23. הפולינומית ההיררכיה הגדרת 21
ǭ החישובים מורכבות
הפולינומית ההיררכיה הגדרת 21
סימונים 21.1
.V (x) = Accept-ש פירושו V (x)
.V (x) = Reject-ש פירושו ¬V (x)
.פולינומי בזמן המשתנים את לבדוק ניתן - e
∃, e
∀
ΠkP-ו ΣkP 21.2
.(קבוע הוא c )כאשר Θ (|x|
c
) ≥ פולינומי בזמן שרצה מכונה זאת - M = V ההגדרות בכל
המשמעות המחלקה
x ∈ L ⇐⇒ V (x)-ש כך V יש אם L ∈ P = Σ0P = Π0P
x ∈ L ⇐⇒ e
∃w1V (x, w1)-ש כך V יש אם L ∈ NP = Σ1P
x ∈ L ⇐⇒ e
∀w1V (x, w1)-ש כך V יש אם L ∈ coNP = Π1P
x ∈ L ⇐⇒ e
∃w1
e
∀w2V (x, w1, w2)-ש כך V יש אם L ∈ Σ2P
x ∈ L ⇐⇒ e
∀w1
e
∃w2V (x, w1, w2)-ש כך V יש אם L ∈ Π2P
x ∈ L ⇐⇒ e
∃w1
e
∀w2
e
∃w3V (x, w1, w2, w3)-ש כך V יש אם L ∈ Σ3P
x ∈ L ⇐⇒ e
∀w1
e
∃w2
e
∀w3V (x, w1, w2, w3)-ש כך V יש אם L ∈ Π3P
x ∈ L ⇐⇒ e
∃w1
e
∀w2 · · · e
Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-ש כך V יש אם :L ∈ ΣkP
x ∈ L ⇐⇒ e
∀w1
e
∃w2 · · · e
Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-ש כך V יש אם : L ∈ ΠkP
.k זוגיות לפי נקבע Q ∈ {∀, ∃} כאשר
ΣkP, ΠkP ⊆ Σk+1P, Πk+1P
PH הגדרת 21.3
:הבא האיור על נסתכל
:כלומר ,המחלקות כל של איחוד זה PH
PH =
∪
k∈N
ΣkP =
∪
k∈N
ΠkP
:לזכור שכדאי דברים כמה הנה ,כן-כמו
co (ΣkP) = ΠkP
co (ΠkP) = ΣkP
23
24. הפולינומית ההיררכיה הגדרת 21
ǭ החישובים מורכבות
P
coNP NP
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
Π2P Σ2P
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Π3P Σ3P
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
PH
QkP מחלקה כל
מה כל את כוללת
,למשל ,שמתחתיה
מה מוצג משמאל באיור
:Σ2P המחלקה כוללת
האזור בתוך שיש )מה
(.המקווקו בקו שמסומן
P
coNP NP
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
Π2P Σ2P
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Π3P Σ3P
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
PH
פולינומית היררכיה :4 איור
'וכו P ̸= NP לגבי מרכזיות השערות 21.4
ΠkP ( Σk+1P - מעריכית כוח תוספת יש ∃ לכמת P ̸= NP
ΣkP ( ∀k+1P - מעריכית כוח תוספת יש ∀ לכמת P ̸= coNP
ΣkP ̸= ΠkP - (אחד לכל כוח )אותו שונה כוח תוספת יש שונים לכמת NP ̸= coNP
הקריסה משפט 21.5
והופכות קורסות הקומות כל ,כלומר .קורס שמעל מה כל - שמעליה לזאת שווה הרמות שאחת שמספיק אומר המשפט
:המשפט של פרטי מקרה .אחת קומה להיות
P = NP ⇒ P = PH
24
25. חישוב קונפיגורצית 23
ǭ החישובים מורכבות
V חלק
זיכרון סיבוכיות
.ריצה זמן אחרי בחשיבותו השני המשאב הוא זיכרון
.S-ב אותו נסמן
:אזי ,(שעון )פעימות זמן - T ,זיכרון - S
S ≤ T
.לזמן בניגוד למחזר ניתן וזיכרון היות ,S ≪ T :עבורן בעיות שיש משערים כן-וכמו
S ≪ T שבו למקרה דוגמת 22
:משתנים n-ו פסוקיות m עם SAT של הדוגמה על נתסכל
.השמות 2n
-ה כל את בלולאה סורקים
.”Accept” ועונים עוצרים אזי מספקת היא ואם φ-ב מציבים w השמה כל
.”Reject” עונים מספקת השמה נמצאה לא אם ,הסריקה בסוף
:סהכ
S (n) =
2n
· n + e
Θ (log m)
(מאוד קצר )משהו החישוב אותו של תוצאה רק שומרים אנחנו ,זיכרון ממחזרים שאנחנו היא 2n
את שביטלנו הסיבה
.משתמשים אנחנו שבה ההשמה של אינדיקציה +
.SAT ∈ D − SPACE (הקלט )אורך
.2Ω(n)
זמן דורשת SAT-ש משערים
.NP, coNP, PH ⊆ P − SPACE
| {z }
פולינומי זיכרון
:למעשה
:סביר S עבור
S ≤ T ≤ 2Θ(S)
.(אותו למחזר היכולת )בגלל מזמן חזק יותר הרבה שזיכרון משערים
חישוב קונפיגורצית 23
.(9 )חלק חישוב מכונות - כאן בהרחבה מט על דובר בעיקרון
.ופלט עבודה ,קלט :במט סרטים שלושה ישנן
.S (n) בזיכרון L שפה את מכריעה M מכונה כי אומרים
.x /
∈ L ⇐⇒ M (x) = Reject ,x ∈ L ⇐⇒ M (x) = Accept
.c · S ≥ העבודה בסוף M ניגשת שאליהם התאים שמספר כל c קבוע קיים
25
26. זיכרון - סיבוכיות מחלקות 24
ǭ החישובים מורכבות
S : N → N
?ישנן קונפיגורציות כמה 23.1
.אפשרי קונפיגורציות מספר על חסם למצוא ,כלומר .האפשרי הקונפיגורציות מספר על לעמוד ננסה
.קונפיגורציה הוא כזה חישוב כל - (9.1) החישוב אופן :כאן קונפיגורציה מהי על לקרוא ניתן כזכור
:חסמים אלו נחפש שאנחנו מה
n · S · |Σ|S
· |Q|
.הקלט בסרט הקורא הראש מיקום n
.העבודה בסרט מיקום S
,כלומר ,Σ-מ אחת אות יש מהם אחד שבכל בסרט תאים S לנו יש
.אפשרויות |Σ| יש תא כל עבור
|Σ|
S
.שישנם המצבים מספר Q
.אותו לצמצם נוכל ולכן ,S |Σ|
S
:|Σ| 2 עבור ,כעת
.S ≥ Ω (log n) עבור 5
n · 2Θ(S)
= 2Θ(S)
:כן-כמו
נכנס ואז - אליה שנחזור קונפיגורציה תהיה בוודאי אז כי ,הקונפיגורציות מספר על יעלה שהזמן ייתכן לא ,כעת
.(מעגל ייסגר בהכרח אז )כי אינסופית ללולאה
:לכן
T ≤ 2Θ(S)
'
$
%
זיכרון - סיבוכיות מחלקות 24
.log (n) :מזערי סביר עבודה זיכרון
.poly (n) :מרבי סביר עבודה זיכרון
:נסמן
P − SPACE =
∪
k∈N
D − SPACE
(
nk
)
L = L − SPACE = D − SPACE ∈ (log n)
.לוגריתמי זיכרון - T ≤ 2Θ(log n)
= nΘ(1)
⇐= S = Θ (log n)
ההיררכיה משפט 24.1
:מקום סיבוכיות לגבי (12.1 )משפט זמן סיבוכיות של ההיררכיה למשפט מאוד בדומה
:אזי S1 ≪ S2 אם
D − SPACE (S1) ( D − SPACE (S2)
.L ( P − SPACE :ובפרט
.40 בעמוד נמצאת 6
ההיררכיה משפט הוכחת
.n · 2Θ(S) = 2Θ(S)+log(n) = 2Θ(S) :כי5
.בלכסון שמתרכזת חלקית בהוכחה אלא מלאה בהוכחה מדובר לא6
26
27. זיכרון - סיבוכיות מחלקות 24
ǭ החישובים מורכבות
המחלקות של ההיררכיה 24.2
L ⊆ P ⊆ NP ⊆ P − SP ACE
אחד אף את להוכיח איך ידוע לא אבל ,( בעצם הוא ⊆-ה אחד שלפחות בוודאי אזי L ( P − SPACE-ו היות
....(-מה
?L ̸= NP :פתוחה בעיה 24.2.1
?לוגריתמי בזיכרון כריעה SAT האם היא הפתוחה והשאלה 2Θ(n)
זמן דורשת SAT-ש משערים
?P ̸= P − SPACE האם השאלה נשאלת גם כן-וכמו
27