Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...Thales and friends
Γιάννης Θωμαΐδης, Διδάκτωρ Διδακτικής των Μαθηματικών, Σχολικός Σύμβουλος Νομού Κιλκίς: Η θεσμοθέτηση των ερευνητικών εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου: Μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση.
Ο Γιάννης Θωμαϊδης εκθέτει τα επιχειρήματά του υπέρ της άποψης ότι η θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο Λύκειο αποτελεί μια μεγάλη ευκαιρία για τον απεγκλωβισμό της ελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης από το τέλμα στο οποίο βρίσκεται εδώ και δεκαετίες. Με βάση αυτά τα επιχειρήματα αναλύει, στη συνέχεια, ένα παράδειγμα ερευνητικής εργασίας που αντλεί την προβληματική της από την Ιστορία και τη Διδακτική των Μαθηματικών.
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126rDr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
ΟΤΑΝ Ο ΟΥΝΝΟΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΔΑ
Στη μακρινή χώρα του Βορά, ο χαριτωμένος Ούννος κηπουρός ήταν δυστυχισμένος επειδή επί 20 χρόνια αγωνιζόταν μάταια να πετύχει ένα γκολ στο παιχνίδι που έπαιζε με τους άλλους Ούννους. Τότε η γριά Ελληνίδα μάγισσα του είπε ότι μία φιλομαθής και δουλευταρού Ελληνίδα έχει κάτι που θα τον βοηθήσει να σκοράρει. Τί έκανε τότε ο μικρός κηπουρός;Ο πονηρός κηπουρός λοιπόν, προβληματίστηκε περίπου 8 χρόνια και μετά έδρασε αστραπιαία, κατά πως τον διέταξαν τα γνωστά σε όλους μας γονίδιά του.....
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Τα άγνωστα προβλήματα που διδάσκονταν στους μαθητές της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας.
Η εικόνα του εξωφύλλου είναι από την ιστοσελίδα: www.moonbattery.com
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...Thales and friends
Γιάννης Θωμαΐδης, Διδάκτωρ Διδακτικής των Μαθηματικών, Σχολικός Σύμβουλος Νομού Κιλκίς: Η θεσμοθέτηση των ερευνητικών εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου: Μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση.
Ο Γιάννης Θωμαϊδης εκθέτει τα επιχειρήματά του υπέρ της άποψης ότι η θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο Λύκειο αποτελεί μια μεγάλη ευκαιρία για τον απεγκλωβισμό της ελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης από το τέλμα στο οποίο βρίσκεται εδώ και δεκαετίες. Με βάση αυτά τα επιχειρήματα αναλύει, στη συνέχεια, ένα παράδειγμα ερευνητικής εργασίας που αντλεί την προβληματική της από την Ιστορία και τη Διδακτική των Μαθηματικών.
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126rDr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
ΟΤΑΝ Ο ΟΥΝΝΟΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΔΑ
Στη μακρινή χώρα του Βορά, ο χαριτωμένος Ούννος κηπουρός ήταν δυστυχισμένος επειδή επί 20 χρόνια αγωνιζόταν μάταια να πετύχει ένα γκολ στο παιχνίδι που έπαιζε με τους άλλους Ούννους. Τότε η γριά Ελληνίδα μάγισσα του είπε ότι μία φιλομαθής και δουλευταρού Ελληνίδα έχει κάτι που θα τον βοηθήσει να σκοράρει. Τί έκανε τότε ο μικρός κηπουρός;Ο πονηρός κηπουρός λοιπόν, προβληματίστηκε περίπου 8 χρόνια και μετά έδρασε αστραπιαία, κατά πως τον διέταξαν τα γνωστά σε όλους μας γονίδιά του.....
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Τα άγνωστα προβλήματα που διδάσκονταν στους μαθητές της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας.
Η εικόνα του εξωφύλλου είναι από την ιστοσελίδα: www.moonbattery.com
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
Σε κάθε βήμα, παντού Μαθηματικά
Όλοι μας είμαστε ικανοί μαθηματικοί χωρίς να το έχουμε συνειδητοποιήσει
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...Dr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Η διδασκαλία των λογαρίθμων σύμφωνα με ελληνικό χειρόγραφο του 18ου αι. του Νικηφόρου Θεοτόκη.
Στην εισήγηση αυτή (5η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα ΕΜΕ Θεσσαλονίκης, Μάρτιος 2013) γίνεται κατ΄ αρχάς αναφορά σε ορισμένα ιστορικά στοιχεία της θεωρίας των λογαρίθμων τα οποία προέκυψαν κατά τη διάρκεια της μεταγραφής της μελέτης και του μαθηματικού σχολιασμού του κώδικα 72 του 18ου αι. του Νικηφόρου Θεοτόκη, ο οποίος βρέθηκε στη Βιβλιοθήκη της Δημητσάνας, όπου και εδιδάσκετο το περιεχόμενό του. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η διδακτική πρόταση του συγγραφέα, από την οποία προκύπτει μία διαφορετική προσέγγιση της διδασκαλίας του κεφαλαίου των λογαρίθμων από αυτή που χρησιμοποιείται σήμερα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι αυτή η διδακτική πρόταση του Νικηφόρου Θεοτόκη καθώς και όλο το υπόλοιπο υλικό του χειρογράφου προοριζόταν να διδαχθεί σε σχολεία της τουρκοκρατούμενης Ελλάδας στα τέλη του 18ου αι, λίγες μόλις δεκαετίες πριν από την επανάσταση του 1821.
Το χειρόγραφο 72 του Νικηφόρου Θεοτόκη
Ο κώδικας 72 περιλαμβάνει τη Γεωμετρία και την Αριθμητική του Νικηφόρου Θεοτόκη, ο οποίος ήταν από τους πρώτους επιστήμονες που προσπάθησαν να συνδυάσουν τις γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων με τις σύγχρονες των δυτικών, και που ανέγραψε στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα των ελληνικών σχολείων ως πρωτεύοντα μαθήματα τα Μαθηματικά και τη Φυσική. Επιπλέον υπήρξε αυτός που πρωτοεισήγαγε τις Κωνικές Τομές και τον Απειροστικό Λογισμό στη διδακτέα ύλη. Χρησιμοποιούσε δε τα έργα των Tacquet, Ozanam και του Wolff ο οποίος υπήρξε μαθητής του Leibniz.
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...Dr. Maria D. Chalkou
Πρόκειται για την Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπως την παρουσίασε προς διδασκαλία στα Ελληνικά Σχολεία ο Νικηφόρος Θεοτόκης. Το έργο εγράφη στο εξωτερικό και εστάλη για να διδαχθεί περί τα τέλη του 18ου αι. λίγες μόλις δεκαετίες πριν την Επανάσταση του 1821. Το χειρόγραφο θεωρείται σταθμός για την παιδεία της εποχής, καθώς είναι το πρώτο κατά την εποχή της τουρκοκρατίας, στο οποίο αναγράφεται ύλη μη στοιχειωδών Μαθηματικών. Προγενέστερό του υπήρχε μόνον η Οδός Μαθηματικής του Ανθρακίτη το οποίο όμως περιείχε αποκλειστικά κλασικά Μαθηματικά ενώ στερείται παντελώς των σύγχρονων. Από την αλληλογραφία των Διδασκάλων του Γένους προκύπτει ότι διδάχθηκε σε διάφορα σχολεία της εποχής και έχαιρε ευρείας εκτίμησης.
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...Dr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Presentation at the Conference of the Hellenic Mathematical Society at Kastoria in 2015. I have used a mathematical manuscript of thw 18th cent. found at Demetsana of Arkadia.
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
ΟΤΑΝ Ο ΟΥΝΝΟΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΔΑ
Στη μακρινή χώρα του Βορά, ο χαριτωμένος Ούννος κηπουρός ήταν δυστυχισμένος επειδή επί 20 χρόνια αγωνιζόταν μάταια να πετύχει ένα γκολ στο παιχνίδι που έπαιζε με τους άλλους Ούννους. Τότε η γριά Ελληνίδα μάγισσα του είπε ότι μία φιλομαθής και δουλευταρού Ελληνίδα έχει κάτι που θα τον βοηθήσει να σκοράρει. Τί έκανε τότε ο μικρός κηπουρός; Ο πονηρός κηπουρός λοιπόν, προβληματίστηκε περίπου 8 χρόνια και μετά έδρασε αστραπιαία, κατά πως τον διέταξαν τα γνωστά σε όλους μας γονίδιά του.....
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...
Irrational Numbers. The mystery
1. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
2. ΟΡΙΣΜΟΙ
Είναι γνωστό, ότι ένας αριθμός είναι άρρητος
αν δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα της
μορφής μ/ν, όπου μ, ν ακέραιοι με (μ,ν)= 1,
και ν διάφορο του μηδενός.
Οι άρρητοι αριθμοί μπορεί να είναι είτε
αλγεβρικοί (ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων
με ρητούς συντελεστές) όπως π.χ. η √3 (είναι
ρίζα της εξίσωσης χ²-3= 0), είτε
υπερβατικοί (δεν υπάρχει πολυωνυμική
εξίσωση με ρητούς συντελεστές της οποίας να
είναι ρίζες), όπως π.χ. οι αριθμοί π, e.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
3. ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη το οποίο σχετίζεται
με τα ασύμμετρα μεγέθη μας προκαλεί δέος
λόγω του όγκου αλλά και της δύσκολης
μεθοδολογίας του. Θεωρείται -ίσως όχι άδικα-
ένα από τα πιο βαθυστόχαστα και
δυσκολονόητα μαθηματικά κείμενα στην
Ιστορία των Μαθηματικών.
Η πρόθεση να διευκρινιστούν οι γεωμετρικές
φόρμες που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης
αποτυγχάνει ακόμα και με σύγχρονους
υπολογισμούς.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
4. Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ
Σύμφωνα με τον T. Heath οι αρχαίοι
Έλληνες άρχισαν να ασχολούνται με τα
ασύμμετρα μεγέθη, όταν αυτά προέκυψαν
σαν ρίζες Β΄ βαθμίων εξισώσεων.
Σύγχρονοι μελετητές υποστηρίζουν, πως
η ανακάλυψη των ασυμμέτρων, η οποία
έγινε πριν από το μέσον του 5ου αι.
οφείλεται στον Πυθαγόρα.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
5. ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ
Ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης θεωρούσαν τη
πλευρά και τη διαγώνιο του τετραγώνου ως
παραδειγματικά ασύμμετρα μεγέθη, οι δε
δυσκολίες που προκύπτουν για τον
υπολογισμό της ρίζας του 2 έχουν ιστορία
1000 χρόνων.
Κατά τον Πλάτωνα οι γραμμές ορίζονται ως
"μήκη" και τα τετράγωνα τους ως "δυνάμεις".
Αυτές οι τελευταίες μπορεί να μην είναι
σύμμετρες στο μήκος, αλλά μόνο κατά τα
εμβαδά που παράγουν.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
6. ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΚΑΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
Κατά τον Θεαίτητο, αν έχουμε δύο γραμμές σύμμετρες σε
τετράγωνο, αλλά όχι σε μήκος, τότε και ο αριθμητικός και ο
γεωμετρικός καθώς και ο αρμονικός μέσος τους θα είναι
άρρητες γραμμές.
Κατά τον Ευκλείδη, αν θεωρήσουμε δύο γραμμές α, β
σύμμετρες μόνο σε τετράγωνο, τότε το άθροισμά τους είναι
άλογος (όχι ρητή) και ονομάζεται διωνυμική γραμμή.
Το ίδιο συμβαίνει και με τη διαφορά τους (αν από τη
μεγαλύτερη αφαιρεθεί η μικρότερη), η οποία καλείται
αποτομή.
Αν για τις ίδιες γραμμές θεωρήσουμε το γινόμενό τους
γ2=α.β, τότε και αυτό είναι ασύμμετρο μέγεθος και
ονομάζεται μέσο εμβαδόν.
Επιπλέον η γ είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται
μέση γραμμή.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
7. ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ
Κάτω άραγε από ποιες συνθήκες μία
τετραγωνική ρίζα είναι μία διωνυμική
ή μία αποτομή;
Αν λυθεί το πρόβλημα αυτό μήπως θα
έχουμε το κλειδί για την εξήγηση του
νοήματος όλης της θεωρίας του
Ευκλείδη;
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor