ลำดับเรขาคณิต

1. ลำดับเรขำคณิต
พิจารณาลาดับ 4, 8, 16, 32, 64, ... จะเห็นว่าเมื่อนาพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่
ติดกันมี
ผลหารเป็นค่าคงตัวเท่ากับ 2 เสมอ
นั่นคือ 8 4 
8
4
 2
16 8 
16
8
 2
32 16 
32
16
 2
64 32 
64
32
 2
ลาดับที่มีผลหารของพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวเท่ากันเสมอนี้จะเรียกว่า
“ลาดับเรขาคณิต” และเรียกผลหารที่มีค่าคงตัวเท่ากันเสมอว่า “อัตราส่วนร่วม”
ตัวอย่างของลาดับอื่นๆ ที่เป็นลาดับเรขาคณิต เช่น
(1) 1, 3, 9, 27, 81, ... เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3
( 3
1

9
3

27
9

81
27
 3)
(2) 48, 24, 12, 6, 3, ... เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3
24
48




12
24

6
12


3
6

1
2

 

(3) 2, 2 3, 6 3, 18, ... เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ
(
2 3
2

6
2 3

6 3
6

18
6 3
 3 )

2. จากที่กล่าวข้างต้น จะให้ความหมายของลาดับเรขาคณิตได้ดังบทนิยามต่อไปนี้
จากบทนิยาม จะได้ว่า
ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., na , ... เป็นลาดับเรขาคณิต แล้วจะได้ว่า
2
1
a
a
 r นั่นคือ 2a  1a r หรือ 2a 
2 1
1a r 
3
2
a
a
 r นั่นคือ 3a  2a r
3a   1a r r
3a 
2
1a r หรือ 3a 
3 1
1a r 
4
3
a
a
 r นั่นคือ 4a  3a r
4a   2
1a r r
4a 
3
1a r หรือ 4a 
4 1
1a r 
จาก 2a  1a r หรือ 2a 
2 1
1a r 
3a  2a r หรือ 3a 
3 1
1a r 
4a  3a r หรือ 4a 
4 1
1a r 
จะได้ว่า
หรือ
r  n 1
n
a
a

บทนิยำม ลำดับเรขำคณิต (geometric sequence) คือ ลาดับที่ผลหารซึ่งเกิดจากพจน์ที่ n 1
หารด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว และค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตรำส่วนร่วม (common difference) เขียนแทน
อัตราส่วนร่วมนี้ด้วย r
na  n 1a r na  n 1
1a r 

3. ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนสี่พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต ซึ่งกาหนดค่า 1a และ r ให้ดังนี้
(1) 1a 4, r 3
(2) 1a 8,
1
r
2

(3) 1
1
a ,
5

1
r
3

(4) 1
1
a ,
4
 r 2
(5) 1a 64,
1
r
4
 
วิธีทำ พจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต คือ na 
n 1
1a r 
(1) กาหนด 1a 4, r 3 จะได้
2 1a a r 4(3) 12  
2 2
3 1a a r 4(3) 36  
3 3
4 1a a r 4(3) 108  
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ 4, 12, 36, 108
(2) กาหนด 1a 8,
1
r
2
 จะได้
2 1
1
a a r 8( ) 4
2
  
2 2
3 1
1 1
a a r 8( ) 8 2
2 4
 
    
 
3 3
4 1
1 1
a a r 8( ) 8 1
2 8
 
    
 
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ 8, 4, 2, 1

4. (3) กาหนด 1
1
a ,
5

1
r
3
 จะได้
2 1
1 1 1
a a r
5 3 15
 
   
 
2
2
3 1
1 1 1 1 1
a a r
5 3 5 9 45
   
      
   
3
3
4 1
1 1 1 1 1
a a r
5 3 5 27 135
   
      
   
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ 1
,
5
1
,
15
1
,
45
1
135
(4) กาหนด 1
1
a ,
4
 r 2 จะได้
 2 1
1 1
a a r 2
4 2
  
 
22
3 1
1
a a r 2 1
4
  
 
33
4 1
1
a a r 2 2
4
  
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ 1
,
4
1
,
2
1, 2
(5) กาหนด 1a 64,
1
r
4
  จะได้
2 1
1
a a r 64 8
4
 
     
 
2
2
3 1
1
a a r 64 4
4
 
    
 
3
3
4 1
1
a a r 64 1
4
 
     
 
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ 64, 16, 4, 1

5. ตัวอย่ำงที่ 2 กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เท่ากับ 3 และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 จง
หาพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 7
วิธีทำ กาหนด 1a 3 และ r 2
จาก na 
n 1
1a r 
พจน์ที่ 5 คือ 5a 
5 1
1a r 
  
4
3 2

พจน์ที่ 7 คือ
ดังนั้น และ
48
7a  7 1
1a r 
  
6
3 2
 192
5a  48 7a  192
หมำยเหตุ ในตัวอย่างที่ 1 นี้ อาจจะหาสี่พจน์แรกจากความสัมพันธ์ของพจน์ที่อยู่ติดกันดังนี้ 2 1a a r,
3 2a a r, 4 3a a r และ 4 3a a r เช่น ในข้อ (5) มี 1a 64,
1
r
4
 
จะได้ 2 1
1
a a r 64 8
4
 
     
 
 3 2
1
a a r 16 4
4
 
     
 
4 3
1
a a r 4 1
4
 
     
 
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ 64, 16, 4, 1
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้ คือ

6. ตัวอย่ำงที่ 3 กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 2 และพจน์ที่ 5 เท่ากับ และ
ตามลาดับ จงหาอัตราส่วนร่วม
วิธีทำ กาหนด และ
------------ 
------------ 
  ;
6 20.25
2a 6 5a 20.25
2a  2 1
1a r 
6  1a r
5a  5 1
1a r 
20.25  4
1a r

20.25
6

4
1
1
a r
a r
3
r  3.375
r  1.5
หมำยเหตุ ในตัวอย่างที่ 3 นี้ อาจจะหาค่า r จาก 3
r  3.375 ได้อีกวิธีหนึ่ง ดังนี้
จาก 3
r  3.375

3375
1000

27
8

3
3
2
 
 
 
ดังนั้น r 
3
2
 1.5

7. ตัวอย่ำงที่ 4 กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ และ จงหา
และ
วิธีทำ กาหนด และ
ดังนั้น
ตัวอย่ำงที่ 5 กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ และมีพจน์ที่ เท่ากับ จง
หาพจน์ที่ 10
วิธีทำ กาหนด และ
ดังนั้น
2 8a 640  1a
4a
r 2  8a 640 
8a  8 1
1a r 
640   
7
1a 2
1a 
 
7
640
2



640
128


 5
4a  4 1
1a r 
  
3
5 2
 5  8
 40
3 5 9
r 3 5a 9
5a  5 1
1a r 
9   
4
1a 3
1a 
 
4
9
3

1
9
 5
10a  10 1
1a r 
  
91
3
9
  
7
3
 2,187

8. ตัวอย่ำงที่ 6 กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ เท่ากับ และมีอัตราส่วนร่วมเป็น ถ้า
จงหาค่าของ
วิธีทำ กาหนด และ
จะได้
1
4
3
1
2
n
1
a
96
 n
1
4
a
3

1
r
2

na  n 1
1a r 
1
96

n 1
3 1
4 2

 
 
 
1 3
96 4
 
n 1
1
2

 
 
 
1
128

n 1
1
2

 
 
 
7
1
2
 
 
 

n 1
1
2

 
 
 
n 1  7
n  8

9. ตัวอย่ำงที่ 7 กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 10 เท่ากับ และ
ตามลาดับ จงหา และ
วิธีทำ กาหนด และ
------------ 
และ
------------ 
  ;
แทนค่า ใน  จะได้
ดังนั้น ได้
แทนค่า ใน  จะได้
ดังนั้น ได้
3
3
64

1a r
4a 3  10
3
a
64
 
4a  4 1
1a r 
3  3
1a r
10a  9 1
1a r 
3
64
  9
1a r

3
64
3



9
1
3
1
a r
a r
3 1
64 3
  6
r
r 
1
2

1
r
2
 3 
3
1
1
a
2
 
 
 
1a  24
1a  24,
1
r
2

1
r
2
  3 
3
1
1
a
2
 
 
 
1a  24
1a  24,
1
r
2
 

10. ตัวอย่ำงที่ 8 ถ้า เป็นลาดับเรขาคณิต จงหาค่าของ
วิธีทำ กาหนด และ
จาก
จะได้
นั่นคือ
ดังนั้น
ดังนั้น
81, u, v, w, x, y, z
u 3v w 3x y z    
1a 81 8
1
a
27

na  n 1
1a r 
8a  7 1
1a r 
1
27
 7
81r
7
r 
1
81 27
 4 3
1
3 3
7
r  7
1
3

7
1
3
 
 
 
r 
1
3
u  2a  1a r 
1
81
3
 
 
 
 27
v  3a  2
1a r 
2
1
81
3
 
 
 
 9
w  4a  3
1a r 
3
1
81
3
 
 
 
 3
x  5a  4
1a r 
4
1
81
3
 
 
 
 1
y  6a  5
1a r 
5
1
81
3
 
 
 

1
3
z  7a  6
1a r 
6
1
81
3
 
 
 

1
9
u 3v w 3x y z     
1 1
27 3(9) 3 3(1)
3 9
    

1 1
3 9


3 1
9 9


4
9

11. ตัวอย่ำงที่ 9 จงแสดงว่า เป็นลาดับเรขาคณิต
วิธีทำ ------------ 
------------ 
 ;
เนื่องจาก มีค่าคงตัวสาหรับทุกๆ จานวนเต็มบวก
ดังนั้น ลาดับ เป็นลาดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ
ตัวอย่ำงที่ 10 จงหาพจน์ที่ 12 ของลาดับเรขาคณิต
วิธีทำ เนื่องจากลาดับนี้เป็นลาดับเขาคณิตที่มี
จะได้
ดังนั้น พจน์ที่ 12
1, 3, 9, ...,
n 1
3 ,
...
na  n 1
3 
n 1a    n 1 1
3
 
 n
3
 n 1
n
a
a


n
n 1
3
3 
 3
n 1
n
a
a

n
1, 3, 9, ...,
n 1
3 ,
... 3
7
,
256
7
,
128
7
,
64
...
1
7
a ,
256
 2
7
a
128

r  2
1
a
a

7
128
7
256

7 256
128 7
  2
 12a  12 1
1a r 
 117
2
256

 56