Dokumen tersebut membahas mengenai pengertian dan metode-metode interpolasi dan regresi, termasuk interpolasi linier, kuadratik, polinomial, Lagrange, serta regresi linier dan polinomial. Metode yang paling sering digunakan untuk interpolasi adalah interpolasi polinomial yang melibatkan penentuan koefisien polinom melalui beda terbagi Newton atau sistem persamaan linier.

1. PENCOCOKAN KURVA
(CURVE FITTING)
Interpolasi :Interpolasi :
• Interpolasi Linier
• Interpolasi Kuadratik
• Interpolasi Polinomial
• Interpolasi Lagrange
Regresi :Regresi :
• Regresi Linier
• Regresi Eksponensial
• Regresi Polinomial
INTERPOLASI
Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara
(intermediate value) diantara titik-titik data yang
tepat.
Metode yang sering digunakan adalah interpolasi
polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :
Interpolasi Linier
(orde 1)
Interpolasi Kuadratik
(orde 2)
Interpolasi Kubik
(orde 3)

2. INTERPOLASI LINIER
Tujuan : menentukan titik antara dari 2 titik data
dengan menggunakan garis lurus.
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
−
−
=
−
−
Sehingga :
( )12
12
1
1 yy
xx
xx
yy −
−
−
+=
Semakin kecil interval
P1 & P2 semakin baik
hasil interpolasi.
INTERPOLASI LINIER
Algoritma interpolasi linier :
1. Tentukan 2 titik P1 dan P2 dg koordinat masing-
masing (x1,y1) dan (x2,y2)
2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q)
3. Hitung nilai y dengan :
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)
( )12
12
1
1 yy
xx
xx
yy −
−
−
+=

3. INTERPOLASI LINIER
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta
hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data :
a. ln(1) dan ln(6)
b. ln(1) dan ln(4)
Jawab (a) :
x1 = 1, y1 = ln(1) = 0
x2 = 6, y2 = ln(6) = 1,791759
x = 2
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 48,4%
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y = ln(x)
( ) 0,358352791759,1
16
12
0ˆ =
−
−
+=y
INTERPOLASI LINIER
Jawab (b) :
x1 = 1, y1 = ln(1) = 0
x2 = 4, y2 = ln(4) = 1,386294
x = 2
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 33,3%
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y = ln(x)
( ) 0,462098386294,1
14
12
0ˆ =
−
−
+=y

4. INTERPOLASI KUADRATIK
Tujuan : menentukan titik
antara dari 3 titik data
dengan menggunakan
pendekatan fungsi kuadrat.
Bentuk umum persamaan
utk interpolasi kuadratik :
( ) ( )( )1020102 )( xxxxbxxbbxf −−+−+=
P0(x0,y0)
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
Q(x,y)
......... (1)
INTERPOLASI KUADRATIK
Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi
kuadrat sbb :
dimana :
Bagaimana mendapatkan nilai b0, b1 dan b2 ?
2
2102 )( xaxaaxf ++=
22
120211
1020100
ba
xbxbba
xxbxbba
=
−−=
−−=

5. INTERPOLASI KUADRATIK
Untuk x = x0, persamaan (1) menjadi :
b0 = y0 .............. (2)
Untuk x = x1 dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :
Untuk x = x2 dan substitusi pers. (2) dan (3)
kedalam (1) :
01
01
1
xx
yy
b
−
−
= ................. (3)
02
01
01
12
12
2
xx
xx
yy
xx
yy
b
−
−
−
−
−
−
= ................. (4)
INTERPOLASI KUADRATIK
Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1)
dengan nilai b0, b1 dan b2 pada persamaan (2) s/d
(4), untuk menghitung nilai y pada interpolasi
kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
yy
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=

6. INTERPOLASI KUADRATIK
Algoritma interpolasi kuadratik :
1. Tentukan 3 titik input P0(x0,y0), P1(x1,y1) dan
P2(x2,y2)
2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q)
3. Hitung nilai y dengan :
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
yy
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
INTERPOLASI KUADRATIK
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta
hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1),
ln(4) dan ln(6)
Jawab :
x0 = 1, y0 = ln(1) = 0
x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294
x2 = 6, y2 = ln(6) = 1,791759
x = 2
Harga-harga tsb dimasukkan
kedalam rumus sehingga diperoleh :
ŷ = 0.565844
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 18,4%
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y = ln(x)

7. INTERPOLASI POLINOMIAL
Tujuan : menentukan titik antara dari n titik data
dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial.
Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh
hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi
Newton (divided difference interpolation polynomial
by Newton).
Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial
Newton :
( ) ( )( )
( )( ) ( )110
102010)(
−−−−+
+−−+−+=
nn
n
xxxxxxb
xxxxbxxbbxf
L
K
INTERPOLASI POLINOMIAL
dimana :
f […,…] disebut beda
terbagi hingga
],,,,[
],,[
],[
011
0122
011
00
xxxxfb
xxxfb
xxfb
yb
nnn L
M
−=
=
=
=
→ beda terbagi hingga ke 1
→ beda terbagi hingga ke 2
→ beda terbagi hingga ke n

8. INTERPOLASI POLINOMIAL
Cara menghitung “beda terbagi hingga” :
0
02111
011
01
01
01
],,,[],,,[
],,,,[
],[],[
],,[
],[],[
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
yy
xxf
xx
yy
xxf
n
nnnn
nn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
−
−
=
−
−
=
−
−
=→
−
−
=
−−−
−
LL
L
Dfj
D2fk
Dnf0
Simbol :
INTERPOLASI POLINOMIAL
Langkah-langkah perhitungan interpolasi polinomial beda
terbagi Newton :
1. Tentukan n titik input untuk interpolasi orde n–1.
2. Buat tabel “beda terbagi hingga” untuk mendapatkan
koefisien bi
3. Masukkan koefisien bi kedalam bentuk umum
persamaan interpolasi polinomial Newton :
4. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari dan hitung
nilai y dari persamaan interpolasi polinomial Newton tsb.
( ) ( )( )
( )( ) ( )110
102010)(
−−−−+
+−−+−+=
nn
n
xxxxxxb
xxxxbxxbbxf
L
K

9. INTERPOLASI POLINOMIAL
Tabel beda terbagi hingga :
y1x11
Dfi
y3x33
y2x22
y0x00
D3fiD2fiyixii
23
23
2
xx
yy
Df
−
−
=
12
12
1
xx
yy
Df
−
−
=
01
01
0
xx
yy
Df
−
−
=
13
12
1
2
xx
DfDf
fD
−
−
=
02
01
0
2
xx
DfDf
fD
−
−
=
03
0
2
1
2
0
3
xx
fDfD
fD
−
−
=
INTERPOLASI POLINOMIAL
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial
serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan
data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)
Jawab :
x0 = 1, y0 = ln(1) = 0
x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294
x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438
x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759

10. INTERPOLASI POLINOMIAL
Tabel beda terbagi hingga :
-0,0204110,2231441,38629441
0,182322
0,462098
Dfi
1,79175963
1,60943852
0,007866-0,059739010
D3fiD2fiyixii
INTERPOLASI POLINOMIAL
Sehingga persamaan interpolasi polinomialnya
adalah :
Masukkan harga-harga x kedalam persamaan :
x = 2, x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5
Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
( ) ( )( )
( )( )( )210
1003
0,007866
0,0597390,4620980)(
xxxxxx
xxxxxxxf
−−−+
−−−−+=

11. INTERPOLASI LAGRANGE
Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial
adalah model interpolasi Lagrange yg mengguna-
kan fungsi polinomial dalam kombinasi deret.
Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange :
∏
∑
≠
=
=
−
−
=
=
n
ij
j ji
j
i
n
i
ii
xx
xx
xL
xLyy
0
0
)(
)(
dengan :
INTERPOLASI LAGRANGE
Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa
interpolasi orde n sbb :
• Interpolasi linier (orde 1) :
• Interpolasi kuadratik (orde 2) :
01
0
1
10
1
0
xx
xx
y
xx
xx
yy
−
−
+
−
−
=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
yy
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=

12. INTERPOLASI LAGRANGE
• Interpolasi kubik (orde 3) :
dimana :
33221100 LyLyLyLyy +++=
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )231303
210
3
321202
310
2
312101
320
1
302010
321
0
xxxxxx
xxxxxx
L
xxxxxx
xxxxxx
L
xxxxxx
xxxxxx
L
xxxxxx
xxxxxx
L
−−−
−−−
=
−−−
−−−
=
−−−
−−−
=
−−−
−−−
=
INTERPOLASI LAGRANGE
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial
serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan
data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)
Jawab :
x0 = 1, y0 = ln(1) = 0
x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294
x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438
x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759

13. INTERPOLASI LAGRANGE
0,628769ŷ =
1,0750560.61,79175963
-3,218876-21,60943852
2,77258921,38629441
00.4010
yiLiLiyixii
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
INTERPOLASI POLINOMIAL
Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan
polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan
cara menyusun sistem persamaan linier simultan
dari nilai-nilai x dan y yang diketahui.
Jika ada n titik data yaitu P1(x1,y1) s/d Pn(xn,yn) maka:
1
1
2
210
1
31
2
323103
1
21
2
222202
1
11
2
121101
−
−
−
−
−
−
−
−
++++=
++++=
++++=
++++=
n
nnnnn
n
n
n
n
n
n
xaxaxaay
xaxaxaay
xaxaxaay
xaxaxaay
K
M
K
K
K

14. INTERPOLASI POLINOMIAL
Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut
adalah nilai-nilai a0, a1, a2, …, an-1 yang merupakan
koefisien dari persamaan polinomial sbb :
Sehingga dengan memasukkan nilai x pada
persamaan tersebut akan didapatkan nilai y dari titik
yang akan dicari.
1
1
2
210
−
−++++= n
n xaxaxaay K
INTERPOLASI POLINOMIAL
Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut
dapat menggunakan metode-metode yang telah
dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau
metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun
matriks sbb :
















=
































−
−
−
−
−
nn
n
nnn
n
n
n
y
y
y
y
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
xxx
MM
L
MMMMM
L
L
L
3
2
1
1
2
1
0
12
1
3
2
33
1
2
2
22
1
1
2
11
1
1
1
1

15. INTERPOLASI POLINOMIAL
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial
serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan
data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)
Jawab :
x0 = 1, y0 = ln(1) = 0
x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294
x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438
x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759
INTERPOLASI POLINOMIAL
Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix :












1,7917592163661
1,6094381252551
1,386294641641
01111
B2-B1
B3-B1
B4-B1












1,7917592153550
1,6094381242440
1,386294631530
01111
B2/3

16. INTERPOLASI POLINOMIAL
B1-B2
B3-4B2
B4-5B1












−
−
−−−
0,5187311101000
0,23895540400
0,46209821510
0,46209820401
B3/4












1,7917592153550
1,6094381242440
0,46209821510
01111
INTERPOLASI POLINOMIAL
B1+4B3
B2-5B3
B4-10B3












−
−
−
0,07865510000
0,05973910100
0,76079129010
0,70105320001
B4/10












−
−
−−−
0,5187311101000
0,05973910100
0,46209821510
0,46209820401

17. INTERPOLASI POLINOMIAL
B1-20B4
B2+29B4
B3-10B4












−
−
0,0078661000
0,1383940100
0,9888920010
0,8583630001












−
−
−
0,0078661000
0,05973910100
0,76079129010
0,70105320001
INTERPOLASI POLINOMIAL
Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb :
Untuk x = 2, diperoleh : ŷ = 0,628769
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
32
0,0078660,1383940,9888920,858363 xxxy +−+−=