This document discusses linear transformations and their matrix representations. It defines a linear transformation as a function between vector spaces that respects the underlying linear structure. The matrix of a linear transformation uniquely represents the transformation and maps vectors from the domain to the range by matrix multiplication. Several examples are provided of finding the matrix of linear transformations between Rn and Rm spaces based on their actions on the standard basis vectors.
For a system involving two variables (x and y), each linear equation determines a line on the xy-plane. Because a solution to a linear system must satisfy all of the equations, the solution set is the intersection of these lines, and is hence either a line, a single point, or the empty set
Cramer's rule is a method for solving systems of linear equations. It uses determinants to find the solutions for the variables. For two equations with two unknowns, the solutions are found as the ratio of two determinants. For three equations with three unknowns, Cramer's rule can also be applied by writing the solutions as ratios of determinants. Some examples are provided to demonstrate solving systems of two and three equations using Cramer's rule.
Μία ακόμα χρήσιμη συλλογή (λυμένων) ασκήσεων είναι κοντά μας.
Ευχαριστούμε τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου και Βαγγέλη Τόλη για την ευγενική διάθεση των ασκήσεων.
Αριθμός σελίδων: 26
Επιμέλεια λύσεων: Παύλος Τρύφων
**ευχαριστώ θερμά τον αγαπητό συνάδελφο κ. Ζαχαριάδη Δημήτριο για τις σημαντικές παρατηρήσεις του**
Kishan Kasundra presented on Cramer's rule for solving systems of equations. Cramer's rule uses determinants of coefficient matrices to find variables. It can be applied to systems with 2 or 3 equations. For 2 equations, the determinant of the original coefficient matrix and matrices with the coefficient columns replaced by the constants are calculated. The ratios of these determinants over the original give the variables. For 3 equations, a similar process is followed using a 3x3 coefficient matrix. An example showed applying Cramer's rule to solve a 2x2 system.
This document provides definitions and examples of different types of matrices including: real matrix, square matrix, row matrix, column matrix, null matrix, sub-matrix, diagonal matrix, scalar matrix, unit matrix, upper triangular matrix, lower triangular matrix, triangular matrix, single element matrix, equal matrices, singular and non-singular matrices. It also discusses elementary row and column transformations, rank of a matrix, solutions to homogeneous and non-homogeneous systems of linear equations, characteristic equations, eigenvectors and eigenvalues.
This document discusses determinants and Cramer's rule. It defines determinants as special numbers associated with square matrices. It provides examples of calculating determinants of 2x2 and 3x3 matrices by rewriting columns and multiplying diagonals. The document also introduces Cramer's rule as a method to solve linear systems using determinants, where the variable is replaced with constants in the coefficient matrix. Examples are given to demonstrate solving 2x2 and 3x3 systems using Cramer's rule.
This document discusses linear transformations and their matrix representations. It defines a linear transformation as a function between vector spaces that respects the underlying linear structure. The matrix of a linear transformation uniquely represents the transformation and maps vectors from the domain to the range by matrix multiplication. Several examples are provided of finding the matrix of linear transformations between Rn and Rm spaces based on their actions on the standard basis vectors.
For a system involving two variables (x and y), each linear equation determines a line on the xy-plane. Because a solution to a linear system must satisfy all of the equations, the solution set is the intersection of these lines, and is hence either a line, a single point, or the empty set
Cramer's rule is a method for solving systems of linear equations. It uses determinants to find the solutions for the variables. For two equations with two unknowns, the solutions are found as the ratio of two determinants. For three equations with three unknowns, Cramer's rule can also be applied by writing the solutions as ratios of determinants. Some examples are provided to demonstrate solving systems of two and three equations using Cramer's rule.
Μία ακόμα χρήσιμη συλλογή (λυμένων) ασκήσεων είναι κοντά μας.
Ευχαριστούμε τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου και Βαγγέλη Τόλη για την ευγενική διάθεση των ασκήσεων.
Αριθμός σελίδων: 26
Επιμέλεια λύσεων: Παύλος Τρύφων
**ευχαριστώ θερμά τον αγαπητό συνάδελφο κ. Ζαχαριάδη Δημήτριο για τις σημαντικές παρατηρήσεις του**
Kishan Kasundra presented on Cramer's rule for solving systems of equations. Cramer's rule uses determinants of coefficient matrices to find variables. It can be applied to systems with 2 or 3 equations. For 2 equations, the determinant of the original coefficient matrix and matrices with the coefficient columns replaced by the constants are calculated. The ratios of these determinants over the original give the variables. For 3 equations, a similar process is followed using a 3x3 coefficient matrix. An example showed applying Cramer's rule to solve a 2x2 system.
This document provides definitions and examples of different types of matrices including: real matrix, square matrix, row matrix, column matrix, null matrix, sub-matrix, diagonal matrix, scalar matrix, unit matrix, upper triangular matrix, lower triangular matrix, triangular matrix, single element matrix, equal matrices, singular and non-singular matrices. It also discusses elementary row and column transformations, rank of a matrix, solutions to homogeneous and non-homogeneous systems of linear equations, characteristic equations, eigenvectors and eigenvalues.
This document discusses determinants and Cramer's rule. It defines determinants as special numbers associated with square matrices. It provides examples of calculating determinants of 2x2 and 3x3 matrices by rewriting columns and multiplying diagonals. The document also introduces Cramer's rule as a method to solve linear systems using determinants, where the variable is replaced with constants in the coefficient matrix. Examples are given to demonstrate solving 2x2 and 3x3 systems using Cramer's rule.
12. 12
เอลิเมนต์ขนาด m02.0 เราจะได้โดเมนทีประกอบด้วย 5000 เอลิเมนต์ดังแสดงในรูป 1.7
จากนั#นทําการประยุกต์เงือนไขขอบโดยกําหนดให้อุณหภูมิทีขอบซ้าย ขอบขวา และขอบล่าง
เท่ากับ C0o
ส่วนขอบบนกําหนดให้มีค่าเท่ากับ C90o
ดังแสดงในรูป 1.8 ซึงขั#นตอนที 1 เป็น
ขั#นตอนของการเตรียมแบบจําลองไฟไนต์เอลิเมนต์จากปัญหาจริง (Pre-processing) เพือส่งต่อ
ให้กับตัววิเคราะห์ปัญหาต่อไป
รูป 1.8 การประยุกต์เงือนไขขอบ
ขั-นตอนที 2 จากนั#นข้อมูลทั#งหมดของแบบจําลองจะถูกส่งต่อให้กับโปรแกรมทีทําหน้าที
วิเคราะห์ปัญหา (solver) ซึงรายละเอียดทั#งหมดจะปรากฏในบทที 4 อีกครั#ง สําหรับขั#นตอน
โดยคร่าว ๆ ของการสร้างสมการไฟไนต์เอลิเมนต์สําหรับสมการ (1.2-1) เริมด้วยการประยุกต์
วิธีการถ่วงนํ#าหนักเศษตกค้างแบบกาเลอร์คินเข้ากับแต่ละเอลิเมนต์ด้วยการใช้ฟังก์ชันนํ#าหนัก
iW ทีมีค่าเท่ากับฟังก์ชันการประมาณของเอลิเมนต์ iN ดังนี#
02
2
2
2
=Ω
∂
∂
+
∂
∂
∫Ω
dt
y
T
x
T
Ne i (1.2-24)
และเมือประยุกต์ทฤษฎีบทกรีน-เกาส์ (Green-Gauss theorem) เข้ากับสมการ (1.2-24) เราจะได้
สมการทีมีอันดับลดลง ได้แก่
Ω
∂
∂
∂
∂
−Γ
∂
∂
=Ω
∂
∂
∫∫∫ ΩΓΩ
d
x
T
k
x
N
dn
x
T
kNd
x
T
kN eee
i
xii 2
2
(1.2-25)
Ω
∂
∂
∂
∂
−Γ
∂
∂
=Ω
∂
∂
∫∫∫ ΩΓΩ
d
y
T
k
y
N
dn
y
T
kNd
y
T
kN eee
i
yii 2
2
(1.2-26)
0.00E+000.00E+00
0.00E+00
0.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+00
0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
0.00E+00 0.00E+00
90.0.00E+0090.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.0.00E+00
13. 13
โดย e
Γ หมายถึง ขอบเอลิเมนต์ (element boundary) ส่วน xn และ yn หมายถึง องค์ประกอบ
ของเวกเตอร์ขนาดหนึงหน่วย (unit vector) ตั#งฉากกับขอบเอลิเมนต์ e
Γ ในทิศทางแกน x และ
y ตามลําดับ จากนั#นแทนค่าสมการทั#งสองลงใน (1.2-24) และจัดพจน์เสียใหม่ เราจะได้
0=Γ
∂
∂
+
∂
∂
−Ω
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∫∫ ΓΩ
dtn
y
T
n
x
T
Ndt
y
T
y
N
x
T
x
N
ee yxi
ii
(1.2-27)
สําหรับปัญหานี#ไม่มีการกําหนดฟลักซ์ความร้อนในทิศทางตั#งฉากกับขอบโดเมน
ดังนั#น พจน์สุดท้ายของสมการ (1.2-27) จึงเท่ากับศูนย์นันคือ
0=Ω
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∫Ω
dt
y
T
y
N
x
T
x
N
e
ii
(1.2-28)
ซึงเป็นสมการไฟไนต์เอลิเมนต์ของสมการ (1.2-1) สําหรับเอลิเมนต์รูปสามเหลียมเชิงเส้นตรง
และสมมติผลเฉลยแบบประมาณในรูปของฟังก์ชันการประมาณของเอลิเมนต์ เท่ากับ
e
i
ii
T
T
T
NNNTNT
NT=
== ∑
=
3
2
1
321
3
1 (1.2-29)
เมือแทนค่าสมการ (1.2-29) ลงในสมการ (1.2-28) เราสามารถแสดงสมการไฟไนต์เอลิเมนต์ใน
รูปแบบเมทริกซ์ ดังนี#
( ) 0TBBBB =Ω+∫Ω
e
y
T
yx
T
x dte (1.2-30)
หรือสามารถเขียนในรูปแบบกระชับได้ว่า
0TK =ee
c (1.2-31)
โดย
( )
+++
+++
+++
=
Ω+= ∫Ω
333323231313
323222221212
313121211111
4
ccbbccbbccbb
ccbbccbbccbb
ccbbccbbccbb
A
t
dte y
T
yx
T
x
e
c BBBBK
(1.2-32)
22. 22
เอกสารอ้างอิง
[1] Strikwerda, J. C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equation. Second
Edition. Philadelphia: SIAM, 2004.
[2] Hoffman, J. D. Numerical Methods for Engineers and Scientists. Second Edition. New
York: Marcel Dekker, 1992.
[3] LeVeque,R.J.FiniteVolumeMethodsforHyperbolicProblems.NewYork:Cambridge
University Press, 2004.
[4] Versteeg, H. K., and Malalasekera, W. An Introduction to Computational Fluid
Dynamics: The Finite Volume Method. Second Edition. UK: Prentice Hall, 2007.
[5] Zienkiewicz, O. C., and Taylor, R. L. The Finite Element Method Vol. 1: The Basis.
Fifth Edition. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.
[6] Dechaumphai, P. Finite Element Method: Fundamentals and Applications. Oxford:
Alpha Science International, 2010.
[7] Dechaumphai,P.,andPhongthanapanich,S.EasyFiniteElementMethodwithSoftware.
Oxford: Alpha Science International, 2009.
[8] http://www.ansys.com/Products
[9] http://www.altairhyperworks.com/#
[10] http://www.3ds.com/products-services/simulia/products/abaqus/latest-release/
[11] Shewchuck, J. R. An Introduction to the Conjugate Gradient Method without the
Agonizing Pain. Pittsburgh: Carnegie Mellon University, August 1994.
[12] Coad, P., and Yourdon, E. Object-Oriented Analysis. Second Edition. New Jersey:
Prentice Hall, 1991.
[13] Phongthanapanich, S., and Dechaumphai, P. EasyFEM - An Object-Oriented Graphics
Interface Finite Element/Finite Volume Software. Advances in Engineering Software.
Vol. 37. No. 12. 2006, pp. 797-804.
[14] Bejan, A. Heat Transfer. New York: John Wiley & Sons, 1993.
![บทที 1
บทนํา
นักวิทยาศาสตร์มีความพยายามทีจะอธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทีเกิดขึ#น ด้วยองค์
ความรู้ทางวิทยาการสมัยใหม่ โดยเริมต้นจากการสังเกต และสร้างสมการทางคณิตศาสตร์เพือ
ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทีเกียวข้อง ซึงเป็นทีมาของการเกิดหลักการทาง
ฟิสิกส์ทีสําคัญ เช่น หลักการอนุรักษ์มวล หลักการอนุรักษ์โมเมนตัม หรือหลักการอนุรักษ์
พลังงาน และได้นํามาสู่วิธีการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมมากมายภายใต้รูปแบบของสมการ
เชิงอนุพันธ์ย่อย แต่อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถประยุกต์การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเข้ากับ
ทุกกรณีของปัญหา เนืองจากข้อจํากัดในทางคณิตศาสตร์ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
การประยุกต์เงือนไขขอบทีอาจจะไม่สอดคล้องกับปัญหาจริง หรือโดเมนของปัญหาอาจมีความ
ซับซ้อนเกินไป เป็นต้น ดังนั#น การหาผลเฉลยแบบวิเคราะห์ (analytical solution) ทีสอดคล้อง
กับเงือนไขขอบทีซับซ้อนจึงเป็นเรืองทีกระทําได้ค่อนข้างยาก
ด้วยเหตุผลข้างต้นประกอบกับการทีในปัจจุบันวิศวกรมีความต้องการการออกแบบ
โครงสร้างทางวิศวกรรม หรือระบบการทํางานต่าง ๆ ทีประกอบด้วยชิ#นส่วนจํานวนมากทีผลิต
จากวัสดุหลากหลายชนิด และมีความซับซ้อน นักวิจัยจึงได้ทําการพัฒนาวิธีเชิงตัวเลข
(numerical method) เช่น วิธีผลต่างอันตะ (finite difference method) [1,2] วิธีไฟไนต์วอลุม
(finite volume method) [3,4] หรือวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (finite element method) [5,6] ขึ#นมา เพือ
ช่วยในการวิเคราะห์ปัญหา โดยทําให้เราทราบผลเฉลยแบบประมาณทีสามารถนํามาใช้ใน
การออกแบบเชิงวิศวกรรมต่อไป และเนืองจากการวิเคราะห์ปัญหาด้วยวิธีเชิงตัวเลขเหล่านี# มัก
ปรากฏในรูปแบบของการหาผลเฉลยของระบบสมการพีชคณิตขนาดใหญ่ ดังนั#น การพัฒนา
โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยงานวิศวกรรม (Computer Aided Engineering, CAE) จึงเป็นงานทีมี
ความสําคัญอย่างมาก ดังทีได้ปรากฏในลักษณะของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยงานวิศวกรรม](https://image.slidesharecdn.com/9789740336181-170704024233/85/9789740336181-1-320.jpg)
![2
เพือการศึกษา และเพือการใช้งานเชิงพาณิชย์ [7-10] จํานวนมากในปัจจุบัน หนังสือเล่มนี#มี
วัตถุประสงค์หลักเพืออธิบายแนวคิดและพื#นฐานทางคณิตศาสตร์ของการสร้างสมการไฟไนต์
เอลิเมนต์ด้วยวิธีการถ่วงนํ#าหนักเศษตกค้างแบบกาเลอร์คิน วิธีการวิเคราะห์ปัญหาทาง
วิศวกรรมทั#งในหนึงและสองมิติด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ โดยใช้เอลิเมนต์เชิงเส้นตรง (linear
element) และเอลิเมนต์ตัวแปรไร้จุดต่อ (nodeless variable element) ซึงเป็นเอลิเมนต์กําลังสูงที
สามารถให้ความแม่นของผลเฉลยทีใกล้เคียงกับเอลิเมนต์เชิงกําลังสอง แต่ใช้เวลาในการ
คํานวณน้อยกว่า เมือแก้ระบบสมการพีชคณิตด้วยการประยุกต์วิธีเกรเดียนต์สังยุคทีมีการปรับ
สภาพล่วงหน้า (preconditioned conjugate gradients, PCG) [11]
1.1 วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และการออกแบบโปรแกรมคอมพิวเตอร์
วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เป็นหนึงในวิธีเชิงตัวเลขทีเราสามารถนํามาใช้ในการหาผลเฉลย
แบบประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์สําหรับปัญหาต่าง ๆ โดยอาศัยแนวคิดหลักของการแบ่ง
โดเมนออกเป็นโดเมนย่อยทีไม่ทับซ้อนกัน เรียกว่า เอลิเมนต์ (element) จากนั#นจึงทําการสร้าง
สมการไฟไนต์เอลิเมนต์สําหรับแต่ละเอลิเมนต์ ซึงในการวิเคราะห์เราจะกําหนดให้ผลเฉลยของ
แต่ละเอลิเมนต์ถูกจัดเก็บเอาไว้ทีจุดต่อ (node) สุดท้ายเมือนําเอลิเมนต์ทั#งหมดมารวมกันเป็น
โดเมน หรือทีเรียกว่า ตาข่าย (mesh) ก็จะได้ระบบสมการพีชคณิตทีสามารถหาผลเฉลยได้โดย
ใช้วิธีเชิงตัวเลขทีเหมาะสม แต่เนืองจากผลเฉลยทีได้เป็นผลเฉลยแบบประมาณของสมการ
เชิงอนุพันธ์ ดังนั#น ความแม่นของผลเฉลยจึงสามารถขึ#นกับหลายปัจจัย โดยปัจจัยหลักทีมี
ผลกระทบสูงก็คือขนาดของเอลิเมนต์และฟังก์ชันการประมาณเอลิเมนต์ซึงเนื#อหาตั#งแต่บทที
3 เป็นต้นไป จะแสดงให้เห็นว่าการกําหนดขนาดของเอลิเมนต์ทีเหมาะสมกับแต่ละปัญหา จะมี
ผลต่อความแม่นและเวลาทีใช้ในการคํานวณ โดยถ้าหากเราแบ่งโดเมนด้วยเอลิเมนต์ขนาดเล็ก
ผลเฉลยทีได้จะมีความแม่นสูงแต่ต้องใช้เวลาในการคํานวณค่อนข้างมาก ในทางกลับกันถ้าหาก
เราแบ่งโดเมนด้วยเอลิเมนต์ขนาดโตกว่า ผลเฉลยทีได้จะมีความแม่นตําแต่สามารถคํานวณได้
อย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม เงือนไขในการกําหนดขนาดเอลิเมนต์ทีเหมาะสมกับปัญหาต่าง ๆ
ยังคงเป็นประเด็นทีต้องมีการวิจัยเพิมเติมในปัจจุบัน ซึงจะถูกกล่าวถึงอีกครั#งในบทที 10
รูป 1.1 แสดงตัวอย่างของเอลิเมนต์อย่างง่ายทีสามารถนํามาใช้ในการวิเคราะห์ปัญหา
ต่าง ๆ ในหนึง สอง และสามมิติ อันประกอบด้วยเอลิเมนต์เชิงเส้นตรงหนึงมิติ เอลิเมนต์](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)