סיכום הקורס בלוגיקה מאת ד"ר גילי שול. הסיכום כולל - פסוקים, תחשיב הפרדיקטים, אינדוקציה, סדרת בנייה, תורת ההוכחה ועוד.

1. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫ד"ר‬
‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
'‫א‬ ‫סמסטר‬ ,‫שול‬ ‫גילי‬ ‫ד"ר‬
‫ואם‬ ;‫מוכח‬ ‫היה‬ ,‫כך‬ ‫היה‬ ‫"לו‬ ,‫טידלדי‬ ‫המשיך‬ ",‫"נהפוכו‬
;‫ייתכן‬ ‫אז‬ ,‫כן‬
1
".‫ההיגיון‬ ‫אומר‬ ‫כך‬ !‫פרח‬ ‫עורבא‬ ,‫כך‬ ‫שלא‬ ‫מאחר‬ ‫אבל‬
I ‫חלק‬
‫הפסוקים‬ ‫תחשיב‬
‫ושפה‬ ‫מחרוזת‬ ,(‫)מקלדת‬ ‫א"ב‬ 1
(‫)מקלדת‬ ‫א"ב‬ 1.1
‫או‬ ‫א"ב‬ ‫בשם‬ ‫תיקרא‬ (‫אינסופית‬ ‫או‬ ‫)סופית‬ ‫סימנים‬ ‫קבוצת‬ ‫כל‬
.‫אותיות‬ ‫נקראים‬ ‫במקלדת‬ ‫הסימנים‬ .‫מקלדת‬
(‫והלאה‬ ‫)מעתה‬ .Σ = {0, 1, 2} ‫למשל‬ ,Σ‫ב־‬ ‫הא"ב‬ ‫את‬ ‫נסמן‬
‫מחרוזת‬ 1.2
‫הכתובות‬ ‫הא"ב‬ ‫מעל‬ ‫אותיות‬ ‫של‬ ‫סופית‬ ‫סדרה‬ ‫היא‬ ‫מחרוזת‬
.‫לימין‬ ‫משמאל‬
‫מעל‬ ‫המחרוזות‬ ‫לכל‬ ‫סימון‬ ‫זהו‬ ‫היא‬ Σ∗
‫אזי‬ ‫מקלדת‬ ‫היא‬ Σ ‫אם‬
.Σ
.‫הריקה‬ ‫המחרוזת‬ ‫היא‬ ‫־‬ ε
.Σ∗
= {ε, 0, 1, 10, 11, 100, ...} :‫אזי‬ Σ = {0, 1} ‫אם‬
!‫מקלדת‬ ‫אינה‬ Σ∗
‫מחרוזות‬ ‫שירשור‬ 1.3
‫או‬ α · β ‫אזי‬ α, β ∈ Σ∗
‫אם‬ :‫השירשור‬ ‫פעולת‬ ‫מוגדרת‬ Σ∗
‫על‬
.‫המחרוזות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫שירשור‬ ‫הן‬ αβ
.αβ = 000111 ‫אזי‬ β = 111‫ו־‬ α = 000 ‫אם‬ ,‫למשל‬
‫שפה‬ 1.4
.Σ ‫במקלדת‬ ‫שפה‬ ‫תיקרא‬ Σ∗
‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫כל‬
.Σ ‫במקלדת‬ ‫שפה‬ ‫היא‬ L ‫אזי‬ L ⊆ Σ∗
‫אם‬ ,‫כלומר‬
:‫היא‬ ‫לדוגמא‬ ‫שפה‬ ‫אזי‬ ,Σ = {0, 1, a} ‫אם‬ :‫למשל‬
.L = {ε, a, a1, 01a}
,‫ליטוין‬ ‫רנה‬ ‫מאת‬ ‫תרגום‬ ,"‫שם‬ ‫מצאה‬ ‫אליס‬ ‫ומה‬ ‫למראה‬ ‫"מבעד‬ ‫מתוך‬1
.70 ‫עמוד‬ ‫המאוחד‬ ‫הקיבוץ‬ ‫הוצאת‬
‫פסוקית‬ ‫שפה‬ 2
.‫לוגי‬ ‫פסוק‬ ‫שמגדירה‬ ‫מחרוזת‬ ‫מהי‬ ‫נגדיר‬ ‫כעת‬
:‫הפסוקית‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬
:‫הפסוקית‬ ‫השפה‬ ‫של‬ ‫המקלדת‬
Σ = {¬, ∨, ∧, →, ↔, (, ), p1, p2, ...}
:‫כאשר‬
.‫קשרים‬ ‫נקראים‬ ‫־‬ ¬, ∨, ∧, →, ↔
.‫סוגריים‬ ‫נקראים‬ ‫־‬ (, )
.(‫אטומים‬ :‫)או‬ ‫אלמטריים‬ ‫פסוקים‬ ‫נקראים‬ ‫־‬ P1, P2
:‫גדולות‬ ‫באותיות‬ ‫אטומים‬ ‫פסוקים‬ ‫לכתוב‬ ‫נהוג‬ :‫הערה‬
‫באותיות‬ ‫אותם‬ ‫אכתוב‬ ‫פעם‬ ‫מדי‬ ‫כאן‬ ‫אך‬ ,P1, P2, P, Q, ...
.‫קטנות‬
‫ברקורסיה‬ ‫־‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫ראשונה‬ ‫דרך‬ 2.1
.‫פסוק‬ ‫הוא‬ ‫אלמטרני‬ ‫שהוא‬ ‫יחיד‬ ‫סימן‬ ‫בת‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬ .1
.‫פסוק‬ ‫הוא‬ ¬ϕ ‫גם‬ ‫אזי‬ ,‫פסוק‬ ϕ ‫אם‬ .2
‫אזי‬ ‫פסוקים‬ ϕ, ψ ‫אם‬ ,‫מתקיים‬ @ ∈ {∨, ∧, →, ↔} ‫לכל‬ .3
.‫פסוק‬ (ϕ@ψ) ‫גם‬
‫מחרוזת‬ ‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הקטנה‬ ‫הקבוצה‬ ‫היא‬ ‫הפסוקים‬ ‫קבוצת‬
‫גם‬ ϕ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬ ‫ועבור‬ ,‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הכוללת‬
.‫נמצאת‬ (ϕ@ψ) ‫גם‬ ϕ, ψ ‫מחרוזות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ ‫ועבור‬ ,‫נמצאת‬ ¬ϕ
‫השפה‬ ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫שניה‬ ‫דרך‬ 2.2
‫ונגדיר‬ ,‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ E0‫ב־‬ ‫נסמן‬
‫כבר‬ En−1‫ש־‬ ‫בהנחה‬ ,En ‫הקבוצה‬ ‫את‬ n ‫על‬ ‫באינדוקציה‬
.‫מוגדרת‬
‫המחרוזות‬ ‫כל‬ :‫בתוספת‬ En−1‫ב־‬ ‫המחרוזות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ En
ϕ, ψ ∈ En−1 ‫כאשר‬ (ϕ@ψ) ‫ובתוספת‬ ϕ ∈ En−1 ‫שבהן‬ ¬ϕ
.@ ∈ {∨, ∧, →, ↔} ‫ו־‬
.En ‫הקבוצות‬ ‫באחת‬ ‫היא‬ ‫אםם‬ "‫"פסוקית‬ ‫תקרא‬ ‫מחרוזת‬
E0 = {P1, P2, ...}
E1 = {P1, P2, ..., ¬P1, ¬P1, ..., (P1@P2) , ., , , }
.E0 ⊆ E1 ⊆ E2 ⊆ E3 ⊆ ... :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫פסוק‬ ‫של‬ ‫דרגה‬ 2.3
‫ש־‬ ‫כך‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ n ‫המספר‬ ‫היא‬ ‫פסוק‬ ‫של‬ d (ϕ) ‫הדרגה‬
."‫הקשרי‬ ‫"העומק‬ ‫גם‬ ‫נקראת‬ ‫הדרגה‬ .ϕ ∈ En
.p, q ∈ E0 :‫אזי‬ ,p, q ‫אטומים‬ ‫פסוקים‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ :‫למשל‬
.d (P) = d (Q) = 0 :‫ולכן‬
:‫ולכן‬ ,¬P, ¬Q, (P@Q) ∈ E1 :‫וכמו־כן‬
.d (¬P) = d (¬Q) = d (P@Q) = 1
‫לא‬ ‫הוא‬ 1‫ש־‬ ‫בגלל‬ ‫אבל‬ ,P ∈ E1 ‫גם‬ ‫שכמובן‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬
.d (P) 6= 1 ‫אזי‬ P ∈ En‫ש־‬ ‫כך‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ n‫ה־‬
‫הסוגריים‬ ‫ספירת‬ ‫למת‬ 3
‫השמאליים‬ ‫הסוגריים‬ ‫מספר‬ :‫סוגריים‬ ‫מאוזן‬ ‫הוא‬ ‫פסוק‬ ‫כל‬ .1
.‫הימניים‬ ‫הסוגריים‬ ‫למספר‬ ‫שווה‬
1

2. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫ד"ר‬
‫למספר‬ ‫שווה‬/‫גדול‬ ‫השמאליים‬ ‫הסוגריים‬ ‫מספר‬ ‫רישא‬ ‫בכל‬ .2
‫הימניים‬ ‫הסוגריים‬ ‫מספר‬ ‫סיפא‬ ‫ובכל‬ ,‫הימניים‬ ‫הסוגריים‬
.‫השמאליים‬ ‫הסוגריים‬ ‫למספר‬ ‫שווה‬/‫גדול‬
‫משמאלו‬ ‫רואה‬ ‫בפסוק‬ (∨, ∧ →, ↔) ‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫כל‬ .3
.‫ימניים‬ ‫סוגריים‬ ‫יותר‬ ‫ומימינו‬ ‫שמאליים‬ ‫סוגריים‬ ‫יותר‬
‫היחידה‬ ‫הקריאה‬ ‫משפט‬ 4
:‫הבאים‬ ‫מהסוגים‬ ‫בלבד‬ ‫ואחד‬ ‫לאחד‬ ‫שייך‬ ‫פסוק‬ ‫כל‬ .1
.(‫אטומים‬ ‫)פסוקים‬ ‫אלמנטריים‬ ‫פסוקים‬ (‫)א‬
‫הוא‬ ϕ ‫כאשר‬ ¬ϕ ‫מהצורה‬ ‫פסוק‬ :‫שלילה‬ ‫פסוקי‬ (‫)ב‬
.‫פסוק‬
,ϕ = (ψ@θ) ‫מהצורה‬ ‫פסוקים‬ :‫מקושרים‬ ‫פסוקים‬ (‫)ג‬
.‫פסוקים‬ ‫הם‬ ψ, θ ‫כאשר‬
.2
‫פסוק‬ ‫עבור‬ ϕ = ¬ψ ‫אז‬ ,‫שלילה‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אם‬ (‫)א‬
‫פסוקים‬ ‫עבור‬ ϕ = ¬ψ = ¬θ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ .‫יחיד‬ ψ
.ψ = θ ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ ψ, θ
‫קשר‬ ‫עבור‬ ϕ = (ψ@θ) ‫אז‬ ,‫מקושר‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אם‬ (‫)ב‬
.ψ, θ ‫יחיד‬ ‫פסוקים‬ ‫זוג‬ ‫ועבור‬ @ ‫יחיד‬ ‫דו־מקומי‬
‫עבור‬ ϕ = (ψ1@ψ2) = (θ1#θ2) ‫אם‬ ,‫כלומר‬
,@, # ‫דו־מקומיים‬ ‫וקשרים‬ ψ1, ψ2, θ1, θ2 ‫פסוקים‬
.@ = #‫ו־‬ ψ2 = θ2 ,ψ1 = θ1 ‫בהכרח‬ ‫אזי‬
‫האפיון‬ ‫בעל‬ ‫הוא‬ (ψ@θ) ‫במחרוזת‬ ‫הקשר‬ ‫מיקום‬
‫הקשר‬ ‫זה‬ ‫החיצוניים‬ ‫הסוגירים‬ ‫מחיקת‬ ‫לאחר‬ :‫הבא‬
‫שהמחרוזאת‬ ψ@θ ‫במחרוזת‬ ‫היחיד‬ ‫הדו־מקומי‬
‫ימניים‬ ‫סוריים‬ ‫של‬ ‫שווה‬ ‫מספר‬ ‫בעלת‬ ‫היא‬ ‫משמאלו‬
.‫ושמאליים‬
(‫פולנית‬ ‫)כתיבה‬ ‫סוגריים‬ ‫נטולת‬ ‫כתיבה‬ 5
.‫קושר‬ ‫שהוא‬ ‫הפסוקים‬ ‫לפני‬ ‫מופיע‬ ‫קשר‬ ‫כל‬ :‫הרעיון‬
.‫פסוק‬ ‫הוא‬ pi ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫כל‬ .1
.‫פסוק‬ ¬ϕ ‫אז‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫אם‬ .2
.‫פסוק‬ @ϕψ ‫גם‬ ‫אז‬ ,‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ @‫ו־‬ ‫פסוקים‬ ϕ, ψ ‫אם‬ .3
‫דוגמאות‬ ‫כמה‬ 5.1
‫סוגריים‬ ‫עם‬ ‫כתיבה‬ ‫סוגריים‬ ‫נטולת‬ ‫כתיבה‬
(A → B) → AB
(A → (B ∧ C)) → A ∧ BC
((A → B) ∧ C) ∧ → ABC
((A → B) ∧ (C ↔ D)) ∧ → AB ↔ CD
‫סוגריים‬ ‫עתירת‬ ‫כתיבה‬ 6
:‫אחד‬ ‫תיקון‬ ‫עם‬ ‫רק‬ ‫הכתיבה‬ ‫כמו‬
.‫פסוק‬ ‫הוא‬ (¬ϕ) ‫גם‬ ‫אז‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אם‬ .‫ב‬
:‫פסוק‬ ‫של‬ (‫מבנה‬ ‫)עץ‬ ‫גזירה‬ ‫עץ‬ 7
‫הגדרה‬ 7.1
‫נקרא‬ ‫המחרוזת‬ ‫בתחלת‬ ‫השלילה‬ ‫סימן‬ ¬ϕ ‫שלילה‬ ‫בפסוק‬ .1
‫הראשי‬ ‫המרכיב‬ ‫נקרא‬ ϕ ‫והפסוק‬ ,‫הפסוק‬ ‫של‬ ‫הראשי‬ ‫הקשר‬
.‫הפסוק‬ ‫של‬
‫הראשי‬ ‫הקשר‬ ‫נקרא‬ @ ‫הקשר‬ α@β ‫מקושר‬ ‫בפסוק‬ .2
‫המרכיבים‬ ‫נקראים‬ α, β ‫החלקיים‬ ‫והפסוקים‬ ,‫הפסוק‬ ‫של‬
‫משפט‬ ‫אחרי‬ ‫רק‬ ‫להגדיר‬ ‫)ניתן‬ ‫הפסוק‬ ‫של‬ ‫הראשיים‬
.‫היחידה‬ ‫הקריאה‬
‫האלגוריתם‬ 7.2
‫אנו‬ ,(Σ) ‫הפסוקית‬ ‫המקלדת‬ ‫סימני‬ ‫של‬ α ‫מחרוזת‬ ‫בהינתן‬
.‫המבנה‬ ‫עץ‬ ‫של‬ ‫השורש‬ ‫וזהו‬ ‫הדף‬ ‫בראש‬ ‫אותה‬ ‫רושמים‬
‫הניתוח‬ ,‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ,Pi ‫שהוא‬ ‫יחיד‬ ‫סימן‬ ‫היא‬ α ‫אם‬ .1
.‫הסתיים‬
α = ¬β ‫כלומר‬ ,‫שלילה‬ ‫בסימן‬ ‫מתחילה‬ α ‫אם‬ ,‫אחרת‬ .2
:‫רושמים‬ ‫אנחנו‬
α
β
‫רושמים‬ ‫אנחנו‬ ‫בעץ‬ ‫)כלומר‬ .β ‫על‬ ‫ברקורסיה‬ ‫וממשיכים‬
.(β ‫מתחתיו‬ ‫ואז‬ ¬β ‫בהתחלה‬
.‫פסוק‬ ‫היא‬ ¬β ⇐⇒ ‫פסוק‬ ‫היא‬ β :‫הערה‬
‫והסימן‬ ‫שמאלי‬ ‫סוגר‬ ‫הוא‬ α ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫הסימן‬ ‫אם‬ ,‫אחרת‬ .3
‫החיצוניים‬ ‫הסוגריים‬ ‫את‬ ‫נמחק‬ ,‫ימני‬ ‫סוגר‬ ‫הוא‬ ‫האחרון‬
‫מספר‬ ‫בעל‬ ‫משמאלו‬ ‫שהקטע‬ @ ‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫ונחפש‬
‫אינו‬ α‫־‬ ‫כזה‬ ‫אין‬ ‫אם‬ .‫הסוגים‬ ‫משני‬ ‫סוגריים‬ ‫של‬ ‫שווה‬
!‫פסוק‬
:‫בעץ‬ ‫ונרשום‬ ,β = γ@δ‫ו־‬ α = β :‫נרשום‬ ‫כזה‬ ‫יש‬ ‫אם‬
α

γ δ
.‫פסוק‬ ‫אינו‬ α ‫־‬ ‫אחרת‬ .4
‫לעץ‬ ‫דוגמא‬ 7.3
.¬ (P → ¬Q) :‫הבא‬ ‫הפסוק‬ ‫של‬ ‫העץ‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
¬ (P → ¬Q)
(P → ¬Q)
%%
yy
P ¬Q
Q
2

3. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫דר‬
‫אז‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ α‫ש־‬ ‫שללנו‬ ‫ולא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ריצת‬ ‫את‬ ‫סיימנו‬ ‫אם‬
‫הקודקודים‬ ‫שאר‬ ‫וכל‬ ‫אלמנטריים‬ ‫פסוקים‬ ‫הם‬ ‫הם‬ ‫העץ‬ ‫עלי‬ ‫כל‬
.‫פסוקים‬ ‫הם‬ (α ‫)כולל‬
‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫משפט‬ 8
(‫פורמלי‬ ‫לא‬ ‫)ניסוח‬
‫כלשהי‬ A ‫לקבוצה‬ ‫הפסוקים‬ ‫מקבוצת‬ f ‫פונקציה‬ ‫להגדיר‬ ‫ניתן‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬
.P ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫לכל‬ f (P) ‫את‬ ‫מגדירים‬ .1
.‫מוגדרת‬ f (ψ)‫ש־‬ ‫בהנחה‬ f (¬ψ) ‫את‬ ‫מגדירים‬ .2
‫בהנחה‬ f ((ψ@θ)) ‫את‬ ‫מגדירים‬ @ ‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫לכל‬ .3
.‫מוגדרות‬ f (ψ) , f (θ)‫ש־‬
‫)ניסוח‬ ‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫משפט‬ 8.1
(‫מדויק‬
‫לקבוצה‬ E0 ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫מקבוצת‬ ‫פונקציה‬ fe ‫תהי‬
.A
‫תהי‬ ,@ ‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫ולכל‬ ‫פונקציה‬ C¬ : A → A ‫תהי‬
.‫פונקציה‬ C@ : A × A → A
‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ E) F : E → A ‫ויחידה‬ ‫אחת‬ ‫פונקציה‬ ‫יש‬ ‫אז‬
:‫המקיימת‬ ,(‫הפסוקים‬
.f (ϕ) = fe (ϕ) ‫אז‬ ‫אלמטרי‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אם‬ .1
f (ϕ) = ‫אזי‬ ,ϕ = ¬ψ ‫שלילה‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אם‬ .2
.C¬ (f (ϕ))
f (ϕ) = :‫אזי‬ ϕ = (ψ@θ) ‫מקושר‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אם‬ .3
.C@ (f (ψ) , f (θ))
‫דוגמא‬ 8.2
f : E → N :‫נגדיר‬ .‫הפסוקים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ E‫ב־‬ ‫נסמן‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ (A = N ‫שלנו‬ ‫)במקרה‬
:‫פורמלי‬ ‫לא‬ ‫בניסוח‬
f (ϕ) =





0 ϕ ∈ E0
f (ψ) + 1 ϕ = ¬ψ
f (ψ) + f (θ) ϕ = (ψ@θ)
:‫פורמלי‬ ‫בניסוח‬
fe ≡ 0
C¬ (x) ≡ x + 1
C@ (x + y) ≡ x + y
sub (ϕ) ‫חלקי‬ ‫פסוק‬ 9
‫הפסוקים‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫נרצה‬ ϕ ‫פסוק‬ ‫בהניתן‬ 9.1 ‫הגדרה‬
‫באינדוקציה‬ ‫הגדרה‬ ‫היא‬ ‫ההגדרה‬ .ϕ ‫הפסוק‬ ‫של‬ ‫החלקיים‬
.‫הפסוקים‬ ‫של‬ ‫תתי־הקובוצות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ A = P (E) .‫מבנית‬
.(f = sub ‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ f : E → P (E) = 2E
.sub (ϕ) = {ϕ} .1
.sub (¬ϕ) = sub (ϕ) ∪ {ϕ} .2
.sub (ψ@θ) = sub (ψ) ∪ sub (θ) ∪ {(ψ@θ)} .3
.‫פסוקים‬ ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫היא‬ sub (ϕ) ,ϕ ‫פסוק‬ ‫לכל‬
‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫לוקליות‬ ‫משפט‬ 10
.‫קבוצה‬ A ‫ותהי‬ ,(‫זרות‬ ‫)אולי‬ ‫פסוקיות‬ ‫שפות‬ ‫שתי‬ L1, L2 ‫תהיינה‬
:‫יהיו‬
F1 : L1 → A
F2 : L2 → A
‫הפונקציות‬ ‫שעבורן‬ ‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫המוגדרות‬ ‫פונקציות‬ ‫שתי‬
‫הן‬ (@ ‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫)לכל‬ C@ : A → A‫ו־‬ C¬ : A → A
.(‫־ים‬C ‫)אותם‬ ‫פונקציות‬ ‫אותן‬
‫הפסוקים‬ ‫גם‬ ‫)ולכן‬ ‫השפות‬ ‫בשתי‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ∈ L1 ∩ L2 ‫אם‬
F1 (Q) = ‫ומתקיים‬ (‫השפות‬ ‫לשתי‬ ‫שייכים‬ ϕ‫שב־‬ ‫האלמנטריים‬
:‫אזי‬ ,ϕ ‫במחרוזת‬ ‫המופיע‬ Q ‫אלממטרי‬ ‫פסוק‬ ‫לכל‬ F2 (Q)
F1 (ϕ) = F2 (ϕ)
‫החלקית‬ ‫המחרוזת‬ ‫למת‬ 11
(‫חלקית‬ ‫מחרוזת‬ = ‫)תת־מחרוזת‬
.‫פסוק‬ ‫גם‬ ‫שהיא‬ ϕ ‫של‬ ‫חלקית‬ ‫מחרוזת‬ α ‫ותהי‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫יהי‬
.ϕ ‫של‬ ‫ראשי‬ ‫מרכיב‬ ‫של‬ ‫חלקית‬ ‫מחרוזת‬ α‫ש־‬ ‫או‬ α = ϕ ‫אז‬
‫התת־מחרוזת‬ ‫משפט‬ 11.1
ϕ ‫של‬ ‫חלקית‬ ‫מחרוזת‬ ‫היא‬ ⇐⇒ ϕ ‫של‬ ‫חלקי‬ ‫פסוק‬ ‫היא‬ ψ
.‫פסוק‬ ‫גם‬ ‫שהוא‬
3

4. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫דר‬
‫הצבות‬/‫חלקי‬ ‫פסוק‬ ‫החלפת‬ 12
:‫תת־פסוק‬ ‫החלפת‬ ‫משפט‬ 12.1 ‫משפט‬
‫תהי‬ .‫נוסף‬ ‫פסוק‬ ψ ‫ויהיה‬ ϕ ‫של‬ ‫תת־פסוק‬ θ ‫ויהי‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫יהיה‬
.ψ ‫במחרוזת‬ θ ‫המחרוזת‬ ‫החלפת‬ ‫עי‬ ‫המתקבלת‬ ‫המחרוזת‬ ϕ0
.‫פסוק‬ ϕ0
‫אזי‬
:‫הגדרה‬
‫הצבה‬ ‫עי‬ ϕ ‫ממחרוזת‬ ‫מתקבלת‬ ϕ0
‫מחרוזת‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬ .1
‫לאחר‬ ϕ ‫במחרוזת‬ ‫היא‬ ϕ0
⇐⇒ Q ‫במקום‬ ψ ‫של‬ ‫יחידה‬
.ψ ‫במחרוזת‬ ‫הוחלף‬ Q ‫של‬ ‫המופעים‬ ‫שאחד‬
‫הצבה‬ ‫עי‬ ϕ ‫ממחרוזת‬ ‫מתקבלת‬ ϕ0
‫מחרוזת‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬ .2
⇐⇒ (‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ Q) Q ‫במקום‬ ϕ ‫של‬ ‫מלאה‬
‫הוחלפו‬ Q ‫של‬ ‫המופעים‬ ‫שכל‬ ‫לאחר‬ ϕ ‫המחרוזת‬ ‫היא‬ ϕ0
.ψ ‫במחרוזת‬
‫לשים‬ ‫)חשוב‬ .ϕ [ψ/Q]‫ב־‬ ‫מסומת‬ ‫ההצבה‬ ‫אחרי‬ ‫המחרוזת‬
ϕ [ψ/Q]‫ש־‬ ‫כך‬ ψ ‫מסימני‬ ‫אחד‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ Q ‫הסימן‬ ‫־‬ ‫לב‬
.Q ‫הפסוק‬ ‫את‬ ‫לכלול‬ ‫עדיין‬ ‫יכולה‬
‫שונים‬ ‫דווקא‬ ‫)לאו‬ ‫פסוקים‬ ϕ, ψ1, ..., ψn ‫אם‬ :‫הכללה‬ .3
‫זה‬ ‫שונים‬ ‫אלמנטריים‬ ‫פסוקים‬ Q1, ..., Qn‫ו־‬ (‫מזה‬ ‫זה‬
‫מ־‬ ‫המתקבל‬ ‫הפסוק‬ ‫היא‬ ϕ [ψ1/Q1, ..., ψn/Qn] :‫מזה‬
Q1, ..., Qn ‫מופעי‬ ‫כל‬ ‫במקום‬ ‫יחידות‬ ‫הצבות‬ ‫סדרת‬ ‫עי‬ ϕ
.ϕ‫ב־‬ ‫המקוריים‬
‫לכלול‬ ‫יכולים‬ ψ1, ..., ψn ‫שהפסוקים‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬
‫ב־‬ ‫להופיע‬ ‫יכולים‬ Q1, ..., Qn ‫ואז‬ Q1, ..., Qn ‫את‬
. ϕ [ψ1/Q1, ..., ψn/Qn]
.‫מלאה‬ ‫ל־הצבה‬ ‫מתכוונים‬ ,‫הצבה‬ ‫אומרים‬ ‫אם‬
‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫מודולריות‬ 13
:‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫מודולריות‬ 13.1 ‫משפט‬
.‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫המוגדרת‬ ‫פונקצהי‬ H ‫תהי‬ .1
.H (θ) = H (ψ)‫ש־‬ ‫כך‬ ‫פסוקים‬ ψ, θ ‫יהיו‬
.ϕ ‫של‬ ‫תת־פסוק‬ ‫הוא‬ ψ‫ש־‬ ‫ונניח‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫יהי‬
ψ ‫המחרוזת‬ ‫החלפת‬ ‫עי‬ ϕ‫מ־‬ ‫המתקבל‬ ‫הפסוק‬ ϕ0
‫יהי‬
.θ ‫במחרוזת‬
.H (ϕ0
) = H (ϕ) :‫אזי‬
ψ, θ ‫יהיו‬ .‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫המוגדרת‬ ‫פונקציה‬ H ‫תהי‬ .2
‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫פסוק‬ ϕ ‫יהי‬ .H (ψ) = H (θ)‫ש־‬ ‫כך‬ ‫פסוקים‬
:Q ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬
H (ϕ [ψ/Q]) = H (ϕ [θ/Q])
‫בנייה‬ ‫סדרת‬ 14
‫סדרת‬ ‫זוהי‬ ‫מחרוזות‬ ‫של‬ ϕ1, ..., ϕn ‫סופית‬ ‫סדרה‬ 14.1 ‫הגדרה‬
:‫היא‬ ‫בסדרה‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬ ⇐⇒ ‫בניה‬
:‫הבאים‬ ‫מהכללים‬ ‫אחד‬ ‫עי‬ ‫מתקבלת‬ ‫שהיא‬ ‫או‬ ‫אלמנטרית‬ .1
. ϕi = ¬ϕj‫ש־‬ ‫כך‬ i j ‫יש‬ (‫)א‬
.ϕi = (ϕj@ϕk)‫ש־‬ ‫כך‬ i j, k ‫יש‬ (‫)ב‬
‫האחרונה‬ ‫המחרוזת‬ ‫שהיא‬ ‫־‬ ϕn‫ל־‬ ‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ‫תקרא‬ ‫הסדרה‬
.‫בסדרה‬
‫בנייה‬ ‫לסדרת‬ ‫דוגמא‬ 14.1
¬ (P1 ∧ (P2 → P3)) ‫הפסוק‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
:‫הן‬ ‫שלו‬ ‫אפשריות‬ ‫בנייה‬ ‫סדרות‬ ‫שתי‬
•
P1, P2, P3, (P2 → P3) ,
(P1 ∧ (P2 → P3)) , ¬ (P1 ∧ (P2 → P3))
•
P3, P2, (P2 → P3) , P1, (P1 ∧ (P2 → P3))
, ¬ (P1 ∧ (P2 → P3))
.‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬ ‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ‫של‬ ‫רישא‬ 14.2 ‫משפט‬
.‫פסוק‬ ‫היא‬ ‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ‫לה‬ ‫שיש‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬ 14.3 ‫משפט‬
‫הן‬ ‫מחרוזותיה‬ ‫שכל‬ ‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ‫יש‬ ϕ ‫פסוק‬ ‫לכל‬ 14.4 ‫משפט‬
.ϕ ‫של‬ ‫חלקיים‬ ‫פסוקים‬
‫של‬ ‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ‫בכל‬ ‫מופיע‬ ϕ ‫של‬ ‫חלקי‬ ‫פסוק‬ ‫גל‬ 14.5 ‫משפט‬
.ϕ
4

5. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫דר‬
‫שפה‬ ‫של‬ ‫מודלים‬ 15
‫פונקציה‬ ‫הוא‬ ‫לשפה‬ ‫מודל‬ ‫או‬ ‫לשפה‬ ‫מבנה‬ ‫־‬ 15.1 ‫הגדרה‬
{T, F} ‫לקבוצה‬ ‫בשפה‬ ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫מקבוצת‬ M
.‫אמת‬ ‫ערכי‬ ‫הנקראים‬
‫שהפסוק‬ ‫נאמר‬ M (Q) = T ‫אם‬ :Q ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫לכל‬
.M ‫במודל‬ ‫אמיתי‬ Q ‫האלמנטרי‬
‫של‬ ‫מודל‬ ‫הוא‬ M‫ש־‬ ‫או‬ ,Q ‫הפסוק‬ ‫את‬ ‫מספק‬ M‫ש־‬ ‫גם‬ ‫נאמר‬
.(‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫אומרות‬ ‫הצורות‬ ‫שלושת‬ ‫)כל‬ Q
:‫סימון‬
.M (Q) = T ‫אומר‬ M |= Q
.M (Q) = F ‫אומר‬ M 6|= Q
‫)לא‬ ‫מורכבים‬ ‫פסוקים‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫ערך‬ 15.1
(‫אלמנטריים‬
‫פסוק‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫ערך‬ ‫את‬ ‫מגדירים‬ ,M ‫מודל‬ ‫בהינתן‬
..‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬
‫ועל‬ ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫על‬ ‫לפונקציה‬ M ‫שם‬ ‫באותו‬ ‫נשתמש‬
.‫הפסוקים‬ ‫כל‬
f = M =





fe = M
C¬
C@
.‫מוגדר‬ M (ϕ) ‫אז‬ ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫אם‬ .‫א‬
:‫אזי‬ ϕ = ¬ψ ‫אם‬ .‫ב‬
M (ϕ) =
(
T M (ψ) = F
F M (ψ) = T
C¬ : {T, F} → {T, F}
C¬ (T) = F
C¬ (F) = T
:ϕ = (ψ ∧ θ) ‫אם‬ .‫ג‬
M (ϕ) = M ((ψ ∧ θ)) =
(
T M (ψ) = T ∧ M (θ) = T
F Else
C∧ : {T, F} × {T, F} → {T, F}
C∧(T, T) = T
C∧ (x, y) = F (At any other case)
:ϕ = (ψ ∨ θ) ‫אם‬ .‫ד‬
M (ϕ) = M ((ψ ∨ θ)) =
(
F M (ψ) = F ∧ M (θ) = F
T Else
: ϕ = (ψ → θ) ‫אם‬ .‫ה‬
M (ϕ) =
(
F M (ψ) = F ∧ M (θ) = T
T Else
ϕ = (ψ ↔ θ) .‫ו‬
M (ϕ) =
(
T M (ψ) = M (θ)
F M (ψ) 6= M (θ)
:‫אחרות‬ ‫במילים‬
‫אפשר‬ .M ‫במודל‬ ‫אמיתי‬ ϕ ‫שהפסוק‬ ‫נאמר‬ M (ϕ) = T ‫כאשר‬
.ϕ ‫של‬ ‫מודל‬ ‫הוא‬ M‫ש־‬ ‫במקום‬ ‫לומר‬
:‫סימון‬
M (ϕ) = T ⇐ M |= (ϕ)
M (ϕ) = F ⇐ M 6|= (ϕ)
‫ש־‬ ‫נאמר‬ .‫מבנה‬ M‫ו־‬ ‫פסוקים‬ ‫של‬ ‫קבוצה‬ K ‫יהיו‬ 15.2 ‫הגדרה‬
‫נכונים‬ K ‫פסוקי‬ ‫כל‬ ‫אםם‬ M |= K ‫ונסמן‬ K ‫של‬ ‫מודל‬ ‫הוא‬ M
.M‫ב־‬
:‫אזי‬ K = {ϕ1, ..., ϕn} :‫כלומר‬ ,‫סופית‬ K ‫אם‬
M |= ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ⇐⇒ M |= K
‫אזי‬ ,‫פסוק‬ ‫היא‬ δ‫ו־‬ ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ Γ ‫אם‬ 15.3 ‫הערה‬
‫מספק‬ Γ ‫את‬ ‫שמספק‬ ‫מודל‬ ‫שכל‬ :‫היא‬ Γ |= δ ‫של‬ ‫המשמעות‬
‫־‬ ‫פסוקים‬ ‫של‬ ‫קבוצות‬ ‫שתי‬ ‫לגבי‬ ‫בדיוק‬ ‫אופן‬ ‫באותו‬ .δ ‫את‬ ‫גם‬
‫הפסוקים‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ ‫שמספק‬ ‫מודל‬ ‫שכל‬ ‫פירושו‬ Γ |= Π :Γ, Π
‫במקום‬ ‫מסוימים‬ ‫)במקומות‬ Π ‫הפסוקים‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ ‫מספק‬ Γ
.(⇒ ‫מסמנים‬ |=
.‫טאוטולוגיה‬ ϕ‫ש־‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ |= ϕ
‫שפה‬ ‫של‬ ‫המודלים‬ ‫מספר‬ 15.2
.(‫)מבנים‬ ‫מודלים‬ 2n
‫יש‬ ‫אלמנטריים‬ ‫פסוקים‬ n ‫עם‬ ‫בשפה‬
5

6. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫דר‬
‫האמת‬ ‫ערך‬ ‫לוקליות‬ 15.3
‫המופיעים‬ ‫האלמנטריים‬ ‫בפסוקים‬ ‫רק‬ ‫תלוי‬ ‫פסוק‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫ערך‬
(‫זהות‬ ‫)אולי‬ ‫פסוקיות‬ ‫שפות‬ ‫שתי‬ ‫הן‬ L1, L2 ‫אם‬ :‫דיוק‬ ‫ליתר‬ .‫בו‬
‫האלמנטריים‬ ‫שהפסוקים‬ ‫)ומכאן‬ ‫השפות‬ ‫בשתי‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫ואם‬
M2‫ו־‬ L1 ‫של‬ ‫מודל‬ M1 ‫ואם‬ ,(‫השפות‬ ‫לשתי‬ ‫שייכים‬ ϕ‫ב־‬
:ϕ‫ב־‬ ‫המופיע‬ Q ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ ,L2 ‫של‬ ‫מודל‬ ‫הוא‬
.M1 (ϕ) = M2 (ϕ) :‫אזי‬ ,M1 (Q) = M2 (Q)
‫אמת‬ ‫טבלאות‬ 16
.ϕ‫ב־‬ ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫כל‬ Q1, ..., Qn‫ו־‬ ‫פסוק‬ϕ ‫יהי‬
‫הראשונים‬ ‫הפסוקים‬ n‫ש־‬ ‫כך‬ϕ ‫של‬ ‫בנייה‬ ‫סדרת‬ ϕ1, ..., ϕk ‫תהי‬
.Q1, ..., Qn ‫הם‬ ‫בסדרה‬
.‫טורים‬ k ‫בת‬ ‫טבלה‬ ‫יוצרים‬
‫הטורים‬ n ‫שבראש‬ ‫כך‬ ,ϕi ‫הפסוק‬ ‫את‬ ‫רושמים‬ i‫ה־‬ ‫הטור‬ ‫בראש‬
.Q1, ..., Qn ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫יופיעו‬ ‫השמאליים‬
.‫שורות‬ 2n
‫יהיו‬ ‫לטבלה‬
‫הראשונים‬ ‫הטורים‬ n ‫של‬ ‫השורות‬ ‫את‬ ‫ממלאים‬ ‫הראשון‬ ‫בשלב‬
‫הפסוקים‬ ‫של‬ ‫הטורים‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫ממלאים‬ ‫בהתחלה‬ ,‫)כלומר‬
.(‫האלמנטריים‬
.ϕ‫ל־‬ ‫בנוגע‬ ‫האפשריים‬ ‫המודלים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מייצג‬ ‫זה‬
.ϕi ‫פסוקי‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫את‬ ‫טור‬ ‫אחר‬ ‫טור‬ ‫מחשבים‬ ‫השני‬ ‫בשלב‬
‫טבלת‬ ‫לו‬ ‫(ונבנה‬α → (¬β ∨ α)) :‫הפסוק‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ,‫למשל‬
.‫אמת‬
:‫הבאה‬ ‫הבנייה‬ ‫סדרת‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
α, β, ¬β, (¬β ∨ α) , (α → (¬β ∨ α))
‫כל‬ ‫את‬ ‫השמאליות‬ ‫העמודות‬ ‫בשתי‬ ‫ונמלא‬ ‫בטבלה‬ ‫אותה‬ ‫נשים‬
:‫האפשריים‬ ‫המודלים‬
α β ¬β (¬β ∨ α) (α → (¬β ∨ α))
T T
T F
F T
F F
‫בהתאם‬ ‫הטורים‬ ‫שאר‬ ‫את‬ ‫למלא‬ ‫זה‬ ‫לעשות‬ ‫שעלינו‬ ‫מה‬ ,‫כעת‬
:‫השמאליים‬ ‫הטורים‬ (n = 2 ‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ n‫ל־‬
α β ¬β (¬β ∨ α) (α → (¬β ∨ α))
T T F T T
T F T T T
F T F F T
F F T T T
‫ההצבה‬ ‫משפט‬ 17
‫חלקי‬ ‫פסוק‬ ‫החלפת‬ ‫עי‬ ϕ‫מ־‬ ‫המתקבל‬ ϕ0
‫ויהי‬ ‫פסוק‬ϕ ‫יהי‬ .1
.ψ0
‫אחר‬ ‫בפסוק‬ ψ (‫)תת־פסוק‬
‫גם‬ ‫מקיים‬ M (ψ) = M (ψ0
) ‫שמקיים‬ M ‫מודל‬ ‫כל‬ ,‫אזי‬
.M (ϕ) = M (ϕ0
)
‫מודל‬ ‫בכל‬ .‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ Q ‫ויהי‬ ‫פסוקים‬ ϕ, ψ, ψ0
‫יהיו‬ .2
:‫גם‬ ‫מתקיים‬ M (ψ) = M (ψ0
) ‫המקיים‬
M (ϕ [ψ/Q]) = M (ϕ [ψ0
/Q])
‫וסתירה‬ ‫טאוטולוגיה‬ 18
(‫לוגית‬ ‫אמיתי‬ ‫פסוק‬ :‫)או‬ ‫טאוטולוגיה‬ ‫נקרא‬ ‫פסוק‬ 18.1 ‫הגדרה‬
.‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫אמיתי‬ ‫הוא‬ ‫אםם‬
‫הוא‬ ‫אם‬ (‫לוגית‬ ‫שקרי‬ ‫פסוק‬ ‫)או‬ ‫סתירה‬ ‫יקרא‬ ‫פסוק‬ 18.2 ‫הגדרה‬
.‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫שקרי‬
‫לטאוטולוגיות‬ ‫דוגמאות‬ 18.1
(P ∨ ¬P) , (¬¬P ↔ P) , (P ∨ (P → Q))
‫לוגית‬ ‫שקולים‬ ‫פסוקים‬ 19
‫נקראים‬ ‫נתונה‬ ‫פסוקית‬ ‫בשפה‬ ϕ, ψ ‫פסוקים‬ 19.1 ‫הגדרה‬
‫נסמן‬ .‫מודלים‬ ‫באותם‬ ‫בדיוק‬ ‫נכונים‬ ‫הם‬ ‫אםם‬ ‫לוגית‬ ‫שקולים‬
. ϕ ≡ ψ ‫זאת‬
‫רכי‬ ‫אםם‬ ‫לוגית‬ ‫שקולים‬ ‫שקולים‬ ‫הם‬ ‫פסוקים‬ :‫אחר‬ ‫בניסוח‬
‫את‬ ‫הכוללת‬ ‫האמת‬ ‫בטבלת‬ ‫שורה‬ ‫בכל‬ ‫זהים‬ ‫שלהם‬ ‫האמת‬
.‫שניהם‬
‫אםם‬ ϕ ≡ ψ :‫אז‬ ‫אלמנטריים‬ ‫פסוקים‬ ‫אותם‬ ‫יש‬ ψ‫וב־‬ϕ‫ב־‬ ‫אם‬
.‫טאוטולוגיה‬ ‫הוא‬ (ϕ ↔ ψ)
‫לוגית‬ ‫נביעה‬ 19.1
‫גורר‬ ϕ ‫הפסוק‬ :‫)או‬ ϕ ‫מפסוק‬ ‫לוגית‬ ‫נובע‬ψ ‫פסוק‬ 19.2 ‫הגדרה‬
ψ ‫הפסוק‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ϕ ‫שבו‬ ‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫אםם‬ (ψ ‫הפסוק‬ ‫את‬ ‫לוגית‬
.‫נכון‬
.M |= ψ ‫אזי‬ M |= ϕ ‫אם‬ :‫כלומר‬
.ϕ |= ψ ‫וגם‬ ϕ ⇒ ψ :‫סימון‬
.|= (ϕ → ψ) ‫אםם‬ ϕ ⇒ ψ :‫האלה‬ ‫בסימונים‬ ‫ואז‬
:‫או‬ K ‫פסוקים‬ ‫מקבוצת‬ ‫לוגית‬ ‫נובע‬ ψ ‫פסוק‬ 19.3 ‫הגדרה‬
‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫נכון‬ ψ ‫אם‬ ,ψ ‫הפסוק‬ ‫את‬ ‫לוגית‬ ‫גוררת‬ K ‫הקבוצה‬
.‫נכונים‬ K ‫פסוקי‬ ‫כל‬ ‫שבו‬
‫אזי‬ K = {ϕ1, ..., ϕn} ,‫כלומר‬ , ‫סופית‬ K ‫הקבוצה‬ ‫אם‬
{ϕ1, ..., ϕn} ⇒ ψ ‫ולכן‬
Vn
i=1 ϕi ⇒ ψ ‫אםם‬ K ⇒ ψ
.|= ((
Vn
i=1 ϕi) → ψ) ‫אםם‬
?‫לוגית‬ ‫שקילות‬ ‫בודקים‬ ‫איך‬ 19.2
‫של‬ ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫את‬ ‫שכוללת‬ ‫אמת‬ ‫טבלת‬ ‫בונים‬ .1
‫)העמודה‬ ‫שורות‬ ‫באותן‬ ‫בדיוק‬ ‫נכונים‬ ‫שהם‬ ‫ובודקים‬ ‫שניהם‬
.(‫זהה‬ ‫האחרונה‬
‫השני‬ ‫שהפסוק‬ ‫ומוכיחים‬ ‫במודל‬ ‫אמיתי‬ ‫אחד‬ ‫שפסוק‬ ‫מניחים‬ .2
.(‫)ולהפך‬ ‫אמיתי‬
‫השקילות‬ ‫מודולריות‬ 20
‫החלפת‬ ‫עי‬ ϕ‫מ־‬ ‫המתקבל‬ ‫הפסוק‬ ϕ0
‫ויהי‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫יהי‬ .1
‫כך‬ ,ψ0
‫אחר‬ ‫בפסוק‬ (ϕ ‫של‬ ‫חלקי‬ ‫)פסוק‬ ψ ‫חלקי‬ ‫פסוק‬
.ϕ0
≡ ϕ :‫אזי‬ ,ψ0
≡ ψ‫ש־‬
ψ0
≡ ψ ‫אם‬ .‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ Q ‫ויהי‬ ‫פסוקים‬ ψ0
, ψ, ϕ ‫יהיו‬ .2
:‫אזי‬
ϕ [ψ0
/Q] ≡ ϕ [ψ/Q]
6

7. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫דר‬
.‫פסוקית‬ ‫שפה‬ L ‫תהי‬ 20.1 ‫משפט‬
‫הפסוקים‬ ‫אותם‬ ‫בו‬ ‫שמופיעים‬ ϕ0
‫לפסוק‬ ‫לוגית‬ ‫שקול‬ ϕ ‫פסוק‬ ‫כל‬
.{¬, →} :‫הם‬ ‫בו‬ ‫היחידים‬ ‫והקשרים‬ ϕ‫ב־‬ ‫כמו‬ ‫האלנטריים‬
‫נורמלית‬ ‫צורה‬ 21
.((ϕ ∧ ψ) ∧ θ) ≡ (ϕ ∧ (ψ ∧ θ)) :‫מתקיים‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫ודיסיונקציה‬ ‫קוניונקציה‬ 21.1
.‫גימום‬ = ‫וגם‬ ‫הקשר‬ = ‫קוניונקציה‬
.‫איווי‬ = ‫או‬ ‫הקשר‬ = ‫דיסיונקציה‬
‫לכתוב‬ ‫לעצמו‬ ‫מרשים‬ ‫)אנחנו‬ .ϕ1 ∧· · ·∧ϕn :‫מרובה‬ ‫קוניונקציה‬
.(‫שלמעלה‬ ‫השקילות‬ ‫בגלל‬ ‫כך‬
‫של‬ ‫שלילה‬ ‫או‬ ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ ‫בסיסי‬ ‫פסוק‬ 21.1 ‫הגדרה‬
.‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬
‫מרובה‬ ‫גימום‬ ‫היא‬ ,‫כלומר‬ ,‫פשוט‬ ‫גימום‬ ‫היא‬ ‫פשוטה‬ ‫קוניונקציה‬
.(‫)למשל‬ P1 ∧ ¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 :‫בסיסיים‬ ‫פסוקים‬ ‫של‬
‫מרובה‬ ‫דיסיונקציה‬ ‫הוא‬ ‫־‬ (DNF) ‫נורמלי‬ ‫דיסיונקטיבי‬ ‫פסוק‬
.(P1 ∧ P2) ∨ (¬P1 ∧ P2) :‫למשל‬ .‫פשוטות‬ ‫קוניונקציות‬ ‫של‬
.DNF ‫בצורת‬ ‫פסוק‬ ‫הוא‬ P1 ‫שגם‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫בשפה‬ .P1, .., Pn ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ ‫עם‬ Ln ‫בשפה‬ ‫נתבונן‬
.‫מודלים‬ 2n
‫יש‬ ‫זו‬
.T/F ‫הוא‬ M (Pi) ,Pi ‫אלמנטרי‬ ‫פסוק‬ ‫לכל‬
‫היא‬ ‫אם‬ ‫מלאה‬ ‫פשוטה‬ ‫קוניונקציה‬ ‫בשם‬ ‫פשוטה‬ '‫לקונ‬ ‫נקרא‬
‫לשלילה‬ ‫או‬ ‫לחיוב‬ ‫האלמנטריים‬ ‫הפסוקים‬ n‫מ־‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫מזכירה‬
.‫אחת‬ ‫פעם‬ ‫בדיוק‬
.¬P1 ∧ P2 ∧ ¬P3 :n = 3 ‫עבור‬ ,‫למשל‬
C = ε1P1 ∧· · ·∧εnPn :‫הוא‬ ‫מלאה‬ ‫פשוטה‬ '‫לקונ‬ ‫מקובל‬ ‫סימון‬
.‫דבר‬ ‫שום‬ ‫או‬ ‫שלילה‬ ‫סימן‬ ‫הוא‬ εi ‫כל‬ ‫כאשר‬
P1, ..., Pn ‫הם‬ ‫האלמנטריים‬ ‫פסוקיה‬ ‫שכל‬ ‫בשפה‬ 21.2 ‫טענה‬
.‫אחד‬ ‫במודל‬ ‫רק‬ ‫נכונה‬ C ‫המלאה‬ ‫הפשוטה‬ '‫הקונ‬
‫אז‬ Ln ‫בשפה‬ M1, ..., Mk ‫המודלים‬ ‫נתונים‬ ‫אם‬ 21.3 ‫טענה‬
‫אחד‬ ‫בכל‬ ‫נכון‬ CM1 ∨ CM2 ∨ · · · ∨ CMk
DNF ‫בצורת‬ ‫הפסוק‬
.‫האחרים‬ ‫המודלים‬ 2n
− k‫ב־‬ ‫נכון‬ ‫ולא‬ M1, .., Mk ‫מהמודלים‬
.DNF ‫בצורת‬ ‫לפסוק‬ ‫לוגית‬ ‫שקול‬ ‫פסוק‬ ‫כל‬ 21.4 ‫משפט‬
‫פסוקים‬ ‫של‬ ‫מרובה‬ '‫דיס‬ ‫היא‬ ‫פשוטה‬ ‫דיסיונקציה‬ 21.5 ‫הגדרה‬
‫דיסיונקציות‬ ‫של‬ ‫מרובה‬ '‫קונ‬ ‫היא‬ CNF ‫בצורת‬ ‫פסוק‬ .‫בסיסיים‬
.‫פשוטות‬
II ‫חלק‬
‫ההוכחה‬ ‫תורת‬
(‫הילברט‬ ‫)של‬ ‫התחשיב‬ ‫אקסיומות‬ 22
.[ϕ → (ψ → ϕ)] .1
.{[ϕ → (ψ → θ)] → [(ϕ → ψ)]} .2
.[(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)] .3
.(‫חוקי‬ ‫הוא‬ ‫פסוק‬ ‫)כל‬ ‫כלשהם‬ ‫פסוקים‬ ‫הם‬ ‫־‬ ϕ, ψ, θ ‫כאשר‬
.‫טאוטולוגיות‬ ‫הן‬ ‫האקסיומות‬ ‫שלוש‬
‫פוננס‬ ‫מודוס‬ ‫־‬ ‫הגזירה‬ ‫כלל‬ 23
:‫אזי‬ ,ϕ, ψ :‫פסוקים‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫נתונים‬
ϕ, (ϕ → ψ)
ψ
(‫אותם‬ ‫הוכחנו‬ ‫שכבר‬ ‫)או‬ (ϕ → ψ)‫ו־‬ ϕ‫ש־‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ‫כלומר‬
.ψ ‫את‬ ‫ולקבל‬ ‫הגזירה‬ ‫כלל‬ ‫את‬ ‫להפעיל‬ ‫נוכל‬ ‫אזי‬
.‫הניתוק‬ ‫כלל‬ ‫־‬ ‫נקרא‬ ‫הזה‬ ‫הכלל‬
‫הוכחה‬ 24
.‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ K ‫תהי‬ 24.1 ‫הגדרה‬
‫שכך‬ ‫כך‬ ϕ1, ..., ϕn ‫פסוקים‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬ K ‫מתוך‬ ‫הוכחה‬ ‫סדרת‬
:‫הבאים‬ ‫הסוגים‬ ‫מאחד‬ ‫הוא‬ ‫בסדרה‬ ‫פסוק‬
,‫מקודם‬ ‫שתאורו‬ ‫האקסויומות‬ ‫)שלושת‬ ‫לוגית‬ ‫אקסיומה‬ .1
.(‫שלנו‬ ‫במקרה‬
.K ‫מתוך‬ ‫פסוק‬ .2
‫כלל‬ ‫באמצעות‬ ‫בסדרה‬ ‫קודמים‬ ‫פסוקים‬ ‫משני‬ ‫מתקבל‬ .3
.‫הניתוק‬
‫מציין‬ ` ϕ .K‫מ־‬ ϕ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫שניתן‬ ‫משמעו‬ K ` ϕ :‫סימון‬
‫מהאקסיומת‬ ,‫כלומר‬ ,‫הריקה‬ ‫מהקבוצה‬ ϕ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫שניתן‬
.(‫הניתוק‬ ‫)וכלל‬ ‫בלבד‬
.‫בתחשיב‬ ‫משפט‬ ‫נקרא‬ ‫אנחנו‬ ϕ‫ול־‬
‫הוכחה‬ ‫לסדרת‬ ‫דוגמא‬ 24.1
K = {(P ∨ Q) , ((P ∨ Q) → P)}‫ו־‬ ‫נניח‬
:‫אזי‬
(P ∨ Q) ‫נתון‬
((P ∨ Q) → P) ‫נתון‬
P ‫הגזירה‬ ‫כלל‬
‫השורות‬ ‫שתי‬ ‫על‬ ‫הגזירה‬ ‫כלל‬ ‫את‬ ‫הפעלנו‬ ‫האחרונה‬ ‫בשורה‬
.K ` P :‫ולכן‬ ,‫הראשונות‬
‫הצורך‬ ‫במידת‬ ‫באקסיומות‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫היה‬ ‫שגם‬ ‫)כמובן‬
‫לשים‬ ‫יכולים‬ ‫גם‬ ‫)היינו‬ K‫מ־‬ ‫פסוק‬ ‫כל‬ ‫להיות‬ ‫יכלו‬ ϕ, ψ, θ‫ו־‬
‫לא‬ ‫אז‬ ‫אבל‬ ϕ = (P → ¬Q) :‫למשל‬ ,K‫ב־‬ ‫לא‬ ‫שהם‬ ‫פסוקים‬
.(‫כנתון‬ ‫הזה‬ ‫הפסוק‬ ‫אל‬ ‫להתייחס‬ ‫יכולים‬ ‫היינו‬
7

8. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬ ‫שול‬ ‫גילי‬ ‫דר‬
‫הוכחות‬ ‫של‬ ‫היסודיות‬ ‫התכונות‬ 25
i ≤ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,K ‫מתוך‬ ‫הוכחה‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬ ϕ1, ..., ϕn ‫אם‬ .1
‫ולכן‬ K ‫מתוך‬ ‫הוכחה‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬ ϕ1, ..., ϕi ‫הסדרה‬ :n
.K ‫של‬ ‫משפטים‬ ‫הן‬ ‫בסדרה‬ ‫המחרוזות‬ ‫כל‬
ψ1, ..., ψm‫ו־‬ K ‫מתוך‬ ‫הוכחה‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬ ϕ1, ..., ϕn ‫אם‬ .2
ϕ1, ..., ϕn, ψ1, ..., ψm ‫אזי‬ ,K ‫מתוך‬ ‫הוכחה‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬
.K ‫מתוך‬ ‫הוכחה‬ ‫סדרת‬ ‫היא‬
.K0
` ϕ ‫אזי‬ K ⊆ K0
‫ו־‬ K ` ϕ ‫אם‬ .3
‫גם‬ ‫נכון‬ ‫)וזה‬ K ` ψ ‫זי‬5‫א‬K ∪ {ϕ} ` ψ ‫ואם‬ K ` ϕ ‫אם‬ .4
.(‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ ‫הייתה‬ ϕ ‫אם‬
.K ` ϕ ‫אזי‬ ϕ ∈ K ‫או‬ ‫לוגית‬ ‫אקסיומה‬ ϕ ‫אם‬ 25.1 ‫למה‬
.K ` ϕ ‫אזי‬ K ` (ψ → ϕ) ‫וגם‬ K ` ψ ‫אם‬ 25.2 ‫למה‬
‫הדדוקציה‬ ‫משפט‬ 26
.K ` (ψ → ϕ) ‫אזי‬ K ∪ {ψ} ` ϕ ‫אם‬
‫עקבית‬ ‫לא‬ ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ 27
‫לא‬ :‫)או‬ ‫עקבית‬ ‫לא‬ ‫נקראת‬ ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ 27.1 ‫הגדרה‬
K ` ϕ‫ש־‬ ‫כך‬ ϕ ‫אחד‬ ‫פסוק‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬ ‫אםם‬ (‫קונסיסטנטית‬
.K ` ¬ϕ ‫וגם‬
:‫)או‬ ‫עקבית‬ ‫נקראת‬ ‫כזאת‬ ‫שאינה‬ ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬
.(‫קונסיסטנטית‬
.K ` ϕ ‫אזי‬ ‫עקבית‬ ‫לא‬ K ∪ {¬ϕ} ‫אם‬ 27.2 ‫משפט‬
‫קבוצה‬ ‫כל‬ ‫אם‬ :2
‫אינסופית‬ ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ K ‫תהי‬ 27.3 ‫למה‬
.‫עקבית‬ K ‫גם‬ ‫אזי‬ ,‫עקבית‬ ‫היא‬ K ‫של‬ ‫סופית‬ ‫חלקית‬
‫חלקית‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫יש‬ ‫עקביתאזי‬ ‫אינה‬K ‫אם‬ :‫שקול‬ ‫באופן‬
.‫עקבית‬ ‫שאינה‬ K ‫של‬ ‫סופית‬
‫השלילה‬ ‫בדרך‬ ‫ההוכחה‬ ‫משפט‬ 28
:‫מתקיים‬ ϕ ‫פסוק‬ ‫לכל‬ .1
{ψ, ¬ψ} ` ϕ
.‫פסוק‬ ‫כל‬ ‫מוכיחה‬ ‫עקבית‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬ .2
‫הנאות‬ ‫התחשיב‬ ‫משפט‬ 29
‫אזי‬ K ` ϕ ‫אם‬ : ‫ופסוק‬ K ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ ‫לכל‬ 29.1 ‫משפט‬
.K ϕ
‫הם‬ K = ∅ ‫כאשר‬ ‫בתחשיב‬ ‫להוכחה‬ ‫הניתנים‬ ‫המשפטים‬ ‫בפרט‬
.‫טאוטולוגיות‬
‫היא‬ ‫אזי‬ ‫מספק‬ ‫מודל‬ ‫יש‬ ‫פסוקים‬ ‫לקבוצת‬ ‫אם‬ 29.2 ‫מסקנה‬
.‫עקבית‬
.‫משמעות‬ ‫אין‬ ‫למשפט‬ ‫אזי‬ ,‫סופית‬ ‫הקבוצה‬ ‫אם‬2
‫שלמה‬ ‫ותורה‬ ‫תורה‬ 30
.‫עקבית‬ ‫היא‬ ‫אםם‬ ‫תורה‬ ‫נקראת‬ ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ 30.1 ‫הגדרה‬
‫ניתן‬ ϕ ‫פסוק‬ ‫כל‬ ‫אםם‬ ‫שלמה‬ ‫תורה‬ ‫נקראת‬ ‫תודה‬ 30.2 ‫הגדרה‬
.‫להוכחה‬ ‫ניתן‬ ¬ϕ‫ש־‬ ‫או‬ ‫להוכחה‬
‫וגם‬ K ` ϕ‫ש־‬ ‫כך‬ ϕ ‫פסוק‬ ‫אין‬ ‫אם‬ ‫תורה‬ ‫נקראת‬ K :‫כלומר‬
.K ` ¬ϕ
‫או‬ K ` ϕ :ϕ ‫פסוק‬ ‫לכל‬ ‫בנוסף‬ ‫אם‬ ‫שלמה‬ ‫נקראת‬ K ‫תורה‬
.K ` ¬ϕ
‫בעלת‬ ‫היא‬ ‫שלמה‬ ‫תורה‬ ‫שהיא‬ K ‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ 30.3 ‫משפט‬
.‫ויחיד‬ ‫אחד‬ (‫)מספק‬ ‫מודל‬
‫הקומפקטיות‬ ‫משפט‬ 31
‫ראשון‬ ‫נוסח‬ 31.1
.‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ K ‫תהי‬
‫)לפחות‬ ‫מספק‬ ‫מודל‬ ‫בעלת‬ ‫היא‬ ‫סופית‬ ‫חלקית‬ ‫קבוצה‬ ‫כל‬ ‫אם‬
.K‫ל־‬ ‫מספק‬ ‫מודל‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ‫־‬ (‫אחד‬
‫שני‬ ‫נוסח‬ 31.2
,(K‫מ־‬ ‫לוגית‬ ‫נובע‬ ψ) K |= ψ ‫אם‬ .‫פסוקים‬ ‫קבוצת‬ K ‫תהי‬
‫לוגית‬ ‫נובע‬ψ‫ש־‬ ‫כך‬ {ϕ1, ..., ϕn} ‫סופית‬ ‫חלקית‬ ‫קבוצה‬ ‫יש‬ ‫אז‬
.{ϕ1, ..., ϕn} |= ψ .{ϕ1, ..., ϕn}‫מ־‬
‫לכל‬ ,‫כלומר‬ .‫שלמה‬ ‫לתורה‬ ‫תורה‬ ‫כל‬ ‫להרחיב‬ ‫ניתן‬ 31.1 ‫משפט‬
.K ‫את‬ ‫ומכילה‬ ‫שלמה‬ ‫שהיא‬ K ‫תורה‬ ‫יש‬ K ‫תורה‬
‫השלמות‬ ‫משפט‬ 32
‫ראשון‬ ‫נוסח‬ 32.1
.‫מודל‬ ‫יש‬ ‫עקבית‬ ‫תורה‬ ‫לכל‬
‫שני‬ ‫נוסח‬ 32.2
.K ` ϕ ‫אזי‬ K ϕ ‫אם‬
‫)מהקבוצה‬ ‫בתחשיב‬ ‫להוכחה‬ ‫ניתנות‬ ‫הטאוטולוגיות‬ ‫כל‬ ,‫בפרט‬
.(‫הריקה‬
8