נספחון קצר בתורת הקבוצות
•
0 likes•1,122 views
קובץ קצר זה מכיל כל מיני דברים בסייסים אשר קשורים לתורת הקבוצות. כמו: פעולות בסיסיות, יחסים וכו'... בין השאר יש בו פעולות כגון: חיתוך בין קבוצות, איחוד בין קבוצות וכו'... המטרה שלו היא לעשות טיפה סדר בכל מה שקשור לקבוצות ויחסים ולהציג מושגים בסייסים .
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to נספחון קצר בתורת הקבוצות
More from csnotes
More from csnotes (20)
נספחון קצר בתורת הקבוצות
- 1. פעולות על קבוצות קסור )=⊕( קבוצה מסומנת באות לטינית גדולה, למשל: } ,♣ ,.A = {2, 3, 5, a )אבל במקרה שלנו נדון רק על קבוצות של מספרים, כלומר שהאיברים בקבוצה הם מספרים(. הגדרה: עבור שתי קבוצות A , (A, B ⊆ Ω) A, Bקסור Bהיא קבוצה שתסומן A ⊕ Bותוגדר ע"י: =Ωהקבוצה האוניברסלית )התחום שבו אנחנו עובדים(. 2 })A ⊕ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ⊕ (x ∈ B • A = Bאםם ,x ∈ A ⇔ x ∈ Bכלומר: אם כל איבר ב־ Aנמצא גם ב־ Bוכל איבר ב־ Bנמצא גם דה־מורגן ב־.A דרך נוספת )שאיתה אפשר להוכיח(: A = Bאםם ¯ ∩ B = A ∪ B ¯ A A ⊆ Bוגם .B ⊆ A ¯ ¯ A∪B =A∩B • A ⊆ Bאםם ,x ∈ A ⇒ x ∈ Bכלומר, אם כל איבר ב־ Aנמצא גם ב־) Bלכן גם יכול להיות שהקבוצות שוות(. המרה לפסוקים לוגים Aאםם ) x ∈ A ⇒ x ∈ Bשזה כמו בסעיף • B הקודם( וגם קיים לפחות איבר אחד ב־ Bשלא נמצא דוגמאות: ב־.A ניתן להמיר כל כלל קבוצה )למשל: ) ((x ∈ Aלפסוק לוגי. ) (x ∈ A) ∨ (x ∈ B־ ) ,Q = (x ∈ B) ,P = (x ∈ Aומה שיש / ¯ לנו במודגש הוא: .P ∨ Q איחוד הגדרה: עבור A, Bשתי קבוצות, האיחוד של Aו־ Bיסומן ב־ ) (x ∈ A) ∧ (x ∈ B־ A ∪ Bוהוא קבוצה המוגדרת באופן הבא: )¯ ∧ Q ⇐= Q = (x ∈ B) ,P = (x ∈ A .P 1 })A ∪ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B ) (x ∈ A) ∨ (x ∈ B־ חיתוך ¯ ).P ∨ Q ⇐= Q = (x ∈ B) ,P = (x ∈ A הגדרה: עבור A, Bשתי קבוצות, החיתוך של A, Bיסומן ב־A ∩ B והוא הקבוצה המוגדרת באופן הבא: })A ∩ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B זוגות סדורים ויחסים סימון: יהיו שתי קבוצות ,A, Bאזי אם a ∈ A, b ∈ B־ )(a, b נקרא זוג סדור. קבוצה משלימה ¯ הגדרה: תהא A .A ⊆ Ωהיא הקבוצה המשלימה ל־ Aוהיא מוגדרת חשוב לציין: ).(a, b) = (b, a באופן הבא: A × Bכל הזוגות הסדורים מהצורה ).(a, b ¯ A = {x ∈ Ω; x ∈ A} = x ∈ Ω; x ∈ A / }A × A × · · · × A = An = {(a1 , a2 , . . . , an ) ; ai ∈ A סימון: R ⊆ A × Bיקרא יחס מ־ Aלקבוצה .B הפרש בין קבוצות R ⊆ A × Aיקרא יחס על הקבוצה .A הגדרה: עבור A, Bשתי קבוצות, ההפרש בין Aל־ Bיסומן BA ויוגדר ע"י הקבוצה: })BA = {x ∈ Ω; (x ∈ B) ∧ (x ∈ A / 1כלומר, כל האיברים ב־ Ωשעבורם הפסוק )(x ∈ A) ∨ (x ∈ Bמחזיר .T rue 1 ∅ ⊆ A × B־ יקרא היחס הריק מ־ Aל־.B A × B ⊆ A × B־ יקרא היחס המלא מ־ Aל־.B 2ה־⊕ הוא xorלוגי.
- 2. הגדרה: אם aוגם bאזי aו־ bהם איברים שאינם ניתנים Ra Rb יחסים להשוואה. יחס רפלקסיבי אם אין זוג איברים בלתי ניתנים להשוואה אז ) (A, Rהיא קבוצה סדורה לינארית ו־ Rהוא יחס סדר מלא. הגדרה: Rהוא יחס רפלקסיבי אם לכל a ∈ Aמתקיים: דוגמא: היחס )| , (Nאינו סדר יחס מלא כי: )2 3( ∧ )3 2( כלומר, .(a, a) ∈ R יש לנו שני איברים ב־ Nשאינם ניתנים להשוואה, ולכן זהו אינו יחס סדר מלא. a לעומת זאת היחס )≤ , (Nהוא יחס סדר מלא. ניקח את הקבוצה }3 ,2 ,1{ = Bאזי יחס ההכלה ⊆ אינו יחס סדר יחס אנטי־רפלקסיבי מלא, כי הקבוצות }3 ,2{ , }2 ,1{ אינם ניתנים להשוואה. הרעיון הוא כזה: נניח ונתונים לנו יחס וקבוצה, אזי, אם ישנם שני הגדרה: Rהוא יחס אנטי־רפלקסיבי אם לכל a ∈ Aמתקיים: איברים שלגביהם היחס לא מתקיים, למשל, בדוגמא האחרונה )של .(a, a) ∈ R / ההכלה(־ }3 ,2{ }2 ,1{ ו־}2 ,1{ }3 ,2{, אזי ישנם שני איברים שאינם ניתנים להשוואה ולכן היחס הוא לא יחס מלא. יחס סימטרי הגדרה: Rהוא יחס סימטרי אם לכל a, b ∈ Aמתקיים: .3 (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R t a 5 b קבוצה סדורה היטב הערה: בחלק הזה נסמן יחס סדר חלקי ב־ ≤ )חשוב לזכור שהוא לא בהרכח יחס סדר מלא למרות הסימן המטעה...(. במידה ואתייחס ל־≤ הרגיל, אזי אציין זאת עי ≤reg )≤ , (Aקבוצה סדורה חלקית. a ∈ Aהוא איבר מינימלי אם .a = x ⇐ a ≤ x a ∈ Aהוא איבר מקסימלי אם .a = x ⇐ a ≥ x הגדרה: )≤ , (Aהיא קבוצה סדורה היטב אם )≤ , (Aהיא קסח ולכל B = ∅ ,B ⊆ Aקיים איבר מינימלי אחד בדיוק. משפט: כל קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה לינארית. )ההפך אינו נכון(. דוגמאות: יחס אנטי־סימטרי הגדרה: Rהוא יחס אנטי־סימטרי אם לכל a, b ∈ Aמתקיים: .(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b יחס טרנזיטיבי הגדרה: Rהוא יחס טרנזיטיבי אם לכל a, b, c ∈ Aמתקיים: .(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R הערה: a, b, cלא חייבים להיות שונים. / c 9 / b a • ) (N, ≤regהיא קבוצה סדורה היטב )בגלל האקסיומה של הטבעיים שלכל תת־קבוצה יש איבר מינמלי יחיד(. יחס שקילות על קבוצה תהא Aקבוצה לא ריקה, ו־ Rיחס על הקבוצה: .R ⊆ A × A אם Rהוא ־ רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי אז Rנקרא ־ יחס שקילות )על הקבוצה .(A ניתן לומר שכל יחס שקילות הוא בעצם פונקציה, למשל: |f (x, y) = |x| + |y כאשר יחס השקילות ) (a, b) T (c, dהוא בעצם ביטוי של הפונקציה למעלה. מכאן שכל יחס שקילות הוא בעצם יחס ) Rfשמוגדר עי פונקציה(, כך שבמחלקות השקילות שלו מתקיים ).f (x) = f (y יחס סדר חלקי הגדרה: תהא Aקבוצה. R ⊆ A × Aהוא יחס סדר חלקי אם הוא: רפלקסיבי, אנטי־סימטרי, וטרנזיטיבי. לזוג ) (A, Rקוראים בשם קבוצה סדורה חלקית. למשל: A = Nוהיחס Rהוא ≤. אזי )≤ , (Nהיא קבוצה סדורה חלקית. כנל לגבי היחסים: )| , (Nועבור קבוצה Bכלשהי ־ )⊆ , ).(P (B יחס סדר מלא הגדרה: R ⊆ A × Aהוא יחס סדר חלקי על ,Aאם לכל a, b ∈ A מתקיים aRbאו bRaאזי Rהוא יחס סדר מלא. )הערה: כל יחס סדר מלא הוא גם יחס סדר חלקי, אבל ההפך לא נכון(. ול־) (A, Rקוראים קבוצה סדורה לינארית. 3אפשר גם להשתמש ב־⇔ במקום ⇒. 2 • )| , (Nהיא איננה קבוצה סדורה היטב כי ל־ {2, 5, 8} ⊆ N ישנם שני איברים מינמליים ־ 2 ו־5. • ) (R≥0 , ≤regהיא לא קבוצה סדורה היטב כי (2, 8) ⊆ Rואין שום איבר מינמלי לקבוצה. • ) ) (A, IAכאשר ∅ = (Aאינה קבוצה סדורה היטב במידה ויש לנו יותר מאיבר אחד בקבוצה כי אז יש לנו יותר מאיבר אחד שהוא מינימלי )כל איבר הוא גם איבר מינמלי(. לכן, אם בקבוצה היה רק איבר אחד, אזי היא הייתה קבוצה סדורה היטב, כי היה לנו איבר מינימלי אחד בלבד.