1. Ο χρυσός αριθμός φΟ χρυσός αριθμός φ
Μία εργασίαΜία εργασία (project)(project) του Βτου Β22
τμήματος του 2τμήματος του 2ουου
ΓΕΛ ΛευκάδαςΓΕΛ Λευκάδας
2012-20132012-2013

3.  Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τονΥπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον
υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατάυψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά
μία μονάδα;μία μονάδα;
 Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

4.  Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τονΥπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον
ελαττώσεις κατά μία μονάδα ναελαττώσεις κατά μία μονάδα να
αντιστραφεί;αντιστραφεί;
 Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

5.  3.3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμαΧωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα
σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα τηςσε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της
γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μιαγεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια
ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσονΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον
ο λόγος του μεγάλου προς το μικρόο λόγος του μεγάλου προς το μικρό
είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προςείναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς
το μεγάλο.το μεγάλο.
 Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου;Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου;

6.  4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο
σε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναισε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναι
βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του.βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του.
Πόσες φορές;Πόσες φορές;

7.  Η ακολουθίαΗ ακολουθία FibonacciFibonacci 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13,1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,
75025 . .75025 . .
 Καθένας από τους όρους της προκύπτει από τοΚαθένας από τους όρους της προκύπτει από το
άθροισμα των δύο που προηγούνται.άθροισμα των δύο που προηγούνται.
ααν =ν = ααν-1 +ν-1 + ααν-2 .ν-2 .

8.  Αν φτιάξουμε μια ακολουθία με όρους τουςΑν φτιάξουμε μια ακολουθία με όρους τους
λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας θαλόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας θα
διαπιστώσουμε ότι «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό.διαπιστώσουμε ότι «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

9.  Δοκίμασε τοΔοκίμασε το πρώτοπρώτο . Υπόθεσε ότι ο ζητούμενος. Υπόθεσε ότι ο ζητούμενος
αριθμός είναι οαριθμός είναι ο xx
 xx22
== xx + 1+ 1 xx22
--xx-1= 0-1= 0
 xx==
 Δοκίμασε τοΔοκίμασε το δεύτεροδεύτερο . Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος. Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος
αριθμός είναι οαριθμός είναι ο yy
 yy – 1 = 1/– 1 = 1/yy yy ==
1 5
2
+
1 5
2
+

10.  Δοκίμασε τοΔοκίμασε το τρίτοτρίτο. Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος λόγος. Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος λόγος
είναι ίσος με τον αριθμόείναι ίσος με τον αριθμό zz
 zz = α/β = β/γ ή α/β = β/(α-β)= α/β = β/γ ή α/β = β/(α-β)
 ή α(α-β) = βή α(α-β) = β 22
ή αή α 22
– αβ –β– αβ –β 22
= 0 ή= 0 ή
αα22
– αβ –β– αβ –β 22
= 0 (α/β)= 0 (α/β) 22
-- (α/β) –1 = 0(α/β) –1 = 0
 zz22
––zz-1 = 0-1 = 0
1 5
2
z
+
=

11.  Δοκίμασε να απαντήσεις στοΔοκίμασε να απαντήσεις στο τέταρτοτέταρτο. Σχεδίασε το. Σχεδίασε το
δεκάγωνο και δες ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο πουδεκάγωνο και δες ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο που
δημιουργείται με μία πλευρά (δημιουργείται με μία πλευρά (LL) του δεκάγωνου και δύο) του δεκάγωνου και δύο
ακτίνες (ακτίνες (RR) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία
κορυφής 360 , οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 720.κορυφής 360 , οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 720.
Φέρνοντας τη διχοτόμο της ΟΑΒ δες ότι η γωνία ΟΑΔΦέρνοντας τη διχοτόμο της ΟΑΒ δες ότι η γωνία ΟΑΔ
θα είναι 360 και η ΟΔΒ = 720 άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ καιθα είναι 360 και η ΟΔΒ = 720 άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ και
ΔΑΒ θα είναι όμοια και ισχύειΔΑΒ θα είναι όμοια και ισχύει ΟΑ/ΑΒΟΑ/ΑΒ == ΑΔ/ΔΒ .ΑΔ/ΔΒ .
 Αλλά ΟΑ =Αλλά ΟΑ =RR ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=LL και ΔΒ=και ΔΒ= RR--LL , οπότε, οπότε
RR// LL == LL// RR--LL RR2-2- RLRL-- LL2 = 02 = 0 RR == LL ((1+1+√√55) /) /22
 Η ακτίνα του κύκλου είναιΗ ακτίνα του κύκλου είναι φορές μεγαλύτερηφορές μεγαλύτερη
από την πλευρά του κανονικού δεκαγώνουαπό την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου
1 5
2
+

12.  Το πέμπτο αντιμετώπισε το με ένα κομπιουτεράκι.Το πέμπτο αντιμετώπισε το με ένα κομπιουτεράκι.
 Υπολόγισε τις τιμές αυτών των λόγωνΥπολόγισε τις τιμές αυτών των λόγων και δες ότικαι δες ότι ::
2/1 = 2 3/2 = 1,5000000 5/3 = 1,6666662/1 = 2 3/2 = 1,5000000 5/3 = 1,666666
8/5 = 1,6000000 13/8 = 1,62500008/5 = 1,6000000 13/8 = 1,6250000
21/13 = 1,615384621/13 = 1,6153846 ……….……….2584/1597=1,61803382584/1597=1,6180338
……………..…………….. …………...…………... 10946/6765 = 1,618033910946/6765 = 1,6180339
 Διαπίστωσε ότι από τον λόγοΔιαπίστωσε ότι από τον λόγο 25842584//15971597 και μετά, τοκαι μετά, το
κομπιουτεράκι σου δείχνει συνεχώς έναν αριθμό ο οποίοςκομπιουτεράκι σου δείχνει συνεχώς έναν αριθμό ο οποίος
συμπίπτει σε εννέα δεκαδικά ψηφία με τον αριθμό φ.συμπίπτει σε εννέα δεκαδικά ψηφία με τον αριθμό φ.
 Και είναι γεγονός ότι το όριο της ακολουθίας που έχειςΚαι είναι γεγονός ότι το όριο της ακολουθίας που έχεις
δημιουργήσει είναι ο φ.δημιουργήσει είναι ο φ.

13.  ΤοΤο γενικό συμπέρασμαγενικό συμπέρασμα
 Σε όλες τις περιπτώσεις ο ζητούμενος αριθμόςΣε όλες τις περιπτώσεις ο ζητούμενος αριθμός
είναι ίσος μεείναι ίσος με (1+(1+√√5) /25) /2 ή με επτά δεκαδικάή με επτά δεκαδικά
ψηφία ίσος μεψηφία ίσος με 1, 6180339. . .1, 6180339. . .
 ο αριθμός αυτός διεθνώς συμβολίζεται με τοο αριθμός αυτός διεθνώς συμβολίζεται με το
ελληνικό γράμμαελληνικό γράμμα φφ
 Είναι ο λεγόμενοςΕίναι ο λεγόμενος
 ΧΡΥΣΟΣΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.

14. ΚατασκευήΚατασκευή
 Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=λΚατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=λ
και BC = λ/2, οπότε η υποτείνουσα AC θα είναικαι BC = λ/2, οπότε η υποτείνουσα AC θα είναι √√5λ/2.5λ/2.
Με το διαβήτη χαράσσουμε έναν κύκλο κέντρουΜε το διαβήτη χαράσσουμε έναν κύκλο κέντρου CC και ακτίναςκαι ακτίνας
λ/2, οπότε προσδιορίζεται το σημείολ/2, οπότε προσδιορίζεται το σημείο DD, σημείο τομής του κύκλου, σημείο τομής του κύκλου
και τηςκαι της ACAC. Με κέντρο το Α χαράσσουμε έναν κύκλο ακτίνας. Με κέντρο το Α χαράσσουμε έναν κύκλο ακτίνας ADAD,,
ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείοο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείο SS. Εύκολα αποδεικνύεται ότι. Εύκολα αποδεικνύεται ότι
ΑΒ/ΑΑΒ/ΑSS == √√5+1 ότι το5+1 ότι το SS δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή.δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή.
Με κανόνα και διαβήτηΜε κανόνα και διαβήτη

15. Χρυσό ορθογώνιοΧρυσό ορθογώνιο
 Το χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο των πλευρών τουΤο χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο των πλευρών του
ίσο με φ.ίσο με φ. α/β = φα/β = φ
 Αν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο μεΑν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο με πλευρά β,πλευρά β,
το ορθογώνιο με πλευρές β, γτο ορθογώνιο με πλευρές β, γ που θα απομείνειπου θα απομείνει
θα είναι και πάλι χρυσό, θα είναι δηλαδή β/γ = φθα είναι και πάλι χρυσό, θα είναι δηλαδή β/γ = φ
και αυτό θα συνεχίζεταικαι αυτό θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.επ’ άπειρον.
αα
ββ
γγ

16.  Χρυσό σπιράλ, κοχύλια και ηλιοτρόπιαΧρυσό σπιράλ, κοχύλια και ηλιοτρόπια
 Εάν σχεδιάσουμε πάνω στο αρχικό ορθογώνιο τις τομέςΕάν σχεδιάσουμε πάνω στο αρχικό ορθογώνιο τις τομές
και σε κάθε τετράγωνο που δημιουργείται σχεδιάσουμεκαι σε κάθε τετράγωνο που δημιουργείται σχεδιάσουμε
τα αντίστοιχα τεταρτοκύκλια θα έχουμε αρχίσει νατα αντίστοιχα τεταρτοκύκλια θα έχουμε αρχίσει να
φτιάχνουμε το χρυσό ελικοειδές, το σπιράλ που σχεδιάζειφτιάχνουμε το χρυσό ελικοειδές, το σπιράλ που σχεδιάζει
η φύση και το διακρίνουμε :η φύση και το διακρίνουμε :
 στα κουκουνάρια, στα κοχύλια, στα ηλιοτρόπια και στουςστα κουκουνάρια, στα κοχύλια, στα ηλιοτρόπια και στους
τρόπους με τους οποίους διευθετούνται τα πέταλα, τατρόπους με τους οποίους διευθετούνται τα πέταλα, τα
φύλλα και τα κλαδιά ποικίλων προσωρινών κατοίκων τηςφύλλα και τα κλαδιά ποικίλων προσωρινών κατοίκων της
γήινης βιόσφαιρας.γήινης βιόσφαιρας.

17.  Μαθηματικός τύποςΜαθηματικός τύπος
 Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει ναΗ χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να
διαιρεθεί έναδιαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμαευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος, ώστε ο λόγος
του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται μετου ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με
τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς τοτον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το
μικρότερο.μικρότερο.
 Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα,Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα,
τηντην φ = 1.618033988749895φ = 1.618033988749895

19. Η τάξη για την εργασία αυτή χωρίσθηκε σεΗ τάξη για την εργασία αυτή χωρίσθηκε σε
πέντε (5) ομάδες με σκοπό την καλύτερηπέντε (5) ομάδες με σκοπό την καλύτερη
συνεργασία και ανάλογα με τους τομείς πουσυνεργασία και ανάλογα με τους τομείς που
έπρεπε η κάθε μια να ερευνήσειέπρεπε η κάθε μια να ερευνήσει
1.1. ΑνθρωπολόγοιΑνθρωπολόγοι
2.2. ΑρχαιολόγοιΑρχαιολόγοι
3.3. ΒιολόγοιΒιολόγοι
4.4. ΕρευνητέςΕρευνητές
5.5. ΚαλλιτέχνεςΚαλλιτέχνες

20. ΑνθρωπολόγοιΑνθρωπολόγοι
 Λάζαρη ΕλευθερίαΛάζαρη Ελευθερία
 Λάζαρη ΛαμπρινήΛάζαρη Λαμπρινή
 Μικρώνη ΘεοδώραΜικρώνη Θεοδώρα
 Περδικάρη ΗλιάναΠερδικάρη Ηλιάνα

21.  Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί καιΤο ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και
αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ. αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ.
 Ο αριθμός φ βρίσκεται στις διαστάσεις, τουΟ αριθμός φ βρίσκεται στις διαστάσεις, του
σώματος, του προσώπου, των δοντιών, τουσώματος, του προσώπου, των δοντιών, του
στόματος, των χειλιών και ακόμη και στοστόματος, των χειλιών και ακόμη και στο
χαμόγελό μας.χαμόγελό μας.

22. Το ανθρώπινο κεφάλι είναι περικυκλωμένο απόΤο ανθρώπινο κεφάλι είναι περικυκλωμένο από
ένα χρυσό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τοένα χρυσό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το
οποίο έχει το κέντρο του στα μάτια. Με αυτό τονοποίο έχει το κέντρο του στα μάτια. Με αυτό τον
τρόπο δημιουργείται η ομορφιά του προσώπου. ητρόπο δημιουργείται η ομορφιά του προσώπου. η
θέση των φρυδιών, της μύτης και του στόματοςθέση των φρυδιών, της μύτης και του στόματος
ταιριάζουν στην χρυσή αναλογία όταν κοιτάζεις τοταιριάζουν στην χρυσή αναλογία όταν κοιτάζεις το
κεφάλι από το πλάι.κεφάλι από το πλάι.

23. Αν οι αναλογίες ενός προσώπου ή ενός σώματος, είναιΑν οι αναλογίες ενός προσώπου ή ενός σώματος, είναι
ιδανικές τότειδανικές τότε αν μετρήσεις:αν μετρήσεις:
 την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιούτην απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού
μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με τηνμέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με την
απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμααπόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα
προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.
 την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες τωντην απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των
δακτύλων του χεριού και τη διαιρέσεις με τηνδακτύλων του χεριού και τη διαιρέσεις με την
απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες τωναπόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των
δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.

24. την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες
των δακτύλων του χεριού και τη διαιρέσεις με
την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες
των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός
αναν μετρήσειςμετρήσεις::

25. Αν μετρήσεις την απόσταση από τις ρίζες τωνΑν μετρήσεις την απόσταση από τις ρίζες των
μαλλιών μέχρι το πηγούνι και τη διαιρέσεις με τηνμαλλιών μέχρι το πηγούνι και τη διαιρέσεις με την
απόσταση από την βάση της μύτης (ανάμεσα απόαπόσταση από την βάση της μύτης (ανάμεσα από
τα μάτια) μέχρι το πηγούνι ή με το πλάτος τουτα μάτια) μέχρι το πηγούνι ή με το πλάτος του
προσώπου (από ζυγωματικό σε ζυγωματικό),προσώπου (από ζυγωματικό σε ζυγωματικό),
προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.

26.  Αν μετρήσεις την απόσταση από τη μια μεριά τωνΑν μετρήσεις την απόσταση από τη μια μεριά των
γοφών ως την άλλη και τη διαιρέσεις με τηνγοφών ως την άλλη και τη διαιρέσεις με την
απόσταση από τη μια μεριά της μέσης ως την άλληαπόσταση από τη μια μεριά της μέσης ως την άλλη
προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμόςπροκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός
 Αν μετρήσεις το πλάτος του στόματος από και τοΑν μετρήσεις το πλάτος του στόματος από και το
διαιρέσεις με το πλάτος της μύτης προκύπτει πάνταδιαιρέσεις με το πλάτος της μύτης προκύπτει πάντα
ο ίδιος αριθμόςο ίδιος αριθμός

27.  ΑρχαιολόγοιΑρχαιολόγοι
 Κονιδάρης ΒελισσάριοςΚονιδάρης Βελισσάριος
 Μαραγκάκης ΜανώληςΜαραγκάκης Μανώλης
 Μπακομιχάλης ΙωάννηςΜπακομιχάλης Ιωάννης
 Παππάς ΒασίληςΠαππάς Βασίλης
 Περιστέρης ΘοδωρήςΠεριστέρης Θοδωρής

28. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ
 Η χρήση του αριθμού φ στην αρχαία Ελλάδα είναιΗ χρήση του αριθμού φ στην αρχαία Ελλάδα είναι
εντυπωσιακή. Ο Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί μεεντυπωσιακή. Ο Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί με
αναλογίες του χρυσού αριθμού φ. Η βάση και το ύψοςαναλογίες του χρυσού αριθμού φ. Η βάση και το ύψος
της πρόσοψης του, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήματης πρόσοψης του, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα
του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τον χρυσότου αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τον χρυσό
αριθμό φ.αριθμό φ.

29.  Αλλά και στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, καιΑλλά και στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, και
συγκεκριμένα στην διάταξη των διαζωμάτων,συγκεκριμένα στην διάταξη των διαζωμάτων,
υπάρχει το φ.υπάρχει το φ.

30.  Την αρμονικότητα που αποπνέουν ταΤην αρμονικότητα που αποπνέουν τα
διάφορα «χρυσά» σχήματα και αναλογίες τηδιάφορα «χρυσά» σχήματα και αναλογίες τη
γνώριζανγνώριζαν και αρκετοί άλλοι λαοί τουκαι αρκετοί άλλοι λαοί του
αρχαίου κόσμουαρχαίου κόσμου.. Το ύψος της μεγάληςΤο ύψος της μεγάλης
πυραμίδας της Γκίζας βρίσκεται σε αναλογίαπυραμίδας της Γκίζας βρίσκεται σε αναλογία
Φ με τη βάση της.Φ με τη βάση της.

31.  Αλλά και στην Αμερική, σταΑλλά και στην Αμερική, στα
μυστηριώδη οκταγωνικά ερείπια στομυστηριώδη οκταγωνικά ερείπια στο
NewarkNewark τουτου OhioOhio, η ηλικία των οποίων, η ηλικία των οποίων
ανάγεται σε τουλάχιστον 2500 ετών,ανάγεται σε τουλάχιστον 2500 ετών,
εμπεριέχεται ο χρυσός αριθμός φ.εμπεριέχεται ο χρυσός αριθμός φ.

32. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
 Είναι πάρα πολλά τα παραδείγματα στην ελληνικήΕίναι πάρα πολλά τα παραδείγματα στην ελληνική
γλώσσαγλώσσα που μία λέξη ισούται με κάποια άλληπου μία λέξη ισούται με κάποια άλλη
λεξαριθμητικά και ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ωςλεξαριθμητικά και ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ως
αυτόνομες λέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημααυτόνομες λέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημα
και σχετίζονται άμεσα με τον χρυσό αριθμό φκαι σχετίζονται άμεσα με τον χρυσό αριθμό φ..

33. ΧΡΟΝΟΣΧΡΟΝΟΣ
 Κατά την θερινή τροπή στις 21 Ιουνίου, στους ΔελφούςΚατά την θερινή τροπή στις 21 Ιουνίου, στους Δελφούς
έχουμε διάρκεια ημέρας 14 ώρες και 50 λεπτά ακριβώς.έχουμε διάρκεια ημέρας 14 ώρες και 50 λεπτά ακριβώς.
Η νύκτα είναι 9 ώρες και 10 λεπτά. Ο λόγος 14 50' / 9Η νύκτα είναι 9 ώρες και 10 λεπτά. Ο λόγος 14 50' / 9
10' δίνει τον 1.618 δηλαδή τον χρυσό αριθμό φ. Έτσι οι10' δίνει τον 1.618 δηλαδή τον χρυσό αριθμό φ. Έτσι οι
Δελφοί είναι ομφαλός, ομφαλός όχι χώρου αλλά χρόνουΔελφοί είναι ομφαλός, ομφαλός όχι χώρου αλλά χρόνου..

34. ΒιολόγοιΒιολόγοι
 Λιάλιος ΕυάγγελοςΛιάλιος Ευάγγελος
 Λιοπύρης ΜιχάληςΛιοπύρης Μιχάλης
 Μπιλοκούρ ΒλαντίκΜπιλοκούρ Βλαντίκ
 Πετρουλής ΒασίληςΠετρουλής Βασίλης

35.  Μια εμφάνιση του χρυσού αριθμού φΜια εμφάνιση του χρυσού αριθμού φ
βρίσκεται στα ζώα. Στα ζώα συναντάμε τονβρίσκεται στα ζώα. Στα ζώα συναντάμε τον
χρυσό αριθμό φ είτε ενσωματωμένο στηχρυσό αριθμό φ είτε ενσωματωμένο στη
φυσικήφυσική προστασία τους (π.χ. κέλυφος), είτεπροστασία τους (π.χ. κέλυφος), είτε
σταστα αριθμητικά χαρακτηριστικά τουαριθμητικά χαρακτηριστικά του
σώματος τους (π.χ. αναλογίες).σώματος τους (π.χ. αναλογίες).

36. Η σπείραΗ σπείρα
 Τα κοχύλια του Ναυτίλου. Πιθανώς, το πιοΤα κοχύλια του Ναυτίλου. Πιθανώς, το πιο
διάσημο που χρησιμοποιείται για τις αναλογίεςδιάσημο που χρησιμοποιείται για τις αναλογίες
του Φι, είναι το κέλυφος του Ναυτίλου, πουτου Φι, είναι το κέλυφος του Ναυτίλου, που
τηρεί άμεσα την Χρυσή Σπείρα.τηρεί άμεσα την Χρυσή Σπείρα.

37. Η ουρά του ΧαμαιλέονταΗ ουρά του Χαμαιλέοντα
 Αρχίστε με μια ουρά που είναι ουσιαστικά έναςΑρχίστε με μια ουρά που είναι ουσιαστικά ένας
μακρύς κυλινδρικός κώνος, και τυλίξτε τον σφιχτά.μακρύς κυλινδρικός κώνος, και τυλίξτε τον σφιχτά.
Το αποτέλεσμα είναι παρόμοιο με τη σπείρα.Το αποτέλεσμα είναι παρόμοιο με τη σπείρα.
Όσο η ουρά μεγαλώνει, η αναλογία παραμένειΌσο η ουρά μεγαλώνει, η αναλογία παραμένει
πάντα η ίδια.πάντα η ίδια.

38. Τα φυτάΤα φυτά
 Όπως στα ζώα έτσι καιΌπως στα ζώα έτσι και
στα φυτά μπορούμε ναστα φυτά μπορούμε να
εντοπίσουμε το χρυσόεντοπίσουμε το χρυσό
αριθμό φ.αριθμό φ.
 Στα φυτά έχει βρεθεί ότιΣτα φυτά έχει βρεθεί ότι
η χρυσή αναλογίαη χρυσή αναλογία
εμφανίζεται κυρίως στηνεμφανίζεται κυρίως στην
ανάπτυξη των βελόνωνανάπτυξη των βελόνων
καθώς και στον αριθμόστον αριθμό
και στη διάταξη τωνκαι στη διάταξη των
πετάλωνπετάλων..

39. Τα κλαδιάΤα κλαδιά
 Στον μεγαλύτερο αριθμό τωνΣτον μεγαλύτερο αριθμό των
φυτών,φυτών, έναένα συγκεκριμένο κλαδίσυγκεκριμένο κλαδί
θα μεγαλώσειθα μεγαλώσει από τον κορμόαπό τον κορμό
περίπου κατά 137,5 μοίρεςπερίπου κατά 137,5 μοίρες
γύρω από τον βλαστό σε σχέσηγύρω από τον βλαστό σε σχέση
με το προηγούμενο.με το προηγούμενο.
Άρα όταν ένα κλαδίΆρα όταν ένα κλαδί
αναπτύσσεται έξω από το φυτό,αναπτύσσεται έξω από το φυτό,
το φυτό μεγαλώνει αναλογικάτο φυτό μεγαλώνει αναλογικά
και στη συνέχεια βγάζεικαι στη συνέχεια βγάζει έναένα
άλλοάλλο κλαδίκλαδί που περιστρέφεταιπου περιστρέφεται
κατά 137,5 μοίρες σε σχέση μεκατά 137,5 μοίρες σε σχέση με
την κατεύθυνση που είχε τοτην κατεύθυνση που είχε το
πρώτο .πρώτο .

40. ΕρευνητέςΕρευνητές
 Κολλόκα ΕιρήνηΚολλόκα Ειρήνη
 Κούρτη ΘεοδώραΚούρτη Θεοδώρα
 Λάζαρη ΔιονυσίαΛάζαρη Διονυσία
 Λάζαρη ΦωτεινήΛάζαρη Φωτεινή
 Μελά ΜατίναΜελά Ματίνα

41. Πού αλλού φαντάζεστε ότι συναντάταιΠού αλλού φαντάζεστε ότι συναντάται
η χρυσή τομή ;η χρυσή τομή ;
Η ομάδα των ερευνητών αναζήτησε τηνΗ ομάδα των ερευνητών αναζήτησε την
ύπαρξη του αριθμού Φ σε διάφορες πτυχέςύπαρξη του αριθμού Φ σε διάφορες πτυχές
του κόσμου. Στις καρτέλες που ακολουθούντου κόσμου. Στις καρτέλες που ακολουθούν
παρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικάπαρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικά
παραδείγματα :παραδείγματα :

42. Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκείΑν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί
να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα τηςνα κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα της
οποίας είναι ακριβώς αυτό.οποίας είναι ακριβώς αυτό.

43. Η εμφάνιση του αριθμού φΗ εμφάνιση του αριθμού φ
στο σχήμα τηςστο σχήμα της
τηλεόρασης μαςτηλεόρασης μας
ικανοποιεί αισθητικά.ικανοποιεί αισθητικά.
Φαίνεται ότι ότανΦαίνεται ότι όταν
υπάρχει αυτή η εικόνα, ουπάρχει αυτή η εικόνα, ο
εγκέφαλος λαμβάνειεγκέφαλος λαμβάνει
περισσότερα ερεθίσματαπερισσότερα ερεθίσματα
για να μελετήσει τιςγια να μελετήσει τις
πληροφορίες πουπληροφορίες που
απορρέουν από αυτόαπορρέουν από αυτό
που βλέπει.που βλέπει.

44. Ο αριθμός Φ στο ΚοράνιΟ αριθμός Φ στο Κοράνι
Η λέξη Κοράνι, πιο σωστά στα Αραβικά Κουράν -Η λέξη Κοράνι, πιο σωστά στα Αραβικά Κουράν -
Qur'an, προέρχεται από το ρήμα κάρα'α - qara'aQur'an, προέρχεται από το ρήμα κάρα'α - qara'a
που σημαίνει, απαγγέλλω κι αποτελείται από 114που σημαίνει, απαγγέλλω κι αποτελείται από 114
κεφάλαια (Σούρα). Ο αριθμός 114 είναικεφάλαια (Σούρα). Ο αριθμός 114 είναι
διαιρετέος με το 19, ήτοι 19*6=114. Το 114διαιρετέος με το 19, ήτοι 19*6=114. Το 114
προκύπτει από τη διαίρεση του κύκλου με το π,προκύπτει από τη διαίρεση του κύκλου με το π,
ήτοι 360/π, όπου π=3,14159 και το 19 εκτός τουήτοι 360/π, όπου π=3,14159 και το 19 εκτός του
ότι είναι ο Μετωνικός Αριθμός, προκύπτει επίσηςότι είναι ο Μετωνικός Αριθμός, προκύπτει επίσης
σαν δεκαπλάσιο του π/Φ, όπου Φ=1,618034σαν δεκαπλάσιο του π/Φ, όπου Φ=1,618034

45. Ο Χρυσός Αριθμός Φ στουςΟ Χρυσός Αριθμός Φ στους
ΗμικρυστάλλουςΗμικρυστάλλους
 Η επιφάνειά των ημικρυστάλλωνΗ επιφάνειά των ημικρυστάλλων
αποτελείται από έδρες με δύοαποτελείται από έδρες με δύο
διαφορετικά ύψη. Όταν τα ύψηδιαφορετικά ύψη. Όταν τα ύψη
αυτά μετρήθηκαν μ’ ένααυτά μετρήθηκαν μ’ ένα
ακριβέστατο μικροσκόπιο οιακριβέστατο μικροσκόπιο οι
ερευνητές έκπληκτοι ανακάλυψανερευνητές έκπληκτοι ανακάλυψαν
ότι :ότι :
 ο λόγος του μεγαλύτερου ύψουςο λόγος του μεγαλύτερου ύψους
προς το μικρότερο είναι ακριβώςπρος το μικρότερο είναι ακριβώς
1,618... Η θεωρία των ερευνητών1,618... Η θεωρία των ερευνητών
είναι ότι ο κρύσταλλος έχει τηείναι ότι ο κρύσταλλος έχει τη
μεγαλύτερη σταθερότητα, ότανμεγαλύτερη σταθερότητα, όταν
υπάρχει αυτή ακριβώς η σχέση.υπάρχει αυτή ακριβώς η σχέση.

46. Ο Χρυσός Αριθμός Φ στον Πύργο τωνΟ Χρυσός Αριθμός Φ στον Πύργο των
Τηλεπικοινωνιών CNΤηλεπικοινωνιών CN
Ο Πύργος Τηλεπικοινωνιών (CNΟ Πύργος Τηλεπικοινωνιών (CN
Tower) στο Τορόντο, ο ψηλότεροςTower) στο Τορόντο, ο ψηλότερος
πύργος στον κόσµο, περιλαμβάνειπύργος στον κόσµο, περιλαμβάνει
τη χρυσή τοµή στο σχεδιασµό του.τη χρυσή τοµή στο σχεδιασµό του.
Ο λόγος του συνολικού ύψους του,Ο λόγος του συνολικού ύψους του,
553,33 µέτρα , προς το ύψος του553,33 µέτρα , προς το ύψος του
είναι 342 µέτρα , είναι 1,618 δηλαδήείναι 342 µέτρα , είναι 1,618 δηλαδή
ο αριθμός φ.ο αριθμός φ.

47. Οι πλανήτες «χωρίζονται» σε ζώνες ανά τρείς, η ακολουθίαΟι πλανήτες «χωρίζονται» σε ζώνες ανά τρείς, η ακολουθία
αλλάζει από τριάδα σε τριάδα. Πιθανή έκρηξη του Πλανήτη μετάαλλάζει από τριάδα σε τριάδα. Πιθανή έκρηξη του Πλανήτη μετά
τον Άρη να διατάραξε την ισορροπία φ μεταξύ των πλανητών καιτον Άρη να διατάραξε την ισορροπία φ μεταξύ των πλανητών και
να τους οδήγησε σε νέες τροχιές –ισορροπίες- μεταξύ τους, ο Δίαςνα τους οδήγησε σε νέες τροχιές –ισορροπίες- μεταξύ τους, ο Δίας
ως κοντινός πλανήτης επηρεάσθηκε περισσότερο από όλους.ως κοντινός πλανήτης επηρεάσθηκε περισσότερο από όλους.

48. Έστω ότι παίρνουμε μίαΈστω ότι παίρνουμε μία
ακτίνα της γης (ίση με 1) καιακτίνα της γης (ίση με 1) και
μία άλλη γραμμή από τομία άλλη γραμμή από το
κέντρο της γης μέχρι τοκέντρο της γης μέχρι το
κέντρο της σελήνης (ηκέντρο της σελήνης (η
οποία θα ισούται με την ρίζαοποία θα ισούται με την ρίζα
του φ). Αν ενώσουμε τατου φ). Αν ενώσουμε τα
άκρα αυτών των 2άκρα αυτών των 2
ευθυγράμμων τμημάτωνευθυγράμμων τμημάτων
τότε σχηματίζεται ένατότε σχηματίζεται ένα
χρυσό τρίγωνο με διστάσειςχρυσό τρίγωνο με διστάσεις
που σχετίζονται με τηπου σχετίζονται με τη
χρυσή αναλογία, όπωςχρυσή αναλογία, όπως
φαίνεται στην Εικόνα 2.φαίνεται στην Εικόνα 2.
Εικόνα 2 : Το χρυσό τρίγωνο που συνδέει τη γη με τη σελήνη

49. Η ελληνική γλώσσα είναι καθαρά μαθηματικήΗ ελληνική γλώσσα είναι καθαρά μαθηματική
γλώσσα. Είναι πάρα πολλά τα παραδείγματα πουγλώσσα. Είναι πάρα πολλά τα παραδείγματα που
μία λέξη ισούται με κάποια άλλη λεξαριθμητικάμία λέξη ισούται με κάποια άλλη λεξαριθμητικά
και ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ως αυτόνομεςκαι ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ως αυτόνομες
λέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημα καιλέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημα και
σχετίζονται άμεσα με τονσχετίζονται άμεσα με τον χρυσόχρυσό αριθμό φ αλλάαριθμό φ αλλά
και το π=3.14 . Σε καμία άλλη γλώσσα δεν ισχύεικαι το π=3.14 . Σε καμία άλλη γλώσσα δεν ισχύει
κάτι παρόμοιο.κάτι παρόμοιο...

50.  Το ότι η μελέτη των αρχαίων Ελληνικών έχειΤο ότι η μελέτη των αρχαίων Ελληνικών έχει
αποδειχθεί ότι βοηθά στην ανάπτυξη νευρώνωναποδειχθεί ότι βοηθά στην ανάπτυξη νευρώνων
του εγκεφάλου είναι αποτέλεσμα τηςτου εγκεφάλου είναι αποτέλεσμα της
πολυπλοκότητας κατασκευής της. Με την βοήθειαπολυπλοκότητας κατασκευής της. Με την βοήθεια
των φ και π και των πράξεων μεταξύ των λέξεωντων φ και π και των πράξεων μεταξύ των λέξεων
λειτουργεί και σαν μέσο κρυπτογράφησηςλειτουργεί και σαν μέσο κρυπτογράφησης

51. ΚαλλιτέχνεςΚαλλιτέχνες
 Μπακομιχάλη ΒάσιαΜπακομιχάλη Βάσια
 Οικονομίδη ΕφηΟικονομίδη Εφη
 Παξινού ΠανωραίαΠαξινού Πανωραία
 Παπαδόπουλος ΝίκοςΠαπαδόπουλος Νίκος
 Παπαδοπούλου ΑναστασίαΠαπαδοπούλου Αναστασία

52. Ο αριθμός ΦΟ αριθμός Φ
 Ο χρυσός αριθμός φ , ανιχνεύθηκε γιαΟ χρυσός αριθμός φ , ανιχνεύθηκε για
πρώτη φορά από τους αρχαίουςπρώτη φορά από τους αρχαίους
Έλληνες οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλαΈλληνες οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλα
πάνω στην γη,πάνω στην γη, από τα φυτά μέχρι τοαπό τα φυτά μέχρι το
ίδιο το ανθρώπινο σώμα,ίδιο το ανθρώπινο σώμα, αναπτύσσονταιαναπτύσσονται
βάσει μίας αναλογίας.βάσει μίας αναλογίας.

53. Το Φ στην αρχιτεκτονικήΤο Φ στην αρχιτεκτονική
 Οι αρχαίοι Έλληνες το
θεωρούσαν απαραίτητο για
ένα αντικείμενο ώστε αυτό να
φαίνεται «όμορφο».
Η χρησιμοποίησή του σε
καλλιτεχνικά δημιουργήματα
και κατασκευές (γενικά)
οδηγούσε σε «άριστα» και
«ωραία» αποτελέσματα
 Ο Φειδίας το χρησιμοποίησε
πάρα πολύ στα έργα του.
 Ειδικότερα ο Παρθενώνας
παρουσιάζει τόσο τέλεια
αρμονικές (χρυσές) αναλογίες
μέχρι την παραμικρή του
λεπτομέρεια, ώστε του
προσδίδουν μια μνημειώδη
μεγαλοπρέπεια και
πρωτοφανή χάρη, που
εντυπωσίαζε τους επισκέπτες
της Ακρόπολης τον καιρό
εκείνο.

54. Το Φ στην τέχνηΤο Φ στην τέχνη
Αργότερα ο Leonardo DaΑργότερα ο Leonardo Da
Vinci ζωγράφισε τοVinci ζωγράφισε το
πρόσωπο της Mona Lisaπρόσωπο της Mona Lisa
ώστε αυτό να χωράειώστε αυτό να χωράει
τέλεια σε ένα χρυσότέλεια σε ένα χρυσό
ορθογώνιο και δόμησεορθογώνιο και δόμησε
τον υπόλοιπο πίνακα γύρωτον υπόλοιπο πίνακα γύρω
από το πρόσωποαπό το πρόσωπο
χωρίζοντάς τον επίσης σεχωρίζοντάς τον επίσης σε
χρυσά ορθογώνια.χρυσά ορθογώνια.

55.  Η Χρυσή Τομή χρησιμοποιήθηκε εκτενώς από το Leonardo DaΗ Χρυσή Τομή χρησιμοποιήθηκε εκτενώς από το Leonardo Da
Vinci. Όλες οι βασικές διαστάσεις του δωματίου και του πίνακαVinci. Όλες οι βασικές διαστάσεις του δωματίου και του πίνακα
του Ντα Βίντσι «Ο Μυστικός Δείπνος» ήταν με βάση τη χρυσήτου Ντα Βίντσι «Ο Μυστικός Δείπνος» ήταν με βάση τη χρυσή
αναλογία, η οποία ήταν γνωστήαναλογία, η οποία ήταν γνωστή κατά την περίοδο της Αναγέννησηςκατά την περίοδο της Αναγέννησης
ως η θεϊκή αναλογία.ως η θεϊκή αναλογία.

56. Το Φ στη μουσικήΤο Φ στη μουσική
Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σεΟ Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε
δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχείδύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί
στη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντικήστη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντική
διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα.διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα.

57. ΕπίλογοςΕπίλογος Φυσικά και όλα αυτά που αναφέραμε είναι μίαΦυσικά και όλα αυτά που αναφέραμε είναι μία
απλή καταγραφή όσων μπορέσαμε να βρούμεαπλή καταγραφή όσων μπορέσαμε να βρούμε
στον περιορισμένο χρόνο ενός σχολικούστον περιορισμένο χρόνο ενός σχολικού
τετράμηνου , ας τα διαβάσουμε και αςτετράμηνου , ας τα διαβάσουμε και ας
κρατήσουμε ότι "κρατήσουμε ότι "αυτός ο κόσμος δεν μπορεί νααυτός ο κόσμος δεν μπορεί να
είναι κάτι τυχαίοείναι κάτι τυχαίο" , όπως τυχαίο δεν είναι ότι" , όπως τυχαίο δεν είναι ότι
τόσες και διαφορετικές μεταξύ τους επιστήμεςτόσες και διαφορετικές μεταξύ τους επιστήμες
χρησιμοποιούν τονχρησιμοποιούν τον
ΧΡΥΣΟΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ .ΑΡΙΘΜΟ Φ .

58. Ξεχάστε ότι έχετε διαβάσει , απλά ότανΞεχάστε ότι έχετε διαβάσει , απλά όταν
μελλοντικά βρεθείτε στο δίλημμα ναμελλοντικά βρεθείτε στο δίλημμα να
κατασκευάσετε κάτι .... όταν δείτε κάτικατασκευάσετε κάτι .... όταν δείτε κάτι
ωραίο .... πάρτε την μεζούρα... και τοωραίο .... πάρτε την μεζούρα... και το
μολύβι , κάντε τις πράξεις και βγάλτε ταμολύβι , κάντε τις πράξεις και βγάλτε τα
συμπεράσματα σαςσυμπεράσματα σας ..
Υπεύθυνος καθηγητής : Χαλικιάς Θεόδωρος ΠΕ03Υπεύθυνος καθηγητής : Χαλικιάς Θεόδωρος ΠΕ03