נספח נוסחאות בקורס "אלגברה לינארית". מטריצות, בסיסים, דטרמיננטות וכו'... עדכון אחרון - 7.2.2016

1. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
1
:‫שדות‬ ‫על‬ ‫קצת‬
N = {1, 2, 3 . . . ∞}
.‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫־קבוצת‬
Z = {−∞ . . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . ∞}
.‫השלמים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬
Q = −∞ . . . − 6, −12
5 , 7, 14
9 , . . . ∞
.‫הרציונליים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬
n ∈ Q|n = a
b , (a, b ∈ Z)
R = −∞, . . . , −π, −
√
5, −1, 0,
√
2, π, . . . , ∞
.‫הממשיים‬ ‫המספרים‬ ‫־קבוצת‬
:‫הגדרה‬
:‫חשבון‬ ‫פעולות‬ ‫שתי‬ ‫מוגדרות‬ ‫שעליה‬ F ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ ‫שדה‬
‫הבאות‬ ‫האכסיומות‬ ‫שמתקיימות‬ ‫כך‬ ,(·) ‫וכפל‬ (+) ‫חיבור‬
:‫השדה‬ ‫אכסיומות‬
:2
1 '‫ח‬ ‫אכסיומה‬
‫הסכום‬ a, b ∈ F :‫איברים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫קשירות‬
‫ערך‬ ‫רק‬ ‫ישנו‬ ,‫)כלומר‬ ‫חד־ערכית‬ ‫ומוגדר‬ a + b ∈ F
.(‫כזה‬ ‫אחד‬
:2 '‫ח‬ ‫אכסיומה‬
a + b = ‫מתקיים‬ a, b ∈ F ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫קומוטטביות‬
.b + a
:3 '‫ח‬ ‫אכסיומה‬
(a + b) + c = a + ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫אסוציאטיביות‬
.(b + c) : a, b, c ∈ F
:4 '‫ח‬ ‫אכסיומה‬
F‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ :(‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ ‫ניטרלי‬ ‫)איבר‬ ‫אפס‬
‫לכל‬ ,a + 0 = a ‫ש־‬ ‫כך‬ ,0 ‫־‬ ‫ומסומן‬ ,‫אפס‬ ‫שנקרא‬
.a ∈ F
:5 '‫ח‬ ‫אכסיומה‬
a ‫נגדי‬ ‫איבר‬ F‫ב־‬ ‫יש‬ a ∈ F ‫איבר‬ ‫לכל‬ :‫נגדי‬ ‫איבר‬
.a + a = 0 ‫שמקיים‬
:1 '‫כ‬ ‫אכסיומה‬
‫המכפלה‬ a, b ∈ F ‫איברים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫קשירות‬
.‫חד־ערכית‬ ‫ומוגדרת‬ a · b ∈ F
:2 '‫כ‬ ‫אכסיומה‬
.a·b = b·a ‫מתקיים‬ a, b ∈ F ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫קומוטטיביות‬
:3 '‫כ‬ ‫אכסיומה‬
(a · b) · c = : a, b, c ∈ F ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫אסוציאטיביות‬
.a · (b · c)
:4 '‫כ‬ ‫אכסיומה‬
F‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ :(‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫ביחס‬ ‫ניטרלי‬ ‫)איבר‬ ‫אחד‬
.a ∈ F ‫לכל‬ a · 1 = a ‫ש־‬ ‫כך‬ ,1 ‫־‬ ‫ומסומן‬ ,‫אחד‬ ‫שנקרא‬
:5 '‫כ‬ ‫אכסיומה‬
a ‫הופכי‬ ‫איבר‬ F‫ב־‬ ‫קיים‬ ,0 = a ∈ F ‫איבר‬ ‫לכל‬
.a · a = 1 :‫שמקיים‬
:'‫ח‬ '‫כ‬ ‫־‬ 11 ‫אכסיומה‬
a·(b + c) = :a, b, c ∈ F ‫לכל‬ :‫הדיסטריביוטיבי‬ ‫החוק‬
.a · b + a · c
‫אחרים‬ ‫בפרקים‬ ‫לעזור‬ ‫יכול‬ ‫והוא‬ ‫היות‬ ,‫בקצרה‬ ‫זה‬ ‫פרק‬ ‫את‬ ‫סוקר‬ ‫)אני‬1
("‫וקטוריים‬ ‫"מרחבים‬ ‫כמו‬ ‫יותר‬ ‫מאוחרים‬
.‫כפל‬ ‫פירושו‬ ‫וכ'־‬ ‫חיבור‬ ‫ח'־פירושו‬2
:12 ‫אכסיומה‬
0 = 1
Zp = .‫שדה‬ ‫הוא‬ Zp ‫־‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫עבור‬
‫)ראו‬ ‫האפס‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ ‫עצמו‬ p ‫כאשר‬ {0, 1, 2 . . . p − 1}
.(‫מציין‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫הגדרה‬ ‫למטה‬ ‫גם‬
:ch (F) ‫מציין‬ ‫איבר‬
‫מסומן‬ ‫אשר‬ n > 0 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ ‫שדה‬ ‫של‬ ‫מציין‬ ‫איבר‬
‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫היא‬ ‫ומשמעותו‬ ch (F) ‫כ־‬
‫אם‬ ‫כי‬ ch (Z5) = 5 :‫למשל‬ .nF = 0F ‫־‬ ‫מקיים‬ ‫אשר‬
.0 ‫נקבל‬ ‫פעמים‬ 5 ‫לעצמו‬ ‫אותו‬ ‫ונחבר‬ Z5 ‫ב־‬ 1 ‫את‬ ‫ניקח‬
‫הפעמים‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ ‫אומר‬ ch (F)‫ש־‬ ‫מה‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ ,‫לכן‬
,‫כזה‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ ‫אם‬ .0‫ל־‬ ‫להגיע‬ ‫כדי‬ 1F ‫את‬ ‫לחבר‬ ‫שנצטרך‬
.ch (F) = 0 ‫אזי‬
.ch (Zp) = p :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
:‫חזקות‬ ‫חוקי‬
.(ab)
n
= an
· bn
.1
.an
· am
= an+m
.2
. a
b
n
= an
bn .3
.(an
)
m
= an·m
.4
:‫חלקי‬ ‫שדה‬
‫פעולות‬ ‫אזי‬ .F‫ל־‬ ‫חלקית‬ ‫קבוצה‬K ‫תהי‬ .‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫חלק‬ ‫כבר‬ K ‫)כי‬ K ‫אברי‬ ‫בין‬ ‫מוגדרות‬ F ‫של‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬
‫אז‬ ,(F ‫)של‬ ‫אלו‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫שדה‬ ‫היא‬ ‫עצמה‬K ‫אם‬ .(F‫מ־‬
.(F ‫של‬ ‫חלקי‬ ‫)שדה‬ .F ‫של‬ ‫תת־שדה‬ ‫הוא‬ K‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫המטריצה‬ ‫הגדרת‬
:‫כך‬ ‫מוגדרת‬ A ‫מטריצה‬
.‫עמודות‬ n‫ו־‬ ‫שורות‬ m ‫עם‬ ‫מטריצה‬ ‫היא‬ Am×n(F)
A =





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn





.j ‫ובעמודה‬ i ‫בשורה‬ ‫שנמצא‬ ‫האיבר‬ ‫פירושו‬ aij ‫האיבר‬
A = [aij]m×n :‫מקוצר‬ ‫בכתיב‬ ‫או‬
:‫מטריצות‬ ‫בין‬ ‫כפל‬
‫)זה‬ .‫עמודות‬ k‫ו־‬ ‫שורות‬ m ‫עם‬ Am×n · Bn×k = (AB)m×k
.(‫המטריצות‬ ‫בין‬ ‫לכפול‬ ‫שניתן‬ ‫לכך‬ ‫התנאי‬ ‫גם‬
‫כך‬ ‫בנויה‬ (!‫מאוד‬ ‫חשוב‬ ‫כאן‬ ‫הסדר‬ ,‫)אגב‬ AB ‫מטריצה‬
(‫האיברים‬ ‫את‬ ‫)סוכמים‬ B‫ב־‬ ‫בטור‬ A ‫שורה‬ ‫את‬ ‫שכופלים‬
‫ניתן‬ ,‫מתמתטית‬ ‫מבחינה‬ .AB ‫במטריצה‬ ‫הספציפי‬ ‫האיבר‬ ‫וזה‬
:‫כך‬ ‫זאת‬ ‫להציג‬
:1 ≤ j ≤ k ‫ו־‬ 1 ≤ i ≤ m ‫עבור‬
(AB)ij =
n
t=1
Ait · Btj
1

2. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫גם‬ ,‫לבדוק‬ ‫חשוב‬ ‫תמיד‬ ‫לכן‬ ‫מוגדר‬ B‫ל־‬A ‫בין‬ ‫הכפל‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬
AB = ‫תמיד‬ ‫לא‬ ‫אזי‬ ,‫ריבועיות‬ ‫מטריצות‬ ‫בשתי‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬
‫"מטריצות‬ ‫־‬ ‫נקראות‬ ‫המטריצות‬ ‫אזי‬ ,‫כך‬ ‫אכן‬ ‫זה‬ ‫)ואם‬ BA
.("‫מתחלפות‬
.‫מוגדרת‬ BA‫ש־‬ ‫אומר‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ‫מוגדרת‬ AB ‫אם‬ :‫בנוסף‬
.‫להיזהר‬ ‫כדאי‬ ‫כאן‬ ‫גם‬
.A · (B · C) = (A · B) · C :‫אזי‬ ,‫מוגדר‬ ‫הכפל‬ ‫אם‬
:‫המטריצה‬ ‫של‬ ‫תכונות‬ ‫כמה‬ ‫עוד‬
:‫חיבור‬
.A, B ∈ Mm×n (F) ‫לכל‬ A + B = B + A ¡
A, B, C ∈ ‫לכל‬ A + (B + C) = (A + B) + C ¡
.Mm×n (F)
O ∈ :‫שמוגדרת‬ ‫האפס‬ ‫מטריצת‬ ‫קיימת‬ ¡
:0 ‫הם‬ ‫אבריה‬ ‫וכל‬ Mm×n (F)
.A ∈ Mm×n (F) ‫לכל‬ A + O = A ∗
‫מטריצה‬ ‫קיימת‬ A ∈ Mm×n (F) ‫מטריצה‬ ‫לכל‬ ¡
.A+(−A) = O :‫ש‬ ‫כך‬ −A ∈ Mm×n (F) ‫נגדית‬
:‫בסקלר‬ ‫כפל‬
A, B ∈ ‫לכל‬ t · (A + B) = t · A + t · B ¡
.Mm×n (F)
A ∈ Mm×n (F) ‫לכל‬ (t + s)·A = t·A+s·A ¡
.t, s ∈ F ‫ולכל‬
. −1 · A = −A , 1 · A = A , O · A = O ¡
.s · (t · A) = (s · t) · A ¡
‫משוואות‬ ‫של‬ ‫כמערכת‬ ‫גם‬ ‫להגדיר‬ ‫ניתן‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬
:‫לינאריות‬





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn





·





x1
x2
.
.
.
xm





=





b1
b2
.
.
.
bm





:‫יותר‬ ‫מקוצרת‬ ‫בצורה‬ ‫או‬





a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn bm





‫של‬ "‫המורחבת‬ ‫המקדמים‬ ‫"מטריצת‬ ‫נקראת‬ ‫זאת‬ ‫מטריצה‬
.‫המשוואות‬ ‫מערכת‬
‫במטריצה‬ ‫שורה‬ ‫וכל‬ ,‫למערכת‬ ‫הפתרונות‬ ‫וקטור‬ ‫הוא‬ ¯b ‫כאשר‬
.‫במערכת‬ ‫משוואה‬ ‫היא‬
.‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫לדרג‬ ‫עלינו‬ ,‫המערכת‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬
‫צריך‬ ‫מדורגתת‬ ‫והיא‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫שדירגנו‬ ‫אחרי‬ ,‫כעת‬
:‫הפתרונות‬ ‫מצב‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬
:‫מהסוג‬ ‫שורה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ .1
‫אזי‬ ‫־‬ 0 0 0 0 0 . . . 0 b (b = 0)
.("‫סותרת‬ ‫"מערכת‬ ‫גם‬ ‫)נקראת‬ ‫פתרון‬ ‫אין‬ ‫למערכת‬
‫תקינה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫סותרת‬ ‫איננה‬ ‫המערכת‬ ‫אם‬ .2
.‫לאחור‬ ‫ההצבה‬ ‫בשיטת‬ ‫שלה‬ ‫הפתרונות‬ ‫את‬ ‫ומוצאים‬
‫משתנים‬ :‫משתנים‬ ‫סוגי‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫יהיו‬ ‫מדורגת‬ ‫במערכת‬ .3
.‫תלויים‬ ‫ומשתנים‬ (‫תלויים‬ ‫בלתי‬ :‫)או‬ ‫חופשיים‬
, ‫אפסים‬ ‫שורת‬ ‫שאינה‬ ‫בשורה‬ ‫אפס‬ ‫שאינו‬ ‫הראשון‬ ‫האיבר‬
.‫פיבוט‬ ‫־‬ ‫אחר‬ ‫בשם‬ ‫או‬ ‫השורה‬ ‫של‬ ‫הפותח‬ ‫האיבר‬ ‫נקרא‬
.‫פיבוט‬ ‫מופיע‬ ‫שלו‬ ‫שבעמודה‬ ‫משתנה‬ ‫זהו‬ :‫תלוי‬ ‫משתנה‬
‫לא‬ ‫שלו‬ ‫שבעמודה‬ ‫משתנה‬ ‫זהו‬ :(‫תלוי‬ ‫בלתי‬ ‫)או‬ ‫חופשי‬ ‫משתנה‬
.‫פיבוט‬ ‫מופיע‬
:‫הנ"ל‬ ‫במטריצה‬ ,‫למשל‬




1 2 3 4 3
0 0 1 5 2
0 0 0 3 2
0 0 0 0 0




‫)בלתי־‬ ‫חופשיים‬ ‫משתנים‬ ‫הינם‬ ‫במלבן‬ ‫שמוקפים‬ ‫המשתנים‬
‫ע"י‬ ‫אלא‬ ‫ספציפי‬ ‫מספר‬ ‫ע"י‬ ‫יוגדרו‬ ‫)לא‬ x2, x4 ‫־‬ (‫תלויים‬
..x1,x3 ‫־‬ ‫תלויים‬ ‫משתנים‬ ‫הינם‬ ‫המשתנים‬ ‫שאר‬ ‫ואילו‬ (‫פרמטר‬
:‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫יש‬ ‫תקינה‬ ‫למערכת‬
‫יש‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫חופשיים‬ ‫משתנים‬ ‫אין‬ ‫המדורגת‬ ‫במטריצה‬ ‫אם‬ .1
.‫יחיד‬ ‫פתרון‬
‫אז‬ (‫אחד‬ ‫אפילו‬ ‫)מספיק‬ ‫חופשיים‬ ‫משתנים‬ ‫ישנם‬ ‫אם‬ .2
‫אז‬ ‫־‬ ‫אינסופי‬ ‫הוא‬ ‫השדה‬ ‫אם‬ :‫פתרונות‬ ‫הרבה‬ ‫ישנם‬
‫)למשל‬ ‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫השדה‬ ‫אם‬ ‫אבל‬ ,‫פתרונות‬ ‫אינסוף‬ ‫ישנם‬
‫מספר‬ ‫־‬q (qk
:‫פתרונות‬ ‫של‬ ‫סופי‬ ‫מספר‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ‫־‬ (Zp
.‫החופשיים‬ ‫המשפנים‬ ‫מספר‬ ‫־‬ k ,‫בשדה‬ ‫האיברים‬
‫)כולל‬ ‫אפסים‬ ‫שכולה‬ ‫שורה‬ ‫יש‬ ‫אינסופי‬ ‫בשדה‬ ,‫למשל‬ ‫)אם‬
.(‫פתרונות‬ ‫אינסוף‬ ‫למערכת‬ ‫יש‬ ‫אז‬ ‫־‬ (b‫ה־‬
‫ממספר‬ ‫גדול‬ ‫במערכת‬ ‫הנעלמים‬ ‫מספר‬ ‫אם‬ :(‫)הערה‬ .3
‫יהיה‬ ‫שלמערכת‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ ‫אזי‬ (n > m) ‫המשוואות‬
.‫יחיד‬ ‫פתרון‬
:‫הומוגנית‬ ‫מערכת‬
‫מערכת‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫לא‬ .‫אפסים‬ ‫־ים‬b‫ה־‬ ‫כל‬ ‫שבה‬ ‫מערכת‬ ‫זוהי‬
.(‫סותרת‬ ‫הומוגנית‬ ‫מערכת‬ ,‫)כלומר‬ ‫תקינה‬ ‫שאינה‬ ‫הומוגנית‬
:‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬
‫פתרון‬ ‫זה‬ ‫־‬ ‫טריוויאלי‬ ‫פתרון‬ ‫שיש‬ ‫היא‬ ‫הראשונה‬ ‫האפשרות‬
‫המקדמים‬ ‫שכל‬ ‫פשוט‬ ‫והוא‬ ‫הומוגנית‬ ‫מערכת‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫שקיים‬
‫כי‬ ‫תקינה‬ ‫תהיה‬ ‫לא‬ ‫שהיא‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ ,‫)לכן‬ ‫אפסים‬ ‫הם‬
.‫המערכת‬ ‫של‬ ‫היחידי‬ ‫הפתרון‬ ‫זהו‬ .(‫בטוח‬ ‫קיים‬ ‫הזה‬ ‫הפתרון‬
‫שזה‬ ‫־‬ ‫טריוויאלי‬ ‫לא‬ ‫פתרון‬ ‫שיש‬ ‫היא‬ ‫השנייה‬ ‫האפשרות‬
‫הטריוויאלי‬ ‫הפתרון‬ ‫את‬ ‫)יש‬ ‫אחד‬ ‫מפתרון‬ ‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫אומר‬
‫זאת‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ .(0 ‫הם‬ ‫המקדמים‬ ‫כל‬ ‫לא‬ ‫שבו‬ ‫פתרון‬ ‫עוד‬ +
‫משתנים‬ ‫ויש‬ ‫המערכת‬ ‫את‬ ‫מדרגים‬ ‫אם‬ :‫המערכת‬ ‫דירוג‬ ‫ע"י‬
. ‫טריוויאלי‬ ‫לא‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ‫למערכת‬ ‫אזי‬ ‫חופשיים‬
:‫למשל‬
‫־‬ ‫טריוויאלי‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ‫זו‬ ‫למערכת‬ ‫־‬


1 2 5 0
0 2 7 0
0 0 8 0


.‫אפסים‬ ‫הם‬ ‫המקדמים‬ ‫שכל‬ ‫היא‬ ‫היחידה‬ ‫האפשרות‬
‫טריוויאלי‬ ‫לא‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ‫זו‬ ‫למערכת‬ ‫־‬


1 2 5 0
0 3 2 0
0 0 0 0


‫הטריוויאלי‬ ‫לפתרון‬ ‫בנוסף‬ ,‫ולכן‬ ,x2 ‫־‬ ‫חופשי‬ ‫משתנה‬ ‫ישנו‬ ‫־‬
2

3. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
.‫פתרונות‬ ‫עוד‬ ‫ישנם‬
‫גדול‬ ‫הנעלמים‬ ‫מספר‬ ‫הומוגנית‬ ‫במערכת‬ ‫אם‬ :‫משפט‬
‫לא‬ ‫פתרון‬ ‫קיים‬ ‫ההומוגנית‬ ‫למערכת‬ ‫אזי‬ ,‫המשוואות‬ ‫ממספר‬
.‫טריוויאלי‬
:‫שורה‬ ‫שקולת‬ ‫מטריצה‬
‫להגיע‬ ‫ניתן‬ ‫אם‬ ‫שקולות‬ ‫מטריצות‬ ‫נקראות‬ B ,A ‫מטריצות‬
.A ≈ B :‫מסמנים‬ .‫לשניה‬ ‫אחת‬ ‫ממטריצה‬
:‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬
.‫השורות‬ ‫למספר‬ ‫שווה‬ ‫העמודות‬ ‫מספר‬ ‫שבה‬ ‫מטריצה‬ ‫היינה‬
.An (F) :‫אותה‬ ‫ומסמנים‬ m = n
‫אבריה‬ ‫שכל‬ ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫הינה‬ :‫אלכסונית‬ ‫מטריצה‬
‫יהיו‬ ‫באלכסון‬ ‫שגם‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬ ‫האלכסון‬ ‫מלבד‬ ‫אפסים‬
.(‫בכולו‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫אפסים‬
:‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬
‫יורחב‬ "‫"הפיכה‬ ‫המושג‬ ‫)על‬ ‫הפיכה‬ ‫תהיה‬ ‫שמטריצה‬ ‫בשביל‬
‫המטריצות‬ ‫כל‬ ‫לכן‬ ,‫ריבועית‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫היא‬ ‫־‬ (‫בהמשך‬
....‫ריבועיות‬ ‫הן‬ ‫זה‬ ‫בפרק‬ ‫שיוזכרו‬
.‫הפיכה‬ ‫איננה‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫ריבועית‬ ‫שאיננה‬ ‫מטריצה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬
:‫היחידה‬ ‫מטריצת‬
‫אחד‬ ‫הם‬ ‫שלה‬ ‫האלכסון‬ ‫איברי‬ ‫שכל‬ ‫אלכסונית‬ ‫מטריצה‬ ‫הינה‬
:‫למשל‬ ,‫אפסים‬ ‫והשאר‬



1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




‫מודבר‬ ‫כי‬ ‫־‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,(In ‫)או‬ .I‫ב־‬ ‫אותה‬ ‫ומסמנים‬
‫היא‬ ‫היחידה‬ ‫מטריצת‬ ‫אזי‬ A3 (F) ‫גודל‬ ‫מסדר‬ ‫מטריצות‬ ‫על‬
‫יחידה‬ ‫מטריצת‬ ‫יש‬ ‫למשל‬ ‫בדוגמא‬ .I3 ‫־‬ ‫גודל‬ ‫סדר‬ ‫מאותו‬ ‫גם‬
.I4
:‫היחידה‬ ‫מטריצת‬ ‫לגבי‬ ‫כללים‬ ‫כמה‬
.An (F) ‫לכל‬ A · I = A
‫סדר‬ ‫)מאותו‬ B ‫מטריצה‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬ ‫היפכה‬ ‫מטריצה‬ ‫הינה‬ A
‫את‬ ‫לסן‬ ‫נהוג‬ B · A = I ‫וגם‬ A · B = I ‫שמתקיים‬ ‫כך‬ (‫גודל‬
.A·A−1
= A−1
·A = I :‫ש‬ ‫כך‬ A−1
‫ב־‬ :‫ההופכית‬ ‫המטריצה‬
‫עוד‬ ‫תיתכן‬ ‫לא‬ ‫כלומר‬ ‫יחידה‬ ‫היא‬ A ‫של‬ ‫ההופכית‬ ‫המטריצה‬
.A · D = I ‫ש־‬ ‫כך‬ ‫מטריצה‬
?‫ההופכית‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬
:‫שונות‬ ‫דרכים‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬
‫ולהצמיד‬ (‫)הריבועית‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫לקחת‬ ‫היא‬ ‫־‬ ‫הראשונה‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫היחידה‬ ‫למטריצת‬ ‫אותה‬


a1 a2 a3 1 0 0
a4 a5 a6 0 1 0
a7 a8 a9 0 0 1


.‫המטריצה‬ ‫איברי‬ ‫הם‬ ‫־ים‬a‫ה־‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬
‫היחידה‬ ‫מטריצת‬ ‫את‬ ‫שמקבלים‬ ‫עד‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫מדררגים‬
‫ההופכית‬ ‫המטריצה‬ ‫זאת‬ ‫ימין‬ ‫בצד‬ ‫שקיבלנו‬ ‫מה‬ ,‫שמאל‬ ‫בצד‬
....‫שלה‬
‫להשתמש‬ ‫נצטרך‬ ‫השנייה‬ ‫הדרך‬ ‫את‬ ‫להראות‬ ‫בשביל‬ ‫־‬ ‫השנייה‬
.‫אלמנטרית‬ ‫מטריצה‬ ‫של‬ ‫בהגדרה‬
‫רק‬ ‫עליה‬ ‫שנעשתה‬ ‫יחידה‬ ‫מטריצת‬ ‫היא‬ ‫אלמטרית‬ ‫מטריצה‬
:‫למשל‬ ,‫אחת‬ (‫אלמנטרית‬ ‫פעולה‬
‫יחידה‬ ‫מטריצת‬ ‫הינה‬ ‫זאת‬ ‫מטריצה‬ ‫־‬


1 0 0
2 1 0
0 0 1


.2R1+R2 → R2 :‫אחת‬ ‫אלמנטרית‬ ‫פעולה‬ ‫רק‬ ‫עליה‬ ‫שנעשתה‬
‫מכיוון‬ ‫אלמנטרית‬ ‫מטריצה‬ ‫גם‬ ‫זאת‬ ‫־‬


3 0 0
0 1 0
0 0 1


.3R1 → R1 :‫אחת‬ ‫אלמנטרית‬ ‫פעולה‬ ‫רק‬ ‫עליה‬ ‫שנעשתה‬
‫־‬ ‫יווניות‬ ‫באותיות‬ ‫המטריצה‬ ‫על‬ ‫אלו‬ ‫פעולות‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫נהוג‬
.A ‫מטריצה‬ ‫על‬ ‫אלמטרית‬ ‫פעולה‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ϕ (A) :ϕ, ψ
.(‫הנ"ל‬ ‫הסימון‬ ‫)ע"פ‬ E = ϕ (I) :‫אלמטרית‬ ‫מטריצה‬
‫מטריצה‬ ‫כופלים‬ ‫אם‬ :‫)ובמילים‬ E · A = ϕ (A) :‫וכמו־כן‬
‫כמו‬ ‫היא‬ ‫התוצאה‬ ‫אז‬ A ‫במטריצה‬ ‫משמאל‬ E ‫אלמנטרית‬
.A ‫על‬ E ‫של‬ ‫הפעולה‬ ‫ביצוע‬
:‫הפוכות‬ ‫אלמנטריות‬ ‫פעולות‬
‫הופכית‬ ‫אלמנטרית‬ ‫פעולה‬ ‫קיימת‬ ϕ ‫אלמנטרית‬ ‫פעולה‬ ‫לכל‬
:‫ומתקיים‬ ,ϕ−1
‫־‬ ‫יחידה‬
.ϕ−1
(ϕ (A)) = A ‫וגם‬ ϕ ϕ−1
(A) = A
:‫ההופכיות‬ ‫הפעולות‬ ‫טבלת‬
ϕ−1
ϕ
1
c Ri → Ri c · Ri → Ri (c = 0) .1
Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj .2
(−c) Ri + Rj → Rj cRi + Rj → Rj .3
E−1
= ϕ−1
(I) ‫אזי‬ E = ϕ (I) ‫אם‬
,‫אלמנטרית‬ ‫מטריצה‬ ‫זאת‬ ‫מה‬ ‫שראינו‬ ‫אחרי‬ ,‫עכשיו‬
‫כך‬ ‫ׁי‬"‫ע‬ ‫היא‬ A−1
‫את‬ ‫למצוא‬ ‫אפשר‬ ‫שדרכה‬ ‫השניה‬ ‫הדרך‬
‫שורת‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ :3
‫קנונית‬ ‫בצורה‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫שמדרגים‬
‫למטריצת‬ ‫מגיעים‬ ‫אם‬ .‫הפיכה‬ ‫אינה‬ ‫המטריצה‬ ‫־‬ ‫אפסים‬
‫היחידה‬ ‫למטריצה‬ ‫מגיעים‬ ‫)אם‬ ‫הפיכה‬ ‫המטריצה‬ ‫־‬ ‫היחידה‬
‫פעולות‬ ‫ע"י‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ ‫כלומר‬ ,A ∼ I :‫לסמן‬ ‫נהוג‬
.(I ‫למטריצה‬ A ‫ממטריצה‬ ‫אלמטריות‬
:‫הוא‬ ‫לזכור‬ ‫שחשוב‬ ‫מה‬
:‫אזי‬ ‫־‬ ‫הפיכה‬ A ‫אם‬
I = Ek · Ek−1 · · · E2 · E1 · A
:‫החשובות‬ ‫הנוסחאות‬ ‫ושתי‬
A = (Ek · · · E2 · E1)
−1
= E−1
1 · E−1
2 · · · E−1
k
A−1
= Ek · · · E2 · E1
:‫למכפלה‬ ‫לפרק‬ ‫ניתן‬ A ∈ Mm×n (F) ‫מטריצה‬ ‫כל‬
‫־‬ C ∈ Mm (F) ‫ו־‬ B ∈ Mm×n (F) ‫כאשר‬ A = C · B
.‫הפיכה‬ ‫מטריצה‬
B = Ek · · · E1 · A
A = E−1
1 · E−1
2 · · · E−1
k
C
·B
.1‫ל־‬ ‫שווים‬ (‫)הפיבוטים‬ ‫השורות‬ ‫של‬ ‫הפותחים‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ :‫כלומר‬3
.‫לפיבוט‬ ‫ומתחת‬ ‫מעל‬ ‫אפסים‬ ‫מכילה‬ ,(1 ‫)שהוא‬ ‫פיבוט‬ ‫שמכילה‬ ‫עמודה‬ ‫כל‬ ‫וגם‬
3

4. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:‫המוחלפת‬ ‫המטריצה‬
‫מסומנת‬ ‫המוחלפת‬ ‫הטריצה‬ A ∈ Mm×n (F) ‫מטריצה‬ ‫עבור‬
.(‫הפוך‬ ‫גודל‬ ‫)סדר‬ At
∈ Mn×m (F) ‫ע"י‬ ‫ומוגדרת‬ At
‫־‬
:‫למשל‬
.At
=


1 4
2 5
3 6

 ,A =
1 2 3
4 5 6
.At
ij = Aji :1 ≤ j ≤ m ‫ולכל‬ 1 ≤ i ≤ n ‫לכל‬ :‫ההגדרה‬
:‫תכונות‬
:λ ∈ F‫ו־‬ A, B ∈ Mm×n (F) :‫עבור‬
At t
= A (1)
(A ± B)
t
= At
± Bt
(2)
(λ · A)
t
= λ · At
(3)
(A · B)
t
= Bt
· At
(4)
‫הפיכה‬ ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ A ∈ Mn (F) :‫עבור‬
At −1
= A−1 t
(5)
A−1 t
· At
= I (6)
‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫אשר‬ ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫היא‬ :‫סימטרית‬ ‫מטריצה‬
.At
= A :‫הבא‬ ‫התנאי‬
‫מקיימת‬ ‫אשר‬ ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫היא‬ :‫אנטי־סימטרית‬ ‫מטריצה‬
.At
= −A :‫התנאי‬ ‫את‬
:‫סימטרית‬ ‫למטריצה‬ ‫דוגמא‬

1 2 3
2 4 5
3 5 8


:‫אנטי־סימטרית‬ ‫למטריצה‬ ‫דוגמא‬
‫האלכסון‬ ‫סימטרית‬ ‫אנטי‬ ‫)במטריצה‬


0 4 5
−4 0 7
−5 −7 0


.(‫אפסים‬ ‫תמיד‬ ‫הוא‬
:‫מטריצות‬ ‫בכתיב‬ ‫לינארית‬ ‫מערכת‬
:‫הגדרה‬
.‫איברים‬ n ‫עם‬ ‫עמודה‬ ‫וקטור‬ ‫־‬ Fn
.‫איברים‬ n ‫עם‬ ‫שורה‬ ‫וקטור‬ ‫־‬ F(n)
¯x = :‫נעלמים‬ ‫וקטור‬ ,A ∈ Mm×n (F) ‫מטריצה‬ ‫נתונה‬
‫להציג‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ ,¯b =



b1
.
.
.
bm


 :‫פתרונות‬ ‫ווקטור‬



x1
.
.
.
xn



:‫למשל‬ A · ¯x = ¯b ‫כ־‬ ‫המערכת‬ ‫את‬


1 2 6 0
3 4 1 2
9 0 8 5

 ·




x1
x2
x3
x4



 =


2
4
1


:‫משפט‬
:‫אזי‬ b ∈ Fn
‫ו־‬ ,‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ A ‫אם‬
‫זה‬ ‫ובמקרה‬ ‫הפיכה‬ A ⇔ ‫פתרון‬ ‫יש‬ A · ¯x = ¯b ‫למערכת‬
.¯c = A−1
· ¯b :‫הוא‬ ‫היחיד‬ ‫הפתרון‬
:‫משפט‬
‫למערכת‬ ‫אם‬ .(‫ריבועית‬ ‫)מטריצה‬ A ∈ Mn (F) ‫תהי‬
.‫הפיכה‬ A ⇔ ‫טריוויאלי‬ ‫פתרון‬ ‫רק‬ ‫יש‬ A · ¯x = ¯0 4
‫ההומוגנית‬
:‫משפט‬
A·¯x = ¯b ‫המערכת‬ ‫אם‬ .(‫ריבועית‬ ‫)מטריצה‬ A ∈ Mn (F) ‫תהי‬
.‫הפיכה‬ A ‫אז‬ ,¯b ∈ Fn
‫לכל‬ ‫תקינה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬
:‫לסיכום‬ ‫חשובים‬ ‫דברים‬ ‫כמה‬
:‫שקולות‬ ‫הבאות‬ ‫הטענות‬ ‫אזי‬ A ∈ Mn (F) ‫תהי‬
.‫הפיכה‬ A .1
.‫אלמנטריות‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫היא‬ A .2
.(I‫ל־‬ ‫שקולה‬ A) A ∼ I .3
.‫יחיד‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ A · ¯x = ¯b ‫למערכת‬ ,¯b ∈ Fn
‫לכל‬ .4
‫פתרון‬ ‫יש‬ A · ¯x = ¯b ‫שלמערכת‬ ‫כך‬ ¯b ∈ Fn
‫וקטור‬ ‫קיים‬ .5
.‫יחידה‬
.‫טריוויאלי‬ ‫פתרון‬ ‫רק‬ ‫יש‬ A · ¯x = ¯0 ‫ההומוגנית‬ ‫למערכת‬ .6
.‫תקינה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ A · ¯x = ¯b ‫המערכת‬ ,¯b ∈ Fn
‫לכל‬ .7
:‫הדטרמיננטה‬
....‫הדטרמיננטה‬ ‫של‬ ‫נוסחאות‬ ‫בעיקר‬ ‫אכלול‬ ,‫זה‬ ‫בפרק‬
‫אבריה‬ ‫שכל‬ ‫מטריצה‬ ‫הינה‬ :‫עליונה‬ ‫משולשית‬ ‫מטריצה‬
:‫אפסים‬ ‫הם‬ ‫הראשי‬ ‫לאלכסון‬ ‫מתחת‬





a11 a12 · · · a1n
0 a22
...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
0 · · · 0 ann






.1 ≤ j < i ≤ n ‫לכל‬ Aij = 0 ‫התנאי‬
‫כל‬ :‫הפוך‬ ‫רק‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ :‫תחתונה‬ ‫משולשית‬ ‫מטריצה‬
:‫אפסים‬ ‫הם‬ ‫הראשי‬ ‫האלכסון‬ ‫מעל‬ ‫האיברים‬
.1 ≤ i < j ≤ n ‫לכל‬ Aij = 0 ‫התנאי‬
‫הדטרמיננטה‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫כלשהי‬ ‫משולשית‬ ‫מטריצה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬
:‫היא‬ ‫שלה‬
‫מכפלת‬ ‫זה‬ ‫־‬
n
i=1
aii ‫־‬ ‫)כאשר‬ det (A) = (−1)
n·(n−1)
2
·
n
i=1
aii
.(5
‫הראשי‬ ‫האלכסון‬ ‫אברי‬
:‫משפט‬
‫כאשר‬ A = ϕ (A) ‫נגדיר‬ .‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ A ∈ Mn (F)
:A ‫שורות‬ ‫על‬ ‫אלמנטרית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ϕ
:‫אזי‬ ‫־‬ (c = 0) cRi → Ri :‫היא‬ ϕ ‫אם‬ .1
.det (A ) = c · det (A)
.det (A ) = − det (A) :‫אזי‬ Ri ↔ Rj :‫היא‬ ϕ ‫אם‬ .2
.det (A ) = det (A) :‫אזי‬ cRi +Rj → Rj :‫היא‬ ϕ ‫אם‬ .3
.2 ‫בעמוד‬ ‫ההומגנית‬ ‫המערכת‬ ‫על‬ ‫הסברים‬4
(‫הנגדי‬ ‫הראשי‬ ‫האלכסון‬ ‫מכפלת‬ ‫גם‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫זו‬ ‫)בעיקרון‬5
4

5. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:‫המשפטים‬ ‫מן‬ ‫מסקנות‬ ‫כמה‬
‫של‬ ‫גודל‬ ‫הסדר‬ = n) .det (c · A) = cn
· det (A) .1
.(‫הדטרמיננטה‬
det (A) = :‫אזי‬ ‫בדטרמיננטה‬ ‫זהות‬ ‫שורות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ ‫אם‬ .2
‫־‬ ‫עובדים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבו‬ ‫שבשדה‬ ‫לבדוק‬ ‫חשוב‬ ‫)רק‬ .0
.(ch (F) = 2
‫אחרת‬ ‫שורה‬ ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫היא‬ ‫במטריצה‬ ‫אחת‬ ‫שורה‬ ‫אם‬ .3
.det (A) = 0 :‫אזי‬ ‫בסקלר‬
‫ביצוע‬ ‫ע"י‬ 0‫ל־‬ ‫להפוך‬ ‫יכולה‬ ‫לא‬ ‫היא‬ det (A) = 0 ‫אם‬ .4
.‫אלמנטריות‬ ‫פעולות‬
‫אזי‬ A ∼ B ‫וגם‬ A, B ∈ Mn (F) ‫אם‬ .5
.det (B) = 0⇔det (A) = 0
det (A) = 0 ‫אזי‬ ,‫והפיכה‬ ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ A ‫אם‬
.6
:‫שלמדנו‬ ‫מה‬ ‫לפי‬ ‫אז‬ .‫אלמנטרית‬ ‫מטריצה‬ E = (ϕ) ‫תהי‬
det (E) =



c cRi → Ri : ϕ
−1 Ri ↔ Rj : ϕ
1 cRi + Rj → Rj : ϕ
:‫נוספים‬ ‫משפטים‬ ‫כמה‬
.det (A · B) = det (A) · det (B) .1
‫שניתן‬ ‫שכמו‬ ‫להסיק‬ ‫ניתן‬ ‫ומכאן‬ ‫־‬ det (At
) = det (A) .2
...‫העמודות‬ ‫לגבי‬ ‫גם‬ ‫כך‬ ,‫הדטרמיננטה‬ ‫שורות‬ ‫את‬ ‫לפתח‬
.det (A + B) = det (A) + det (B) .3
det A−1
=
1
det (A)
.4
:‫הגדרה‬ ,A ∈ Mn (F) ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫נתונה‬
‫הדרטמיננטה‬ ‫ופירושו‬ mij (A) :‫מסומן‬ ,A ‫של‬ ij‫ה־‬ ‫המינור‬
‫ועמודה‬ i ‫שורה‬ ‫השמטת‬ ‫אחרי‬ A‫מ־‬ ‫המתקבלת‬ ‫המטריצה‬ ‫של‬
(n − 1) × ‫של‬ ‫גודל‬ ‫מסדר‬ ‫סמטריצה‬ ‫מדובר‬ ‫לכן‬ .A‫מ־‬ j
.(n − 1)
‫ע"י‬ ‫מוגדר‬ ‫והוא‬ cij (A) ‫מסומן‬ A ‫של‬ ij ‫של‬ ‫המסומן‬ ‫המינור‬
.cij (A) = (−1)
i+j
mij (A) :
:‫מסמנים‬ ‫אזי‬ ,‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ A‫ש־‬ ‫נניח‬
cof (A) =






c11 (A) · · · · · · cn1 (A)
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
c1n (A) · · · · · · cnn (A)






:‫ע"י‬ ‫ומוגדרת‬ adj (A) ‫מסומנת‬ A ‫של‬ ‫המצורפת‬ ‫המטריצה‬
.adj (A) = cof (A)
t
:‫אזי‬ ,‫הפיכה‬ A ‫אם‬
A−1
=
1
det (A)
· adj (A)
:‫קרמר‬ ‫שיטת‬ ‫ע"פ‬ ‫פתרון‬
:‫נסמן‬ ,‫והפיכה‬ ‫ריבועית‬ A ‫מטריצה‬ ‫עבור‬
A‫מ־‬ j ‫עמודה‬ ‫הוצאת‬ ‫לאחר‬ ‫המתקבלת‬ ‫המטריצה‬ ‫הינה‬ ‫־‬ Aj
.‫במקום‬ ¯b ‫הפתרונות‬ ‫וקטור‬ ‫והכנסת‬
.j = 1, . . . , n :‫עבור‬ xj =
det (Aj)
det (A)
‫וקטוריים‬ ‫מרחבים‬
‫תת־מרחב‬
‫שני‬ ‫לבדוק‬ ‫צריך‬ ‫מרחב‬ ‫תת־‬ ‫היא‬ ‫קבוצה‬ ‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫בשביל‬
‫בסקלר‬ ‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫וסגירות‬ ‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ ‫סגירות‬ :‫דברים‬
‫קבוצה(.מבחינת‬ ‫באותה‬ ‫נמצא‬ ‫האפס‬ ‫שוקטור‬ ‫לוודא‬ ‫)וגם‬
‫לאכסיומות‬ ‫דומים‬ ‫מאוד‬ ‫מאוד‬ ‫הם‬ ‫־‬ ‫והכללים‬ ‫האכסיומות‬
.‫השדה‬ ‫וחוקי‬
:‫חשובים‬ ‫ומשפטים‬ ‫הגדרות‬ ‫כמה‬
‫ויהיו‬ ,F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫וקטורי‬ ‫מרחב‬ V ‫יהי‬ :‫הגדרה‬ .1
.V ‫ב־‬ ‫וקטורים‬ α1, . . . , αn
‫כוקטור‬ ‫מוגדר‬ ‫הנ"ל‬ ‫הוקטורים‬ ‫של‬ ‫לינארי‬ ‫צירוף‬ (‫)א‬
‫כאשר‬ t1α1 + . . . + tnαn :‫שהוא‬ V ‫ב־‬
.t1, . . . , tn ∈ F
‫של‬ ‫לינארי‬ ‫צירוף‬ ‫הוא‬ V ‫ב־‬ α ‫שוקטור‬ ‫אומרים‬ (‫)ב‬
‫ב־‬ t1, . . . , tn ‫סקלרים‬ ‫קיימים‬ ‫אם‬ α1, . . . , αn
. α = t1α1 + . . . + tnαn ‫ש־‬ ‫כך‬ ,F
‫אזי‬ ,"‫"מופיעים‬ ‫הוקטורים‬ ‫כל‬ ‫לא‬ ‫שגם‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫בסקלר‬ ‫מוכפל‬ ‫הוא‬ ,‫מופיע‬ ‫שלא‬ ‫שוקטור‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬
.0
‫קבוצת‬ K = {α1, . . . , αn} ‫וקטורים‬ ‫קבוצת‬ ‫תהי‬ .2
‫הצירופים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬ sp (K) ‫אזי‬ ,V ‫ב־‬ ‫וקטורים‬
:‫הלינארים‬
sp (K) = sp {α1, . . . , αn} =
.{t1α1 + . . . + tnαn |t1, . . . , tn ∈ F}
‫אזי‬ sp {α1, α2, α3} = sp {β1, β2, β3} :‫ש‬ ‫צ"ל‬ ‫אם‬
‫צירוף‬ ‫הוא‬ ‫אחת‬ ‫בקבוצה‬ ‫וקטור‬ ‫שכל‬ ‫להראות‬ ‫צריך‬
.‫וההפך‬ ‫השניה‬ ‫בקבוצה‬ ‫הוקטורים‬ ‫של‬ ‫לינארי‬
.V ‫את‬ ‫יוצרת‬ K ‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫אזי‬ sp (K) = V ‫אם‬ .3
‫מספר‬ ,‫כלומר‬ ,‫וקטורים‬ ‫של‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ K ‫אם‬ .4
‫מרחב‬ ‫־‬ ‫נקרא‬ V ‫אזי‬ ‫־‬ V ‫את‬ ‫יוצר‬ ‫וקטורים‬ ‫של‬ ‫סופי‬
‫או‬ F(n)
:‫סופית‬ ‫נוצר‬ ‫למרחב‬ ‫דוגמא‬ .‫סופית‬ ‫נוצר‬
.F [X] :‫סופית‬ ‫נוצר‬ ‫לא‬ ‫למחרב‬ ‫דוגמא‬ F [X]n
5

6. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫קיימים‬ ‫אם‬ ‫לינארית‬ ‫תלויה‬ K ‫קבוצה‬ :‫לינארית‬ ‫תלות‬ .5
‫ש־‬ ‫כך‬ ‫אפסים‬ ‫כולם‬ ‫שלא‬ t1, . . . , tn ∈ F ‫סקלרים‬
‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫נובעת‬ ‫גם‬ ‫מכאן‬ . t1α1 + . . . + tnαn = 0
‫)בלתי־‬ ‫בת"ל‬ ‫היא‬ ‫בלתי־תלויה־לינארית‬ ‫וקטורים‬ ‫קבוצת‬
t1α1 + . . . + tnαn = 0 ‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬ (‫לינארית‬ ‫תלויה‬
‫המקדמים‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ t1 = t2 = · · · = tn = 0 ‫ש־‬ ‫כך‬
.(‫אפסים‬
. (1 ‫וקטור‬ ‫שמכילה‬ ‫)קבוצה‬ K = {α} ‫ש־‬ ‫נניח‬ .6
.α = 0 ⇔ ‫לינארית‬ ‫תלויה‬ K ‫אז‬
.α = 0 ⇔ ‫בת"ל‬ K :‫או‬
‫אם‬ ‫ת"ל‬ K ‫אזי‬ ,‫וקטורים‬ ‫משני‬ ‫יותר‬ ‫ישנם‬ K‫ב־‬ ‫אם‬ .7
‫אברי‬ ‫שאר‬ ‫של‬ ‫לינארי‬ ‫צירוף‬ ‫הוא‬ K‫ב־‬ ‫הוקטורים‬ ‫אחד‬
.K
‫היא‬ ‫האפס‬ ‫וקטור‬ ‫את‬ ‫מכילה‬ ‫אשר‬ ‫וקטורים‬ ‫קבוצת‬ ‫כל‬ .8
.‫לינארית‬ ‫תלויה‬
‫אחד‬ ‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬ ‫ת"ל‬ ‫היא‬ ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫המכילה‬ ‫קבוצה‬ .9
.‫האחר‬ ‫הוקטור‬ ‫של‬ ‫בסקלר‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬ ‫הוקטורים‬
:‫אחרות‬ ‫ובמילים‬ ,‫ת"ל‬ L ⇐ ‫ת"ל‬ K ‫אם‬ ‫אזי‬ K ⊆ L ‫אם‬ .10
.‫בת"ל‬ K ‫גם‬ ‫אז‬ ‫בת"ל‬ L ‫אם‬
‫אם‬ ‫בת"ל‬ ‫וקטורים‬ ‫של‬ ‫מקסימלית‬ ‫קבוצה‬ ‫נקראת‬ K .11
:‫מקיימית‬ ‫היא‬
.‫בת"ל‬ K (‫)א‬
K‫ל־‬ ‫שייך‬ ‫איננו‬ ‫אך‬ V ‫ל־‬ ‫ששייך‬ α ‫וקטור‬ ‫לכל‬ (‫)ב‬
.‫ת"ל‬ ‫היא‬ K ∪ {α} ‫־‬ ‫הקבוצה‬
‫ותהי‬ ,F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫וקטורי‬ ‫מרחב‬ V ‫יהי‬ :‫בסיס‬ :‫הגדרה‬ .12
‫אומרים‬ .V ‫מ־‬ ‫וקטורים‬ ‫קבוצת‬ B = {α1, . . . , αn}
:‫אם‬ V ‫של‬ ‫בסיס‬ ‫היא‬ B‫ש־‬
.V ‫את‬ ‫יוצרת‬ B (‫)א‬
.‫בת"ל‬ B (‫)ב‬
:‫לבסיס‬ ‫שקולות‬ ‫הגדרות‬ .13
.V ‫של‬ ‫בסיס‬ ‫היא‬ B (‫)א‬
.V ‫של‬ ‫מינימלית‬ ‫יוצרים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ B (‫)ב‬
‫וקטורים‬ ‫של‬ ‫מקסימלית‬ ‫יוצרים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ B (‫)ג‬
.‫בת"ל‬
‫וקטור‬ ‫כל‬ ‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬ V ‫של‬ ‫של‬ ‫בסיס‬ ‫היא‬ B (‫)ד‬
‫של‬ ‫לינארי‬ ‫כצירוף‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ α ∈ V
.B ‫אברי‬
‫במרחב‬ ‫וקטורים‬ ‫של‬ ‫לינארית‬ ‫תלויה‬ ‫בלתי‬ ‫קבוצה‬ ‫כל‬ .14
.V ‫של‬ ‫לבסיס‬ ‫להשלמה‬ ‫ניתנת‬ V ‫סופית‬ ‫נוצר‬ ‫וקטורי‬
.V ‫של‬ ‫בסיס‬ ‫מכילה‬ V ‫של‬ ‫יוצרים‬ ‫קבוצת‬ ‫כל‬ .15
‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ V = {0} :‫הטריוויאלי‬ ‫הוקטורי‬ ‫המרחב‬ .16
.‫זה‬ ‫למרחב‬ ‫הבסיס‬ (‫היא‬ ‫)ורק‬ ‫־‬ ∅ ‫־‬
.‫בסיס‬ ‫קיים‬ F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫סופית‬ ‫נוצר‬ ‫וקטורי‬ ‫מחרב‬ ‫לכל‬ .17
‫בכל‬ :‫אזי‬ .F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫סופית‬ ‫נוצר‬ ‫וקטורי‬ ‫מרחב‬ V ‫יהי‬ .18
.‫וקטורים‬ ‫של‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫יש‬ V ‫של‬ ‫הבסיסים‬
.F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫סופית‬ ‫נוצר‬ ‫וקטורי‬ ‫מרחב‬ V ‫יהי‬ :‫הגדרה‬ .19
:‫ומסומן‬ V ‫של‬ ‫המימד‬ :‫נקרא‬ V ‫בבסיס‬ ‫הוקטורים‬ ‫מספר‬
. dim V
:‫דוגמאות‬
.dim Fn
= dim F(n)
= n (‫)א‬
.dim F [X]n = n + 1 (‫)ב‬
.dim Mm×n (F) = m × n (‫)ג‬
:‫אזי‬ ,dim V = n ‫אם‬ .20
n ‫לפחות‬ ‫להכיל‬ ‫חייב‬ V ‫של‬ ‫יוצרים‬ ‫קבוצת‬ ‫כל‬ (‫)א‬
.‫וקטורים‬
‫תלויה‬ ‫היא‬ V ‫ב־‬ ‫וקטורים‬ n‫מ־‬ ‫יותר‬ ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫כל‬ (‫)ב‬
.‫לינארית‬
‫היא‬ ‫וקטורים‬ n ‫שמכילה‬ V ‫של‬ ‫יוצרים‬ ‫קבוצת‬ ‫כל‬ (‫)ג‬
.(‫בסיס‬ ‫בהכרח‬ ‫היא‬ ‫)כי‬ ‫בת"ל‬ ‫בהכרח‬
‫גם‬ ‫היא‬ ,V ‫ב־‬ ‫בת"ל‬ ‫וקטורים‬ n ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫כל‬ (‫)ד‬
.(‫בסיס‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫היא‬ ‫)כי‬ V ‫של‬ ‫יוצרת‬
dim V = n ‫שאם‬ ‫למעלה‬ ‫למשפטים‬ ,‫להוסיף‬ ‫ניתן‬ .21
,‫אזי‬ ,V ‫ב־‬ ‫וקטורים‬ ‫קבוצת‬ K = {α1, . . . , αn}‫ו־‬
:‫שקולות‬ ‫הבאות‬ ‫הטענות‬
.V ‫את‬ ‫יוצרת‬ K (‫)א‬
.‫בת"ל‬ K (‫)ב‬
.V ‫של‬ ‫בסיס‬ ‫היא‬ K (‫)ג‬
‫הפיכה‬ A :A ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫עבור‬ :‫חשוב‬ ‫משפט‬ ‫עוד‬ .22
‫פתרון‬ ‫רק‬ ‫יש‬ A¯x = ¯0 ‫ההומוגנית‬ ‫למערכת‬ ⇐⇒
.(‫לנו‬ ‫)ידוע‬ ‫טריוויאלי‬
:‫שקולים‬ ‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫־‬ ‫אזי‬ A ∈ Mn (F) ‫תהי‬ .23
.‫הפיכה‬ A (‫)א‬
.Fn
‫ב־‬ ‫בת"ל‬ ‫וקטורים‬ ‫הם‬ A ‫עמודות‬ (‫)ב‬
.Fn
‫את‬ ‫יוצרות‬ A ‫עמודות‬ (‫)ג‬
.Fn
‫ל־‬ ‫בסיס‬ ‫מהוות‬ A ‫עמודות‬ (‫)ד‬
.F(n)
‫ב־‬ ‫בת"ל‬ ‫וקטורים‬ ‫הם‬ A ‫שורות‬ (‫)ה‬
.F(n)
‫את‬ ‫יוצרות‬ A ‫שורות‬ (‫)ו‬
.F(n)
‫ל־‬ ‫בסיס‬ ‫מהוות‬ A ‫שורות‬ (‫)ז‬
:‫לזכור‬ ‫כדאי‬
:A ‫ריבועית‬ ‫מטריצה‬ ‫עבור‬
⇔ ‫טריוויאלי‬ ‫לא‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ⇔ det (A) = 0
‫שהם‬ ‫שאומר‬ ‫)מה‬ .‫לינארית‬ ‫תלויים‬ ‫הוקטורים‬
.‫הפיכה‬ ‫לא‬ A ⇔ .(‫וקטורי‬ ‫למרחב‬ ‫בסיס‬ ‫אינם‬
⇔ ‫טריוויאלי‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬ ⇔ det (A) = 0
‫שאומר‬ ‫)מה‬ .‫לינארית‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫הוקטורים‬
.‫הפיכה‬ A ⇔ .(‫וקטורי‬ ‫למרחב‬ ‫בסיס‬ ‫שהם‬
6

7. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:‫נתונה‬ ‫במטריצה‬ ‫הקשורים‬ ‫וקטורים‬ ‫מרחבים‬
:‫מטריצה‬ ‫של‬ ‫האפס‬ ‫מרחב‬ .1
.‫מטריצה‬ A ∈ Mm×n (F) ‫תהי‬
n ,‫משווואת‬ m] A · ¯x = ¯0 :‫ההומוגנית‬ ‫במערכת‬ ‫נסתכל‬
.[‫נעלמים‬
:‫ההומוגנית‬ ‫המערכות‬ ‫של‬ ‫הפתרונות‬ ‫קבוצת‬
‫של‬ ‫האפס‬ ‫מרחב‬ ‫היא‬ S = {c ∈ Fn
|A · ¯c = 0}
.Fn
‫של‬ ‫תת־מרחב‬ ‫היא‬ S ‫־‬ S ⊆ Fn
.‫המטריצה‬
:‫מטריצה‬ ‫של‬ ‫העמודות‬ ‫ומרחב‬ ‫השורות‬ ‫מרחב‬ .2
.1 ≤ i ≤ m ‫לכל‬ ‫־‬ ¯ri(A) ∈ F(n)
:A ‫שורות‬ (‫)א‬
.dim ≤ m
.1 ≤ j ≤ n ‫לכל‬ ‫־‬ ¯cj (A) ∈ Fn
:A ‫עמודות‬ (‫)ב‬
.dim ≤ n
‫השורות‬ ‫מרחב‬ ‫בעצם‬ ‫הוא‬ A ‫של‬ ‫העמודות‬ ‫מרחב‬ (‫)ג‬
‫של‬ ‫השורות‬ ‫במרחב‬ ‫רק‬ ‫לדון‬ ‫מספיק‬ ,‫לכן‬ .At
‫של‬
.‫המטריצה‬
.sp {α1...αi...αn} = sp {α1...c · αi...αn} (‫)ד‬
.0 = c ∈ F ‫לכל‬
sp{α1, . . . , αi, . . . , αj, . . . , αn}
= sp{α1, . . . , αj, . . . , αi, . . . , αn}
(‫)ה‬
sp{α1, . . . , αi, . . . , αj, . . . , αn}
= sp{α1, . . . , αi, . . . , αj + c · αi, . . . , αn}
(‫)ו‬
‫פעולה‬ ‫ביצוע‬ :‫האחרונים‬ ‫משלושת‬ ‫מסקנה‬
‫את‬ ‫משנה‬ ‫אינו‬ ,A ‫מטריצה‬ ‫שורות‬ ‫על‬ ‫אלמטרית‬
.‫המטריצה‬ ‫של‬ ‫השורות‬ ‫מרחב‬
‫שאינן‬ ‫השורות‬ ,‫מדורגת‬ A ∈ Mm×n ‫מטריצה‬ ‫עבור‬ .3
.A ‫של‬ ‫השורות‬ ‫למרחב‬ ‫בסיס‬ ‫מהוות‬ ‫אפסים‬ ‫שורות‬
‫דרגת‬ :‫נקרא‬ A ‫של‬ (‫העמודות‬ ‫)או‬ ‫השורות‬ ‫מימד‬ :‫הגדרה‬ .4
‫או‬ rank (A) :‫ומסומן‬ .A ‫של‬ (‫העמודות‬ ‫)או‬ ‫השורות‬
‫דרגת‬ ,‫גודל‬ ‫סדר‬ ‫מכל‬ ,‫מטריצה‬ ‫)לכל‬ .r (A) :‫בקיצור‬
.(‫העמודות‬ ‫לדרגת‬ ‫שווה‬ ‫השורות‬
‫מדרגים‬ ,A ‫של‬ ‫השורות‬ ‫למרחב‬ ‫בסיס‬ ‫למצוא‬ ‫כדי‬ (‫)א‬
‫אפסים‬ ‫שורות‬ ‫שאינן‬ ‫השורות‬ ‫את‬ ‫ולוקחים‬ A ‫את‬
.‫בסיס‬ ‫בתור‬ ‫המדורגת‬ ‫במטריצה‬
‫מדרגים‬ ,A ‫של‬ ‫העמודות‬ ‫למרחב‬ ‫בסיס‬ ‫למצוא‬ ‫כדי‬ (‫)ב‬
‫אפסים‬ ‫שורות‬ ‫שאינן‬ ‫השורות‬ ‫את‬ ‫ולוקחים‬ At
‫את‬
.‫כעמודות‬ ‫אותן‬ ‫ומציגים‬ ‫המדורגת‬ ‫במטריצה‬
‫של‬ (‫העמודות‬ ‫)או‬ ‫השורות‬ ‫דרגת‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫כדי‬ (‫)ג‬
‫כמה‬ ‫וסופרים‬ ,(At
‫את‬ ‫)או‬ A ‫את‬ ‫מדרגים‬ ,A
.‫אפסים‬ ‫שורות‬ ‫אינן‬ ‫המדורגת‬ ‫במטריצה‬ ‫שורות‬
:A ∈ Mm×n (F) :‫עבור‬ .5
.0 ≤ rank (A) ≤ min (n, m) (‫)א‬
.A = O ⇐⇒ rank (A) = 0 (‫)ב‬
‫)הדבר‬ ‫בת"ל‬ A ‫שורות‬ ⇐⇒ rank (A) = m (‫)ג‬
.(m ≤ n ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫אפשרי‬
‫)הדבר‬ ‫בת"ל‬ A ‫עמודות‬ ⇐⇒ rank (A) = n (‫)ד‬
.(n ≤ m ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫אפשרי‬
‫)או‬ ‫שורות‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הסמפר‬ ‫הוא‬ rank (A) (‫)ה‬
.A‫ב־‬ ‫בת"ל‬ (‫עמודות‬
.0 ≤ rank (A) ≤ n ‫אז‬ A ∈ Mn (F) ‫אם‬ (‫)ו‬
.‫הפיכה‬ A ⇔ rank (A) = n ‫אם‬ ,‫לכך‬ ‫ובהמשך‬
:A ∈ Mm×n (F) , B ∈ Mn×k (F) :‫עבור‬ (‫)ז‬
.rank (A · B) ≤ rank (A) .i
.rank (A · B) ≤ rank (B) .ii
‫אותן‬ ‫אז‬ ,‫ת"ל‬ ‫הן‬ A ‫של‬ ‫מסוימות‬ ‫שורות‬ ‫אם‬
.‫ת"ל‬ ‫יהיו‬ AB‫ב־‬ ‫שורות‬
AB‫ב־‬ ‫מסוימות‬ ‫שורות‬ ‫אם‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬
.‫בת"ל‬ ‫הן‬ A‫ב־‬ ‫שורות‬ ‫אותן‬ ‫אזי‬ ,‫בת"ל‬ ‫הן‬
rank (AB) = ‫אז‬ ‫הפיכה‬ B ∈ Mn (F) ‫אם‬ (‫)ח‬
.rank (A)
rank (CA) = ‫אז‬ ‫הפיכה‬ C ∈ Mn (F) ‫אם‬ (‫)ט‬
.rank (A)
‫האינטרפולציה‬ ‫פולינום‬
‫ונדרמונדה‬ ‫מטריצת‬ ‫ע"פ‬
1 x0 x2
0 · · · xn
0
1 x1 x2
1 · · · xn
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 xn x2
n · · · xn
n
.n ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫לכן‬ ‫־‬ ‫נקודות‬ n + 1 ‫לנו‬ ‫נתונות‬
‫המתאימה‬ ‫בשורה‬ ‫שלה‬ x‫ה־‬ ‫את‬ ‫ומציבים‬ ‫נקודה‬ ‫כל‬ ‫לקוחים‬
,‫השניה‬ ‫בשורה‬ ‫השני‬ ‫את‬ ,‫הראשונה‬ ‫בשורה‬ ‫הראשון‬ x‫ה־‬ ‫)את‬
‫תלוי‬ n ‫־‬ ‫)זכרו‬ n‫ה־‬ ‫עד‬ (‫משנה‬ ‫ממש‬ ‫לא‬ ‫שהסדר‬ ‫למרות‬
.(‫נקודות‬ n + 1 ‫לנו‬ ‫ויש‬ ‫היות‬ ,‫הנקודות‬ ‫במספר‬
‫)בוקטור‬ .‫השורה‬ ‫בסוף‬ ‫המתאים‬ ‫במקום‬ ‫מציבים‬ y‫ה־‬ ‫את‬
.(‫הפתרונות‬
...‫הפולינום‬ ‫וזה‬ ‫־‬ ‫למטריצה‬ ‫פתרון‬ ‫מוצאים‬
:‫דוגמא‬
T = {(0, 2) , (1, 3) , (2, 4)} :‫הנקודות‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
:‫אלו‬ ‫נקודות‬ ‫שלושת‬ ‫דרך‬ ‫שעובר‬ ‫הפולינום‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
‫המטריצה‬ ‫ולכן‬ ‫־‬ a + bx + cx2
:‫שניה‬ ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫לנו‬ ‫יש‬
:‫היא‬ ‫שלנו‬

a b · x0 c · x2
0
a b · x1 c · x2
1
a b · x2 c · x2
2

 =


y0
y1
y2


:‫ונקבל‬ ‫ונדרמונדה‬ ‫במטריצת‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫נציב‬

a 0 0 2
a b c 3
a 2b 4c 4

⇐=


a b · 0 c · 0
a b · 1 c · 12
a b · 2 c · 22

 =


2
3
4


‫המשוואת‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫זה‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫ועכשיו‬
:(‫לנו‬ ‫פתורה‬ ‫כבר‬ ‫)שאחת‬
‫נקבל‬ ‫וכך‬ ‫המקדמים‬ ‫את‬ ‫=⇐נקבל‬
a = 2
2 +b +c = 3
2 +2b +4c = 4
...‫הפולינום‬ ‫את‬
'‫לגרנז‬ ‫של‬ ‫ההצגה‬ ‫ע"פ‬ ‫פתרון‬
i = j ‫לכל‬ xi = xj :‫מקיימת‬ ‫אשר‬ T ‫נקודות‬ ‫קבוצת‬ ‫עבור‬
:‫מתקיים‬
:‫פולינום‬ ‫קיים‬ 0 ≤ i ≤ n ‫לכל‬
Li (x) =
n
j=0,j=i
(x − xj)
(xi − xj)
.(n ‫)ממעלה‬ ‫פולינומים‬ n + 1 ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫נקודות‬ n + 1 ‫עבור‬
7

8. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:‫הוא‬ ‫המבוקש‬ ‫הפולינום‬
p (x) = y0L0 (x) + y1L1 (x) + . . . + ynLn (x)
‫)מטריצת‬ ‫הקודמת‬ ‫בדוגמא‬ ‫גם‬ ‫שהיו‬ ‫הנקודות‬ ‫עבור‬
:(‫ונדרמונדה‬
L0 (x) =
(x − x1) (x − x2)
(x0 − x1) (x0 − x2)
=
(x − 1) (x − 2)
(0 − 1) (0 − 2)
=
1
2
x2
−
3
2
x + 1
L1 (x) =
(x − x0) (x − x2)
(x1 − x0) (x1 − x2)
=
(x) (x − 2)
(1 − 0) (1 − 2)
=
−x2
+ 2x
L2 (x) =
(x − x0) (x − x1)
(x2 − x0) (x2 − x1)
=
(x) (x − 1)
(2 − 0) (2 − 1)
=
1
2
x2
−
1
2
x
‫במשוואה‬ ‫הפולינומים‬ ‫את‬ ‫להציב‬ ‫זה‬ ‫שנותר‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫עכשיו‬
‫פולינום‬ ‫כל‬ ‫לכפול‬ ‫)צריך‬ ‫המבוקש‬ ‫הפולינום‬ ‫את‬ ‫ולקבל‬ ‫למעלה‬
.(‫ולחבר‬ ‫המתאים‬ y‫ב־‬
:‫שאלות‬ ‫לפתור‬ ‫דרכים‬
‫לינארית‬ ‫מערכת‬ ‫של‬ ‫תקינות‬
‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ועלינו‬ F ‫במרחב‬ ‫וקטורים‬ ‫לנו‬ ‫שנתונים‬ ‫נניח‬
‫הוקטורים‬ ‫של‬ ‫לינארים‬ ‫לא‬ ‫צירוף‬ ‫הוא‬ (α) ‫כלשהו‬ ‫וקטור‬
:‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫עלינו‬ ,‫לא‬ ‫או‬ ‫הנ"ל‬
‫ומכסנים‬ ‫סוגריים‬ ‫פותחים‬ ‫־‬ α = t1 · α1 + · · · + tn · αn
:‫האם‬ ‫נבדוק‬ ,‫למשל‬ ,‫איברים‬
(1, 3, 4) = t1 (1, 2, 6) + t2 (3, 2, 0) + t3 (5, 0, 1)
(1, 3, 4) = (t1 + 3t2 + 5t3) + (2t1 + 2t2) + (6t1 + t3)
‫אם‬ ‫ובודקים‬ ,‫המורחבת‬ ‫המקדמים‬ ‫מטריצת‬ ‫את‬ ‫בונים‬ ‫עכשיו‬
:‫תקינה‬ ‫היא‬
‫אם‬ ‫ובודקים‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫מדרגים‬ ‫־‬


1 3 5 1
3 2 0 3
5 0 1 4


‫של‬ ‫לינארי‬ ‫צירוף‬ ‫הוא‬ α ‫הוקטור‬ ,‫כן‬ ‫אם‬ ‫־‬ ‫הפיכה/תקינה‬ ‫היא‬
.‫לינארי‬ ‫צירוף‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫־‬ ‫תקינה‬ ‫לא‬ ‫המערכת‬ ‫אם‬ ,‫השאר‬
‫וקטור‬ ‫ליצירת‬ ‫התנאים‬ ‫מה‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫בדיוק‬ ‫הדרך‬ ‫באותה‬
‫וקטור‬ ‫שמקום‬ ‫רק‬ ‫־‬ ‫הוקטורים‬ ‫שאר‬ ‫של‬ ‫לינארי‬ ‫צירוף‬ ‫שהוא‬
‫־‬ (a, b, c) :‫נציב‬ (1, 3, 4) ‫הפתרונות‬
‫שיופיע‬ ‫ומה‬ ,‫אפסים‬ ‫שורת‬ ‫לקבל‬ ‫ננסה‬


1 3 5 a
3 2 0 b
5 0 1 c


‫כאן‬ ‫שמופיע‬ ‫מה‬ ‫לא‬ ‫)זה‬ ‫למשל‬ ,‫התנאי‬ ‫זה‬ ‫הפתרונות‬ ‫בוקטור‬
:(‫המחשה‬ ‫לשם‬ ‫רק‬ ‫בראש‬ ‫שעולה‬ ‫משהו‬ ‫משהו‬ ‫אלא‬ ,‫בדוגמא‬
‫כזה‬ ‫וקטור‬ ‫ליצירת‬ ‫שהתנאי‬ ‫רואים‬ ‫אנחנו‬ ‫ומכאן‬ a − 2c = 0
‫הוקטור‬ ‫של‬ ‫הכללית‬ ‫הצורה‬ ,‫לכן‬ ,a = 2c ⇒ c = 1
2 a :‫הוא‬
.a, b ∈ R a, b, 1
2 a :‫הינה‬
‫שום‬ ‫אין‬ ‫־‬ ‫אזי‬ (‫תקינה‬ ‫)והמערכת‬ ‫אפסים‬ ‫שורת‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ‫אם‬
.(a, b, c) a, b, c ∈ R ‫־‬ ‫יתאים‬ ‫שנבחר‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫תנאי‬
A ‫מטריצה‬ ‫של‬ ‫האפס‬ ‫מרחב‬ ‫מציאת‬
:‫הבאה‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫דוגמא‬

1 2 0 1 3
2 1 1 −1 1
3 3 1 0 4


‫לפתור‬ ‫נצטרך‬ ‫המטריצה‬ ‫של‬ ‫האפס‬ ‫מרחב‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בשביל‬
‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫נדרג‬ ,A · ¯x = 0 ‫ההומוגנית‬ ‫המערכת‬ ‫את‬
:‫ונקבל‬

1 2 0 1 3 0
0 −3 1 −3 −5 0
0 0 0 0 0 0


‫שאר‬ ‫את‬ ‫ונמצא‬ ‫אותיות‬ ‫החופשיים‬ ‫למשתנים‬ ‫ניתן‬ ,‫כעת‬
:‫המשתנים‬
x5 = 3t
x4 = s
x3 = 3r
x2 =
−x3 + 3x4 + 5x5
3
= r − s − 5t
x1 = −2x2 − x4 − x5 = −2r + s + 7t
A · ¯x = ¯0 ‫המערכת‬ ‫של‬ ‫הפתרונות‬ ‫שוקטור‬ ‫מכך‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬
:‫הוא‬
S =









−2r + s + 7t
r − s − 5t
3r
5
3t






r, s, t ∈ R



:S‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫כללית‬ ‫צורה‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫מכאן‬
r






−2
1
3
0
0






+ s






1
−1
0
1
0






+ t






7
−5
0
0
3






‫ששלושת‬ ‫בבירור‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ .S ‫את‬ ‫יוצרים‬ ‫אלו‬ ‫וקטורים‬
.S‫ל־‬ ‫בסיס‬ ‫מהווים‬ ‫הם‬ ⇐ ‫בת"ל‬ ‫הנ"ל‬ ‫הוקטורים‬
.dim S = 3 ‫־‬ ‫וכמובן‬
‫מטריצה‬ ‫של‬ ‫העמודות‬ ‫ומרחב‬ ‫השורות‬ ‫למרחב‬ ‫בסיס‬
A
:‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬

1 −1 2 1
3 1 1 1
1 3 −3 −1


:‫ונקבל‬ ‫המטריצה‬ ‫את‬ ‫נדרג‬

1 −1 2 1
0 4 −5 −2
0 0 0 0


:‫הוא‬ ‫השורות‬ ‫למרחב‬ ‫שהבסיס‬ ‫מכאן‬
.dim A = 2 ,B = {(1, −1, 2, 1) , (0, 4, −5, 2)}
...‫תלויות‬ ‫שאינן‬ ‫שורות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫לבסיס‬ ‫אפשרויות‬ ‫אינוסף‬ ‫יש‬
‫נעשה‬ ‫שהפעם‬ ‫רק‬ ‫־‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫בדיוק‬ ‫־‬ ‫העמודות‬ ‫מרחב‬ ‫לגבי‬
:‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ ,‫המטריצה‬ ‫דירוג‬ ‫אחרי‬ .At
‫שורות‬ ‫על‬ ‫זה‬ ‫את‬



1 3 1
0 1 1
0 0 0
0 0 0




‫לבחירת‬ ‫אפשרויות‬ ‫אינסוף‬ ‫)יש‬ ‫־‬ B =





1
3
1

 ,


0
1
1





.(A ‫של‬ ‫בת"ל‬ ‫עמודות‬ ‫שתי‬ ,‫למשל‬ ,‫הבסיס‬
.dim B = 2
8

9. '‫א‬ ‫לינארית‬ ‫אלגברה‬ ‫־‬ ‫סיכום‬‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:‫מהאתר‬ ‫לקוח‬ ‫הסיכום‬
http: // www. letach. net
.‫נתאי‬ :‫ע"י‬ ‫נכתב‬
.(‫האתר‬ ‫)דרך‬ ‫בכך‬ ‫אותי‬ ‫תידעו‬ ‫אם‬ ‫אשמח‬ ?‫טעות‬ ‫נפלה‬ ?‫שגיאה‬ ‫מצאתם‬
9