1. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คู่มือประกอบสื่ อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
(เนือหาตอนที่ 5)
้
พีชคณิตของฟังก์ชัน
โดย
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่ อการสอนชุดนี้ เป็ นความร่ วมมือระหว่ าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย กับ
สํ านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืนฐาน (สพฐ.)
้
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่ อการสอน เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
สื่ อการสอน เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
ั ํ
1. บทนํา เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน
2. เนือหาตอนที่ 1 ความสั มพันธ์
้
- แผนภาพรวมเรื่ องความสัมพันธ์และฟังก์ชนั
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนือหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
้
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนือหาตอนที่ 3 อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
้
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชน ั
5. เนือหาตอนที่ 4 ฟังก์ ชันเบืองต้ น
้ ้
- ฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B
ั
- ฟังก์ชนทัวถึง
ั ่
- ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
6. เนือหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
้
- พีชคณิ ตของฟังก์ชนั
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชนพื้นฐาน
ั
7. เนือหาตอนที่ 6 อินเวอร์ สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส
้
- อินเวอร์สของฟังก์ชนละฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
- กราฟของฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั
8. เนือหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ
้
- ฟังก์ชนประกอบ
ั

3. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนประกอบ
ั
- สมบัติของฟังก์ชนประกอบ
ั
9. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 1)
้
10. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 2)
้
11. แบบฝึ กหัด (ขั้นสู ง)
12. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน
13. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
14. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง พีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน
16. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเลือนแกน
่
คณะผูจดทําหวังเป็ นอย่างยิงว่า สื่ อการสอนชุดนี้ จะเป็ นประโยชน์ต่อการเรี ยนการสอนสําหรับ
้ั ่
ครู และนักเรี ยนทุกโรงเรี ยนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรี ยนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่ อง ความสัมพันธ์
และฟั ง ก์ชัน นอกจากนี้ หากท่ านสนใจสื่ อ การสอนวิ ชาคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ นๆที่ ค ณะผูจ ัด ทํา ได้
้
ดําเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่ อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ท้ งหมด ั
่
ในตอนท้ายของคูมือฉบับนี้

4. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน
ั
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 5 (5/7)
หัวข้ อย่ อย 1. พีชคณิ ตของฟังก์ชน ั
2. ตัวอย่างของฟังก์ชนพื้นฐาน
ั
จุดประสงค์ การเรียนรู้
เพื่อให้ผเู ้ รี ยน
1. เข้าใจบทนิยามของการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชน ั
ั ํ
2. คํานวณผลของการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชนที่กาหนดมาให้ได้
3. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนลดและฟังก์ชนเพิ่ม
ั ั
4. ได้เห็นตัวอย่างฟังก์ชนพื้นฐานชนิดต่างๆ
ั
ผลการเรียนรู้ทคาดหวังี่
ผูเ้ รี ยนสามารถ
ั ํ
1. คํานวณผลของการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชนที่กาหนดมาให้ได้
่ ั ํ
2. ระบุได้วาช่วงใดในโดเมนของฟังก์ชนที่กาหนดทําให้ฟังก์ชนนั้นเป็ นฟังก์ชนลด และช่วงใดใน
ั ั
ั ํ
โดเมนของฟังก์ชนที่กาหนดทําให้ฟังก์ชนนั้นเป็ นฟังก์ชนเพิ่ม
ั ั
3. สามารถยกตัวอย่างฟังก์ชนพื้นฐานต่างๆ และวาดกราฟของฟังก์ชนพื้นฐานเหล่านั้นได้
ั ั

5. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนือหาในสื่ อ
้

6. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. พีชคณิตของฟังก์ ชัน

7. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้ยกตัวอย่างพีชคณิ ตของฟังก์ชนที่นกเรี ยนอาจได้ใช้ในชีวตประจําวันโดยไม่รู้ตว จากนั้นพยายาม
ั ั ิ ั
ยกตัวอย่างเพือชักจูงให้นกเรี ยนเห็นเงื่อนไขที่จาเป็ นในการนิยามการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชน โดยในที่น้ ี
่ ั ํ ั
กําลังพิจารณาการบวก

8. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่นกเรี ยนได้ขอสังเกตเกี่ยวกับเงื่อนไขในการนิยามการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชนแล้ว ในตอนนี้ได้
ั ้ ั
ให้บทนิยามของการดําเนินการทางพีชคณิ ตต่างๆ ของฟังก์ชน กล่าวคือ การบวก การลบ การคูณ และการหาร
ั
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู ควรยํ้าอีกครั้งว่าฟังก์ชนคือความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ดังนั้นแท้จริ งแล้วฟังก์ชนคือเซตของคู่อนดับ
ั ั ั
ดังนั้นการนําฟังก์ชนสองฟังก์ชนขึ้นไปมาดําเนินการทางพีชคณิ ต เช่น นํามาบวกกันนั้น จะดําเนินการกันเฉพาะ
ั ั
สมาชิกตัวหลังของคู่อนดับที่อยูในความสัมพันธ์เท่านั้น ในขณะที่สมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์มีหน้าที่บ่งบอกว่า
ั ่
จะหาผลการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชนนั้นๆ ได้หรื อไม่เท่านั้น ไม่ตองนํามาเกี่ยวข้องกับการดําเนินการแต่
ั ้
อย่างใด

9. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ั ั ํ
ในตอนนี้ได้ให้ตวอย่างในการคํานวณผลการดําเนินการทางพีชคณิ ตของฟังก์ชน ทั้งในกรณี ที่กาหนดฟังก์ชนมาให้
ั
แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไข
ํ
สําหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในตัวอย่างที่กาหนดให้ f = {(0,2), (1, 4), (2, 6), (3, 8)} และ
g ìæ 1 ö æ 0 ö æ 3 öï ìæ 1 ö
ï ü ï æ 1 öü
ï
g = {(0,1), (1, 0), (2, 3), (5, 7)} ่
นั้น จะได้วา = ïç0, ÷, ç1, ÷, ç2, ÷ï = ïç0, ÷, (1, 0), ç2, ÷ï
íç ÷ ç ÷ ç ÷ý íç ÷
ç ÷ ç 4 ÷ ç 6 ÷ï ïç 2 ÷
ç ÷ ç ÷ý
ç ÷ ÷ï
f ïç 2 ÷ è ø è øï ïè ø
ïè ø ÷ ÷ è 2 øï
î þ î þ
2
ั ํ
นอกจากนี้ยงมีปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในตัวอย่างอีกข้อหนึ่งที่กาหนดให้ f (x ) = 2
ในขณะที่เปลี่ยน
x -9
æ ö
ฟังก์ชน g เป็ น g(x ) =
ั x -5 จะได้วา ç f ÷(x ) =
่ ç ÷
ç ÷ ÷
2
แต่โดเมนของ f
จะเปลี่ยนเป็ น
çg ø
è 2
(x - 9) x - 5 g
(5, ¥)

10. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ั ่
เมื่อมาถึงจุดนี้ครู อาจยกตัวอย่างโดยใช้ฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนฝึ กหาผลการดําเนินการเชิง
ั
พีชคณิ ตของฟังก์ชนนั้นๆ พร้อมทั้งระบุโดเมนของผลการดําเนินการเหล่านั้นได้ นอกจากนี้ครู ยงอาจยกตัวอย่าง
ั ั
เหล่านี้เพิ่มเติมเพื่อให้นกเรี ยนชํานาญยิงขึ้น
ั ่
ตัวอย่ าง 1 กําหนดให้ f = {(1, 0), (2,1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} และ
f
g = {(-1, -2), (0, -1), (1, 2), (2, -3), (3, 4)} จงหา f + g, f - g, fg, และ g
g f
วิธีทา f
ํ + g = {(1, 0 + 2), (2,1 + (-3)), (3, 5 + 4)} = {(1, 2), (2, -2), (3, 9)}
f - g = {(1, 0 - 2), (2,1 - (-3)), (3, 5 - 4)} = {(1, -2), (2, 4), (3,1)}
fg = {(1,(0)(2)), (2,(1)(-3)), (3,(5)(4)} = {(1, 0), (2, -3), (3, 20)}
ìæ 0 ö æ 1 ö æ 5 öü ï
ï ì æ 1 ÷ æ 5 ÷ü
ö öï
f
= ïç1, ÷, ç2, ÷ ç ÷ï ï ï ç ç ï
íç ÷ ç
ç ø ÷ ç -3 ÷, ç3, 4 ÷ï = ï(1, 0), ç2, - 3 ÷, ç3, 4 ÷ý
÷ ç ÷ý í ç ÷ ç ÷ï
g ïèïç 2 ÷ è ÷ è ÷ï ï
ø øþ î è ÷ è ÷ï
ø øþ
î
g ìæ -3 ÷ æ 4 ÷ü ì
ïç ö öï ï æ 4 ÷ü
ç ÷ï
öï
= ïç2,
íç ÷ ç ÷ï ï
÷, ç3, 5 ÷ý = í(2, -3), ç3, 5 ÷ý
ç ç
f ïç 1 ÷ è ÷ï ï
ïè ø ï ï
øþ î è ÷ï ï
øþ
î
ตัวอย่ าง 2 กําหนดให้ f (x ) = 3-x และ g(x ) = -2+ | x - 4 | จงหา
æf ö æ ö
( f + g )(x ), ( f - g )(x ), ( fg )(x ), ç ÷ (x )
ç ÷
çg ÷ และ ç g ÷(x )
ç ÷
ç ÷
è ÷ø ÷
çf ø
è
พร้อมทั้งระบุโดเมนของแต่ละฟังก์ชนที่หามาได้
ั
ํ ่
วิธีทา จากโจทย์จะได้วา Df = (-¥, 3] และ Dg = นอกจากนี้ {x | f (x ) = 0} = {3} และ
่
{x | g(x ) = 0} = {2, 6} ดังนั้นจะได้วา
( f + g )(x ) = 3 - x - 2+ | x - 4 | โดยที่ Df +g = (-¥, 3]
(f - g )(x ) = 3 - x + 2- | x - 4 | โดยที่ Df -g = (-¥, 3]
(fg )(x ) = 3 - x (-2+ | x - 4 |) โดยที่ Dfg = (-¥, 3]
æf ö 3-x
ç ÷ (x ) =
ç ÷ โดยที่ D f = (-¥,2) È (2, 3]
çg ÷
è ÷ø -2+ | x - 4 | g

11. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
æg ÷
ö
ç ÷ (x ) = -2+ | x - 4 |
ç ÷ โดยที่ Dg = (-¥, 3)
çf ÷
è ø 3-x f
แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องพีชคณิตของฟังก์ชัน
่
1. กําหนดให้ f = {(-3, 2), (-2, -1), (-1, 0), (2,1), (4, 3)} และ g(x ) = | x + 1 | จงหา
f
f + g, f - g, fg, และ g
g f
æf ö
2. กําหนดให้ f (x ) = (x + 1)2 และ g(x ) = x -1 จงหา (f + g )(x ), ( f - g )(x ), ( fg )(x ), ç ÷ (x )
ç ÷
çg ÷
è ÷ø
æ ö
และ ç g ÷(x ) พร้อมทั้งระบุโดเมนของแต่ละฟังก์ชนที่หามาได้
ç ÷
ç ÷ ÷
ั
çf ø
è
3. กําหนดให้ f และ g เป็ นฟังก์ชนที่มีกราฟดังรู ป จงร่ างกราฟของ
ั f +g และ f - g
3.0 3.0
f
2.5 2.5
g
2.0 2.0
1.5 1.5
1.0 1.0
0.5 0.5
- 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
4. จงร่ างกราฟของ fg เมื่อกําหนดให้ f (x ) = -1 และ g เป็ นฟังก์ชนที่มีกราฟดังรู ป
ั
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1
-2
-3
f
5. กําหนดให้ f (x ) = x และ g(x ) = | x | +1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของ
g

12. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ตัวอย่ างของฟังก์ ชันพืนฐาน
้

13. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงแรกนี้ยงไม่ได้ยกตัวอย่างฟังก์ชนพื้นฐานต่างๆ ที่นกเรี ยนควรรู ้จก แต่ได้กล่าวถึงบทนิยามของฟังก์ชนเพิม และ
ั ั ั ั ั ่
ฟังก์ชนลด ซึ่งมีความสําคัญอย่างยิงในการแก้อสมการต่างๆ
ั ่

14. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนเพิม และฟังก์ชนลดแล้ว ในตอนนี้ได้ยกตัวอย่างต่างๆ เกี่ยวกับฟังก์ชนเพิม และ
ั ่ ั ั ่
ฟังก์ชนลด โดยให้นกเรี ยนได้ฝึกพิจารณาโดยวิธีเชิงพีชคณิ ต และโดยการวาดกราฟ
ั ั
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู ควรเน้นยํ้าว่า ฟังก์ชนหนึ่งๆ นั้นไม่จาเป็ นจะต้องเป็ นฟังก์ชนเพิ่ม หรื อฟังก์ชนลดเพียงอย่างเดียว
ั ํ ั ั
ตลอดทั้งโดเมน แต่อาจมีบางช่วงที่ฟังก์ชนนั้นเป็ นฟังก์ชนเพิ่ม และบางช่วงที่ฟังก์ชนนั้นเป็ นฟังก์ชนลด สําหรับ
ั ั ั ั
ฟังก์ชนที่ไม่เพิ่มและไม่ลดเลยนั้นจะเรี ยกว่าเป็ นฟังก์ชนคงที่ ยิงไปกว่านั้นการกํากับว่าฟังก์ชนนั้นๆ เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม
ั ั ่ ั ั
หรื อฟังก์ชนลดบนเซตใด มีความสําคัญเช่นกัน ให้นกเรี ยนพิจารณาฟังก์ชน f ที่มีกราฟดังรู ป
ั ั ั
1.0
0.5
-1 1 2 3
- 0.5
- 1.0

15. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จะเห็นว่า f เป็ นฟังก์ชนเพิ่มบนเซต (-¥,1) และ บนเซต (1, ¥) แต่ f ไม่เป็ นฟังก์ชนเพิ่มบน  (ทําไม) ซึ่งคือ
ั ั
โดเมนของ f (สังเกตว่า f ไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง) ในกรณี ที่ f เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม (หรื อฟังก์ชนลด) บนโดเมน
ั ั ั
ของฟังก์ชน f อาจกล่าวสั้นๆ ว่า f เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม (หรื อฟังก์ชนลด) เท่านั้น
ั ั ั
นอกจากนี้ในบางตําราอาจกําหนดนิยามในลักษณะดังนี้
สําหรับฟังก์ชน f ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจํานวนจริ ง และ A Ì Df จะได้วา
ั ่
1. f เป็ นฟังก์ชันเพิม บน A ก็ต่อเมื่อ สําหรับ x1 และ x 2 Î A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว f (x 1 ) £ f (x 2 )
่
2. f เป็ นฟังก์ชันลด บน A ก็ต่อเมื่อ สําหรับ x1 และ x 2 Î A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว f (x 1 ) ³ f (x 2 )
ในขณะที่สื่อชุดนี้ แท้จริ งแล้วกําหนดนิยามไว้ดงนี้ ั
สําหรับฟังก์ชน f ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจํานวนจริ ง และ A Ì Df จะได้วา
ั ่
1. f เป็ นฟังก์ชนไม่ลด (nondecreasing function) บน A ก็ต่อเมื่อ สําหรับ x1 และ x 2 Î A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว
ั
f (x 1 ) £ f (x 2 )
2. ฟังก์ชนไม่เพิ่ม (nondecreasing function) บน A ก็ต่อเมื่อ สําหรับ x1 และ x 2 Î A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว
ั
f (x 1 ) ³ f (x 2 )
3. ฟังก์ชนเพิ่ม หรื อฟังก์ชนเพิ่มโดยแท้ (increasing function หรื อ strictly increasing) บน A ก็ต่อเมื่อ สําหรับ x1 และ
ั ั
x 2 Î A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว f (x 1 ) < f (x 2 )
4. ฟังก์ชนลด หรื อฟังก์ชนลดโดยแท้ (decreasing function หรื อ strictly decreasing) บน A ก็ต่อเมื่อ สําหรับ x1 และ
ั ั
x 2 Î A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว f (x 1 ) > f (x 2 )
อีกทั้งในการตอบว่าช่วงใดเป็ นช่วงที่ฟังก์ชนเพิ่ม หรื อช่วงใดเป็ นช่วงที่ฟังก์ชนลด บางตําราอาจรวมจุดปลายช่วง (หาก
ั ั
่
จุดปลายช่วงนั้นอยูในโดเมนของฟังก์ชน) ในขณะที่บางตําราจะตอบเป็ นช่วงเปิ ดโดยไม่สนใจจุดปลายช่วงดังเช่นที่
ั
นักเรี ยนเห็นในสื่ อชุดนี้นนเอง ั่
ในช่วงนี้ครู ควรถามคําถามนําเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายในประเด็นเหล่านี้
ั
่ ่
1. สมมติวา f เป็ นฟังก์ชนเพิม (หรื อฟังก์ชนลด) และ f (x1 ) < f (x 2 ) แล้วสรุ ปได้หรื อไม่วา x1 < x 2 (หรื อ
ั ่ ั
x 1 > x 2 ) โดยให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ
ั

16. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. เมื่อนักเรี ยนอภิปรายและยกตัวอย่างกันไปพอสมควรแล้วน่าจะนํามาสู่ ขอสรุ ปว่า ถ้า f เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม (หรื อ
้ ั
ฟังก์ชนลด) แล้วสําหรับ x 1 Î Df และ x 2 Î Df ( x1 < x 2 ก็ต่อเมื่อ f (x1 ) < f (x 2 ) (หรื อ f (x1 ) > f (x 2 ) ))
ั
ั ั ั ํ
สมบัติน้ ีนาไปใช้ในการแก้อสมการของฟังก์ชนอื่นๆ ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง เช่น ฟังก์ชนเลขชี้กาลัง และฟังก์ชน
ํ ั
ั ํ
ลอการิ ทึม ซึ่งนักเรี ยนจะได้ศึกษารายละเอียดในสื่ อเรื่ องฟังก์ชนเลขชี้กาลังและฟังก์ชนลอการิ ทึม โดย อาจารย์เพ็ญ
ั
พรรณ และอาจารย์จิณดิษฐ์ นอกจากนี้นกเรี ยนที่มีความสนใจเป็ นพิเศษอาจสังเกตได้อีกว่า ถ้า f เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม
ั ั
(หรื อฟังก์ชนลด) แล้ว f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งบทพิสูจน์จะขอให้ไว้สาหรับนักเรี ยนที่สนใจ
ั ั ํ
่
พิสูจน์ กําหนดให้ f เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม ให้ x1 Î Df และ x 2 Î Df สมมติวา x1 ¹ x 2 โดยไม่เสี ยนัยทัวไป สมมติวา
ั ่ ่
ั ่
x 1 < x 2 เนื่ องจาก f เป็ นฟั งก์ชนเพิ่ม ทําให้ได้วา f (x1 ) < f (x 2 ) นันคือ f (x 1 ) ¹ f (x 2 ) เพราะว่าข้อความ ถ้า
่
่
x 1 ¹ x 2 แล้ว f (x 1 ) ¹ f (x 2 ) สมมูลกับข้อความ ถ้า f (x 1 ) = f (x 2 ) แล้ว x 1 = x 2 จึงสรุ ปได้วา f เป็ นฟั งก์ชน
ั
หนึ่งต่อหนึ่ง
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู ควรยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ
x
ตัวอย่ าง 3 กําหนดให้ f (x ) = จงหาช่วงที่ f เป็ นฟังก์ชนเพิม และช่วงที่ f เป็ นฟังก์ชนลด
ั ่ ั
4 - x2
x1 x2
ํ ่
วิธีทา ให้ x1 และ x 2 เป็ นสมาชิกของโดเมน f สมมติวา f (x1 ) < f (x 2 ) นันคือ
่ 2
< ซึ่งเมื่อย้าย
4-x 1
4 - x 22
4x 1 - x 1x 22 - 4x 2 + x 12x 2 (4 + x 1x 2 )(x 1 - x 2 )
ข้างและรวมเศษส่ วนจะได้ 2 2
= <0
(4 - x )(4 - x 2 )
1
(4 - x 12 )(4 - x 22 )
่
กรณี x1 < -2 และ x 2 < -2 จะได้วา x12 > 4 และ x 22 > 4 และ x1x 2 > 0 ดังนั้น x1 < x 2
่
กรณี -2 < x1, x 2 < 2 จะได้วา x12 < 4 และ x 22 < 4 และ -4 < x1x 2 < 4 ดังนั้น x1 < x 2
่
กรณี x1 > 2 และ x 2 > 2 ได้วา x12 > 4 และ x 22 > 4 และ x1x 2 > 0 ดังนั้น x1 < x 2
่
ทําให้ได้วา f เป็ นฟังก์ชนเพิมบนช่วง (-¥, -2), (-2,2) และ (2, ¥) และไม่มีช่วงที่ f เป็ นฟังก์ชนลด
ั ่ ั
ตัวอย่ าง 4 สมมติวา f และ g เป็ นฟังก์ชนเพิมทั้งคู่ (หรื อฟังก์ชนลดทั้งคู่) บนช่วง A Ì Df
่ ั ่ ั Ç Dg ที่ไม่ใช่เซตว่าง
แล้ว f + g จะเป็ นฟังก์ชนเพิ่มทั้งคู่ (หรื อฟังก์ชนลดทั้งคู่) บนช่วง A หรื อไม่
ั ั

17. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
่ ่
วิธีทา ให้ x1 Î A และ x 2 Î A สมมติวา x1 < x 2 จะได้วา f (x1 ) < f (x 2 ) และ g(x1 ) < g(x 2 ) ทําให้
ํ
่ ั ่ ่
(f + g )(x 1 ) = f (x1 ) + g(x1 ) < f (x 2 ) + g(x 2 ) = (f + g )(x 2 ) นันคือ f + g เป็ นฟังก์ชนเพิมทั้งคูบนช่วง A
หมายเหตุ ในที่น้ ีแสดงให้ดูเฉพาะกรณี ที่ f และ g เป็ นฟังก์ชนเพิ่มทั้งคู่ ส่ วนในกรณี ที่ f และ g เป็ นฟังก์ชนลดทั้ง
ั ั
คู่ ขอให้นกเรี ยนช่วยกันทําเป็ นแบบฝึ กหัด
ั

18. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้กล่าวถึงนิยามของฟังก์ชนเชิงเส้นในรู ป f (x ) = ax + b เมื่อ a และ b เป็ นจํานวนจริ งใดๆ
ั
สําหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่ อนั้น จะเห็นว่าแบ่งออกเป็ นสามกรณี ได้ดงนี้ ั
กรณี a > 0 ให้ x1 และ x 2 เป็ นจํานวนจริ งใดๆ ที่ x 1 < x 2 เนื่องจาก a > 0 จะได้วา ่
่
f (x 1 ) = ax 1 + b < ax 2 + b = f (x 2 ) ทําให้ได้วา เมื่อ a > 0 ฟั งก์ชนเชิงเส้น f (x ) = ax + b เป็ นฟั งก์ชนเพิ่ม
ั ั
กรณี a < 0 ให้ x1 และ x 2 เป็ นจํานวนจริ งใดๆ ที่ x 1 < x 2 เนื่องจาก a < 0 จะได้วา ่
่
f (x 1 ) = ax 1 + b > ax 2 + b = f (x 2 ) ทําให้ได้วา เมื่อ a < 0 ฟั งก์ชนเชิงเส้น f (x ) = ax + b เป็ นฟั งก์ชนลด
ั ั
่ ่
กรณี a = 0 จะได้วาฟังก์ชนเชิงเส้นอยูในรู ป f (x ) = b ซึ่งเป็ นฟังก์ชนคงที่
ั ั
สําหรับฟังก์ชนเชิงเส้น f (x ) = ax + b จะเรี ยก a ว่าความชันของกราฟ (ที่เป็ นเส้นตรง) ของฟังก์ชนนี้ และเรี ยก b
ั ั
ว่าระยะตัดแกน y

19. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจให้นกเรี ยนร่ างกราฟของฟังก์ชนเชิงเส้นเมื่อ a และ b มีเงื่อนไขต่างๆ กัน กล่าวคือ
ั ั
1. a > 0 และ b > 0
2. a > 0 และ b < 0
3. a < 0 และ b < 0
4. a = 0 และ b < 0
นอกจากนี้ยงอาจถามในทํานองกลับกัน กล่าวคือกําหนดกราฟเส้นตรงมาให้แล้วให้นกเรี ยนช่วยกันระบุเครื่ องหมาย
ั ั
ของ a และ b

20. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้กล่าวถึงฟังก์ชนกําลังสองในรู ป f (x ) = ax 2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็ นจํานวนจริ งที่ a ¹ 0
ั
แม้วานักเรี ยนจะได้เรี ยนเกี่ยวกับพาราโบลาซึ่งเป็ นกราฟของสมการกําลังสองมาแล้วในระดับมัธยมศึกษา
่
ตอนต้นแล้วครู ควรยํ้าอีกครั้งว่า เนื่องจาก
æ æ ö æ ö
2
æ öö
2
÷ æ ö
2
ç 2
çx + 2x ç b ÷ + ç b ÷ + c - ç b ÷ ÷ = a çx + b ÷ + c - b
2
aç ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç ÷
ç
ç
è è 2a ø è 2a ÷
÷ ø a ç 2a ÷ ÷
è ÷÷ø÷ø
ç
è
÷
2a ÷
ø 4a
æ b 2 ö
่
ทําให้ได้วาจุดยอดของพาราโบลาคือ ç ç- , c - b ÷ จุดยอดนี้ อาจเรี ยกว่า จุดวกกลับของพาราโบลา ซึ่ งใน
÷
ç 2a ÷
ç
è 4a ÷ø
æ ö 2
กรณี ที่ a > 0 จะได้วาจุดวกกลับนี้เป็ นจุดตํ่าสุ ดของฟังก์ชน และค่าตํ่าสุ ดของฟังก์ชนคือ f ç- b ÷ = c - b
่ ั ั ç ÷
ç 2a ÷
è ÷
ø 4a
่
ในขณะที่เมื่อ a < 0 จะได้วาจุดวกกลับนี้เป็ นจุดสู งสุ ดของฟังก์ชน และค่าสูงสุ ดของฟังก์ชนคือ
ั ั

21. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
æ b ö 2
ç- ÷ = c - b
fç ÷
ç 2a ÷
÷
เช่นกัน นอกจากนี้กราฟของพาราโบลายังมีเส้นตรง x = - b เป็ นแกนสมมาตรอีก
è ø 4a 2a
ด้วย
่
สําหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่ อนั้นจะได้วา
æ ö
กรณี a > 0 ฟังก์ชนกําลังสองจะเป็ นฟังก์ชนลดบนช่วง ç-¥, - b ÷ และเป็ นฟังก์ชนเพิมบนช่วง
ั ั ç
ç
÷
÷
÷
ั ่
ç
è 2a ø
æ b ö
÷
ç
ç- , ¥÷
÷
ç 2a
è ÷
ø
æ ö
กรณี a < 0 ฟังก์ชนกําลังสองจะเป็ นฟังก์ชนเพิมบนช่วง ç-¥, - b ÷ และเป็ นฟังก์ชนลดบนช่วง
ั ั ่ ç
ç
÷
÷
÷
ั
ç
è 2a ø
æ b ö
÷
ç
ç- , ¥÷
÷
ç 2a
è ÷
ø
ครู ควรให้นกเรี ยนสังเกตต่อว่าจุดตัดแกน X ของฟังก์ชนกําลังสองคือคําตอบที่เป็ นจํานวนจริ งของสมการ
ั ั
ax 2 + bx + c = 0 นันเอง กล่าวคือถ้า (A, 0) และ (B, 0) เป็ นจุดตัดแกน X ทั้งสองจุดของฟั งก์ชนกําลัง
่ ั
่
สองแล้วจะได้วา ax 2 + bx + c = a(x - A)(x - B ) ในขณะที่ถามีจุดตัดแกน X เพียงจุดเดียว หรื อกราฟ
้
่
ของฟังก์ชนกําลังสองแตะแกน X ที่จุด (A, 0) แล้วจะได้วา ax 2 + bx + c = a(x - A)2 และสําหรับกราฟ
ั
ั ั ่
ของฟังก์ชนกําลังสองที่ไม่ตดแกน X จะได้วาสําหรับจํานวนจริ ง x ใดๆ ax 2 + bx + c > 0 หรื อ
ax 2 + bx + c < 0 อย่างใดอย่างหนึ่ งอย่างเดียวเท่านั้น นันหมายความว่าสมการ ax 2 + bx + c = 0 ไม่มี
่
คําตอบที่เป็ นจํานวนจริ ง หรื อ b 2 - 4ac < 0 นันเอง ประเด็นอีกประเด็นหนึ่งที่สาคัญคือถ้า (A, 0) และ
่ ํ
่
(B, 0) เป็ นจุดตัดแกน X ทั้งสองจุดของฟั งก์ชนกําลังสองแล้วจะได้วาจุดยอดหรื อจุดวกกลับ (ซึ่ งอาจเป็ น
ั
จุดสู งสุ ดหรื อจุดตํ่าสุ ด) นั้นจะอยูที่จุดซึ่ง x = A + B ซึ่งอยูตรงกลางระหว่าง x = A และ x = B
่ ่
2
เมื่อมาถึงตรงนี้ครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิมเติม
่
æ 10 ö
÷
ตัวอย่ าง 5 กําหนดให้ f (x ) = -x 2 + 4x - 10 สรุ ปได้หรื อไม่วา f ç
่ ç ç
÷ < -6
÷
ç 3÷
ç
è ÷
ø

22. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4
ํ ่
วิธีทา เนื่องจาก a = -1 < 0 ดังนั้นฟังก์ชนนี้มีจุดสู งสุดอยูที่ x = -
ั = 2 และค่าสู งสุ ดของฟั งก์ชน
ั
2(-1)
42 10 æ 10 ö
÷
คือ -10 - = -6 และเพราะว่า ¹2 ่ ç
ทําให้ได้วา f ç
ç ÷ < -6
÷
÷
4(-1) 3 ç
ç
è 3ø÷
หมายเหตุ สําหรับตัวอย่างข้อนี้ ถ้านักเรี ยนแทนค่า x ลงในสูตรของ f (x ) โดยตรงอาจเปรี ยบเทียบลําบาก
ตัวอย่ าง 6 กําหนดให้กราฟของฟังก์ชน f (x ) = -x 2 + 2x + 8 เป็ นรู ปพาราโบลาที่ตดแกน X ที่จุด A และ
ั ั
B จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ C คือจุดวกกลับของพาราโบลานี้
วิธีทา เนื่องจาก f (x ) = -x 2 + 2x + 8 = -(x - 4)(x + 2) ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ A = (-2, 0) และ
ํ
æ 2 ö
ç- 2 , 8 - 2 ÷ = (1, 9)
B = (4, 0) ตามลําดับ สําหรับจุดวกกลับคือ C = ç
ç ÷ ดังนั้นพื้นที่รูป
÷
ç 2(-1)
è 4(-1)÷
ø
1
สามเหลี่ยม ABC = (4 - (-2))(9) = 27 ตารางหน่วย
2

23. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์ในรู ป f (x ) = a | x - b | +c เมื่อ a, b และ c เป็ นจํานวนจริ งที่ a ¹ 0
ั
จากรู ปของกราฟฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์จะเห็นว่า กราฟนี้มีเส้นตรง x = b เป็ นแกนสมมาตร และในกรณี ที่ a > 0
ั
่ ่
จะได้วากราฟของฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์มีจุดตํ่าสุ ดอยูที่จุด (b, c) และค่าตํ่าสุ ดของฟังก์ชนคือ f (b) = c ในขณะที่
ั ั
่ ่
ถ้า a < 0 จะได้วากราฟของฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์มีจุดสูงสุ ดอยูที่จุด (b, c) และค่าสู งสุ ดของฟังก์ชนคือ
ั ั
f (b) = c
สําหรับประเด็นที่ทิ้งไว้ให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายในสื่ อนั้นคือค่าของจํานวนจริ ง a มีผลอย่างไรกับลักษณะ
ั
กราฟของฟังก์ชนนี้ นักเรี ยนอาจทําได้โดยลงรอยทางเดินของจุดของฟังก์ชนเหล่านี้
ั ั
1
f1(x ) = | x |, f2 (x ) = 2 | x | และ f3 (x ) = | x | บนระนาบ XY เดียวกัน ซึ่งนักเรี ยนจะได้กราฟดังรู ป
2

24. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
f2
3.0
2.5
2.0
f1
1.5
f3
1.0
0.5
- 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5
่
จากกราฟที่ได้พอจะสรุ ปได้วา ถ้า a = 1 แขนของตัว V ที่เป็ นรู ปกราฟของฟังก์ชนนี้จะทํามุม 45 กับแกน
ั
X ในขณะที่ถา a > 1 มุมระหว่างแขนของตัว V ที่เป็ นรู ปกราฟของฟั งก์ชนนี้ จะทํามุมมากกว่า 45 กับแกน
้ ั
X ขึ้นไปเรื่ อยๆ สําหรับกรณี ที่ 0 < a < 1 มุมระหว่างแขนของตัว V ที่เป็ นรู ปกราฟของฟั งก์ชนนี้ จะทํามุม
ั
น้อยกว่า 45 กับแกน X ลงมาเรื่ อยๆ ดังนั้นสัมประสิ ทธิ์ a จะมีผลต่อความกว้างและความแคบของขาของตัว
V ที่เป็ นรู ปกราฟของฟั งก์ชนนี้ นนเอง ส่ วนในกรณี ที่ a < 0 นั้น จะสามารถพิจารณาได้ในทํานองเดียวกัน
ั ั่
กล่าวคือแยกเป็ นกรณี ที่ -1 < a < 0 และ กรณี ที่ a < -1 อันที่จริ งแล้ว ถ้าให้ q เป็ นมุมที่แขนของตัว V
่
ทํากับแกน X จะได้วา tan q = a
ปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่ อนั้นจะได้วา ่
กรณี a > 0 ฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์จะเป็ นฟังก์ชนลดบนช่วง (-¥,b) แล้วเป็ นฟังก์ชนเพิมบนช่วง (b, ¥)
ั ั ั ่
กรณี a < 0 ฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์จะเป็ นฟังก์ชนเพิมบนช่วง (-¥,b) แล้วเป็ นฟังก์ชนลดบนช่วง (b, ¥)
ั ั ่ ั
เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจให้นกเรี ยนร่ างกราฟของฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์เมื่อ a, b และ c มีเงื่อนไขต่างๆ กัน เช่น
ั ั
1. a > 0, b > 0 และ c > 0
2. a > 0, b > 0 และ c < 0
3. a > 0, b < 0 และ c > 0
4. a > 0, b < 0 และ c < 0
เป็ นต้น

25. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนี้ยงอาจถามในทํานองกลับกัน กล่าวคือกําหนดกราฟของฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์มาให้แล้วให้นกเรี ยนช่วยกัน
ั ั ั
ระบุเครื่ องหมายของ a, b และ c
่
ในตอนนี้ได้กล่าวถึงฟังก์ชนพหุ นามดีกรี n ที่อยูในรู ป
ั
f (x ) = an x n + an -1x n -1 + an-2x n -2 + ... + a2x 2 + a1x + a 0
เมื่อ ai Î  ทุก i Î  È {0} และ an ¹ 0
ในระดับนี้นกเรี ยนควรจะวาดกราฟของฟังก์ชนพหุนามดีกรี สามรู ปแบบหนึ่งคือ f (x ) = ax 3 เมื่อ a เป็ น
ั ั
จํานวนจริ งที่ไม่ใช่ 0 เหมือนเช่นที่ยกตัวอย่างไว้ในสื่ อนี้ได้ สําหรับประเด็นที่ทิ้งไว้ให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปราย
ั
นั้นจะเห็นว่า ในกรณี ที่ a > 0 ฟังก์ชน f (x ) = ax 3 จะเป็ นฟังก์ชนเพิ่มบนเซตของจํานวนจริ ง แต่ในกรณี ที่
ั ั
a < 0 ฟั งก์ชน f (x ) = ax 3 จะเป็ นฟั งก์ชนลดบนเซตของจํานวนจริ ง
ั ั

26. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้แนะนําให้นกเรี ยนรู ้จกฟังก์ชนขั้นบันได ซึ่งเป็ นฟังก์ชนที่มีค่าคงที่เป็ นช่วงๆ ทั้งนี้ความยาวของแต่ละช่วง
ั ั ั ั
ที่ค่าของฟังก์ชนแตกต่างกันนั้นไม่จาเป็ นต้องยาวเท่ากัน ตลอดจนค่าของฟังก์ชนในช่วงที่อยูติดกันอาจมีค่าเพิ่มขึ้น
ั ํ ั ่
หรื อลดลงก็ได้
ì 0; 0 £ x £ 1
ï
ï
ï
ï 4; 1 < x £ 2
ï
่
จากกราฟในสื่ อนี้จะได้วา f (x ) = ï
í
ï6; 2 < x £ 3
ï
ï
ï8; 3 < x £ 4
ï
ï
î
ในบางครั้งจํานวนขั้นบันไดอาจมีมากมายไม่จากัด เช่น
ํ
่
ตัวอย่ าง 7 กําหนดให้ f (x ) = จํานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอยกว่าหรื อเท่ากับ x จะได้วาสําหรับจํานวนเต็ม n ใดๆ ถ้า
้
ì
ï 
ï
ï
ï-1; - 1 £ x £ 0
ï
ï
ï
n £ x < n + 1 แล้ว f (x ) = n ซึ่งสามารถเขียนได้ในรู ป f (x ) = í 0; 0 £ x < 1
ï
ï 1; 1 £ x < 2
ï
ï
ï
ï
ï 
ï
î
ฟังก์ชนขั้นบันไดที่สาคัญฟังก์ชนหนึ่งซึ่งได้กล่าวถึงไว้ในบทนําเรื่ องความสัมพันธ์และฟังก์ชนโดยอาจารย์จิณดิษฐ์น้ น
ั ํ ั ั ั
ั ั ํ
คือฟังก์ชนขั้นบันไดหนึ่งหน่วย (unit-step function) หรื อฟังก์ชนเฮวีไซด์ (Heaviside function) ที่กาหนดโดย
ì1; x > c
ï
u(x - c) = ï
í ซึ่งบางครั้งอาจใช้สญลักษณ์ uc (x ) และที่จุด x = c ในตําราบางเล่มอาจกําหนดให้
ั
ï0; x < c
ï
î

27. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
u(c) = 0 ํ
หรื อ u(c) = 1 หรื ออาจไม่ได้กาหนดค่าของฟังก์ชนที่จุดนี้ไว้เลย และโดยส่ วนใหญ่จะมีเงื่อนไขว่า
ั
c³0
ผลการดําเนินการเชิงพีชคณิ ตระหว่างฟังก์ชนขั้นบันไดหนึ่งหน่วยโดยเฉพาะการบวกและการลบ มีความสําคัญในการ
ั
ประยุกต์ทางคณิ ตศาสตร์ช้ นสูงต่อไป
ั
ตัวอย่ าง 8 จงหา u1(x ) - u3 (x ) พร้อมทั้งวาดกราฟของผลลบที่ได้
ì 1 - 1;
ï x > 3 ì0;ï x>3
ì ì
ï1; x > 1 ï1; x > 3 ï
ï ï
ï ï
ï
วิธีทา
ํ u1(x ) - u 3 (x ) = ï
í -í = í1 - 0; 1 < x < 3 = ï1; 1 < x < 3
í ซึ่งมีกราฟดังรู ป
ï0; x < 1 ï0; x < 3 ï
ï ï ï 0 - 0; ï
î î ï
ï x < 1 ï 0;
ï
ï x <1
î î
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1 1 2 3 4 5

28. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้กล่าวถึงฟังก์ชนที่นิยามเป็ นช่วงๆ กล่าวคือค่าของฟังก์ชนกําหนดด้วยสูตรที่ต่างกันบนช่วงที่เป็ นสับเซต
ั ั
ั ่
ของโดเมนต่างๆ กัน ในบางครั้งอาจเรี ยกว่าฟังก์ชนแยกตอน นักเรี ยนน่าจะพอสังเกตได้วาฟังก์ชนขั้นบันไดเป็ น
ั
ฟังก์ชนที่นิยามเป็ นช่วงๆ แบบหนึ่งโดยค่าของฟังก์ชนเป็ นค่าคงที่ที่ต่างกันไปในแต่ละช่วง
ั ั
ì2x 2 + 3x + 1; x < -2
ï
ï
ï
สําหรับตัวอย่างของฟังก์ชนที่ยกไว้ในสื่ อคือ
ั f (x ) = ï 4x + 1; - 2 £ x < 4
í นั้นจะมีกราฟเป็ นดังรู ป
ï 3
ïx + x + 1;
ï
ï x ³4
î
200
150
100
50
4 - 2- 2 4 6
่ ั
สังเกตว่าจุดปลายของกราฟในแต่ละช่วงอาจเป็ นจุดทึบหรื อจุดโปร่ งขึ้นอยูกบว่าช่วงนั้นๆ รวมจุดปลายหรื อไม่นนเอง
ั่
สําหรับฟังก์ชนที่นิยามเป็ นช่วงๆ นั้นนักเรี ยนอาจลืมไปว่าได้คุนเคยกับฟังก์ชนลักษณะนี้มาก่อนแล้ว นันคือฟังก์ชนที่
ั ้ ั ่ ั
ìx ; x ³ 0
ï
มีค่าสัมบูรณ์มาเกี่ยวข้อง เช่น f (x ) = | x | = ï
í
ï-x ; x < 0
ï
î