ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΛ 2020

Σχολικά έτη 18-19,19-20,20-21 Όλη η Θεωρία !
Μαθηματικών Γ΄ Ομάδες Προσανατολισμού
68 Ερωτήσεις με Απαντήσεις , Σημαντικά Σχόλια ,
Σ-Λ Πανελληνίων 2015-2020 και
Υποδείξεις- Επισημάνσεις Υ.ΠΑΙ.Θ
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου ,Msc μαθηματικού
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/904

ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ – ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ & ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 2020
Επιμέλεια,Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου
http://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/904
1
H Ύλη για το σχολικό 19-20 είναι εδώ:
https://www.esos.gr/sites/default/files/articles-legacy/exetastea_yli_panelladikes_2020.pdf
και είναι η κάτωθι :
Φ.Ε.Κ Αρ. Φύλλου 2875 – 05/07/2019

2
10 Σημαντικές Παρατηρήσεις – Επισημάνσεις
1. Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο
δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
2. Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία
ούτε ως ασκήσεις, μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση
ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
3. Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που
αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.
4. Οι τύποι (ημx)΄= συνx (σελ. 107) και (συνx)΄=-ημx (σελ. 108) να δοθούν χωρίς
απόδειξη.

3
5.
ΝΕΑ ΟΔΗΓΙΑ (2019-2020)
6.
7. Από τη διδακτέα-εξεταστέα ύλη εξαιρούνται οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου που
αναφέρονται σε τύπους τριγωνομετρικών αριθμών αθροίσματος γωνιών, διαφοράς
γωνιών και διπλάσιας γωνίας.

4
8. Στο εισαγωγικό κείμενο της παρουσίασης της έννοιας της παραγώγου
σύνθετης συνάρτησης σελίδα 116, η συνάρτηση 2y x να αντικατασταθεί
από μια άλλη, για παράδειγμα την ln 2y x
       
1 1
ln 2 ln 2 ln ln 2 ln 0
           
 
x x x
x x
.
9.
10.
Κεφάλαιο 1ο – Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης
Παράγραφοι εντός ύλης :
1.1 ,
1.2,
1.3,
1.4
1.5 (χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου " Τριγωνομετρικά όρια")
1.6 ,
1.7 ,
1.8.

5
23 Ερωτήσεις- Απαντήσεις Θεωρίας στο 1ο Κεφάλαιο
1 ) Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση και τι ονομάζουμε γραφική
παράσταση συνάρτησης ; σελ 15 – 18 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ E2018 , 2019
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2018 Σ-Λ

6
2 ) Πότε δυο συναρτήσεις είναι ίσες ; σελ23 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2007,2016
3 ) Πως ορίζονται οι πράξεις συναρτήσεων : f(x)+ g(x), f(x)- g(x), f(x)∙g(x) ,
)(
)(
xg
xf
; σελ23-24
4 ) Τι ονομάζουμε σύνθεση της f(x) με την g(x); σελ25 – Προσοχή στα σχόλια.

7
5 ) Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα
και πότε γνησίως μονότονη σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της;
σελ31

8
6 ) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο και πότε ολικό
ελάχιστο; σελ 32. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2014
7 ) Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1 ; σελ 33,34 - Προσοχή στα σχόλια σελ34.

9
8 ) Πότε ορίζεται η αντίστροφη μιας f(x) και τι γνωρίζετε για τις γραφικές
παραστάσεις τους ; σελ 35-37.ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2019
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2018 Σ-Λ
9 ) Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη ; σελ47-48

10

11
10 ) Ποιες οι ιδιότητες των ορίων ; σελ48
11 ) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώνυμο P(x), ισχύει
limP(x) =P(x0) , καθώς x→x0. σελ 49.

12
12 ) Αποδείξτε ότι :
)(
)(
)(
)(
lim
0
0
0
xQ
xP
xQ
xP
xx

, σελ 49
13 ) Διατυπώστε το κριτήριο παρεμβολής (ΚΠ) , σελ 51.
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ E2016
14 ) Ποια σημαντικά τριγωνομετρικά όρια πρέπει να ξέρω ; (Χωρίς Απόδειξη)
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ε2017 & 2018 Σ-Λ
15 ) Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες μη πεπερασμένου ορίου στο χ0 ;
σελ 60.- Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στη σελίδα 61.

13

14
16 ) Πως υπολογίζονται τα όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο
άπειρο ;σελ 65-66. – Τι πρέπει να ξέρετε για τα όρια εκθετικής και
λογαριθμικής συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού τους; σελ 67.
17 ) Τι πρέπει να ξέρω για το Πεπερασμένο όριο Ακολουθίας ! σελ 68

15
18 ) Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 στο πεδίο ορισμού της ;
σελ 70 - Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β) και πότε στο [α, β] ;
σελ 73. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2008,2012,2015,2017
19 ) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο x0 , τότε ποιες άλλες
συναρτήσεις που ορίζονται μέσω των f, g είναι συνεχείς στο x0 ;σελ72
20 ) Τι ισχύει για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων στο x0 ; σελ 72.
21 ) Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική
του ερμηνεία. σελ 74. - Προσοχή στο σχόλιο σελ 74-75.
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΛΑΙΟ 2020

16
22 ) Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το
αποδείξετε. σελ 76. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2005, 2015, ΝΕΟ 2020
23 ) Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα μέγιστης και
ελάχιστης τιμής , σελ 77 - Προσοχή στη σελ 77-78.

17

18
Κεφάλαιο 2ο – Διαφορικός Λογισμός
2.1 (χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"),
2.2 (χωρίς τις αποδείξεις των τύπων (ημχ)΄=συνχ στη σελίδα 106 και (συνχ)΄=-ημχ στη σελίδα 107) ,
2.3 (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.)
2.4 , 2.5 , 2.6 ,
2.7 (χωρίς το θεώρημα της σελίδας 146 κριτήριο της 2ηςπαραγώγου) ,
2.8 , 2.9 , 2.10
33 Ερωτήσεις – Απαντήσεις Θεωρίας στο 2ο Κεφάλαιο
24 ) Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή to ;
Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο
to ; σελίδα 91-92
25 ) Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) στο Α(x0, f(x0));
σελ 94

19
26 ) Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της; σελ 95.ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2004 & 2009
27 ) Τι ονομάζεται κλίση της f στο x0 και ποια είναι η εξίσωση της
εφαπτομένης της f ; σελ96
28 ) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο
xο , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό, σελ 99.ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2003,2018

20
29 ) Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) , πότε στο [α, β] ;σελ
104. – Δώστε τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης f΄ .
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2013, ΠΑΛΑΙΟ & ΝΕΟ 2020

21
30 ) Αποδείξτε ότι : ( c )΄ = 0 , (x)΄ = 1 , (xν)΄ = νxν-1 , ( x )΄ =
x2
1
x>0,
31 ) Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι παραγωγίσιμες στο x0 , να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει:
(f + g)΄(x0) = f΄(x0) +g΄(x0) σελ 111.
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΛΑΙΟ 2020

22
32 ) Αποδείξτε ότι : (x-ν)΄ = -νxν-1 , ν Ν* , (εφx)΄ =
x2
1

στο R1σελ114.
33 ) Πότε η συνάρτηση f(g(x)) είναι παραγωγίσιμη στο x0 και πότε σε ένα
διάστημα Δ; σελ116
34 ) Αποδείξτε ότι στο (0,+∞) ισχύει: f΄(x) = ( xα )΄ = αxα-1 , α R-Ζ, σελ 116.

23
35 ) Αποδείξτε ότι : (αx)΄ = αx·lnα , α > 0 για κάθε xR.σελ 116.
36 ) Αποδείξτε ότι : (ln x )΄ =
x
1
, για κάθε xR*. σελ 117.
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2008
37 ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f (x) , τι
ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x0 ;σελ123
38 ) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.
σελ 128.

24
39 ) Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε
γεωμετρικά. σελ 128-129. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2003,2013,2016
40 ) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής
στο Δ και f΄(x)= 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι:
η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. σελ 133.ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2009, 2014
41 ) Αν για μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται
από ένωση διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και f ΄(x) = 0 για κάθε
ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Α, τότε η f είναι σταθερή στο Α; Δώστε
αντιπαράδειγμα. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2019
42 ) Έστω δυο συναρτήσεις f ,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
 οι f ,g είναι συνεχείς στο Δ και
 f ΄(x) = g΄(x) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι
υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε xΔ να ισχύει: f(x)= g(x)+ c. σελ 133

25
43 ) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.
 Αν f ΄(x)> 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως
αύξουσα σε όλο το Δ.
 Αν f ΄(x)< 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως
φθίνουσα σε όλο το Δ. σελίδα 135ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 06,12,17 , Σ-Λ 2018, 2019
44 ) Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο.
σελίδα 140-141 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2012,2015

26
45 ) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat. σελίδα 142
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2004,2011, E2016, E2017 , 2019

27
46 ) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων και ποια σημεία
ονομάζονται κρίσιμα; σελίδα 143
47 ) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο του x0 ,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
Να αποδείξετε ότι:
i) Αν f ΄(x)> 0 στο 0 (α, xο ) και f ΄(x)< 0 στο (xο ,β) , τότε το f (xο) είναι
τοπικό μέγιστο της f , σελ 144 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2016

28
48 ) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο xο, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ΄(x) διατηρεί
πρόσημο στο (α, xο)(xο ,β) , να αποδείξετε ότι το f (xο) δεν είναι τοπικό
ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β) . σελ 144
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ E2018

29
49 ) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο
εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε
προς τα κάτω; σελ 155 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2006, 2010, 2014
Έως ΕΔΩ για το σχολικό έτος 2019-2020

30
50 ) Πότε ένα σημείο Α(xο ,f (xο)) ονομάζεται σημείο καμπής της Cf ;σελ 157
51 ) Ποια είναι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f
με μία εφαπτομένη της με βάση τη κυρτότητα της συνάρτησης f; σελίδα 156
52 ) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; - Αν μια συνάρτηση f είναι
δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο A(xο,f(xο)) είναι σημείο καμπής της,
τότε τι ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της f στο xο ; σελ 157-158
53 ) Πότε η ευθεία x = xο λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της f; σελ 161 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2010
54 ) Πότε η ευθεία y =λ , λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο - ∞ ); σελίδα 162
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2007, E2016

31
55 ) Πότε η ευθεία y =λx+β , λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f στο +∞ (αντιστοίχως στο - ∞ ); σελίδα 162
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2005,2011
56 ) Να διατυπώσετε τα θεωρήματα del’ Hospital . σελ 164-165

32
Κεφάλαιο 3ο – Ολοκληρωτικός Λογισμός
3.1 ( Μόνο η υποπαράγραφος «Αρχική συνάρτηση» που θα
συνοδεύεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων ο οποίος θα περιλαμβάνεται
στις διδακτικές οδηγίες) ,
3.4 ,
3.5 ,
3.7 (χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 230)
Υποδείξεις- Οδηγίες- Παράγραφος 3.1
 Στην Παράγραφο 3.1 , ο Πίνακας Αορίστων Ολοκληρωμάτων να
αντικατασταθεί απ΄ τονπαρακάτω Πίνακα Παραγουσών.

33
Οδηγίες
Υπόδειξη- Οδηγίες - Παράγραφος 3.5
Διατυπώνεται χωρίς να αποδειχθεί η πρόταση :
«Αν f : ΔR , όπου Δ διάστημα , είναι μια συνεχής συνάρτηση , τότε για κάθε
αΔ, η συνάρτηση F(x) = 
x
dttf

)( , είναι μια παράγουσα της f.»
Με τη βοήθεια αυτής αποδεικνύεται το θεμελιώδες θεώρημα της Ανάλυσης. Η εισαγωγή
της F(x) = 
x
dttf

)( , γίνεται για να αποδειχθεί το θεμελιώδες θεώρημα του
Ολοκληρωτικού Λογισμού και να αναδειχθεί η σύνδεση Διαφορικού και Ολοκληρωτικού
Λογισμού.
Για το λόγο αυτό δεν θα διδαχθούν ασκήσεις που αναφέρονται στην παραγώγιση της
F(x) = 
x
dttf

)( ,και γενικότερα της F(x) = 
)(
)(
xg
dttf

.
12 Ερωτήσεις - Απαντήσεις Θεωρίας στο 3ο Κεφάλαιο
57 ) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζετε αρχική
συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ; σελ185

34
58 ) Να αποδείξετε ότι:
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα
της f στο Δ, τότε :
 όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F(x)+ c , cR ,είναι παράγουσες
της f στο Δ και
 κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F(x)+ c.
σελ186 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2010
59 ) Να δώσετε τον ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη
γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α
και x = β. σελ210

35
60 ) Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς
συνάρτησης f στο [α, β]. σελ212
61 ) Ποιες οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος;σελ212-214

36
62 ) Ποιος είναι ο τύπος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης;σελ218
63 ) Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής; σελ219
64 ) Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού και
να το αποδείξετε. σελ216ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2002,2013,2018
65 ) Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β] με
f (x)≥ g(x) ≥ 0 για κάθε x [α, β].

37
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x = α και x = β είναι:
E(Ω) = dxxgxf
a
 

))()(( . σελ 225
66 ) Ο Τύπος (1) ισχύει και στην περίπτωση που είναι ΜΟΝΟ f (x)≥ g(x) .
Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α ,β]
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες x = α και x = β είναι:
E(Ω) = dxxgxf
a
 

))()(( . σελ 226

38
67 ) Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β]
Πώς υπολογίζεται το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
γραφικές παραστάσεις των f, g, και τις ευθείες x = α και x = β αν δεν
διατηρεί πρόσημο η διαφορά τους ; σελ 227
68 ) Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [α, β] με g(x)< 0
για κάθε x  [α, β] .
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της g, του άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και
x = β είναι: E(Ω) = dxxg
a
 

))(( . σελ226-227

39
Σημαντικά Σχόλια Κεφαλαίου 3
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α5) 2019

40
Σωστά – Λάθος Πανελληνίων Εξετάσεων 2015-2020
2015
1. Αν 0)x(flim
0xx

, και f(x) > 0 κοντά στο xο, τότε 
 )x(f
lim
xx
1
0
Σ Λ
2.
Αν για δυο συναρτήσεις f , g ορίζονται οι συναρτήσεις gf  και
fg  , τότε ισχύει πάντοτε gf  = fg  .
Σ Λ
3. Για κάθε x R ισχύει (συνx)΄ = ημx. Σ Λ
4.
Έστω f(x) συνεχής στο [α, β]. Αν ισχύει ότι f(x) ≥ 0 για κάθε x
στο [α, β] και η συνάρτηση f(x) δεν είναι παντού μηδέν στο
διάστημα αυτό, τότε  

a
dx)x(f 0.
Σ Λ
5.
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x) ≤g(x)
κοντά στο xο , τότε )x(flim
xx 0
≤ )x(glim
xx 0
. Σ Λ
6.
Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου
του 2 της οποίας η γρ. παράσταση έχει ασύμπτωτη.
Σ Λ
7. Αν )x(flim
xx 0
= - ∞ , τότε f(x) > 0 κοντά στο xο. Σ Λ
8.
Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και Gμια
παράγουσα της f στο [α, β] , τότε πάντοτε ισχύει :
 


a
)(G)a(Gdx)x(f .
Σ Λ
2016
9.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [α, β] αν Gείναι μια
παράγουσα της f στο [α, β] , τότε :  


a
)(G)a(Gdx)x(f
.
Σ Λ
10.
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x) ≤g(x)
κοντά στο xο , τότε )x(flim
xx 0
≤ )x(glim
xx 0
. Σ Λ
11.
Μια συνάρτηση f(x) είναι 1-1 , αν και μόνο αν , για κάθε yτου
συνόλου τιμών της , η εξίσωση y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση
ως προς x.
Σ Λ
12.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε η f παίρνει μια μέγιστη
Μ και μια ελάχιστη μ τιμή.
Σ Λ
13.
Κάθε συνάρτηση f , για την οποία ισχύει f ΄(x) = 0 για κάθε
x ),x()x,a( oo  , είναι σταθερή στο ),x()x,a( oo  . Σ Λ

41
14. Αν f(x) = ln x , για κάθε x ≠ 0 , τότε f ΄(x) =
x
1
, για κάθε x≠0. Σ Λ
15.
Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο xο , τότε η f(x) δεν
είναι παραγωγίσιμη στο xο.
Σ Λ
16. 1
1
0


 x
x
lim
x

Σ Λ
17.
Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου
του 2 της οποίας η γρ. παράσταση έχει ασύμπτωτη.
Σ Λ
18.
Για μια συνεχή f(x) στο [α, β] ισχύει : Αν  

a
dx)x(f 0 , τότε
f(x) > 0 στο [α, β].
Σ Λ
2017
19.
Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: RR , g: RR, αν )x(flim
xx 0
=0 και )x(glim
xx 0
= +∞ , τότε 0
0


)]x(g)x(f[lim
xx
.
Σ Λ
20.
Αν f , g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα
, τότε η fg  ορίζεται αν  B)A(f . Σ Λ
21.
Για κάθε συνάρτηση f: RR που είναι παραγωγίσιμη και δεν
παρουσιάζει ακρότατα , ισχύει f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x στο R.
Σ Λ
22. Αν 0 < α < 1 , τότε 

x
x
alim . Σ Λ
23.
Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.
Σ Λ
24.
Μια συνάρτηση f λέγεται γν. αύξουσα στο Δ του πεδίου
ορισμού της , αν υπάρχουν x1 , x2Δ με x1<x2 , ώστε
f(x1) <f(x2).
Σ Λ
25.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [α, β] αν Gείναι μια
παράγουσα της f στο [α, β] , τότε :  


a
)(G)a(Gdx)x(f Σ Λ
26.
Αν ένα σημείο Μ (α, β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας
αντιστρέψιμης συνάρτησης f , τότε το σημείο Μ΄(β, α) ανήκει
στη γρ. παράσταση της f-1
Σ Λ
27.
Για μια συνεχή f(x) στο [α, β] αν ισχύει  

a
dx)x(f 0 , τότε
f(x) = 0 για κάθε x στο [α, β].
Σ Λ
28.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [α, β] R , η οποία είναι
παραγωγίσιμη στο (α, β) , αν f(α) = f(β) , τότε υπάρχει
ακριβώς ένα ξ (α, β) τέτοιο ώστε f ΄(ξ) = 0.
Σ Λ
2018 - 2019
29.
Η συνάρτηση f(x) =ημx , xR έχει μία μόνο θέση ολικού
μεγίστου.
Σ Λ
30. Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , η Σ Λ

42
οποία είναι γν. αύξουσα , ισχύει ότι f ΄(x) > 0 για κάθε xΔ.
31. Ισχύει , 0
1
0


 x
x
lim
x

Σ Λ
32.
Αν η f(x) είναι αντιστρέψιμη , τότε οι γρ. παραστάσεις των f(x)
, f-1 (x) αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
Σ Λ
33.
Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη
γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
Σ Λ
34.
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: RR μπορεί να
τέμνει την ασύμπτωτη της.
Σ Λ
35.
Αν μια συνάρτηση f: RR είναι «1-1» τότε κάθε οριζόντια
ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα
σημείο.
Σ Λ
36.
Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3] , τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την
f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3].
Σ Λ
37.
Η γραφική παράσταση της |𝑓|αποτελείται από τα τμήματα της
γραφικής παράστασης της fπου βρίσκονται πάνω απ τον άξονα
xx΄ και από τα συμμετρικά, ως προς τον xx΄ των τμημάτων της
γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από αυτόν
τον άξονα.
Σ Λ
38.
Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι
μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f.
Σ Λ
39.
Μια πολυωνυμική συνάρτηση f : RR , διατηρεί πρόσημο σε
κάθε ένα απ τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f
χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Σ Λ

43
ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΩΣΤΕΣ – ΛΑΘΟΣ, ΝΕΟ 2020
ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΛΑΙΟ 2020

44
Το ΝEO Ερώτημα Θεωρίας (απ΄ τις Πανελλήνιες του 2017)
[ Πανελλήνιες 2020 (ΝΕΟ) Ερώτημα Α3 ]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΜΟΡΙΟΔΟΤΗΣΗ

45
[ Πανελλήνιες 2020 (ΠΑΛΑΙΟ) Ερώτημα Α4 ]
[ Πανελλήνιες 2019 Ερώτημα Α4 ]

46
[ Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018 Ερώτημα Α4 ]
[ Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018 Ερώτημα Α3 ]

47

ΓEΛ Εξαπλατάνου «Μενέλαος Λουντέμης»
Σχολικό έτος 19-20
Έτος 2020
Ερωτήσεις Κατανόησης
Προτάσεις A-Ψ
Μαθηματικά Γ΄ - Ομάδες Προσανατολισμού

2
Ενότητα : Αληθή – Ψευδή, σχολικού βιβλίου σελίδες 83-85.
Ενδεικτικές Απαντήσεις
1. α ) Ψ , Πεδίο ορισμού σύνθεσης !
β ) Α.
2. Α , αν δεν ήταν 0 το όριο της f(x) τότε, το
11  x
)x(f
lim
x
δεν θα υπήρχε γιατί ο
παρανομαστής έχει όριο 0 και δεν διατηρεί πρόσημο !
3. Ψ , Για να εφαρμοστεί η ιδιότητα θα έπρεπε τα επιμέρους όρια να υπάρχουν !
4. Ψ , αντιπαράδειγμα f(x) ={
𝑥2
+ 1, 𝑥 ≠ 0
5, 𝑥 = 0
,για κάθε x∈ 𝑅 είναι f(x)>1.
5. α ) Α β ) Ψ , είναι ίσο με 0. Εφάρμοσε Κ.Π.

3
6. Α , από Κ.Π
7. Ψ , το σωστό είναι ≤ 0 , για π. χ η f(x) = - x2 ≤
𝟏
𝒙 𝟐
και το όριο της είναι -∞.
8. Ψ , Αντιπαράδειγμα
f(x) = {
x, x ≠ 6
0, x = 6
, g(x) = {
x2
, x ≠ 6
0, x = 6
9. Ψ, μπορεί να μην υπάρχει το όριο της f (x) και να υπάρχει της , |f (x) | , δες
f(x) = {
−1, x < 0
1, x ≥ 0
, |f (x) | = 1
10. Α.
11. Α.
12. Α , από ΘΕΤ για την f(x) στο [-1,1] , o π είναι ανάμεσα (3 < π < 4).

4
1. Β.
2. Ε.
3. Ε.
Ενδεικτική Απάντηση
Δ.

5
Γ , η g(x) είναι συνεχής στο Π.Ο ως ρητή.
Το Ε , ΔΕΝ προκύπτει .
Το Ε , θα ίσχυε αν η συνάρτηση ήταν γνησίως μονότονη
Ενότητα : 9 Σωστά Λάθος στη Συνέχεια – Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων
1. Έστω f(x) συνεχής στο [α, β] . Αν f(α)∙f(β) >0 , η εξίσωση f(x)=0
είναι βέβαιο ότι δεν έχει ρίζα στο (α, β).
Λ
2. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο σύνολο Α=[1,4] με f(x)≠ 0 για
κάθε x[1,4] και f(3) =-2. Τότε ισχύει f(x) > 0 για κάθε x[1,4].
Λ
3. Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς
συνάρτησης f(x) είναι πάντοτε διάστημα.
Λ
4. Για οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) που είναι συνεχής στο [α, β] και
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) , ισχύει απαραίτητα
f(α)∙f(β)<0.
Λ
5. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε το σύνολο
τιμών της f(x)στο διάστημα αυτό είναι κατ’ ανάγκην το
[f(α), f(β)] ή το [f(β), f(α)].
Λ
6. Κάθε συνάρτηση f(x) συνεχής στο (α, β) , παίρνει στο (α, β) μια
μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή.
Λ

6
7. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] με f(α)≠ f(β) , τότε υπάρχει
τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός xο(α, β) έτσι ώστε
f(xο) =
2
)(f)a(f 
.
Σ
8. Αν η συνεχής και γν. αύξουσα f(x) στο [α, β) , τότε είναι βέβαιο
ότι παίρνει μέγιστη τιμή σε αυτό.
Λ
9. Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη f(x) στο R για την οποία
ισχύει f-1(2015)=4 και f-1(1949) = -1. Τότε κατ’ ανάγκην δεν
υπάρχει xοR τέτοιο ώστε να ισχύει f(xο)= 0 .
Λ
1. Α , γιατί αν f ΄(x) ≠ 0 σε ένα διάστημα Δ , τότε η f (x) «1-1» στο Δ.
Εναλλακτικά , αν ήταν f (0) = f (1) , τότε από Θ. Ρολ θα υπήρχε xο στο (0,1)
τέτοιο ώστε f ΄(xΟ) = 0 , ΑΤΟΠΟ.
2. Α , από Θ.Μ.Τ. για την f (x) στο [α, β].
3. Α, θεωρώ την h(x) = f (x) – g(x) , συνεχή στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο
(α ,β), τότε h(α) = h(β) , συνεπώς από Θ. Ρολ υπάρχει xο στο (α, β), ώστε
h΄(xο) = 0 ή f ΄(xο) = g΄(xο) , τι σημαίνει αυτό ;;

7
4. α ) Ψ , το πρόσημο της f ΄(x) είναι : f ΄(x) > 0 για κάθε x > 2 και
f ΄(x) ≤ 0 για κάθε x < 2, το «=» ισχύει για x = 1 .
Άρα στο 1 παρόλο που μηδενίζεται (Πιθανό Ακρότατο ) δεν αλλάζει πρόσημο
δεξιά και αριστερά του 1 , άρα…….
β ) Α, εξηγήθηκε στο α).
5. α ) Α , έστω f (x) = α x4 +β x3 + γ x2 +δ x + ε , τότε
f ΄ (x) = 4αx3 +3βx2 + 2γx2 +δ , όμως κάθε τρίτου βαθμού εξίσωση έχει
τουλάχιστον μια ρίζα από Θ. Μπολτζάνο , βρες το σύνολο τιμών της………
β ) Ψ, έστω f (x) = αx3 +βx2 + γx +δ , τότε
f ΄ (x) = 3αx2 +2βx + γ , όμως μια δευτεροβάθμια δεν έχει πάντα
πραγματικές λύσεις !! Συμφωνείτε ; Δες την f ΄ (x) = 3x2+1 και f (x)= x3+ x
6. Α, γιατί ;
7. Ψ , η συνάρτηση x3 έχει καμπή στο (0,0) , η συνάρτηση x5 έχει καμπή στο
(0,0) , όμως η x8 ΔΕΝ έχει καμπή στο (0,0) γιατί ;

8
8. Α, σκέψου Θ. Φερμά , γιατί; Σε ένα εσωτερικό σημείο η απόσταση είναι
ελάχιστη ή μέγιστη, οπότε αν θεωρήσω την συνάρτηση της απόστασης f(x)
ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος και άρα σε κείνο στο σημείο η
παράγωγος είναι 0. ( f ΄(xo) = 0 , Οριζόντια εφαπτομένη). Σ-Λ 2020 (ΝΕΟ)
9. α ) Ψ, όριο περίπτωση 0/0 και τέλος βγαίνει 2 , άρα δεν έχει Κ.Α
β ) Α , όριο περίπτωση 0/0 και μετά βγαίνει -1/0 άρα έχει Κ.Α.

9
10. ι ) Ψ , από Θ. Ρολ υπάρχει xο ώστε f ΄(xο) = 0 , άρα σε εσωτερικό σημείο του
(1,4) δεν ορίζεται η συνάρτηση !
ιι ) Ψ , ομοίως.
ιιι ) Ψ , δες τη συνάρτηση έχει και αρνητικές κλίσεις ή δεν είναι παντού
γνησίως αύξουσα !!
ιν ) Α , Θ. Ρολ.
11. Η f (x) έχει f ΄(x) = 3x2 + 1 ≠ 0 , άρα έχει το πολύ μια ρίζα η εξίσωση

10
f (x) = 0 , συνεπώς απαντώ στο γ).
Με το Θ. BOLZANO στο [-1,0] αποδεικνύω ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
(-1,0) άρα τουλάχιστον μία και το πολύ μια = Ακριβώς μία ρίζα !! Άρα :
α ) Ψ
β ) Α
γ ) Ψ.
12. Α , κάνε πράξεις !!
1. B , παράγωγος της εφx στο …….
2. Γ , παράγωγος της …………..
3. Ε , παράγωγος της …………

11
4. Γ , γιατί η
f ΄(x) = [ συν3(x+1) ]΄ = 3συν2(x+1)∙(συν(x+1))΄ = -3συν2(x+1)∙ημ(x+1).
5. Γ , ο μεγιστοβάθμιος όρος της f (x) είναι ο x6.
6. Γ , γιατί ΠΡΟΣΟΧΗ! Το πεδίο ορισμού της f (x) είναι το (0,+∞).
Λύνω την εξίσωση o
o
x
x
4
1
 και έχει λύση ……
7. Ε , ax
x
x
x
e
e
aae
e
xg
xf 






)(
)(
, ax
x
ax
axxaxx
e
ea
e
eaeee
g
f 
 )(
)(
)( 2




8. Γ , η f (x) είναι γνησίως αύξουσα στο [-1,1] και f (0) = 0 άρα είναι πάνω απ
τον xx΄ στο [0,1] και κάτω απ τον xx΄ στο [-1,0] .

12
Απαντήσεις
 Η (α) είναι ΚΥΡΤΗ άρα η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα άρα (Ε).
 Η (β) -> (Α) , στο (0,0) η συνάρτηση ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη !!
 Το (γ)->(Β) γιατί παρουσιάζει τρεις θέσεις ακροτάτων άρα από Θ. Φερμά
μηδενίζεται σε τρία σημεία η παράγωγος .
 Το (δ) με το (Δ) , η ευθεία έχει σταθερή κλίση σε όλο το R.

13
Ψάχνω μόνο Ο.Α ή Π.Α γιατί ;
1. Α=(-∞,0) ή (0,+∞) , ΔΕΝ έχει Ο.Α. 



1
1
lim
)(
lim 3
3
x
x
x
xf
xx
0))((lim 

xxf
x
, άρα 1-> Δ. Κάντε και Μελέτη .
2. Α= R , 

1
)(
lim
x
xf
x
, 1))((lim 

xxf
x
, άρα 2->Γ.

14
3. Α = R-{2} , στο +∞ και στο -∞ έχει Ο.Α . Άρα 3->Α.
Ενότητα : 18 Σωστά Λάθος στον Διαφορικό Λογισμό
1. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο , τότε η f ΄(x) είναι πάντοτε
συνεχής στο xο . ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ, f (x)= x2ημ
x
1
, x≠0 κ΄
f(0)=0
2. Αν η f(x) δεν είναι συνεχής στο xο , τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη
στο xο.
3. Αν η f(x) έχει δεύτερη παράγωγο στο xο , τότε η f΄(x) είναι
συνεχής στο xο.
4. Η συνάρτηση f(x) : (α, β) R που είναι συνεχής στο (α, β)
μπορεί να έχει τοπικό ακρότατο στο xο(α, β) μόνο αν είναι
f ΄(xο) = 0.
5. Αν είναι f ΄(x) ≥ 0 στο Δ=(α, β) αλλά όχι f ΄(x) >0 σε όλο το Δ ,
τότε η f(x) δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ, f (x)= x3
6. Αν είναι f ΄(x) < 0 στο διάστημα Δ=(α, β) ,τότε η f(x) μπορεί να
έχει τοπικό ακρότατο στο xο Δ.
7. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , παραγωγίσιμη στο (α, β) και
στο xο  (α, β) ισχύει f΄(xο) = 0 , τότε το xο είναι θέση τοπικού
ακροτάτου της f(x). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Θ.ΦΕΡΜΑ
8. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και έχει στο xο  [α, β]
τοπικό ακρότατο , τότε είναι πάντοτε f΄(xο) = 0 .

15
9. Αν η f(x) : [α, β]  R είναι συνεχής στο xο κρίσιμο σημείο της f(x)
και η f(x) παρουσιάζει στο xο τοπικό ακρότατο , τότε είναι και
f ΄( xο) = 0.
Υπάρχει η Παράγωγος στο xο ;
10. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και
παραγωγίσιμη σε αυτό , τότε f΄(x) > 0 για κάθε x στο Δ.
11. Αν f΄(x) > 0 για κάθε x  R τότε τα σημεία (1,2) , (2,-4) ανήκουν
και τα δυο στη γραφική παράσταση της f(x).
12. Αν f(x) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα Δ
και ισχύει f ΄(x) ≠ 0 για κάθε χ στο Δ , τότε η f(x) είναι γνησίως
μονότονη στο Δ.
Συνέπειες Θ.Μπολτζάνο για f ΄(x) !!
13. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και
για το σημείο xο Δ ισχύει : f ΄΄( xο) = 0 , τότε το σημείο (xο, f(xο))
είναι σημείο καμπής της f(x).
14. Αν μια f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα
διάστημα Δ , τότε ισχύει : f ΄΄(x) > 0 για κάθε x  Δ.
15. Έστω μια συνάρτηση f(x) παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β) ,
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο xο . Αν η f ΄(x) διατηρεί στο
(α, xο)( xο , β) , τότε το f(xο) δεν είναι τοπικό ακρότατο.
16. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και
ισχύει f ΄΄(x) > 0 για κάθε xΔ , τότε η f(x) είναι κοίλη στο Δ.
17. Αν η f(x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle
σε ένα διάστημα [α, β] , τότε η f(x) δεν είναι «1-1».
18. Αν η ευθεία x = xο είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης μιας f(x) , τότε η ευθεία x = xο δεν τέμνει τη
γραφική παράσταση της f(x).

16
1. Α
2. Ψ , δοκίμασε τις f (x) = 1 και g(x) = 1 στο [α, β].
3. Α.
4. Ψ , αν f (x) = ημx στο [0,2π] , τότε ……….
5. Α.
6. Ψ , f (x) = ημx στο [ 0,
2
3
], έχει θετικό ολοκλήρωμα αλλά ………..
7. Α , x4 + 1 ≤ x4+ x2+1 για κάθε x στο [-α, α] , άρα …….
8. Α.

17
Αληθές.
Α και Ψ , γιατί η x3 – x δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [-1,1]. Συγκεκριμένα
είναι αρνητική στο (0,1).
  
1
0
1
0
1
0
2
)11(
1
))((
1
)()(



 dxxdxxdxxf

 
1
1
1
1
3
2
3
4
)
3
1
1
3
1
1(]
3
[)1(
x
xdxx

18
Β.
Δ και Β.
Γ.

19
Τα Β , Ζ.
Αυτό που θέτουμε ΔΕΝ ορίζεται στο 0.
Ενότητα : 14 Σωστά Λάθος στον Ολοκληρωτικού Λογισμού με Απαντήσεις
1.
Ισχύει  


a
)a(ccdx για κάθε α, βR και για κάθε πραγματική
σταθερά c. Λ
2. Αν f ΄(x) , g΄(x) είναι συνεχείς στο [α, β] , τότε ισχύει πάντοτε
  
 
a aa
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f Λ

20
3. Για κάθε συνάρτηση f(x) η οποία είναι συνεχής στο [α, β] το
ολοκλήρωμα 

a
dx)x(f παριστάνει εμβαδόν.
Λ
4. Αν g(x) , f(x) είναι συνεχείς στο [α, β] με f(x)≥ g(x) για κάθε
x [α, β] και η f(x) δεν είναι παντού ίση με την g(x) στο [α,β], τότε


a
dx)x(f > 

a
dx)x(g .
Σ
5. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο Δ (διάστημα) ισχύει f(x) > 0 για
κάθε x στο Δ και α, β Δ , τότε 

a
dx)x(f < 0.
Λ
6.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] με 

a
dx)x(f ≥0 , τότε κατ’
ανάγκην θα είναι f(x)≥ 0 για κάθε x [α, β].
Λ
7. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] και για κάθε x [α, β] ισχύει
f(x)≥ 0 και η συνάρτηση f(x) δεν είναι παντού μηδέν στο [α, β] ,
τότε κατ’ ανάγκην είναι 

a
dx)x(f > 0.
Σ
8. Αν η f(x) είναι συνεχής στο Δ και α, β, γ Δ , τότε ισχύει :


a
dx)x(f = 

a
dx)x(f + 


dx)x(f .
Σ
9. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] τότε υπάρχει πάντοτε το
ολοκλήρωμα 

a
dx)x(f και είναι πραγματικός αριθμός.
Σ
10.
Ισχύει 

a
dx)x(f = - 
a
dx)x(f

. Σ
11. Κάθε συνεχής συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , έχει παράγουσα
στο Δ.
Σ
12. Αν g(x) , f(x) είναι συνεχείς στο [α, β] με f(x) ≥ g(x) για κάθε
x [α, β] τότε 

a
dx)x(f < 

a
dx)x(g .
Λ
13. Αν η f(x) είναι συνεχής στο R με f(x) > 0 για κάθε xR , τότε
 

a
dx)x(f 0  α= β
Σ
14. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε ισχύει
( 

a
dx)x(f )΄ = 0.
Σ
ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ & ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤHΣ ΖΩΗΣ ΣΑΣ !

Σχολικό Έτος : 19-20 24 Σημαντικές Παρατηρήσεις
Προτάσεις ΜΕ αιτιολόγηση -
Αντιπαραδείγματα
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού ΓΕΛ
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/904

ΓΕΛ Εξαπλατάνου Αντιπαραδείγματα
Σχολικά έτη 18-19,19-20
Επιμέλεια : Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου, Msc μαθηματικού - http://blogs.sch.gr/iordaniskos
[1]
24 Σημαντικές Παρατηρήσεις
Παρακάτω παρουσιάζονται σημαντικές Προτάσεις – Θεωρήματα οι οποίες ΔΕΝ
ισχύουν ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ. Δίνονται Κατάλληλα Αντιπαραδείγματα.
1. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Α, τότε η f(x)
είναι 1-1 στο Α.
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα.
Αντιπαράδειγμα :
2. Αν x1 , x2 Df και x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2).
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα. Ισχύει ΜΟΝΟ αν η συνάρτηση είναι 1-1.
3. Αν υπάρχουν τα όρια )x(flim
oxx 
, )x(glim
oxx 
, τότε υπάρχουν και τα όρια των
πράξεων αυτών. (Αθροίσματος-Διαφοράς-Γινομένου-Πηλίκου-Ρίζας, κ.α)
Αντιπαράδειγμα 1ο : f(x) = 1 -
x
x
, g(x) = 1 +
x
x
και f(x)·g(x) = 0 . Το όριο
του γινομένου όταν x  0 υπάρχει ενώ ΔΕΝ Υπάρχει κανένα απ τα όρια των
f(x), g(x) στο 0.
Αντιπαράδειγμα 2ο : f(x) = x , g(x) = ημ
x
1
. Το όριο του γινομένου f(x)·g(x)
όταν x  0 υπάρχει ενώ ΔΕΝ Υπάρχει το όριο της g(x) στο 0.

[2]
4. Αν )x(flim
oxx 
> 0 ή +∞ , τότε f(x) > 0 κοντά στο xο .
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα. Μπορεί να μην υπάρχει το όριο.
5. Αν )x(flim
oxx 
< 0 ή - ∞ , τότε f(x) < 0 κοντά στο xο .
6. Αν )x(flim
oxx 
= α όπου α ≠ 0 , τότε a)x(flim
oxx


.
Αντιπαράδειγμα : f(x) =





o
o
xx,
xx,
5
5
, 5)x(f , για κάθε x.
Το όριο της 5)x(f υπάρχει στο xο και το όριο της f(x) ΔΕΝ υπάρχει στο
xο.
7. Aν )x(flim
oxx 
= +∞ ή - ∞ , τότε
)x(f
lim
oxx
1

=0.
Αντιπαράδειγμα : Έστω f(x) =
x
1
και xο = 0 , τότε
)x(f
lim
oxx
1

= 0 και το
)x(flim
oxx 
ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ στο xο = 0.
8.

[3]
Είναι Ψευδής ,
9. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Α4 2020 (ΠΑΛΑΙΟ)
α)Ψ β) Αντιπαράδειγμα στη σελίδα 61 του σχολικού βιβλίου
10. ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Α4 2019
Αν f(x) είναι συνεχής στο xο, τότε υπάρχει το όριο της f(x) στο xο .

[4]
11. Το Θεώρημα Bolzano δεν ισχύει πάντα το αντίστροφο !
Αντιπαράδειγμα 1ο
Η f(x) = x2 είναι συνεχής στο [-1, 1] και f(0)=0. Όμως f(1)f(-1) > 0.
12. Αντίστροφο της Συνέπειας του Θ.Bolzano Αν η f(x) διατηρεί πρόσημο σε
ένα διάστημα Δ = [α, β] δηλαδή f(x) ≠ 0 για κάθε x στο Δ , τότε η f(x) είναι
συνεχής στο Δ ;
13. Η εικόνα f(Δ) μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f(x) είναι
διάστημα. Το αντίστροφο ισχύει ; Δηλαδή αν η εικόνα είναι διάστημα η
συνάρτηση είναι πάντα συνεχής ;

[5]
14. Το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης Τιμής ΔΕΝ ισχύει αντίστροφα.
Η διπλανή συνάρτηση είναι ασυνεχής στο
[α, β] και δέχεται μέγιστη και ελάχιστη
τιμή.
Η διπλανή συνάρτηση είναι
συνεχής στο (α, β) και δέχεται
μέγιστη και ελάχιστη τιμή.
15. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο , τότε η f(x) είναι συνεχής στο xο .
Αντιπαράδειγμα : Η f(x) = x είναι συνεχής στο 0 , ενώ ΔΕΝ είναι
παραγωγίσιμη στο 0.
16. Αν ορίζεται η f ΄΄(x) στο Δ , τότε η f ΄(x) είναι συνεχής στο Δ.
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα, δηλαδή Συνεχής (f ΄) στο xo δεν είναι πάντα
παραγωγίσιμη (υπάρχει η f ΄΄ ) στο xo.
17. Αν f(x) συνεχής στο Δ και f ΄(x) > 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ , τότε
η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. [ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΝΕΟ 2020 ]

[6]
18. Αν f(x) συνεχής στο Δ και f ΄(x) < 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ , τότε
η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
19. Το Θεώρημα του Fermat. Aν μια f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο και το xο
είναι εσωτερικό σημείο και θέση ακροτάτου , τότε f ΄(xο) = 0.
Το αντίστροφο του Θεωρήματος Φερμά ΔΕΝ ισχύει πάντα.

[7]
 Προσοχή , στα παρακάτω :
 Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων τιμών είναι, τα σημεία στα οποία :
 Ισχύει f ΄(xο) = 0.
 Δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος f ΄(xο).
 Τα άκρα του διαστήματος , αν υπάρχουν.
20. Αν f(x) συνεχής στο Δ και f΄΄(x) > 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ , τότε
η f(x) είναι κυρτή (κοίλα άνω) στο Δ.
21. Αν f(x) συνεχής στο Δ και f ΄΄(x) < 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ , τότε
η f(x) είναι κοίλη (κοίλα κάτω) στο Δ.
22. Αν το (xο, f(xο)) είναι σημείο Καμπής της f(x) , τότε f ΄΄(xο) = 0.
Το αντίστροφο της Πρότασης 21 ΔΕΝ ισχύει πάντα.

[8]
 Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής , είναι τα σημεία στα οποία :
 Ισχύει f ΄΄(xο) = 0 με την προϋπόθεση να αλλάζει πρόσημο η δεύτερη
παράγωγος εκατέρωθεν του xο και
 να υπάρχει η παράγωγος f΄(xο).
23. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x στο [α, β] , τότε 

a
dx)x(f ≥ 0.
Το αντίστροφο της 23 , δηλαδή :

[9]
ΔΕΝ ισχύει πάντα.
Αντιπαράδειγμα : Η f(x) = ημx στο Δ = [0 ,
2
3
] και
 
2
3
0
2
3
0 0110


 )(]x[xdx , όμως η f(x) δεν είναι μη
αρνητική στο Δ.
24. Αν α = β , τότε 

a
dx)x(f = 0.
Το αντίστροφο της ΔΕΝ ισχύει πάντα.
Αντιπαράδειγμα : Η f(x) = ημx στο Δ = [0 ,2π] και
 



2
0
2
0 011 )(]x[xdx , όμως 2π≠ 0.
25. Αν f(x) = 0 για κάθε x στο [α, β] , τότε 

a
dx)x(f = 0.
Το αντίστροφο της 24 δηλαδή :
ΔΕΝ ισχύει πάντα.
Αντιπαράδειγμα : Δες 23.
ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ , ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ & ΜΗΝ ΦΟΒΑΣΤΕ ΤΙΠΟΤΑ.
ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ.

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΛ 2020

Recommended

Recommended

More Related Content

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis"

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΛ 2020