Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat logaritma, meliputi definisi logaritma, tabel logaritma, dan empat sifat utama logaritma yaitu sifat perkalian, sifat pembagian, sifat eksponen, dan sifat akar.

1. SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi logaritma.
2. Dapat menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel logaritma.
3. Memahami sifat-sifat logaritma.
4. Dapat mengaplikasikan sifat-sifat logaritma dalam penyelesaian masalah.
A. Definisi Logaritma
Logaritmamerupakankebalikandariperpangkatan.Secaraumum,logaritmadidefinisikan
sebagai berikut.
Misalkan a, b, c ∈ R, a > 0, a ≠ 1, dan c > 0, berlaku a
log c = b jika dan hanya jika ab
= c.
ab
= c ↔ a
log c = b
a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1)
c disebut numerus (c > 0)
b disebut hasil logaritma
matematika PEMINATAN
KelasX
K-13

2. 2
Contoh Soal 1
Ubahlah bentuk eksponen berikut ke dalam bentuk logaritma!
a. 32
= 9
b. 25
= 32
c. 5 =
1
5
1−
d. 1
2
=
1
8
3






e. 50
= 1
Pembahasan:
Berdasarkan definisi logaritma, ab
= c ↔ a
log c = b, diperoleh:
a. 32
= 9 ↔ 3
log 9 = 2
b. 25
= 32 ↔ 2
log 32 = 5
c. 5 =
1
5
log
1
5
= 11 5−
↔ −
d.
1
2
=
1
8
log
1
8
= 3
3 1
2




 ↔
e. 50
= 1 ↔ 5
log 1 = 0
Catatan penting:
Hasil logaritma adalah pangkat dari basis
Contoh Soal 2
Tentukan nilai logaritma berikut!
a. 2
log 8
b. 3
log 81
c. 4
log
1
16
d. 6
log 1
e.
1
3
log9

3. 3
Pembahasan:
a. Misal 2
log 8 = x.
Berdasarkan definisi logaritma, ab
= c ↔ a
log c = b, diperoleh:
2
log 8 = x ↔ 2x
= 8
2x
= 23
x = 3
Jadi, 2
log 8 = 3.
b. Misal 3
log 81 = x.
Berdasarkan definisi logaritma, ab
= c ↔ a
log c = b, diperoleh:
3
log 81 = x ↔ 3x
= 81
3x
= 34
x = 4
Jadi, 3
log 81 = 4.
c. Misal 4
log
1
16
= y.
Berdasarkan definisi logaritma, ab
= c ↔ a
log c = b, diperoleh:
4
log
1
16
= y ↔ 4y
=
1
16
4y
= 4–2
y= –2
Jadi, 4
log
1
16
= –2.
d. Misal 6
log 1 = p.
Berdasarkan definisi logaritma, ab
= c ↔ a
log c = b, diperoleh:
6
log 1 = p ↔ 6p
= 1
6p
= 60
p = 0
Jadi, 6
log 1 = 0.
e. Misal
1
3
log9 = x.
Berdasarkan definisi logaritma, ab
= c ↔ a
log c = b, diperoleh:
1
3
log9 =
1
3
= 9x
x
↔






3 = 3
= 2
= 2
2−
−
−
x
x
x
Jadi,
1
3
log9 = –2.

4. 4
Catatan penting:
1. Basis 10 biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10
log x = log x.
2. Menentukan nilai logaritma tidak selalu kembali kepada definisi logaritma.
Contoh Soal 3
Tentukan nilai logaritma berikut!
a. log 100
b. log
1
10
c. 2 5
log
1
4
+ log 125
Pembahasan:
a. log 100 = 10
log 100
= 10
log 102 pangkat basis
= 2
Jadi, log 100 = 2.
b. log
1
10
= log1010
1
2
− pangkat basis
=
1
2
−
Jadi, log
1
10
=
1
2
− .
c. 2 5 2 -2 5
3
2
log
1
4
+ log 125 = log2 + log5
= 2 +
3
2
=
1
2
−
−
Jadi, 2 5
log
1
4
+ log 125 =
1
2
−

5. 5
B. Tabel Logaritma
Logaritma dapat digunakan untuk memudahkan operasi perkalian. Perhatikan contoh
berikut.
10.000 × 10.000.000 = 100.000.000.000
104
× 107
= 1011
Hasil perkalian tersebut diperoleh dengan menjumlahkan banyak angka nol pada
masing-masing bilangan. Dari sinilah muncul sebuah ide bagaimana cara mengubah
bentuk perkalian menjadi penjumlahan, karena operasi penjumlahan lebih mudah
diselesaikan. Berdasarkan ide tersebut, John Napier berhasil menyusun tabel logaritma
dengan basis 10. Tabel ini dapat digunakan untuk memudahkan proses perkalian.
Gambar 1. Contoh Tabel Logaritma
Misalkankitainginmenentukanhasilperkalian1,35×2,17dengantabellogaritma.Mula-
mula, tentukan nilai-nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai tersebut.
Gambar 2. Contoh Tabel Logaritma

6. 6
Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar 2, 1,35 berkorespondensi dengan 0,1303
dan 2,17 berkorespondensi dengan 0,3365. Dengan demikian, diperoleh:
1,35 × 2,17 ≡ 0,1303 + 0,3365
≡ 0,4668
Selanjutnya,tentukannilaipadatabellogaritmayangberkorespondensidengannilai
tersebut.BerdasarkantabellogaritmapadaGambar3berikutini,0,4668berkorespondensi
dengan 2,93.
Gambar 3. Contoh Tabel Logaritma
Jadi, nilai 1,35 × 2,17 ≈ 2,93.
Contoh Soal 4
Tentukan nilai logaritma berikut!
a. log 2
b. log 3
c. log 11
Pembahasan:
Berdasarkan tabel logaritma, diperoleh:
a. log 2 = 0,3010

7. 7
b. log 3 = 0,4771
c. log 11 = 1,0414
C. Sifat-Sifat Logaritma
Sifat 1: a
log xy = a
log x + a
log y
Pembuktian:
Misal a
log x = m → am
= x atau x = am
a n n
a a m n
a m n
a
y n a y y a
xy a a
a a
log = = atau =
log = log .
= log .
= log
→
aa
m+ n
x y terbukti
m+n
a a
=
= log + log ( )
pangkat basis
Contoh Soal 5
Misal 2
log 3 = m, 2
log 5 = n, dan 2
log 7 = p. Tentukan nilai:
a. 2
log 15
b. 2
log 21
c. 2
log 105
Pembahasan:
Berdasarkan sifat 1, a
log xy = a
log x + a
log y, diperoleh:
a. 2
log 15 = 2
log (3 × 5)
= 2
log 3 + 2
log 5
= m + n
Jadi, 2
log 15 = m + n.
b. 2
log 21 = 2
log (3 × 7)
= 2
log 3 + 2
log 7
= m + p
Jadi, 2
log 21 = m + p.
c. 2
log 105 = 2
log (3 × 5 × 7)
= 2
log 3 + 2
log 5 + 2
log 7
= m + n + p
Jadi, 2
log 105 = m + n + p.

8. 8
Contoh Soal 6
Sederhanakan bentuk berikut!
3
2 3
5 4
3
2 5
2 4
log + log
a bc
pq r
p qr
ab c
Pembahasan:
Berdasarkan sifat 1, a
log xy = a
log x + a
log y, diperoleh:
3
2 3
5 4
3
2 5
2 4
3
2 3 2 5
5 4 2
log + log = log
.
.
a bc
pq r
p qr
ab c
a bc p qr
pq r ab c44
3
4
= log
. .
a.p.r
q b c
Jadi, 3
2 3
5 4
3
2 5
2 4
3
4
log + log = log
. .
a bc
pq r
p qr
ab c
a.p.r
q b c
Sifat 2:
a a ax
y
x ylog = log log−
Pembuktian:
Misal a
log x = m ↔ x = am
a
log y = n ↔ y = an
Contoh Soal 7
Nilai log 2 = 0,3010. Tanpa menggunakan tabel logaritma, hitunglah nilai log 5!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat 2,
a a ax
y
x ylog = log log− , diperoleh:
a a
m
n
a m n
a a
x
y
a
a
a
m n
x y terbukti
log = log
= log
=
= log log
−
−
− ( )
pangkat basis

9. 9
log5=log
10
2
= log10 log2
=1 0,3010
= 0,6990
−
−
Jadi, nilai log 5 = 0,6990.
Contoh Soal 8
Tentukan nilai berikut!
3
log 12 + 3
log 63 – 3
log 4 – 3
log 7
Pembahasan:
Berdasarkan sifat 1 dan 2, diperoleh:
3 3 3 3 3
3
3
log12 + log63 log4 log7 = log
12 63
4 7
= log27
= log3
− −
×
×
33
= 3
pangkat basis
Jadi, 3
log 12 + 3
log 63 – 3
log 4 – 3
log 7 = 3.
Sifat 3. a
log xm
= ma
log x
Pembuktian:
Misal a
log x = y → x = ay
a m a y m
a my
a
x a
a
my
m x terbukti
log = log
= log
= log
=
( )
( )
pangkat basis
Contoh Soal 9
Jika 2
log 3 = m dan 2 3
log 5 = n , nilai dari 2
5
log
1
15
= ....

10. 10
Pembahasan:
Berdasarkan sifat 3, a
log xm
= ma
log x, diperoleh:
• 2
log 3 = m
⇔
⇔
⇔
2
1
2
2
2
log3 =
1
2
log3 =
log3 = 2
m
m
m
• 2 3
log 5 = n
⇔
⇔
⇔
2
1
3
2
2
log5 =
1
3
log5 =
log5 = 3
n
n
n
Dengan demikian, diperoleh:
2
5
2
1
5
2
2 2
log
1
15
= log15
1
5
log 5 3
=
1
5
log5+ log3
=
1
5
3
=
−
− ×
−
−
( )
( )
nn m+ 2( )
Jadi, 2
5
log
1
15
=
1
5
3 + 2− n m( ).
Contoh Soal 10
Sederhanakan bentuk berikut!
5log + 4log
1
2
logx y z−
Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:
5log + 4log
1
2
log = log +log log
= log
5 4
1
2
5 4
x y z x y z
x y
z
− −

11. 11
Jadi, 5log + 4log
1
2
log = log .
5 4
x y z
x y
z
−
Sifat 4. a
p
p
x
x
a
log =
log
log
Pembuktian:
Misal a
log x = y → x = ay
ay
= x
p y p
p p
p
p
a
p
a x
y a x
y
x
a
x
x
log = log
log = log
=
log
log
log =
log
⇔
⇔
⇔ pp
alog
terbukti( )
Contoh Soal 11
Jika 2
log 3 = m, 3
log 5 = n, tentukan nilai dari 6
log 15!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:
6
3
3
3
3
3 3
3
log15 =
log15
log6
=
log 5 3
log 3 2
=
log5+ log3
lo
×
×
( )
( )
gg3+ log2
=
+1
1+
1
=
+
+1
3
n
m
mn m
m
Jadi,
6
log15 =
+
+1
mn m
m
.

12. 12
Catatan penting: a
b
b b
b
b
a a
log =
log
log
=
1
log
Contoh Soal 12
Perhatikan bentuk logaritma berikut.
1+ log2
2 log4
= log
3
3
−
a
b
Nilai dari a dan b berturut-turut adalah ....
Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:
1+ log2
2 log4
= log
log3+ log2
log9 log4
= log
3
3
3 3
3 3
−
⇔
−
⇔
a
a
b
b
33
3
9
4
log6
log
9
4
= log
log6 = log
a
a
b
b⇔
Jadi, nilai a =
9
4
dan b = 6.
Contoh Soal 13
Nilai dari 4
log 3 . 3
log 5. 25
log 16 = ....
Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:
4 3 25
log3. log5. log16 =
log3
log4
.
log5
log3
.
log16
log25
=
llog5
log5
.
log4
log4
=
log5
2.log5
.
2.log4
log4
=1
2
2
Jadi, 4
log 3 . 3
log 5. 25
log 16 = 1.

13. 13
Sifat turunan dari sifat 4: a
log b . b
log c = a
log c
Contoh Soal 14
Jika 2
log 5 = m, nilai dari 2
log25 = ....
Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:
2
2
2
2 2
2
1
2
2
log25 =
log25
log 2
=
log5
log2
=
log5
1
2
= 4
2.
m
Jadi, 2
log25 = 4m .
Sifat turunan dari sifat 4:
a m an
b
m
n
blog = log
Sifat 5. a
a
log b
= b
Pembuktian:
Misal a
a
log b
= x
a b a
a a a
a a
a x
b a x
b x
b x
a
log = log
log . log = log
log = log
=
log
⇔
⇔
⇔
⇔⇔
⇔
x b
a b
a
b
=
= terbuktilog
( )

14. 14
Contoh Soal 15
Tentukan nilai dari 2
4
log9
!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:
2 = 2
= 2
= 2
= 3
4 22 2
2
2
log9 log3
2
2
log3
log3
Jadi, 2
4
log9
= 3.