Downloaded 30 times
Απαλοιφή του Γκάους
- 1. απαλοιϕή του γκάους Παραδείγματα- Αλγόριθμος Μανόλης Βάβαλης 07/10/2015 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
- 2. Ερώτηση Πόσες λύσεις έχειτο παρακάτω σύστημα? 5x1 + 2x2 − 3x3 = 4 12x1 − 7x2 + 2x3 = 8 −3x1 + 4x2 + 5x3 = 10 1
- 3. Ορισµός Απαλοιφή του Γκάουςείναι ένας αλγόριθμος που μετατρέπει ένα σύστημα σε ένα ισοδύναμο άνω τριγωνικό. 2
- 4. Σύστηµα 4 ×4 x2 + 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 b = 1 4 2 7 3
- 5. Σύστηµα 4 ×4. Επαυξηµένος Πίνακας M = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 1 4 2 7 4
- 6. Σύστηµα 4 ×4. Τα Βήµατα της Απαλοιϕής 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 1 4 2 7 εναλλαγές εξ. −−−−−−−→ 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 1 2 −1 0 2 3 −1 4 2 1 7 Ε1+Ε2→Ε2 −−−−−−→ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 2 −1 0 2 3 −1 4 6 1 7 Ε3−Ε2→Ε3 Ε4−2 Ε2→Ε4 −−−−−−−→ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 −1 0 0 1 −1 4 6 −5 −5 Ε4−Ε3→Ε4 −−−−−−→ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 4 6 −5 0
- 7. Σύστηµα 4 ×4. Τα Βήµατα της Απαλοιϕής 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 1 4 2 7 εναλλαγές εξ. −−−−−−−→ 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 1 2 −1 0 2 3 −1 4 2 1 7 Ε1+Ε2→Ε2 −−−−−−→ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 2 −1 0 2 3 −1 4 6 1 7 Ε3−Ε2→Ε3 Ε4−2 Ε2→Ε4 −−−−−−−→ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 −1 0 0 1 −1 4 6 −5 −5 Ε4−Ε3→Ε4 −−−−−−→ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 4 6 −5 0 5
- 8. Η λύση x4 =k, x3 = −5 + k, x2 = 11 − k x1 = 9 − 2k όπου k οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. 6
- 9. Αλγόριθµος της απαλοιϕήςχωρίς οδήγηση Για k = 1, . . . , n − 1 (τα βήματα της απαλοιφής) . Για i = k + 1, . . . , n (οι υπόλοιπες εξισώσεις) . p = ai,k/ak,k . Για j = k + 1, . . . , n (συντελ. υπολοίπων αγνώστων) . ai,j = ai,j − p · ak,j . bi = bi − p · bk 7
- 10. Η απαλοιϕή µεχρώµατα Δεν χρησιμοποιούνται, χρησιμοποιούνται, υπολογίζονται 8
- 11.
- 12. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 10
- 13. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 10
- 14. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το as,k) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 10
- 15. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το as,k) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2.2 αν δεν υπάρχει τότε προχωράς στο επόμενο βήμα της απαλοιφής 10
- 16. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 11
- 17. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 11
- 18. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 11
- 19. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 11
- 20. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 0 4 2 0 0 0 4 2 11
- 21. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 0 4 2 0 0 0 4 2 οδηγά στοιχεία τα 2, 0, 0, 4, 11
- 22. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 0 4 2 0 0 0 4 2 οδηγά στοιχεία τα 2, 0, 0, 4, λύση η x4 = 1/2, x3 = s, x2 = t, x1 = 2 − t + s/2 − 3/2. 11
- 23. Θεώρηµα ύπαρξης καιµοναδικότητας λύσης Κάθε σύστημα έχει μοναδική λύση ανν a (i) i,i ̸= 0 ∀i όπου a (i) i,i είναι το i-στο διαγώνιο στοιχείο μετά την διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση. 12
- 24. Ασκήσεις 1. Άλλαξε μιαή περισσότερες τιμές στον παραπάνω αρχικό πίνακα έτσι ώστε το σύστημα να (α) έχει μόνον μια λύση και (β) να μην έχει καμία λύση. 2. Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το παρακάτω σύστημα? x1 + x2 + x3 = b1 tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2 (t + 1)x1 + 2tx3 = b3 3. Υπολογίστε την λύση του παραπάνω συστήματος αν b1 = 3, b2 = 3t + 2 και b3 = 3t + 1. 4. Έχει το παρακάτω σύστημα λύση? 2 sin α − cos β + 3 tan γ = 3 4 sin α + 2 cos β − 2 tan γ = 10 13
- 25.
- 26. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 15
- 27. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 15
- 28. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 b = 1 4 2 7 15
- 29. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 b = 1 4 2 7 x = x1 x2 x3 x4 15
- 30. Διανύσµατα Ορισμός - Διάνυσμαείναι ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε μια σειρά. Συμβολισμός - x ∈ Rn ⇒ x = x1 x2 . . . xn , xi ∈ R, i = 1, . . . , n Στοιχεία διανύσματος - xi είναι η i-στη συνiστώσα του διανύσματος x. 16
- 31. Πράξεις µε διανύσµατα x,y ∈ Rn , x + y = x1 x2 ... xn + y1 y2 ... yn = x1 + y1 x2 + y2 ... xn + yn α ∈ R, αx = α x1 x2 ... xn = αx1 αx2 ... αxn 17
- 32. Γραµµικός συνδοιασµός διανυσµάτων α,β, γ ∈ R, x, y, z ∈ Rn αx + βy + γz = = α x1 x2 ... xn +β y1 y2 ... yn +γ z1 z2 ... zn = αx1 + βy1 + γz1 αx2 + βy2 + γz2 ... αxn + βyn + γzn 18
- 33.
- 34. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 19
- 35. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 3 · 1 2 3 − 7 · 0 2 4 + 2 · 1 −1 0 = 19
- 36. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 3 · 1 2 3 − 7 · 0 2 4 + 2 · 1 −1 0 = 3 · 1 − 7 · 0 + 2 · 1 3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) 3 · 3 − 7 · 4 + 2 · 0 = 19
- 37. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 3 · 1 2 3 − 7 · 0 2 4 + 2 · 1 −1 0 = 3 · 1 − 7 · 0 + 2 · 1 3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) 3 · 3 − 7 · 4 + 2 · 0 = 5 −10 −19 19
- 38. Άσκηση 7 · 1 2 3 −3 · 0 2 4 − 2 · 1 −1 0 = 20
- 39. Άσκηση 7 · 1 2 3 −3 · 0 2 4 − 2 · 1 −1 0 = Α) 5 −10 −19 Β) 5 −9 10 Γ) 5 10 9 Δ) 5 −19 −10 Ε) 5 10 19 20
- 40. γραµµών) Για k =1, . . . , n − 1 (τα βήματα της απαλοιφής) . Για i = k + 1, . . . , n (οι υπόλοιπες εξισώσεις) . p = ai,k/ak,k . Για j = k + 1, . . . , n (συντελ. υπολοίπων αγνώστων) . ai,j = ai,j − p · ak,j . bi = bi − p · bk 21
- 41. Η απαλοιϕή µεχρώµατα Δεν χρησιμοποιούνται, χρησιμοποιούνται, υπολογίζονται 22
- 42.
- 43. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 24
- 44. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 24
- 45. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το as,k) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 24
- 46. Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο(έστω k) βήμα της απαλοιφής 1. αν ak,k ̸= 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το as,k) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2.2 αν δεν υπάρχει τότε προχωράς στο επόμενο βήμα της απαλοιφής 24
- 47. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 25
- 48. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 25
- 49. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 25
- 50. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 25
- 51. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 0 4 2 0 0 0 4 2 25
- 52. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 0 4 2 0 0 0 4 2 οδηγά στοιχεία τα 2, 0, 0, 4, 25
- 53. Παράδειγµα µε µηδενικόοδηγό 0 0 6 0 12 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 → 2 2 −1 6 4 4 4 1 10 13 8 8 −1 26 23 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 3 2 7 0 0 6 0 12 → 2 2 −1 6 4 0 0 3 −2 5 0 0 0 4 2 0 0 0 4 2 οδηγά στοιχεία τα 2, 0, 0, 4, λύση η x4 = 1/2, x3 = s, x2 = t, x1 = 2 − t + s/2 − 3/2. 25
- 54. Θεώρηµα ύπαρξης καιµοναδικότητας λύσης Κάθε σύστημα έχει μοναδική λύση ανν a (i) i,i ̸= 0 ∀i όπου a (i) i,i είναι το i-στο διαγώνιο στοιχείο μετά την διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση. 26
- 55. Ασκήσεις 1. Άλλαξε μιαή περισσότερες τιμές στον παραπάνω αρχικό πίνακα έτσι ώστε το σύστημα να (α) έχει μόνον μια λύση και (β) να μην έχει καμία λύση. 2. Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το παρακάτω σύστημα? x1 + x2 + x3 = b1 tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2 (t + 1)x1 + 2tx3 = b3 3. Υπολογίστε την λύση του παραπάνω συστήματος αν b1 = 3, b2 = 3t + 2 και b3 = 3t + 1. 4. Έχει το παρακάτω σύστημα λύση? 2 sin α − cos β + 3 tan γ = 3 4 sin α + 2 cos β − 2 tan γ = 10 27
- 56.
- 57. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 29
- 58. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 29
- 59. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 b = 1 4 2 7 29
- 60. Διανύσµατα και Πίνακες x2+ 2 x3 − x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 −x1 + x2 − x4 = 2 2 x2 + 3 x3 − x4 = 7 A = 0 1 2 −1 1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 3 −1 b = 1 4 2 7 x = x1 x2 x3 x4 29
- 61. Διανύσµατα Ορισμός - Διάνυσμαείναι ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε μια σειρά. Συμβολισμός - x ∈ Rn ⇒ x = x1 x2 . . . xn , xi ∈ R, i = 1, . . . , n Στοιχεία διανύσματος - xi είναι η i-στη συνiστώσα του διανύσματος x. 30
- 62. Πράξεις µε διανύσµατα x,y ∈ Rn , x + y = x1 x2 ... xn + y1 y2 ... yn = x1 + y1 x2 + y2 ... xn + yn α ∈ R, αx = α x1 x2 ... xn = αx1 αx2 ... αxn 31
- 63. Γραµµικός συνδοιασµός διανυσµάτων α,β, γ ∈ R, x, y, z ∈ Rn αx + βy + γz = = α x1 x2 ... xn +β y1 y2 ... yn +γ z1 z2 ... zn = αx1 + βy1 + γz1 αx2 + βy2 + γz2 ... αxn + βyn + γzn 32
- 64.
- 65. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 33
- 66. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 3 · 1 2 3 − 7 · 0 2 4 + 2 · 1 −1 0 = 33
- 67. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 3 · 1 2 3 − 7 · 0 2 4 + 2 · 1 −1 0 = 3 · 1 − 7 · 0 + 2 · 1 3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) 3 · 3 − 7 · 4 + 2 · 0 = 33
- 68. Παραδείγµατα 1 2 3 + 4 5 6 = 5 7 9 ; − 1 · 1 2 3 = −1 −2 −3 3 · 1 2 3 − 7 · 0 2 4 + 2 · 1 −1 0 = 3 · 1 − 7 · 0 + 2 · 1 3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) 3 · 3 − 7 · 4 + 2 · 0 = 5 −10 −19 33
- 69. Άσκηση 7 · 1 2 3 −3 · 0 2 4 − 2 · 1 −1 0 = 34
- 70. Άσκηση 7 · 1 2 3 −3 · 0 2 4 − 2 · 1 −1 0 = Α) 5 −10 −19 Β) 5 −9 10 Γ) 5 10 9 Δ) 5 −19 −10 Ε) 5 10 19 34