1. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
מטריצה Pהיא מטריצה יחידה אשר מקיימת את התנאי עבור I חלק
כל .λ ∈ V
.[λ]B = P · [λ]B מטריצת מעבר
עמודות Pהן קוארדינטות אברי בסיס Bלפי בסיס .B
קואורדינטות
מטריצת המעבר מ־ Bל־B
הגדרה:
במידה ואנחנו רוצים לעשות מעבר בכיוון ההפוך, אזי Pהיא
מטריצה הפיכה והמטריצה ההופכית שלה Qעושה את המעבר יהי Vומרחב וקטורי )מימד nמעל שדה (Fויהי = B
בכיוון ההפוך: } {α1 , α2 , . . . , αnבסיס סדור 1 של .Vלכל וקטור α ∈ V
1− Q = P יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי .Bכלומר, קיימים
t1 , t2 , . . . , tn ∈ Fיחידים כך ש: .α = t1 α1 + · · · + tn αn
ה־ ti־ים נקראים הקואורדינטות של αלפי בסיס .Bסימון:
טיפ חשוב ויעיל
1t
אם יש לנו שני בסיס שצריך לבנות עבורם מטריצת מעבר ואחד .
הבסיסים הוא הבסיס הסטנדרטי, דהיינו: . . . , 2 e1 , eאזי כדאי
¯ ¯ [α]B = .
.
לבנות את מטריצת המעבר מהבסיס הלא סטנדרטי לבסיס tn
הסטנדרטי ואז במידת הצורך למצוא את המטריצה ההופכית.
הסיבה: מה שיוצא לנו זאת מטריצה שעמודותיה הם הבסיס [α]B ∈ F n־ נקרא וקטור הקואורדינטות של αלפי בסיס .B
הלא סטנדרטי, בלי חישובים נוספים.
דוגמאות:
מה עושים אם נתונה לנו מטריצת מעבר ובסיס אחד?
עבור וקטור )3 ,2 ,1( = :α
נניח שנתונה לנו מטריצה Pשהיא מטריצת מעבר מבסיס B
ל־ Bונתון לנו בסיס .Bעלינו למצוא את בסיס .B 1. }) ,1 ,1 ,1( , )0 ,1 ,1( , )0 ,0 ,1({ = [α]B = ⇐= B
מסמנים את בסיס Bכך: } ,B = {β1 , . . . , βnכל וקטור 1−
βiשווה לעמודה ה־ iבמטריצה Pכפול הבסיס .Bכלומר, −1
נניח שבסיס Bשגם הוא בעל nמימדים בנוי כך: = B 3
} ,{α1 , α2 , . . . , αnאזי וקטור βiיראה כך: למה? כי אם נכפול כל אחד מאברי Bבמקדם המתאים
P1i
)של ([α]Bנקבל את .α
3.α = −β1 − β2 + 3β
) [βi ]B = . ⇒ β1 = P1i · α1 + · · · + Pni · αnתזכורת:
.
.
P1n )הבסיס B = 2. })1 ,0 ,0( , )0 ,1 ,0( , )0 ,0 ,1({
עבור מטריצה Aij :Aפירושו האיבר בעמודה ה־ iובשורה ה־j 1
של המטריצה(. הסטנדרטי( =⇐ [α]B = 2
2 3
אם לעומת זאת נתון לנו Bומטריצה P־ כל מה שעלינו
לעשות זה למצוא את המטריצה ההופכית שלה Qולעשות את
מה שכתוב למעלה... למקרה בה הסדר משנה ־ במרחב ):M2 (R 3. דוגמה
1 0 0 1 0 0 0 0
= .B , , ,
0 0 1 0 0 0 1 0
מעבר של וקטור מבסיס אחד לבסיס אחר b
a a b
= [A]B = :A עבור
נניח ויש לנו שני בסיסים )3( B ∈ Rשהוא הבסיס d c d
הסטנדרטי ועוד בסיס Cבסיס אחר, למשל: = C c
})1 ,1 ,1( , )0 ,1 ,1( , )1 ,0 ,1({. כעת נשאלת השאלה, אם יש
לנו וקטור α ∈ Bכאשר ) ,α = (a, b, cכיצד ניתן להציג אותו
על ידי בסיס ?Cכלומר, להציג אותו בצורת .[α]C
מטריצת המעבר מ־ Bל־ B
תשובה עבור שני בסיסים:
כל מה שעלינו לעשות הוא לשים את הוקטורים הנ"ל במטריצה, } B = {α1 , . . . , αnו־} .B = {β1 , . . . , βn
כעמודות)!!!(, לפי הסדר ואז לדרג אותה:
מטריצה המעבר היא:
0 0 1 a+b 1 1 1 a
. .
. .
0 1 0 a − c ←− 0 1 1 b . .
0 0 1 b−a+c 1 0 1 c (P ∈ Mn (F )) P = [α1 ]B
··· [αn ]B
. .
כלומר, אם ניקח את וקטור αונרצה להציג אותו ע"פ בסיס C .
.
.
.
, אזי:
1כלומר, יש משמעות לסדר. אם נשנה את סדר הוקטורים זה יהיה בסיס
2כלומר, מטריצה שמוגדרת להיות מטריצת מעבר מ־ Bל־B אחר.
1
2. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
a−b
x a, b, c) [α]C = הינם רכיבי הוקטור .(α a−c
ב־ θמעלות )סביב הראשית(. מגידה סיבוב של הוקטור
y −a + b + c
ניתן לרשום זאת כך: בדיקה: נניח ש־ )2− ,1 ,1( = αאזי לפי מה שקיבלנו
0
.[α]C = 3
)2(TA : R(2) → R 2−
x cos θ − sin θ x עכשיו, נכפול את הוקטור בבסיס ) Cכלומר, את מקדמי הוקטור
TA = ·
y sin θ cos θ y [α]Cבבסיס (Cונקבל:
= )2− ,2 − 3 ,2 − 3( = )1 ,1 ,1(·2−)0 ,1 ,1(·3+)1 ,0 ,1(·0
(1, 1, −2) = α־ וקיבלנו בדיוק את אותו הוקטור!
אפשרות נוספת:
משפט חשוב למצוא את המטריצה ההופכית:
נקבל ־
תהי T : F n → F mהעתקה לינארית, אזי קיימת מטריצה
יחידה ־ ) A ∈ Mm×n (Fכך ש־ ) T = TAזאת אומרת a b c
0 1− 1 a−b
T (¯) = A · xלכל .(¯ ∈ F n
x x ¯ 1 0 −1 = a−c
כל העתקה לינארית היא מהצורה הזאת. 1 1− 1 −a + b + c
איך מוצאים את ?A
II חלק
. . .
. . .
.
· · · ) 1¯( A = T
e
. .
T (¯n )
e
העתקות לינאריות
. . .
. . .
. . .
הגדרה ותכונות
כאשר e1 , . . . , enהם הבסיס הסטנדרטי של .F n
¯ ¯ העתקה לינארית זאת פונקציה שמעבירה ממרחב וקטורי
הערות למרחב וקטורי:
T = V → W־ אשר שומרת על פעולות המרחב ) V, W
• סיבוב של 3 Rסביב הראשית הוא העתקה לינארית מ־ 3R מרחבים וקטורים מעל אותו שדה(.
ל־ 3) Rנכון גם לגבי 2 .(Rכנ"ל ביחס לשיקוף ביחס לישר ההעתקה הלינארית חייבת לקיים שתי תכונות:
שעובר בראשית. 1. שמירה על החיבור: לכל : α, β ∈ V
).T (α + β) = T (α) + T (β
• סיבוב סביב נקודה אחרת שהיא לא הראשית ־ אינה
העתקה לינארית. 2. שמירה על כפל בסקלר: לכל λ ∈ Fולכל: :α ∈ V
T λ·α =λ·T α
דוגמא 1 3. תכונת הלינאריות של ) Tנובעת מ־1 ו־2(:
לכל α1 , . . . , αn ∈ Vולכל λ1 , . . . , λn ∈ Fמתקיים:
נתונה העתקה לינארית 3 T : R3 → Rונתון כי: ) T (λ1 α1 + · · · + λn αn ) = λ1 T (α1 )+· · ·+λn T (αn
)0 ,1 ,1( = ) 1¯( .T (¯3 ) = (0, 0, 1) ,T (¯2 ) = (0, 1, 1) ,T
e e e .
השאלה: מה )?T (a, b, c
פתרון:
3(a, b, c) = a · e1 + b · e2 + c · e
¯ ¯ ¯ דוגמאות
) 3= T (a, b, c) = T (a · e1 + b · e2 + c · e
¯ ¯ ¯ )2( . T (x, y, z) = (x + y, x + z) ,T : R(3) → Rהפונקציה
מלינארית :T הנ"ל היא כן העתקה לינארית. )אפשרת לבדוק את זה ע"פ
) 3¯( = a · T (¯1 ) + b · T (¯2 ) + c · T
e e e התנאים שלמעלה ולראות שזה נכון(.
)= a (1, 1, 0) + b (0, 1, 1) + c (0, 0, 1) = (a, a + b, b + c
ההעתקה המוגדרת ע"י A
משפט :¯ ∈ F
x n
עבור מטריצה כלשהי ) A ∈ Mm×n (Fועבור וקטור
TA : F n → F m , TA (¯) = A · x
x ¯
יהיו Vו־ Wמרחבים וקטורים מעל .Fנניח ,dim V = nיהי
ניתן לומר שכל מטריצה מגדירה העתקה לינארית אחת בלבד...
} B = {α1 , . . . , αnבסיס של Vויהיו β1 , . . . , βnוקטורים
למשל, המטריצה:
כלשהם ב־ ) Wלאו דווקא שונים 3(. אזי קיימת העתקה לינארית
יחידה T : V → Wשמקיימת T (αi ) = βiלכל .1 ≤ i ≤ n
cos θ − sin θ
3כלומר, יכול להיות למשל 2.β1 = β
=A
sin θ cos θ
2
3. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
Tהעתקה לינארית ויהיו : V משפט: תהי → W גרעין ותמונה
α1 , . . . , αn ∈ Vאזי:
הגדרה
1. אם α1 , . . . , αn ∈ Vתלויים לינארית ב־ Vאזי:
) T (α1 ) , . . . , T (αnתלויים לינארית ב־ .Wוגם הכיוון תהי T : V → Wהעתקה לינארית.
השני הוא נכון: אם ) T (α1 ) , . . . , T (αnתלויים לינארית גרעין:
ב־ Wאזי α1 , . . . , αnתלויים ב־ .V הגרעין של Tמסומן: ker Tומוגדר ע"י:
2. ההפך של 1 אינו נכון בד"כ: α1 , . . . , αnבת"ל ⇐ } ker T = {α ∈ V |T (α) = 0W־ כלומר, כל הוקטורים ב־ V
) T (α1 ) , . . . , T (αnבת"ל )וגם כן בכיוון ההפוך(. שמועתקים ל־0, מלבד וקטור האפס עצמו )לכן גם כן מדובר
בתת־מרחב, היות וזאת בטוח לא קבוצה ריקה בגלל וקטור ה־0
ושאר המאפיינים נשמרים(.
משפט: תהי T : V → Wהעתקה לינארית ו־∈ α1 , . . . , αn
תמונה:
Vאם α1 , . . . , αnיוצרים את Vאזי ) T (α1 ) , . . . , T (αn
יוצרים את ) imTולא את (!W התמונה של Tמסומנת imTומוגדרת ע"י:
} imT = {T (α) |α ∈ V } = {β ∈ W־ אותו רעיון כמו
בתמונה של פונקציה. )גם כאן מדובר בתת מרחב, זאת אינה
משפט: תהי T : V → Wהעתקה לינארית. אם T
קבוצה ריקה )יש את וקטור ה־0, וגם כאן שאר התנאים
היא חד־חד־ערכית אזי Tמעבירה וקטורים בת"ל ב־ V
נשמרים(.
לוקטורים בת"ל ב־ .Wכלומר: אם α1 , . . . , αnבת"ל אזי,
T (α1 ) , . . . , T (αn ) ∈ Wבת"ל )ההבדל מהמשפט הקודם
]שני משפטים למעלה[ הוא ששמה Tאינה בהכרח חד־חד־ המימד של ker Tנקרא: האפסיות של Tומוסמן ע"י: ) .ν (T
ערכית. ) .ν (T ) = dim (ker T
מסקנה: אם T : V → Wהעתקה לינארית חח"ע אזי: אם המימד של imTנקרא הדרגה של Tומסומן ) .r (T
α1 , . . . , αnמהווים בסיס של ,Vאז ) T (α1 ) , . . . , T (αn
מהווים בסיס של .imT מרחב האפס של ker TA = A
4
מרחב העמודות של imTA = A
משפט: תהי T : V → Wהעתקה לינארית. נניח כי קיים מימד המרחב האפס של ) Aהאפסיות( = ) ν (TA
בסיס } B = {α1 , . . . , αnשל Vכך ש־ ) T (α1 ) , . . . , T (αn )r (TA ) = rank (A
מהווים בסיס ל־ imTאז: Tחח"ע.
נוסחת המימד:
משפט: תהי T : V → Wהעתקה לינארית, נניח כי = dim V תהי T : V → Wהעתקה לינארית ונניח dim V = nאזי:
,dim W = nאזי: .ν (T ) + r (T ) = n
Tהיא חח"ע ⇔ Tהיא על.
בהינתן העתקה לינארית T : V → W
משפט: תהי ) A ∈ Mm×n (Fאז מימד מרחב האפס של A
שווה ל־ ).n − rank (A • כדי למצוא את ker Tלוקחים איבר כללי x ∈ Vורושמים
¯
¯ = )¯( .Tמתרגמים שוויון זה למערכת הומוגנית
x 0
סיכום של המשפטים ופותרים. קבוצת הפתרונות היא הגרעין של .T
תהי T : V → Wהעתקה לינארית. הטענות הבאות שקולות:
• כדי לחשב את ,imTלוקחים איבר כללי ¯ ∈ Wו־
b
1. Tחח"ע. x ∈ Vורושמים: ¯ = )¯( .Tמתרגמים שווויון זה
x b ¯
למערכת לינארית ומוצאים את ה־b־ים שעבורם מערכת זו
2. } .ker (T ) = {0V תקינה. ה b־ים האלה הם .imT
3. Tמעבירה וקטורים בת"ל ב־ Vלוקטורים בת"ל ב־ .W
– הסברים יותר מפורטים לגבי השיטות מצויות בנספח
4. Tמעבירה בסיס כלשהו של Vלבסיס של .imT הקודם.
5. קיים בסיס של Vשמועבר ע"י Tלבסיס של .imT
משפטים ומסקנות
אלגברה של העתקות לינאריות משפט חשוב: תהי T : V → Wהעתקה לינארית. אזי:
Tהיא חד־חד־ערכית ⇒⇐ } .ker T = {0V
הגדרה+סימון מסקנה מהמשפט: תהי ) A ∈ Mm×n (F־ TAהיא חד־חד־
ערכית ⇔ למערכת ¯ = A · xיש רק פתרון טריוויאלי.
0 ¯
יהיו Vו־ Wמרחבים וקטורים מעל .Fמסמנים ב־) L (V, W
את כל ההעתקות הלינאריות .T : V → W 4לגבי איך מוצאים את מרחב האפס של Aואת מרחב העמודות של Aניתן
) L (Vהוא קיצור של ) L (V, V לראות בנספח הקודם.
3
4. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
III חלק פעולות חיבור וכפל בסקלר
עבור ) ,T, S ∈ L (V, Wעבור ,λ ∈ Fועבור וקטור α ∈ V
איזומורפיזם מוגדרות הפעולות הבאות:
חיבור:
מבוא קצר: ) ,(T + S) (α) = T (α) + S (αכמו־כן: ) .T + S ∈ L (V, W
אם ניקח שני מרחבים וקטורים, למשל: 4 Rו־ 4] R [Xנוכל )כלומר, גם החיבור הוא העתקה לינארית(.
לראות שמודבר בשני מרבים זהים שפשוט מוצגים אחרת! )(T + S) (α + β = )T (α + β) + S (α + β =
כלומר, רק הצורה החיצונית שונה. שני מרחבים כאלה נקראים )(T + S) (α) + (T + S) (β
מרחבים איזומורפים. כפל בסקלר:
.(λT ) (α) = λ · T (α) ,λT : V → W
) ,λT ∈ L (V, Wכלומר, ) λT ∈ L (V, W
הגדרה + סימון
תכונות החיבור והכפל בסקלר, זהות לאלו שהיו במטריצות...
יהיו Vו־ Wמרחבים וקטורים מעל שדה .F
איזומורפיזם מ־ Vל־ Wזוהי העתקה לינארית שהיא חח"ע ועל. כפל )הרכבה( של העתקות לינאריות
אומרים ש־ Vאיזומורפי ל־ Wורושמים: V ∼ Wאם קיים
=
איזומורפיזם .T : V → W תהיינה T : V → Wו־ S : W → Uהעתקות לינאריות.
המכפלה )הרכבה( STמוגדרת ע"י: ST : V → U
)ניתן להרכיב שתי העתקות לינאריות כך שהמרחב הוקטורי
שאליו מתעתיקה הראשונה, הוא המחרב הוקטורי שממנו
משפטים והגדרות מעתיקה ההעתקה השניה(.
משפט מרכזי וחשוב: )) (ST ) (α) = S (T (αלכל .α ∈ V
יהיו Vו־ Wמרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל שדה .F כמובן ש־) .ST ∈ L (V, U
.dim V = dim W ⇔ V ∼ W = זה כמו הרכבה של פונקציות, הדיאגמרה הבאה ממחישה את
זה:
מסקנה: / T / S
V W <U
לכל מרחב וקטורי Vממימד nמעל שדה Fמתקיים:
.V ∼ F n
= ST
וכמובן שבאותו אופן: )(ST ) (λα) = λ (ST ) (α
בגלל שמדובר במשהו טיפה מורכב אני שם כאן את התכונות:
המטריצה המייצגת את T
תכונות של הכפל )הרכבה(
יהיו שני בסיסים: Vו־ ,Wכאשר:
1. ) (T S) R = T (SRלכל
dim V = n, dim W = m ) .T ∈ L (U, Z) , S ∈ (W, V ) , R ∈ L (V, W
} B = {α1 , . . . , αnבסיס של ,V / R / S / T
} C = {β1 , . . . , βmבסיס של .W V W U Z
תהי Tהעתקה לינארית: T : V → W 2. (T + S) R = T R + SRלכל
אזי:
) T, S ∈ L (W, Vו־) .R ∈ L (V, W
. . .
. . .
. . .
3. T (R + S) = T R + T Sלכל
[T ]B = [T (α1 )]B
··· [T (αn )]B
) T ∈ L (W, Uו־) .R, S ∈ L (V, W
. . .
. . .
. . .
4. ).a, b ∈ F (aT ) (bS) = (ab) (T S
ו־ [T ]Bנקראת גם המטריצה המייצגת של Tע"פ בסיס .B
B
והיא קיצר של המטריצה המייצגת: .[T ]B
) Bלא חייב להיות הבסיס הסטנדרטי. במידה והוא לא הבסיס הסטנדרטי אפשר למצוא
את וקטור המעבר מ־ Bלבסיס הסטנדרטי בסעיף 1 בנספח של מעבר בין בסיסים(.
העתקה הפוכה
B
[T ]C־ מטריצת המייצגת של Cלפי אברי .Bכלומר: עמודות תהי T : V → Wהעתקה לינארית ונניח כי Tהיא חח"ע ועל.
המטריצה הן אברי (αi ) Bלאחר ההעתקה הלינארית ) T (αi אזי קיימת ל־ Tהעתקה )פונקציה( הפוכה T −1 : W → V
ע"פ בסיס C־ ) [T (αi )]Cלגבי השלב האחרון, ההצגה ע"פ בסיס ,Cניתן
לראות איך ניתן לעשות זאת בסעיף 1 בנספח של המעבר בין בסיסים(.
שמקיימת: .T −1 · T = IW ,T · T −1 = IV
n
. . .
אם ) ) T ∈ L (Vממרחב לעצמו( אז לכל מספר טבעי n־ T
. . .
. . . מוגדרת ע"י: T n = T · T · · · T
B
[T ]C = [T (α1 )]C
··· [T (αn )]C
n times
.
.
.
.
.
.
.
.
.
למשל: אם )2( T : R(2) → Rהיא סיבוב סביב הראשית ב־ ◦06,
ומתקיים: אזי 2 Tהיא סיבוב סביב הראשית ב־ ◦021 מעלות.
C
[T (α)]C = [T ]B · [α]Bלכל α ∈ V
4
5. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
העתקה לכסינה דימיון מטריצות
תהי T : V → Vהעתקה לינארית ויהי } B = {α1 , ..., αn משפט חשוב:
בסיס של [T ]B .Vהיא מטריצה אלכסונית אם"ם כל איברי תהי T : V → Vהעתקה לינארית ויהיו Bו־ Cבסיסים של
הבסיס Bהם וקטורים עצמיים של ,Tובמקרה זה:
.V
λ1 · · · O [T ]C = Pכאשר Pהיא מטריצת 1−
אזי: · [T ]B · P
. [T ]B = . .
המעבר מ־ Cל־.B
. . .
. . .
O · · · λn
כאשר לכל λi 1 ≤ i ≤ nהוא הערך העצמי המתאים לוקטור
העצמי .αi
הגדרה
יהיו שתי מטריצות ) .A, B ∈ Mm×n (Fאומרים ש־ Aדומה
הגדרה ל־ Bורושמים A ∼ Bאם קיימת מטריצה הפיכה
=
) P ∈ Mn (Fכך ש־ .B = P −1 · A · P
העתקה לינארית T : V → Vנקראת העתקה לכסינה אם קיים
בעיקרון, אכשר מדובר על דימיון מטריצות מדובר על שתי
בסיס Bכך ש־ [T ]Bהיא מטריצה אלכסונית.
מטרצות המייצגות את אותה העתקה: ,T : V → Vרק לפי
העתקה לינארית ⇔ T : V → Vקיים בסיס Bשל Vשכל
בסיסים שונים.
האיברים הם וקטורים עצמיים של .T
במקרה ו־ ,dim V = nאזי:
העתקה T : V → Vתהיה העתקה לכסינה ⇔ קיימים n משפט חשוב
וקטורים עצמיים בלתי־תלויים לינארית של Tב־ .V
תהיינה ) A, B ∈ Mn (Fאם A ∼ Bאזי:
=
של עצמיים וערכים עצמיים וקטורים 1. ).det (A) = det (B
מטריצות 2. ).tr (A) = tr (B
תהי T : V → Vהעתקה לינארית ויהי Bבסיס של .V
T (α) = λα ⇔ [T (α)]B = [λα]B 3. ).rank (A) = rank (B
⇔ [T ]B · [α]B = λ · [α]B
הערה: אלו הם תנאים הכרחיים לדמיון מטריצות אך אינם
matrix A
תנאים מספיקים. לכן משתמים בהם כדי להראות ששתי
מטריצות אינן דומות!
הגדרה
תהי ) ,A ∈ Mn (Fאם קיים וקטור 0 = x ∈ Fוקיים סקלר
¯
λ ∈ Fכך ש־ ,A · x = λ · xאז אומרים ש־ λהוא ערך עצמי של
¯ ¯ IV חלק
Aו־ xהוא וקטור עצמי של Aהשייך )מתאים( לערך העצמי .λ
¯
חשוב לזכור: להעתקה לינארית T : V → Vולמטריצה ערכים עצמיים, וקטורים
המציגה אותה לפי בסיס כלשהו, יש אותם ערכים עצמיים ואותם
וקטורים עצמיים. עצמיים ולכסון
הגדרה מדויקת יותר הגדרה
תהי T : V → Vהעתקה לינארית ויהיה Bבסיס של .V
נסמן: :A = [T ]B נוסח ראשון
1. עבור λ :λ ∈ Fהוא ערך עצמי של λ ⇔ Tהוא ערך תהי T : V → Vהעתקה לינארית. אם קיים וקטור ∈ 0 = α
עצמי של .A Vוקיים סקלר λ ∈ Fכך ש־ .T (α) = λ · αאומרים ש־λ
הוא ערך עצמי של Tו־ αהוא וקטור עצמי של ,Tהמתאים
2. עבור α :α ∈ Vהוא וקטור עצמי של Tהמתאים לע"ע λ )שייך( לערך העצמי .λ
⇔ [α]Bהוא וקטור עצמי של Aהמתאים לע"ע .λ
במילים אחרות: נוסח שני
1. λהוא ערך עצמי של ⇔ Aיש וקטור ¯ = x ∈ F nכך
0 ¯ 1. λהוא ערך עצמי של ⇔ Tקיים וקטור 0 = α ∈ Vכך
ש־ .A · x = λ · x
¯ ¯ ש־.T (α) = λ · α
2. xהוא וקטור עצמי של x = ¯ ⇔ Aוקיים סקלר λ ∈ F
0 ¯ ¯ 2. αהוא וקטור עצמי של α = 0 ⇔ Tויש סקלר λ ∈ F
כך ש־ .A · x = λ · x
¯ ¯ כך ש־.T (α) = λ · α
5
6. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
אי־שיוויון קושי־שוורץ חישוב ערכים עצמיים של מטריצה
לכל שני וקטורים V ) α, β ∈ V־ מרחב אוקלידי( מתקיים: עבור מטריצה Aנגדיר את הפולינום ): CA (x
|(α, β)| ≤ α · β ) ,CA (x) = det (x · I − Aלמשל, עבור המטריצה ב־):M2 (R
2 2 2
(α, β) ≤ α · β 1−x 0 0 1
CA (x) = det ,
− α · β ≤ (α, β) ≤ α · β 3− 4+x 4− 3
2
או צורה אחרת: 4 − CA (x) = (x − 1) (x + 4) = x + 3x
n 2 n n
משווים את ) CA (xל־0 ופתרונות המשוואה הם הערכים
ai · bi ≤ 2a
i · 2b
i
1=i 1=i 1=i העצמיים של המטריצה 5.
4− = 2λ1 = 1, λ
זוית בין וקטורים α, β
|)|(α,β מציאת וקטורים עצמיים של מטריצה
= .θ = )(α, β = cos θונהוג לסמן: )(β, α α · β
לאחר שמצאנו את הערכים העצמיים, עושים את הדבר הבא:
עבור כל אחד מהערכים העצמיים ־ ,λiפותרים את המערכת
נירמול וקטור )וקטור יחידה( ההומוגנית הבאה:
אם 0 = αבמרחב אוקלידי ,Vאזי, נירמול הוקטור פירושו ¯ = (λi · I − A) x
0 ¯
ליצור וקטור שהנורמה )אורך( שלו הוא 1 והוא בכיוון הוקטור מדרגים את המטריצה וכך מוצאים וקטור עצמי, למשל:
.α ניקח את המטריצה שלמעלה ואת הערך העצמי 1:
α α
1
.ˆ = α = α · α 0 0 0
עבור שני וקטורים :α, β ∈ V 0 5 3
α = β־ αהוא כפולה בסקלר חיובי של ) βולהפך(.
ˆ ˆ 5t
ˆ = 1v t∈R
α = −β־ αהוא כפולה בסקלר שלילי של ) βולהפך(.
ˆ −3t
α = ±β־ αו־ βהם בת"ל.
ˆ ˆ 5
= 1B
3−
קבוצה אורתוגונלית ואורתנורמלית
ליכסון מטריצה
קבוצה אורתוגונלית
יהי Vמרחב מכפלה פנימית. תהי } K = {α1 , . . . , αnקבוצת אומרים ש־ (A ∈ Mn (F )) Aלכסינה אם Aדומה למטריצה
וקטורים ב־ .V אלכסונית, כלומר, קיימת מטריצה אלכסונית: ) D ∈ Mn (F
Kהיא קבוצה אורתוגונאלית אם Kאינה מכילה את וקטור ומטריצה הפיכה: ) P ∈ Mn (Fכך שמתקיים:
האפס ולכל 1 ≤ i, j ≤ nמתקיים: אם i = jאזי: .αi ⊥αj .D = P −1 · A · P
קבוצה אורתונורמלית אם זה מתקיים אומרים ש־ Pמלכסנת את ) Aכלומר, Pהפיכה
זוהי קבוצה אורתוגונאלית רק שהנורמה )אורך( של כל ו־ P −1 · A · Pהיא מטריצה אלכסונית(.
הוקטורים היא 1. P־ בנויה מהוקטורים העצמיים של ) Aהסדר לא משנה...(.
משפט: כל קבוצה אורתוגונאלית של וקטורים במרחב אוקלידי D־ מטריצת אלכסונית של הערכים העצמיים של .A
Vהיא בת"ל.
משפט חשוב: יהי Vמרחב מכפלה פנימית ממימד nויהי
} B = {β1 , ..., βnבסיס אורתונורמלי של .V V חלק
לכל :α ∈ V
n
=α (α, βi ) ·βi
1=i
מרחבי מכפלה פנימית
ti ∈R
וגם:
)מרחב שיש בו מכפלה סקלרית(
) 1(α, β
.
[α]B = .
.
) (α, βn הגדרה
משפט:
יהי Vמרחב מכפלה פנימית ממימד ,nויהי } B = {α1 , ..., αn יהי Vמ"ן מעל .Rמכפלה פנימית על Vזוהי פונקציה
בסיס כלשהו של .Vאזי, קיים בסיס אורתונורמלי = B המתאימה לכל זוג וקטורים α, β ∈ Vמספר ממשי ב־ Rאשר
} {β1 , ..., βnשל Vכך שלכל :1 ≤ k ≤ n מסומן: ).(α, β
} .sp {α1 , ..., αk } = sp {β1 , ..., βk מ"ו מעל Rשעליו מוגדרת מכפלה פנימית ומקיים את ארבעת
כעת נסמן: } :B = {β1 , ..., βn האכסימות נקרא: מרחב מכפלה פנימית או מרחב אוקלידי.
1
1 i=j = 2 ) α = (α, α־ האורך של αמראשית הצירים. )(α, α
= ) (βi , βj Bהוא בסיס א"נ של ⇔ V
0 i=j
n
וגם: ) .(α, β) = i=1 (α, βi ) · (β, βj 5לא תמיד חייבים להיות ערכים עצמיים ב־.R
6
7. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
0 = ) 1 (α, β
בסיס ליצירת גרהם־שמידט תהליך
.
זו תמיד מערכת הומוגנית. מרחב הפתרונות .
. אורתונורמלי
0 = ) (α, βk
⊥
שלה הוא: .U נתון לנו בסיס } .B = {α1 , ..., αnתהליך גרהם־שמידט יוצר
לנו בסיס אורתונורמלי ) :(B
למשל, ב־ )4( R־ )3 ,1 ,0 ,1( ,)1 ,1− ,2 ,1( .U = spניקח 1α
= 1.β 1α 1.
1β 2β
וקטור )4( ,α = (x, y, z, w) ∈ U ⊥ ,α ∈ Rאזי ,α⊥Uלכן: 2. עבור: 1 − : k = 1, ..., n
בשביל למצוא את ⊥ Uצריך לפתור את המערכת ההומוגנית:
0 = ) 2.(α, β1 ) = 0, (α, β k
כדאי לזכור: .V ⊥ = {0} , 0⊥ = Vב־ )3() Rעם המכפלה − 1+γk+1 = αk )א( (αk+1 , βi ) ·βi
1=i
הסטנדרטית( ־ המשלים הא"ג של מישור דרך הראשית, הוא ∈R
הישר דרך הראשית שמאונך למישור. 1+γk
= 1+βk+1 = γk
ˆ 1+γk )ב(
המישור הא"ג של ישר דרך הראשית, זה המישור דרך הראשית
שמאונך לישר. לבסוף: } . B = {β1 , ..., βn
היטל אורתוגונאלי שימוש בתהליך גרהם שמידט כדי לחשב מטריצת
משפט: יהי Vממ"פ, ויהי Uתת־מרחב ממימד סופי של .V סיבוב סביב ישר שעובר בראשית
אזי לכל וקטור ,α ∈ Vקיים וקטור של αעל Uיחי ־ γ ∈ U
מטריצת הסיבוב היא ב־ )3( Rסביב ישר שעובר דרך הראשית
כך ש־ .α − γ⊥Uבנוסף, γזה מקיים: α − β > α − γ
בזיות .θ
לכל: .γ = β ∈ U
כדאי גם לזכור ש־ 2 ... α + β 2 = α 2 + β 1. לוקחים את וקטור הכיוון uשל הישר.
¯
וקטור זה ) (γנקרא ההיטל האורתוגונאלי של αעל Uומסומן:
P rojU αאו PU αוהוא וקטור ב־ ,Uהקרוב ביותר ל־ αב־ U 2. מוסיפים ל־ uשני וקטורים )פשוטים ככל האפשר, או שני
¯
ומקיים גם: .α − PU α⊥U u
וקטורים שניצבים לישר ¯, ואז צריך רק לנרמל אותם(, כך
דרך לחישוב :P rojU α ששני הוקטורים ו־ uיהוו בסיס ל־ )3(.R
¯
k
P rojU α = i=1 (α, βi ) · βi־ כאשר β1 , ..., βkבסיס א"נ
של .U 3. מפעילים את תהליך גרהם־שמידט על הבסיס לקבלת
בסיס אורתונורמלי: } 3 B = {¯1 , u2 , uכאשר 1 uזה
¯ ¯ ¯ u
הוקטור המנורמל של וקטור ¯. )צריך לוודא ש־ 1 uהוא
u
סכום וסכום ישר u
בכיוון של ¯, אחרת צריך להפוך את סדר הקטורים(.
יהיו U, Wתתי־מרחבים של U + W .V־ תת־מרחב של .V
V = U + Wאם"ם כל וקטור α ∈ Vניתן להצגה כסכום של 4. מחשבים את .[T ]B
וקטור מ־ Uווקטור מ־ .W
5. מחשבים את [T ]E־ המטריצה המציגה את Tלפי
במקרה זה אומרים ש־ Vהוא סכום של Uו־ .W
הבסיס הסטנדרטי )זוהי המטריצה המבוקשת( תוך שימשו
אם בנסוף לכך מתקיים: }0{ = ,U ∩ Wאזי אומרים ש־ V במטריצת המעבר.
הוא סכום ישר של Uו־ Wורושמים ־ .V = U ⊕ W
W = .U }= {(x, y, 0) |x, y ∈ R דוגמא: הערה: מטריצת מעבר בין בסיסים א"נ היא תמיד מטריצה א"ג.
} .Z = {(0, y, z) |y, z ∈ R} ,{(0, 0, z) |z ∈ Rאזי = V
,U ⊕ Wאבל לעומת זאת ־ .V = U ⊕ Z
משפט: ⇔ V = U ⊕ Wכל וקטור α ∈ Vניתן להצגה יחידה היטלים
כסכום של וקטור מ־ Uווקטור מ־ .W
עוד כמה דברים שכדאי לזכור: הגדרה: יהי Vמרחב מכפלה פנימית, יהי α ∈ Vויהי U־
תת־מרחב של .Vאומרים ש־ αניצבל־ Uומסמנים α⊥Uאם
• אם V = U ⊕Wאזי .dim V = dim U ⊕dim Wכלומר: α⊥βלכל .β ∈ U
. dim U ⊕ W = dim U + dim W כדאי לזכור )הערה(: אם } {β1 , ..., βkהוא בסיס של ,Uאז
α⊥βi ⇔ α⊥Uלכל .1 ≤ i ≤ k
• באופן כללי: − dim (U + W ) = dim U + dim W סימון והגדרה:
) ,dim (U ∩ Wולכן ־ אם V = U + Wוגם ־ = dim V
= ⊥U יהי Uתת־מרחב של .Vמסמנים: α ∈ V α⊥U
dim U + dim Wאזי: .V = U ⊕ W
)כלומר, על הוקטורים שניצבים לאותו תת־תרחב(.
• ⊥ ,V = U ⊕ Uלכן: ⊥ ,dim V = dim U + dim Uוגם: ⊥ Uנקראה המשלים האורתוגונאלי של U ⊥ ) .Uהוא תת־מרחב
אם } {α1 , ..., αkבסיס א"נ של Uואם } {β1 , ..., βm של .(V
בסיס א"נ של Wאזי ־ α1 , ..., αk , β1 , ..., βmבסיס א"נ כדי לחשב את ⊥ ) Uכאשר Uנתון(, בוחרים בסיס של U
של .V ) (β1 , ..., βkומחפשים את הוקטור α ∈ Vשמקיים:
7
8. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
הגדרה: אומרים ש־ Aלכסינה אורתוגונאלית אם קיימת תכונות של העתקה:
מטריצה Pב־) Mn (Rכך ש־ P t APהיא מטריצה אלכסונית. .PU (α) = P rojU α ,PU : V → V
)כלומר, אם קיימת מטריצה א"ג Pשמלכסנת את .(Aבמילים PU .PU = PU ,ker PU = U ⊥ ,imPU = Uמטילה את V
2
אחרות: Aלכסינה א"ג אם"ם Aדומה א"ג למטריצה אלכסונית. על Uבמקביל ל־ ⊥ .U
כמובן שמטריצה לכסינה א"ג היא מטריצה לכסינה, אבל ההפך מטריצה אורתוגונאלית:
אינו נכון. Aא"ג ⇔A · At = At · A = I
משפט חשוב ביותר: Aמטריצה לכנסינה א"ג ⇔ Aסימטרית. שורות Aמהוות בסיס א"נ ל־ ) R(nעם מכפלה סטנדרטית.
עובדה: אם Aסימטרית אזי היא גם לכסינה. עמודות Aמהוות בסיס א"נ ל־ Rnעם מכפלה סטנדרטית.
עובדה: ו"ע השייכים לע"ע שונים של מטריצה סימטרית ניצבים כדאי לזכור: (¯, v ) = ut · vולכן גם: ) (A · x, y) = (¯, At · y
¯ x ¯ ¯ u ¯ ¯
זה לזה. ואם Aא"ג: . A · x = x
¯ ¯
אם V = U ⊕ Wאזי לכל וקטור α ∈ Vקיימים וקטורים
ליכסון מטריצה א"ג הוא כמו ליכסון של מטריצה רגילה רק עם יחידים, β ∈ Uו־ γ ∈ Wכך ש־ β .α = β + γנקרא ההיטל
תוספת אחת ־ מבצעים את תהליך גרהם־שמידט על כל אחד של αעל Uבמקביל ל־ .Wניתן לסמן אותו: ).P rojU W (α
מהבסיסים של המרחבים העצמיים, כדי להפוך בסיסים אלה איך לחשב את ההיטל?
לבסיסים א"נ!!! בוחרים בסיס α1 , ..., αkשל Uובסיס β1 , ..., βmשל Wהיות
איך למצוא בסיס א"נ Bשל Vכך ש־ [T ]Bתהיה מטריצה ו־ V = U ⊕ Wחייב להתקיים: α1 , ..., αk , β1 , ..., βmבסיס
אלכסונית? של .Vכעת, קיימים סקלרים t1 , ..., tk , s1 , ..., smיחידים, כך
ש־ α = t1 · α1 + · · · + tk · αk + s1 · β1 + · · · + sm · βm
1. בוחרים בסיס א"נ Eשל Vומחשבים את המטריצה .[T ]E ∈U ∈W
W = ,U = }0 = {(x, y, z) |x − y + z דוגמא:
2. אם [T ]Eאינה סימטרית, אז לא קיים בסיס כנדרש. }.{(x, x, x) |x ∈ R
3. אם [T ]Eסימטרית אז מלכסנים את [T ]Eא"ג, כלומר, בסיס של U־ })1 ,1 ,0( , )0 ,1 ,1({, בסיס של W־
מוצאים מטריצה אלכסונית Dומטריצה א"ג Pכך ש־ })1 ,1 ,1({.
.P t · [T ]E · P = Dאח"כ לוקחים את הבסיס Bש־ })1 ,1 ,1( , )1 ,1 ,0( , )0 ,1 ,1({ ־ בסיס של )3(.R
Pהיא מטריצת המעבר ממנו ל־) Eאם Eהוא הבסיס נמצא את הסקלרים שמקיימים: + )0 ,1 ,1( 1(a, b, c) = t
הסטנדרטי של של Rnאז Bהוא למעשה העמודות של )1 ,1 ,1( 3 .t2 (0, 1, 1) + tפותרים את מערכת המשוואות,
[T ]B = D .(Pכנדרש. כאשר הוקטורים הם העמודות, ולבסוף מקבלים:
)1 ,1 ,1( )(a, b, c) = (b − c) (1, 1, 0) + (b − a) (0, 1, 1) + (c − b + a
)T (a,b,c
VI חלק ולכן: ).T (a, b, c) = (b − c, 2b − a − c, b − a
משפט: T : V → Vהעתקה לינארית שמקיימת ,T 2 = T
תבניות ריבועיות נסמן: ,imT = U, ker T = Wאזי: V = U ⊕ Wוגם: T
היא ההטלה של Vעל Uבמקביל ל־ .W
אם TA (¯) = A · xאזי: TAהיא הטלה ⇔ A2 = Aובמקרה
1x x ¯
. A ∈ Mn (R) ,qA : Rn → R ,¯ =
x
.
.
זה TAהיא הטלה של F nעל מרחב העמודות של Aבמקביל
.
למרחב האפס של .A
xn
העתקה אורתוגונאלית:
¯ qA (¯) = xt · Aלכל ,¯ ∈ Rnפונקציה זו היא תמיד תבנית
x x ¯ x Tהעתקה א"ג אם"ם:
ריבועית. 1. ).(T (α) , T (β)) = (α, β
לכל תבנית ריבועית קיימת מטריצה ,Aאבל היא אינה יחידה! 2. . T (α) = α
חשוב לזכור ־ לכל תבנית ריבועית קיימת מטריצה סימטרית 3. Tשומרת על הזויות בין וקטורים )בכיוון ההפוך זה לאו
יחידה. כך ש־¯.q (¯) = xt A
x ¯ x דווקא נכון...(.
עבור Aסימטרית: 4. Tחח"ע.
= Aiiהמקדם של 2 xבתבנית .q
i 5. Tמעבירה בסיס א"נ )כלשהו( של Vלבסיס א"נ אחר של
ועבור 1 = Aij = Aji :i = jמקדם ) xi xjאו (xj xiבתבנית
2 .V
.q 6. Bבסיס א"נ של [T ]B .Vהיא מטריצה א"ג.
הגדרה: תבנית ריבועית q : Rn → Rנקראת תבנית ריבועית: משפט: מטריצת המעבר בין שני בסיסים א"נ בממ"פ היא
מטריצה א"ג.
• חיובית לחלוטין: אם 0 > )¯( qלכל .0 = x ∈ Rn
¯ x
הגדרה: תהיינה ) A, B ∈ Mn (Rאומרים ש־ Aדומה
• חיובית למחצה: אם 0 ≥ )¯( qלכל x ∈ Rויש ∈ 0 = x
¯ ¯ x אורתוגונאלית ל־ Bורושמים: A ∼O Bאם קיימת מטריצה
=
Rnכך ש־ 0 = )¯( .q
x א"ג ) P ∈ Mn (Rכך ש־ .A = P t BP
הערות:
• שלילית לחלוטין: אם 0 < )¯( qלכל .0 = x ∈ Rn
¯ x 1. מטריצות המציגות אותה העתקה לפי בסיסים א"נ שונים של
Vדומות א"ג.
• שלילית למחצה: אם 0 ≤ )¯( qלכל x ∈ Rויש ∈ 0 = x
¯ ¯ x 2. אם Aדומה א"ג ל־ Bאזי בהכרח Aדומה ל־,(A ∼ B) B
=
Rnכך ש־ 0 = )¯( .q
x אבל הכיוון ההפוך אינו בהכרח נכון. . A ∼ B ⇒ A ∼O B
= =
8
9. סמסטר ב' ־ תשע"ב אלגברה לינארית ב'
• משנה סימן: אם qהיא אף אחת מארבעת הסוגים
שלמעלה, כלומר ישנו x ∈ Rnכך ש־ 0 > )¯( qוישנו
x ¯
y ∈ Rnכך ש־ 0 < )¯( . q
y ¯
הערה: כל תבנית ריבועית מקיימת: 0 = ¯( .q
)0
איך קובעים לאיזה סוג שייכת תבנית ריבועית נתונה?
1. אם המטריצה המתאימה ל־ qהיא מטריצה אלכסונית 6,
אזי אומרים ש־ qהיא תבנית של ריבועים, וקל לקבוע
לאיזה סוג היא שייכת:
)א( אם כל הערכים )על האלכסון( גדולים מאפס ־ q
חיובית לחלוטין.
)ב( אם כל הערכים גדולים או שווים לאפס, ולפחות ערך
אחד שווה לאפס ־ חיובית למחצה.
)ג( אם כל הערכים )על האלכסון( קטנים מאפס ־ q
שלילית לחלוטין.
)ד( אם כל הערכים קטנים או שווים לאפס, ולפחות ערך
אחד שווה לאפס ־ שלילית למחצה.
)ה( אם יש באלכסון ערך אחד חיובי וערך אחד שלילי ־
qמשנה סימן.
2. } B = {¯1 , ..., vnבסיס כלשהו של Rn־ Pמטריצת
v ¯
המעבר מ־ Bל] Eעמודות Pהם וקטורי הבסיס .[B
t
q (¯) = [¯]B · [q]B · [¯]B .[q]B = P t · A · P
x x x
3. איך מוצאים את המטריצה האלכסונית ?[q]Bמלכסנים
את המטריצה הסימטרית המייצגת של qע"י כך שכך
פעולה שאנחנו מצבעים על השורות, אנחנו מבצעים מיד
אחר כך על העמודות )פעולה אלמנטרית כמובן(.
ואז: 1.P = E1 · E2 · · · Ek ,P t = Ek · · · E2 · E
t t t
4. ניתן להפוך את המטריצה האלכסונית למטריצה קנונית
ע"י 1√ על כל שורה ועמודה )זה יוצא על אותו איבר(.
λi
נכנה אותה מטריצה .C
x
q (x) = x y z · C · y
z
x x
5. ולמעבר לוקטור הרגיל: y = P −1 · y
z z
6כלומר, כל האיברים שהם לא באלכסון הם אפסים.
9