Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
‫דיאגראמת ון‬                   ‫גון ון (באנגלית: ‪ 4 ;John Venn‬באוגוסט 4381 – 4 באפריל 3291 ), מתמטיקאי ולוגיקן בריטי.‬ ...
‫פעולות בין קבוצות‬                           ‫איחוד בין קבוצות‬                                                        ‫ה...
‫לדוגמא‬                                                                               ‫הוכחה לתכונה מס 3:‬               ...
‫חיתוך בין קבוצות‬                                            ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬‫החיתוך של הקבוצות יסומן ‪ , A ...
‫הפרש בין קבוצות‬                                                              ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬‫ההפרש בין הקב...
‫הפרש סימטרי בין קבוצות‬                                                                ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬     ...
‫קבוצות זרות‬                                                                                        ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬...
‫משלים של קבוצה‬                                                                       ‫הגדרה: תהי ‪ A‬קבוצה.‬‫המשלים ‪ co...
‫הוכחה לתכונה מס 8:‬                                                                                ‫נתון ‪ , A  B‬צ"ל ‪B...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - פעולות

סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב.
דיאגרמת ון, פעולות בין קבוצות , תכונות וחוק הדואליות.

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - פעולות

  1. 1. ‫דיאגראמת ון‬ ‫גון ון (באנגלית: ‪ 4 ;John Venn‬באוגוסט 4381 – 4 באפריל 3291 ), מתמטיקאי ולוגיקן בריטי.‬ ‫דיאגרמת ון היא תרשים המבטא קשרים בין קבוצות.‬ ‫כלל בסיסי לשימוש בדיאגרמת ון הוא שחיתוך מבוטא באמצעות השטח המשותף לשתיים או יותר מהקבוצות‬‫ואיחוד מיוצג על ידי כל השטח השייך לפחות לאחת הקבוצות. בדרך כלל אין קשר בין גודל העיגול (או כל שטח‬ ‫אחר) ובין גודל הקבוצה המיוצגת.‬‫שימוש נפוץ לדיאגרמת ון הוא פישוט של ביטויים לוגיים ארוכים. ניתן לעשות זאת בקלות באמצעות התייחסות‬ ‫גרפית לקשרים הנתונים ותיאור מחדש של אותו חלק בגרף בצורה פשוטה.‬ ‫דיאגראמת ון אינה מהווה כלי להוכחה !‬ ‫‪‬‬ ‫העולם‬
  2. 2. ‫פעולות בין קבוצות‬ ‫איחוד בין קבוצות‬ ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬‫האיחוד של ‪( A, B‬מסומן ‪ ) A  B‬הוא הקבוצה שנמצאים בה האיברים מ ‪ A‬וכן האיברים מ ‪. B‬‬ ‫בסימון פורמאלי‬ ‫}‪A  B  {x | x  A  x  B‬‬ ‫לוח השתייכות עבור "איחוד"‬ ‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x A B‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫דוגמא:‬ ‫}3,2,1{ ‪A ‬‬ ‫}4,3{ ‪B ‬‬ ‫}4,3,2,1{ ‪ B ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫האיחוד‬ ‫תכונות של "איחוד"‬ ‫‪A A  A‬‬ ‫1)‬ ‫‪AØ  A‬‬ ‫2)‬ ‫‪A B  B  A‬‬ ‫3)‬ ‫) ‪( A  B)C  A  ( B  C‬‬ ‫4)‬ ‫‪( A  B  A  B  B‬אפיון של הכלה באמצעות איחוד)‬ ‫5)‬ ‫הערה: התכונות 4-1 נובעות ישירות מהתכונות המקבילות בלוגיקה.‬
  3. 3. ‫לדוגמא‬ ‫הוכחה לתכונה מס 3:‬ ‫‪A  B  {x | x  A  x  B}  {x | x  B  x  A}  B  A‬‬ ‫הוכחה לתכונה מס 5:‬ ‫לפי דיאגראמת ון ניתן לראות‬ ‫‪A B  B‬‬ ‫הוכחה פורמאלית:‬ ‫היות והקשר הוא "אם ורק אם", נפעל בשני כיוונים:‬ ‫)‪ (‬נתון ‪ A  B‬וצ"ל ‪A  B  B‬‬ ‫נוכיח את השוויון ע"י הכלה דו כיוונית:‬ ‫ברור מהגדרת איחוד ש ‪ B‬מוכל באיחוד: ‪. B  A  B‬‬ ‫כעת, נוכיח ש ‪A  B  B‬‬ ‫ניקח איבר כללי כלשהו ‪ , x  A  B‬לכן, עפ"י הגדרת איחוד: ‪ x  A‬או ‪. x  B‬‬ ‫אם ‪ , x  B‬סיימנו, אחרת, ‪: x  A‬‬ ‫מהנתון ש ‪ A  B‬נובע מיידית ש ‪ x  B‬שוב, ולכן בכל מקרה קיבלנו ‪ x  B‬ומכאן שהוכחנו ‪. A  B  B‬‬ ‫משתי ההכלות יחד קיבלנו ש ‪. A  B  B‬‬ ‫)‪ (‬נתון ‪ A  B  B‬וצ"ל ‪A  B‬‬ ‫כדי להוכיח הכלה, יהי ‪ x  A‬איבר כלשהו וצריך להראות ש ‪. x  B‬‬‫אם ‪ , x  A‬עפ"י הגדרת "איחוד", ‪ . x  A  B‬עפ"י הנתון ‪ , A  B  B‬מכאן נובע ש ‪ x  B‬והוכחנו כנדרש.‬ ‫-סוגר הוכחה (5)-‬
  4. 4. ‫חיתוך בין קבוצות‬ ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬‫החיתוך של הקבוצות יסומן ‪ , A  B‬הוא קבוצת האיברים המשותפים ל ‪ A‬ול ‪. B‬‬ ‫בסימון פורמאלי‬ ‫}‪A  B  {x | x  A  x  B‬‬ ‫לוח השתייכות עבור "חיתוך"‬ ‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x A B‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫דוגמא:‬ ‫}3,2,1{ ‪A ‬‬ ‫}4,3{ ‪B ‬‬ ‫}3{ ‪ B ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫החיתוך‬ ‫תכונות של "חיתוך"‬ ‫‪A A  A‬‬ ‫1)‬ ‫‪AØ  Ø‬‬ ‫2)‬ ‫‪A B  B  A‬‬ ‫3)‬ ‫) ‪( A  B)  C  A  ( B  C‬‬ ‫4)‬ ‫‪( A  B  A  B  A‬אפיון של הכלה באמצעות חיתוך)‬ ‫5)‬ ‫הערה: התכונות 4-1 נובעות ישירות מהתכונות המקבילות בלוגיקה.‬ ‫(הוכחה לתכונה מס 5 ניתן למצוא באתר)‬ ‫לפי דיאגראמת ון ניתן לראות‬ ‫‪A B  A‬‬
  5. 5. ‫הפרש בין קבוצות‬ ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬‫ההפרש בין הקבוצות יסומן ‪ A  B‬או ‪ , A B‬הוא קבוצת האיברים שנמצאים ב ‪ A‬ולא נמצאים ב ‪. B‬‬ ‫בסימון פורמאלי‬ ‫}‪A  B  {x | x  A  x  B‬‬ ‫לוח השתייכות עבור "הפרש"‬ ‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x A B‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫דוגמא:‬ ‫}3,2,1{ ‪A ‬‬ ‫}4,3{ ‪B ‬‬ ‫}2,1{ ‪ ‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ההפרש‬ ‫תכונות של "הפרש"‬ ‫‪A A Ø‬‬ ‫1)‬ ‫‪AØ A‬‬ ‫2)‬ ‫)‪A  B  A  ( A  B‬‬ ‫3)‬ ‫‪( A  B  Ø A  B ‬אפיון של הכלה באמצעות הפרש)‬ ‫4)‬ ‫לפי דיאגראמת ון ניתן לראות‬ ‫‪A B Ø‬‬
  6. 6. ‫הפרש סימטרי בין קבוצות‬ ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬ ‫ההפרש הסימטרי בין הקבוצות יסומן ‪ , AB‬הוא האיברים שאינם משותפים ל ‪ A‬ול ‪. B‬‬ ‫בסימון פורמאלי‬ ‫}‪AB  {x | x  A  B  x  A  B‬‬ ‫לוח השתייכות עבור "הפרש סימטרי"‬ ‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x  AB‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫דוגמא:‬ ‫}3,2,1{ ‪A ‬‬ ‫}4,3{ ‪B ‬‬ ‫}4,2,1{ ‪ ‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ההפרש‬ ‫הסימטרי‬ ‫תכונות של "הפרש סימטרי"‬ ‫1) ‪AB  BA‬‬ ‫2) )‪AB  ( A  B)  ( A  B‬‬ ‫3) )‪AB  ( A B)  ( B A‬‬ ‫הוכחה לתכונה מס 1:‬ ‫‪A B  B  A‬‬‫‪AB  {x | x  A  B  x  A  B} ‬‬ ‫לפי ההגדרה ‪{x | x  B  A  x  B  A}  BA‬‬ ‫‪A B  B  A‬‬ ‫הוכחה לתכונה מס 3:‬ ‫נוכיח ע"י לוח השתייכות: נראה שהקבוצות המופיעות בשני צדי השוויון – יש להן אותו לוח השתייכות.‬ ‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x  AB‬‬ ‫)‪x  A  B x  B  A x  ( A  B)  ( B  A‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫אותה העמודה – שוויון בין הקבוצות‬
  7. 7. ‫קבוצות זרות‬ ‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬ ‫נאמר ש ‪ A, B‬זרות אם ‪A  B  Ø‬‬ ‫דוגמא: }1{}3,2{ זרות.‬ ‫תכונות פילוג ובליעה‬ ‫פילוג‬ ‫)‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫1)‬ ‫) ‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫2)‬ ‫בליעה‬ ‫‪A  ( A  B)  A‬‬ ‫3)‬ ‫‪A  ( A  B)  A‬‬ ‫4)‬ ‫שתי הוכחות לתכונה מס 1:‬ ‫א) ע"י לוח השתייכות (דומה למה שעשינו רבות בלוגיקה).‬ ‫ב) הוכחה ע"י איבר כללי: ברצוננו להשוות ) ‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הגדרת‬‫‪x  A  (B  C) ‬‬ ‫איחוד‬ ‫הגדרת‬‫‪( x  A)  ( x  B  C ) ‬‬ ‫חיתוך‬ ‫שקילות‬ ‫לוגית‬‫‪( x  A)  (( x  B )  ( x  C )) ‬‬ ‫של‬ ‫פילוג‬ ‫הגדרת‬‫‪(( x  A)  ( x  B ))  (( x  A)  ( x  C )) ‬‬ ‫איחוד‬ ‫הגדרת‬‫‪( x  ( A  B ))  ( x  ( A  C )) ‬‬ ‫חיתוך‬‫) ‪( x  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫לכן הוכחנו: )‪x  A  ( B  C )  x  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫ולכן: )‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫קבוצה אוניברסאלית‬ ‫קבוצה אוניברסאלית מסומנת ‪ , u‬היא קבוצת כל האיברים הרלוונטיים לדיון.‬ ‫הרבה פעמים היא נקבעת בהתאם להקשר.‬
  8. 8. ‫משלים של קבוצה‬ ‫הגדרה: תהי ‪ A‬קבוצה.‬‫המשלים ‪ complement‬של ‪ , A‬יסומן ‪ A‬או ‪ , A‬הוא קבוצת כל האיברים שאינם נמצאים ב ‪ A‬ונמצאים ב ‪u‬‬ ‫‪c‬‬ ‫האוניברסאלית.‬ ‫בסימון פורמאלי‬ ‫‪Ac  {x | x  A}  u  A‬‬ ‫‪Ac  u  A‬‬ ‫לוח השתייכות עבור "משלים"‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Ac‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫דוגמאות:‬ ‫1)‬ ‫}01,...,1{ ‪u ‬‬ ‫}7,5,3,2{ ‪A ‬‬ ‫}01,9,8,6,4,1{ ‪ ‬‬ ‫‪Ac‬‬ ‫המשלים‬ ‫2)‬ ‫‪uZ‬‬ ‫זוגיים ‪A ‬‬ ‫אי ‪ ‬זוגיים ‪ ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המשלים‬ ‫תכונות של "משלים" וכן תכונות נוספות‬ ‫‪( Ac ) c  A‬‬ ‫1)‬ ‫‪uc Ø‬‬ ‫2)‬ ‫‪Øc u‬‬ ‫3)‬ ‫‪A  Ac  u‬‬ ‫4)‬ ‫‪A  Ac  Ø‬‬ ‫5)‬ ‫‪ ( A  B) c  Ac  B c‬דה מורגן‬ ‫6)‬ ‫‪ ( A  B) c  Ac  B c‬דה מורגן‬ ‫7)‬ ‫אם ‪ A  B‬אז ‪B c  Ac‬‬ ‫8)‬ ‫‪A  B  A  Bc‬‬ ‫9)‬ ‫הערה: הוכחת כל התכונות למעט 8, ניתן לבצע ע"י איבר כללי וע"י טבלת השתייכות.‬
  9. 9. ‫הוכחה לתכונה מס 8:‬ ‫נתון ‪ , A  B‬צ"ל ‪B  A‬‬ ‫מהנתון: ‪ x  A  x  B‬תמיד אמת‬ ‫עפ"י זהות לוגית: ‪: P  Q  Q  P‬‬ ‫)‪( x  B)  ( x  A‬‬ ‫תמיד אמת‬ ‫)‪( x  B)  ( x  A‬‬ ‫) ‪( x  B c )  ( x  Ac‬‬ ‫‪ B c  Ac‬‬ ‫הוכחה לתכונה מס 9:‬ ‫הגדרה‬ ‫משלים‬ ‫חיתוך‬ ‫‪A  B  {x | x  A  x  B}  {x | x  A  x  Bc }  {x | x  A  Bc }  A  Bc‬‬ ‫‪‬‬ ‫חוק הדואליות לקבוצות‬‫אם נתונה זהות הקושרת בין קבוצות, המכילה רק את הפעולות "איחוד" ו"חיתוך", וסימן ה"משלים" מופיע רק על‬ ‫הקבוצות הבסיסיות, אז ניתן לקבל זהות חדשה ע"י הפעולות הבאות:‬ ‫א) כל קבוצה תהפוך למשלימתה‬ ‫ב) כל איחוד יהפוך לחיתוך ולהיפך‬ ‫לדוגמא:‬ ‫פילוג ‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) I‬‬ ‫אז הזהות שתתקבל מתוך הדואליות תהיה:‬ ‫פילוג ‪Ac  ( B c  C c )  ( Ac  B c )  ( Ac  C c ) II‬‬

×