Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ลำดับและอนุกรม

1,243 views

Published on

ขอขอบคุณ
http://www.tewlek.com/
ที่เอื้อเฟื้อข้อมูลในการทำบล็อกส่งคุณครูในครั้งนี้

Published in: Technology
  • Be the first to comment

ลำดับและอนุกรม

  1. 1. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม ลำดับและอนุกรมอนันต์ ม.6 เทอมปลาย สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม ลำดับและอนุกรม ลำดับ อนุกรม เลขคณิต เรขาคณิต เลขคณิต เรขาคณิต ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ การหาค่า lim( n→∞ รูปของn ) ลำดับอนันต์ อนุกรมอนันต์ 1 ( n i= Σ ของค่าต่างๆที่ต้องรู้)
  2. 2. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม 2 ลำดับและอนุกรม ลำดับ เลขคณิต 1 2 3 4 1 , , , ,..., , n n a a a a a a − 2 1 3 2 4 3 1 ... n n d a a a a a a a a − = − = − = − = = − (ผลต่างร่วม d คงที่) จะได้ว่า 1 ( 1) n a = a + n − d เรขาคณิต 1 2 3 4 1 , , , ,..., , n n a a a a a a − a a a a a ... n = = = = = (อัตราส่วนร่วม r คงที่) จะได้ว่า 2 3 4 1 2 3 n 1 r a a a− 1 . n 1 n a = a r −
  3. 3. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม 3 อนุกรม เลขคณิต 1 2 3 4 1 ... n n a a a a a a − + + + + + + 2 1 3 2 4 3 1 ... n n d a a a a a a a a − = − = − = − = = − (ผลต่างร่วม d คงที่) 1 2 3 4 1 ... n n n S a a a a a a − = + + + + + + จะได้ว่า 1 ( ) n 2 n S = n a + a โดยที่ 1 ( 1) n a = a + n − d เรขาคณิต 1 2 3 4 1 ... n n a a a a a a − + + + + + + a a a a a ... n = = = = = (อัตราส่วนร่วม r คงที่) 2 3 4 1 2 3 n 1 r a a a− 1 2 3 4 1 ... n n n S a a a a a a − = + + + + + + จะได้ว่า n 1.(1 ) 1 n a r r S − = − โดยที่ r ≠ 1
  4. 4. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม 4 ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ การหาค่า lim( n→∞ รูปของn ) ให้ c เป็นค่าคงตัว, lim a A n →∞ n= และ lim b = B n →∞ nจะได้ว่า 1) lim n c c →∞ = (ลิมิตเจอค่าคงตัวได้ค่าคงตัว) 2) lim . lim . c a = c a = c A n →∞ n n →∞ n 3) lim( ) lim lim a ± b = a ± b = A ± B nn n n n n →∞ →∞ →∞ n 4) lim( . ) lim . lim . a b = a b = A B nn n n n n →∞ →∞ →∞ n 5) lim lim ⎛ a ⎞ ⎜ n ⎟ = n →∞ n = โดยที่ b ≠ 0 n ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 ⎝ ⎠ lim n n n n a A b b B →∞ →∞ c c 6) lim( ) (lim ) a = a = A c n →∞ n n →∞ n Note ให้ M เป็นเลขชี้กำลังสูงสุดของเศษ N เป็นเลขชี้กำลังสูงสุดของส่วน nM c bn a a เมื่อ M = N จะได้ lim ... + + n N ... = →∞ + + d b M b an c เมื่อ M > N จะได้ lim ... + + n N ... →∞ n d = ∞ + + M เมื่อ M < N จะได้ + + lim ... 0 N ... n a n c bn →∞ d = + +
  5. 5. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม =Σ = + + + + + = หาค่าได้ เช่น อนุกรมเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม d = 0 และ 1 a = 0 (อนุกรมค่าคงตัว 0) 5 ลำดับอนันต์ ลำดับลู่เข้า (Convergent) lim( a ) = a=n →∞ n ∞ หาค่าได้ เช่น ลำดับเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม d = 0 ลำดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r =1 หรือ r <1 ลำดับอะไรก็ตาม ที่ lim( a ) = n หาค่าได้ n →∞ ลำดับลู่ออก (Divergent) lim( ) n n = =หาค่าไม่ได้ a a→∞ ∞ เช่น ลำดับเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม d ≠ 0 ลำดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r = −1 หรือ r >1 ลำดับอะไรก็ตาม ที่ lim( a ) = n หาค่าไม่ได้ n →∞ อนุกรมอนันต์ อนุกรมลู่เข้า (Convergent) ∞ S a a a a a a lim( ) ... n n n 1 2 3 4 n →∞ ∞ 1 = อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r <1 ***** จะได้ว่า 1 − Σ ***** 1 1 n n a a r ∞ = = อนุกรมอะไรก็ตาม ที่ lim( S ) n →∞ n = หาค่าได้ อนุกรมลู่ออก (Divergent) ∞ =Σ = + + + + + = หาค่าไม่ได้ เช่น อนุกรมเลขคณิต ทั้งหมด ยกเว้นอนุกรมค่าคงตัว 0 S a a a a a a lim( ) ... n n n 1 2 3 4 n →∞ ∞ 1 = อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r ≥1 อนุกรมอะไรก็ตาม ที่ lim( S ) n →∞ n = หาค่าไม่ได้
  6. 6. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม 6 Note S 1) ถ้าอนุกรมอนันต์เป็นอนุกรมลู่เข้า จะได้ว่า lim( a ) = 0 n →∞ n 2) ถ้า lim( a ) 0 n →∞ n a = จะได้ว่า อนุกรมอนันต์อาจเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ 3) ถ้า lim( a ) 0 n →∞ n ≠ จะได้ว่า อนุกรมอนันต์เป็นอนุกรมลู่ออก 1 ( n i= Σ ของค่าต่างๆที่ต้องรู้) 1) 1 1 2 3 4 ... ( 1) 2 n i i n n n = + Σ = + + + + + = 2) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 ... ( 1)(2 1) 6 n i i n n n n = + + Σ = + + + + + = 3) 2 2 i n i n n 1 2 3 4 ... ( 1) ⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ = + + + + + = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Σ 3 3 3 3 3 3 Σ n n i i 2 1 1 = = lim( ) = 0 n →∞ n lim( ) n →∞ n = หาค่าได้ อนุกรมลู่เข้า

×