https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria

1. Νικηφόρος Θεοτόκης
Η διδασκαλία του Πυθαγορείου θεωρήματος
στην τουρκοκρατούμενη Ελλάδα του 18ου αι.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
1

2. Η Γεωμετρία του Νικηφόρου
Θεοτόκη
• Ὁ κώδικας, τοῦ ὁποίου ὁ τίτλος εἶναι
¨Μαθηματάριον¨ φέρει τὴ σφραγίδα
τῆς Σχολῆς τῆς Δημητσάνας καὶ
ἀποτελεῖ πνευματικὴ δημιουργία τοῦ
Νικηφόρου Θεοτόκη. Τὸ πρῶτο μέρος
του, δηλαδὴ αὐτὸ τῆς Γεωμετρίας
περιέχει ὕλη ἐπιπεδομετρίας καὶ
στερεομετρίας.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
2

3. Επιπεδομετρία
• 1ο βιβλίο: Βασικοὶ γεωμετρικοὶ ὁρισμοί
(σημείου, εὐθείας, γωνίας, κύκλου, τριγώνου,
παραλληλογράμμου, κ. ἄ.). Ἀποδεικνύονται
48 προτάσεις.
• 2ο βιβλίο: Παραλληλόγραμμα.
Ἀποδεικνύονται 14 προτάσεις καὶ ἐπιλύονται
3 προβλήματα.
• 3ο βιβλίο: Κύκλος
• Ἀποδεικνύονται 37 προτάσεις.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
3

4. • 4ο βιβλίο: Ἐγγεγραμμένα καὶ
περιγεγραμμένα σὲ κύκλο πολύγωνα
Ἀποδεικνύονται 17 προτάσεις.
• 5ο βιβλίο: Λόγοι καὶ ἀναλογίες
Ἀποδεικνύονται 25 προτάσεις καὶ 7
θεωρήματα.
• 6ο βιβλίο: Ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα
Ἀποδεικνύονται 33 προτάσεις.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
4

5. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα
• Τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα ἐντάσσεται στὸ 1ο
βιβλίο (προτάσεις 47, 48) καὶ στὸ 6ο
(πρόταση 31), ἀποδεικνύεται δὲ χωρὶς νὰ ἔχει
δοθεῖ σὲ αὐτὸ κάποια ὀνομασία ἀπὸ τὸν
συγγραφέα.
• Παρατίθενται οι προτάσεις ὅπως
ἐμφανίζονται στὸ χειρόγραφο καὶ στὴ
συνέχεια ὁ μαθηματικὸς σχολιασμός τους.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
5

6. • Πρότασις 47η
• Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις, τὸ ἀπὸ τῆς τὴν
ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν
γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
• Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ αβγ, ὀρθὴν
ἔχον τὴν βαγ γωνίαν. Λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς βγ
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν βα, αγ
τετραγώνοις (σχ. 78).
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
6

7. 3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
7

8. • Κατασκευή
• Ἀναγεγράφθω ἀπὸ μὲν τῆς βγ, τὸ βε τετράγωνον, ἀπὸ δὲ τῶν βα, αγ τὰ ηβ, θγ(4), καὶ διὰ τοῦ α ὁποτέρᾳ τῶν βδ, γε ἤχθω
παράλληλος ἡ αλ(5) καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδ, γζ.
• Δεῖξις
• (28β) ἡ αβζ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ γβδ(6) κοινὴ προσκείσθω ἡ αβγ· ἡ ἄρα ζβγ ἴση τῇ αβδ(7). Ἐν τοῖς τριγώνοις οὖν ζβγ, αβδ, ἡ μὲν ζβ
ἴση τῇ βα, ἡ δὲ βγ τῇ βδ(8), καὶ γωνία ἡ ζγβ τῇ αβδ. Τὸ τρίγωνον ἄρα ζβγ ἴσον τῷ αβδ(9), καὶ ἔστι τοῦ μὲν ζβγ τριγώνου
διπλάσιον τὸ βη παραλληλόγραμμον(10)· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ζβ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσὶ παραλλήλοις ταῖς ζβ, ηγ.
Τοῦ δὲ αβδ τριγώνου διπλάσιον τὸ βλ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ ἔχουσι τὴν αὐτὴν τὴν βδ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσὶ
παραλλήλοις ταῖς βδ, αλ. Ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ βη τῷ βλ(11). Διὰ τὰ αὐτὰ δεὶ ἐπιτευχθεισῶν τῶν βκ, αε δειχθήσω τὸ γθ ἴσον τῷ
γλ. Ὅλον ἄρα τὸ βε ἴσον τοῖς βη, γθ. Ἀλλὰ τὸ μὲν βε ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς βγ τετράγωνον, τὸ δὲ βη τὸ ἀπὸ τῆς βα, τὸ δὲ γθ τὸ ἀπὸ τῆς
αγ. Τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς βγ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν βα, αγ τετραγώνοις.
• Ἀναφορές
• 4. Κατὰ τὴν 46ην. Ἐδῶ, ἀλλὰ καὶ στὶς ὑποσημειώσεις ποὺ ἀκολουθοῦν φαίνεται πὼς αἰτιολογεῖ λεπτομερῶς τὰ βήματα τῶν
ἀποδείξεων, δηλαδὴ παραπέμπει σὲ προτάσεις, ἀξιώματα, κ.λπ. ποὺ ἔχει ἤδη ἀναφέρει. Βλ. Μαρία Χάλκου, Ἡ Διδασκαλία τῶν
Μαθηματικῶν στὴν Ἑλλάδα κατὰ τὰ τελευταῖα χρόνια τῆς τουρκοκρατίας, Εἰσαγωγή, Ἔκδοση καὶ Σχόλια, ἐκδ. Μ. Χάλκου, Ἀθήνα
2009.
• 5. Κατὰ τὴν 31ην.
• 6. Ἐκ τῆς κατασκευῆς.
• 7. Κατὰ τὸ 2ον ἀξίωμα.
• 8. Ἐκ τῆς κατασκευῆς.
• 9. Κατὰ τὴν 4ην.
• 10. Κατὰ τὴν 41ην.
• 11. Κατὰ τὸ 6ον ἀξίωμα.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
8

9. Ερμηνεύοντας σε απλά ελληνικά
(αλλά με πολυτονικό)…
• Πρόταση 47
• Ἂν κατασκευαστοῦν τετράγωνα μὲ πλευρὲς τὶς
πλευρὲς τυχόντος ὀρθογωνίου τριγώνου, τότε τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ποὺ κατασκευάζεται μὲ
πλευρὰ τὴν ὑποτείνουσα τοῦ ὀρθογωνίου θὰ εἶναι ἴσο
μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων ποὺ
κατασκευάζονται μὲ πλευρὲς τὶς κάθετες πλευρὲς τοῦ
ὀρθογωνίου τριγώνου.
• Θεωρεῖ τὸ ὀρθογώνιο τρίγ ΑΒΓ μὲ γων ΒΑΓ=1 ὀρθή.
Τότε τὸ τετράγωνο μὲ πλευρὰ τὴν ΒΓ θὰ ἔχει ἐμβαδὸν
ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ
πλευρὲς τὶς ΒΑ καὶ ΑΓ.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
9

10. 3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
10

11. • Κατασκευή
• Κατασκευάζει τὰ τρία τετράγωνα. Ἀπὸ τὸ Α φέρει ΑΛ παράλληλη πρὸς τὶς ΒΔ
καὶ ΓΕ. Φέρει ἐπίσης τὶς ΑΔ καὶ ΓΖ.
• Ἀπόδειξη
• Γων ΑΒΖ=γων ΓΒΔ=1 ὀρθή. Ἂν σ' αὐτὲς προστεθεῖ ἡ γων ΑΒΓ, τότε γων
ΖΒΓ=γων ΑΒΔ. Τὰ τρίγωνα ΖΒΓ καὶ ΑΒΔ εἶναι ἴσα γιατὶ ἔχουν ΖΒ=ΒΑ, ΒΓ=ΒΔ, καὶ
γων ΖΒΓ=γων ΑΒΔ. Τὸ τετράγωνο μὲ διαγώνιο ΒΗ ἔχει ἐμβαδὸν διπλάσιο τοῦ
τριγ ΖΒΓ, διότι ἔχουν βάση τὴν ΖΒ καὶ εὑρίσκονται μεταξὺ τῶν ἰδίων
παραλλήλων ΖΒ καὶ ΗΓ. Προφανῶς ἐννοεῖ ὅτι ἔχουν ἴσα ὕψη, δηλαδὴ ΓΝ=ΑΒ,
ὅπου ΓΝ⊥ΖΒ, ὁπότε (ΑΒΖΗ)=ΒΖ.ΑΒ=ΒΖ.ΓΝ=2.(ΖΒΓ).
• Ὁμοίως τὸ παραλληλόγραμμο μὲ διαγώνιο ΒΛ ἔχει διπλάσιο ἐμβαδὸν τοῦ τριγ
ΑΒΔ, γιατὶ ἔχουν κοινὴ βάση τὴν ΒΔ καὶ εὑρίσκονται μεταξὺ τῶν ἰδίων
παραλλήλων ΒΔ καὶ ΑΛ. Ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ΒΗ εἶναι ἴσο μὲ τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ΒΛ. Μὲ τὸν ἴδιο τρόπο ἀποδεικνύει ὅτι τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου μὲ διαγώνιο ΓΘ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
παραλληλογράμμου μὲ διαγώνιο ΓΛ. Ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου μὲ
διαγώνιο ΒΕ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ
διαγωνίους ΒΗ καὶ ΓΘ.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com 11

12. Πρότασις 48η
• Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον
ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο
πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν
λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθὴ ἐστί.
• Τριγώνου τοῦ αβγ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς βγ πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν βα, αγ πλευρῶν
τετρα(29α)γώνοις. Λέγω ὅτι ὀρθὴ ἐστὶν ἡ βαγ γωνία.
• Κατασκευή
• Ἤχθω ἡ αδ πρὸς ὀρθὰς τῇ αγ(12) καὶ ἴση τῇ αβ(13) καὶ
ἐπετεύχθω ἡ δγ (σχ. 79).
12. Κατὰ τὴν 11ην.
13. Κατὰ τὴν 3ην.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
12

13. 3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
13

14. • Δεῖξις
• Τὸ ἀπὸ τῆς βα τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς αδ(14) κοινὸν
προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς αγ. Τὸ ἄρα ἀπὸ τῶν βα, αγ τετράγωνα ἴσα
τοῖς ἀπὸ τῶν αδ, αγ(15), ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν βα, αγ ἴσον τὸ ἀπὸ
τῆς βγ(16) τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν αδ, αγ, τὸ ἀπὸ τῆς δγ(17)· τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς βγ τετράγωνον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς δγ τετραγώνῳ, καὶ ἡ βγ ἄρα
ἴση τῇ δγ. Ἐν τοῖς τριγώνοις οὖν γαβ, γαδ, ἡ μὲν βα ἴση τῇ αδ, ἡ δὲ
βγ τῇ δγ, ἡ δὲ γα κοινή· καὶ γωνία ἄρα ἡ βαγ ἴση τῇ δαγ(18). Ἀλλ’ ἡ
δαγ ὀρθή(19), καὶ ἡ βαγ ἄρα ὀρθὴ ἐστίν, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
• Τέλος τοῦ 1ου βιβλίου.
•
14. Ἴση γὰρ ἡ βα τῇ αδ.
15. Κατὰ τὸ 2ον ἀξίωμα.
16. Ἐξ ὑποθέσεως.
17. Κατὰ τὴν 47ην.
18. Κατὰ τὴν 8ην.
19. Ἐκ τῆς κατασκευῆς.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
14

15. Ερμηνεύοντας σε απλά ελληνικά
(αλλά με πολυτονικό)…..
• Πρόταση 48 (σχ. 79)
• Ἐὰν τὸ τετράγωνο ποὺ σχηματίζεται μὲ πλευρὰ μία πλευρὰ
τριγώνου ἔχει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν
τῶν τετραγώνων ποὺ σχηματίζονται μὲ πλευρὲς τὶς ἄλλες
δύο πλευρὲς τοῦ ἰδίου τριγώνου, τότε ἡ γωνία ποὺ
σχηματίζεται ἀπὸ τὶς τελευταῖες δύο πλευρὲς θὰ εἶναι
ὀρθή.
• Θεωρεῖ τὸ τρίγωνο ΑΒΓ καὶ ὅτι τὸ τετράγωνο μὲ πλευρὰ τὴν
ΒΓ ἔχει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν
τετραγώνων ποὺ ἔχουν πλευρὲς τὶς ΑΒ καὶ ΑΓ ἀντίστοιχα.
• Κατασκευή
• Φέρει ΑΔ κάθετη πρὸς τὴν ΑΓ μὲ ΑΔ=ΑΒ
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
15

16. • Ἀπόδειξη (σχ. 79)
• Τὰ τετράγωνα ποὺ κατασκευάζονται μὲ πλευρὲς τὶς ΑΔ
καὶ ΑΒ εἶναι ἰσεμβαδικά. Ἄρα τὸ ἄθροισμα τῶν
ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ πλευρὲς τὶς ΑΒ καὶ ΑΓ
εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν
τετραγώνων μὲ πλευρὲς τὶς ΑΔ καὶ ΑΓ, δηλαδὴ ἴσο μὲ
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ΒΓ, ἢ ΔΓ. Ἄρα
ΒΓ=ΔΓ. Συνεπῶς στὰ τρίγωνα ΓΑΒ καὶ ΓΑΔ ἡ ΑΓ εἶναι
κοινὴ πλευρά, ἡ ΒΑ=ΑΔ ἀπὸ κατασκευή, καὶ ΒΓ=ΔΓ
ἀφοῦ εἶναι πλευρὲς ἰσεμβαδικῶν τετραγώνων. Ἄρα τὰ
τρίγωνα εἶναι ἴσα, ὁπότε καὶ γων ΒΑΓ=γων ΔΑΓ=1
ὀρθή.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
16

17. • Πρότασις 31η
• Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν
ὀρθὴν (107α) γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς
εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν
περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι, τοῖς ὁμοίοις καὶ
ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
• Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον
τὴν ΒΑΓ γωνίαν. Λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος
ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοίς
τε, καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις, τουτέστιν ὅτι
ρ=ξ+χ (σχ. 37).
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com 17

18. 3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
18

19. • Κατασκευή
• Ἤχθω ἡ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ΒΓ.
• Δεῖξις
• Ὡς ΓΒ:ΒΑ::ΑΒ:ΒΔ, ἡ ἄρα ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ διπλασίονα
λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ. Ἀλλὰ καὶ τὸ ρ
πρὸς τὸ ξ διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς
τὴν ΒΑ. Ὡς ἄρα ρ:ξ::ΓΒ:ΒΔ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ, καὶ ὡς
ρ:χ::ΓΒ:ΓΔ. Ἄρα καὶ ὡς ρ:ξ+χ::ΓΒ:ΒΔ+ΓΔ. Ἀλλ’ ἡ
ΓΒ=ΒΔ+ΓΔ, ἄρα καὶ τὸ ρ=ξ+χ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
19

20. Ερμηνεύοντας σε απλά ελληνικά
(αλλά με πολυτονικό)…..
• Πρόταση 31 (σχ. 37)
Θεωρεῖ ὀρθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ μὲ γων ΒΑΓ=1 ὀρθή. Τότε τὸ ἀπὸ
τῆς ΓΒ εἶδος εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν εἰδῶν τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ
καὶ ΑΓ τῶν ὁμοίων καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένων. Δηλαδὴ ρ=ξ+χ.
• Κατασκευή
• Φέρει τὴν ΑΔ κάθετο στὴν ΒΓ.
• Ἀπόδειξη
• Τὰ τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΒΑ, ΔΑΓ εἶναι ὅμοια (τρ. ΑΒΓ≈τρ. ΔΒΑ γιατὶ εἶναι
ὀρθογώνια μὲ γων Β κοινή, τρ ΑΒΓ≈τρ. ΔΑΓ γιατὶ εἶναι ὀρθογώνια
μὲ γων Γ κοινή), ἄρα ΓΒ:ΒΑ=ΑΒ:ΒΔ (1) ἄρα ΒΓ/ΒΔ=ΑΒ²/ΒΔ² (2). Ἀπὸ
τὴ σχέση (1): ΑΒ²=ΒΓ.ΒΔ, ἄρα ΑΒ4=ΒΓ².ΒΔ², ὁπότε ἡ σχέση (2)
γίνεται: ΒΓ/ΒΔ=(ΑΒ².ΒΓ².ΒΔ²)/(ΒΔ².ΑΒ4)=ΒΓ²/ΑΒ².
• Ὅμως καὶ ὁ λόγος τοῦ ρ πρὸς τὸ ξ εἶναι ἴσος μὲ τὸ τετράγωνο τοῦ
λόγου τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΑ, ἄρα ρ/ξ=ΒΓ/ΒΔ. Ὁμοίως ρ/χ=ΒΓ/ΓΔ, ἄρα
ρ/(ξ+χ)=ΒΓ/(ΒΔ+ΓΔ), καὶ ἐπειδὴ ΒΔ+ΓΔ=ΒΓ, τότε καὶ ρ=ξ+χ.
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
20

21. Το υλικό της παρουσίασης
είναι από το άρθρο:
΄΄Το Πυθαγόρειο Θεώρημα και οι
εφαρμογές του σύμφωνα με δύο
ελληνικά χειρόγραφα του 15ου
και του 18ου αι.΄΄, Ευκλείδης γ'
της ΕΜΕ, 77 (2012), σελ. 62-85.
Και από την έκδοση του
χειρογράφου που έγινε το
2009 με τίτλο:
΄΄Η διδασκαλία των μαθηματικών
στην Ελλάδα κατά τα τελευταία
χρόνια της τουρκοκρατίας΄΄
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
21

22. Η έκδοση του 2009 χαρακτηρίστηκε διεθνώς
ΕΡΓΟ ΠΗΓΗ (http://hollis.harvard.edu/ με όρο
αναζήτησης: Chalkou Maria)
3/4/2013
Δρ. Μαρία Δ. Χάλκου
mchalkou@gmail.com
22