if you want to learn all about interopaltin in the subject matter Numerik Methode, you can download this matter.

1. METODE NUMERIK
(MAT – 367 / 2–1 SKS)
INTERPOLASI
Della Maulidiya, S.Si, M.Kom

2. INTERPOLASI
Pendekatan numerik untuk menentukan
nilai suatu fungsi f(x) = y yang tidak
diketahui rumus fungsinya, pada suatu nilai
x tertentu jika nilai di sekitar x diketahui

3. POLINOMIAL INTERPOLASI
Hampiran nilai fungsi dihampiri oleh
fungsi Polinomial
Nilai fungsi polinomial mudah dihitung,
diturunkan, diintegral dan kontinu di
semua titik
Titik –titik data yang digunakan dalam
interpolasi bersifat diskrit, misal hasil
eksperimen fisik

4. METODE INTERPOLASI
Interpolasi
Interpolasi Linier
Beda
Terbagi Interpolasi
Kuadrat
Interpolasi Interpolasi
Newton Beda Maju
Interpolasi
Polinomial Beda
Interpolasi Mundur
Interpolasi
Lagrange

5. KASUS 1 :
Jarak tempuh sebuah mobil setiap 10 menit
Perpanjangan kawat (cm) 50 41
40 31
30 22
18
20 14
7
10 0 2
0
0 10 20 30 40 50 60
Peningkatan suhu
Fungsi jarak s(t) tidak diketahui.
Berapa jarak yang ditempuh mobil pada menit ke-35 ?

6. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI LINIER):
Menit ke-35 artinya t = 35 berada di tengah antara t = 30 dan t = 40.
Misal antara t = 30 dan t = 40 dihubungkan oleh garis lurus (fungsi linier) maka titik
(35, f(35) ) ada di antara titik (30, 14) dan (40, 22).
Sehingga f(35) dapat ditentukan oleh :
14 22
f (35) 18
2
25 22
18
Jarak (km)
20 14
15
10
5
0
25 30 35 40
Waktu (menit)

7. INTERPOLASI LINIER

8. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI KUADRAT) :
 Di sekitar t = 35, selain t = 30 dan t = 40 juga ada titik-titik lain.
Sehingga ada lebih dari dua titik yang bisa digunakan untuk
menghitung f(35) dengan menggunakan fungsi kuadrat
f(x) = ax2 + bx + c
f(20) = a(20)2 + b(20) + c = 400a +20b + c = 7
f(30) = 900a + 30b + c = 14
25 22
f(40) = 1600a + 40b + c = 22 17.875
20
Jarak (km)
Diperoleh fungsi kuadrat : 15
14
f(x)=0,005x2 + 0,45x – 4 10 7
5
0
f(35) = 0.005(35)2 + 0.45(35) 4
15 20 25 30 35 40
f(35) = 17,875 Waktu (menit)

9. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI KUADRAT) :
 Bandingkan jika menggunakan nilai di t = 30, t = 40 dan t = 50
f(30) = 900a + 30b + c = 14
f(40) = 1600a + 40b + c = 22
f(50) = 2500a + 50b + c = 31
Ternyata diperoleh fungsi kuadrat : f(x)=0,005x2 + 0,45x – 4
40
31
Jarak (km)
30 22
17.875
20 14
10 7
0
15 20 25 30 35 40 45 50
Waktu (menit)

10. INTERPOLASI KUADRAT

11. PERBANDINGAN GRAFIK –GRAFIK FUNGSI POLINOMIAL
Makin tinggi
derajat
polinomial
makin cepat
nilai fungsi
meningkat

12. INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
Interpolasi linier dan interpolasi kuadrat adalah
kasus khusus interpolasi beda terbagi Newton
Interval nilai x tidak perlu sama
Orde / derajat fungsi polinom ditentukan dari
banyaknya titik data yang tersedia
Fungsi polinom derajat n digunakan jika tersedia (n
+ 1) titik data
Makin banyak data yang dilibatkan dalam pencarian
suatu titik data maka akurasi akan makin baik
Newton’s Divided Difference Interpolation

13. RUMUS INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
Beda terbagi hingga ke
-n
F
Beda terbagi hingga ke
Beda terbagi hingga ke – 2
-1
2F

14. TABEL REKURSIF INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
i xi F(xi) F 2F 3F
0 x0 F(x0) F[x1 , x0] F[x2, x1, F[x3, x2, x1,
x0] x0]
1 x1 F(x1) F[x2 , x1] F[x3, x2,
x1]
2 x2 F(x2) F[x3 , x2]
3 xTabel selisih
3 F(x3)
i xi x- xi
0 x0 x – x0
1 x1 x – x1
2 x2 x – x2
3 x3 x – x3

15. PENYELESAIAN KASUS 1 DENGAN INTERPOLASI TERBAGI NEWTON
Berapa jarak yang ditempuh mobil pada menit ke-35
?
Tabel data Tabel selisih untuk x =
Waktu Jarak 35
i xi x- xi
0 0 0 0 35
10 2 1 10 25
20 7 2 20 15
30 14 3 30 5
40 22 4 40 -5
50 31 5 50 -10
60 41

16. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE- 1
f ( x1 ) f ( x0 ) 2 0 1
f [ x1 , x0 ]
x1 x0 10 0 5
f ( x2 ) f ( x1 ) 7 2 1
f [ x2 , x1 ]
x2 x1 20 10 2
i xi F(xi F f ( x3 ) f ( x2 ) 14 7 7
) f [ x3 , x2 ]
x3 x2 30 20 10
0 0 0 1/5
f ( x4 ) f ( x 3 ) 22 14 4
1 10 2 1/2 f [ x4 , x 3 ]
x4 x 3 40 30 5
2 20 7 7/10
f ( x5 ) f ( x4 ) 31 22 9
3 30 14 4/5 f [ x5 , x4 ]
x5 x4 50 40 10
4 40 22 9/10
50 31
f ( x6 ) f ( x5 ) 41 31
5 1 f [ x6 , x5 ] 1
60 41
x6 x5 60 50
6

17. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-2
2F f [ x2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] 1/ 2 1/ 5 3
i xi F f [ x2 , x1 , x0 ]
x 2 x0 20 0 200
0 0 F 3/200 7 1
f [ x3 , x2 ] f [ x2 , x1 ] 10 2 1
1 10 1/5 1/100 f [ x3 , x2 , x1 ]
x3 x1 30 10 100
2 20 1/2 1/200 4 7
f [ x4 , x 3 ] f [ x 3 , x 2 ] 5 10 1
3 30 7/10 1/200 f [ x4 , x 3 , x 2 ]
x4 x 2 40 20 200
4 40 4/5 1/200 9 4
f [ x5 , x4 ] f [ x4 , x 3 ] 10 5 1
50 f [ x5 , x4 , x 3 ]
5 9/10 x5 x 3 50 30 200
6 60 1 1 9
f [ x6 , x5 ] f [ x4 , x6 ] 10 1
f [ x6 , x5 , x4 ]
x6 x4 60 40 200

18. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-3
i xi 2F 3F
0 0 3/200 -1/6000 1 / 100 3 / 200 1
f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]
10
30 0 6000
1 1/100 -1/6000
1 / 200 1 / 100 1
2 20 1/200 0 f [ x4 , x3 , x2 , x1 ]
40 10 6000
3 30 1/200 0 1 / 200 1 / 200
f [ x5 , x4 , x 3 , x 2 ] 0
4 40 1/200 50 20
50 1 / 200 1 / 200
5 f [ x6 , x5 , x4 , x 3 ] 0
60 30
6 60

19. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-4
i xi 2F 3F 4F
0 0 3/200 -1/6000 0
1 10 1/100 -1/6000 1/240000
2 20 1/200 0 0 1 / 6000 1 / 6000
4
0 f 0
3 30 1/200 0 40 0
4 40 1/200 4 0 1 / 6000 1
1
f
5 50 50 10 240000
6 60 4 0 0
2
f 0
60 20

20. TABEL REKURSIF BEDA TERBAGI HINGGA MENGGUNAKAN MS. EXCEL
2 3 4 5 6
i xi fi F F F F F F
0 0 0 0.2 0.015 -0.000167 5.42101E-21 8.33333E-08 -2.77778E-09
1 10 2 0.5 0.01 -0.000167 4.16667E-06 -8.33333E-08 i xi x- xi
2 20 7 0.7 0.005 -1.73E-19 4.33681E-21 0 0 35
1 10 25
3 30 14 0.8 0.005 0
2 20 15
4 40 22 0.9 0.005
3 30 5
5 50 31 1 4 40 -5
6 60 41 5 50 -10
f6(36) = 0 + 35 0.2 + 35 25 0.015 + 35 25 15 (-0.000167) + 35 25
15 5 5.42101E-21 + 35 25 15 5 (-5) 8.33333E-08 + 35 25
15 5 (-5) (-10) (-2.77778E-09) = 17.89648 …

21. INTERPOLASI LAGRANGE
• Joseph Louis Lagrange
(Prancis) menulis
persamaan garis lurus
dalam bentuk polinomial
Lagrange
• Polinomial Lagrange
dapat digunakan untuk
menginterpolasi tabel
dengan n nilai meskipun
intervalnya titik-titik data
tidak sama

22. TABEL SELISIH INTERPOLASI LAGRANGE
i xi F(xi) x - xi x1 - xi x2 - xi x3 - xi x4 - xi
0
1 0
2 0
3 0
4 0

23. PENYELESAIAN KASUS 1 DENGAN INTERPOLASI LAGRANGE
Tabel selisih interpolasi lagrange
l xi F(xi) x - xi x0- xi x1 - xi x2 - xi x3 - xi x4 - xi x5 - xi x6 - xi
0 0 0 35 0 10 20 30 40 50 60
1 10 2 25 -10 0 10 20 30 40 50
2 20 7 15 -20 -10 0 10 20 30 40
3 30 14 5 -30 -20 -10 0 10 20 30
4 40 22 -5 -40 -30 -20 -10 0 10 20
5 50 31 -15 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
6 60 41 -25 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Polinomial Lagrange

24. TABEL POLINOMIAL LAGRANGE
i xi F(xi) (x-xj) (xi-xj) Li Li * F(xi)
0 0 0 -3515625 720000000 -0.00488 0
1 10 2 -4921875 -120000000 0.041016 0.08203125
2 20 7 -8203125 48000000 -0.1709 -1.196289063
3 30 14 -24609375 -36000000 0.683594 9.5703125
4 40 22 24609375 48000000 0.512695 11.27929688
5 50 31 8203125 -120000000 -0.06836 -2.119140625
6 60 41 4921875 720000000 0.006836 0.280273438
f6(35) 17.89648438

25. KASUS 2
 Hasil pengamatan sebuah eksperimen fisika yang meneliti
pengaruh jarak regangan (meter) sebuah pegas terhadap
besar gaya (Newton) yang dikerahkan pegas tersebut
disajikan dalam tabel dan scatter plot berikut.
Uji jarak gay 55
ke- a 50
1 0.005 8 45
40
2 0.010 17
35
3 0.015 22
30
4 0.020 32 25
5 0.025 36 20
6 0.030 41 15
10
7 0.035 45
5
8 0.040 48
0
9 0.045 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

26. TUGAS
 Tentukan besar gaya regangan pegas jika jarak regangan pegas
sejauh x/1000 meter
 Nilai x ditentukan oleh dua angka terakhir NPM
 Contoh :
 A1C008006 maka x = 6  jarak = 0.006 m
 A1C008012 maka x = 12 jarak = 0.012 m
 Untuk dua angka terakhir NPM berikut maka nilai x yaitu :
NPM 01 02 03 04 05 10 15 25 30 40 45
x 17 18 19 23 24 26 27 37 39 46 48
 Buatlah scatter plot yang menunjukkan letak data yang Anda cari
di antara titik-titik data yang diketahui

27. INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
DAN INTERPOLASI LAGRANGE
KOMPUTASI NUMERIK MENGGUNAKAN MATLAB

28. ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON
polinomial
Newton
 Menghitung polinomial Newton untuk menghampiri fungsi f(x) dengan
menggunakan (n + 1) titik data yang berbeda
 INPUT : (x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) , . . . , (xn, f(xn)), (xn + 1, f(xn + 1)), x
 OUTPUT : a1 , a2 , a3, . . . , an , an+1 , polinom
 PROSES :
1. FOR k = 1 TO (n + 1)
D(1, k) = f(xk)
2. a1 = D(1, 1)
3. FOR j = 2 TO (n + 1)
(a) FOR k = 1 TO ((n + 1) – j + 1)
D(j, k) = (D(j - 1, k+1) – D(j – 1, k))/(xk+j - 1 – xk)
(b) aj = D(j, 1)

29. ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON….LANJUTAN
 PROSES :
4. selisih(1) = x – x(1)
5. polinom = a1
5. FOR i = 2 TO N
polinom=polinom + (a(i) * selisih(i-1))
selisih(i) =selisih(i – 1) *( x - x(i))
6. STOP

30. HASIL PROGRAM MATLAB UNTUK ALGORITMA BEDA TERBAGI
NEWTON
Baris ke-1 adalah nilai – nilai y
Baris ke-2 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu F
Baris ke-3 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu 2F
Baris ke-4 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu 3F
…… dan seterusnya

31. ALGORITMA INTERPOLASI LAGRANGE
 Menghitung polinomial Lagrange untuk menghampiri fungsi f(x)
dengan menggunakan n titik data yang berbeda
 INPUT : (x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) , . . . , (xn, f(xn)), x
 OUTPUT : polinom Pn-1(x)
 PROSES :
1. Pn-1(x) = 0
2. FOR k = 1 TO n
(a) Lk(x) = 1
(b) FOR j = 1 TO n
if j k then Lk(x) = Lk(x) * (x – xj) / (xk – xj)
(c) Pn-1(x) = Pn-1(x) + f(xk) * Lk(x)
3. STOP

32. REFERENSI
 Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan
Matlab. Penerbit Andi. Yogyakarta
 Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik. Penerbit
Tarsito. Bandung
 Djojodihardjo, Harijono. 2000. Metode Numerik.
Penerbit Gramedia Pustaka Utama. Jakarta
 Susila, I Nyoman. 1994. Dasar-dasar Metode
Numerik. DepDikBud DIKTI. Proyek Pembinaan
dan Peningkatan Mutu Tenaga Kependidikan.
Jakarta