Dokumen tersebut membahas tentang metode interpolasi, yaitu teknik untuk memperkirakan nilai tengah antara titik data yang diketahui. Metode yang dijelaskan antara lain interpolasi beda terbagi Newton, Lagrange, dan Spline."

1. METODE NUMERIK
INTERPOLASI

2. Tujuan
 Interpolasi berguna untuk menaksir harga-
harga tengah antara titik data yang sudah
tepat. Interpolasi mempunyai orde atau
derajat.

3. Macam Interpolasi
 Interpolasi Beda Terbagi Newton
 Interpolasi Lagrange
 Interpolasi Spline

4. Macam Interpolasi Beda
Terbagi Newton
 Interpolasi Linier
Derajat/orde 1 → memerlukan 2 titik
x f(x)
1 4,5
2 7.6
3 9.8
4 11.2
Berapa f(x = 1,325) = ?
Memerlukan 2 titik awal :
x = 1
x = 2

5. Macam Interpolasi Beda
Terbagi Newton
 Interpolasi Kuadratik
Derajat/orde 2 → memerlukan 3 titik
x = 1 → f(x = 1) = . . . .
x = 2 → f(x = 2) = . . . .
x = 3 → f(x = 3) = . . . .
f (x = 1,325) = ?

6. Macam Interpolasi Beda
Terbagi Newton
 Interpolasi Kubik
Derajat/orde 3 → memerlukan 4 titik
…
 Interpolasi derajat/orde ke-n
→ memerlukan n+1 titik
 Semakin tinggi orde yang digunakan untuk
interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti).

8. Interpolasi Linier
 Cara: menghubungkan 2 titik dengan sebuah
garis lurus
 Pendekatan formulasi interpolasi linier sama
dengan persamaan garis lurus.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0
01
01
01 xx
xx
xfxf
xfxf −
−
−
+=

9. Interpolasi Linier
 Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :
narnyaHarga_sebe
narnyaHarga_sebeganl_perhitunHarga_hasi
εt
−
=

10. Interpolasi Linier (Ex.1)
 Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student
t’ sebagai berikut :
t5% = 2,015
t2,5% = 2,571
Berapa t4% = ?

11. Interpolasi Linier (Ex.1)
 Penyelesaian
x0 = 5  f(x0) = 2,015
x1 = 2,5  f(x1) = 2,571
x = 4  f(x) = ?
Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0
01
01
01 xx
xx
xfxf
xfxf −
−
−
+=
( ) ( )
237,22374,2
54
55,2
015,2571,2
015,2
≈=
−
−
−
+=

12. Interpolasi Linier (Ex.2)
 Diketahui:
log 3 = 0,4771213
log 5 = 0,698700
 Harga sebenarnya:
log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).
 Harga yang dihitung dengan interpolasi:
log (4,5) = 0,6435078
%49,1%100
6532125,0
6532125,06435078,0
=∗
−
=tε

13. Interpolasi Linier
 Pendekatan interpolasi dengan derajat 1,
pada kenyataannya sama dengan mendekati
suatu harga tertentu melalui garis lurus.
 Untuk memperbaiki kondisi tersebut
dilakukan sebuah interpolasi dengan
membuat garis yang menghubungkan titik
yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang
sering juga disebut interpolasi kuadratik,
kubik, dst.

14. Interpolasi Kuadratik
 Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai
interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data.
 Bentuk polinomial orde ini adalah :
f2(x) = a0 + a1x + a2x2
dengan mengambil:
a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1
a1 = b1 – b2x0 + b2x1
a2 = b2

15. Interpolasi Kuadratik
 Sehingga
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
dengan
Pendekatan dengan
kelengkungan
Pendekatan dengan
garis linier
( )
( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
[ ]012
02
01
01
12
12
2
01
01
01
1
00
,,
,
xxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
xxf
xx
xfxf
b
xfb
→
−
−
−
−
−
−
=
→
−
−
=
=

16. Interpolasi Kubik
 f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
dengan:
( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
[ ]
( )
[ ]0123
03
012123
3
012
02
01
01
12
12
02
0112
2
01
01
01
1
00
,,,
],,[],,[
,,
],[],[
,
xxxxf
xx
xxxfxxxf
b
xxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xxfxxf
b
xxf
xx
xfxf
b
xfb
→
−
−
=
→
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
→
−
−
=
=

17. Interpolasi Beda Terbagi
Newton
 Secara umum:
f1(x) = b0 + b1(x-x0)
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
…
fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + … +
bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)

18. Interpolasi Beda Terbagi
Newton
Dengan:
 b0 = f(x0)
 b1 = f[x1, x0]
 b2 = f[x2, x1, x0]
…
 bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]

19. Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada
derajat bebas dengan α = 4%, jika diketahui:
t10% = 1,476 t2,5% = 2,571
t5% = 2,015 t1% = 3,365
dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde
3!

20. Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
Interpolasi Newton Orde 2:  butuh 3 titik
 x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
 b0 = f(x0) = 2,015
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )02
01
01
12
12
2
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
−
−
−
−
−
−
=
( ) ( )
( )
222,0
55,2
015,2571,2
01
01
1 −=
−
−
=
−
−
=
xx
xfxf
b
077,0
51
55,2
015,2571,2
5,21
571,2365,3
=
−
−
−
−
−
−
=

21. Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
= 2,015 + (-0,222) (4-5) +
0,077 (4-5)(4-2,5)
= 2,121

22. Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
Interpolasi Newton Orde 3:  butuh 4 titik
 x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
x3 = 10 f(x3) = 1,476

23. Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 b0 = f(x0) = 2,015
b1 = -0,222 → f[x1,x0]
b2 = 0,077 → f[x2,x1,x0]
007,0
5
077,0043,0
510
077,0
5,210
5,21
571,2365,3
110
365,3476,1
3
−=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=b

24. Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
= 2,015 + (-0,222)(4-5) +
0,077 (4-5)(4-2,5) +
(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1)
= 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315
= 2,153

25. Kesalahan Interpolasi Beda
Terbagi Newton
 Rn = |f[xn+1,xn,xn-1,…,x0](x-x0)(x-x1)…(x-xn)|
 Menghitung R1
Perlu 3 titik (karena ada xn+1)
R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|
 Menghitung R2
Perlu 4 titik sebagai harga awal
R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|

26. Kesalahan Interpolasi Beda
Terbagi Newton (Ex.)
 Berdasarkan contoh:
R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|
= |0.077 (4-5)(4-2.5)|
= 0.1155
R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|
= |-0.007 (4-5)(4-2.5)(4-1)|
= 0.0315

27. Interpolasi Lagrange
 Interpolasi Lagrange pada dasarnya
dilakukan untuk menghindari perhitungan
dari differensiasi terbagi hingga (Interpolasi
Newton)
 Rumus:
dengan
( ) ( ) ( )∑
=
=
n
i
iin xfxLxf
0
.
( ) ∏
≠
= −
−
=
n
ij
j ji
j
i
xx
xx
xL
0

28. Interpolasi Lagrange
 Pendekatan orde ke-1
f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)
( )
10
1
0
xx
xx
xL
−
−
= ( )
01
0
1
xx
xx
xL
−
−
=
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xf
−
−
+
−
−
=∴

29. Interpolasi Lagrange
 Pendekatan orde ke-2
f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)
( ) 







−
−








−
−
=
≠
=
= 20
2
10
1
2
0
0
xx
xx
xx
xx
xL
ij
n
i
( ) 





−
−








−
−
=
≠
=
= 21
2
01
0
2
1
1
xx
xx
xx
xx
xL
ij
n
i
( ) 





−
−








−
−
=
≠
=
= 12
1
02
0
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xL
ij
n
i
( ) ( ) ( ) ( )2
12
1
02
0
1
21
2
01
0
0
20
2
10
1
2 xf
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xf 





−
−








−
−
+





−
−








−
−
+







−
−








−
−
=∴

30. Interpolasi Lagrange
 Pendekatan orde ke-3
f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)
( ) ( ) ( ) +







−
−






−
−








−
−
+







−
−








−
−








−
−
= 1
31
3
21
2
01
0
0
30
3
20
2
10
1
2 xf
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xf
( ) ( )3
23
2
13
1
03
0
2
32
3
12
1
02
0
xf
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xx
xx








−
−








−
−








−
−
+







−
−






−
−








−
−

31. Interpolasi Lagrange (Ex.)
 Berapa nilai distribusi t pada α = 4 %?
α = 2,5 % → x0 = 2,5 → f(x0) = 2,571
α = 5 % → x1 = 5 → f(x1) = 2,015
α = 10 % → x2 = 10 → f(x2) = 1,476

32. Interpolasi Lagrange (Ex.)
 Pendekatan orde ke-1
f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xf
−
−
+
−
−
=
( ) ( )
237,2
015,2
5,25
5,24
571,2
55,2
54
=






−
−
+





−
−
=

33. Interpolasi Lagrange (Ex.)
 Pendekatan orde ke-2
f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)
( ) ( ) ( )
214,2
476,1
510
54
5,210
5,24
015,2
105
104
5,25
5,24
571,2
105,2
104
55,2
54
=






−
−






−
−
+





−
−






−
−
+





−
−






−
−
=
( ) ( ) ( ) ( )2
12
1
02
0
1
21
2
01
0
0
20
2
10
1
2 xf
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xf 





−
−








−
−
+





−
−








−
−
+







−
−








−
−
=∴

34. Interpolasi Spline
 Tujuan: penghalusan
 Interpolasi spline linear, kuadratik, kubik.

35. Interpolasi Cubic Spline
dimana Si adalah polinomial berderajat 3:
p(xi) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2
bi + (x-xi)3
ai, i=1,2, …, n-1
Syarat: Si(xi) = Si+1(xi), Si’(xi) = Si+1’(xi), Si’’(xi) = Si+1’’(xi)

36. Interpolasi Cubic Spline
 Interpolasi spline kubik menggunakan
polinomial p(x) orde 3
p(x) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2
bi + (x-xi)3
ai
 Turunan pertama dan kedua p(xi) yaitu:
p’(x) = ci + 2bi (x-xi) + 3ai (x-xi)2
p”(x) = 2bi + 6ai (x-xi)

37. Interpolasi Cubic Spline
 Evaluasi pada titik x=xi menghasilkan:
pi = p(xi) = di
pi”= p”(xi) = 2bi
 Evaluasi pada titik x=xi+1 menghasilkan:
pi = di + (xi+1-xi) ci + (xi+1-xi)2
bi + (xi+1-xi)3
ai
p(xi) = di + hi ci + hi
2
bi + hi
3
ai
p”i = 2bi + 6ai (xI+1-xi)
p”(xi+1) = 2bi + 6ai hi
dimana hi = (xI+1-xi)

38. Interpolasi Cubic Spline
 Jadi:
di = pi
 Sehingga:
2
"p
b i
i =
i
i1i
i
6h
p"p"
a
−
= +
6
p"2hp"h
h
pp
c ii1ii
i
i1i
i
+
−
−
= ++

39. Interpolasi Cubic Spline (Ex.)