סיכום קצר שהכנתי לקורס מבני נתונים. אין בו את הכל, אבל יש בו כל מיני דברים שהיו נראים לי חשובים: מיון מהיר, עצי חיפוש בינאריים, BFS, DFS ועוד כל מיני דברים (כולל עצים אדומים-שחורים). סיכומים נוספים ניתן למצוא באתר http://www.letach.net (לתכ.נת) שימו לב! הסיכום עצמו אינו מלא....

1. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫נתונים‬ ‫מבני‬
‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫ד"ר‬
I ‫חלק‬
‫מיון‬
‫ואז‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫כל‬ ‫קודם‬ ‫ראוי‬
...‫לפתרונה‬ ‫דרכים‬ ‫להציע‬
‫מיון‬ ‫המושג‬ ‫של‬ ‫הגדרה‬ 0.1
‫בגודל‬ A ‫מערך‬ ‫הוא‬ ‫שלו‬ ‫הקלט‬ ‫אשר‬ ‫אלגוריתם‬ ‫הוא‬ ‫מיון‬
:n
A = [a1, a2, . . . , an]
‫או‬ ‫עולה‬ ‫בסדר‬ ,‫המערך‬ ‫של‬ 1
‫פרמוטציה‬ ‫הינו‬ ‫הפלט‬ ‫ואילו‬
:‫דהיינו‬ ,‫יורד‬
A = aσ(1), aσ(2), . . . , aσ(n)
.aσ(1) ≤ aσ(2) ≤ · · · ≤ aσ(n) :‫כאשר‬
Sorts in) ‫במקום‬ ‫ממין‬ ‫מכונה‬ ‫מיון‬ ‫אלגוריתם‬ 0.1 ‫הגדרה‬
,‫כלומר‬ ,n‫ב־‬ ‫תלוי‬ ‫אינו‬ ‫הנוספים‬ ‫התאים‬ ‫מספר‬ ‫אם‬ (place
.O (1) ‫־‬ ‫קבוע‬ ‫הוא‬ ‫הנדרשים‬ ‫הנוסיפים‬ ‫התאים‬ ‫מספר‬
‫ניתן‬ .‫במערך‬ ‫האיברים‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫סדר‬ ‫כלומר‬ .‫פרמוטציה=תמורה‬1
‫)עמוד‬ 12.5 ‫בסעיף‬ ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫של‬ ‫בסיכום‬ ‫פרמוטציות‬ ‫על‬ ‫עוד‬ ‫לקרוא‬
.(8 ‫)עמוד‬ 18 ‫ובפרק‬ (SX :‫שם‬ ‫שנקרא‬ ‫מה‬ ,5
(Heapsort) ‫ערימה‬ ‫מיון‬ 1
‫ערימה‬ ‫הגדרת‬ 1.1
‫עץ‬ ‫כמו‬ ‫להציגו‬ ‫ניתן‬ ‫אשר‬ ‫מערך‬ ‫הינה‬ (‫)בינארית‬ ‫ערימה‬
‫מתאים‬ ‫בעץ‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫מלא‬ ‫כמעט‬ ‫או‬ ‫מלא‬ ‫בינארי‬
.2
‫במערך‬ ‫לתא‬
(‫)השורה‬ ‫הרמה‬ ‫מלבד‬ ‫הרמות‬ ‫בכל‬ ‫מלא‬ ‫הינו‬ ‫העץ‬ ‫־‬
‫שיכולה‬ (‫מלא‬ ‫כמעט‬ ‫הינו‬ ‫העץ‬ ‫שבהם‬ ‫)במקרים‬ ‫האחרונה‬
‫השמאלי‬ ‫מהקצה‬ ‫מלאה‬ ‫תהיה‬ ‫היא‬ ‫אבל‬ ‫שלמה‬ ‫לא‬ ‫להיות‬
‫־‬ (‫)שורה‬ ‫רמה‬ ‫באותה‬ ‫כלשהו‬ ‫לקודקוד‬ ‫עד‬
:‫נסמן‬
.‫המערך‬ ‫גודל‬ ‫־‬ length [A]
.‫בערימה‬ ‫האלמנטים‬ ‫מספר‬ ‫־‬heap − size [A]
‫שלא‬ ‫)מכיוון‬ heap − size [A] ≤ length [A] ‫ש־‬ ‫כמובן‬
.(‫המערך‬ ‫לגודל‬ ‫זהה‬ ‫יהיה‬ ‫הערימה‬ ‫גודל‬ ‫תמיד‬
:‫עצים‬ ‫לגבי‬ ‫תזכורת‬
.2 ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫היא‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫הדרגה‬ ‫־‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ l
‫ולכל‬ ‫העומק‬ ‫באותו‬ ‫העלים‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫שלם‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ l
.2 ‫דרגה‬ ‫הקודקודים‬
2 ‫שדרגתו‬ ‫או‬ ‫עלה‬ ‫הוא‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫מלא‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ l
.‫בדיוק‬
:‫העץ‬ ‫בנוי‬ ‫בעיקרון‬ ‫וככה‬ ,A [1] ‫הינו‬ ‫העץ‬ ‫שורש‬
ai
2i 2i+1
b c
.a ≥ b ∧ a ≥ c :‫שלו‬ ‫מהילדים‬ ‫גדול‬ ‫יהיה‬ ‫תמיד‬ ‫האבא‬
:(i = 1) ‫השורש‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ‫אחרות‬ ‫במילים‬
.A [Parent (i)] ≥ A [i]
‫בשורש‬ ‫נמצא‬ ‫בערימה‬ ‫גבוה‬ ‫הכי‬ ‫הערך‬ :‫מסקנה‬
!‫העץ‬
:(‫בתרשים‬ ‫)כמתואר‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
Parent (i) = i
2
Left (i) = 2i
Right (i) = 2i + 1
‫בעץ‬ (‫)קודקוד‬ ‫צומת‬ ‫של‬ ‫גובה‬ ‫הגדרת‬ 1.1.1
‫מטה‬ ‫כלפי‬ ‫המסילה‬ ‫ע"י‬ ‫מוגדר‬ ‫בעץ‬ ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫הגובה‬
‫רחוק‬ ‫הכי‬ ‫לעלה‬ ‫עד‬ ‫קודקוד‬ ‫מאותו‬ ‫בעץ‬ ‫לעבור‬ ‫שצריך‬
‫)זה‬ ‫ערימה‬ ‫הוא‬ ‫מערך‬ ‫כל‬ ‫לא‬ .‫מדובר‬ ‫מערך‬ ‫איזה‬ ‫על‬ ‫תלוי‬ ‫שזה‬ ‫כמובן‬2
.(‫שבו‬ ‫הערכים‬ ‫במיקומי‬ ‫תלוי‬
1

2. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫כמה‬ ‫כמובן‬ ‫להיות‬ ‫יכולות‬ ,‫נמוכה‬ ‫הכי‬ ‫ברמה‬ ‫עלה‬ ‫)כלומר‬
.(‫מעגלים‬ ‫)ללא‬ ‫פשוטה‬ ‫מסילה‬ ‫ע"י‬ ,(‫כאלה‬ ‫דרכים‬ ‫או‬ ‫מסילות‬
:(‫ערימה‬ ‫שאינו‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ‫)ניקח‬ ‫למשל‬
19
11 4
7 10
5 3
.2 ‫הינו‬ 11 ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫הגובה‬
.0 ‫הינו‬ 3 ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫הגובה‬
.1 ‫הינו‬ 10 ‫של‬ ‫הגובה‬
‫־‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫השורש‬ ‫של‬ ‫הגובה‬ ‫הינו‬ ‫העץ‬ ‫של‬ ‫הגובה‬ ,‫לכן‬
.3 ‫־‬ 19 ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫הגובה‬ ‫זה‬
‫־‬ ‫היא‬ ‫איברים‬ n ‫עם‬ ‫ערימה‬ ‫של‬ ‫הגובה‬ 1.1 ‫טענה‬
.Θ (log n)
‫בערימה‬ ‫שונים‬ ‫שימושים‬ 1.2
‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫הפעולה‬
O (log n) HEAPIFY
Θ (n) BUILD-HEAP
O (n log n) HEAPSORT
O (log n) EXTRACT-MAX
O (log n) INSERT
HEAPIFY 1.2.1
.‫הערימה‬ ‫מיון‬ ‫מאלגוריתם‬ ‫חלק‬ ‫מהווה‬ ‫אשר‬ ‫אלגוריתם‬ ‫זהו‬
:‫האלגוריתם‬ ‫קלט‬
.‫במערך‬ ‫לאינדקס‬ ‫מצביע‬ ‫־‬ i ,‫מערך‬ ‫־‬ A
‫בעצם‬ ‫שאנחנו‬ (‫סדר‬ ‫קצת‬ ‫לעשות‬ ‫)בשביל‬ ‫כאן‬ ‫לציין‬ ‫חשוב‬
‫אבל‬ ,‫מערך‬ ‫בעצם‬ ‫היא‬ ‫ערימה‬ ,‫כלומר‬ ,‫מערך‬ ‫עם‬ ‫עובדים‬
‫שלם‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ‫והיא‬ ‫מערך‬ ‫לאותו‬ ‫נוחה‬ ‫הצגה‬ ‫דרך‬ ‫ישנה‬
.(‫שלם‬ ‫כמעט‬ ‫)או‬
‫אזי‬ ,‫בעץ‬ ‫קודקוד‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ :‫הקלט‬ ‫לגבי‬ ‫הנחה‬
:‫כלומר‬ ,‫שמשמאלו‬ ‫והתת־עץ‬ ‫שמימינו‬ ‫התת־עץ‬
.‫ערימות‬ ‫הינן‬ ,Left (i) , Right (i)
‫קטן‬ A [i] ‫קודקוד‬ ‫שאותו‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫שעדיין‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
:‫למשל‬ ,‫שלו‬ ‫הילדים‬ ‫משני‬
12
98 35
‫הקודקוד‬ ‫את‬ ‫נבחר‬ ‫שאם‬ ‫לנו‬ ‫מבטיחה‬ ‫הקלט‬ ‫לגבי‬ ‫ההנחה‬
‫מה‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ (‫הכפול‬ ‫העיגול‬ ‫עם‬ ‫)הקודקוד‬ 12 ‫בו‬ ‫שיש‬
‫הם‬ 35, 98‫)ש־‬ ‫ערימה‬ ‫הוא‬ ,‫ומשמאלו‬ ‫מימינו‬ ,‫מתחתיו‬ ‫שיש‬
.((‫העצים‬ ‫שני‬ ‫)של‬ ‫הערימות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫השורשים‬
‫מופיעים‬ ‫אינם‬ ‫הם‬ ‫אך‬ 98, 35‫ל־‬ ‫מתחת‬ ‫קודקודים‬ ‫יש‬
.‫בשרטוט‬
3
‫גדול‬ ‫הקודקוד‬ ‫האם‬ :‫בודקים‬ ‫אנחנו‬ :‫האלגוריתם‬ ‫רעיון‬
.‫סיימנו‬ ‫אז‬ ‫כן‬ ‫אם‬ ?‫שלו‬ ‫הבנים‬ ‫משני‬
.‫בניו‬ ‫משני‬ ‫הגדול‬ ‫עם‬ ‫אותו‬ ‫מחליפים‬ ‫־‬ ‫לא‬ ‫אם‬
‫לקודקוד‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ,‫שהחלפנו‬ ‫אחרי‬ ,‫כעת‬
:‫כלומר‬ ,‫שהחלפנו‬
,(‫הכפול‬ ‫העיגול‬ ‫עם‬ ‫)זה‬ 12 ‫הערך‬ ‫עם‬ ‫בקודקוד‬ ‫שבחרנו‬ ‫נניח‬
:‫כך‬ ‫יראה‬ ‫זה‬ ‫ההחלפה‬ ‫אחרי‬ ‫אזי‬
98
12 35
‫הילדים‬ ‫עם‬ ‫בדיוק‬ ‫בדיוק‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫נבצע‬ ‫אנחנו‬ ‫כעת‬
...‫שוב‬ ‫נחליף‬ ‫הצורך‬ ‫ובמידת‬ 12 ‫של‬ ‫החדשים‬
...‫לעלים‬ ‫שנגיע‬ ‫עד‬ ,‫הלאה‬ ‫וכך‬
‫הנבחר‬ ‫הקודקוד‬ ‫של‬ ‫מהמיקום‬ ‫שהחל‬ ‫כמובן‬ ‫הוא‬ ‫הפלט‬
...‫ערימה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫בהתחלה‬
‫־‬ ‫הוא‬ n ‫בגודל‬ ‫ערימה‬ ‫עבור‬ ‫זה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
.O (log n)
BUILD-HEAP ‫ערימה‬ ‫בניית‬ 1.2.2
.O (n) ‫הינו‬ ‫נתון‬ ‫ממערך‬ ‫ערימה‬ ‫בניית‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
,‫העלים‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫צורך‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ :‫בקצרה‬ ‫הרעיון‬ ‫)התחלת‬
‫נתחיל‬ ‫אנחנו‬ ‫ממערך‬ ‫ערימה‬ ‫נבנה‬ ‫אנחנו‬ ‫כאשר‬ ‫לכן‬
. length(A)
2 :‫שזה‬ ‫עלים‬ ‫שאינם‬ ‫מהקודקודים‬
‫)וככה‬ length(A)
2 ‫שמספרו‬ ‫מהקודקוד‬ ‫נתחיל‬ ,‫כלומר‬
‫בינארי‬ ‫שבעץ‬ ‫בעבר‬ ‫הוכחנו‬ ‫כי‬ ,‫העלים‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫מדלגים‬ ‫אנחנו‬
‫הקודקוד‬ ‫ולכן‬ ,‫עלים‬ ‫שאינם‬ ‫קודקודים‬ length(A)
2 ‫יש‬
‫אינו‬ ‫בוודאי‬ ‫הוא‬ ‫אזי‬ length(A)
2 ‫הוא‬ ‫הסידורי‬ ‫שמספרו‬
‫הם‬ ‫השאר‬ ‫כל‬ ,‫ממנו‬ ‫קטן‬ ‫הסידורי‬ ‫שמספרם‬ ‫אלה‬ ‫וכך‬ ‫עלה‬
‫מהקודקודים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫על‬ ,1 ‫מספר‬ ‫לקודקוד‬ ‫עד‬ ‫ונרד‬ (‫עלים‬
.‫במערך‬ ‫התא‬ ‫־‬ ‫או‬ ‫־‬ ‫הקודקוד‬ ‫לערך‬ ‫היא‬ ‫כמובן‬ ‫הכוונה‬3
2

3. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
.(...‫אינדוקציה‬ ‫יש‬ ‫גם‬ ‫הדרך‬ ‫בהמשך‬ .HEAPIFY ‫נעשה‬
:‫למשל‬
98
12 35
32 22 29
‫ש"מספרו‬ ‫הקודקוד‬ ‫כי‬ 35‫מ־‬ ‫מתחילים‬ ‫היינו‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬
‫גבוה‬ ‫הכי‬ ‫הסידורי‬ ‫המספר‬ ‫עם‬ ‫הקודקוד‬ ‫הוא‬ ,3 ,"‫הסידורי‬
...‫עלה‬ ‫שאינו‬
‫)כי‬ 12 ‫הוא‬ ‫שערכו‬ ‫לקודקוד‬ ‫ממשיכים‬ ‫אנחנו‬ ‫מכן‬ ‫לאחר‬
.(2 ‫הוא‬ ‫הסידורי‬ ‫מספרו‬
HEAPSORT ‫־‬ ‫הערימה‬ ‫מיון‬ ‫אלגוריתם‬ 1.3
(1.2‫)ב־‬ ‫הנ"ל‬ ‫הפעולות‬ ‫הפעולות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫שהגדרנו‬ ‫אחרי‬
‫באמצעות‬ ‫למיון‬ ‫אלגוריתם‬ ‫בעזרתן‬ ‫לבנות‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬
.‫ערימה‬
‫באופן‬ ‫ויעבוד‬ ‫ערימה‬ ‫כבר‬ ‫שהוא‬ ‫מערך‬ ‫שיקבל‬ ‫אלגוריתם‬
:‫הבא‬
"‫"בצד‬ ‫בתא‬ ‫אותן‬ ‫וישים‬ ‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫את‬ ‫יוציא‬ ‫הוא‬ ‫פעם‬ ‫כל‬
A [i] ‫את‬ ‫וישים‬ ,(‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫הערך‬ ‫עם‬ ‫התא‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬ ‫)כי‬
.‫השורש‬ ‫במקום‬ ‫קטן‬ ‫הכי‬ ‫הערך‬ ‫עם‬ ‫העלה‬ ‫־‬
‫פעם‬ ‫ושוב‬ ‫־‬ (‫)לשורש‬ HEAPIFY (A, 1) ‫עושים‬ ‫אז‬
.‫בשורש‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫את‬ HEAPIFY ‫ה־‬ ‫אחרי‬ ,‫מוציאים‬
:‫למשל‬
‫ובמקומו‬ 98 ‫את‬ ‫שנוציא‬ ‫הוא‬ ‫לנו‬ ‫שיהיה‬ ‫מה‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬
‫־‬ 12 ‫את‬ ‫נשים‬
98
12 35
:‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ ,‫ולכן‬
12
98 35
:‫ונקבל‬ ‫העץ‬ ‫לראש‬ HEAPIFY ‫נעשה‬ ‫כעת‬
35
98 12
‫הסתיים‬ ‫האלגוריתם‬ ‫קודקודים‬ ‫שני‬ ‫רק‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫בגלל‬ ,‫כעת‬
‫־‬ ‫וקיבלנו‬ 12‫ה־‬ ‫את‬ ‫ואז‬ 98‫ה־‬ ‫לפני‬ ‫השורש‬ ‫את‬ ‫)שמים‬
.(12, 35, 98
‫מהיר‬ ‫מיון‬ 2
‫ההפרד‬ ‫בשיטת‬ ‫שעובד‬ ‫רקורסיבי‬ ‫אלגוריתם‬ ‫הוא‬ ‫מהיר‬ ‫מיון‬
‫חלקים‬ ‫לשני‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫מחלקים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ ,‫ומשול‬
,‫כלומר‬ ‫־‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬ "‫ו"שולטים‬ ‫רקורסיבי‬ ‫באופן‬
‫גם‬ ‫)ולכן‬ ‫הגדול‬ ‫את‬ ‫כמו‬ 2‫ל־‬ ‫מהחלקים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫ממינים‬
.(2‫ל־‬ ‫מחלקים‬ ‫אותו‬
‫מקבלים‬ ‫אנחנו‬ ‫המערכים‬ ‫תתי‬ ‫את‬ ‫משלבים‬ ‫אנחנו‬ ‫וכאשר‬
‫ההתחלתי‬ ‫המערך‬ ‫גם‬ ‫בעצם‬ ‫וכך‬ .‫ממוינים‬ ‫כבר‬ ‫שהם‬ ‫אותם‬
.‫ממוין‬ ‫כמערך‬ ‫כפלט‬ ‫מתקבל‬
‫ששום‬ ‫אסור‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫מפצלים‬ ‫אנחנו‬ ‫כשאר‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫אזי‬ n ‫בגודל‬ ‫מערך‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫כלומר‬ ,‫ריק‬ ‫יהיה‬ ‫תת־מערך‬
‫והצד‬ 1 ≤ i ≤ n − 1 ‫בגודל‬ ‫יהיה‬ ‫אחד‬ ‫צד‬ 2‫ל־‬ ‫בחלוקה‬
.n − i ‫בגודל‬ ‫יהיה‬ ‫השני‬
‫ובמקרה‬ O (n log n) ‫הינו‬ ‫מהיר‬ ‫מיון‬ ‫של‬ ‫הממוצע‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
.O n2
‫הינו‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫ביורת‬ ‫הגרוע‬
?‫עובד‬ ‫מהיר‬ ‫מיון‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כיצד‬ 2.1
:‫למשל‬ ,‫כלשהו‬ ‫מערך‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬
6 3 8 1 4 2
‫ולשם‬ ,(‫)הציר‬ ‫הפיבוט‬ ‫איבר‬ ‫הינו‬ ‫שנבחר‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫ראישת‬
‫הציר‬ ‫להיות‬ ‫הראשון‬ ‫האיבר‬ ‫שהוא‬ 6 ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫הפשטות‬
‫נבחר‬ ‫הפשטות‬ ‫בשביל‬ ‫אבל‬ ,‫אחר‬ ‫איבר‬ ‫גם‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫)זה‬
‫שיהיה‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫כי‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ :‫למיין‬ ‫ונתחיל‬ ,(‫הראשון‬ ‫את‬
‫לו‬ ‫שווה‬ ‫או‬ ‫קטן‬ ‫יהיה‬ ‫משמאלו‬
?‫זאת‬ ‫עושים‬ ‫כיצד‬
:‫כלומר‬ ,‫הצדדים‬ ‫משני‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫לסרוק‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬
6 3 8 1 4 2
i
OO
j
OO
:‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאת‬
‫יהיה‬ ‫עליו‬ ‫מצביע‬ j‫ש־‬ ‫שהאיבר‬ ‫עד‬ (i ‫)לכיוון‬ j ‫את‬ ‫מקדמים‬
,‫לפיבוט‬ ‫שווה‬ ‫או‬ ‫קטן‬
3

4. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫או‬ ‫גדול‬ ‫יהיה‬ ‫עליו‬ ‫יצביע‬i‫ש־‬ ‫שהאיבר‬ ‫עד‬ (j ‫)לכיוון‬ i ‫ואת‬
.‫לפיבוט‬ ‫שווה‬
.‫התאים‬ ‫בין‬ ‫נחליף‬ i < j ‫אם‬ ,‫כעת‬
‫מיון‬ ‫שוב‬ ‫ונעשוה‬ ‫חלקים‬ ‫לשני‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫נחלק‬ ‫־‬ ‫אחרת‬
....‫מהחלקים‬ ‫אחד‬ ‫לכל‬ ‫מהיר‬
.(‫בודדים‬ ‫תאים‬ ‫שיש‬ ‫למצב‬ ‫שנגיע‬ ‫עד‬ ‫נמשיך‬ ‫)ככה‬
:‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫למשל‬
:‫האיברים‬ ‫בןי‬ ,‫נחליף‬ ‫ולכן‬ ‫מתקיים‬ ‫הזה‬ ‫התנאי‬ ‫ההתחלה‬ ‫על‬
2 3 8 1 4 6
i
OO
j
OO
‫איבר‬ ‫שנמצא‬ ‫עד‬ i ‫את‬ ‫נקדם‬ ‫וכמו־כן‬ ,1‫ב־‬ j ‫את‬ ‫ונקדם‬
:(6‫)ל־‬ ‫לפיבוט‬ ‫שווה‬ ‫או‬ ‫גדול‬ ‫שהוא‬
2 3 8 1 4 6
i
OO
j
OO
:‫בניהם‬ ‫ונחליף‬
2 3 4 1 8 6
i
OO
j
OO
‫ש־‬ ‫למצב‬ ‫נגיע‬ ‫שלב‬ ‫שבאיזשהו‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
2 3 4 1 8 6
j
OO
i
OO
.(j ≤ i ‫)כלומר‬
:2‫ל־‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫נחלק‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬
2 3 4 1 8 6
....‫הלאה‬ ‫וכך‬ ‫מהמערכים‬ ‫אחד‬ ‫לכל‬ ‫מהיר‬ ‫מיון‬ ‫ונעשה‬
‫באותו‬ ‫עדיין‬ ‫מדובר‬ ‫כלומר‬ ,‫וירטואלית‬ ‫היא‬ ,‫כמובן‬ ‫החלוקה‬
.‫אותם‬ ‫לחבר‬ ‫צריך‬ ‫מכן‬ ‫שלאחר‬ ‫מערכים‬ ‫בשני‬ ‫ולא‬ ‫מערך‬
‫מיזוג‬ ‫מיון‬ 3
‫הינו‬ ‫שלו‬ ‫הריצה‬ ‫שזמן‬ ‫אלגוריתם‬ ‫הינו‬ ‫מיזוג‬ ‫מיון‬ ‫גם‬
.O (n log n)
‫הכללי‬ ‫הרעיון‬ ‫אבל‬ ,‫זה‬ ‫לאלגוריתם‬ ‫גירסאות‬ ‫מספר‬ ‫ישנן‬
:‫כזה‬ ‫הינו‬
‫אלגוריתם‬ ‫זה‬ ‫)גם‬ 2‫ל־‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫מחלקים‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬
‫את‬ 4
‫ממזגים‬ ‫ואז‬ ,‫לחלק‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ‫שכבר‬ ‫עד‬ (‫ומשול‬ ‫הפרד‬
:‫למשל‬ ,‫המערכים‬
:2‫ל־‬ ‫נחלק‬
6 3 8 1 4 2
:2‫ל־‬ ‫נחלק‬ ‫פעם‬ ‫שוב‬ ‫וכעת‬
6 3 8 1 4 2
:‫פעם‬ ‫ושוב‬
6 3 8 1 4 2
:‫למזג‬ ‫נתחיל‬ ‫כעת‬
:‫מימין‬ ‫הגדול‬ ‫את‬ ‫ונשים‬ 2 ‫כל‬ ‫ניקח‬ ‫בהתחלה‬
3 6 1 8 2 4
‫הראשונים‬ ‫הזוגות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫נמזג‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫נעשה‬ ‫כעת‬
‫שלבסוף‬ ‫הוא‬ ‫שחשוב‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ,‫למזג‬ ‫דרכים‬ ‫מיני‬ ‫כל‬ ‫)ישנן‬
.5
‫הכנסה‬ ‫מיון‬ ‫ע"י‬ ‫זאת‬ ‫לעשות‬ ‫ניתן‬ ,(‫ממוין‬ ‫מערך‬ ‫נקבל‬
:‫נקבל‬ ‫מכן‬ ‫ולאחר‬
1 3 6 8 2 4
.‫שונות‬ ‫גירסאות‬ ‫ישנן‬ ‫המיזוג‬ ‫לפעולת‬4
‫יחסית‬ ‫פשוט‬ ‫מיון‬ ‫שזה‬ ‫אורמ‬ ‫רק‬ ‫עצמו‬ ‫המיון‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫אסביר‬ ‫לא‬ ‫אני‬5
.‫ממוין‬ ‫למערך‬ ‫איברים‬ ‫להכנסת‬ ‫השאר‬ ‫בין‬ ‫שמתאים‬
4

5. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫המערך‬ ‫את‬ ‫ונקבל‬ ‫האחרון‬ ‫הזוג‬ ‫את‬ ‫דרך‬ ‫באותה‬ ‫נמזג‬ ‫וכעת‬
...‫ממוין‬
1 2 3 4 6 8
‫לינארי‬ ‫בזמן‬ ‫מיונים‬ 4
‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫שזמן‬ ‫אומר‬ ‫)שזה‬ O (n) ‫ריצה‬ ‫בזמן‬ ‫מיונים‬ ‫ישנם‬
‫שמיון‬ ‫כדי‬ ‫הקלט‬ ‫על‬ ‫מסוימות‬ ‫הנחות‬ ‫ישנן‬ ...‫אבל‬ ,(‫לינארי‬
.‫יעבוד‬ ‫אכן‬ ‫זה‬
‫המושג‬ ‫את‬ ‫שנגדיר‬ ‫חשוב‬ ‫לינארי‬ ‫בזמן‬ ‫למיונים‬ ‫שניגש‬ ‫לפני‬
.‫יציב‬ ‫מיון‬ :‫הבא‬
‫אזי‬ ‫שווים‬ ‫איברים‬ ‫שני‬ ‫ויש‬ ‫שבמקרה‬ ‫מיון‬ ‫הינו‬ ‫יציב‬ ‫מיון‬
.‫נשמר‬ ‫שלהם‬ ‫הסדר‬ ‫המיון‬ ‫בסוף‬
21 ‫מספר‬ ‫ובתא‬ 7 3 ‫מספר‬ ‫בתא‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫במערך‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬
‫שהיה‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,‫צמודים‬ ‫יהיו‬ ‫ה־7־ים‬ ‫שני‬ ‫המיון‬ ‫בסוף‬ ‫אזי‬ ,7
.21 ‫בתא‬ ‫שהיה‬ ‫זה‬ ‫לפני‬ ‫יהיה‬ 3 ‫בתא‬
‫מנייה‬ ‫מיון‬ 4.1
‫קבוע‬ ‫ע"י‬ ‫הקלט‬ ‫את‬ ‫לחסום‬ ‫שניתן‬ ‫היא‬ ‫מניה‬ ‫במיון‬ ‫ההנחה‬
‫הינו‬ ‫בקלט‬ ‫גדול‬ ‫הכי‬ ‫האיבר‬ ‫אבל‬ n ‫הינו‬ ‫הקלט‬ ‫גודל‬ ‫כלומר‬
.n ‫כפול‬ K ‫קבוע‬ ‫כלומר‬ O (n) = K · n
?‫עובד‬ ‫הזה‬ ‫המיון‬ ‫כיצד‬
‫כמו‬ ‫מערך‬ ‫)אותו‬ A ‫המערך‬ ‫הינו‬ ‫לנו‬ ‫הנתון‬ ‫המערך‬ ‫נניח‬
B, C ‫עזר‬ ‫מערכי‬ ‫בשני‬ ‫נשתמש‬ ‫אזי‬ (‫הקודמות‬ ‫בדדוגמאות‬
.‫הממוין‬ ‫המערך‬ ‫יהיה‬ B ‫כאשר‬
‫ולכן‬ 8 ‫ע"י‬ ‫המערך‬ ‫אבירי‬ ‫את‬ ‫לחסום‬ ‫ניתן‬ ‫כי‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬
‫תדירויות‬ ‫את‬ ‫יכיל‬ C ‫מערך‬ .C ‫מערך‬ ‫של‬ ‫הגודל‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬
.A ‫אברי‬
6 3 8 1 3 2
‫התא‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫מציינת‬ ‫התחתונה‬ ‫)השורה‬ ‫יהיה‬ C ‫אזי‬
:(‫המקורי‬ ‫במערך‬ ‫שלו‬ ‫התידרות‬ ‫מה‬ ‫עצמו‬ ‫ובמערך‬
1 1 2 0 0 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8
‫כלומר‬ ,‫המערך‬ ‫אברי‬ ‫את‬ ‫שנסכות‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ‫כעת‬
‫התא‬ ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫נשים‬ ‫השני‬ ‫ובתא‬ ‫הראשון‬ ‫מהתא‬ ‫נתחיל‬
‫השני‬ ‫בתא‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫נשים‬ ‫בשלישי‬ ,‫השני‬ ‫התא‬ + ‫הראשון‬
.‫האחרון‬ ‫התא‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ ,‫השלישי‬ ‫שבתא‬ ‫הערך‬ +
:‫כך‬ ‫יראה‬ C ‫כעת‬
1 2 4 4 4 5 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8
:B ‫הפלט‬ ‫מערך‬ ‫את‬ ‫לבנות‬ ‫נתחיל‬ ‫כעת‬
.j‫ב־‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫ונסמן‬A‫ב־‬ ‫האחרון‬ ‫התא‬ ‫אל‬ ‫נלך‬
.j ‫את‬ ‫נכניס‬ ‫ולשם‬ B [C [j]] ‫על‬ ‫נסתכל‬
‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫ונעשה‬ 1‫ב־‬ C [j] ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫נוריד‬ ‫כעת‬
‫לתא‬ ‫שנגיע‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ 1 ‫פחות‬ ‫המערך‬ ‫אורך‬ ‫עבור‬
.‫הראשון‬
:‫שלנו‬ ‫בדוגמא‬
j = 2 ‫בהתחלה‬
,‫אותו‬ ‫שעידכנו‬ ‫אחרי‬ ‫המערך‬ ‫על‬ ‫)מדברים‬ C ‫למערך‬ ‫נפנה‬
‫נראה‬ ‫השני‬ ‫בתא‬ ‫ונסתכל‬ (...‫למעלה‬ ‫ממש‬ ‫כאן‬ ‫שנמצא‬ ‫זה‬
2 ‫מספר‬ ‫בתא‬ ‫ונשים‬ B‫ל־‬ ‫נלך‬ ‫כעת‬ ,2‫ל־‬ ‫שווה‬ ‫שם‬ ‫שהערך‬
.1‫ב־‬ ‫הערך‬ ‫את‬ C‫ב־‬ ‫ונקטין‬ (2 ‫גם‬ ‫)שהוא‬ j ‫את‬
:‫כך‬ ‫יראה‬ C ‫מערך‬ ‫כעת‬
1 1 5 5 5 6 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
:‫כך‬ ‫נראה‬ ‫כבר‬ B ‫ומערך‬
• 2 • • • •
‫שערכו‬ ‫נראה‬ A‫ב־‬ ‫אחרון‬ ‫לפני‬ ‫האחד‬ ‫התא‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬
.j = 3 ‫ולכן‬ 3 ‫הוא‬
‫בתא‬ 3 ‫את‬ ‫נציב‬ ‫לכן‬ ,4 ‫שהוא‬ ‫ונראה‬ C [3] ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬
:B ‫במערך‬ 4 ‫מספר‬
• 2 • 3 • •
...‫הלאה‬ ‫וכך‬ ‫בהתאם‬ C ‫את‬ ‫ונעדכן‬
.‫ממוין‬ ‫המערך‬ ‫את‬ ‫ונקבל‬ ‫כפלט‬ B ‫את‬ ‫נחזיר‬ ‫לבסוף‬
(Radix Sort) ‫בסיס‬ ‫מיון‬ 4.2
‫אותו‬ ‫לחסום‬ ‫שניתן‬ ‫הקלט‬ ‫על‬ ‫שמניח‬ ‫יציב‬ ‫מיון‬ ‫הוא‬ ‫גם‬
.O (n)‫ב־‬
5

6. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫המספרים‬ ‫שלכל‬ ‫דואגים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ ‫עושים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬
‫במידת‬ ‫לפני‬ ‫אפסים‬ ‫להוסיף‬ ‫גם‬ ‫)אפשר‬ ‫אורך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫יהיה‬
(‫האחדות‬ ‫)ספרת‬ ‫האחרונה‬ ‫מהספרה‬ ‫מתחילים‬ ‫ואז‬ ,(‫הצורך‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫לפיה‬ ‫ממינים‬
‫הספרה‬ ‫לפי‬ ‫לערימות‬ ‫שבקלט‬ ‫המספרים‬ ‫את‬ ‫מחלקים‬
‫הספרה‬ ‫לפי‬ ‫השני‬ ‫על‬ ‫אחד‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫מסדרים‬ ‫ואז‬ ‫האחרונה‬
:‫כלומר‬ ,‫האחרונה‬
:‫הינו‬ ‫שלנו‬ ‫והקלט‬ ‫נניח‬
002 347 916 078
‫עומדה‬ ‫)בכל‬ ‫האחרונה‬ ‫הספרה‬ ‫לפי‬ ‫לנו‬ ‫מחולק‬ ‫כבר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬
‫אותה‬ ‫עם‬ ‫מספרים‬ 2 ‫והיו‬ ‫במידה‬ ,‫אחרת‬ ‫אחרונה‬ ‫ספרה‬ ‫יש‬
,(‫לשני‬ ‫מתחת‬ ‫אחד‬ ‫אותם‬ ‫שמים‬ ‫היינו‬ ‫אזי‬ ,‫אחדות‬ ‫ספרת‬
:‫האחדות‬ ‫ספרת‬ ‫לפי‬ ‫השני‬ ‫על‬ ‫אחד‬ ‫אותם‬ ‫נערום‬ ‫כעת‬
002
916
347
078
‫אחד‬ ‫ונשים‬ ‫העשרות‬ ‫ספרת‬ ‫לפי‬ ‫לקבוצות‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נחלק‬ ‫כעת‬
‫עשיתי‬ ‫לא‬ ‫לכן‬ ‫למעלה‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫שוב‬ ‫)ונקבל‬ ‫שוב‬ ‫השני‬ ‫על‬
.(‫אותו‬ ‫תיארתי‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ‫הזה‬ ‫השלב‬ ‫את‬
‫נפזר‬ ‫כלומר‬ ,‫האחדות‬ ‫ספרת‬ ‫לפי‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נעשתה‬ ‫־‬ ‫ולבסוף‬
:‫האחדות‬ ‫ספרת‬ ‫ע"פ‬ ‫המספרים‬ ‫את‬
002 078 374 916
‫המספרים‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫השני‬ ‫על‬ ‫אחד‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נערום‬ ‫וכאשר‬
.(‫ממוינים‬ ‫הם‬ ‫כבר‬ ‫כי‬ ‫לראות‬ ‫)ניתן‬ .‫ממוינים‬
II ‫חלק‬
‫עצים‬
‫בינאריים‬ ‫חיפוש‬ ‫עצי‬ 5
:‫בעצים‬ ‫סימון‬ ‫לגבי‬ ‫תזכרות‬
.‫הקודקודים‬ ‫מספר‬ = n
.‫הצלעות‬ ‫מספר‬ = m
‫בסיסיים‬ ‫ומושגים‬ ‫הגדרה‬ 5.1
‫בן‬ ‫יש‬ ‫בו‬ ‫קודקוד‬ ‫שללכל‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ‫הוא‬ ‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫עץ‬
.‫והורה‬ ‫ימני‬ ‫ובן‬ ‫שמאלי‬
‫החסר‬ ‫את‬ ‫ממלאים‬ ‫אנחנו‬ ,‫חסרים‬ ‫הורה‬ ‫או‬ ‫אחד‬ ‫ילד‬ ‫אם‬
.NIL‫ב־‬
‫אחד‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ .r ‫שורשו‬ ‫אשר‬ T ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ‫לנו‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
‫הינו‬ r → x ‫במסילה‬ y ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ :x ‫בעץ‬ ‫הקודקודים‬
.x ‫של‬ ‫קדמון‬ ‫אב‬
‫צאצא‬ ‫הוא‬ x ‫אזי‬ ,x ‫של‬ ‫אב־קדמון‬ ‫הוא‬ y ‫אם‬ :‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.y ‫של‬
‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬ ,x ‫של‬ ‫הצאצים‬ ‫כל‬ ‫הינו‬ ‫־‬ x ‫של‬ ‫תת־העץ‬
.‫שורשם‬ ‫הוא‬ x‫ש־‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫־‬
:‫בסיסיים‬ ‫מושגים‬ ‫שני‬ ‫נזכיר‬
.‫עלה‬ = ‫חיצוני‬ ‫קודקוד‬
.‫עלה‬ ‫שלא‬ ‫מה‬ = ‫פנימי‬ ‫קודקוד‬
1
2 3
6

7. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
.3‫ו־‬ 2 ‫של‬ ‫האבא‬ ‫הוא‬ 1
.‫אחים‬ ‫הם‬ 3‫ו־‬ 2 ‫וכמו־כן‬ ,1 ‫של‬ ‫הילדים‬ ‫הם‬ 3‫ו־‬ 2
.‫הורה‬ ‫לו‬ ‫שיאן‬ ‫בעץ‬ ‫היחיד‬ ‫הקודקוד‬ ‫הינו‬ ‫השורש‬
‫הדרגה‬ ‫נקראת‬ x ‫קודקוד‬ ‫של‬ (!‫צאצאים‬ ‫)לא‬ ‫הילדים‬ ‫מספר‬
.x ‫של‬
‫נקרא‬ r → x ‫המסילה‬ ‫אורך‬ ‫אזי‬ ‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ r ‫אם‬
.x ‫של‬ ‫העומק‬
.‫העץ‬ ‫של‬ ‫גובהו‬ (‫מכונה‬ ‫)או‬ ‫נקרא‬ ‫העץ‬ ‫של‬ ‫גדול‬ ‫הכי‬ ‫והעומק‬
:‫למשל‬
4
6
1 8
9
.2 ‫היא‬ 6 ‫של‬ ‫הדרגה‬ ,1 ‫היא‬ 8 ‫של‬ ‫הדרגה‬
.2 ‫הוא‬ 6 ‫של‬ ‫והעומק‬ 1 ‫הוא‬ 8 ‫של‬ ‫העומק‬
.(‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ 4) 3 = 4 ‫של‬ ‫לעומק‬ = ‫העץ‬ ‫גובה‬
.Key [x] ‫ע"י‬ ‫יסומן‬ ‫קודקוד‬ ‫בכל‬ ‫שנמצא‬ ‫הערך‬
‫בינארי‬ ‫עץ‬ 5.2
‫שאין‬ ‫או‬ ‫כאשר‬ ,‫קודקודים‬ ‫של‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫מבנה‬ ‫זהו‬
:6
‫זרות‬ ‫קבוצות‬ ‫משלוש‬ ‫מורכב‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ ‫בכלל‬ ‫קודקודים‬ ‫לו‬
.‫עלה‬ ‫שהוא‬ ‫אחד‬ ‫קדוקוד‬ ˆ
.‫השמאלי‬ ‫תת־העץ‬ ‫שנקרא‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ˆ
.‫הימני‬ ‫תת־העץ‬ ‫שנקרא‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬ ˆ
.‫הריק‬ ‫העץ‬ ‫־‬ ‫נקרא‬ ‫קודקודים‬ ‫ללא‬ ‫בינארי‬ ‫עץ‬
‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫עץ‬ 5.3
:x ‫קודקוד‬ ‫עבור‬ :‫הבא‬ ‫הכלל‬ ‫מתקיים‬ ‫בינארי‬ ‫חיפש‬ ‫בעץ‬
Key [y] ≥ ‫אזי‬ x ‫של‬ ‫מימינו‬ ‫נמצא‬ y ‫קודקוד‬ ‫אם‬
‫מתקיים‬ ‫אזי‬ x ‫של‬ ‫משמאלו‬ ‫נמצא‬ y ‫קודקוד‬ ‫ואם‬ ,Key [x]
:‫למשל‬ ,Key [y] ≤ Key [x]
.‫אחת‬ ‫מקבוצה‬ ‫ביותר‬ ‫להיות‬ ‫לקודקוד‬ ‫אסור‬6
8
3 9
.8‫ה־‬ ‫הוא‬ x ‫קודקוד‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬
‫בינאריים‬ ‫חיפוש‬ ‫בעצי‬ ‫טיולים‬ 5.4
,Inorder ‫ביארי‬ ‫חיפוש‬ ‫בעץ‬ ‫לטייל‬ ‫דרכים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנן‬
Postorder‫ו־‬ Preorder
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫פועלים‬ ‫תמיד‬ ‫אנחנו‬ ‫בעץ‬ ‫הטיולים‬ ‫שלושת‬ ‫בכל‬
,‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬ ‫כלל‬ ‫)בדרך‬ ‫כלשהו‬ ‫קודקוד‬ ‫הינו‬ ‫הקלט‬
(‫כולו‬ ‫העץ‬ ‫את‬ ‫להדפיס‬ ‫נרצה‬ ‫אנחנו‬ ‫כי‬
,‫הימני‬ ‫העץ‬ ‫לתת‬ ‫ואז‬ ‫השמאלי‬ ‫לתת־העץ‬ ‫הולכים‬ ‫קודם‬ ‫אנחנו‬
.‫העלה‬ ‫ערך‬ ‫את‬ ‫מדפיסים‬ ‫אנחנו‬ ‫מתי‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬
‫להמשיך‬ ‫לאן‬ ‫יותר‬ ‫שאין‬ ‫מתי‬ ‫מסימיים‬ ‫אנחנו‬ ‫שכאשר‬ ‫כמובן‬
.(‫ושמאלי‬ ‫ימני‬ ‫תת־עץ‬ ‫לו‬ ‫אין‬ ‫ואז‬ ‫לעלה‬ ‫הגענו‬ ‫)כי‬
:‫הבא‬ ‫לעץ‬ ‫יתחייסו‬ ‫הבאה‬ ‫בטבלה‬ ‫ההדפסה‬ ‫של‬ ‫הדוגמאות‬
6
4 8
1 5 7 9
‫בדוגמא‬ ‫ערך‬ ‫את‬ ‫מדפיסים‬ ‫מתי‬
‫העלה‬
‫הטיול‬ ‫סוג‬
1,4,5,6,7,8,9 ‫לתת‬ ‫שנכנסים‬ ‫אחרי‬
‫השמאלי‬ ‫העץ‬
Inorder
6,4,1,5,7,8,9 ‫שמגיעים‬ ‫ברגע‬
‫לקודקוד‬
‫שנכנסים‬ ‫)לפני‬
(‫השמאלי‬ ‫לתת־העץ‬
Preorder
1,5,4,7,9,8,6 ‫לתת‬ ‫שנכנסים‬ ‫אחרי‬
‫הימני‬ ‫העץ‬
Postorder
‫את‬ ‫מדפיסים‬ ‫תמיד‬ ‫אז‬ ‫לעלה‬ ‫מגיעים‬ ‫שכאשר‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
...‫אנחנו‬ ‫טיול‬ ‫של‬ ‫סוד‬ ‫באיזה‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ ‫ערכו‬
O (n) ‫־‬ ‫והוא‬ ‫שווה‬ ‫הינו‬ ‫בעץ‬ ‫הטיולים‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
7

8. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫בעץ‬ ‫ומקסימלי‬ ‫מינמלי‬ ‫איבר‬ ‫חיפוש‬ 5.5
‫מהשורש‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫בעץ‬ ‫מינמלי‬ ‫איבר‬ ‫למצוא‬ ‫בשביל‬
‫בתת־‬ ‫המינמלי‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫רוצים‬ ‫אם‬ ‫כשלהו‬ ‫מקודקוד‬ ‫)או‬
.(‫עץ‬
‫הולכים‬ ‫הזמן‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫המינימלי‬ ‫האיבר‬ ‫מציאת‬ ‫בשביל‬
.NIL ‫הוא‬ ‫הבא‬ ‫שהשמאלי‬ ‫עד‬ ‫שמאלה‬
.‫ימינה‬ ‫רק‬ ‫דבר‬ ‫אותו‬ ‫־‬ ‫המקסימלי‬ ‫האיבר‬ ‫לגבי‬
.O (log n) :‫אלו‬ ‫מפעולות‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫לעץ‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫הוספה‬ 5.6
.‫בלבד‬ ‫עלים‬ ‫מוסיפים‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫פשוטה‬ ‫יחסית‬ ‫היא‬ ‫ההוספה‬
‫־‬ ‫העץ‬ ‫משורש‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ‫להוסיף‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאשר‬
‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫לו‬ ‫שווה‬ ‫או‬ ‫גדול‬ ‫להוסיף‬ ‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הערך‬ ‫אם‬
,‫השמאלי‬ ‫לבן‬ ‫הולכים‬
.‫הימני‬ ‫לבן‬ ‫הולכים‬ ‫אחרת‬
‫מההתחלה‬ ‫התהליך‬ ‫את‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ‫קודקוד‬ ‫שם‬ ‫יש‬ ‫אם‬
‫אנו‬ ‫שבו‬ ‫לקדוקוד‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫השורש‬ ‫שבמקום‬ ‫רק‬
.‫כרגע‬ ‫נמצאים‬
.‫כעלה‬ ‫שלנו‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מוסיפים‬ ‫אנחנו‬ ‫קודקוד‬ ‫אין‬ ‫אם‬
!‫וסיימנו‬
O (log n) :‫הינו‬ ‫לעץ‬ ‫איבר‬ ‫הוספת‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫מהעץ‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫השמטה‬ 5.7
‫או‬ ‫עלה‬ ‫להשמיט‬ ‫אוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫או‬ ‫אפרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬
.‫עלה‬ ‫שאינו‬ ‫קודקוד‬ ‫להשמיט‬ ‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬
‫את‬ ‫משמיטים‬ ‫פשוט‬ ‫בעיה‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫עלה‬ ‫היני‬ ‫הקודקוד‬ ‫אם‬
.‫הקודקוד‬
:‫אזי‬ 9 ‫את‬ ‫להשמיט‬ ‫נרצה‬ ‫הבא‬ ‫מהעץ‬ ‫עם‬ ,‫למשל‬
8
3 9
⇓
8
3
‫פשוט‬ ‫אזי‬ ‫אחד‬ ‫בן‬ ‫לו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫אזי‬ ,‫עלה‬ ‫אינו‬ ‫הקודקוד‬ ‫אם‬
.‫היחיד‬ ‫הבן‬ ‫את‬ ‫שמים‬ ‫במקומו‬ ‫אותו‬ ‫מוחקים‬
‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ‫בנים‬ ‫שני‬ ‫לו‬ ‫ויש‬ ‫עלה‬ ‫אינו‬ ‫הקודקוד‬ ‫אם‬
‫את‬ ‫לשים‬ ‫קודקוד‬ ‫אותו‬ ‫ובמקום‬ ‫שלו‬ ‫העוקב‬ ‫את‬ ‫למצוא‬
...‫העוקב‬
.O (log n) :‫הינו‬ ‫השמטה‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫עוקב‬ 5.7.1
‫הקודקוד‬ ‫הינו‬ ‫מסוים‬ ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫העוקב‬ ‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫בעץ‬
.‫ממנו‬ ‫הגדולים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬ ‫קטן‬ ‫הכי‬ ‫הערך‬ ‫בעל‬
‫האיבר‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫אנחנו‬ ‫העוקב‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בשביל‬
‫ואז‬ ‫קודקוד‬ ‫אותו‬ ‫של‬ 7
‫השמאלי‬ ‫תת־העץ‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬
.‫לעלה‬ ‫שנגיע‬ ‫עד‬ ‫ימינה‬ ‫ללכת‬ ‫מתחילים‬
‫קודם‬ 5.7.2
x ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫הקודם‬ ‫מציאת‬ ‫־‬ ‫הפוך‬ ‫רק‬ ‫בדיוק‬ ‫דבר‬ ‫אותו‬
:‫כך‬ ‫הינה‬
:‫לכן‬ ,‫הקטנים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬ ‫גדול‬ ‫הכי‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬
‫ואז‬ x ‫של‬ ‫הימני‬ ‫תת־העץ‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫נחפש‬
.‫לעלה‬ ‫שנגיע‬ ‫עד‬ ‫שמאלה‬ ‫הזמן‬ ‫כל‬ ‫נלך‬
:‫הערות‬
‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כמו‬ ‫הוא‬ ‫הקודם‬ ‫מציאת‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
.O (log n) :‫העוקב‬ ‫מציאת‬
‫השמאלי‬ ‫הבן‬ ‫כאשר‬ ‫המינימלי‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫לחפש‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬7
.‫העץ‬ ‫שורש‬ ‫יהיה‬ ‫קודקוד‬ ‫אותו‬ ‫של‬
8

9. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫שחורים‬ ‫אדומים‬ ‫עצים‬ 6
‫הגדרה‬ 6.1
‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ‫אשר‬ ‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫עץ‬ ‫הינו‬ ‫אדום־שחור‬ ‫עץ‬
.8
‫שחור‬ ‫או‬ ‫באדום‬ ‫צבוע‬ ‫הוא‬ ‫־‬ ‫נוספת‬ ‫תוכנה‬ ‫ישנה‬
:‫תכונות‬ ‫ארבעה‬ ‫ישנן‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ,‫כלומר‬
.(‫כמובן‬ ‫השורש‬ ‫)מלבד‬ ‫הורה‬ ˆ
.‫שמאלי‬ ‫בן‬ ˆ
.‫ימני‬ ‫בן‬ ˆ
.(‫שחור‬ ‫או‬ ‫)אדום‬ ‫צבע‬ ˆ
‫העץ‬ ‫תכונות‬ 6.1.1
:‫תכונות‬ ‫מספר‬ ‫קיימות‬ ‫אדום־שחור‬ ‫בינארי‬ ‫לעץ‬
.‫שחור‬ ‫תמיד‬ ‫הוא‬ ‫השורש‬ ˆ
‫ייתכנו‬ ‫לא‬ ,‫)כלומר‬ ‫ברצף‬ ‫אדומים‬ ‫קודקודים‬ ‫שני‬ ‫אין‬ ˆ
.(‫אדומים‬ ‫ובן‬ ‫אב‬
‫)שכאן‬ ‫־ים‬NIL‫ב־‬ ‫העץ‬ ‫תחתית‬ ‫את‬ "‫"מרפדים‬ ‫אנחנו‬ ˆ
:‫למשל‬ .( ‫כ־‬ ‫יסומנו‬
6
2
‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫היטב‬ ‫מוגדר‬ ‫כלקודקוד‬ ‫של‬ ‫השחור‬ ‫הגובה‬ ˆ
‫השחורים‬ ‫העלים‬ ‫כמות‬ ‫אזי‬ ,‫בעץ‬ ‫מסויים‬ ‫קודקוד‬ ‫ניקח‬
‫מסילה‬ ‫בכל‬ (‫שחור‬ ‫והוא‬ ‫במידה‬ ‫אותו‬ ‫כולל‬ ‫)לא‬ ‫שנראה‬
.‫זהה‬ ‫תהיה‬ ‫העלים‬ ‫לאחד‬ ‫למטה‬ ‫פשוטה‬
‫שחורים‬ ‫וצמתים‬ 3 ‫־‬ ‫יסומנו‬ ‫אדומים‬ ‫צמתים‬ ‫הזה‬ ‫הסיכום‬ ‫במהלך‬8
3 ‫־‬ ‫יסומנו‬
‫אדום־שחור‬ ‫עץ‬ ‫בניית‬ 6.2
‫הוספת‬ ‫ע"י‬ ‫חוקי‬ ‫אדום־שחור‬ ‫עץ‬ ‫לבנות‬ ‫ניתן‬ ,‫בעיקרון‬
,(‫בהמשך‬ ‫יוסבר‬ ‫קודקודים‬ ‫מוסיפים‬ ‫)איך‬ ‫קודקוד־קודקוד‬
...‫שיטות‬ ‫כמה‬ ‫עוד‬ ‫ישנן‬ ‫אבל‬
:‫דומות‬ ‫מאוד‬ ‫שיטות‬ ‫שתי‬ ‫כאן‬ ‫אציג‬
(‫שניתן‬ ‫כמה‬ ‫)עד‬ 9
‫מאוזן‬ ‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫עץ‬ ‫בונים‬ ‫־‬ ‫האחת‬
‫שאינה‬ ‫הרמה‬ ‫מלבד‬ ‫בשחור‬ ‫העץ‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫צובעים‬ ‫ופשוט‬
:‫למשל‬ ,(‫העץ‬ ‫באיזון‬ "‫ש"פוגעת‬ ‫)זאת‬ ‫מואזנת‬
5
2 6
1 3 7 8
4
:‫חוקי‬ ‫אדום־שחור‬ ‫עץ‬ ‫זה‬
. ‫שחור‬ ‫השורש‬ ˆ
. ‫ברצף‬ ‫אדומים‬ ‫שני‬ ‫אין‬ ˆ
‫לכל‬ ‫זהה‬ ‫שלו‬ ‫השחור‬ ‫הגובה‬ ,‫בעץ‬ ‫שנבחר‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ˆ
. ‫העלים‬ ‫לאחד‬ (‫מטה‬ ‫)כלפי‬ ‫פשוטה‬ ‫מסילה‬ ‫בכל‬
(‫)השורש‬ ‫בשחור‬ ‫אחת‬ ‫רמה‬ ‫נצבע‬ ‫שפשוט‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬
...‫הלאה‬ ‫וכך‬ ‫באדום‬ ‫הבאה‬ ‫רמה‬ ‫ואז‬
‫השחור‬ ‫הגובה‬ ‫מבחינת‬ ,‫יעבוד‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫שבהם‬ ‫מקרים‬ ‫ישנם‬
,‫כלומר‬ ,‫מאוזנת‬ ‫שאינה‬ ‫הרמה‬ ‫כאשר‬ ‫קורה‬ ‫)זה‬ ‫העלים‬ ‫של‬
‫שמעליה‬ ‫ומה‬ ‫בשחור‬ ‫צבועה‬ ‫העץ‬ ‫איזון‬ ‫את‬ ‫שמפרה‬ ‫זאת‬
‫של‬ ‫השחור‬ ‫הגובה‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫כדאי‬ ‫תמיד‬ ‫לכן‬ ,(‫באדום‬
.‫הקודקודים‬
5
2 6
1 3 7 8
4
‫הרעיון‬ ‫כי‬ ‫בהנחה‬ , ‫ה־‬ ‫בעצים‬ ‫יוצגו‬ ‫לא‬ ‫ואליך‬ ‫מכאן‬ :‫הערה‬
.‫הובן‬
‫ניתן‬ ‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ ‫קיים‬ ‫עץ‬ ‫לצבוע‬ ‫נדרשים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאשר‬
‫למקומות‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדאי‬ ,‫שחור‬ ‫אדום‬ ‫שיהיה‬ ‫כך‬ ‫אותו‬ ‫לצוע‬
‫ולאות‬ ‫מאוזנים‬ ‫שאינם‬ ‫עץ‬ ‫תתי‬ ‫שיש‬ ‫)היכן‬ ‫בעץ‬ ‫מאוזנים‬ ‫הלא‬
.(‫שמה‬ ‫אפשרי‬ ‫הדבר‬ ‫אם‬
.‫עומק‬ ‫באותו‬ ‫בם‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫העצים‬ ‫תתי‬ ‫שכל‬ ,‫כלומר‬9
9

10. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫לעץ‬ ‫קודקוד‬ ‫הוספת‬ 6.3
‫יתווסף‬ ‫תמיד‬ ‫הוא‬ ‫־‬ ‫לעץ‬ ‫קודקוד‬ ‫להוסיף‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאשר‬
.‫אדום‬ ‫בצבע‬ ‫כעלה‬
,‫זמני‬ ‫באופן‬ ( ‫)ה־‬ ‫־ים‬NIL‫ה־‬ ‫שכבת‬ ‫את‬ ‫מסירים‬ ‫אנחנו‬
.‫־ים‬NIL‫ה־‬ ‫את‬ ‫מחזירים‬ ‫ואז‬ ,‫האדום‬ ‫העלה‬ ‫את‬ ‫מכניסים‬
‫הוספנו‬ ‫כאילו‬ ‫אותו‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ,‫שלמעלה‬ ‫כאן‬ ‫בעץ‬ ,‫למשל‬
... 4 ‫־‬ ‫את‬ ‫עכשיו‬ ‫לנו‬
:‫מקרים‬ ‫לשלושה‬ ‫ההוספה‬ ‫את‬ ‫נחלק‬
‫שחור‬ ‫לקודקוד‬ ‫עלה‬ ‫הוספת‬ 6.3.1
:‫כי‬ !‫בעיה‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬
‫אותו‬ ‫הוספנו‬ ‫)הרי‬ ‫אדומים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫רצף‬ ‫יוצר‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ˆ
.(‫שחור‬ ‫לקודקוד‬ ‫מתחת‬
‫היותר‬ ‫)והאבות‬ ‫ההורים‬ ‫של‬ ‫האדום‬ ‫בגובה‬ ‫פוגע‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ˆ
‫בגובה‬ ‫שחורים‬ ‫קודקודים‬ ‫סופרים‬ ‫לו‬ ‫אנחנו‬ ‫כי‬ (‫עליונים‬
.‫שחור‬
‫אדום‬ ‫לקודקוד‬ ‫עלה‬ ‫הוספת‬ 6.3.2
...‫אדומים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫רצף‬ ‫יש‬ ‫־‬ ‫בעיה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬
?‫עושים‬ ‫מה‬ ‫אז‬
‫ורוטציה‬ ‫לימין‬ ‫רוטציה‬ ‫־‬ ‫מושגים‬ ‫שני‬ ‫שנכיר‬ ‫כדאי‬ ‫זה‬ ‫לפני‬
‫לשמאל‬
‫קודקוד‬ ‫מוסבבים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאן‬ ‫בעיקרון‬ ‫לשמאל‬ ‫רוטציה‬
,(‫וניתן‬ ‫)במידה‬ ‫ימינה‬ ‫אחד‬
:‫למשל‬
3
γ 4
β α
⇒ 4
3 α
γ β
:‫ש‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדאי‬
‫אחד‬ ‫קודקוד‬ ‫מעלים‬ ‫רק‬ ‫שאנחנו‬ ‫זה‬ ‫בפועל‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ˆ
‫מיקומי‬ ‫את‬ ‫משנים‬ ‫אנחנו‬ ‫מקרה‬ ‫בכל‬ ‫אבל‬ ,‫מורידים‬ ‫)או‬
‫)או‬ ‫הקודקוד‬ ‫רק‬ ‫־‬ ‫נשאר‬ ‫הסדר‬ ‫אבל‬ ‫־‬ (‫הקודקודים‬ ‫שני‬
!‫השנייה‬ ‫לצומת‬ ‫זז‬ (β) ‫האמצעי‬ (‫העץ‬ ‫תת‬
...‫זה‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.‫תתי־עצים‬ ‫או‬ ‫קודקודים‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫אלו‬ ‫־‬ α, β, γ
:‫הפוך‬ ‫רק‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫בדיוק‬ ‫לימין‬ ‫רוטציה‬
4
3 α
γ β
⇒ 3
γ 4
β α
.‫אדום‬ ‫לקודקוד‬ ‫עלה‬ ‫שמוסיפים‬ ‫קורה‬ ‫מה‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬
‫מקרים‬ ‫ארבעה‬ ‫ישנם‬
‫של‬ ‫דודו‬ ‫על‬ ‫שמסתכלים‬ ‫הוא‬ ‫שעושים‬ ‫מה‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬
.‫הקודקוד‬
‫אדום‬ ‫הדוד‬ ‫־‬ ‫ראשון‬ ‫מקרה‬
7
6 8
9
‫הוא‬ ‫דודו‬ ‫אזי‬ ‫האחרון‬ ‫כעלה‬ 9 ‫הכנסנו‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬
‫יש‬ ‫־‬ ‫כלומר‬ ‫־‬ ‫אדום‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫רואים‬ ‫אנחנו‬ (‫אביו‬ ‫של‬ ‫)אחיו‬ 6
.‫שחור‬ ‫אב‬ ‫עם‬ ‫אדומים‬ ‫בנים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫מקרה‬ ‫לנו‬
‫ואילו‬ ‫לאדום‬ ‫והופך‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מוותר‬ ,7 ‫הסבא‬ ,‫הזה‬ ‫במקרה‬
‫־‬ ‫לשחורים‬ ‫הופכים‬ ‫בניו‬ ‫שני‬
7
6 8
9
.‫הבעיה‬ ‫נפתרה‬ ‫כך‬ ‫וע"י‬
‫־‬ ‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫)או‬ ‫השורש‬ ‫הוא‬ 7‫ש־‬ ‫במקרה‬ ‫רק‬ :‫הערה‬
‫ומקבלים‬ ‫שחור‬ ‫אותו‬ ‫משאירים‬ ‫אנחנו‬ (‫השורש‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫רק‬
:‫כזאת‬ ‫תהיה‬ ‫התוצאה‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫לכן‬ ,‫שחורים‬ ‫בניו‬ ‫את‬
7
6 8
9
‫)בן‬ ‫האב‬ ‫של‬ ‫מהכיוון‬ ‫בן‬ ‫והכנסנו‬ ‫שחור‬ ‫הדוד‬ ‫־‬ ‫שני‬ ‫מקרה‬
(‫שמאלי‬ ‫לאב‬ ‫שמאלי‬ ‫בן‬ ‫או‬ ‫ימני‬ ‫לאב‬ ‫ימני‬
7
6 8
9
(B-Trees) B‫עצי־‬ 7
(‫שקיבלנו‬ ‫בית‬ ‫תרגיל‬ ‫)מתוך‬
10

11. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫הגדרה‬ 7.1
:‫ע"י‬ ‫ומאופיין‬ root [T] :‫הוא‬ ‫ששורשו‬ T ‫עץ‬ ‫הוא‬ B-tree ‫עץ‬
:‫הבאים‬ ‫השדות‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ x ‫קודקוד‬ ‫כל‬ .1
‫בקודקוד‬ ‫נמצאות‬ ‫אשר‬ ‫המפתחות‬ ‫מספר‬ ‫־‬ n [x] 1.1
.(x)
‫שאינו‬ ‫בסדר‬ ‫נמצאים‬ ‫אשר‬ ,‫עצמם‬ ‫המפתחות‬ 1.2
:‫כלומר‬ ,‫יורד‬
key1 [x] ≤ key2 [x] ≤ key3 [x] ≤ · · · ≤ keyn[x] [x]
x ‫אם‬ ‫לנו‬ ‫אומר‬ ‫אשר‬ ‫בולאני‬ ("‫"ערך‬ ‫)או‬ ‫משתנה‬ 1.3
.‫אחרת‬ False ,‫כן‬ ‫אם‬ True .‫עלה‬ ‫הוא‬
‫פוינטרים‬ n [x] + 1 ‫מכיל‬ x ‫פנימי‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ .2
‫אין‬ ‫ולעלה‬ ‫היות‬ .‫שלו‬ ‫לילדים‬ c1 [x] , ..., cn[x]+1 [x]
.‫מוגדר‬ ‫אינו‬ ‫שלהם‬ ci‫ה־‬ ‫אזי‬ ‫ילדים‬
‫שנמצאים‬ ‫המפתחות‬ ‫בין‬ ‫מפרידים‬ keyi [x] ‫המפתחות‬ .3
:‫כלומר‬ ,‫תת־עץ‬ ‫בכל‬
‫בתת־העץ‬ ‫נמצא‬ ‫אשר‬ ,‫כלשהו‬ ‫מפתח‬ ‫הוא‬ ki ‫אם‬
:‫אזי‬ ci [x] ‫הינו‬ ‫ששורשו‬
k1 ≤ key1 [x] ≤ k2 ≤ key2 [x] ≤ · · · ≤ kn[x]+1 ≤ keyn[x]+1 [x]
.(‫העץ‬ ‫גובה‬ ‫גם‬ ‫הוא‬ h) h ‫־‬ ‫הגובה‬ ‫באותו‬ ‫העלים‬ ‫כל‬ .4
‫המפתחות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫ותחתונים‬ ‫עליונים‬ ‫חסמים‬ ‫ישנם‬ .5
‫לביטוי‬ ‫ניתנים‬ ‫אלו‬ ‫חסמים‬ .‫להכיל‬ ‫יכול‬ ‫שקודקוד‬
‫העץ‬ ‫של‬ ‫המינימלית‬ ‫המעלה‬ ‫נקרא‬ ‫אשר‬ t ‫של‬ ‫במונחים‬
:‫וכאשר‬ 2 ≤ t ∈ N ‫כאשר‬
‫מכילים‬ ‫השורש‬ ‫מלבד‬ ‫הפנימיים‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ 5.1
‫אם‬ .‫ילדים‬ t ‫ולפחות‬ ‫מפתחות‬ t − 1 :‫לפחות‬
‫לפחות‬ ‫להכיל‬ ‫חייב‬ ‫השורש‬ ‫אזי‬ ,‫ריק‬ ‫אינו‬ ‫העץ‬
.‫אחד‬ ‫מפתח‬
.‫מפתחות‬ 2t − 1 ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫מכיל‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ 5.2
2t ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫להכיל‬ ‫יכול‬ ‫פנימי‬ ‫קודקוד‬ ,‫לכן‬
‫אומרים‬ ‫אנו‬ ‫ילדים‬ 2t ‫בדיוק‬ ‫ישנם‬ ‫אם‬ .‫ילדים‬
‫מלא‬ ‫הקודקוד‬ ‫כי‬
.3
‫ומעלה‬ h ‫גובה‬ ,‫מפתחות‬ n ‫עם‬ B-tree‫ב־‬ n ≥ 1 ‫מפתח‬ ‫לכל‬
:t ≥ 2 ‫היא‬ ‫המינימלית‬
h ≤ logt
n + 1
2
‫בעץ‬ ‫חיפוש‬ 7.2
.‫בינארי‬ ‫בעץ‬ ‫לחיפש‬ ‫דומה‬ ‫מאוד‬ ‫החיפוש‬ ‫אלגוריתם‬
‫זאת‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫שמאלה‬ ‫או‬ ‫ימינה‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫לרדת‬ ‫במקום‬
.‫קודקוד‬ ‫לאותו‬ ‫שיש‬ ‫הילדים‬ ‫למספר‬ ‫בהתאם‬
.‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫בעץ‬ ‫חיפוש‬ ‫של‬ ‫בהכללה‬ ‫מדובר‬ ,‫כלומר‬
‫)סעיפי‬ ‫החלטות‬ n (x) + 1 ‫נבצע‬ x ‫קודקוד‬ ‫עבור‬ ,‫כלומר‬
.(‫בינארי‬ ‫חיפוש‬ ‫בעץ‬ 2 ‫)במקום‬ (‫החלטה‬
k ‫ומפתח‬ ‫העץ‬ ‫לשורש‬ x ‫פוינטר‬ ‫הוא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫הקלט‬
.‫מחפשים‬ ‫שאותו‬
‫הינו‬ ‫הפלט‬ ‫אחרת‬ ,‫בעץ‬ ‫נמצא‬ ‫אינו‬ k ‫אם‬ NIL ‫הוא‬ ‫הפלט‬
‫אינדקס‬ ‫הוא‬ i‫ו־‬ ‫הקודקוד‬ ‫הוא‬ y ‫כאשר‬ (y, i) ‫הסדור‬ ‫הזוג‬
:‫ש‬ ‫כך‬
keyi [y] = k
:‫האלגוריתם‬ ‫תיאור‬
‫וגם‬ k > keyi (k) ‫המקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ i‫ה־‬ ‫את‬ ‫נחפש‬
.i ≤ n (x)
:k = keyi [x] ‫מקיים‬ ‫הנ"ל‬ i‫ה־‬ ‫האם‬ ‫נבדוק‬
.(x, i) ‫את‬ ‫נחזיר‬ ‫־‬ ‫כן‬ ‫אם‬ ˆ
:‫עלה‬ ‫הוא‬ x ‫האם‬ ‫נבדוק‬ ‫אחרת‬ ˆ
.NIL ‫נחזיר‬ ‫כן‬ ‫אם‬ –
‫רקורסיבי‬ ‫באופן‬ ‫לפונקציה‬ ‫שוב‬ ‫נקרא‬ ‫־‬ ‫לא‬ ‫אם‬ –
.(ci [x] , k) ‫את‬ ‫לה‬ ‫נעביר‬ ‫כאשר‬
:‫הריצה‬ ‫זמן‬
.‫העץ‬ ‫כגובה‬ ‫־‬ ‫פעמים‬ h ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫לפונקציה‬ ‫קוראים‬ ‫אנחנו‬
‫השוואות‬ 2t ‫קודקוד‬ ‫בכל‬ ‫נבצע‬ ‫גרוע‬ ‫הכי‬ ‫במקרה‬ ‫כאשר‬
:‫סה"כ‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬ ‫ולכן‬
O (h · t) = O (t logt n)
11

12. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשע"ה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
III ‫חלק‬
‫הופמן‬ ‫צפני‬
‫הופמן‬ ‫צופן‬ ‫חישוב‬ 8
?‫הופן‬ ‫צופן‬ ‫מחשבים‬ ‫כיצד‬
‫מה‬ ‫אזי‬ ,‫במשפט‬ ‫תו‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫התדירויות‬ ‫טבלת‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬
‫התדירות‬ ‫בעלי‬ ‫התווים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫שלוקחים‬ ‫הוא‬ ‫עושים‬ ‫שאנחנו‬
.‫אותם‬ ‫וממזגים‬ ‫נמוכה‬ ‫הכי‬
5 b ‫והאות‬ ‫פמעים‬ 4 ‫מופיעה‬ a ‫שהאות‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ‫למשל‬
:‫כך‬ ‫יראה‬ ‫המיזוג‬ ‫אזי‬
9
a : 4 b : 5
‫הנראה‬ ‫ככל‬ ‫אנחנו‬ ‫)כי‬ ‫עצמו‬ ‫בפני‬ ‫תו‬ ‫כאל‬ 9‫ל־‬ ‫ומתייחסים‬
.(‫תווים‬ ‫עוד‬ ‫וישנם‬ ‫במידה‬ ‫אם‬ ‫ולמזג‬ ‫להמשיך‬ ‫נרצה‬
‫צלע‬ ‫לכל‬ ‫מוסיפים‬ ‫אנחנו‬ ,‫העץ‬ ‫את‬ ‫שקיבלנו‬ ‫אחרי‬ ,‫לבסוף‬
‫צלע‬ ‫ולכל‬ 0 ‫הערך‬ ‫את‬ (‫שמאלי‬ ‫לבן‬ ‫צלע‬ ,‫)כלומר‬ ‫שמאלית‬
.1 ‫הערך‬ ‫את‬ ‫ימנית‬
‫עד‬ ‫העץ‬ ‫משורש‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ‫מסוים‬ ‫תו‬ ‫של‬ ‫ערך‬ ‫לחישוב‬
(‫כמובן‬ ‫העץ‬ ‫של‬ ‫בעלים‬ ‫הם‬ ‫התווים‬ ‫)כל‬ ‫תו‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫לעלה‬
‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫שדרכה‬ ‫הספרה‬ ‫את‬ ‫מלקטים‬ ‫אנחנו‬ ‫פעם‬ ‫וכל‬
.‫הספציפי‬ ‫התו‬ ‫של‬ ‫צופן‬ ‫וזה‬ (‫לצלע‬ ‫)בהתאם‬
:‫דברים‬ ‫שני‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫של‬ ‫הכולל‬ ‫המופעים‬ ‫סך‬ ‫לנו‬ ‫להיות‬ ‫אמור‬ ‫העץ‬ ‫בשורש‬ .1
.‫התווים‬ ‫כל‬
‫כותבים‬ ‫שאנחנו‬ ‫בסוף־‬ ‫אזי‬ ‫בעברית‬ ‫בצופן‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ .2
‫זה‬ ‫את‬ ‫לעשות‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ,‫שלה‬ ‫הקוד‬ ‫את‬ ‫אות‬ ‫לכל‬
‫הכלב‬ :‫המשפט‬ ‫את‬ ‫להצפין‬ ‫נדרשו‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬ .‫הפוך‬
,‫אות‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫הצופן‬ ‫את‬ ‫שנכתוב‬ ‫לבסוף‬ ‫אזי‬ .‫הלך‬
‫ךלה‬ :‫כך‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לכתוב‬ ‫נצטרך‬ ‫נכון‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬ ‫בשביל‬
.‫בלכה‬
IV ‫חלק‬
‫הגרפים‬ ‫בתורת‬ ‫אלגוריתמים‬
BFS DFS ‫־‬ ‫גרף‬ ‫חקירת‬ 9
‫אותו‬ ‫את‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ ‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כאשר‬
:‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫במצעות‬
.‫שכנים‬ ‫רשימת‬ ‫או‬ ‫שכנויות‬ ‫מטריצת‬
m × m ‫בגודל‬ ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫הינה‬ ‫השכוניות‬ ‫מטריצת‬
.j ‫של‬ ‫שכן‬ i‫ש־‬ ‫פירושו‬ (i, j) ‫התא‬ ‫אשר‬
:‫הבא‬ ‫המכוון‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬
1 // 2
4
OO
3oo
:‫תהיה‬ ‫שלו‬ ‫השכנות‬ ‫מטריצת‬ ‫אזי‬
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 0 0 1 0
3 0 0 0 1
4 1 0 0 0
‫צלע‬ ‫מרשים‬ ‫)אנחנו‬ ‫עצמה‬ ‫של‬ ‫שכנה‬ ‫היא‬ ‫צלע‬ ‫שאם‬ ‫כמובן‬
.0 ‫ולא‬ 1 ‫יהיה‬ ‫באלכסון‬ ‫אזי‬ (‫לעצמו‬ ‫מקודקוד‬
‫השכנות‬ ‫מטריצת‬ ‫אזי‬ ‫מכוון‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬ ‫היה‬ ‫הנל‬ ‫הגרך‬ ‫אם‬
:‫היתה‬
1 2 3 4
1 0 1 0 1
2 1 0 1 0
3 0 1 0 1
4 1 0 1 0
.‫סימטרית‬ ‫תמיד‬ ‫היא‬ ‫המטריצה‬ ‫מכוון‬ ‫שאינו‬ ‫בגרף‬ ‫כשמדובר‬
‫תא‬ ‫שבכל‬ ‫מקושרות‬ ‫רשימות‬ ‫של‬ ‫רשימה‬ ‫הינה‬ ‫שכנים‬ ‫רשימה‬
.‫שלו‬ ‫השכנים‬ ‫רשימה‬ ‫את‬ ‫ואחריו‬ ‫קודקוד‬ ‫יש‬
:(‫למעלה‬ ‫שנתון‬ ‫גרף‬ ‫)אותו‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫דוגמר‬ ‫נראה‬ ‫אנחנו‬
1 // 2
2 // 3
3 // 4
4 // 1
12

13. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשעה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫לכל‬ ‫שיש‬ ‫בגרפים‬ ‫או‬ ,‫מכוון‬ ‫הלא‬ ‫בגרף‬ ‫מדובר‬ ‫היה‬ ‫אם‬ ,‫כעת‬
‫הקודקודים‬ ‫את‬ ‫לשים‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ ,‫אחד‬ ‫משכן‬ ‫יותר‬ ‫קודקוד‬
‫סדר‬ ‫על‬ ‫ישפיע‬ ‫כמובן‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,‫שרירותי‬ ‫באופן‬ ‫ברשימה‬
.DFS‫ו־‬ BFS ‫באלגוריתמים‬ ‫לקודקודים‬ ‫הכניסה‬
:‫מכוון‬ ‫שאינו‬ ‫בגרף‬ ‫מדובר‬ ‫היה‬ ‫אם‬ ,‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫למשל‬
1 // 2 // 4
2 // 3 // 1
3 // 4 // 2
4 // 1 // 3
BFS ‫הגרף‬ ‫של‬ ‫רוחבית‬ ‫חקירה‬ 9.1
.‫לרוחב‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫נחקור‬ ‫אנחנו‬ ‫הזה‬ ‫באלגוריתם‬
.(s ∈ V ) .s ‫מקור‬ ‫וקדוקוד‬ G ‫גרף‬ ‫הינו‬ ‫הקלט‬
‫תיאור‬ ‫במהלך‬ ‫יוסבר‬ ‫בו‬ ‫השימוש‬ ‫שאופן‬ ‫תור‬ ‫ישנו‬ ,‫כמו־כן‬
.‫האלגוריתם‬
‫לכל‬ ‫כאשר‬ 10
‫מינמליים‬ ‫מרחקים‬ ‫עץ‬ ‫הינו‬ ‫האלגוריתם‬ ‫פלט‬
:‫הבאים‬ ‫המאפיינים‬ ‫את‬ ‫ישנם‬ ‫קודקוד‬
‫)המרחק‬ s ‫מקודקוד‬ u ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫המרחק‬ ‫־‬ d [u]
.(‫המינמלי‬
‫)מלבד‬ .‫שלו‬ ‫האבא‬ ,u ‫קודקוד‬ ‫את‬ ‫שגילה‬ ‫הקדוקוד‬ ‫־‬ π [u]
.(NIL ‫הוא‬ ‫שלו‬ π‫שה־‬ s
‫האלגוריתם‬
‫הצבעים‬ ‫משלושת‬ ‫באחד‬ ‫צבוע‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬
.‫ושחור‬ ‫אפור‬ ,(‫שלו‬ ‫המחדל‬ ‫ברירת‬ ‫)צבע‬ ‫לבן‬ :‫הבאים‬
‫באפור‬ ‫נצבע‬ ‫לתור‬ ‫שנכנס‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ :‫הבא‬ ‫מהכלל‬ ‫נתחיל‬
.‫בשחור‬ ‫נצבע‬ ‫הוא‬ ‫ממנו‬ ‫יוצא‬ ‫הוא‬ ‫וכאשר‬
‫)והתור‬ ‫שחורים‬ ‫יהיו‬ ‫הקודקוד‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫יסתיים‬ ‫האלגוריתם‬
.(‫ריק‬ ‫יהיה‬
‫אותו‬ ‫וצובעים‬ ‫לתור‬ s ‫קודקוד‬ ‫את‬ ‫כל‬ ‫קודם‬ ‫מכניסים‬ ‫אנחנו‬
‫בשחור‬ ‫אותו‬ ‫צובעים‬ ,‫מהתור‬ ‫אותו‬ ‫מוציאים‬ ‫אנחנו‬ ,‫באפור‬
‫אותם‬ ‫)ומכניסים‬ ‫באפור‬ ‫צובעים‬ ‫אנחנו‬ ‫שלו‬ ‫השכנים‬ ‫כל‬ ‫ואת‬
.1‫ב־‬ ‫שלהם‬ d‫ה־‬ ‫ואת‬ s‫ב־‬ ‫שלהם‬ π‫ה־‬ ‫את‬ ‫ומסמנים‬ (‫לתור‬
‫בקודקודים‬ ‫רק‬ ‫נוגעים‬ ‫אנחנו‬ :‫הבא‬ ‫הכלל‬ ‫על‬ ‫שומרים‬ ‫אנחנו‬
‫בו‬ ‫נוגעים‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫אפור‬ ‫או‬ ‫שחור‬ ‫הוא‬ ‫קודקוד‬ ‫אם‬ .‫לבנים‬
.(‫לתור‬ ‫אותו‬ ‫מכניסים‬ ‫לא‬ ,‫)כלומר‬
‫בתור‬ ‫שנמצא‬ ‫הראשון‬ ‫הקודקוד‬ ‫את‬ ‫מוציאים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כעת‬
.‫בשחור‬ ‫ואותו‬ ‫באפור‬ ‫הלבנים‬ ‫שכניו‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬
‫כל‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫בתור‬ ‫השני‬ ‫הקודקוד‬ ‫את‬ ‫מוציאים‬ ‫אנחנו‬
.‫בשחור‬ ‫ואותו‬ ‫באפור‬ ‫הלבנים‬ ‫שכניו‬
.‫לבנים‬ ‫קודקודים‬ ‫יותר‬ ‫שאין‬ ‫שנראה‬ ‫עד‬ ,‫הלאה‬ ‫וכך‬
‫מרחקים‬ ‫עץ‬ ‫וקיבלנו‬ ‫מהתור‬ ‫הקודקודים‬ ‫את‬ ‫נוציא‬
.‫מינמליים‬
‫הקצר‬ ‫הינו‬ ‫הקודקודים‬ ‫שאר‬ ‫מכל‬ s ‫הקודקוד‬ ‫של‬ ‫שהמרחק‬ ‫עץ‬ ,‫כלומר‬10
.‫ביותר‬
DFS ‫הגרף‬ ‫של‬ ‫עומקית‬ ‫חקירה‬ 9.2
.‫השכנים‬ ‫רשימת‬ ‫עם‬ G ‫גרף‬ ‫הוא‬ DFS‫ב־‬ ‫הקלט‬
‫זמן‬ ‫דישנו‬ ‫קודוק‬ ‫לכל‬ ‫כאשר‬ ‫מעגלים‬ ‫חסר‬ ‫גרף‬ ‫הינו‬ ‫הפלט‬
.‫יציאה‬ ‫וזמן‬ ‫אליו‬ ‫כניסה‬
‫בגרף‬ ‫יכללו‬ ‫כולם‬ ‫אחד‬ ‫קשירות‬ ‫מרכיב‬ ‫יותר‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬ ‫גם‬
‫אל‬ ‫נגיע‬ ‫לא‬ ,BFS‫)ב־‬ ‫קודקוד‬ ‫קודקוד‬ ‫עוברים‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬
.(s ‫של‬ ‫קשירות‬ ‫רכיב‬ ‫באותו‬ ‫שאינם‬ ‫קודקודים‬
(‫ממנו‬ ‫יציאה‬ ‫או‬ ‫קודקוד‬ ‫אל‬ ‫)כניסה‬ ‫תזוזה‬ ‫שכל‬ ‫שעון‬ ‫ישנו‬
.1‫ב־‬ ‫שלו‬ ‫המונה‬ ‫את‬ ‫מגדילה‬
?‫פועל‬ DFS ‫אלגוריתם‬ ‫איך‬
:‫השכנים‬ ‫רשימת‬ ‫עפ‬ ‫הולכים‬
‫לקודקוד‬ ‫וממשיכים‬ ‫ברשימה‬ ‫הראשון‬ ‫מהקודקוד‬ ‫מתחילים‬
‫לקודקוד‬ ‫הולכים‬ ‫ואז‬ ,‫השכנים‬ ‫ברשימת‬ ‫אצלו‬ ‫נמצא‬ ‫הראשון‬
‫ניתן‬ ‫שלא‬ ‫למצב‬ ‫שמגיעים‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ ‫אצלו‬ ‫הראשון‬
‫היינו‬ ‫שכבר‬ ‫בקודקוד‬ ‫נוגעים‬ ‫לא‬ ‫־‬ BFS‫ב־‬ ‫)כמו‬ ‫להמשיך‬
‫הלאה‬ ‫שממשיכים‬ ‫או‬ :‫אז‬ ‫כזה‬ ‫לקודקוד‬ ‫מגיעים‬ ‫אם‬ .‫בו‬
‫ממשיכים‬ ‫אזי‬ ‫ואין‬ ‫ובמידה‬ ,‫קודקוד‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫הבא‬ ‫לשכן‬
.([‫השכנות‬ ‫]רשימת‬ ‫הקודקודים‬ ‫ברשימת‬ ‫הבא‬ ‫לקודקוד‬
‫אליו‬ ‫הכניסה‬ ‫זמן‬ ‫את‬ ‫מעדכנים‬ ‫אליו‬ ‫שנכסים‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬
.‫ממנו‬ ‫היציאה‬ ‫זמן‬ ‫את‬ ‫מעדכנים‬ ‫ממנו‬ ‫וכשיוצאים‬
.‫מעגלים‬ ‫חסר‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬ ‫נקבל‬ ‫לבסוף‬
:‫הבא‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬
1 // 2
4 // 3
‫יהיה‬ 2 ‫ושל‬ 1 ‫יהיה‬ 1 ‫של‬ ‫הכניסה‬ ‫וזמן‬ 2‫ל־‬ 1‫מ־‬ ‫נלך‬ ‫אזי‬
‫נתחיל‬ ‫ואז‬ ‫־‬ ‫להמשיך‬ ‫לאן‬ ‫שאין‬ ‫נראה‬ ‫אז‬ .3 ‫לגבי‬ ‫וכנל‬ 2
1 ‫ושל‬ 5 ‫יהיה‬ 2 ‫של‬ 4 ‫יהיה‬ 3 ‫של‬ ‫יציאה‬ ‫הזמן‬ ‫־‬ ‫חזרה‬ ‫לחזור‬
.6 ‫יהיה‬
‫ונגיע‬ ‫־‬ (1,2,3 ‫את‬ ‫סיימנו‬ ‫)כי‬ ‫־‬ ‫בקודקודים‬ ‫הלאה‬ ‫נמשיך‬ ‫ואז‬
‫יהיה‬ ‫שלו‬ ‫היציאה‬ ‫וזמן‬ 7 ‫יהיה‬ ‫שלו‬ ‫הכניסה‬ ‫שזמן‬ 4 ‫לקודקוד‬
.8
:‫הינו‬ ‫שנקבל‬ ‫והגרף‬
1 // 2
4 3
‫טופולוגי‬ ‫מיון‬ 9.3
‫ללא‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ ‫־‬ ‫בלבד‬ DAG‫ב־‬ ‫לעשות‬ ‫ניתן‬ ‫טופולוגי‬ ‫מיון‬
!‫מעגלים‬
13

14. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשעה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫לינארי‬ ‫סידור‬ ‫בעצם‬ ‫הוא‬ ‫טופולוגי‬ ‫מיון‬
‫בכיוון‬ ‫האיברים‬ ‫את‬ ‫למיין‬ ‫שנוכל‬ ‫היא‬ ‫טופולגי‬ ‫במיון‬ ‫המטרה‬
‫ניתן‬ ‫יהיה‬ ‫ואז‬ ‫אחד‬ ‫בכיוון‬ ‫יהיו‬ ‫הצלעות‬ ‫שכל‬ ‫כלומר‬ , ‫אחד‬
.(‫)למשל‬ ‫בשורה‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫להציג‬
?‫זאת‬ ‫עושים‬ ‫איך‬
‫זמן‬ ‫לפי‬ ‫הקודקודים‬ ‫את‬ ‫מסדרים‬ ‫ואז‬ ‫לגרף‬ DFS ‫עושים‬
:‫שלנו‬ ‫בדוגמא‬ ‫למשל‬ ,‫היציאה‬
4
''
1 // 2 // 3
...‫הכיוון‬ ‫באותו‬ ‫הם‬ ‫החצים‬ ‫כל‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫ונשים‬
‫מינמליים‬ ‫פורשים‬ ‫עצים‬ 10
(‫)הגדרה‬ ‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ 10.1
w : E → R+ ‫משקל‬ ‫פונקצית‬ ‫עם‬ G ‫גרף‬ ‫לנו‬ ‫ויש‬ ‫נניח‬
‫הצלעות‬ ‫על‬ (‫שלילי‬ ‫משקל‬ ‫גם‬ ‫להניח‬ ‫ניתן‬ ‫יהיה‬ ‫)בהמשך‬
:‫למשל‬ ,‫משקל‬ ‫ישנו‬ ‫צלע‬ ‫לכל‬ ‫כלומר‬ .‫שלו‬
1
3
2
4
3
‫פירושו‬ a →→ b) .7 ‫הינו‬ 1 →→ 3 ‫של‬ ‫המשקל‬ ‫אזי‬
.(b‫ל־‬ a‫מ־‬ ‫המסילה‬
‫תת־‬ ‫את‬ ‫נחפש‬ ‫הפורשים‬ ‫העצים‬ ‫מכל‬ ,‫נתון‬ ‫גרף‬ ‫עבור‬ ,‫כעת‬
.‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫צלעותיו‬ ‫משקל‬ ‫שסכום‬ ‫העץ‬
:‫הבא‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫ניקל‬ ‫למשל‬
1
1
2
6
4
3
34
2
:‫יהיה‬ ‫המינימלי‬ ‫הפורש‬ ‫העץ‬ ‫אזי‬
1
1
2
4
3
3
2
G ‫מגרף‬ ‫כזה‬ ‫עץ‬ ‫לבנית‬ ‫הפשוט‬ ‫האלגוריתם‬ 10.2
‫הקבוצה‬ ‫היא‬ ‫בהתחלה‬ ‫)אשר‬ A ‫צלעות‬ ‫קבוצת‬ ‫לוקחים‬
.(‫הריקה‬
‫את‬ ‫לה‬ ‫מוסיפים‬ ‫אנחנו‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מכילה‬ ‫אינה‬ A ‫עוד‬ ‫וכל‬
.‫בטוחה‬ ‫צלע‬ ‫שהיא‬ ‫בתנאי‬ (u, v) ‫צלע‬
:‫חתך‬ ‫קודם‬ ‫נגדיר‬ ‫בטוחה‬ ‫צלע‬ ‫מהי‬ ‫להגדיר‬ ‫בשביל‬
‫לשתי‬ ‫הגרף‬ ‫של‬ ‫חלוקה‬ ‫הוא‬ G ‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫חתך‬
.S, V S :‫קבוצות‬
‫נמצא‬ ‫מהקצוות‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫אם‬ ‫החתך‬ ‫את‬ ‫חוצה‬ (u, v) ‫צלע‬
.‫אחרת‬ ‫בקבוצה‬
A‫ב־‬ ‫צלע‬ ‫אין‬ ‫אם‬ A ‫את‬ ‫מכבד‬ ‫החתך‬ ‫כי‬ ‫אורמים‬ ‫אנחנו‬
.‫אותו‬ ‫שחוצה‬
‫ויש‬ ‫החתך‬ ‫את‬ ‫חוצה‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫־‬ ‫קלה‬ ‫צלע‬ ‫־‬ ‫נקראת‬ ‫צלע‬
‫כולן‬ ‫אבל‬ ,‫שחוצות‬ ‫כמה‬ ‫להיות‬ ‫)יכולות‬ ‫מינימלי‬ ‫משקל‬ ‫לה‬
‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫]המשקל‬ ‫מינימלי‬ ‫משקל‬ ‫בעל‬ ‫להיות‬ ‫צריכות‬
.([‫זהה‬
.‫בטוחה‬ ‫צלע‬ ‫היא‬ ‫זאת‬ ‫צלע‬ ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬
:‫למשל‬
1
7
9
2
3
3
2
4
‫של‬ ‫החלוקה‬ ‫את‬ ‫מכבד‬ (‫המקווקו‬ ‫)הקו‬ ‫החתך‬ ‫כי‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬
‫הבטוחה‬ ‫הצלע‬ ‫את‬ ‫להוסיף‬ ‫נוכל‬ ‫כעת‬ ‫ועילו‬ (3, 4)‫ו־‬ (1, 2)
.(‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫)ויוצרת‬ ‫קלה‬ ‫צלע‬ ‫היא‬ ‫כי‬ (2, 4)
‫אותה‬ ‫להוריד‬ ‫ניתן‬ ‫היה‬ ‫צלע‬ ‫הייתה‬ ‫כבר‬ (1, 3) ‫אם‬ ‫־‬ ‫כן‬ ‫כמו‬
.‫הפורש‬ ‫לעץ‬ (2, 4) ‫את‬ ‫במקומה‬ ‫ולקחת‬
‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫למציאת‬ ‫קרוסקל‬ ‫אלגוריתם‬ 10.3
‫מינימלי‬
.w ‫משקל‬ ‫ופונקצית‬ G ‫גרף‬ ‫הינו‬ ‫האלגוריתם‬ ‫קלט‬
A ‫מקבוצה‬ ‫מתחילים‬ ‫גם‬ ‫אנחנו‬ ‫קרוסקל‬ ‫של‬ ‫באלגוריתם‬
.‫ריקה‬ ‫שהיא‬
14

15. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשעה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫קשירות‬ ‫לרכיבי‬ ‫בעץ‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הופכים‬ ‫אנחנו‬
‫הצלעות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫משמיטים‬ ‫וירטואלי‬ ‫באופן‬ ‫)אנחנו‬ ‫נפרדים‬
.(‫הקודקודים‬ ‫רק‬ ‫נשארים‬ ‫כך‬
‫עפ‬ ‫עולה‬ ‫לא‬ ‫בסדר‬ (‫הגרף‬ ‫)צלעות‬ E ‫את‬ ‫ממינים‬ ‫אנחנו‬
.‫שלהן‬ ‫המשקל‬
:(‫לגדולה‬ ‫)מהקטנה‬ ‫הצלעות‬ ‫על‬ ‫לעבור‬ ‫מתחילים‬ ‫אנחנו‬ ‫כעת‬
‫רכיבי‬ ‫בשני‬ ‫נמצאים‬ u, v ‫־‬ (u, v) ∈ E ‫צלע‬ ‫עבור‬ ‫אם‬
.A‫ל־‬ (u, v) ‫הצלע‬ ‫את‬ ‫מכניסים‬ ‫־‬ ‫שונים‬ ‫קשירות‬
‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫כפלט‬ ‫וקיבלנו‬ ‫הצלעות‬ ‫על‬ ‫עברנו‬ ‫כאשר‬ ‫סיימנו‬
.‫מינימלי‬
.O (|E| log |E|) :‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫למציאת‬ ‫פריים‬ ‫אלגוריתם‬ 10.4
‫ופונקציית‬ ‫גרף‬ ‫רק‬ ‫לא‬ ‫כקלט‬ ‫נתונים‬ ‫אנחנו‬ ‫זה‬ ‫באלגוריתם‬
.r ‫התחלתי‬ ‫קודקוד‬ ‫גם‬ ‫אלא‬ ,‫משקל‬
.Q ‫לתור־עדיפויות‬ G ‫צלעות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מכניסים‬ ‫אנחנו‬
.Key ‫פונקציה‬ G‫ב־‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ‫נגדיר‬ ‫כעת‬
‫מלבד‬ ∞‫ל־‬ ‫בתור‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫של‬ Key‫ה־‬ ‫את‬ ‫נתאחל‬
.Key [r] = 0 :r ‫של‬ ‫זה‬
.π [r] = NIL :‫כמו־כן‬
:‫ריק‬ ‫יהיה‬ Q‫ש־‬ ‫עד‬ ‫הבאה‬ ‫הלולאה‬ ‫את‬ ‫מקיימים‬ ‫אנחנו‬ ‫כעת‬
‫הערך‬ ‫עם‬ ‫הקודקוד‬ ‫את‬ Q‫מ־‬ ‫מוציאים‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬
:‫האם‬ v ‫שלו‬ ‫שכן‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫ובודקים‬ ‫המינימלי‬
:‫אזי‬ w (u, v) Key [v] ‫וגם‬ v ∈ Q
.Key [v] = w (u, v) ‫וגם‬ π [v] = u :‫מעדכנים‬
:‫אחרות‬ ‫במילים‬
‫כל‬ ‫לגבי‬ ‫בודקים‬ ‫אנחנו‬ ‫לקודקוד‬ ‫מגיעים‬ ‫שאנחנו‬ ‫פעם‬ ‫כל‬
‫קטנה‬ ‫בניהם‬ ‫הצלע‬ ‫משקל‬ ‫וגם‬ Q‫ב־‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ‫משכניו‬ ‫אחד‬
.‫השכן‬ ‫של‬ Key‫מה־‬
(π [v] = u) u ‫גילה‬ v ‫שאת‬ ‫מעדכנים‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫כן‬ ‫אם‬
.(w (u, v)‫)ב־‬ ‫בהתאם‬ ‫השכן‬ ‫של‬ Key‫ה־‬ ‫את‬ ‫ומעדכנים‬
O (|E| log |V |) :‫הינו‬ ‫זה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫ומרחקים‬ ‫ביותר‬ ‫קצרות‬ ‫מסילות‬ 11
‫בעיקר‬ ‫יהיה‬ ‫והדגש‬ ‫קצרים‬ ‫הסברים‬ ‫יוצגו‬ ,‫הבא‬ ‫בחלק‬
‫תמיד‬ ‫ולא‬ ‫שלהם‬ ‫והפלט‬ ‫)הקלט‬ ‫השונים‬ ‫האלגוריתמים‬ ‫על‬
.(‫שלהם‬ ‫התיאור‬
(‫הקודקודים‬ ‫לכל‬ ‫מסוים‬ ‫)מקודקוד‬ ‫הקדמה‬ 11.1
‫גם‬ ‫להיות‬ ‫שיכולה‬ ‫משקל‬ ‫פונקצית‬ ‫עם‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬
.‫חיוביות‬ ‫לא‬
‫ביותר‬ ‫הקצרה‬ ‫המסילה‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫אנחנו‬ ‫איך‬ ‫השאלה‬
‫לכל‬ ‫קודקוד‬ ‫מכל‬ ‫או‬ ‫הקודקודים‬ ‫לכל‬ ‫מסוים‬ ‫מקודקוד‬
.‫קודקוד‬
:‫בגרף‬ ‫מעגלים‬ ‫לגבי‬ ‫הערה‬
‫במקרים‬ ‫אז‬ ,‫ישנן‬ ‫אם‬ ‫)או‬ ‫מעגלים‬ ‫אין‬ ‫כין‬ ‫להניח‬ ‫ניתן‬
:‫כי‬ ,(‫קצרות‬ ‫מסילות‬ ‫לחפש‬ ‫להמשיך‬ ‫טעם‬ ‫אין‬ ‫מסוימים‬
‫טעם‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ ‫־‬ (0 ‫הינו‬ ‫שסכומו‬ ‫)או‬ ‫חיובי‬ ‫מעגל‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬ .‫א‬
.‫אליו‬ ‫להיכנס‬
.‫נצא‬ ‫ולא‬ ‫אליו‬ ‫ניכנס‬ ‫נאחנו‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫שלילי‬ ‫מעגל‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬ .‫ב‬
‫או‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫נשים‬ ‫אנחנו‬ ‫הזה‬ ‫בגרף‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬
:‫למשל‬ ,‫אליו‬ ‫המשקל‬
0
2
2
−1
1
‫יכולים‬ ,‫שליליים‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫בקודקודים‬ ‫שהערכים‬ ‫כמובן‬
.−∞ ‫או‬ ∞ ‫להיות‬
‫את‬ ‫נעשה‬ ‫קודקוד‬ ‫מאותו‬ ‫הנל‬ ‫המסילות‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בשביל‬
:‫הבא‬ ‫הדבר‬
‫הקודקודים‬ ‫שאר‬ ‫ואת‬ 0 ‫להיות‬ ‫נאתחל‬ ‫המקור‬ ‫קודקוד‬ ‫את‬
.∞‫ל־‬
15

16. ‫נתונים‬ ‫מבני‬‫תשעה‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
Relax ‫־‬ ‫ההרפיה‬ ‫פעולת‬ 11.2
‫להגיע‬ ‫יותר‬ ‫קלה‬ ‫דרך‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ ‫לנו‬ ‫אומרת‬ ‫ההרפיה‬ ‫פעולת‬
.‫קודקוד‬ ‫אל‬
:‫הבא‬ ‫המצב‬ ‫לנו‬ ‫ונתון‬ ‫נניח‬ ,‫למשל‬
3
2
9
‫המשקל‬ ‫אזי‬ ‫הנתונה‬ ‫הצלע‬ ‫דרך‬ ‫נלך‬ ‫שאם‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬
‫תהיה‬ ‫הימני‬ ‫לקודקוד‬ (‫המקור‬ ‫)קודקוד‬ s‫מ־‬ ‫המסילה‬ ‫עבור‬
:‫ונקבל‬ ‫ההרפיה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ‫קצרה‬
3
2
5
‫קודקוד‬ ‫להיות‬ 5 ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫הקודקוד‬ ‫את‬ ‫שגילה‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫ונעדכן‬
.3
:‫כזה‬ ‫הוא‬ (‫)להרפיה‬ ‫לעידכון‬ ‫התנאי‬ ‫כללי‬ ‫באופן‬
:u, v ‫קודקודים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬
:‫אזי‬ d [v] d [u] + w (u, v) ‫אם‬
d [v] = du + w (u, v)
π [v] = u ‫וגם‬
(‫בלבד‬ ‫)תיאור‬ ‫פורד‬ ‫בלמן‬ ‫אלגוריתם‬ 11.3
‫משקל‬ ‫פונקצית‬ ,‫גרף‬ :‫הינו‬ ‫פורד‬ ‫בלמן‬ ‫אגלוריתם‬ ‫של‬ ‫הקלט‬
.‫מקור‬ ‫וקדוקוד‬
‫ושקר‬ ‫בגרף‬ ‫שלילי‬ ‫מעגל‬ ‫אין‬ ‫אם‬ ‫אמת‬ ‫מחזיר‬ ‫האלגוריתם‬
.‫שלילי‬ ‫מעגל‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬
‫לכל‬ ‫ביותר‬ ‫הקלה‬ ‫המסילה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫לנו‬ ‫עוזר‬ ‫האלגוריתם‬
.‫המקור‬ ‫מקודקוד‬ ‫קודקוד‬
.O (|V | |E|) ‫הינו‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ריצת‬ ‫זמן‬
‫מעגלים‬ ‫חסר‬ ‫מכוון‬ ‫בגרף‬ ‫אלגוריתם‬ 11.4
(DAG)
.‫מקור‬ ‫וקודקוד‬ ‫משקל‬ ‫פונקציית‬ ,‫גרף‬ ‫הינו‬ ‫הקלט‬
,‫טופולוגי‬ ‫מיון‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ DAG‫ב־‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬
‫אנחנו‬ ‫הטופולוגי‬ ‫המיון‬ ‫עפ‬ ‫לקוחים‬ ‫שאנחנו‬ ‫קודקוד‬ ‫ולכל‬
.‫שלו‬ ‫השכנים‬ ‫לכל‬ Relax ‫עושים‬
(Dijkstra) ‫דייקסטרה‬ ‫אלגוריתם‬ 11.5
‫שלו‬ ‫הריצה‬ ‫שזמן‬ ‫רק‬ ‫לבלמן־פורד‬ ‫דומה‬ ‫מאוד‬ ‫זה‬ ‫אלגוריתם‬
.‫יותר‬ ‫טוב‬
‫אין‬ ‫בגרף‬ ‫כי‬ ‫זה‬ ‫באלגוריתם‬ ‫מניחים‬ ‫גם‬ ‫אנחנו‬ ,‫כמו־כן‬
.‫שליליים‬ ‫משקלים‬
‫כמתואר‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מאתחלים‬ ‫אנחנו‬ ‫כל‬ ‫ראשית‬
.11.1‫ב־‬
.S = ∅ ‫קודקודים‬ ‫קבוצת‬ ‫ומגדירים‬
‫את‬ ‫נכניס‬ ‫שאליו‬ Q ‫תור־עדיפויות‬ ‫מייצרים‬ ‫אנחנו‬
‫יהיה‬ ‫זה‬ ‫קודקוד‬ ‫ממנו‬ ‫שנשלוף‬ ‫פעם‬ ‫וכל‬ ‫הקודקודים‬
.‫המינימלי‬
‫נעשה‬ ‫ההוספה‬ ‫אחרי‬ ‫ומיד‬ S‫ל־‬ ‫הקודקוד‬ ‫את‬ ‫נוסיף‬ ‫אנחנו‬
.‫קודקוד‬ ‫מאותו‬ ‫היוצאות‬ ‫הצלעות‬ ‫לכל‬ Relax
:‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫שולפים‬ ‫שאנחנו‬ ‫באירך‬ ‫כתלות‬ ‫להשתנות‬ ‫יכול‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
:‫הקודקודים‬ ‫את‬
‫השני‬ ‫אחרי‬ ‫אחד‬ ‫ממערך‬ ‫הקודקודים‬ ‫את‬ ‫שולפים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬
:‫הינו‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫אזי‬ (...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2 ‫ואז‬ 1'‫מס‬ ‫)קודקוד‬
.O |V |
2
‫האיבר‬ ‫הוא‬ ‫)השורש‬ ‫בערימת־מינימום‬ ‫משתמשים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬
O ((|V | + |E|) log |V |) :‫הינו‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫אזי‬ (‫המינימלי‬
‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫אזי‬ ‫פיבונאצ'י‬ ‫בערימת‬ ‫משתמשים‬ ‫אנחנו‬ ‫ואם‬
‫הטוב‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫)זהו‬ O (|V | log |V | + |E|) :‫הינו‬
.(‫ביותר‬
‫בין‬ ‫ומרחקים‬ ‫ביותר‬ ‫קצרות‬ ‫מסילות‬ 12
‫הקודקודים‬ ‫זוגות‬ ‫כל‬
‫את‬ ‫למצוא‬ ‫ורצינו‬ ‫מקור‬ ‫קודקוד‬ ‫שיש‬ ‫על־כך‬ ‫דיברנו‬ ‫מקודם‬
‫עם‬ ‫מכוון‬ ‫בגרף‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ‫ממנו‬ ‫ביותר‬ ‫הקלים‬ ‫המרחקים‬
.‫צלע‬ ‫לכל‬ ‫משקל‬ ‫פונקצית‬
‫את‬ ‫למצוא‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫כללי‬ ‫באופן‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬ ‫כעת‬
...‫מקור‬ ‫קודקוד‬ ‫בלי‬ ‫שישנן‬ ‫ביותר‬ ‫הקלות‬ ‫המסילות‬
‫המסליות‬ ‫מטריצת‬ 12.1
16