1. קבוצה מינימאלית של קשרים
הרעיון: קבוצה קטנה של קשרים שניתן לבטא באמצעותה כל ביטוי לוגי.
הגדרה: קבוצת קשרים תיקרא שלמה אם ניתן לבטא באמצעותה כל ביטוי לוגי.
הגדרה: קבוצת קשרים תיקרא מינימאלית אם היא שלמה ואם נוריד ממנה קשר אחד, היא כבר לא תהיה
שלמה.
טענה 1: הקבוצה } {,,, , היא קבוצה של קשרים.
טענה 2: הקבוצה } {,,היא קבוצה שלמה של קשרים.
למה? הוכחנו שכל ביטוי ניתן לרשום אותו או כ DNFאו כ CNFמכיוון שב DNFאו ב CNFאנו משתמשים רק
בקשרים } , {,,זה אומר שניתן לבטא באמצעותם כל ביטוי לוגי.
הוכחת טענה 1: (לא בהסתמך על טענה 2 שהוכחה)
נרשום את כל האפשרויות לביטויים לוגיים ונראה שאפשר להגיע לכולם ע"י חמשת הקשרים:
(ההוכחה בטבלה בסוף הקובץ)
האם אחת מהקבוצות השלמות } {,,} , {,,, , היא מינימאלית?
התשובה היא לא.
הקבוצה } {,,, , אינה מינימאלית היות והקבוצה } {,,מוכלת בה.
הקבוצה } {,,אינה מינימאלית היות וניתן להוריד ממנה את אחד הקשרים ,ועדיין תהיה קבוצה שלמה.
טענה: הקבוצה } {,שלמה
איך מוכיחים שקבוצת קשרים שלמה?
אם נוכיח שבאמצעות הקבוצה החדשה ניתן לבטא את אחת מהקבוצות הידועות כשלמות, הרי שהטענה הוכחה.
ההוכחה:
נראה ש } {,היא שלמה אם נוכיח שניתן לבטא באמצעותה את הקבוצה } {,,שהוכחנו בטענה מס' 2
שהיא שלמה.
את הקשרים ,בוודאי נוכל לבטא, כי הם נמצאים בקבוצה החדשה.
נותר להראות שניתן להראות את הקשר באמצעות : ,
) P Q (P Qלפי דה מורגן
ביטאנו את באמצעות ,ולכן הקבוצה } {,היא שלמה.
מסקנה:
הקבוצה } {,,היא שלמה אך לא מינימאלית כי יש בה תת קבוצה אמיתית שהיא שלמה.
הערה: באותה צורה ניתן להראות שגם } {,היא קבוצה שלמה.
טענה: הקבוצות } {,} , {,הן קבוצות מינימאליות של קשרים.
הוכחה:
ראינו כבר ששתיהן קבוצות שלמות. נותר רק לראות שאם נוריד מהן קשר, כבר לא נגיע לקבוצה שלמה.
אם נוריד קשר נקבל אחת מהקבוצות הבאות: }{} {} {
} {אינה קבוצה שלמה – ע"י הקשר לא ניתן לעבור לקשר בינארי.
} {} , {גם הן אינן שלמות, כי לא ניתן לבטא באמצעותן שלילה P P P
2. האם קיימות קבוצות מינימאליות של קשרים ע"י קשר אחד בלבד?
חשיבות – מספיק לייצר שבב אלקטרוני רק עם הקשר הזה ונוכל לבטא באמצעותו כל ביטוי לוגי שנחפוץ.
נגדיר את הקשר NANDשסימונו
)P Q ( P Q
P Q Q P
T T F
T F T
F T T
F F T
טענה: הקבוצה } {היא קבוצה מינימאלית של קשרים
הוכחה:
ראשית, ברור שאם היא תהיה שלמה, היא תהיה מינימאלית, כי יש בה קשר אחד בלבד, לכן, מספיק להוכיח
ש } {היא שלמה.
נראה זאת כך שנוכיח שע"י בלבד, נוכל לבטא את הקבוצה }. {,
כיוון ש } {,שלמה, גם } {תהיה שלמה.
P P ( P P) P P Pולכן P P Pומכאן שע"י NANDביטאנו שלילה.
)P Q (P Q) (( P P) (Q Q)) ( P P) (Q Q
ולכן ניתן לבטא את ע"י NANDבלבד.
כיוון שביטאנו את } {,ע"י NANDו } {,היא שלמה, גם } {היא שלמה כדרוש.
בתרגיל נכיר את הקשר NORשגם הוא קבוצה מינימאלית של קשרים.
כלל הדואליות
תהיי נתונה זהות לוגית שמכילה רק את הקשרים , ,,אם נבצע על הזהות את התהליך הבא:
א) כל פסוק בסיסי יוחלף בשלילתו ולהיפך
ב) כל קשר יוחלף בקשר
אזי, הביטוי המתקבל גם הוא זהות לוגית.
דוגמא:
כלל הפילוג
)P (Q R) ( P Q) ( P R
דואליות
)P (Q R) (P Q) (P R
קיבלנו את כלל הפילוג השני – "שני כללים במחיר אחד"...
מדוע זה נכון?
אם נפעיל שלילה על שני צדי זהות ונחליף את השלילה ע"י כלל דה מורגן נקבל את חוק הדואליות.
3. P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
6
T T T T T T T T T T F F F F F F F F
T F T T T T F F F F T T T T F F F F
F T T T F F T T F F T T F F T T F F
F F T F T F T F T F T F T F T F T F
T PQ Q P P P Q Q P Q P Q ( P Q) ( P Q) Q ( P Q) P (Q P) ( P Q) F
.{ היא קבוצה שלמה של קשרים,,, , } הקבוצה