1. ‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
2013 ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
315 ,035805 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫שני‬ ‫שאלון‬ – ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 4
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫רבעים‬ ‫ושלושה‬ ‫שעה‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
:‫פרקים‬ ‫שני‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 33 3
1
#1 — ‫במרחב‬ ‫טריגונומטריה‬ ,‫סדרות‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ ,‫ודעיכה‬ ‫גדילה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
,‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬
‫ולוגריתמיות‬ ‫מעריכיות‬ ‫פונקציות‬
‫נקודות‬ 66 3
2
— 33 3
1
#2 — ‫חזקה‬ ‫ופונקציות‬
‫נקודות‬ 100 — ‫סה"כ‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

2. 315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
a a3 5n n1= ++ :‫הכלל‬ ‫לפי‬ ‫טבעי‬ n ‫לכל‬ ‫המוגדרות‬ , bn ‫ו־‬ an ,‫סדרות‬ ‫שתי‬ ‫נתונות‬ .1
n n .b a 2 5= +
.( . )a 2 5n !- ‫שלה‬ ‫המנה‬ ‫את‬ ‫ומצא‬ ,‫הנדסית‬ ‫סדרה‬ ‫היא‬ bn ‫הסדרה‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. b 21= ‫כי‬ ‫גם‬ ‫נתון‬
. an ‫את‬ n ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
. bn ‫בסדרה‬ ‫הראשונים‬ ‫האיברים‬ n ‫סכום‬ ‫את‬ n ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )1( .‫ג‬
. an ‫בסדרה‬ ‫הראשונים‬ ‫האיברים‬ n ‫סכום‬ ‫את‬ n ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )2(
1 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫נתון‬.b a 2 5n n= + a a3 5n n1= ++
0
.bn n n1 1+ + .a a2 5 3 7 5= + = +
0
3= =.
( . )b
a
a
b 2 5
3 2 5
n
n
n
n1
+
++
.‫הנדסית‬ ‫היא‬ ‫הסדרה‬ ‫לכן‬ ,‫קבוע‬ ‫ערך‬ ‫היא‬ ‫המנה‬
.‫ב‬:‫הנתון‬ ‫לפי‬. ,a b b2 5 2n n 1= - =
b 2 3n
n 1:= - :‫לכן‬ , 3 ‫היא‬ bn ‫של‬ ‫המנה‬ ‫א‬ ‫סעיף‬ ‫לפי‬
:‫מכאן‬2 3 2.5an
n 1:= --
.‫ג‬:‫הוא‬ bn ‫בסדרה‬ ‫איברים‬ n ‫של‬ ‫הסכום‬ ,‫הנדסית‬ ‫בסדרה‬ ‫איברים‬ n ‫לסכום‬ ‫הנוסחה‬ ‫פי‬ ‫על‬ )1(
( )
S 3 1
2 3 1
3 1I
n
n= -
-
= -
.S n2 5II =- : .2 5- ‫הוא‬ ‫מאיבריה‬ ‫אחד‬ ‫שכל‬ ‫בסדרה‬ ‫איברים‬ n ‫של‬ ‫הסכום‬ )2(
.S S n3 1 2 5I II
n+ = - - :‫הוא‬ .a b 2 5n n= - ‫הסדרה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫לכן‬
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

3. 315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
2 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬'E BCA = :‫הנתון‬ ‫לפי‬
‫לבסיס‬ ‫גובה‬ ‫הוא‬ A'E
, A'BC ‫שווה־שוקיים‬ ‫במשולש‬
, BC ‫אמצע‬ E ‫לכן‬
AE BC= : ABC ‫שווה־צלעות‬ ‫במשולש‬ ‫ומכאן‬
:‫לכן‬'EAAB a=
. tanI AE
h
a=
‫הבסיס‬ ‫צלע‬ ‫אורך‬ — a :‫נסמן‬
. sinII a
AE
60 2
3o= =
:‫מקבלים‬ II ‫ומ־‬ I ‫מ־‬a
tan
h
3
2= $
α
.‫ב‬. 'CAAB ‫היא‬ ‫המבוקשת‬ ‫הזווית‬ ‫לכן‬ , ABC ‫למישור‬ ‫מאונך‬ AA'
( )'tan
tan
CA a
h
h hA 2
3
2
1
$B
a
= = =
0
.'CAA 26 56oB =
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

4. 315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 4 -
3 ‫שאלה‬
3 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫כאשר‬ ‫מתאפס‬ ‫המכנה‬ )1(cos cosx x x k0 0 2
2 + + r
r= = = +
0
:‫ההגדרה‬ ‫תחום‬,x x2 2! !
r r
-
,x x2 2
r r
= = - :‫אסימפטוטות‬
)2(
( )f x 0= + cos cosx x2
1
2
22 += = , cos x 2
2
=-
2 2
x k4 2!
r
r= + x k4
3
2!
r
r= +
k 0= & x 4!
r
= x
3
4!
r
=
k 1!= & x 4
5
!
r
=
.‫ב‬( ) ( ) [ ] [ ]tan tanS f x dx f x dx x x x x2 2
0
4
4
0
4
4
3
3
=- + = - - + -
π
π
π
π
π
π
# #
( .) ( )S 2 1 3 0 7793
2
1 2 3 3 2
r r r r
= - + - - - = + - =
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

5. 315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 5 -
4 ‫שאלה‬
4 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫ההגדרה‬ ‫תחום‬x x4 32 02 2- + +
2
x4 81 1-
.‫ב‬( ) ( )x f og0 32 50 2& ,= = =
( )f x x x0 4 32 12+= - + + = + x 2 35!=
:‫הן‬ ‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫לכן‬( . , ) , ( . , ) , ( , )7 92 0 3 92 0 0 5-
.‫ג‬( )
( )
' x
x x n
x
f
4 32 2
2 4
2 $ ,
=
- + +
- +
( ) 0 2' x xf &= =
x x4 21 1- 2 x2 81 1
f'(x) + 0 -
f(x) 3 4
x4 21 1- :‫עלייה‬
x2 81 1 :‫ירידה‬
.‫ד‬( ) .f og y og2 36 36 5 172 2&, ,= = = :‫לכן‬ , x 2= ‫שבה‬ ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫בנקודת‬ ‫משיק‬ ‫הישר‬
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

6. 315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 6 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
5 ‫שאלה‬
5 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬M M qt o
t$=
:‫שנים‬ 10 ‫כעבור‬
:‫שנים‬ t ‫כעבור‬
. . .q2 5 1 63 1 63
t
t
10 10
1
10
&# =
. . .q8 2 5 2 5 1 63# := =
. q2 5 #=
0
t = ‫שנים‬ 23.8
.‫ב‬( ) 2 ( )' x x e ef x m m x2 2
= +- - )1(
( )' x xf 0 0+= =) e e0 x m m x2 2
1 +- - ‫(כי‬
( )f e e0 m m= --
x x 01 0 x 02
f'(x) - 0 +
f(x) 4 3
( , )e e0 m m-- ‫ב־‬ ‫מינימום‬
. ( , )e e0 m m-- ,‫לאפס‬ ‫שווה‬ ‫הנגזרת‬ ‫שבה‬ ‫בנקודה‬ ‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫משיק‬ ‫הוא‬ ‫לכן‬ ,‫אפס‬ ‫הוא‬ y 0= ‫הישר‬ ‫שיפוע‬ )2(
:‫מכאן‬e e
e e
m
0
0
m m
m m
- =
=
=
-
-
0
0