‬ ‫בטיחות‬ ‫אין‬ ‫אבל‬ ‫פעמי‬-‫החד‬ ‫מהפנקס‬ ‫לשימוש‬ ‫קלים‬ ‫יותר‬ ‫הללו‬ ‫הפתרונות‬
12

13. ‫זרם‬ ‫הצפנות‬ 9
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
LFSR ‫לינארי‬ ‫הזזה‬ ‫אוגר‬ 9.3
‫מקובל‬ .‫אקראי‬ ‫שיראה‬ ‫משהו‬ ,‫כלומר‬ - “‫אקראיות‬-‫”פסודו‬ ‫לייצר‬ ‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫שהרעיון‬ ‫בנוסחה‬ ‫מדובר‬ ‫כאן‬
.‫בטיחות‬ ‫פחות‬ ‫אך‬ ‫גבוהה‬ ‫מהירות‬ ‫דורשות‬ ‫אשר‬ - ‫בכבלים‬ ‫טלוויזיה‬ ‫כמו‬ ‫במקומות‬ ‫זה‬ ‫בצופן‬ ‫להשתמש‬
:‫למשל‬ ,‫נסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫שישנה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
zn+5 = z2 + z4 mod 2
‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ 9.3.1
:‫ערכים‬ m ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫עבור‬
‫התחלתיים‬ ‫ערכים‬ z1, . . . , zm
.‫מקדמים‬ c0, . . . , cm−1-‫ו‬
(Z2-‫ב‬ ‫כמובן‬ ‫הם‬ ‫הנתונים‬ ‫)כל‬
Zm+n = c0zn + c1zn+1 + · · · + cm−1zn+m−1 mod 2
.‫בסדרה‬ ‫הבאות‬ ‫הסיביות‬ ‫את‬ ‫מחשבים‬ ‫שאנחנו‬ ‫היא‬ zn-‫ב‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבגללה‬ ‫הסיבה‬
‫הצופן‬ ‫של‬ ‫תכונות‬ 9.3.2
‫את‬ ‫לאתר‬ ‫כדי‬ ‫סיביות‬ 2m ‫צריך‬ m ‫באורך‬ ‫מפתח‬ ‫עבור‬ :‫נמוכה‬ ‫בטיחות‬ ‫עם‬ ‫אבל‬ .‫מהיר‬ ‫מאוד‬ ‫הוא‬
.(‫בהמשך‬ ‫נראה‬ ‫הדרך‬ ‫)את‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬
‫מחזור‬ ‫לנו‬ ‫לייצר‬ ‫יכולה‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ,‫נסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫שיש‬ ‫בגלל‬ ,‫כלומר‬ .‫מחזורי‬ ‫במשהו‬ ‫מדובר‬ .9.3 ‫הערה‬
100110 . . .
| {z }
2m−1
100110 . . .
| {z }
2m−1
:‫עצמן‬ ‫על‬ ‫לחזור‬ ‫יתחילו‬ ‫כבר‬ ‫הסיביות‬ - ‫זה‬ ‫אחרי‬ ,‫)כלומר‬ ‫ביטים‬ 2m − 1 ‫עד‬
.‫יותר‬ ‫קטנה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫שהמחזוריות‬ ‫כמובן‬ -
‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫מציאת‬ 9.3.3
‫חלק‬ ‫או‬ ‫המוצפן‬ ‫מהטקסט‬ ‫חלק‬ + ‫המקורית‬ ‫מההודעה‬ ‫חלק‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫מציאת‬ ‫לשם‬
.‫יוצר‬ ‫שהאוגר‬ ‫מהסדרה‬
‫מטקסט‬ ‫סיבית‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫אם‬ (1) ‫זרם‬ ‫להצפנת‬ ‫ובנוסחה‬ 2 ‫מודולו‬ ‫בחיבור‬ ‫שראינו‬ ‫שכמו‬ ‫היא‬ ‫לכך‬ ‫הסיבה‬
ki ‫מהמפתח‬ ‫סיבית‬ ‫אליה‬ ‫חיברנו‬ ‫אליה‬ ‫להגיע‬ ‫כדי‬ ‫אזי‬ ci ‫המוצפן‬ ‫מהטקסט‬ ‫וסיבית‬ pi ‫למשל‬ ,‫המקור‬
:‫אבל‬ ,(‫יודעים‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫כרגע‬ ‫)שאותה‬
pi + ki = ci
m
ki = ci − pi = ci + pi
.‫הנתונות‬ ‫הסיביות‬ ‫לשאר‬ ‫לעשות‬ ‫נוכל‬ ‫וכך‬
‫המפתח‬ ‫של‬ ‫סיביות‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫אחרי‬ ‫לכן‬ .‫מחזורי‬ ‫במשהו‬ ‫מדובר‬ 9.3 ‫בהערה‬ ‫שנכתב‬ ‫כפי‬ ,‫כעת‬
.‫שנרצה‬ ‫אורך‬ ‫באיזה‬ ‫המפתח‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫נוכל‬ ‫וככה‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫את‬ ‫לשחזר‬ ‫לנסות‬ ‫נוכל‬
13

14. ‫זרם‬ ‫הצפנות‬ 9
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫מבנה‬ 9.3.4
:‫פשוטה‬ ‫דוגמה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫עובדת‬ ‫היא‬ ‫איך‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬
zn+3 = zn + zn+2
‫והספרה‬ 0-‫ה‬ ‫הספרה‬ ‫היא‬ ‫הראשון‬ ‫במקום‬ ‫הספרה‬ ,‫כלומר‬ ,0-‫מ‬ ‫מתחילים‬ ‫שאנחנו‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 1-‫ה‬ ‫הספרה‬ ‫היא‬ ‫השני‬ ‫במקום‬
!mod2 ‫הם‬ ‫החיבורים‬ ‫כל‬ - ‫וכמובן‬
‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫ולכן‬ ,‫ואילך‬ ‫הרביעית‬ ‫הסיבית‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫נוכל‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ .m = 3 :‫הנ“ל‬ ‫במקרה‬
:‫הם‬ ‫המקדמים‬ .(‫המינימום‬ ‫זה‬ 3 ‫אבל‬ ,‫כמובן‬ ‫יותר‬ ‫גם‬ ‫)אפשר‬ ‫לפחות‬ ‫התחלה‬ ‫בתור‬ ‫סיביות‬ 3 ‫לנו‬ ‫שיהיו‬
‫היא‬ zn+3 ,‫הרביעית‬ ‫הספרה‬ ‫אזי‬ ,010 :‫הן‬ ‫לנו‬ ‫שנתונות‬ ‫והספרות‬ ‫נניח‬ .c0 = 1, c1 = 0, c1 = 1
:‫והשלישית‬ ‫הראשונה‬ ‫הספרה‬ ‫סכום‬ ‫כלומר‬ - zn + zn+2 ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫של‬ ‫הספרה‬
‫הספרות‬ ‫אלו‬ ‫התחתון‬ ‫הקו‬ ‫עם‬ ‫והספרות‬ ,‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫באמצעות‬ ‫שמצאנו‬ ‫הספרות‬ ‫הוא‬ ‫הכחול‬ ‫הטקסט‬
:‫מחברים‬ ‫אנחנו‬ ‫שאותן‬
.(‫הרביעי‬ ‫במקום‬ ‫הספרה‬ ,‫)כלומר‬ z3 ‫הספרה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫נוכל‬ ,n = 0 ‫עבור‬
:z3 = z0 + z2
010 −→ 0100
:n = 1 ‫עבור‬
:z4 = z1 + z3
0100 −→ 01001
:n = 2 ‫עבור‬
:z5 = z2 + z4
01001 −→ 010011
....‫הלאה‬ ‫וכך‬
:‫למשל‬ ,‫מחוברים‬ ‫משני‬ ‫יותר‬ ‫להיות‬ ‫שיכולים‬ ‫וכמובן‬
Zn+6 = zn+2 + zn+4 + zn+5
‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫מציאת‬ 9.3.5
:‫הכללית‬ ‫הנוסחה‬ ‫זאת‬ - ‫למעלה‬ ‫שהוזכר‬ ‫כמו‬
Zm+n = c0zn + c1zn+1 + · · · + cm−1zn+m−1 mod 2
14

15. ‫זרם‬ ‫הצפנות‬ 9
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
c0, . . . , cm−1 :‫המקדמים‬ ‫את‬ ‫ולמצוא‬ m ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫היא‬ ‫שלנו‬ ‫המטרה‬ ,‫ביטים‬ ‫סדרת‬ ‫בהינתן‬
:‫משוואות‬ ‫באמצעות‬ ‫היא‬ ‫לפתור‬ ‫הדרך‬ ,‫מסוים‬ m ‫עבור‬





z1 z2 · · · zm
z2 z3 · · · zm+1
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
zm zm+1 · · · z2m−1





| {z }
M
·





c0
c1
.
.
.
cm−1





=





zm+1
zm+2
.
.
.
z2m





:‫אזי‬ abcdefghi :‫היא‬ ‫שלנו‬ ‫הסיביות‬ ‫סדרת‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬
:m = 2 ‫עבור‬
a b
b c
| {z }
M
c0
c1
=
c
d
:m = 3 ‫עבור‬


a b c
b c d
c d e


| {z }
M


c0
c1
c2

 =


d
e
f


.‫הלאה‬ ‫וכך‬
.‫המקדמים‬ ‫שאלו‬ c0, c1, . . .-‫ל‬ (‫הביטים‬ ‫)אחד‬ c ‫בין‬ ‫הבדל‬ ‫שיש‬ ‫כמובן‬
.‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫הספרות‬ ‫סדרת‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫שנותנת‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫את‬ ‫שמוצאים‬ ‫עד‬ ‫אחר‬ m ‫מנסים‬ ‫פעם‬ ‫כל‬
:m ‫כל‬ ‫עבור‬
‫אם‬ - det (M) mod 2 ‫השמאלית‬ ‫המטריצה‬ ‫של‬ ‫הדטרמיננטה‬ ‫את‬ ‫מחשבים‬ ‫אנחנו‬ .1
.2-‫ל‬ ‫וממשיכים‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ det (M) 6= 0
.m + 1-‫ל‬ ‫עוברים‬ - ‫אחרת‬
‫ספרות‬ ‫לייצר‬ ‫וממשיכים‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫את‬ ‫ומקבלים‬ ‫המשוואות‬ ‫מערכת‬ ‫את‬ ‫פותרים‬ .2
.‫פיה‬-‫על‬
!‫סיימנו‬ - ‫במקור‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שהייתה‬ ‫לסדרה‬ ‫הגענו‬ ‫אם‬ .2.1
.m + 1-‫ל‬ ‫עוברים‬ - ‫אחרת‬ .2.2
‫דוגמה‬ 9.3.6
1001001 :‫הבאה‬ ‫הסדרה‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬
k ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ - ‫כללי‬ ‫)ובאופן‬ m 2 ‫כי‬ ‫בוודאות‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ,‫אפסים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫רצף‬ ‫שיש‬ ‫בגלל‬ ,‫אזי‬
.(‫בהכרח‬ m k ‫אזי‬ ,‫הנתונה‬ ‫בסדרה‬ ‫אפסים‬
:m = 3
15

16. ‫זרם‬ ‫הצפנות‬ 9
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =


1 0 0
0 0 1
0 1 0




c0
c1
c2

 =


1
0
0


:‫למשוואות‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ‫ולכן‬ det (M) = 1
c0 = 1
c1 = 0
c2 = 0
.(c0·1+c1·0+c2·0 :‫הראשונה‬ ‫השורה‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ ,‫במטריצה‬ ‫שורה‬ ‫בכל‬ ‫המקדמים‬ ‫וקטור‬ ‫את‬ ‫)הכפלנו‬
:‫היא‬ ‫שקיבלנו‬ ‫הנסיגה‬ ‫ונוסחת‬
zn+3 = zn
.(9.3.4) ‫כאן‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬ ‫פותרים‬ ‫ועכשיו‬
:‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬
1001 → 10010 → 100100 → 1001001
.‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫שזאת‬ ‫מכאן‬ .‫שבהתחלה‬ ‫הספרות‬ ‫את‬ ‫קיבלנו‬ ‫ואכן‬
‫ממשיכים‬ ‫היינו‬ ‫אזי‬ - det (M) = 1-‫ש‬ ‫או‬ ,‫לנו‬ ‫שנתון‬ ‫ממה‬ ‫אחרות‬ ‫ספרות‬ ‫למשל‬ ‫מקבלים‬ ‫היינו‬ ‫אם‬
.m + 1-‫ל‬
16

17. ‫פריק‬ ‫הוא‬ n ‫מספר‬ ‫האם‬ ‫בדיקת‬ 11
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
z ‫בלוקים‬ ‫הצפנת‬ .10 Z
‫בלוקים‬ ‫מצפינים‬ ‫אנחנו‬ ‫ביט‬-‫ביט‬ ‫להצפין‬ ‫במקום‬ ‫שכאן‬ ‫רק‬ ,‫זרם‬ ‫להצפנת‬ ‫דומה‬ ‫בלוקים‬ ‫בהצפנת‬ ‫הרעיון‬
.‫התוצאה‬ ‫על‬ ‫משפיע‬ ‫משמאוד‬ ‫מה‬ ,‫ביטים‬ ‫של‬
AES 10.1
‫על‬ ‫שעובדת‬ ‫וחזקה‬ ‫נפוצה‬ ‫הצפנה‬ ‫שיטת‬ ‫זוהי‬ - Advanced Encryption Standart - AES ‫הצפנת‬
:‫הבאים‬ ‫הגדלים‬ ‫באחד‬ ‫הוא‬ ‫המפתח‬ .‫סיביות‬ 128 ‫בגודל‬ ‫בלוקים‬
.128, 192, 256
:‫שלבים‬ ‫ארבעה‬ ‫כוללת‬ AES-‫ה‬ ‫הצפנת‬
.4 × 4 ‫מטריצה‬ ‫בתוך‬ ‫נמצאים‬ ‫ביטים‬ 16 ‫כל‬ ,‫ביטים‬ 16 ‫של‬ ‫לחלקים‬ ‫הנתונים‬ ‫את‬ ‫מחלקים‬ ‫כל‬ ‫ראשית‬
.‫מסוימת‬ ‫טבלה‬ ‫ע“פ‬ ‫אחר‬ ‫בבית‬ ‫מוחלף‬ ‫ביט‬ ‫כל‬ - ‫בתים‬ ‫החלפת‬ ‫תיבות‬ .1
,‫שהיא‬ ‫כמו‬ ‫נשארת‬ ‫הראשונה‬ ‫השורה‬ :‫מסובבת‬ ‫ההחלפה‬ ‫אחרי‬ ‫המטריצה‬ - ‫המטריצה‬ ‫סיבוב‬ .2
‫שמאלה‬ ‫תאים‬ ‫שני‬ ‫זז‬ ‫תא‬ ‫כל‬ ‫השלישית‬ ‫בשורה‬ ,‫ימני‬ ‫אחד‬ ‫מקום‬ ‫זז‬ ‫תא‬ ‫כל‬ - ‫השנייה‬ ‫בשורה‬
:‫שמאלה‬ ‫תאים‬ ‫שלושה‬ ‫זז‬ ‫תא‬ ‫כל‬ ‫השלישית‬ ‫ובשורה‬
.‫חדשים‬ ‫לביטים‬ ‫ומומרת‬ 4×4 ‫מסדר‬ ‫במטריצה‬ ‫כפל‬ ‫עוברת‬ ‫עמודה‬ ‫כל‬ - ‫המטריצה‬ ‫עמודות‬ ‫שינוי‬ .3
‫עמודה‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫עובד‬ ‫אשר‬ ‫הכללי‬ ‫מהמפתח‬ ‫הנבנה‬ ‫מפתח‬ ‫יש‬ ‫סיבית‬ ‫לכל‬ - ‫המפתח‬ ‫של‬ ‫תוספת‬ .4
.‫בנפרד‬
‫בלוקים‬ ‫צפני‬ ‫של‬ ‫סדרה‬ ‫הצפנת‬ 10.2
‫בדיוק‬ ?‫בלוקים‬ ‫של‬ ‫סדרה‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫קורה‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ,‫בלוק‬ ‫להצפין‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ ‫ראינו‬ AES-‫ב‬ ‫מקודם‬
.‫הבאה‬ ‫ההצפנות‬ ‫סדרת‬ ‫באה‬ ‫זה‬ ‫בשביל‬
:IV ‫חלק‬
uRSAU
‫תחילה‬ ‫נצטרך‬ ‫עובד‬ ‫הוא‬ ‫וכיצד‬ (Rivest–Shamir–Adleman) RSA-‫ה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬
.‫פריק‬ ‫או‬ ‫ראשוני‬ ‫הוא‬ ‫מספר‬ ‫האם‬ ‫לבדיקה‬ ‫שיטות‬ ‫להכיר‬
z ‫פריק‬ ‫הוא‬ n ‫מספר‬ ‫האם‬ ‫בדיקת‬ .11 Z
.N-‫ב‬ ‫מספרים‬ ‫על‬ ‫רק‬ ‫שמדובר‬ ‫כמובן‬
17

18. ‫פריק‬ ‫הוא‬ n ‫מספר‬ ‫האם‬ ‫בדיקת‬ 11
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫אוילר‬ ‫משפט‬ 11.1
.(gcd (a, n) = 1 ‫ולכן‬ ,‫זרים‬ ‫מספרים‬ ‫הם‬ a, n :‫)כלומר‬ a ∈ Z∗
n ‫ויהי‬ n ∈ N ‫יהי‬
:‫אזי‬
aφ(n)
≡ 1 (mod n)
.‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ ‫זאת‬ φ (n) ‫כאשר‬
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ 11.2
:‫ואז‬ ,‫ראשוני‬ n ‫שבו‬ ‫אוילר‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ ‫זהו‬
:1 ≤ a n ‫לכל‬ ,‫ולכן‬ ,φ (n) = n − 1
an−1
≡ 1 (mod n)
‫מספר‬ ‫ניקח‬ ‫פשוט‬ ,‫ראשוני‬ ‫הוא‬ p ∈ N ‫אם‬ ‫לדעת‬ ‫בשביל‬ ‫כי‬ ,“‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫ש”פתרנו‬ ‫לומר‬ ‫אפשר‬ ,‫עכשיו‬
:‫האם‬ ‫ונבדוק‬ 1 a p ‫כלשהו‬
ap−1
≡ 1 (mod p)
.(1.5) ‫פריק‬ ‫הוא‬ - ‫לא‬ ‫אם‬ ,(1.4) ‫ראשוני‬ ‫הוא‬ - ‫כן‬ ‫אם‬
‫קריימקל‬ ‫מספרי‬ ‫נקראים‬ ‫אלו‬ .‫פרמה‬ ‫משפט‬ ‫מתקיים‬ ‫ושעבורם‬ ‫ראשוניים‬ ‫אינם‬ ‫שהם‬ ‫מספרים‬ ‫נמצאו‬ ‫אבל‬
.‫אחרת‬ ‫בדיקה‬ ‫וצריך‬ ‫לנו‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫פרמה‬ ‫משפט‬ ‫לכן‬
18

19. ‫פריק‬ ‫הוא‬ n ‫מספר‬ ‫האם‬ ‫בדיקת‬ 11
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫מילר‬-‫רבין‬ ‫אלגוריתם‬ 11.3
‫הכללי‬ ‫הרעיון‬ 11.3.1
- n ‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫מחפשים‬ ,n ∈ N ‫עבור‬
‫העד‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫שישנו‬ ‫שמוצאים‬ ‫)או‬ ‫כזה‬ ‫עד‬ ‫מוצאים‬ ‫אם‬
.‫פריק‬ ‫בוודאות‬ ‫המספר‬ ‫אזי‬ - (‫עצמו‬
‫זה‬ ‫)אבל‬ ‫ראשוני‬ ‫המספר‬ ‫כי‬ ‫מכריזים‬ ‫אז‬ - ‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫מוצאים‬ ‫לא‬ ‫אם‬
.(3
4 ‫בהסתברות‬ ‫נכון‬
:‫אלגוריתמים‬ ‫לשני‬ ‫מתחלק‬ ‫עצמו‬ ‫האלגוריתם‬
?‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫הוא‬ a ‫האם‬ - a n ‫עבור‬ - ‫הראשון‬
.‫פריק‬ ‫או‬ ‫ראשוני‬ ‫הוא‬ n ‫האם‬ - ‫השני‬
a ‫בסיס‬ ‫על‬ ‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫מציאת‬ 11.3.2
‫לכן‬ ,(‫פרמה‬ ‫)משפט‬ an−1 ≡ 1 (mod n) ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫זרים‬ a, n ‫עבור‬ ‫מקודם‬ ‫שראינו‬ ‫כפי‬
:‫הוא‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬
‫כי‬ r = 7, j = 2 :‫ולכן‬ n − 1 = 28 ‫אזי‬ n = 29 ‫עבור‬ ,‫)למשל‬ n − 1 = r · 2j :‫ש‬ ‫כך‬ r, j ‫למצוא‬
.(28 = 7 · 22
n ‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫הוא‬ a ‫האם‬ 1 ‫אלגוריתם‬
.a n-‫ש‬ ‫כך‬ a, n ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫זוג‬ :‫קלט‬
.‫אותו‬ ‫גם‬ ‫מחזיר‬ ‫האלגוריתם‬ ‫אזי‬ - ‫המחלק‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫וניתן‬ ‫כן‬ ‫ואם‬ n ‫לפריקות‬ ‫עד‬ a ‫האם‬ :‫פלט‬
.n − 1 = r · 2j :‫ש‬ ‫כך‬ r, j ‫מוצאים‬ .1
.b0 = ar (mod n) .2
‫ייתנו‬ ‫באלגוריתם‬ ‫הבאים‬ ‫השלבים‬ ‫)כל‬ ‫ראשוני‬ ‫כנראה‬ n ‫כי‬ ‫החזר‬ ‫אזי‬ - b0 ≡ ±1 (mod n) ‫אם‬ .3
.(‫להמשיך‬ ‫טעם‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ ,‫תוצאה‬ ‫אותה‬ ‫את‬
:i = j − 1 ‫עד‬ i = 1 ‫עבור‬ .4
.bi = b2
i−1 (mod n) .4.1
.‫לפריקות‬ ‫העד‬ ‫בתור‬ bi−1 ‫ואת‬ ‫פריק‬ n ‫המספר‬ ‫כי‬ ‫החזר‬ - bi ≡ 1 (mod n) .4.2
.‫ראשוני‬ ‫כנראה‬ n ‫המספר‬ ‫כי‬ ‫החזר‬ - bi ≡ −1 (mod n) .4.3
ar·2j
= an−1 6≡ 1 (mod n)-‫ש‬ ‫למצב‬ ‫שהגענו‬ ‫הוא‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ‫)כי‬ .(‫עד‬ ‫)ללא‬ ‫פריק‬ n ‫כי‬ ‫החזר‬ .5
.(‫ראשוני‬ ‫אינו‬ ‫המספר‬ ‫פרמה‬ ‫ע“פ‬ ‫ולכן‬
‫מילר‬-‫רבין‬ ‫אלגוריתם‬ 11.3.3
.W (a, n) ‫בתור‬ (n ‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫הוא‬ a ‫)האם‬ ‫הקודם‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬
19

20. RSA-‫ה‬ ‫אלגוריתם‬ 12
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫מילר‬-‫רבין‬ ‫אלגוריתם‬ 2 ‫אלגוריתם‬
.n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ :‫קלט‬
.‫לפריקות‬ ‫עד‬ ‫גם‬ ‫מוצא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ואם‬ ,‫ראשוני‬ ‫הוא‬ ‫המספר‬ ‫האם‬ :‫פלט‬
.(a ‫את‬ ‫לבחור‬ ‫שנרצה‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ,‫מוגרל‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫)לא‬ 1 a n ‫מספר‬ ‫הגרל‬ .1
.‫פריק‬ n ‫כי‬ ‫אומר‬ W (a, n) ‫האם‬ ‫בדוק‬ .2
.(‫לפריקות‬ ‫העד‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫ישנו‬ ‫)ואם‬ ‫פריק‬ n ‫כי‬ ‫החזר‬ - ‫כן‬ ‫אם‬ .2.1
.‫ראשוני‬ ‫כנראה‬ ‫המספר‬ ‫כי‬ ‫והחזר‬ ‫סיים‬ ‫או‬ 1-‫ל‬ ‫חזור‬ - ‫אחרת‬ .2.2
.n ‫את‬ ‫לפרק‬ ‫ניתן‬ ‫וכך‬ gcd (w, n) 6= 1 ‫אזי‬ ,w ‫עד‬ ‫לנו‬ ‫מחזיר‬ ‫שהאלגוריתם‬ ‫ברגע‬
z RSA-‫ה‬ ‫אלגוריתם‬ .12 Z
.‫שלו‬ ‫המפתח‬ ‫את‬ ‫יש‬ ‫מהצדדים‬ ‫אחד‬ ‫לכל‬ ‫כלומר‬ ,‫אסימטרית‬ ‫בצורה‬ ‫עובד‬ RSA ‫ההצפנה‬ ‫אלגוריתם‬
‫המפתח‬ ‫בניית‬ 12.1
:‫את‬ ‫ומחשבים‬ ,(‫גדולים‬ ‫)עדיף‬ ‫ראושניים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫מוצאים‬
.n = p · q .1
.(‫אוילר‬ ‫פונקציית‬ ‫זאת‬ φ (n) ‫)כאשר‬ φ (n) = (p − 1) · (q − 1) .2
.gcd (e, φ (n)) = 1 ,‫כלומר‬ ,‫זרים‬ e, φ (n)-‫ו‬ 1 e φ (n)-‫ש‬ ‫כך‬ e ‫מוצאים‬ .3
. d = e−1 (mod φ (n)) :‫מחשבים‬ .4
.(‫מפרסמים‬ ‫אנחנו‬ ‫זה‬ ‫)את‬ Kpub = (n, e) :‫הציבורי‬ ‫המפתח‬
.(‫בסוד‬ ‫שומרים‬ ‫אנחנו‬ ‫זה‬ ‫)את‬ Kpr = d :‫הפרטי‬ ‫המפתח‬
‫ההודעה‬ ‫הצפנה‬ 12.2
:‫אזי‬ ,1 x n ‫כאשר‬ ,x ‫היא‬ ‫להצפין‬ ‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫וההודעה‬ ‫נניח‬
y = E (x) = xe
(mod n)
(n, e) ‫שלו‬ ‫הציבורי‬ ‫המפתח‬ ‫על‬ ‫מסתכל‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ,‫לבני‬ x ‫ההודעה‬ ‫את‬ ‫לשלוח‬ ‫רוצה‬ ‫אפרת‬ ‫אם‬ :‫נזכיר‬
.x ‫את‬ ‫מצפינה‬ ‫וכך‬
‫ההודעה‬ ‫פענוח‬ 12.3
:‫זה‬ ‫לעשות‬ ‫צריך‬ ‫שהוא‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫לשם‬ ,(y) ‫לו‬ ‫שלחה‬ ‫שאפרת‬ ‫ההודעה‬ ‫את‬ ‫לפענח‬ ‫רוצה‬ ‫בני‬
D (y) = yd
(mod n) = x
20

21. RSA-‫ה‬ ‫אלגוריתם‬ 12
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫הסיני‬ ‫השאריות‬ ‫משפט‬ ‫בעזרת‬ ‫פענוח‬ 12.3.1
:‫הכנות‬ ‫של‬ ‫חישובים‬ ‫בכמה‬ ‫מתחילים‬
.n = p · q ‫כאשר‬ xd (mod n) ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬
:‫מחשבים‬
:p ‫עבור‬ .1
.Mp ≡ q · q−1 (mod p)
.1.1
.dp ≡ d (mod p − 1) .1.2
.xp ≡ x (mod p) .1.3
.yp ≡ x
dp
p (mod p) .1.4
:q ‫עבור‬ .2
.Mq ≡ p · p−1 (mod q)
.2.1
.dq ≡ d (mod q − 1) .2.2
.xq ≡ x (mod q) .2.3
.yq ≡ x
dq
q (mod q) .2.4
:‫מחשבים‬ ‫ואז‬
xd
≡ yp · Mp + yq · Mq (mod n)
‫החישובים‬ ‫בביצוע‬ ‫לנו‬ ‫שעוזרים‬ ‫כלים‬ 12.4
(‫הופכי‬ ‫וחישוב‬ ‫בחזקה‬ ‫)העלה‬ ‫אלגוריתמים‬ ‫שני‬ ‫ישנם‬ ‫ביעילות‬ ‫החישובים‬ ‫את‬ ‫לעשות‬ ‫שנוכל‬ ‫בשביל‬
.‫וקל‬ ‫מהיר‬ ‫יותר‬ ‫שלהם‬ ‫שהחישוב‬
‫בחזקה‬ ‫להעלאה‬ ‫אלגוריתם‬ 12.4.1
‫כך‬ ‫לשם‬ ,‫זמן‬ ‫המון‬ ‫לקחת‬ ‫יכול‬ ‫בחזקה‬ ‫שהעלה‬ ‫הבעיה‬ ‫אבל‬ ,ab (mod n) ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫נרצה‬ ‫פעמים‬ ‫המון‬
:‫הבא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫יש‬
‫בחזקה‬ ‫העלאה‬ ‫אלגוריתם‬ 3 ‫אלגוריתם‬
.x, c, n ∈ N :‫קלט‬
.xc (mod n) :‫פלט‬
‫הסיפרה‬ ‫זאת‬ c0-‫ו‬ ‫שמאלית‬ ‫הכי‬ ‫הסיפרה‬ ‫זאת‬ ct ‫כאשר‬ ,‫בינארית‬ ‫לצורה‬ (‫)החזקה‬ c ‫את‬ ‫ממירים‬ .1
.‫ימנית‬ ‫הכי‬
.z = 1 .2
:i = 0 ‫עד‬ i = t ‫עבור‬ .3
.z2 (mod n) → z .3.1
z · x (mod n) → z ‫אזי‬ ci = 1 ‫אם‬ .3.2
.‫וסיים‬ z ‫את‬ ‫החזר‬ .4
21

22. RSA-‫ה‬ ‫אלגוריתם‬ 12
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
: 310 mod 5 ‫את‬ ‫נחשב‬ .12.1 ‫דוגמה‬
1010 ‫זה‬ ‫בבינארית‬ 10
:‫ולכן‬
:31010 mod 5 ‫את‬ ‫נחשב‬
.1010
−
−
→ :‫הבא‬ ‫בסדר‬ ‫לספרות‬ ‫בהתאם‬ ‫בחזקה‬ ‫ההעלאה‬ ‫את‬ ‫נחשב‬ ‫אנחנו‬ ,‫לכן‬
.z = 3 :‫ונקבל‬ 3-‫ב‬ ‫נכפול‬ ‫ואז‬ ,z = 1 :‫ונקבל‬ ‫בריבוע‬ ‫אותו‬ ‫נעלה‬ ,z = 1 ‫בהתחלה‬
.z = 32 mod 5 = 4 :‫ולכן‬ ,0 ‫רק‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫מכן‬ ‫לאחר‬
.3 ‫קיבלנו‬ .3-‫ב‬ ‫נכפיל‬ ‫ואז‬ z = 42 mod 5 = 1 :‫בריבוע‬ z ‫את‬ ‫נעלה‬ ‫לכן‬ - 1 ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫מכן‬ ‫לאחר‬
,z = 32 mod 5 = 4 :‫בריבוע‬ z ‫זה‬ ‫את‬ ‫נעלה‬ ‫לכן‬ - 0 ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫לבסוף‬
.310 mod 5 = 4 :‫הסופית‬ ‫התוצאה‬ ‫וזאת‬
‫דורשים‬ ‫שהם‬ ‫כך‬ ‫אחדות‬ ‫מעט‬ ‫בהם‬ ‫שיש‬ (10001)2 17 ‫או‬ (11)2 3 ‫כמו‬ ‫מספרים‬ ‫נעדיף‬ .12.2 ‫הערה‬
.(3.2 ‫)שלב‬ ‫כפל‬ ‫פעמים‬ ‫מעט‬
‫ההופכי‬ ‫חישוב‬ 12.4.2
.‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫עלינו‬ ‫המפתח‬ ‫בבניית‬ ,‫שראינו‬ ‫כמו‬
“‫”לחלק‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬ x n-‫ש‬ ‫כך‬ x, n ∈ N :‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ ‫ושארית‬ ‫מנה‬ ‫עם‬ ‫חלוקה‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ x-‫ב‬ n ‫את‬
n = qx + r
.‫המנה‬ ‫זאת‬ - q ‫כאשר‬
.(0 ≤ r ≤ n − 1) ‫השארית‬ ‫זאת‬ - r-‫ו‬
.2 ‫היא‬ ‫והשארית‬ 4 ‫היא‬ ‫המנה‬ ‫אזי‬ ,14 = 4 · 3 + 2 :3-‫ב‬ 14 ‫נחלק‬ .12.3 ‫דוגמה‬
.0 ‫היא‬ ‫והשארית‬ 1 ‫היא‬ ‫המנה‬ ,22 = 1 · 21 + 0 :21-‫ב‬ 22 ‫נחלק‬ .12.4 ‫דוגמה‬
‫את‬ ‫לחשב‬ ‫נרצה‬ a, b ∈ N ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬ gcd ‫למציאת‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫המורחב‬ ‫האלגוריתם‬
:‫הבא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ gcd (a, b)
gcd-‫ה‬ ‫לחישוב‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫המורחב‬ ‫האלגוריתם‬ 4 ‫אלגוריתם‬
.(a b ‫כי‬ ‫)ונניח‬ a, b ∈ N :‫קלט‬
.d = gcd (a, b) :‫פלט‬
.a = q · b + r :‫ש‬ ‫כך‬ ‫שארית‬ ‫עם‬ b-‫ב‬ a ‫את‬ ‫חלק‬ .1
:r 0 ‫עוד‬ ‫כל‬ .2
.b → a .2.1
.r → b .2.2
.1-‫ל‬ ‫חזור‬ .2.3
.b ‫את‬ ‫החזר‬ .3
22

23. RSA ‫על‬ ‫התקפות‬ 13
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
s, t .s · a + t · b = d-‫ש‬ ‫כך‬ s, t ∈ Z ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫קיימים‬ ‫אזי‬ d = gcd (a, b) ‫אם‬ ‫בז'ו‬ ‫מקדמי‬
.‫בז'ו‬ ‫מקדמי‬ ‫נקראים‬
‫של‬ ‫המורחב‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫כלשהם‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫על‬ ‫להפעיל‬ ‫נצטרך‬ ‫אותם‬ ‫למצוא‬ ‫איך‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬
.‫אוקלידס‬
.a = 22, b = 17 ‫ניקח‬
i a b qi
0 22 17 1 22 = 1 · 17 + 5
1 17 5 3 17 = 3 · 5 + 2
2 5 2 2 5 = 2 · 2 + 1
3 2 1 0
.‫אותו‬ ‫ונחזיר‬ ‫נעצור‬ ‫ולכן‬ ,b = 1, r3 = 0 :3 ‫מספר‬ ‫באיטרציה‬ ‫כי‬ 1 ‫את‬ ‫ונחזיר‬
.1, 3, 2 :qi :‫המנה‬ ‫של‬ ‫לסדרה‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫כעת‬
:‫הבאות‬ ‫הנוסחאות‬ ‫ע“פ‬ ‫בז'ו‬ ‫מקדמי‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫ניתן‬
.t0, t2, . . . , tm ‫ואת‬ s0, s1, . . . , sm :‫מחשבים‬
2 ≤ i ≤ m ‫עבור‬
s0 = 0, s1 = 1,si = −qi−1 · si−1 + si−2
t0 = 1, t1 = 0,ti = −qi−1 · ti−1 + ti−2
:‫ולבסוף‬
sma + tmb = rm = gcd (a, b)
.‫ההופכי‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫ובאמצעותם‬ ‫בזו‬ ‫מקדמי‬ ‫הם‬ ‫אלו‬ sm, tm ‫כאשר‬
?‫כיצד‬
‫שנעשה‬ ‫מה‬ ‫אזי‬ ,(gcd (3, 7) = 1 ‫כי‬ ‫הופכי‬ ‫)וישנו‬ 3 (mod 7) ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬ ‫נניח‬
:‫למעלה‬ ‫מתואר‬ ‫שנפעל‬ ‫הוא‬
:‫משוואה‬ ‫נקבל‬
s · 3 + t · 7 = 1
.‫בז'ו‬ ‫מקדמי‬ ‫הם‬ s, t ‫כאשר‬
s · 3 = 1 − t · 7
.Z7-‫ב‬ 3 ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ s-‫ה‬ ‫ולכן‬
z RSA ‫על‬ ‫התקפות‬ .13 Z
:‫כלומר‬ ,p, q :‫ראשונים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫הוא‬ n-‫ש‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬
n = p · q
23

24. RSA ‫על‬ ‫התקפות‬ 13
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
.‫הללו‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫היא‬ ‫שלנו‬ ‫המטרה‬ ,‫לכן‬
(17 ‫)בעמוד‬ ‫פריק‬ ‫הוא‬ n ‫מספר‬ ‫האם‬ ‫בדיקת‬ :‫ראשוניות‬ ‫בבדיקת‬ ‫להשתמש‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ ‫כל‬ ‫ראשית‬
.‫ראשוני‬ ‫במספר‬ ‫מדובר‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬ ‫כדי‬
.p, q ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫דרכים‬ ‫מספר‬ ‫ישנן‬ - ‫ראשוני‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫שמצאנו‬ ‫בהנחה‬
‫לגורמים‬ ‫פירוק‬ 13.1
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הפירוק‬ 13.1.1
.n = (x + y) (x − y) :‫פירוק‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ n = x2 − y2 ‫אם‬
.y =
√
x2 − n ‫כאשר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ y-‫ש‬ ‫כך‬ x ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ ‫לכן‬
.1-‫ב‬ x ‫את‬ ‫מעלים‬ ‫פעם‬ ‫וכל‬ x = d
√
ne-‫מ‬ ‫מתחילים‬
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הפירוק‬ ‫אלגוריתם‬ 5 ‫אלגוריתם‬
.n ∈ N+ :‫קלט‬
.(x + y) (x − y) = n :‫ש‬ ‫כך‬ x, y ∈ N+ :‫פלט‬
.x = d
√
ne ‫את‬ ‫חשב‬ .1
:‫שלם‬ ‫אינו‬
√
x2 − n ‫עוד‬ ‫כל‬ .2
x + 1 → x .2.1
.y =
√
x2 − n .3
.‫וסיים‬ (x + y) , (x − y) :‫החזר‬ .4
‫פולארד‬ ‫של‬ p − 1 13.1.2
:‫הרעיון‬
:p − 1 | m-‫ש‬ ‫כך‬ m ‫שלכל‬ ‫כך‬ m ‫לכל‬ ,ap−1 ≡ 1 :a ∈ Zp ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬ ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬
.am ≡ 1
:‫אזי‬ p − 1 = 6-‫ו‬ ,p = 7 ‫על‬ ‫נסתכל‬ .13.1 ‫דוגמה‬
36
≡ 1 (mod 7) ⇒ 318
≡ 1 (mod 7)
.6 | 18-‫ו‬
.p − 1 = 70 = 2 · 5 · 7 ‫אזי‬ p = 71 ‫אם‬ :‫למשל‬ ‫קטנים‬ ‫לראשוניים‬ ‫מתחלק‬ p − 1 ‫אם‬ ‫כעת‬
.p − 1 | 7! :‫ולכן‬
ak! ≡ 1 (mod p)-‫ו‬ p − 1 | k! :‫גדול‬ ‫לא‬ k ‫עבור‬ ,‫לכן‬
gcd ak! − 1, n
= p :n ‫של‬ ‫הגורמים‬ ‫אחד‬ ‫את‬ ‫ככה‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ ak! 6≡ 1 (mod n) ‫אם‬ ,‫כעת‬
!n ‫את‬ ‫לפרק‬ ‫והצלחנו‬
24

25. RSA ‫על‬ ‫התקפות‬ 13
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫פולארד‬ ‫של‬ p − 1 ‫אלגוריתם‬ 6 ‫אלגוריתם‬
.B ‫וחסם‬ n ∈ N+ :‫קלט‬
.n ‫של‬ ‫פירוק‬ :‫פלט‬
.a = 2 .1
:B ‫עד‬ k = 2 ‫עבור‬ .2
.(ak! (mod n) ‫את‬ ‫)מחשבים‬ ak (mod n) → a .2.1
.gcd (a − 1, n) → d .2.2
.(n ‫של‬ ‫גורם‬ ‫)מצאנו‬ ‫וסיים‬ d ‫את‬ ‫החזר‬ 1 d n ‫אם‬ .2.3
.‫וסיים‬ “n ‫בפרוק‬ ‫”כישלון‬ ‫החזר‬ .3
.‫גדול‬ ‫אחד‬ ‫ראשוני‬ ‫גורם‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬ p − 1, q − 1-‫ש‬ ‫כך‬ p, q ‫לבחור‬ ‫צריך‬ .13.2 ‫מסקנה‬
‫פולארד‬ ‫של‬ (ρ) “‫”רו‬ ‫אלגוריתם‬ 13.1.3
:‫הרעיון‬
.n ‫מודולו‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ xi+1 = g (xi) ‫אקראית‬-‫פסודו‬ ‫סדרה‬ ‫מגדירים‬
‫היא‬ n ‫של‬ ‫הגורמים‬ ‫אחד‬ ‫מודולו‬ ‫ועבור‬ n ‫מודולו‬ ‫מחזורית‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫הסדרה‬ ‫היונים‬ ‫שובך‬ ‫עקרון‬ ‫בגלל‬
‫תצטרך‬ ‫הסדרה‬ (‫מספר‬ ‫איזשהו‬ ‫)עבור‬ ‫נקודה‬ ‫באיזושהי‬ ‫כלומר‬ ,‫יותר‬ ‫קטן‬ ‫מחזור‬ ‫בעלת‬ ‫להיות‬ ‫צריכה‬
.(‫)רו‬ ρ ‫היוונית‬ ‫האות‬ ‫כמו‬ ‫עצמה‬ ‫על‬ ‫לחזור‬
:‫שנקבל‬ ‫ברגע‬ ,x2k ‫ואת‬ xk ‫את‬ ‫מחשבים‬ k ‫בשלב‬
x2k ≡ xk (mod p)
.n ‫של‬ ‫גורם‬ ‫וקיבלנו‬ gcd (|x2k − xk| , n) = p :‫נקבל‬ ‫אזי‬ n ‫של‬ ‫גורם‬ ‫הוא‬ p-‫כש‬
‫פולארד‬ ‫של‬ ρ “‫”רו‬ ‫אלגוריתם‬ 7 ‫אלגוריתם‬
. (g (x) = x2 + 1-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫הוא‬ ‫)שבד“כ‬ g (x) ‫פולינום‬ .‫התחלתי‬ ‫ער‬ x0 ∈ N+-‫ו‬ n ∈ N+ :‫קלט‬
.n ‫של‬ ‫הגורמים‬ ‫אחד‬ :‫פלט‬
.x → x0 , x0 → y , 1 → d .1
:d = 1 ‫עוד‬ ‫כל‬ .2
.g (x) mod n → x .2.1
.g (g (x)) mod n → y .2.2
.gcd (|x − y| , n) → d .2.3
.‫וסיים‬ d ‫את‬ ‫החזר‬ ‫אחרת‬ .‫וסיים‬ “‫”כישלון‬ ‫החזר‬ d = n ‫אם‬ .3
(“‫ריבועית‬ ‫)”נפה‬ “‫גורמים‬ ‫”בסיס‬ ‫אלגוריתם‬ 13.1.4
:‫ש‬ ‫כך‬ a, b ‫קיימים‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ ‫הרעיון‬
a2
≡ b2
(mod n)
25

26. ‫החתימה‬ ‫של‬ ‫הכללי‬ ‫הרעיון‬ 14
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫איך‬ ‫אז‬ n - (a ± b) ‫אבל‬ (‫ההגדרה‬ ‫)ע“פ‬ n | a2 − b2
‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,a 6≡ b (mod n) ‫אבל‬
?n ‫את‬ ‫מפרקים‬ ‫כן‬
:(n ‫מודולו‬ ‫הם‬ ‫החישובים‬ ‫)כל‬ ‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫בסיסי‬ ‫באופן‬
a2
= 23
· 3 · 52
b2
= 2 · 3 · 54
m
(a · b)2
= 24
· 32
· 56
=


c
z }| {
22
· 3 · 53


2
.‫כזה‬ ‫למצב‬ ‫להגיע‬ ‫המטרה‬ .n ‫של‬ ‫גורם‬ ‫הוא‬ gcd (n, ab − c) ‫אזי‬
‫הגורם‬ ‫את‬ ‫ולא‬ ‫גורמים‬ ‫מספר‬ ‫שנכפול‬ ,‫)כלומר‬ ‫בריבוע‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫יהיה‬ ‫לא‬ ‫זה‬ :‫ש‬ ‫זה‬ ‫שחשוב‬ ‫מה‬
.‫זוגיות‬ ‫יהיו‬ ‫החזקות‬ ‫ושכל‬ (‫בעצמו‬
?a, b ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬
.(‫לראשוניים‬ ‫)חסם‬ B ‫קטן‬ ‫מספר‬ ‫בוחרים‬ .1
‫לראשוניים‬ ‫מתפרק‬ m2
i (mod n)-‫ו‬
√
n-‫מ‬ ‫גדולים‬ ‫יותר‬ ‫קצת‬ ‫שהם‬ mi ‫מספרים‬ ‫מחפשים‬ .2
.p1, . . . , pk ≤ B
‫ריבועים‬ ‫בין‬ ‫שיוויון‬ ‫לקבל‬ ‫כדי‬ (‫למעלה‬ ‫בדוגמה‬ ‫כמו‬ a2, b2 ‫)למשל‬ ‫הללו‬ ‫מהפירוקים‬ ‫כמה‬ ‫מכפילים‬ .3
.(‫למעלה‬ ‫בדוגמה‬ c2)
.n ‫את‬ ‫מחלק‬ ‫והוא‬ gcd (n, ab − c) 6= 1 .4
‫משני‬ ‫יותר‬ ‫לכפול‬ ‫נוכל‬ ,‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫ואז‬ ,‫מספרים‬ ‫משני‬ ‫יותר‬ ‫כמובן‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫אלו‬ .13.3 ‫הערה‬
.‫שורש‬ ‫להוציא‬ ‫שנוכל‬ ‫כדי‬ ‫זוגיות‬ ‫החזקות‬ ‫כל‬ ‫שבו‬ ‫למצב‬ ‫להגיע‬ ‫כדי‬ ‫מספרים‬
:V ‫חלק‬
u‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬U
z ‫החתימה‬ ‫של‬ ‫הכללי‬ ‫הרעיון‬ .14 Z
.‫מהמסמך‬ ‫חלק‬ ‫אינה‬ ‫דיגיטלית‬ ‫חתימה‬
26

27. RSA ‫מבוססת‬ ‫דיגיטלית‬ ‫חתימה‬ 15
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
.‫אחר‬ ‫מסמך‬ ‫על‬ ‫חתימה‬ ‫באותה‬ ‫להשתמש‬ ‫אפשרי‬ ‫בלתי‬ ‫שיהיה‬ ‫חשוב‬
.‫אמיתותה‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫אפשר‬ ‫שיהיה‬ - ‫וכמובן‬
?‫החתימה‬ ‫מיועדת‬ ‫למה‬ 14.1
:‫ש‬ ‫בוודאות‬ ‫לוודא‬ ‫יהיה‬ ‫שניתן‬ ‫לכך‬ ‫מיועדת‬ ‫החתימה‬
.(‫סיבות‬ ‫מיני‬ ‫)מכל‬ ‫בדרך‬ ‫השתנתה‬ ‫לא‬ ‫ההודעה‬ .1
.‫שהוא‬ ‫חושבים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מי‬ ‫אכן‬ ‫זה‬ ‫השולח‬ .2
.‫שלה‬ (‫)השולח‬ ‫המקור‬ ‫את‬ ‫או‬ ‫ההודעה‬ ‫את‬ ‫לזייף‬ ‫קשה‬ ‫ככה‬
z RSA ‫מבוססת‬ ‫דיגיטלית‬ ‫חתימה‬ .15 Z
:‫כאן‬ ‫גם‬ RSA-‫ב‬ ‫המפתח‬ ‫בניית‬ ‫של‬ ‫בחלק‬ ‫כמו‬
n = p · q, e · d ≡ 1 mod φ (n)
:x ∈ Zn ‫ההודעה‬ ‫חתימת‬
y = sigK (x) ≡ xd
(mod n)
.(x, y) :‫הזוג‬ ‫הוא‬ ‫החתום‬ ‫הטקסט‬ ‫כאשר‬
:‫בדיקה‬
verK (x, y) = True ⇐⇒ x ≡ ye
(mod n)
RSA ‫חתימות‬ ‫על‬ ‫התקפות‬ 15.1
‫חתימות‬ ‫על‬ ‫התקפות‬ ‫של‬ ‫שונות‬ ‫רמות‬ 15.1.1
‫אלגוריתם‬ ‫את‬ ‫ולכן‬ ‫הציבורי‬ ‫המפתח‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫מכירה‬ (‫)התוקפת‬ ‫איב‬ :‫בלבד‬ ‫מפתח‬ ‫עם‬ ‫התקפה‬ .1
.(‫פשוטה‬ ‫הכי‬ ‫)התקפה‬ ‫הבדיקה‬
‫יהיה‬ ‫יותר‬ ‫לה‬ ‫קל‬ ‫)ולכן‬ ‫אפרת‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫חתומות‬ ‫הודעות‬ ‫כמה‬ ‫יש‬ ‫לאיב‬ :‫מוכרות‬ ‫הודעות‬ ‫התקפת‬ .2
.(‫בהמשך‬ ‫דוגמה‬ ,‫חתימה‬ ‫לזייף‬
(‫)איב‬ ‫שהיא‬ ‫הודעות‬ ‫כמה‬ ‫על‬ ‫אפרת‬ ‫של‬ ‫חתימות‬ ‫כמה‬ ‫מקבלת‬ ‫איב‬ :‫נבחרות‬ ‫הודעות‬ ‫התקפת‬ .3
.‫לתקוף‬ ‫לה‬ ‫קל‬ ‫יותר‬ ‫וככה‬ ,‫בוחרת‬
‫ההתקפות‬ ‫של‬ ‫מטרות‬ 15.1.2
:‫מטרות‬ ‫מספר‬ ‫יש‬ ‫למעלה‬ ‫שציינו‬ ‫להתקפות‬
‫לחתום‬ ‫יכולה‬ ‫ולכן‬ ‫אפרת‬ ‫של‬ ‫הסודי‬ ‫המפתח‬ ‫את‬ ‫לגלות‬ ‫מצליחה‬ (‫)התוקפת‬ ‫איב‬ :‫מלא‬ ‫פיצוח‬ .1
.‫איב‬ ‫או‬ ‫אפרת‬ - ‫חתמה‬ ‫מי‬ ‫לדעת‬ ‫יהיה‬ ‫אפשר‬ ‫אי‬ ‫וכך‬ ‫במקומה‬
.‫אחר‬ ‫מישהו‬ ‫ידי‬-‫על‬ ‫מראש‬ ‫שנבחרה‬ ‫הודעה‬ ‫על‬ ‫בהצלחה‬ ‫לחתום‬ ‫מצליחה‬ ‫איב‬ :‫סלקטיבי‬ ‫זיוף‬ .2
‫אבל‬ ,‫משמעות‬ ‫יש‬ ‫שלהודעה‬ ‫בהכרח‬ ‫אומר‬ ‫לא‬ ‫)זה‬ ‫תקנית‬ ‫חתימה‬ ‫עם‬ ‫הודעה‬ ‫ליצור‬ ‫מצליחה‬ ‫איב‬ .3
.(‫חיובית‬ ‫תוצאה‬ ‫תהיה‬ ,‫האמיתות‬ ‫בבדיקת‬
27

28. ‫גיבוב‬ ‫פונקציות‬ ‫מבוססות‬ ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ 16
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫קיומי‬ ‫לזיוף‬ ‫דוגמה‬ 15.1.3
:‫בלבד‬ ‫מפתח‬ ‫עם‬ ‫קיומי‬ ‫זיוף‬
x-‫)ל‬ x ‫של‬ ‫תקנית‬ ‫חתימה‬ ‫היא‬ y-‫ש‬ ‫יוצא‬ ‫כך‬ - x ≡ ye (mod n) ‫את‬ ‫ומחשבת‬ y ‫חתימה‬ ‫בוחרת‬ ‫איב‬
.(‫משמעות‬ ‫יש‬ ‫בהכרח‬ ‫לא‬
‫סלקטיבי‬ ‫לזיוף‬ ‫דוגמה‬ 15.1.4
:x ‫סלקטיבית‬ ‫הודעה‬ ‫על‬ ‫חתימה‬ ‫לזייף‬ ‫ניתן‬ ‫כך‬
x1 · x2 ≡ x-‫ש‬ ‫כך‬ x1, x2 ∈ Zn ‫מוצאת‬ ‫היא‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ,x ‫להודעה‬ ‫החתימה‬ ‫את‬ ‫לזייף‬ ‫רוצה‬ ‫איב‬
.x1, x2 ‫ההודעות‬ ‫שתי‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫מאפרת‬ ‫ומבקשת‬ (mod n)
.x ‫של‬ ‫תקנית‬ ‫חתימה‬ ‫תקבל‬ ‫היא‬ - ‫החתימות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫תכפיל‬ ‫איב‬ ‫אם‬
z ‫גיבוב‬ ‫פונקציות‬ ‫מבוססות‬ ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ .16 Z
‫גיבוב‬ ‫פונקציות‬ 16.1
‫פלט‬ ‫ומחזירה‬ ‫כלשהו‬ ‫באורך‬ ‫קלט‬ ‫שלוקחת‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ h ‫קריפטוגרפית‬ ‫גיבוב‬ ‫פונקציית‬ .16.1 ‫הגדרה‬
.‫קבוע‬ ‫באורך‬
:‫בחשבון‬ ‫לקחת‬ ‫שחשוב‬ ‫נוספים‬ ‫דברים‬ ‫כמה‬ ‫ישנן‬
.h (m) ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫קל‬ - m ‫נתונה‬ ‫הודעה‬ ‫עבור‬ .1
‫אם‬ :‫אחרת‬ ‫)במילים‬ h (m) ‫יהיה‬ ‫שלה‬ ‫שהפלט‬ ‫כך‬ m ‫הודעה‬ ‫למצוא‬ ‫יהיה‬ ‫קשה‬ - ‫שני‬ ‫מצד‬ ,‫אבל‬ .2
.1‫כיוונית‬-‫חד‬ ‫בפונקציה‬ ‫מדובר‬ ,‫בנוסף‬ .(m ‫מהי‬ ‫לדעת‬ ‫מאוד‬ ‫קשה‬ ,h (m) ‫לנו‬ ‫נתון‬
.‫הגיבוב‬ ‫פונקציית‬ ‫תחת‬ ‫פלט‬ ‫אותו‬ ‫עם‬ ‫הודעות‬ ‫שתי‬ ‫למצוא‬ ‫קשה‬ .3
‫ההולדת‬ ‫יום‬ ‫התקפת‬ 16.2
‫ההולדת‬ ‫יום‬ ‫פרדוקס‬ 16.2.1
:‫היא‬ ‫יום‬ ‫באותו‬ ‫הולדת‬ ‫יום‬ ‫מהם‬ ‫שניים‬ ‫לאף‬ ‫שאין‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ ,‫בחדר‬ ‫אנשים‬ 23 ‫ישנם‬
22
Y
i=1
1 −
i
365
= 0.495
!1
2-‫מ‬ ‫גדולה‬ ‫היא‬ ‫יום‬ ‫באותו‬ ‫הולדת‬ ‫יום‬ ‫יש‬ ‫האנשים‬ 23 ‫מתוך‬ ‫שלשניים‬ ‫הסיכוי‬ ,‫כלומר‬
:‫יותר‬ ‫כללי‬ ‫ובאופן‬
‫מהקבוצה‬ ‫שמישהו‬ ‫הסיכוי‬ ‫אזי‬ , .‫איברים‬ N ‫של‬ ‫מאוסף‬ ‫איבר‬ ‫בוחרים‬ ‫אנשים‬ r ‫של‬ ‫קבוצות‬ ‫שתי‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
:‫בערך‬ ‫הוא‬ ‫השנייה‬ ‫מהקבוצה‬ ‫מישהו‬ ‫כמו‬ ‫משהו‬ ‫יבחר‬ ‫הראשונה‬
1 − e
−r2
N
:‫למשל‬ ,‫תוצאה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫להחזיר‬ ‫יכולים‬ ‫קלטים‬ ‫ומספר‬ ‫היות‬ ‫הקלט‬ ‫היה‬ ‫מה‬ ‫לדעת‬ ‫אפשרות‬ ‫שאין‬ ‫פונקציה‬ ,‫כלומר‬1
‫למצוא‬ ‫קשה‬ ‫לא‬ ,2-‫ל‬ ‫בניגוד‬ ‫)אבל‬ n ‫הייתה‬ ‫מה‬ ‫לדעת‬ ‫נוכל‬ ‫לא‬ h (m) = 3 ‫למשל‬ ‫אם‬ ,‫כזה‬ ‫במקרה‬ ,h (m) = h mod 7
.(h (m) = 3-‫ש‬ ‫כך‬ m
28

29. ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ 17
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫שלמישהו‬ ‫הסיכוי‬ ‫אזי‬ ,‫אחת‬ ‫כל‬ ‫איש‬ 30 ‫בנות‬ ‫קבוצות‬ ‫שתי‬ ‫ועל‬ ,‫הולדת‬ ‫ימי‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫למשל‬ ‫ואם‬
:‫היא‬ ‫השנייה‬ ‫בקבוצה‬ ‫למישהו‬ ‫כמו‬ ‫הולדת‬ ‫יום‬ ‫אותה‬ ‫תהיה‬ ‫הראשונה‬ ‫מהקבוצה‬
1 − e
−302
365 = 0.915
‫גיבוב‬ ‫בפונקציות‬ ‫שימוש‬ 16.2.2
.‫אפשריים‬ ‫פלטים‬ 2n = N ‫ישנם‬ ‫אזי‬ ,‫סיביות‬ n ‫יש‬ ‫גיבוב‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫לפלט‬ ‫אם‬
(‫אוסף‬ ‫בכל‬ ‫)אחד‬ ‫זהים‬ ‫פלטים‬ ‫שני‬ ‫שיהיו‬ ‫ההסתברות‬ ,‫פלטים‬
√
N ‫בערך‬ ‫של‬ ‫אוספים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬ ,‫לכן‬
.1 − e−1 ≈ 0.6 :‫בערך‬ ‫היא‬
‫ולגרום‬ ‫אפרת‬ ‫את‬ ‫לרמות‬ ‫רוצה‬ ‫הילי‬ ‫אבל‬ ,(‫הטוב‬ ‫)החוזה‬ ‫הילי‬ ‫עם‬ ‫חוזה‬ ‫על‬ ‫חתמה‬ ‫אפרת‬ .16.2 ‫דוגמה‬
.(‫הרע‬ ‫)החוזה‬ ‫מזויף‬ ‫חוזה‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫לה‬
.250 ‫הוא‬ ‫האפשריים‬ ‫הפלטים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬ ,‫סיביות‬50 ‫הוא‬ ‫הגיבוב‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הפלט‬ ‫אורך‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
‫שלהם‬ ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מחשבת‬ ‫היא‬ .‫הרע‬ ‫החוזה‬ ‫של‬ 230-‫ו‬ ‫הטוב‬ ‫החוזה‬ ‫של‬ ‫שונות‬ ‫גרסאות‬ 230 ‫מכינה‬ ‫הילי‬
.‫הגיבוב‬ ‫פונקציית‬ ‫תחת‬
:‫היא‬ ‫הפלט‬ ‫אותו‬ ‫עם‬ ‫רע‬ ‫וחוזה‬ ‫טוב‬ ‫חוזה‬ ‫תקבל‬ ‫שהילי‬ ‫ההסתברות‬ ,‫למעלה‬ ‫שראינו‬ ‫מה‬ ‫ע“פ‬
1 − e
−260
250 = 1 − e−210
≈ 1
‫יראה‬ ‫וזה‬ ‫המזויף‬ ‫החוזה‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫לאפרת‬ ‫לגרום‬ ‫תוכל‬ ‫היא‬ ‫כאלו‬ ‫חוזים‬ ‫שני‬ ‫תקבל‬ ‫שהילי‬ ‫ברגע‬ ,‫כלומר‬
.‫חוזה‬ ‫אותו‬ ‫על‬ ‫חתמה‬ ‫היא‬ ‫כאילו‬
?‫לעשות‬ ‫יכולה‬ ‫אפרת‬ ‫מה‬
:‫למשל‬ ,‫דברים‬ ‫מיני‬ ‫כל‬
‫רע‬ ‫חוזה‬ ‫למצוא‬ ‫מאוד‬ ‫קשה‬ ‫יהיה‬ ‫להילי‬ ‫ואז‬ ,‫בחוזה‬ ‫קטן‬ ‫שינוי‬ ‫לבקש‬ ‫יכולה‬ ‫אפרת‬ ‫האחרון‬ ‫ברגע‬ .1
.(3 ‫)סעיף‬ ‫הפלט‬ ‫אותו‬ ‫עם‬
‫חתימה‬ ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהחתימה‬ ‫להוכיח‬ ‫כדי‬ ‫חתמה‬ ‫היא‬ ‫שעליו‬ ‫המסמך‬ ‫של‬ ‫עותק‬ ‫לשמור‬ ‫יכולה‬ ‫אפרת‬ .2
‫יותר‬ ‫יהיה‬ ‫וככה‬ ,‫שלה‬ ‫העותק‬ ‫על‬ ‫שלה‬ ‫החתימה‬ ‫של‬ ‫התקינות‬ ‫את‬ ‫תראה‬ ‫היא‬ ‫)וככה‬ ‫לחוזה‬ ‫תקינה‬
.(‫תקפה‬ ‫החתימה‬ ‫שלשניהם‬ ‫שונים‬ ‫חוזים‬ ‫שני‬ ‫יראו‬ ‫כי‬ ‫לזייף‬ ‫קשה‬
z ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ .17 Z
.‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ ‫על‬ ‫נדון‬ ‫עכשיו‬ .‫בהן‬ ‫הצורך‬ ‫ועל‬ ‫כללי‬ ‫באופן‬ ‫חתימות‬ ‫על‬ ‫דיברנו‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬
(‫)למפורט‬ ‫פעמית‬-‫חד‬ ‫חתימה‬ 17.1
.F : X → Y :(‫קריפטוגרפית‬ ‫גיבוב‬ ‫פונקצית‬ ,‫)למשל‬ ‫כיוונית‬-‫חד‬ ‫פונקציה‬ ‫על‬ ‫מתבססת‬
:‫הרעיון‬
.‫בנפרד‬ ‫סיבית‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫חותמים‬
:‫ציבורי‬ ‫ערך‬ ‫קובעים‬ ‫מהמפתחות‬ ‫אחד‬ ‫ולכל‬ Ki,0, Ki,1 ∈ X ‫סודיים‬ ‫מפתחות‬ ‫שני‬ ‫בוחרים‬ i ‫סיבית‬ ‫לכל‬
.f (Ki,0) , f (Ki,1) ∈ Y
‫שלה‬ ‫החתימה‬ ‫אזי‬ 1 ‫היא‬ ‫ואם‬ Ki,0 ‫היא‬ i-‫ה‬ ‫הסיבית‬ ‫של‬ ‫החתימה‬ ‫אזי‬ 0-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫ית‬-i-‫ה‬ ‫הסיבית‬ ‫אם‬
.Ki,1 ‫היא‬
29

30. ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ 17
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
:2f (x) = 2x mod 17 ‫היא‬ f ‫כיוונית‬-‫החד‬ ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ .17.1 ‫דוגמה‬
x1,0 = 12 y1,0 = f (x1,0) = 16
x1,1 = 7 y1,1 = f (x1,1) = 9
x2,0 = 13 y2,0 = f (x2,0) = 15
x2,1 = 9 y2,1 = f (x2.1) = 2
x3,0 = 8 y3,0 = f (x3,0) = 1
x3,1 = 14 y3,1 = f (x3,1) = 13
‫שהוא‬ ‫למקרה‬ ‫והשני‬ 0 ‫שהוא‬ ‫למקרה‬ ‫אחד‬ - ‫מפתחות‬ ‫שני‬ ‫מצמידים‬ ‫אנחנו‬ ‫ביט‬ ‫לכל‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
:‫צבעים‬ ‫לפי‬ ‫חולקה‬ ‫הטבלה‬ ,‫למשל‬ ‫כאן‬ .‫בהתאם‬ ‫ומצפינים‬ ‫סיבית‬-‫סיבית‬ ‫ההודעה‬ ‫על‬ ‫עוברים‬ .1
.‫לשלישית‬ ‫והאדומות‬ ,‫השנייה‬ ‫לסיבית‬ - ‫הירוקות‬ ‫השורות‬ ,‫הראשונה‬ ‫לסיבית‬ - ‫הכחולות‬ ‫השורות‬
:‫הבאה‬ ‫ההודעה‬ ‫הצפנת‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
101
,x1,1 :1 ‫שיש‬ ‫להיכן‬ ‫הולכים‬ :‫אזי‬ 1 ‫והיא‬ ‫והיות‬ ‫הכחולות‬ ‫לשורות‬ ‫בהתאם‬ ‫מוצפנת‬ ,‫הראשונה‬ ‫הסיבית‬
:‫ולכן‬
f (x1,1 = 7) = 9
‫ושמה‬ ‫הירוקות‬ ‫לשורות‬ ‫נלך‬ ‫אזי‬ ‫השנייה‬ ‫בסיבית‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬ .0 ‫שהיא‬ ‫הבאה‬ ‫לסיבית‬ ‫ממשיכים‬ ‫ואז‬
:(x2,1 ‫השנייה‬ ‫לשורה‬ ‫הולכים‬ ‫היינו‬ 1 ‫הייתה‬ ‫השנייה‬ ‫הסיבית‬ ‫)אם‬ x2,0 ‫הראשונה‬ ‫לשורה‬
f (x2,0 = 13) = 15
:1 ‫היא‬ ‫השלישית‬ ‫הסיבית‬ ‫כי‬ ‫השנייה‬ ‫לשורה‬ ‫נלך‬ ‫ובסוף‬
f (x3,1 = 14) = 13
:‫היא‬ ‫להודעה‬ ‫החתימה‬ ,‫ולכן‬
(9, 15, 13)
‫את‬ ‫לחתום‬ ‫רוצים‬ ‫היינו‬ ‫אם‬ .‫הקודמת‬ ‫בדוגמה‬ ‫כמו‬ ‫וטבלה‬ ‫פונקציה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ .17.2 ‫דוגמה‬
:‫הייתה‬ ‫שלה‬ ‫החתימה‬ ‫אזי‬ ,011 :‫ההודעה‬
(16, 2, 13)
.‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫ממחישה‬ ‫היא‬ ‫אבל‬ ,‫פשוטה‬ ‫ממש‬ ‫דוגמה‬ ‫זאת‬2
30

31. ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ 17
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
:‫פשוטה‬ ‫מאוד‬ ‫היא‬ ‫הנכונות‬ ‫בדיקת‬
.‫לנו‬ ‫הנתונה‬ ‫הטבלה‬ ‫לפי‬ ‫ההודעה‬ ‫את‬ ‫חותמים‬ ‫איך‬ ‫את‬ ‫זה‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,‫הטבלה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬
‫לעומת‬ ‫אם‬ ‫אך‬ ,‫תקינה‬ ‫החתימה‬ ‫כי‬ ‫נדע‬ ‫אזי‬ - (9, 15, 13) ‫והחתימה‬ 101 ‫ההודעה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬
‫לסמוך‬ ‫נוכל‬ ‫ולא‬ ‫פגומה‬ ‫החתימה‬ ‫כי‬ ‫נדע‬ - (15, 2, 13) ‫החתימה‬ ‫עם‬ ‫אותה‬ ‫נבל‬ 011 ‫ההודעה‬ ‫עבור‬ ‫זאת‬
.‫ההודעה‬ ‫מקור‬ ‫על‬
:‫יתרונות‬
.‫כיוונית‬-‫החד‬ ‫המקור‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫קשה‬ ‫שמאוד‬ ‫כיוון‬ ‫כזאת‬ ‫חתימה‬ ‫לזייף‬ ‫מאוד‬ ‫קשה‬ -
.‫קוונטיים‬ ‫מחשבים‬ ‫נגד‬ ‫כעמיד‬ ‫נחשב‬ -
:‫חסרונות‬
.(yi,{0,1}) ‫הציבורי‬ ‫למפתח‬ ‫זוגות‬ ‫ושתי‬ (xi,{0,1}) ‫הפרטי‬ ‫למפתח‬ ‫זוגות‬ ‫שתי‬ :‫ארוך‬ ‫מאוד‬ ‫המפתח‬ -
‫חותמים‬ ‫אם‬ ,‫)כלומר‬ ‫אחת‬ ‫מהודעה‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫כדי‬ ‫מפתח‬ ‫באותו‬ ‫משתמשים‬ ‫עם‬ ‫בטיחותי‬ ‫לא‬ -
‫בחתימה‬ ‫להשתמש‬ ‫חשוב‬ ‫לכן‬ (1111 ‫על‬ ‫החתימה‬ ‫מה‬ ‫גם‬ ‫לדעת‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ 0110 ‫ועל‬ 1011 ‫על‬ ‫גם‬
.‫פעמי‬-‫חד‬ ‫באופן‬ ‫הזאת‬
:‫שיפורים‬
‫צריך‬ SHA − 256 ‫של‬ ‫במקרה‬ ,‫)למשל‬ ‫שלה‬ ‫הגיבוב‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫אפשר‬ ‫הודעה‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫במקום‬ -
.‫ציבוריים‬ ‫מתפתחות‬ 512-‫ו‬ ‫פרטיים‬ ‫מפתחות‬ 512 “‫”רק‬
.‫מרקל‬ ‫של‬ ‫גיבוב‬ ‫בעץ‬ ‫מפתחות‬ 2N ‫להכניס‬ ‫אפשר‬ -
‫מרקל‬ ‫עץ‬ 17.1.1
.3‫ילדים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ ,‫העלים‬ ‫מלבד‬ ,‫בעץ‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ,‫)כלומר‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ‫הוא‬ (Merkle) ‫מרקל‬ ‫של‬ ‫הגיבוב‬ ‫עץ‬
‫השירשור‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ ‫מעליהן‬ ‫קודקוד‬ ‫וכל‬ ‫הגיבוב‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫התוצאות‬ ‫אלו‬ ‫בעלים‬ ‫שמוחזק‬ ‫המידע‬
.‫שלו‬ ‫הקודקודים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫חיבור‬ - ‫כלומר‬ ,‫שלהן‬
:‫כללי‬ ‫באופן‬
a
α β
:‫זאת‬ ‫נסמן‬ ‫שאנחנו‬ ‫כמו‬ ‫או‬ α + β ‫את‬ ‫בתוכו‬ ‫מכיל‬ a ‫קודקוד‬
.a + b ‫ופירושו‬ akb :‫מסומן‬ b-‫ו‬ a ‫של‬ ‫שירשור‬ .17.3 ‫רישום‬ ‫צורת‬
.‫שלהם‬ ‫השירשור‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ ‫מעליהם‬ ‫קודקוד‬ ‫וכל‬ ‫הגיבוב‬ ‫פונקציית‬ ‫ערכי‬ ‫את‬ ‫ישנם‬ ‫בעלים‬ ‫מרקל‬ ‫בעץ‬
:‫למשל‬
.‫מורכבים‬ ‫יותר‬ ‫מרקל‬ ‫עצי‬ ‫ישנים‬ .‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ‫רק‬ ‫זה‬3
31

32. ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ 17
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
R
a b
H(X0) H(X1) H(X2) H(X3)
‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫מלבד‬ ,‫לספק‬ ‫וצריכים‬ (H (X2) - ‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ ‫אחד‬ ‫עלה‬ ‫דרך‬ ‫מצפינים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הרעיון‬
.‫העץ‬ ‫לשורש‬ ‫ולהגיע‬ ‫הקודקודים‬ ‫את‬ ‫לסכום‬ ‫ניתן‬ ‫שבה‬ ‫הדרך‬ ‫את‬
.R ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫ניתן‬ ‫שדרכם‬ ‫הקודקודים‬ + ‫עליון‬ ‫הכי‬ ‫הקודקוד‬ ,‫כלומר‬ ,‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ ‫שנשלח‬ ‫המידע‬
‫את‬ ‫לחבר‬ ‫שנוכל‬ ‫כך‬ ‫ע“י‬ ,‫אוטומטית‬ ‫לחשב‬ ‫נוכל‬ ‫כבר‬ b ‫)את‬ a ‫ואת‬ H (X3) :‫את‬ ‫זה‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬
.‫אליו‬ ‫להגיע‬ ‫נוכל‬ ‫שירשורים‬ ‫דרך‬ ‫האם‬ ‫לראות‬ ‫נוכל‬ R ‫את‬ ‫לנו‬ ‫ובהינתן‬ ,(‫ואותו‬ H (X2)
‫עיוורת‬ ‫חתימה‬ 17.2
‫אישור‬ ‫לצורך‬ ‫היא‬ ‫החתימה‬ ‫אבל‬ ,‫ההודעה‬ ‫את‬ ‫רואה‬ ‫אינו‬ ‫החותם‬ ‫שבה‬ ‫חתימה‬ ‫היא‬ ‫עיוורת‬ ‫חתימה‬
.‫בלבד‬
‫ההצבעה‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫יצטרך‬ ‫מישהו‬ ,‫הצבעה‬ ‫זכות‬ ‫לכם‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ,‫אלקטרונית‬ ‫הצבעה‬ ‫עושים‬ - ‫לדוגמה‬
‫זאת‬ .‫הצבעתם‬ ‫מה‬ ‫לראות‬ ‫יוכל‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,(‫תקינה‬ ‫וההצבעה‬ ‫אתם‬ ‫אכן‬ ‫שזה‬ ‫לאשר‬ ‫)כדי‬ ‫שלכם‬
.‫עיוורת‬ ‫חתימה‬
(RSA ‫)מבוססת‬ ‫שאום‬ ‫של‬ ‫עיוורת‬ ‫חתימה‬ 17.2.1
.‫עיוורת‬ ‫בצורה‬ m ‫ההודעה‬ ‫על‬ ‫יחתום‬ ‫שבנימין‬ ‫רוצה‬ ‫אפרת‬
.‫שלו‬ ‫הפרטי‬ ‫המפתח‬ ‫זה‬ d-‫ו‬ ‫בנימין‬ ‫של‬ ‫הציבורי‬ ‫המפתח‬ ‫זה‬ - (n, e)
:‫את‬ ‫ומחשבת‬ 1 k n ‫אקראי‬ k ‫בוחרת‬ ‫אליס‬
t = mke
(mod n)
.‫ההודעה‬ ‫את‬ ‫לקרוא‬ ‫יוכל‬ ‫לא‬ ‫שבנימין‬ ‫ככה‬ ,“‫ה“מעטפה‬ ‫בעצם‬ ‫זוהי‬
:(m ‫ההודעה‬ ‫מהי‬ ‫מושג‬ ‫לו‬ ‫)אין‬ t ‫על‬ ‫חוצם‬ ‫בנימין‬
td
= (mke
)d
(mod n)
:‫באמצעות‬ ‫החתימה‬ ‫את‬ ‫מחשבת‬ ‫היא‬ ‫אבל‬ ,d ‫מהו‬ ‫יודעת‬ ‫אינה‬ ‫כמובן‬ ‫אפרת‬
.(e · d ≡ 1 (mod n) :‫)תזכורת‬
s =
td
k
=
(mke)d
k
=
md
ked
k
= md
(mod n)
‫לדעת‬ ‫יכול‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫שני‬ ‫ומצד‬ ,(d ‫מהו‬ ‫יודע‬ ‫הוא‬ ‫)כי‬ ‫שלו‬ ‫אכן‬ ‫היא‬ ‫החתימה‬ ‫כי‬ ‫לראות‬ ‫יכול‬ ‫בנימין‬ ‫כעת‬
.m ‫מהי‬
‫על‬ ‫לדעת‬ ‫יכול‬ ‫הוא‬ ‫ואין‬ ‫הודעות‬ ‫כמה‬ ‫על‬ ‫לחתום‬ ‫יכול‬ ‫הוא‬ .‫הודעות‬ ‫מספר‬ ‫לבי‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ‫זה‬ .17.4 ‫הערה‬
.‫לחתימה‬ ‫ההודעה‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫ואין‬ ‫היות‬ ,‫חתימה‬ ‫איזו‬ ‫עם‬ ‫חתם‬ ‫הוא‬ ‫הודעה‬ ‫איזו‬
32

33. ‫דיגיטליות‬ ‫חתימות‬ ‫של‬ ‫מיוחדים‬ ‫סוגים‬ 17
o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
‫להכחישה‬ ‫ניתן‬ ‫שלא‬ ‫חתימה‬ 17.3
‫הרעיון‬ 17.3.1
.‫להכחישה‬ ‫ניתן‬ ‫שאינה‬ ‫לחתימה‬ ‫שאום‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬
:‫לשניים‬ ‫מחלוק‬ ‫כאן‬ ‫הרעיון‬
‫אם‬ ‫לכן‬ .(‫אותה‬ ‫לאמת‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ‫)אחרת‬ ‫החותם‬ ‫עם‬ ‫פעולה‬ ‫בשיתוף‬ ‫נעשית‬ ‫החתימה‬ ‫בדיקת‬ .1
‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫יכול‬ ‫היה‬ ‫מקור‬ ‫וכל‬ ‫מקורות‬ ‫לכמה‬ ‫אותה‬ ‫ולשלוח‬ ‫לשכפל‬ ‫ניתן‬ ‫היה‬ ‫רגילה‬ ‫בחותמת‬
‫)במקורות‬ ‫יכול‬ ‫הוא‬ ‫אותה‬ ‫יאשרו‬ ‫מסוימים‬ ‫מקורות‬ ‫שרק‬ ‫רוצה‬ ‫שחתם‬ ‫זה‬ ‫אם‬ ‫כאן‬ ,‫אמינותה‬
.(‫פעולה‬ ‫ישתף‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫האחרים‬
‫יכול‬ ‫אינו‬ ‫החותם‬ - ‫תקינה‬ ‫החתימה‬ ‫אם‬ .‫שלו‬ ‫החתימה‬ ‫את‬ ‫להכחיש‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ ‫החותם‬ - ‫שני‬ ‫מצד‬ .2
.‫זאת‬ ‫להכחיש‬
‫החתימה‬ ‫אופן‬ 17.3.2
.Z∗
p ‫של‬ ‫יוצר‬ g-‫ו‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ - p :‫לנו‬ ‫נתונים‬
.m ‫היא‬ ‫ההודעה‬
.1 x p − 1 :‫הינו‬ ‫אפרת‬ ‫של‬ ‫הפרטי‬ ‫המפתח‬
.z ≡ mx (mod p) :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫ההודעה‬ ‫על‬ ‫חותמת‬ ‫היא‬
:‫בנימין‬ ‫ע“י‬ ‫החתימה‬ ‫אישור‬ ‫פרטוקול‬
.c = magb (mod p) ‫את‬ ‫לאפרת‬ ‫ושולח‬ 1 a, b p − 1 :‫אקראיים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫בוחר‬ ‫בנימין‬
.a, b ‫מהם‬ ‫יודעת‬ ‫אינה‬ ‫ואפרת‬ x ‫מהו‬ ‫יודע‬ ‫אינו‬ ‫שבנימין‬ ‫הוא‬ ‫העניינים‬ ‫מצב‬
.s2 = sx
1 ‫ואת‬ s1 = cgq ‫את‬ ‫לבנימין‬ ‫ושולחת‬ 1 q p − 1 ‫אקראי‬ ‫מספר‬ ‫בוחרת‬ ‫אפרת‬
‫שולחת‬ ‫שאפרת‬ ‫מה‬ ‫כל‬ :‫כלומר‬ - s1 ‫על‬ ‫מתבסס‬ s2-‫ו‬ c ‫על‬ ‫מתבסס‬ ‫לבנימין‬ ‫שולחת‬ ‫שאפרת‬ s1 ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.‫לה‬ ‫שלח‬ ‫שהוא‬ c-‫ה‬ ‫על‬ ‫מתבסס‬ ‫לבנימין‬
:‫הגילוי‬ ‫שלב‬
.‫שלח‬ ‫אחד‬ ‫שכל‬ ‫המידע‬ ‫את‬ ‫ומאמתים‬ ‫שלהם‬ ‫הפרטיים‬ ‫המשתנים‬ ‫את‬ ‫חושפים‬ ‫ובנימין‬ ‫אפרת‬ ‫כעת‬
.a, b ‫את‬ ‫מגלה‬ ‫בנימין‬
c ‫את‬ ‫חישב‬ ‫שהוא‬ ‫בודקת‬ ‫היא‬ ‫מבנימין‬ a, b ‫את‬ ‫מקבלת‬ ‫שהיא‬ ‫)אחרי‬ c = magb ‫אכן‬ ‫כי‬ ‫בודקת‬ ‫אפרת‬
.(‫שצריך‬ ‫כמו‬
.q ‫את‬ ‫מגלה‬ ‫אפרת‬
.s2 = zayb+q ‫וכי‬ s1 = cgq ‫אכן‬ ‫כי‬ ‫בודק‬ ‫בנימין‬
c ‫במקום‬ ‫מציבים‬ ‫ואז‬ (cgq)x
‫את‬ sx
1 ‫במקום‬ ‫מציבים‬ ‫)אם‬ s2 = zayb+q ‫כי‬ ‫למסקנה‬ ‫להגיע‬ ‫ניתן‬
‫אזי‬ a, b ‫עם‬ ‫מרמה‬ ‫לא‬ ‫בנימין‬ ‫אם‬ ‫אבל‬ - s2 = sx
1 ‫שאומנם‬ ‫שחשוב‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ,(...'‫וכו‬ magb ‫את‬
.(x-‫ב‬ ‫צורך‬ ‫)ללא‬ ‫בלבד‬ a, b, q ‫באמצעות‬ s2 ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫יכול‬ ‫הוא‬ - q ‫את‬ ‫לו‬ ‫מגלה‬ ‫שאפרת‬ ‫אחרי‬
....c ‫בשליחת‬ ‫רימה‬ ‫לא‬ ‫שהוא‬ ‫בתנאי‬ ‫זה‬ ‫כל‬ ‫אבל‬
?‫הזאת‬ ‫בחתימה‬ ‫מיוחד‬ ‫מה‬
.‫שווה‬ ‫אינה‬ ‫החתימה‬ ‫אפרת‬ ‫של‬ ‫ההשתתפות‬ ‫שבלי‬
‫לבחור‬ ‫יכול‬ ‫בנימין‬ ‫כי‬ ‫תקין‬ ‫לבאמת‬ ‫נחשב‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ,‫אחר‬ ‫למישהו‬ ‫התקשורת‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מראה‬ ‫בנימין‬ ‫אם‬
.‫בעיות‬ ‫בלי‬ s1, s2 ‫את‬ ‫ולחשב‬ a, b, q ‫את‬
.(‫ידיעה‬ ‫באפס‬ ‫בהוכחה‬ ‫כמו‬ ‫)ממש‬ q ‫את‬ ‫בחרה‬ ‫ואפרת‬ a, b ‫את‬ ‫בחר‬ ‫שהוא‬ ‫שיודע‬ ‫היחיד‬ ‫הוא‬
‫הכחשה‬ 17.3.3
.z 6≡ mx (mod p) :‫כלומר‬ ,‫תקינה‬ ‫אינה‬ ‫החתימה‬ ‫כי‬ ‫בנימין‬ ‫את‬ ‫לשכנע‬ ‫רוצה‬ ‫אפרת‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
‫אם‬ :‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫האמינות‬ ‫את‬ ‫שמגדיר‬ k ‫איזשהו‬ ‫על‬ ‫מסכימים‬ ‫ובנימין‬ ‫שהיא‬ ‫הוא‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬
. 1
k+1 :‫היא‬ ‫תקנית‬ ‫לא‬ ‫שהיא‬ ‫בנימין‬ ‫את‬ ‫לשכנע‬ ‫תצליח‬ ‫שאפרת‬ ‫הסיכוי‬ ‫אזי‬ ,‫תקנית‬ ‫החתימה‬
:‫הפרוטוקול‬
33

34. o ‫להצפנה‬ ‫מבוא‬ =
:‫את‬ ‫לאפרת‬ ‫ושולח‬ ‫אקראי‬ ‫באופן‬ 1 b p-‫ו‬ 0 ≤ s ≤ k ‫בוחר‬ ‫בנימין‬ .1
v1 = ms
gb
v2 = zs
yb
:‫אזי‬ ,‫תקנית‬ ‫החתימה‬ ‫אם‬ .‫בחזקות‬ ‫מוסתרים‬ ‫והם‬ ‫הזה‬ ‫בשלב‬ ‫סודיים‬ b, s ‫המספרים‬
v2 = zs
yb
= (mx
)s
(gx
)b
=
ms
gb
x
= v1 (mod p)
v1, v2 ‫והמספרים‬ ,k-‫ל‬ 0 ‫בין‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ (a ‫)במקום‬ s-‫ש‬ ‫רק‬ ,‫לבדיקה‬ ‫דומה‬ ‫מאוד‬ ‫)התהליך‬
.q = 0 ‫שכאן‬ ‫רק‬ s1, s2-‫ל‬ ‫מקבילים‬
:‫לקבל‬ ‫אמורה‬ ‫היא‬ ‫תקינה‬ ‫החתימה‬ ‫אם‬ .vx
1 v−1
2 (mod p) ‫ואת‬ vx
1 (mod p) ‫את‬ ‫מחשבת‬ ‫אפרת‬ .2
.(mx ≡ z (mod p)-‫ו‬ ‫)היות‬ .vx
1 v−1
2 ≡ 1 (mod p)
i ∈ {1, . . . , p − 1} ‫עבור‬ mxz−1
i
-‫ל‬ vx
1 v−1
2 ‫את‬ ‫להשוות‬ ‫יכולה‬ ‫אפרת‬ ,‫תקינה‬ ‫לא‬ ‫אכן‬ ‫החתימה‬ ‫אם‬ .3
:‫ש‬ ‫כך‬ i-‫ה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫כדי‬
mx
z−1
i
= vx
1 v−1
2
.s ‫הערך‬ ‫יהיה‬ ‫וזה‬
mxz−1
i
= :i ‫לכל‬ ‫כי‬ s ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫תוכל‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ,‫תקינה‬ ‫אכן‬ ‫החתימה‬ ‫אם‬ - ‫שני‬ ‫מצד‬ .3.1
‫להכחיש‬ ‫רוצה‬ ‫היא‬ ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫)זה‬ .‫אקראי‬ i ‫לבחור‬ ‫חייבת‬ ‫היא‬ ‫ולכן‬ vx
1 v−1
2 = 1 (mod p)
‫תקינה‬ ‫אינה‬ ‫שלה‬ ‫החתימה‬ ‫כי‬ ‫להוכיח‬ ‫רוצה‬ ‫שהיא‬ ‫או‬ ,‫חתמה‬ ‫שהיא‬ ‫למרות‬ ‫החתימה‬ ‫את‬
.(‫תקינה‬ ‫שהיא‬ ‫למרות‬
.‫לבנימין‬ h (r, i) ‫ושולחת‬ ‫אקראי‬ r ‫בוחרת‬ ‫היא‬ :i-‫ל‬ ‫מתחייבת‬ ‫אפרת‬ .4
r ‫עם‬ ‫יחד‬ ‫גיבוב‬ ‫בפונקציית‬ “‫”מוסווה‬ i ‫את‬ ‫שולחת‬ ‫שהיא‬ ‫הסיבה‬ .‫כלשהי‬ ‫גיבוב‬ ‫פונקציית‬ ‫זאת‬ h
‫שבנימין‬ ‫למרות‬ ‫תקינה‬ ‫היא‬ ,‫)כלומר‬ ‫מרמה‬ ‫שבנימין‬ ‫למקרה‬ ‫שלה‬ i ‫את‬ ‫מגלה‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫שככה‬ ‫היא‬
‫מהו‬ ‫לגלות‬ ‫רוצה‬ ‫לא‬ ‫ואפרת‬ ‫זאת‬ ‫שמאשש‬ i ‫ישנו‬ ‫אזי‬ - ‫תקינה‬ ‫אינה‬ ‫החתימה‬ ‫אם‬ .(‫שלא‬ ‫טוען‬
.‫לבנימין‬
.b ‫את‬ ‫מגלה‬ ‫בנימין‬ .5
‫איתו‬ ‫לחשב‬ ‫שניתן‬ ‫בודקת‬ ‫היא‬ ,‫כלומר‬ ,‫בנימין‬ ‫של‬ ‫הסודי‬ ‫המספר‬ ‫הוא‬ b ‫אכן‬ ‫כי‬ ‫בודקת‬ ‫אפרת‬ .6
.r ‫את‬ ‫לבנימין‬ ‫ושולחת‬ v1, v2 ‫את‬
‫את‬ ‫יתן‬ ‫שהוא‬ ‫כך‬ i ‫ישנו‬ ‫אזי‬ - ‫תקינה‬ ‫אינה‬ ‫החתימה‬ ‫)אם‬ h (r, i) = h (r, s) :‫כי‬ ‫בודק‬ ‫בנימין‬ .7
.(‫עליו‬ ‫עלתה‬ ‫שאפרת‬ ‫סימן‬ ‫מתקיים‬ ‫השווין‬ ‫ואם‬ s ‫של‬ ‫כמו‬ ‫התוצאה‬
‫אינה‬ ‫החתימה‬ ‫וכי‬ z 6≡ mx (mod p) ‫כי‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ h (r, i) = h (s, i)-‫ו‬ ‫מתקיים‬ 7 ‫חלק‬ ‫אכן‬ ‫אם‬
.‫תקינה‬
‫שלה‬ ‫הסיכוי‬ ‫לכן‬ ,‫יתאים‬ i ‫כל‬ ‫אזי‬ ,(‫להכחישה‬ ‫רוצה‬ ‫אפרת‬ ‫זאת‬ ‫)ולמרות‬ ‫תקנית‬ ‫החתימה‬ ‫אכן‬ ‫אם‬
.0 ≤ s ≤ k-‫ו‬ ‫היות‬ 1
k+1 :‫הוא‬ s-‫ל‬ ‫שווה‬ ‫)שיהיה‬ ‫הנכון‬ i-‫ה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬
:VI ‫חלק‬
u‫ריבועיים‬ ‫שורשים‬U
34