Kuntoonbut Wissanu, profile picture
Uploaded byKuntoonbut Wissanu
1,044 views

3.parabola

parabola

Embed presentation

Download to read offline
ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP หนวยการเรียนรูที่ 3 เรื่อง พาราโบลา ชื่อ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ชั้น . . . . . . . . เลขที่ . . . . . .
ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 เรื่อง พาราโบลา คําชี้แจง ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 มี 2 ตอน ไดแก ตอนที่ 1 นิยามของพาราโบลา (ใชเวลา 2 คาบ) ตอนที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด (ใชเวลา 2 คาบ) 1. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 ประกอบดวย – กิจกรรมการเรียนรูที่ 1 นิยามของพาราโบลา – กิจกรรมการเรียนรูที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด – แบบฝกหัดที่ 1 – แบบฝกหัดที่ 2 – แบบทดสอบทายชุดการเรียนที่ 3 2. ใหนักเรียนศึกษาชุดการเรียนนี้โดยการใชโปรแกรม GSP ทํากิจกรรมการเรียนรูที่ 1 ตาม คําแนะนําที่มีอยูในชุดการเรียน เพื่อคนหานิยามของพาราโบลาและทําแบบฝกหัดที่ 1 เมื่อทํา แบบฝกหัดเสร็จแลว ครูจึงเฉลยแบบฝกหัดพรอมกันทั้งหอง 3. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP ทํากิจกรรมการเรียนรูที่ 2 เพื่อสํารวจพาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด แลวทําการสรุป และทําแบบฝกหัดที่ 2 เมื่อทําแบบฝกหัดเสร็จแลว ครูจึงเฉลยแบบฝกหัด พรอมกันทั้งหอง ทั้งนี้ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรม ถาหากเกิดปญหาในการเรียนก็สามารถที่จะ ซักถามครูหรือเพื่อน ๆ ได 4. หลังจากนั้นใหนักเรียนทุกคนทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวน สอบสวน ชุดที่ 3 โดยใหเวลาในการทําประมาณ 20 นาที เพื่อเปนคะแนนเก็บระหวางเรียนของนักเรียน แตละคน
จุดประสงคการเรียนรู เมื่อนักเรียนศึกษาชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 แลวนักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของพาราโบลาได 2. บอกสวนตาง ๆ ของพาราโบลาเมื่อกําหนดความสัมพันธที่มีกราฟเปนพาราโบลาได 3. เขียนความสัมพันธและกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (0,0) จากสมบัติที่กําหนดได 4. เขียนความสัมพันธและกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (h,k) จากสมบัติที่กําหนดได เวลาที่ใช 4 คาบ สื่อการเรียนรู 1. โปรแกรม GSP (Geometer’s Sketchpad) 2. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 การประเมินผลการเรียนรู ใหนักเรียนแตละคนทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนแบบสืบสวนสอบสวน โดยใช โปรแกรม GSP ชุดที่ 3 ดวยตนเอง เพื่อประเมินความรูที่ไดเรียนมา
กิจกรรมการเรียนรู โดยใชโปรแกรม GSP 1. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP สราง Graph Paper ดังรูปที่ 1 รูปที่ 1 Graph Paper 2. จากจุดศูนยกลาง ใหนักเรียนลงจุด 1 จุด พรอมทั้งตั้งชื่อ (เชน จุด A) ไวบนเสนตรงใน แนวนอน หลังจากนั้นใหสรางเสนตรง 1 เสนซึ่งตั้งฉากกับเสนตรงในแนวนอน โดยที่เสนตั้งฉากนี้ อยูหางจากจุดที่นักเรียนไดลงไวเปนระยะทางเทากับที่จุด ๆ นั้นอยูหางจากจุดศูนยกลาง 3. ใหนักเรียนสรางจุดตัดของเสนตรงในแนวตั้งกับเสนรอบวงกลม โดยจุดที่นักเรียนลงไป นั้นจะตองอยูหางจากจุดศูนยกลางและเสนตั้งฉากที่สรางขึ้นในขอ 2 เปนระยะทางเทากัน ใหไดอีก ประมาณ 8 – 10 จุด 4. สรางรอยทางเดินของจุดที่ไดสรางไวตามเงื่อนไข แลวใหนักเรียนสังเกตลักษณะรอย การเดินของจุดเหลานั้นวามีรูปเปนอยางไร 5. ใหนักเรียนเพิ่มหนาใหมจากตัวเลือกเอกสาร หลังจากนั้นใหสรางระบบพิกัดขึ้นมา (โดย เลือกเปนกริดจัตุรัส) ดังรูปที่ 2 รูปที่ 2 ระบบพิกัด (กริดจัตุรัส) กิจกรรมการเรียนรูที่ 1 นิยามของพาราโบลา
6. สรางเสนตั้งฉากกับแกน X 1 เสน โดยใหหางจากจุดกําเนิด 2 – 5 หนวย (แลวแต นักเรียนจะเลือก) และลงจุดอิสระไวบนเสนตั้งฉากนั้น 1 จุด จากนั้นคลิกเลือกเสนตั้งฉากที่ไดสราง ไวพรอมกับจุดอิสระแลวสรางเสนตั้งฉากเพิ่มอีก 1 เสน ดังรูปที่ 3 รูปที่ 3 7. ลงจุดในระบบพิกัด 1 จุด บนแกน X โดยใหหางจากจุดกําเนิดเปนระยะทางเทากับ ระยะทางที่เสนตั้งฉากเสนแรกหางจากจุดกําเนิด (เชน ถาเสนตั้งฉาก คือ X = –3 แลวจุดที่ตองลง คือ จุด (3 , 0) เปนตน) จากนั้นสรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดที่ลงบนแกน X นี้กับจุดอิสระที่ลงไว ในขอ 6 ดังรูปที่ 4 รูปที่ 4 8. ใหนักเรียนสรางจุดตัดระหวางสวนของเสนตรงกับแกน Y แลวสรางเสนตั้งฉากระหวาง สวนของเสนตรงกับจุดตัดนี้ ดังรูปที่ 5
รูปที่ 5 9. จากรูปที่ 5 นักเรียนจะพบเสนตั้งฉาก 2 เสนตัดกัน ใหนักเรียนสรางจุดตัด ณ ตําแหนงนี้ แลวสรางสวนของเสนตรงเชื่อมกับจุดบนแกน X ที่สรางจากขอ 7 หลังจากนั้นใหทําการซอนเสน ตาง ๆ ที่ไมใช จนเหลือสวนของเสนตรงกับจุด ดังรูปที่ 6 สรางจุดตัด ซอน รูปที่ 6 10. ใหนักเรียนใชคําสั่งการวัดเพื่อวัดความยาวสวนของเสนตรงทั้ง 2 เสน จากนั้นใหสราง ปุมเพื่อเคลื่อนที่จุดบนเสนตั้งฉากและสรางรอยทางเดินของจุดตัดที่ไดจากขอ 9 แลวใหนักเรียน สังเกตลักษณะรอยการเดินของจุด กับความยาวสวนของเสนตรงทั้ง 2 เสนในขณะที่จุดตัดกําลัง เคลื่อนที่ แลวสรุปเปนนิยามของพาราโบลา
V พาราโบลา (Parabola) บทนิยาม พาราโบลา คือ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . เสนตรงคงที่ เรียกวา ไดเรกตริกซ ของพาราโบลา จุดคงที่ เรียกวา โฟกัส ของพาราโบลา เสนตรงซึ่งผานโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ เรียกวา แกน ของพาราโบลา จุดที่พาราโบลาตัดแกนของพาราโบลา เรียกวา จุดยอด ของพาราโบลา P F L D จากรูป เสนตรง L เปน . . . . . . . . . . . . . . . จุด F เปน . . . . . . . . . . . . . . เสนตรงที่ผาน FV เปน . . . . . . . . . . . . . . . จุด V เปน . . . . . . . . . . . . . . P เปนจุดใดๆ บนโคงพาราโบลา ซึ่ง |PF | . . . . . |PD | เสมอ พาราโบลาที่มีจุด (0,0) เปนจุดยอด กรณีที่ 1 โฟกัสอยูที่จุด (c,0) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -c
ให P(x,y) เปนจุดใดๆ บนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซที่จุด D จากบทนิยาม จะได PF . . . PD นั่นคือ 22 ...)(...)( −+− yx = | X – . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . นั่นคือ สมการพาราโบลาที่มีโฟกัสอยูที่จุด (c,0) ไดเรกตริกซ เปนเสนตรง x = -c คือ . . . . . . . . . . . . . ถา c > 0 จะได . . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดทาง . . . . . . ถา c < 0 จะได . . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดทาง . . . . . . กรณีที่ 2 โฟกัสอยูที่จุด (0,c) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง y = - c จากรูป P(x,y) เปนจุดๆ บนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซที่จุด D ในทํานองเดียวกัน สมการพาราโบลาที่โฟกัสอยูที่จุด (0,c) ไดเรกตริกซ เปนเสนตรง y = -c คือ . . . . . . . . . . . ถา c > 0 จะได . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดดาน . . . . . . . ถา c < 0 จะได . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดดาน . . . . . . .
1. จากความสัมพันธที่กําหนดให ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา จงหาโฟกัส สมการของไดเรกตริกซ แกนสมมาตร พรอมเขียนกราฟโดยใชโปรแกรม GSP 1) { (x,y) ∈ RxR | x2 = -12y } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) { (x,y) ∈ RxR | y2 – 4x = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. จงหาสมการพาราโบลา ที่มีสมบัติตอไปนี้ 1) มี (5,0) เปนโฟกัส และไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบฝกหัดที่ 1
2) มีจุด (0,0) เปนจุดยอดและจุด (0,- 2 3 ) เปนโฟกัส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) ผานจุด (1,5) และโฟกัสอยูบนแกน Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -2 และโฟกัสอยูที่จุด (2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) กราฟตะแคงซาย และผานจุด (– 2 , 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
กิจกรรมการเรียนรู โดยใชโปรแกรม GSP 1. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP สรางกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุด (0,0) ขึ้นมา 1 รูป โดยเลือกเมนูแลวไปที่ กราฟ วาดกราฟของฟงกชันใหม แลวใสสมการ พาราโบลาเขาไป (หมายเหตุ : นักเรียนตองจําไววาโปรแกรม GSP จะเขียนกราฟของฟงกชันเทานั้น เชน ถาตองการกราฟพาราโบลาจากสมการ xy 202 = นักเรียนจะตองจัดสมการใหมใหอยูใน รูปของฟงกชัน คือ xy 20= ซี่งก็คือ xxf 20)( = หรือ yx 202 = นักเรียนจะตอง จัดสมการใหมใหอยูในรูปของฟงกชัน คือ 20 2 x y = ซี่งก็คือ 20 )( 2 x xf = นั่นเอง ) 2. ใหนักเรียนเลื่อนกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุด (0,0) ที่นักเรียนสรางขึ้น ไปไวที่ จุด (h,k) แลวแตนักเรียนจะกําหนด โดยมีขั้นตอน ดังนี้ 2.1 คลิกเลือกจุดยอด (0,0) แกน x แกน y และกราฟพาราโบลาที่สรางไว แลวทํา การคัดลอก จากนั้นใหซอนกราฟพาราโบลารูปเดิม ก็จะไดดังรูปที่ 1 รูปที่ 1 2.2 ใหนักเรียนทําการสแนพจุด โดยเลือกเมนูแลวไปที่ กราฟ สแนพจุด จากนั้นใหลงจุดอิสระ (h,k) ไวที่พิกัดใด ๆ ก็ได 1 จุด พรอมทั้งตั้งชื่อ เชน จุด A แลวสรางปุมการ เคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดยอดไปหาจุด A และสรางปุมการเคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดยอดไปหาจุดกําเนิด (0,0) ดวย ดังรูปที่ 2 หลังจากนั้นใหนักเรียนลองเลื่อนจุด A ไปไวที่พิกัดตาง ๆ แลวกดปุมเลื่อน จุดยอดของกราฟพาราโบลาไปหาจุด A พรอมทั้งสังเกตพิกัดของจุดยอดของกราฟพาราโบลาที่ เปลี่ยนไปตามจุด A เชน – พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . . – พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . . – พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . . กิจกรรมการเรียนรูที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด
3. จากพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเลื่อนขนานแกนไปที่ (h,k) ดังนั้น สมการพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม คือ (x′)2 = 4Cy′ และ (y′)2 = 4Cx′ แตจากการเลื่อน ขนานของแกน นักเรียนทราบมาแลววา x′ = ……… และ y′ = ……….. ดังนั้น จะไดสมการ พาราโบลาเทียบกับแกนเดิม คือ (……….)2 = 4C(……….) และ (……….)2 = 4C(……….) ตามลําดับ 4. ใหนักเรียนสรางหนาเอกสารใหม แลวสรางกราฟของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) ตามขั้นตอนตอไปนี้ 4.1 สรางระบบพิกัดเปนกริดแบบจัตุรัส แลวไปที่ กราฟ พารามิเตอรใหม ตั้ง ชื่อ h และคาเปน 0 ดังรูปที่ 3 โดยใหนักเรียนใชคําสั่งพารามิเตอรใหมนี้สรางคาของ k และ c ตามลําดับ รูปที่ 2 รูปที่ 3
4.2 ใหนักเรียนใชคําสั่ง วาดกราฟของฟงกชันใหม เพื่อเขียนกราฟพาราโบลาที่มี จุดยอดที่จุด (h,k) ซึ่งนักเรียนจะตองจัดสมการใหมใหอยูในรูปของฟงกชัน โดยสมการพาราโบลา (x-h)2 = 4C(y-k) จัดสมการใหมเปน ( ) k c hx y + − = 4 2 และสมการพาราโบลา (y-k)2 = 4C(x-h) จัดสมการใหมเปน ( ) khxcy +−±= 4 เมื่อนักเรียนจัดสมการใหมไดแลวใหสรางสมการ ในคําสั่งวาดกราฟของฟงกชันใหม โดยแทนคาของ h , k และ c ดวยคาพารามิเตอรที่ไดสรางไว ก็จะไดกราฟพาราโบลาตามตองการ ดังรูปที่ 4 (เปนกราฟของสมการ (x-h)2 = 4C(y-k)) รูปที่ 4 4.3 ใหนักเรียนคลิกเลือกคาพารามิเตอร h , k หรือ c คาใดคาหนึ่งหรือจะเลือกพรอม กันก็ได แลวกดปุม + หรือ – เพื่อทําการเพิ่มหรือลดคาของพารามิเตอร ซึ่งการกระทําดังกลาวจะ ทําใหจุดยอดของกราฟเปลี่ยนไป (เมื่อคาของ h หรือ k เปลี่ยน) และขนาดของกราฟพาราโบลาจะ เปลี่ยน (เมื่อคาของ c เปลี่ยน) หลังจากนั้นใหนักเรียนสังเกตจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ ของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) เมื่อเทียบกับจุดยอดอยูที่จุด (0,0) เพื่อสรุปเปนรูปแบบในการ หาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) ตอไป
c c พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด จากพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเลื่อนแกนทางขนานไปที่ (h,k) ดังนั้น สมการพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม คือ (x′)2 = 4cy′ และ (y′)2 = 4cx′ แต y′ = y – k และ x′ = x – h ดังนั้น สมการพาราโบลาเทียบกับแกนเดิม คือ (x-h)2 = 4c(y-k) และ (y-k)2 = 4c(x-h) ตามลําดับ ซึ่งมีรายละเอียดดังตารางขางลาง สมการ (x-h)2 = 4c(y-k) สมการ (y-k)2 = 4c(x-h) Y Y′ Y Y′ x =…….. F(…… , ……) D V(h,k) F(…… , …...) X′ V(h,k) X′ y =…….. D O X O X จุดยอด (h,k) จุดยอด (h,k) โฟกัส (… , ……) โฟกัส (…… , …) สมการไดเรกตริกซ y = …… สมการไดเรกตริกซ x = …… แกนพาราโบลา เสนตรงขนานกับแกน … แกนพาราโบลา เสนตรงขนานกับแกน … ความยาวเลตัสเรกตัม |……| ความยาวเลตัสเรกตัม |……| c > 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c > 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c < 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c < 0 กราฟพาราโบลาเปด……
ตัวอยางที่ 1 จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (-1,4) และมี (-1,1) เปนโฟกัส วิธีทํา พิจารณาจากจุด (-1,4) และ (-1,1) ซึ่งอยูในแนวเสนตรงขนานแกน y ดังนั้น สมการ คือ (x-h)2 = 4c(y-k) เนื่องจากจุด (-1,4) เปนจุดยอด จะได h = –1 และ k = 4 และจุด (-1,1) เปนโฟกัส เทียบกับ (h,k+c) ดังนั้น k+c = 1 หรือ 4+c = 1 นั่นคือ c = -3 ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ (x+1)2 = -12(y-4) หรือ x2 +2x+12y-47 = 0 ตัวอยางที่ 2 จงหาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ พรอมเขียนกราฟจากสมการ พาราโบลา y2 -8y+8x-8 = 0 วิธีทํา จากสมการ 08882 =−+− xyy จัดสมการใหม 8882 +−=− xyy 2481682 +−=+− xyy ( ) ( )384 2 −−=− xy เมื่อเทียบกับสมการ (y-k)2 = 4c(x-h) จะไดวา 84 −=c 2−=c ดังนั้น จุดยอด คือ (3 , 4) โฟกัส คือ (h+c,k) = (1 , 4) และสมการไดเรกตริกซ คือ x = h – c x = 3 – (– 2) = 5
1. จงหาจุดยอด โฟกัส และสมการไดเรกตริกซ พรอมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธตอไปนี้ โดยใชโปรแกรม GSP 1) { (x,y) ∈ RxR | x2 +6x-8y+41 = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) { (x,y) ∈ RxR | y2 -4y+6x-8 = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) { (x,y) ∈ RxR | 3x2 -12x-y+12 = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบฝกหัดที่ 2
2. จงหาสมการพาราโบลา ที่มีสมบัติตอไปนี้ 1) จุดยอดอยูที่จุด (3,4) และโฟกัสอยูที่จุด (1,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) จุดยอดอยูที่จุด (-2,6) และโฟกัสอยูที่จุด (-2,-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) จุดยอดอยูที่ (-4,3) และเสนไดเรกตริกซ คือ x+5 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) จุดยอดอยูบนเสนตรง x = 3 และผานจุด (5,0) และ (-1,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. จากสิ่งที่กําหนดใหตอไปนี้ จงหาสมการของพาราโบลา 1) จุดยอดอยูที่จุด (0,0) และโฟกัสอยูที่จุด (0, 2 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) จุดยอดอยูที่จุด (0,0) และไดเรกตริกซคือเสนตรง y = -2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) โฟกัสอยูที่จุด (–2,0) และไดเรกตริกซคือเสนตรง x = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) จุดยอดอยูที่ (0,3) โฟกัสอยูที่ (0,–1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) มีจุด (3,5) และจุด (3,–3) เปนจุดปลายของเลตัสเรกตัม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบทดสอบทายชุดการเรียนที่ 3
2. จงหาจุดยอด โฟกัส และสมการไดเรกตริกซ จากสมการพาราโบลาตอไปนี้ 1) 0122 =+ xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) 0122 =+ yx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) 522 ++= xxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) 07262 =+−+ yxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) 08642 =−+− xyy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

More Related Content

DOC
แบบฝึกหน่วยที่ 1 นักเรียน
bysomchao
 
DOC
ป.6.doc
bySawitreeHomhuan1
 
PDF
อสมการ ม3
byPrang Donal
 
PDF
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
การแก้อสมการ
byAon Narinchoti
 
PDF
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
bysawed kodnara
 
PDF
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
byAon Narinchoti
 
PDF
M4 1-เซต
byChaiwasan Maisaipiang
 
แบบฝึกหน่วยที่ 1 นักเรียน
bysomchao
 
ป.6.doc
bySawitreeHomhuan1
 
อสมการ ม3
byPrang Donal
 
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
การแก้อสมการ
byAon Narinchoti
 
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
bysawed kodnara
 
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
byAon Narinchoti
 
M4 1-เซต
byChaiwasan Maisaipiang
 

What's hot

PDF
แบบฝึกการแก้อสมการเชิงเส้นม.3
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
bysawed kodnara
 
PDF
ใบงานคณิตศาสตร์เรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหารเศษส่วน
byatunya2530
 
PDF
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
bykanjana2536
 
DOCX
ลอการิทึม
byJiraprapa Suwannajak
 
PDF
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
การแยกตัวประกอบพหุนาม
byAon Narinchoti
 
PDF
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
byMike Polsit
 
PDF
อัตราส่วนและร้อยละ
by8752584
 
PDF
การแก้อสมการเชิงเส้น1
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบเพื่อนคู่คิด เล่มที่ 13 การบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน
byKanlayaratKotaboot
 
PDF
การเขียนกราฟของอสมการ
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
แบบทดสอบ เรื่อง จำนวนจริง
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
ใบงานเรื่องงาน และพลังงาน
byjirupi
 
PDF
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
การบวกลบพหุนาม
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
การดำเนินการทางเซต
bykroojaja
 
PDF
อสมการ
bynarong2508
 
DOC
ใบงานเลขยกกำลังม.5
byลัดดา ครูคณิตฯ
 
PDF
อสมการ
bykrusongkran
 
แบบฝึกการแก้อสมการเชิงเส้นม.3
byทับทิม เจริญตา
 
บทที่ 1 การแยกตัวประกอบและการแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
bysawed kodnara
 
ใบงานคณิตศาสตร์เรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหารเศษส่วน
byatunya2530
 
แบบทดสอบรวม ม.1 ภาคเรียนที่ 2
bykanjana2536
 
ลอการิทึม
byJiraprapa Suwannajak
 
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
byทับทิม เจริญตา
 
การแยกตัวประกอบพหุนาม
byAon Narinchoti
 
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
byMike Polsit
 
อัตราส่วนและร้อยละ
by8752584
 
การแก้อสมการเชิงเส้น1
byทับทิม เจริญตา
 
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบเพื่อนคู่คิด เล่มที่ 13 การบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน
byKanlayaratKotaboot
 
การเขียนกราฟของอสมการ
byทับทิม เจริญตา
 
แบบทดสอบ เรื่อง จำนวนจริง
byทับทิม เจริญตา
 
ใบงานเรื่องงาน และพลังงาน
byjirupi
 
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
การบวกลบพหุนาม
byทับทิม เจริญตา
 
การดำเนินการทางเซต
bykroojaja
 
อสมการ
bynarong2508
 
ใบงานเลขยกกำลังม.5
byลัดดา ครูคณิตฯ
 
อสมการ
bykrusongkran
 

Viewers also liked

PDF
PURI CONSTRUCTIONS DIPLOMATIC GREEN
byRealatix Consulting
 
PPTX
Presentación 1
byRafael Rodriguez Mendoza
 
PPTX
MyAdvo Corporate Profile
byKushal Bhagat
 
PPTX
Animal Salvaje
byLiriaH
 
PPTX
ಅಲಿ ಬಿನ್ ಅಬೂ ತಾಲಿಬ್ [ರ] 2
byFAHIM AKTHAR ULLAL
 
DOCX
Tu Seras Avec Moi En Paradis
byMaria Teresa BIONDI
 
PPT
1960`s in fashion
bymariemccauley94honey
 
PDF
caddcentre_certificate (6)
byMohammed Nizamuddin
 
PDF
CADE 2008: Conectividad, infraestructura y competitividad
byIPAE
 
PDF
GUESS
byAshleigh Lentz
 
ODP
Diapositiva fm
byFranRosado
 
PDF
Chave rotativa plastica encaixe rápido 12 posições C.I. normal serie FK 400-1
byFernik
 
ODP
Aflac overview
byTwyla George
 
PPTX
5th grade gt and life skills
byKelly Lee Ball
 
PURI CONSTRUCTIONS DIPLOMATIC GREEN
byRealatix Consulting
 
Presentación 1
byRafael Rodriguez Mendoza
 
MyAdvo Corporate Profile
byKushal Bhagat
 
Animal Salvaje
byLiriaH
 
ಅಲಿ ಬಿನ್ ಅಬೂ ತಾಲಿಬ್ [ರ] 2
byFAHIM AKTHAR ULLAL
 
Tu Seras Avec Moi En Paradis
byMaria Teresa BIONDI
 
1960`s in fashion
bymariemccauley94honey
 
caddcentre_certificate (6)
byMohammed Nizamuddin
 
CADE 2008: Conectividad, infraestructura y competitividad
byIPAE
 
GUESS
byAshleigh Lentz
 
Diapositiva fm
byFranRosado
 
Chave rotativa plastica encaixe rápido 12 posições C.I. normal serie FK 400-1
byFernik
 
Aflac overview
byTwyla George
 
5th grade gt and life skills
byKelly Lee Ball
 

Similar to 3.parabola

PDF
2.circle
byTchai Siri
 
PDF
4conic_formula.pdf
bySunisaTheswan
 
PDF
เฉลยแคลคูลัส
bykrurutsamee
 
PPT
การอินทีเกรต
byANNRockART
 
PDF
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
bywisita42
 
PDF
เฉลยอนุพันธ์
bykrurutsamee
 
PDF
46497232 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์
byKrudodo Banjetjet
 
PDF
Contraction Mapping
byอิทธิเดช มูลมั่งมี
 
PDF
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
PDF
ภาคตัดกรวย
byJiraprapa Suwannajak
 
PPT
Limit
byGoku Utee
 
PDF
Eng
bywimvipa39
 
PDF
Math
bywimvipa39
 
PDF
Eng
bywimvipa39
 
PPT
ภาคตัดกรวย
byRoongnapa Siripapraseadporn
 
PDF
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
byWanutchai Janplung
 
PDF
Eng
bywimvipa39
 
PDF
Eng
bywimvipa39
 
PDF
ข้อสอบ
byคอม คอม คอม
 
PDF
Conic section2555
bywongsrida
 
2.circle
byTchai Siri
 
4conic_formula.pdf
bySunisaTheswan
 
เฉลยแคลคูลัส
bykrurutsamee
 
การอินทีเกรต
byANNRockART
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
bywisita42
 
เฉลยอนุพันธ์
bykrurutsamee
 
46497232 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์
byKrudodo Banjetjet
 
Contraction Mapping
byอิทธิเดช มูลมั่งมี
 
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
ภาคตัดกรวย
byJiraprapa Suwannajak
 
Limit
byGoku Utee
 
Eng
bywimvipa39
 
Math
bywimvipa39
 
Eng
bywimvipa39
 
ภาคตัดกรวย
byRoongnapa Siripapraseadporn
 
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
byWanutchai Janplung
 
Eng
bywimvipa39
 
Eng
bywimvipa39
 
ข้อสอบ
byคอม คอม คอม
 
Conic section2555
bywongsrida
 

More from Kuntoonbut Wissanu

DOC
เนื้อหาคณิตศาสตร์ม.3เทอม1เรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม
byKuntoonbut Wissanu
 
PDF
โจทย์ปัญหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
byKuntoonbut Wissanu
 
DOCX
แผนแบบรูป
byKuntoonbut Wissanu
 
PDF
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.2 _ (_________) ___ 01-05
byKuntoonbut Wissanu
 
PDF
ตัวอย่างหนังสือผู้บริหาร2
byKuntoonbut Wissanu
 
PDF
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.2 _ (___________________) ___ 01-06
byKuntoonbut Wissanu
 
PDF
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
byKuntoonbut Wissanu
 
DOCX
บันทึกข้อความ ขออนุญาตขอนำนักเรียนเข้าค่ายปรับพฤติกรรม
byKuntoonbut Wissanu
 
DOCX
News 1496310262 plan60_n
byKuntoonbut Wissanu
 
DOCX
News 1496310262 plan60_n (1)
byKuntoonbut Wissanu
 
DOCX
002.คัดกรองเยี่ยมบ้าน
byKuntoonbut Wissanu
 
DOC
5 3 iqa(2560)
byKuntoonbut Wissanu
 
DOC
1ครูนักวิจัย
byKuntoonbut Wissanu
 
DOC
Id plan
byKuntoonbut Wissanu
 
DOC
Csa1
byKuntoonbut Wissanu
 
PDF
Pp พรบ.จ ดซ _อจ_ดจ_าง พ.ศ.2560
byKuntoonbut Wissanu
 
เนื้อหาคณิตศาสตร์ม.3เทอม1เรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม
byKuntoonbut Wissanu
 
โจทย์ปัญหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
byKuntoonbut Wissanu
 
แผนแบบรูป
byKuntoonbut Wissanu
 
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.2 _ (_________) ___ 01-05
byKuntoonbut Wissanu
 
ตัวอย่างหนังสือผู้บริหาร2
byKuntoonbut Wissanu
 
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.2 _ (___________________) ___ 01-06
byKuntoonbut Wissanu
 
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
byKuntoonbut Wissanu
 
บันทึกข้อความ ขออนุญาตขอนำนักเรียนเข้าค่ายปรับพฤติกรรม
byKuntoonbut Wissanu
 
News 1496310262 plan60_n
byKuntoonbut Wissanu
 
News 1496310262 plan60_n (1)
byKuntoonbut Wissanu
 
002.คัดกรองเยี่ยมบ้าน
byKuntoonbut Wissanu
 
5 3 iqa(2560)
byKuntoonbut Wissanu
 
1ครูนักวิจัย
byKuntoonbut Wissanu
 
Id plan
byKuntoonbut Wissanu
 
Csa1
byKuntoonbut Wissanu
 
Pp พรบ.จ ดซ _อจ_ดจ_าง พ.ศ.2560
byKuntoonbut Wissanu
 

3.parabola

  • 1.
  • 2.
    ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่3 เรื่อง พาราโบลา คําชี้แจง ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 มี 2 ตอน ไดแก ตอนที่ 1 นิยามของพาราโบลา (ใชเวลา 2 คาบ) ตอนที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด (ใชเวลา 2 คาบ) 1. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 ประกอบดวย – กิจกรรมการเรียนรูที่ 1 นิยามของพาราโบลา – กิจกรรมการเรียนรูที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด – แบบฝกหัดที่ 1 – แบบฝกหัดที่ 2 – แบบทดสอบทายชุดการเรียนที่ 3 2. ใหนักเรียนศึกษาชุดการเรียนนี้โดยการใชโปรแกรม GSP ทํากิจกรรมการเรียนรูที่ 1 ตาม คําแนะนําที่มีอยูในชุดการเรียน เพื่อคนหานิยามของพาราโบลาและทําแบบฝกหัดที่ 1 เมื่อทํา แบบฝกหัดเสร็จแลว ครูจึงเฉลยแบบฝกหัดพรอมกันทั้งหอง 3. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP ทํากิจกรรมการเรียนรูที่ 2 เพื่อสํารวจพาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด แลวทําการสรุป และทําแบบฝกหัดที่ 2 เมื่อทําแบบฝกหัดเสร็จแลว ครูจึงเฉลยแบบฝกหัด พรอมกันทั้งหอง ทั้งนี้ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรม ถาหากเกิดปญหาในการเรียนก็สามารถที่จะ ซักถามครูหรือเพื่อน ๆ ได 4. หลังจากนั้นใหนักเรียนทุกคนทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวน สอบสวน ชุดที่ 3 โดยใหเวลาในการทําประมาณ 20 นาที เพื่อเปนคะแนนเก็บระหวางเรียนของนักเรียน แตละคน
  • 3.
    จุดประสงคการเรียนรู เมื่อนักเรียนศึกษาชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่3 แลวนักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของพาราโบลาได 2. บอกสวนตาง ๆ ของพาราโบลาเมื่อกําหนดความสัมพันธที่มีกราฟเปนพาราโบลาได 3. เขียนความสัมพันธและกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (0,0) จากสมบัติที่กําหนดได 4. เขียนความสัมพันธและกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (h,k) จากสมบัติที่กําหนดได เวลาที่ใช 4 คาบ สื่อการเรียนรู 1. โปรแกรม GSP (Geometer’s Sketchpad) 2. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 การประเมินผลการเรียนรู ใหนักเรียนแตละคนทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนแบบสืบสวนสอบสวน โดยใช โปรแกรม GSP ชุดที่ 3 ดวยตนเอง เพื่อประเมินความรูที่ไดเรียนมา
  • 4.
    กิจกรรมการเรียนรู โดยใชโปรแกรม GSP 1.ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP สราง Graph Paper ดังรูปที่ 1 รูปที่ 1 Graph Paper 2. จากจุดศูนยกลาง ใหนักเรียนลงจุด 1 จุด พรอมทั้งตั้งชื่อ (เชน จุด A) ไวบนเสนตรงใน แนวนอน หลังจากนั้นใหสรางเสนตรง 1 เสนซึ่งตั้งฉากกับเสนตรงในแนวนอน โดยที่เสนตั้งฉากนี้ อยูหางจากจุดที่นักเรียนไดลงไวเปนระยะทางเทากับที่จุด ๆ นั้นอยูหางจากจุดศูนยกลาง 3. ใหนักเรียนสรางจุดตัดของเสนตรงในแนวตั้งกับเสนรอบวงกลม โดยจุดที่นักเรียนลงไป นั้นจะตองอยูหางจากจุดศูนยกลางและเสนตั้งฉากที่สรางขึ้นในขอ 2 เปนระยะทางเทากัน ใหไดอีก ประมาณ 8 – 10 จุด 4. สรางรอยทางเดินของจุดที่ไดสรางไวตามเงื่อนไข แลวใหนักเรียนสังเกตลักษณะรอย การเดินของจุดเหลานั้นวามีรูปเปนอยางไร 5. ใหนักเรียนเพิ่มหนาใหมจากตัวเลือกเอกสาร หลังจากนั้นใหสรางระบบพิกัดขึ้นมา (โดย เลือกเปนกริดจัตุรัส) ดังรูปที่ 2 รูปที่ 2 ระบบพิกัด (กริดจัตุรัส) กิจกรรมการเรียนรูที่ 1 นิยามของพาราโบลา
  • 5.
    6. สรางเสนตั้งฉากกับแกน X1 เสน โดยใหหางจากจุดกําเนิด 2 – 5 หนวย (แลวแต นักเรียนจะเลือก) และลงจุดอิสระไวบนเสนตั้งฉากนั้น 1 จุด จากนั้นคลิกเลือกเสนตั้งฉากที่ไดสราง ไวพรอมกับจุดอิสระแลวสรางเสนตั้งฉากเพิ่มอีก 1 เสน ดังรูปที่ 3 รูปที่ 3 7. ลงจุดในระบบพิกัด 1 จุด บนแกน X โดยใหหางจากจุดกําเนิดเปนระยะทางเทากับ ระยะทางที่เสนตั้งฉากเสนแรกหางจากจุดกําเนิด (เชน ถาเสนตั้งฉาก คือ X = –3 แลวจุดที่ตองลง คือ จุด (3 , 0) เปนตน) จากนั้นสรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดที่ลงบนแกน X นี้กับจุดอิสระที่ลงไว ในขอ 6 ดังรูปที่ 4 รูปที่ 4 8. ใหนักเรียนสรางจุดตัดระหวางสวนของเสนตรงกับแกน Y แลวสรางเสนตั้งฉากระหวาง สวนของเสนตรงกับจุดตัดนี้ ดังรูปที่ 5
  • 6.
    รูปที่ 5 9. จากรูปที่5 นักเรียนจะพบเสนตั้งฉาก 2 เสนตัดกัน ใหนักเรียนสรางจุดตัด ณ ตําแหนงนี้ แลวสรางสวนของเสนตรงเชื่อมกับจุดบนแกน X ที่สรางจากขอ 7 หลังจากนั้นใหทําการซอนเสน ตาง ๆ ที่ไมใช จนเหลือสวนของเสนตรงกับจุด ดังรูปที่ 6 สรางจุดตัด ซอน รูปที่ 6 10. ใหนักเรียนใชคําสั่งการวัดเพื่อวัดความยาวสวนของเสนตรงทั้ง 2 เสน จากนั้นใหสราง ปุมเพื่อเคลื่อนที่จุดบนเสนตั้งฉากและสรางรอยทางเดินของจุดตัดที่ไดจากขอ 9 แลวใหนักเรียน สังเกตลักษณะรอยการเดินของจุด กับความยาวสวนของเสนตรงทั้ง 2 เสนในขณะที่จุดตัดกําลัง เคลื่อนที่ แลวสรุปเปนนิยามของพาราโบลา
  • 7.
    V พาราโบลา (Parabola) บทนิยาม พาราโบลาคือ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . เสนตรงคงที่ เรียกวา ไดเรกตริกซ ของพาราโบลา จุดคงที่ เรียกวา โฟกัส ของพาราโบลา เสนตรงซึ่งผานโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ เรียกวา แกน ของพาราโบลา จุดที่พาราโบลาตัดแกนของพาราโบลา เรียกวา จุดยอด ของพาราโบลา P F L D จากรูป เสนตรง L เปน . . . . . . . . . . . . . . . จุด F เปน . . . . . . . . . . . . . . เสนตรงที่ผาน FV เปน . . . . . . . . . . . . . . . จุด V เปน . . . . . . . . . . . . . . P เปนจุดใดๆ บนโคงพาราโบลา ซึ่ง |PF | . . . . . |PD | เสมอ พาราโบลาที่มีจุด (0,0) เปนจุดยอด กรณีที่ 1 โฟกัสอยูที่จุด (c,0) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -c
  • 8.
    ให P(x,y) เปนจุดใดๆบนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซที่จุด D จากบทนิยาม จะได PF . . . PD นั่นคือ 22 ...)(...)( −+− yx = | X – . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . นั่นคือ สมการพาราโบลาที่มีโฟกัสอยูที่จุด (c,0) ไดเรกตริกซ เปนเสนตรง x = -c คือ . . . . . . . . . . . . . ถา c > 0 จะได . . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดทาง . . . . . . ถา c < 0 จะได . . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดทาง . . . . . . กรณีที่ 2 โฟกัสอยูที่จุด (0,c) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง y = - c จากรูป P(x,y) เปนจุดๆ บนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซที่จุด D ในทํานองเดียวกัน สมการพาราโบลาที่โฟกัสอยูที่จุด (0,c) ไดเรกตริกซ เปนเสนตรง y = -c คือ . . . . . . . . . . . ถา c > 0 จะได . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดดาน . . . . . . . ถา c < 0 จะได . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดดาน . . . . . . .
  • 9.
    1. จากความสัมพันธที่กําหนดให ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลาจงหาโฟกัส สมการของไดเรกตริกซ แกนสมมาตร พรอมเขียนกราฟโดยใชโปรแกรม GSP 1) { (x,y) ∈ RxR | x2 = -12y } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) { (x,y) ∈ RxR | y2 – 4x = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. จงหาสมการพาราโบลา ที่มีสมบัติตอไปนี้ 1) มี (5,0) เปนโฟกัส และไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบฝกหัดที่ 1
  • 10.
    2) มีจุด (0,0)เปนจุดยอดและจุด (0,- 2 3 ) เปนโฟกัส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) ผานจุด (1,5) และโฟกัสอยูบนแกน Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -2 และโฟกัสอยูที่จุด (2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) กราฟตะแคงซาย และผานจุด (– 2 , 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • 11.
    กิจกรรมการเรียนรู โดยใชโปรแกรม GSP 1.ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP สรางกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุด (0,0) ขึ้นมา 1 รูป โดยเลือกเมนูแลวไปที่ กราฟ วาดกราฟของฟงกชันใหม แลวใสสมการ พาราโบลาเขาไป (หมายเหตุ : นักเรียนตองจําไววาโปรแกรม GSP จะเขียนกราฟของฟงกชันเทานั้น เชน ถาตองการกราฟพาราโบลาจากสมการ xy 202 = นักเรียนจะตองจัดสมการใหมใหอยูใน รูปของฟงกชัน คือ xy 20= ซี่งก็คือ xxf 20)( = หรือ yx 202 = นักเรียนจะตอง จัดสมการใหมใหอยูในรูปของฟงกชัน คือ 20 2 x y = ซี่งก็คือ 20 )( 2 x xf = นั่นเอง ) 2. ใหนักเรียนเลื่อนกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุด (0,0) ที่นักเรียนสรางขึ้น ไปไวที่ จุด (h,k) แลวแตนักเรียนจะกําหนด โดยมีขั้นตอน ดังนี้ 2.1 คลิกเลือกจุดยอด (0,0) แกน x แกน y และกราฟพาราโบลาที่สรางไว แลวทํา การคัดลอก จากนั้นใหซอนกราฟพาราโบลารูปเดิม ก็จะไดดังรูปที่ 1 รูปที่ 1 2.2 ใหนักเรียนทําการสแนพจุด โดยเลือกเมนูแลวไปที่ กราฟ สแนพจุด จากนั้นใหลงจุดอิสระ (h,k) ไวที่พิกัดใด ๆ ก็ได 1 จุด พรอมทั้งตั้งชื่อ เชน จุด A แลวสรางปุมการ เคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดยอดไปหาจุด A และสรางปุมการเคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดยอดไปหาจุดกําเนิด (0,0) ดวย ดังรูปที่ 2 หลังจากนั้นใหนักเรียนลองเลื่อนจุด A ไปไวที่พิกัดตาง ๆ แลวกดปุมเลื่อน จุดยอดของกราฟพาราโบลาไปหาจุด A พรอมทั้งสังเกตพิกัดของจุดยอดของกราฟพาราโบลาที่ เปลี่ยนไปตามจุด A เชน – พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . . – พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . . – พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . . กิจกรรมการเรียนรูที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด
  • 12.
    3. จากพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0)และเลื่อนขนานแกนไปที่ (h,k) ดังนั้น สมการพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม คือ (x′)2 = 4Cy′ และ (y′)2 = 4Cx′ แตจากการเลื่อน ขนานของแกน นักเรียนทราบมาแลววา x′ = ……… และ y′ = ……….. ดังนั้น จะไดสมการ พาราโบลาเทียบกับแกนเดิม คือ (……….)2 = 4C(……….) และ (……….)2 = 4C(……….) ตามลําดับ 4. ใหนักเรียนสรางหนาเอกสารใหม แลวสรางกราฟของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) ตามขั้นตอนตอไปนี้ 4.1 สรางระบบพิกัดเปนกริดแบบจัตุรัส แลวไปที่ กราฟ พารามิเตอรใหม ตั้ง ชื่อ h และคาเปน 0 ดังรูปที่ 3 โดยใหนักเรียนใชคําสั่งพารามิเตอรใหมนี้สรางคาของ k และ c ตามลําดับ รูปที่ 2 รูปที่ 3
  • 13.
    4.2 ใหนักเรียนใชคําสั่ง วาดกราฟของฟงกชันใหมเพื่อเขียนกราฟพาราโบลาที่มี จุดยอดที่จุด (h,k) ซึ่งนักเรียนจะตองจัดสมการใหมใหอยูในรูปของฟงกชัน โดยสมการพาราโบลา (x-h)2 = 4C(y-k) จัดสมการใหมเปน ( ) k c hx y + − = 4 2 และสมการพาราโบลา (y-k)2 = 4C(x-h) จัดสมการใหมเปน ( ) khxcy +−±= 4 เมื่อนักเรียนจัดสมการใหมไดแลวใหสรางสมการ ในคําสั่งวาดกราฟของฟงกชันใหม โดยแทนคาของ h , k และ c ดวยคาพารามิเตอรที่ไดสรางไว ก็จะไดกราฟพาราโบลาตามตองการ ดังรูปที่ 4 (เปนกราฟของสมการ (x-h)2 = 4C(y-k)) รูปที่ 4 4.3 ใหนักเรียนคลิกเลือกคาพารามิเตอร h , k หรือ c คาใดคาหนึ่งหรือจะเลือกพรอม กันก็ได แลวกดปุม + หรือ – เพื่อทําการเพิ่มหรือลดคาของพารามิเตอร ซึ่งการกระทําดังกลาวจะ ทําใหจุดยอดของกราฟเปลี่ยนไป (เมื่อคาของ h หรือ k เปลี่ยน) และขนาดของกราฟพาราโบลาจะ เปลี่ยน (เมื่อคาของ c เปลี่ยน) หลังจากนั้นใหนักเรียนสังเกตจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ ของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) เมื่อเทียบกับจุดยอดอยูที่จุด (0,0) เพื่อสรุปเปนรูปแบบในการ หาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) ตอไป
  • 14.
    c c พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด จากพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด(0,0) และเลื่อนแกนทางขนานไปที่ (h,k) ดังนั้น สมการพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม คือ (x′)2 = 4cy′ และ (y′)2 = 4cx′ แต y′ = y – k และ x′ = x – h ดังนั้น สมการพาราโบลาเทียบกับแกนเดิม คือ (x-h)2 = 4c(y-k) และ (y-k)2 = 4c(x-h) ตามลําดับ ซึ่งมีรายละเอียดดังตารางขางลาง สมการ (x-h)2 = 4c(y-k) สมการ (y-k)2 = 4c(x-h) Y Y′ Y Y′ x =…….. F(…… , ……) D V(h,k) F(…… , …...) X′ V(h,k) X′ y =…….. D O X O X จุดยอด (h,k) จุดยอด (h,k) โฟกัส (… , ……) โฟกัส (…… , …) สมการไดเรกตริกซ y = …… สมการไดเรกตริกซ x = …… แกนพาราโบลา เสนตรงขนานกับแกน … แกนพาราโบลา เสนตรงขนานกับแกน … ความยาวเลตัสเรกตัม |……| ความยาวเลตัสเรกตัม |……| c > 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c > 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c < 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c < 0 กราฟพาราโบลาเปด……
  • 15.
    ตัวอยางที่ 1 จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่(-1,4) และมี (-1,1) เปนโฟกัส วิธีทํา พิจารณาจากจุด (-1,4) และ (-1,1) ซึ่งอยูในแนวเสนตรงขนานแกน y ดังนั้น สมการ คือ (x-h)2 = 4c(y-k) เนื่องจากจุด (-1,4) เปนจุดยอด จะได h = –1 และ k = 4 และจุด (-1,1) เปนโฟกัส เทียบกับ (h,k+c) ดังนั้น k+c = 1 หรือ 4+c = 1 นั่นคือ c = -3 ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ (x+1)2 = -12(y-4) หรือ x2 +2x+12y-47 = 0 ตัวอยางที่ 2 จงหาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ พรอมเขียนกราฟจากสมการ พาราโบลา y2 -8y+8x-8 = 0 วิธีทํา จากสมการ 08882 =−+− xyy จัดสมการใหม 8882 +−=− xyy 2481682 +−=+− xyy ( ) ( )384 2 −−=− xy เมื่อเทียบกับสมการ (y-k)2 = 4c(x-h) จะไดวา 84 −=c 2−=c ดังนั้น จุดยอด คือ (3 , 4) โฟกัส คือ (h+c,k) = (1 , 4) และสมการไดเรกตริกซ คือ x = h – c x = 3 – (– 2) = 5
  • 16.
    1. จงหาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ พรอมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธตอไปนี้ โดยใชโปรแกรม GSP 1) { (x,y) ∈ RxR | x2 +6x-8y+41 = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) { (x,y) ∈ RxR | y2 -4y+6x-8 = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) { (x,y) ∈ RxR | 3x2 -12x-y+12 = 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบฝกหัดที่ 2
  • 17.
    2. จงหาสมการพาราโบลา ที่มีสมบัติตอไปนี้ 1)จุดยอดอยูที่จุด (3,4) และโฟกัสอยูที่จุด (1,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) จุดยอดอยูที่จุด (-2,6) และโฟกัสอยูที่จุด (-2,-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) จุดยอดอยูที่ (-4,3) และเสนไดเรกตริกซ คือ x+5 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) จุดยอดอยูบนเสนตรง x = 3 และผานจุด (5,0) และ (-1,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • 18.
    1. จากสิ่งที่กําหนดใหตอไปนี้ จงหาสมการของพาราโบลา 1)จุดยอดอยูที่จุด (0,0) และโฟกัสอยูที่จุด (0, 2 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) จุดยอดอยูที่จุด (0,0) และไดเรกตริกซคือเสนตรง y = -2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) โฟกัสอยูที่จุด (–2,0) และไดเรกตริกซคือเสนตรง x = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) จุดยอดอยูที่ (0,3) โฟกัสอยูที่ (0,–1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) มีจุด (3,5) และจุด (3,–3) เปนจุดปลายของเลตัสเรกตัม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบทดสอบทายชุดการเรียนที่ 3
  • 19.
    2. จงหาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ จากสมการพาราโบลาตอไปนี้ 1) 0122 =+ xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) 0122 =+ yx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) 522 ++= xxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) 07262 =+−+ yxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) 08642 =−+− xyy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .