ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ, ΕΝΑ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΜΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ, Σ-Λ, ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ 3.4-3.7 ΣΧΟΛΙΚΟΥ

1. ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2020 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ 3.4 , 3.5 , 3.7
ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ «ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού, Απόφοιτου Α.Π.Θ

2. [1]
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3.4
ΟΔΗΓΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
 Να δώσετε τον ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β. σελ210

3. [2]
Μια Προσπάθεια για Κατανόηση των Παραπάνω!
Έστω f(x) μια συνάρτηση που ορίζεται στο [0,1] . Ψάχνω το εμβαδόν Eτου
χωρίου που περικλείεται απ την Cfκαι τις ευθείες x=0 , x=1.
Mήκος διαστήματος β-α=1-0=1
Χωρίζω το διάστημα [0,1] σε 5 υποδιαστήματα
𝛽−𝛼
5
=
1−0
5
=
1
5
, το μήκος
κάθε ενός απ τα υποδιαστήματα : [0,
1
5
] , [
1
5
,
2
5
],……..[
4
5
, 1]
Το κάτω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων υπολείπεται του
ζητούμενου E.

4. [3]
Χωρίζω το διάστημα [0,1] σε 10υποδιαστήματα
𝛽−𝛼
10
=
1−0
10
=
1
10
, το μήκος
κάθε ενός απ τα υποδιαστήματα : [0,
1
10
] , [
1
10
,
2
10
],…………..…..[
9
10
, 1]
Το κάτω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων υπολείπεται του
ζητούμενου E.
Χωρίζω το διάστημα [0,1] σε 30υποδιαστήματα
𝛽−𝛼
30
=
1−0
30
=
1
30
, το μήκος
κάθε ενός απ τα υποδιαστήματα : [0,
1
30
] , [
1
30
,
2
30
],……………….…..[
29
30
, 1]
Το κάτω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων υπολείπεται του
ζητούμενου E αλλά αν συνεχίσω σε ν διαμερίσεις του [0,1] τι λέτε να συμβεί ;

5. [4]
Χωρίζω το διάστημα [0,1] σε 10υποδιαστήματα
𝛽−𝛼
10
=
1−0
10
=
1
10
, το μήκος
κάθε ενός απ τα υποδιαστήματα : [0,
1
10
] , [
1
10
,
2
10
],……..[
9
10
, 1]
Το Άνω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων είναι μεγαλύτερο κατά πολύ
απ του ζητούμενου E.
Χωρίζω το διάστημα [0,1] σε 30 υποδιαστήματα
𝛽−𝛼
30
=
1−0
30
=
1
30
, το μήκος
κάθε ενός απ τα υποδιαστήματα : [0,
1
30
] , [
1
30
,
2
30
],……………….…..[
29
30
, 1]
Το Άνω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων πάλι είναι μεγαλύτερο του
ζητούμενου E αλλά αν συνεχίσω σε ν διαμερίσεις του [0,1] τι λέτε να συμβεί ;

6. [5]
 Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας
συνεχούς συνάρτησης f στο [α, β]. σελ212
*Ανάποδα τα άκρα στον τύπο!! Προσοχή, αν είναι έτσι και στο βιβλίο
σου διόρθωσε το !!
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ !
Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β] , είναι ολοκληρώσιμη
στο [α, β].
ΣΥΝΕΧΗΣ στο [α, β] ⇒ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΗ στο [α, β].
Σχόλιο : Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β] , δεν είναι υποχρεωτικά
συνεχής στο [α, β].
 Ποιες είναι οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος; σελ212-214
(ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΟΡΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ α > β ή α = β )
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ !
Άρα , Αν f(x) ≤ 0 ⇒ ∫ f(x) 𝑑𝑥
𝛽
𝛼
≤ 0

7. [6]
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α5) 2019
*Προσοχή ! Για το γ δεν είναι ανάγκη να είναι α < γ < β
** Θυμήσου διανύσματα, πέρας – αρχή ! 𝜜𝜝⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜞𝜝⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝜞𝜜⃗⃗⃗⃗⃗ , και…
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝜷
𝜶
= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝜷
𝜸
− ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝜶
𝜸

8. [7]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ , σχολικού !
4 σελίδα 215
Αν ∫ f(x) 𝑑𝑥
3
1
= 5 και ∫ g(x) 𝑑𝑥
3
1
= −2
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ∫ (2f(x) − 6g(x) ) 𝑑𝑥
3
1
ΛΥΣΗ
∫ (2f(x) − 6g(x) ) 𝑑𝑥
3
1
= 2 ∫ f(x)𝑑𝑥 − 6 ∫ g(x) 𝑑𝑥
3
1
= 10 + 12 = 22
3
1
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ της 1 i) και ii)
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟑
𝟒
= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟒
𝟑
= −𝟏𝟏
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟖
𝟒
= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟖
𝟏
− ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =
𝟒
𝟏
𝟏𝟑 − 𝟗 = 𝟒

9. [8]
Επίσης κάτι που ξαναείπαμε , ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ !
Άρα , Αν f(x) ≤ 0 ⇒ ∫ f(x) 𝑑𝑥
𝛽
𝛼
≤ 0
ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : RR , για την οποία ισχύει
f(2) = 1. Να αποδείξετε ότι :
α ) 096
3
1
2
 dx))x(f)x(f(
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Είναι : f2(x) - 6f(x)+9 = (f(x)-3)2.
Θεωρώ την συνάρτηση g(x) = (f(x)-3)2 ≥ 0 και g(2) = (1-3)2 = 4 ≠0
άρα δεν είναι παντού μηδέν στο (1,3) συνεπώς :
 
3
1
0dx)x(g προκύπτει το ζητούμενο.

10. [9]
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3.5
ΟΔΗΓΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ
 Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού
Λογισμού και να το αποδείξετε. σελ216
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2002,2013,2018
** Η F(x) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕
𝒙
𝒂
είναι μια αρχική ή παράγουσα της f(x).
Ένα π. χ
Έστω f(x) = 2x , τότε F(x) =∫ 𝟐𝒕𝒅𝒕
𝒙
𝒂
= [𝒕 𝟐
] 𝒂
𝒙
=x2–α2 , α∈ 𝑹,
δεν είναι μια παράγουσα της f(x) ;

11. [10]
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ !
∫ f ΄(x) 𝑑𝑥 = [f(x)]α
β𝛽
𝛼
ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ
∫ 𝑐𝑑𝑥 = [𝑐𝑥] 𝑎
𝛽
=
𝛽
𝛼
𝑐 ∙β-c∙α ∫
1
x
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= [𝑙𝑛|x|] 𝑎
𝛽
, α∙β>0
∫ ημx𝑑𝑥 = [−𝜎𝜐𝜈x]α
β
𝛽
𝛼
∫ συνx𝑑𝑥 = [𝜂𝜇x]α
β
𝛽
𝛼
∫ xκ
𝑑𝑥 = [
xκ+1
𝜅+1
]α
β𝛽
𝛼
, κ≠-1 ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = [𝑒 𝑥
]α
β
𝛽
𝛼
∫ 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 = [
𝑎 𝑥
𝑙𝑛𝑎
]κ
λ𝜆
𝑘
, α>0 ∫
1
𝜎𝜐𝜈2x
𝑑𝑥 = [𝜀𝜑x]α
β
𝛽
𝛼
∫
1
𝜂𝜇2x
𝑑𝑥 = [−𝜎𝜑x]α
β
𝛽
𝛼
∫
1
√x
𝑑𝑥 = [2√x]α
β
𝛽
𝛼
 Ποιος είναι ο τύπος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης;σελ218

12. [11]
Εφαρμόζεται στις παρακάτω μορφές :
∫ Ρ(x)𝑒 𝜅x
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, ∫ Ρ(x)ημ(κx)𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, ∫ Ρ(x)συν(κx)𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, ∫ Ρ(x)𝑙𝑛x𝑑𝑥
𝛽
𝛼
,
∫ 𝑒 𝜅x
ημ(𝜆x)𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, ∫ 𝑒 𝜅x
συν(𝜆x)𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, ∫
x
𝜂𝜇2x
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, ∫
x
𝜎𝜐𝜈2x
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
∫ ln(x + √x2 + 1)𝑑𝑥
𝛽
𝛼
, όπου κ , λ ∈R – {0} σταθερές.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
f(x) = x+3 , g(x) = ex
.e)e(edxe]e)x[(dx)e)(x( xxx
2313433
1
0
1
0
1
0  
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Ονομάζω το ζητούμενο ολοκλήρωμα , Ι κάνω παραγοντική ολοκλήρωση 2 φορές.
 
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0





 dxxe]xe[edx)e(x]xe[dx)e(x xxxxx
 2Ι =
2
1
1
2
2 



e
Ie .

13. [12]
ΣΥΝΗΘΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
  
ee e
e
xdxln)x(edx
x
xlnx]xlnx[xdxln)x(
11 1
1
22
2
1
2 =
.eeee]x[]xlnx[e ee
222222 11 
ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα :
i )∫ 𝑒−𝑥
∙ 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
ii ) ∫ 𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝑥3
𝑑𝑥
𝑒
1
iii ) ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥2
𝑑𝑥
𝑒
1
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
i ) ∫ 𝑒−𝑥
∙ 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
= − ∫ (𝑒−𝑥
)΄ ∙ 𝑥2
𝑑𝑥 = −[𝑒−𝑥
𝑥2
]0
1
+ 2 ∫ 𝑒−𝑥
∙ 𝑥𝑑𝑥 =
1
0
1
0
-e-1 -2[𝑒−𝑥
𝑥]0
1
+ 2 ∫ 𝑒−𝑥
𝑑𝑥 =
1
0
-e-1 – 2e-1 -2[e-x]0
1
=-5e-1+2 =
2𝑒−5
𝑒
ii ) ∫ 𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝑥3
𝑑𝑥
𝑒
1
= ∫ 𝑙𝑛𝑥 ∙ (
𝑥4
4
) ΄𝑑𝑥 =
𝑒
1
[𝑙𝑛𝑥 ∙ (
𝑥4
4
)]1
𝑒
−
1
4
∫ 𝑥3
𝑑𝑥
𝑒
1
=
𝑒4
4
−
1
4
[
𝑥4
4
]1
𝑒
=
=
𝑒4
4
−
𝑒4
16
+
1
16
=
3𝑒4+1
16
.

14. [13]
 Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής;
σελ219
ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ
∫ 𝜈fν−1
(x) 𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [fν
(x) ] 𝑎
𝛽
𝛽
𝛼
∫
𝑓΄(𝑥)
f(x)
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= [𝑙𝑛|f(x)|] 𝑎
𝛽
∫ ημf(x)𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [−𝜎𝜐𝜈𝑓(x)]α
β
𝛽
𝛼
∫ συνf(x)𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= [𝜂𝜇𝑓(x)]α
β
∫
𝑓΄(𝑥)
f2(x)
𝑑𝑥 = [−
1
f(x)
]α
β
𝛽
𝛼
∫ 𝑒 𝑓(𝑥)
𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑒 𝑓(𝑥)
]α
β
𝛽
𝛼
∫ 𝑎 𝑓(𝑥)
∙ 𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [
𝑎 𝑓(𝑥)
𝑙𝑛𝑎
]κ
λ𝜆
𝑘
, 0<α≠1
∫
𝑓΄(𝑥)
𝜎𝜐𝜈2f(x)
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= [𝜀𝜑𝑓(x)]α
β
∫
𝑓΄(𝑥)
𝜂𝜇2f(x)
𝑑𝑥 = [−𝜎𝜑f(x) ]α
β
𝛽
𝛼
∫
𝑓΄(𝑥)
2√f(x)
𝑑𝑥 = [√𝑓(𝑥)]α
β
𝛽
𝛼
ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα με αντικατάσταση.
α ) ∫ 𝜎𝜐𝜈𝑥 ∙ 𝑒 𝜂𝜇𝑥
𝑑𝑥
𝜋
2
0

15. [14]
β ) 
6
0
3

 xdx γ )  
1
0
12 dx)xln( δ )  
2
0
3

 xdxx
ε ) ∫
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥+1
𝑑𝑥
1
0
στ ) ∫
𝑥2
√𝑥3+2
𝑑𝑥
1
0
ζ ) ∫ 𝜂𝜇(𝑒 𝑥
) ∙ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
1
0
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
α )  
2
0


 dxe)x( x
, θέτω u = ημx , x = 0  u = 0 , x =
2

 u = 1, du = (ημx)΄dx.
Άρα  
2
0


 dxe)x( x
= 1
1
0
 edueu
.
β ) 
6
0
3

 xdx=
3
1
 
6
0
33

 xdx)x( ,
θέτω u = 3x , x = 0  u = 0 , x =
6

u =
2

, du = (3x)΄dx.
3
1
 
6
0
33

 xdx)x( =
3
1
.)(]u[udu
3
1
10
3
1
3
1 2
0
2
0






γ )  
1
0
12 dx)xln( =
2
1
 
1
0
1212 dx)xln()x(
θέτω u = 2x+1 , x = 0 u = 1 , x = 1 u =3 , du = (2x+1)΄dx.
2
1
 
1
0
1212 dx)xln()x( =
2
1 3
1
3
1 2
1
]uulnu[uduln  =……………
δ )  
2
0
3

 xdxx =  
2
0
3

 dx)x(x

16. [15]
u = ημx ,x = 0 u = 0 , x =
2

u = 1 , du = (ημx)΄dx.  
2
0
3

 dx)x(x =
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ !
𝟏
1
x2−1
=
1
(x−1)(x+1)
=
𝐴
x−1
+
𝐵
x+1
⇔
1
(x−1)(x+1)
=
𝐴(x+1)+B(x−1)
(x+1)(x−1)
⇔
1 = 𝐴x + A + Bx − B ⇔
1 = (𝐴 + 𝐵)x + A − B ⇔
A+B =0 KAI A-B = 1
2A=1⇔ 𝐴 =
1
2
, 𝐵 =
−1
2
Άρα,
∫
1
𝑥2−1
𝑑𝑥
1
2
0
=
1
2
∫
1
𝑥−1
𝑑𝑥 −
1
2
∫
1
𝑥+1
𝑑𝑥 =
1
2
0
1
2
0
1
2
∫
(𝑥−1)΄
𝑥−1
𝑑𝑥 −
1
2
∫
(𝑥+1)΄
𝑥+1
𝑑𝑥 =
1
2
0
1
2
0
=
1
2
[𝑙𝑛|𝑥 − 1|]0
1
2
−
1
2
[𝑙𝑛|𝑥 + 1|]0
1
2
=………. = -
1
2
𝑙𝑛3 = −𝑙𝑛√3
.]
u
[duu
4
1
4
1
0
41
0
3


17. [16]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
x = f(u) , dx = f΄(u)du , x = 0 , f(u) = 0  u = 0
x = 2 , f(u)=2  u = 1. Καιf΄(u) = 5u4 + 3u2.
  
2
0
1
0
1
0
46
241
4
3
6
535 ]
uu
[du)uu(udx)x(f =…………..
ΤΡΕΙΣ ΠΟΛΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ
  


aa
dx)xa(fdx)x(f
 Αν η f(x) είναι ΠΕΡΙΤΤΗ στο [-α, α] , τότε 


a
a
dx)x(f 0
 Αν η f(x) είναι ΑΡΤΙΑ στο [-α, α] , τότε  


a
a
a
dx)x(fdx)x(f
0
2

18. [17]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα :
α ) 

2
0



dx
xx
x
β ) 
 
2
2
2
2
4
dx
x
xx 
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Θέτω u =
2

- x, dx = -du , x = 0  u =
2

, x =
2

 u = 0
Ι = 

2
0



dx
xx
x
= 



 2
0
2
0
22
2









du
uu
u
du
)u()u(
)u(
Άρα 2Ι = 

2
0



dx
xx
x
+ 

2
0



du
uu
u
 2Ι =
2

 Ι =
4

β ) 
 
2
2
2
2
4
dx
x
xx 
, η συνάρτηση υπό ολοκλήρωση ΕΙΝΑΙ ΠΕΡΙΤΤΗ γιατί ;
Άρα το ολοκλήρωμα είναι ΙΣΟ με ΜΗΔΕΝ.

19. [18]
2. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g στο R. Αν η fείναι άρτια στο Rκαι η gπεριττή στο
R,
ι ) να δειχθεί ότι :  

aa
a
)x(g
dx)x(fdx
e
)x(f
01
ιι ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : 


2
2
1
5




dx
e
x
x
Πανκύπριες Εξετάσεις 2016
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
ι ) Έστω Ι = 
 
a
a
)x(g
dx
e
)x(f
1
, η f είναι άρτια άρα f(-x) = f(x). Επίσης η gείναι
περιττή άρα g(-x) =- g(x) για κάθε x R .
Έχω, Ι = 
 
a
a
)x(g
dx
e
)x(f
1
, θέτω x = - u, dx = -du ,
x = -αu = α , x =α u =-α , συνεπώς το Ι γίνεται :
Ι= 
 
a
a
)x(g
dx
e
)x(f
1
= 




a
a
)u(g
)du(
e
)u(f
1
= 



a
a
)u(g
du
e
)u(f
1
= 
 
a
a
)u(g
)u(g
du
e
)u(fe
1
= 
 
a
a
)u(g
)u(g
du
e
)u(f)u(f)u(fe
1
= 
 
a
a
)u(g
)u(g
du
e
)u(f)u(f)e(
1
1
=
= Idu)u(f
a
a


 2Ι = 

a
a
du)u(f  2Ι = 2 
a
du)u(f
0
 Ι = 
a
du)u(f
0
ή Ι = 
a
dx)x(f
0
ιι ) Έστω f(x) = συνx +5 και g(x) = ημx , συνεχείς στο Rκαι μέσω του ι) έχω ότι :



2
2
1
5




dx
e
x
x
=  
2
0
5

 dx)x( =[ημx +5x 2
0

] =1+
2
5
.

20. [19]
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3.7
ΕΜΒΑΔΟΝ – ΟΔΗΓΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ
ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παραγράφων 3.5 και 3.7
5 Α΄ Ομάδας σελίδας 220
1 – 6 Β΄ Ομάδας σελίδα 221
10 Β΄ Ομάδας σελίδας 222
3 , 5 , 6 σελίδας 234
9 , 11 Κατανόησης σελίδας 237
2,3,5 Κατανόησης ΙΙ σελίδας 238
9, 11 Κατανόησης ΙΙ σελίδας 239
1,3 Κατανόησης ΙΙΙ σελίδας 240
 Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β] με
f (x)≥ g(x) ≥ 0 για κάθε x [α, β].
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από
τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x = α και x = β
είναι:
E(Ω) = dxxgxf
a
 

))()(( . (1) σελ 225

21. [20]
 Ο Τύπος (1) ισχύει και στην περίπτωση που είναι ΜΟΝΟ f (x)≥ g(x) .
Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β]
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
γραφικές παραστάσεις των f, g, και τις ευθείες x = α και x = β είναι:
E(Ω) = dxxgxf
a
 

))()(( . σελ 226
 Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β]

22. [21]
Πώς υπολογίζεται το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
γραφικές παραστάσεις των f, g, και τις ευθείες x = α και x = β αν δεν
διατηρεί πρόσημο η διαφορά τους ; σελ 227
 Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [α, β] με g(x)< 0
για κάθε x  [α, β] .
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από
τη γραφική παράσταση της g, του άξονα x΄x και τις ευθείες x = α
και x = β είναι: E(Ω) = dxxg
a
 

))(( . σελ226-227

23. [22]
Σημαντικά Σχόλια Κεφαλαίου 3
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α5) 2019
ΑΣΚΗΣΕΙΣ στα Εμβαδά
 Εμβαδόν μεταξύ Cf και xx΄
Λύνω την εξίσωση : f(x) = 0 και βρίσκω τις ρίζες ρ1 , ρ2 , …….ρν
Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και xx΄ είναι :
dx)x(f
n


1
, ρ1 η μικρότερη ρίζα και ρν η μεγαλύτερη
1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική
παράσταση της f(x) = x2 - 3x και τον xx΄. [άσκηση 3 Α΄ σχολικού]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
f(x) = 0 ή x = 0 ή x = 3 και
f(x) < 0 για κάθε x στο (0,3), άρα Ε = − ∫ f(x)𝑑x = −[
x3
3
− 3
x2
2
]0
3
=
7
2
3
0

24. [23]
2. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την
f(x) = x3-2x2-x+2 και τον xx΄.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ.
f(x) = 0  Από Χόρνερ προκύπτει,
(x-1)(x2-x-2) = 0  x = 1 ή x = -1 ή x = 2.
Η f(x) > 0 για κάθε x στο (-1,1) και f(x) < 0 για κάθε x στο (1,2).
Άρα  


1
1
2
1
2
1
dx)x(fdx)x(fdx)x(fE =………….=2.25
3. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την
f(x) = -x2 + 4x – 3, και τον xx΄ .
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

25. [24]
 Εμβαδόν μεταξύ Cf , xx΄και της ευθείας x = α
Όμοια με πριν , μόνο που παίρνω περιπτώσεις για το α. Αν το α είναι μικρότερο
από την ρ1 και αν το α είναι μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη ρίζα ρν.
4. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x+2). Να βρεθεί το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται απ την γραφική παράσταση της f(x) ,
τον xx΄ και την ευθεία x= 1.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
f(x) = 0 ή ln(x+2) = ln1 ή x =-1 και
f(x) > 0 για κάθε x > - 1, άρα
Ε = + ∫ ln(𝑥 + 2) 𝑑x =
1
−1
∫ (x + 2)΄ln(𝑥 + 2)𝑑x = ∫ 𝑙𝑛𝑢𝑑𝑢 = [𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥]1
3
= 3𝑙𝑛3 − 2
3
1
1
−1
 Εμβαδόν μεταξύ Cf , Cg , x = α και x = β
dx)x(g)x(f
a
 

5. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις
f(x) =ex , g (x) = 1-x και τις ευθείες x = -1 , x = 1.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

26. [25]
Υπόδειξη : Μέσω της μονοτονίας της f(x)-g(x) βρίσκω το πρόσημο της.
Ε = dx))x(g)x(f(dx))x(f)x(g(dx)x(g)x(f  

1
0
0
1
1
1
=…….
 Εμβαδόν μεταξύ Cf , Cg
Κάνω τα ίδια με την περίπτωση Εμβαδόν μεταξύ Cf και xx΄.
6. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις
f(x) = x3 , g (x) = 2x - x2 [άσκηση 4 Α΄ σχολικού]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Λύνω την εξίσωση : f(x) =g (x) , x∈Df∩Dg = R
x3 + x2 - 2x = 0 ή x=0 ή x=-2 ή x = 1
Αναζητώ το πρόσημο της παράστασης f(x) – g(x) = x3 + x2 - 2x
-∞ -2 0 1 +∞
x - - + +
x2+ x - 2 + - - +
f(x) – g(x) - + - +

27. [26]
Άρα Ε = ∫ (f(x) – g(x)) 𝑑𝑥
0
−2
− ∫ (f(x) – g(x))dx
1
0
=………..=
37
12
7. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την
f(x) = x3+x και την g(x) = x2+3x.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Ε = dx))x(f)x(g(dx))x(g)x(f(dx)x(g)x(f  

2
0
0
1
2
1
=…….
8. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις
f(x) =√x − 1 , g (x) =
𝑥+1
3
[άσκηση 4 B΄ σχολικού]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Df= [1,+∞) , Dg = R
f(x) =g (x) , x∈Df∩Dg =[1,+∞) ⇔ 9(x-1)= x2+2x+1 ⇔x2-7x+10 = 0 ⇔
x = 5 ή x = 2
f(x) >g (x)>0 , x∈Df∩Dg =[1,+∞) ⇔ 9(x-1)> x2+2x+1 ⇔x2-7x+10 < 0 ⇔
x ∈ (𝟐, 𝟓)
0< f(x) < g (x) , x∈Df∩Dg =[1,+∞) ⇔ 9(x-1)< x2+2x+1 ⇔x2-7x+10 > 0 ⇔
x ∈ (−∞, 𝟐) ∪ (𝟓, +∝)

28. [27]
Άρα Ε = ∫ (f(x) – g(x)) 𝑑𝑥
5
2
=∫ √ 𝑢𝑑𝑢 −
1
3
∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
5
2
4
1
[
𝑢
3
2
3
2
]1
4
−
1
3
[
𝑥2
2
+ 𝑥]2
5
=……….=
1
6
Θέσαμε x-1=u , dx=du , u1 = 1 , u2 = 4
 Εμβαδόν μεταξύ τριών Cf , Cg , Ch

29. [28]
 Eμβαδόν και αντίστροφη συνάρτηση
f(x) συνεχής και γνησίως αύξουσα. Άρα 1-1 και ορίζεται η f-1(x).
Το εμβαδόν είναι : dx)x(f
)(f
)a(f



1
.
Αν θέλω να υπολογίσω το εμβαδόν μεταξύ των f και f-1 , τότε υπολογίζω το :
Ε = 2 dxx)x(f
a
 

, γιατί ;
9. Έστω , f : [0,2π] R .Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται μεταξύ των f(x) = x - συνx και f-1.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

30. [29]
Η f(x) είναι συνεχής στο [0,2π]. Είναι , f ΄(x) = 1 + ημx και ημx ≥ -1  ημx + 1≥ 0 .
Η παράγωγος μηδενίζεται μόνο στο
2
3
.
Είναι γνησίως αύξουσα στο [0,2π]. Άρα οι f , f-1 τέμνονται μόνο πάνω στην y=x.
f(x) – x = - συνx
Για κάθε x στο [0,
2

] ή [3
2

,2π] είναι f(x) – x ≤ 0
Για κάθε στο [
2

, 3
2

] είναι f(x) – x ≥ 0.
Άρα :
Ε = 2 dxx)x(f
a
 

=2[ dx)x(fx(dx)x)x(f(dx)x(fx(  





2
2
3
2
3
2
2
0
]
= 2(  )]x[ 101 2
3
2

 8 τ.μ
Ενότητα : Ιδιότητες Ολοκληρωμάτων
10. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : RR , για την οποία ισχύει
f(2) = 1. Να αποδείξετε ότι :
α ) 096
3
1
2
 dx))x(f)x(f( β )   
3
1
3
1
2
84 dx)x(fdx)x(f
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

31. [30]
α )f2(x) - 6f(x)+9 = (f(x)-3)2.
Θεωρώ την g(x) = (f(x)-3)2 ≥ 0 και g(2) = (1-3)2 = 4 ≠0 , άρα δεν
είναι παντού μηδέν στο (1,3) συνεπώς :  
3
1
0dx)x(g προκύπτει το
ζητούμενο.
β )f2(x) - 4f(x)+4 = (f(x)-2)2.
Θεωρώ την g(x) = (f(x)-2)2 ≥ 0 και g(2) = (1-2)2 = 1 ≠0 , άρα δεν
είναι παντού μηδέν στο (1,3) συνεπώς :
 
3
1
0dx)x(g προκύπτει το ζητούμενο.
11.
Να αποδείξετε ότι :
α )
2
2
1


x
x , για κάθε x≥ -1 , β )
8
9
1
1
0
3
 dxx
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α )
2
2
1


x
x  2 21  xx  4x+4 ≤x2+4x+4  x2 ≥ 0 που ισχύει .
β )
2
2
1
3
3 

x
x  


1
0
31
0
3
2
2
1 dx
x
dxx
και .dx
x
8
9
8
1
1
2
21
0
3


 Προκύπτει το ζητούμενο.
12.
Δείτε την άσκηση 10 Γ΄ Ομάδας σελίδας 235
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

32. [31]
Έστω f(x) = 42
x , ορισμένη στο A = [0,1] , εξέτασε τη μονοτονία της,
f΄(x) = 0
42

x
x
για κάθε x στο (0,1) f(x) γν.αύξουσα στο [0,1].
0 ≤ x ≤ 1  f(0)≤f(x) ≤f(1)  2≤f(x)≤ 5
Είναι2≤f(x)≤ 5 με ολοκλήρωση προκύπτει το ζητούμενο.
13.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : [1,3]R , για την οποία ισχύει :
  
3
1
3
1
2
786 dx)x(xfdx)x(f
α ) Να αποδειχθεί ότι : 789
3
1
2
 dxx
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) 78
3
1
99
3
99 3
1
33
1
2
 )(]
x
[dxx
β )   
3
1
3
1
2
786 dx)x(xfdx)x(f    
3
1
3
1
2
3
1
2
96 dxxdx)x(xfdx)x(f
  
3
1
2
3
1
22
03096 dx)x)x(f(dx)x)x(xf)x(f(
Έστω g(x) = (f(x)-3x)2≥ 0 και αν η g(x) δεν ήταν παντού μηδέν θα ίσχυε
 
3
1
2
03 dx)x)x(f( , άτοπο , άρα η g(x) είναι ΠΑΝΤΟΥ μηδέν .
Δηλαδή g(x) = 0  f(x) = 3x.

33. [32]
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
(Ευκλείδης Β΄ τεύχος 68 - Βιντεομαθήματα Ν. Ιωσηφίδη σχ. Έτος 17-18)
Πρόταση
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] και f(x) ≥ 0 για κάθε x[α, β] , τότε :


a
dxxf )( ≥ 0.
Αν επιπλέον υπάρχει x1 [α, β] με f(x1) ≠ 0 , τότε : 

a
dxxf )( > 0.
ΠΡΟΣΟΧΗ ! Το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει. Δηλαδή αν για τη συνεχή f(x) στο
[α, β] ισχύει 

a
dxxf )( ≥ 0 , ΔΕΝ είναι αναγκαστικά f(x) ≥ 0 για κάθε
x[α, β]. Π.χ 
2
1
3
4 dxx =…..= 15 >0 όμως f(x) = 4χ3< 0 , για κάθε χ[-1,0).
Πόρισμα 1ο
Αν f(x) , g(x) συνεχείς στο [α,β] και f(x) ≥ g(x) για κάθε x[α,β] , τότε


a
dxxf )( ≥ 

a
dxxg )( .
Πόρισμα 2ο
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α,β] , τότε :  

aa
dxxfdxxf )()( .
ΠΡΟΣΟΧΗ !Αν χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα 2 στις εξετάσεις , πρέπει να το
αποδείξουμε , γιατί δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.
1η Κατηγορία : Βάσει της Πρότασης και των Πορισμάτων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1ο
Αν  
2
1
2
3
5
dx)x(f , να δειχθεί ότι  
2
1
2dx)x(xf
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

34. [33]
(f(x) – x)2 ≥ 0  f2(x) -2x∙f(x) + x2 ≥ 0  2x∙f(x)≤f2(x) + x2, μέσω του
Πορίσματος 1 προκύπτει το ζητούμενο.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2ο
Αν 1 ≤f(x) ≤3 για κάθε xστο [0,1] και 
1
0
dx)x(f = 2 , να δειχθεί ότι
α )  
1
0
2
5dx)x(f β )  
1
0 3
21
dx
)x(f
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α )1≤f(x)  f(x) – 1 ≥ 0 (1)
f(x) ≤ 3  f(x) – 3 ≤0 (2)
Από (1) , (2) προκύπτει ότι (f(x) – 1)(f(x)-3) ≤ 0  f2(x) – 4f(x) +3 ≤ 0 
f2(x) ≤4f(x) – 3 , μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το ζητούμενο.
β ) f2(x) – 4f(x) +3 ≤ 0  f(x) -4 + 0
3

)x(f
 )x(f
)x(f
 4
3
,
μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το ζητούμενο.
2η Κατηγορία : Κάνω χρήση των ανισοτήτων
lnx≤x-1 ,x> 0 ex≥x+1 , x R
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3ο
Να αποδειχθούν :
α )  
2
1
2
3
20
32 dx)xln( β ) edxex
 
1
0
2
3
4
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) ln(2x2+3)≤2x2+2 , 2x2+3> 0 ,μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το
ζητούμενο.
β )
2
x
e ≥x2+1 , για κάθε xR.  
1
0
2
3
4
dxex

35. [34]
Επίσης 0 ≤ x ≤ 1  0≤ x2 ≤ 1  e0 ≤
2
x
e ≤ e
2
x
e ≤ e
μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το ζητούμενο.
3η Κατηγορία :Κάνοντας χρήση των ανισοτήτων :
x2 + y2 ≥2xy x+y≥2 xy
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4ο
Να αποδειχθεί ότι  
4
2
8
4
dx)
xln
x(ln
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Είναι , lnx> 0 για κάθε x[2,4].
4
44
2
4

xln
xln
xln
xln
xln
xln
Hισότητα ισχύει για x = e2.
μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το ζητούμενο.
4η Κατηγορία : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ συνάρτησης και εφαπτομένη αυτής.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5ο
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) =
x
ex
είναι κυρτή στο (0,+∞)
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο (2 , f(2))
γ ) Να δειχθεί ότι
2
3
1
edx)x(f 
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α )f ΄(x) = 2
x
exe xx

,
f ΄΄(x) = 3
2
4
22
2222
x
e)xx(
x
xeex)exee(x xxxxxx



>0
για κάθε x> 0 άρα η f(x) ΚΥΡΤΗ στο (0,+∞).

36. [35]
β )y –f(2)=f ΄(2)(x-2)  y = x
e
4
2
γ )f(x) =
x
ex
≥ x
e
4
2
, λόγω κυρτότητας άρα μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το
ζητούμενο.
5η Κατηγορία : Απόδειξη ανισότητας που περιέχει ολοκλήρωμα.
Αποδεικνύουμε ότι f(x) ≥ 0 ή f(x) ≤ 0 για κάθε x[α, β] με τη βοήθεια των ακροτάτων
ή της μονοτονίας.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6ο
Δείξτε ότι :  


2008
0
2008
0 2
1ln dx
x
x
dxx
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
f(x) =
2
1


x
x
xln , Α = (-1 , +∞)
f΄(x) = 0
2122
2
12
1
2
2
2





 )x)(x(
x
)x()x(
για κάθε xΑ-{0}
Άρα η f(x) είναι γν.αύξουσα στο Α.
Είναι : x≥ 0  f(x) ≥0 άρα μέσω του Πορίσματος 1 προκύπτει το ζητούμενο.
6η Κατηγορία **: Ανισότητα Cauchy– Schwarz
2


a
)dx)x(g)x(f( ≤( 

a
dx)x(f 2
)·( 

a
dx)x(g2
)
H ισότητα ισχύει αν g(x) = λf(x) , λR.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7ο
Nα αποδειχθεί ότι  

1
0
2
4
3
1
1
dx
x
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

37. [36]
f(x) =
1
1
2
x
, g(x) = 12
x , από ανισότητα C-Sπροκύπτει το ζητούμενο.
Ενότητα : 12 Σωστά Λάθος - Ολοκληρωτικού Λογισμού με Απαντήσεις
1. Αν f ΄(x) , g΄(x) είναι συνεχείς στο [α, β] , τότε ισχύει πάντοτε
  
 
a aa
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f
Λ
2. Για κάθε συνάρτηση f(x) η οποία είναι συνεχής στο [α, β] το
ολοκλήρωμα 

a
dx)x(f παριστάνει πάντα εμβαδόν.
Λ
3. Αν g(x) , f(x) είναι συνεχείς στο [α, β] με f(x)≥ g(x) για κάθε
x[α, β] και η f(x) δεν είναι παντού ίση με την g(x) στο [α, β], τότε


a
dx)x(f > 

a
dx)x(g .
Σ
4. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο Δ (διάστημα) ισχύει f(x) > 0 για
κάθε x στο Δ και α, βΔ με α < β , τότε 

a
dx)x(f < 0.
Λ
5.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] με 

a
dx)x(f ≥0 , τότε κατ’ ανάγκην
θα είναι f(x)≥0 για κάθε x[α, β].
Λ
6. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] και για κάθε x[α, β] ισχύει f(x)≥0
και η συνάρτηση f(x) δεν είναι παντού μηδέν στο [α, β] , τότε κατ’
ανάγκην είναι 

a
dx)x(f > 0.
Σ
7. Αν η f(x) είναι συνεχής στο Δ και α, β, γ Δ , τότε ισχύει :


a
dx)x(f = 

a
dx)x(f + 


dx)x(f .
Σ
8.
Ισχύει 

a
dx)x(f = - 
a
dx)x(f

.
Σ
9. Κάθε συνεχής συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , έχει παράγουσα στο
Δ.
Σ

38. [37]
10. Αν g(x) , f(x) είναι συνεχείς στο [α, β] με f(x)≥ g(x) για κάθε
x[α, β] τότε ισχύει πάντα 

a
dx)x(f < 

a
dx)x(g .
Λ
11. Αν η f(x) είναι συνεχής στο R με f(x) > 0 για κάθε xR , τότε ισχύει
πάντα η ισοδυναμία :
 

a
dx)x(f 0  α=β
Σ
12. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε ισχύει
( 

a
dx)x(f )΄ = 0.
Σ
Ενότητα : Αληθή – Ψευδή, σχολικού βιβλίου σελίδες 236-241.

39. [38]
Ενδεικτικές Απαντήσεις
1. Α
2. Ψ , δοκίμασε τις f (x) = 1 και g(x) = 1 στο [α, β].
3. Α.
4. Ψ , αν f (x) = ημx στο [0,2π] , τότε ……….
5. Α.
Ενδεικτικές Απαντήσεις
6. Ψ , f (x) = ημx στο [ 0,
2
3
], έχει θετικό ολοκλήρωμα αλλά ………..
7. Α ,x4 + 1 ≤ x4+ x2+1 για κάθε x στο [-α, α] , άρα …….
8. Α.
Ενδεικτική Απάντηση
10. Αληθές.
Ενδεικτικές Απαντήσεις
13. Α γιατί έστω ότι δεν παίρνει ετερόσημες τιμές ,τότε f(x) ≥ 0 ή f(x)≤ 0.
Αν f(x)≥ 0 και όχι παντού 0 τότε το ολοκλήρωμα θα ήταν αυστηρά
θετικό, ΑΤΟΠΟ.

40. [39]
Ομοίως αν f(x)≤ 0 , ΑΤΟΠΟ.
Άρα παίρνει ετερόσημες τιμές.
14. Ψ , γιατί η x3 – x δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [-1,1]. Συγκεκριμένα είναι
αρνητική στο (0,1).
Ενδεικτικές Απαντήσεις
  
1
0
1
0
1
0
2
)11(
1
))((
1
)()(



 dxxdxxdxxf
Απάντηση

 
1
1
1
1
3
2
3
4
)
3
1
1
3
1
1(]
3
[)1(
x
xdxx

41. [40]

42. [41]
Ενδεικτικές Απαντήσεις
Αυτό που θέτουμε x = ………… , ΔΕΝ ορίζεται στο 0.