Η παραπάνω παρουσίαση αφορά το πολύ γνωστό Μαθηματικό θέμα της χρυσής τομής.

1. Ότι λάμπει μπορεί και να είναι (μαθηματικός) χρυσός…..
Η χρυσή τομή και ο χρυσός αριθμός στα Μαθηματικά, στη φύση και στη ζωή….
Σίγουρα, ο καθένας από εμάς, έχει ακούσει την έκφραση «να βρεθεί ή χρυσή τομή
στο τάδε πρόβλημα». Κάπου, όλοι μας θα έχουμε ακούσει πως διάφοροι καλλιτέχνες, κυρίως
από την εποχή της Αναγέννησης στην Ευρώπη, χρησιμοποίησαν στα έργα τους θείες
αναλογίες ή χρυσούς αριθμούς. Και η επόμενη ερώτηση που προκύπτει είναι: «Μα καλά, τι
σχέση έχουν όλα αυτά μεταξύ τους;» Μια σύντομη απάντηση θα επιχειρηθεί να δοθεί στις
παρακάτω γραμμές.
Η χρυσή τομή
Η χρυσή τομή είναι μια έννοια που προέρχεται από την κλασική Ελλάδα. Ο μεγάλος
Έλληνας Μαθηματικός και Διευθυντής του Μουσείου (=καταφύγιο των Μουσών, κάτι σαν το
πανεπιστήμιο της εποχής) της Αλεξάνδρειας, Ευκλείδης στο βιβλίο IV των «Στοιχείων»1 του
σαν τρίτο ορισμό μας δίνει: (Σε ελεύθερη μετάφραση) «Μια ευθεία έχει τμηθεί σε άκρο και
μέσο λόγο, όταν όπως έχει η ολόκληρη ευθεία προς το μεγαλύτερο τμήμα, έχει και το
μεγαλύτερο τμήμα στο μικρότερο». Για να γίνει το παραπάνω πιο κατανοητό, ας δούμε το
παρακάτω σχήμα:
1
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη λέγεται ότι είναι το βιβλίο με τις πιο πολλές επανεκδόσεις όλων
των εποχών (μετά την Βίβλο)!
1

2. Α Γ Β
Έστω ότι έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Απλά, ψάχνουμε πού θα τοποθετούσαμε
ένα σημείο Γ που θα «έκοβε» (θα έκανε μία τομή δηλαδή) το τμήμα ΑΒ σε δύο τμήματα, με
την εξής ιδιότητα: ο λόγος του μήκους του ΑΒ (όλου δηλαδή) προς το μήκος του
μεγαλύτερου (από τα δύο μικρότερα κομμάτια), του ΑΓ, να είναι ίσος με τον λόγο του
κομματιού ΑΓ προς το μικρότερο κομμάτι, που εδώ είναι το ΓΒ.
Αυτή η –φαινομενικά απλή – ιδέα, μας δίνει έναν αριθμό, ο οποίος απαντάται σχεδόν
παντού στην φύση και χρησιμοποιήθηκε από πολλούς καλλιτέχνες μέσα στα έργα τους ανά
τους αιώνες για να εκφράσει την αρμονία, την συμμετρία και την κανονικότητα. Ο αριθμός
συμβολίζεται με Φ (προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, που όπως φαίνεται είναι ο πρώτος που
τον χρησιμοποίησε) και εμφανίζεται με αρκετά ονόματα, όπως ο χρυσός αριθμός, η χρυσή (ή
η θεική) αναλογία, ο αριθμός Φ και άλλα.
Κάνοντας μερικές απλές πράξεις, μπορούμε να βρούμε (προσεγγιστικά) αυτόν τον
α β
αριθμό Φ : Αν (ΑΒ)=α, (ΓΒ)=β και (ΑΓ)=γ θα είχαμε , από όπου προκύπτει β2=αγ.
β γ
α β 1 5
Συνδυάζοντας την μάλιστα με την α=β+γ, προκύπτει ότι Φ 1,618 .
β γ 2
(Στην λύση της εξίσωσης που έχουμε από τον συνδυασμό των δύο παραπάνω μας
ενδιαφέρει η θετική λύση, αφού μιλάμε για διαίρεση δύο θετικών λόγων)
Που εμφανίζεται ο χρυσός αριθμός
Ο χρυσός αριθμός, εμφανίζεται απρόσμενα μπροστά μας, στα πιο περίεργα μέρη των
μαθηματικών. Σε ένα από αυτά, στις ακολουθίες, εμφανίζεται στην πιθανότατα διασημότερη
ακολουθία από όλες: την ακολουθία Fibbonacci, μια ακολουθία, που όπως συνεχώς
ανακαλύπτεται, βρίσκεται παντού στην φύση, από τις σπείρες στα ηλιοτρόπια (λουλούδια),
στην ανάπτυξη των φυτών, στις ανθρώπινες αναλογίες ως και το σχήμα των γαλαξιών!
Αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Οι ακολουθίες είναι συναρτήσεις, που μας δίνουν σαν αποτέλεσμα κάποιους αριθμούς
οι οποίοι είναι «ταξινομημένοι» με έναν συγκεκριμένο τρόπο (αυτόν που ορίζει η ίδια η
ακολουθία). Αν για παράδειγμα, πάρετε τον αριθμό 2 και σε αυτόν προσθέτετε συνέχεια τον
ίδιο αριθμό πχ το 5 θα έχουμε ως αποτέλεσμα μια σειρά αριθμών, το 7,το 12, το 17 κ.ο.κ.
Αν τώρα ξεκινήσετε με τον αριθμό 1, του προσθέσετε τον εαυτό του μας δίνει, φυσικά, το 2.
Αν τώρα προσθέσετε το 2 στο 1 θα έχουμε το 3. Και τέλος, αν σε κάθε αριθμό που μας δίνει η
ακολουθία, προσθέσουμε το προηγούμενο προκύπτει ένα σύνολο αριθμών 1,1, 2, 3, 5,8,13,
21 κοκ. Αυτή που μόλις είδαμε ονομάζεται ακολουθία Fibbonacci (από το όνομα του Ιταλού
εμπόρου που την ανακάλυψε). Αν πάρουμε τον λόγο του ενός όρου της παραπάνω
ακολουθίας ως προς τον προηγούμενο (για μεγάλους αριθμούς) θα διαπιστώσουμε
έκπληκτοι ότι ο λόγος αυτός προσεγγίζει τον αριθμό Φ!
2

3. Ο αριθμός Φ, δεν είναι μόνο αποτέλεσμα μιας μαθηματικής πράξης, Είναι ταυτόχρονα
και ένας αριθμός που μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά, δίνοντάς μας την δυνατότητα να
συνδέσουμε Αριθμητική και Γεωμετρία! Ο αριθμός αυτός
μαζί με την χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος,
πιθανότατα θα έδωσαν την δυνατότητα στους Αρχαίους
Έλληνες, να «διοχετεύσουν» την ομορφιά και την
συμμετρία τον αριθμών στις καθημερινές γεωμετρικές
κατασκευές τους. Στη διπλανή εικόνα παρατίθεται η
Ε Ζ κατασκευή του αριθμού με κανόνα και διαβήτη :
Στην αρχή φτιάχνουμε το τετράγωνο με πλευρά 1, το
οποίο είναι το ΑΒΓΔ. Από την μέση Η του τμήματος ΒΔ
και φέρνοντας την διαγώνιο προς το Α, με τον διαβήτη
σχεδιάζουμε το τμήμα του κύκλου με ακτίνα την ΑΗ ,
Α Β
1 5
όπου ΑΗ 1 από την εφαρμογή του
4 2
πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΗ.
Η
Αφού η ΑΗ είναι ίση με την ΗΖ, ως ακτίνες του ίδιου
κύκλου, το συνολικό μήκος της ΖΔ θα είναι
5 1 1 5
ΔΖ Φ.
Γ Δ 2 2 2
1
Το ορθογώνιο ΕΓΔΖ ονομάζεται «χρυσό ορθογώνιο» και χρησιμοποιείται σε
αναρίθμητες εφαρμογές. Τέτοια ορθογώνια είναι οι πιστωτικές μας κάρτες, οι οθόνες των
τηλεοράσεων (αυτό που λέμε 16:9), πολλοί πίνακες ζωγραφικής μεγάλων ζωγράφων, ενώ με
βάση τα χρυσά ορθογώνια σχεδιάστηκε ο Παρθενώνας. Με βάση τα χρυσά ορθογώνια
σχεδιάζεται η λογαριθμική σπείρα, ένα σχήμα που συναντάται από τα κοχύλια και διάφορα
λουλούδια ως και το σχήμα του γαλαξία μας και κάποιων άλλων γαλαξιών!
Πέρα από τα χρυσά τετράγωνα ο αριθμός Φ συναντάται αρκετές φορές σε αναλογίες
του ανθρώπινου σώματος. Αν πάρουμε τρία σημεία, την κορυφή του κεφαλιού μας, το άκρο
της μύτης μας και το σαγόνι μας, θα δούμε ότι ο λόγος των μηκών των τριών αυτών σημείων
προσεγγίζει τον αριθμό της χρυσής τομής, γεγονός γνωστό από την αρχαιότητα, που
βοήθησε τους αρχαίους γλύπτες να προσεγγίσουν την τελειότητα στα έργα τους. Ο
«Βιρτρούβιος Άνδρας», το γνωστό έργο του Leonardo Da Vinci, μας δηλώνει ότι ο λόγος της
απόστασης των ανοικτών χεριών προς το την απόσταση του αφαλού του ανθρώπου από το
έδαφος προσεγγίζει, και πάλι, τον αριθμό Φ…
Θα μπορούσαν να γραφτούν χιλιάδες σελίδες ακόμα για αυτό τον «χρυσό» αριθμό,
τις ιδιότητες του και τις αναρίθμητες χρήσεις του στην τέχνη και την επιστήμη. Καλύτερα
όμως για να μην γίνομαι κουραστικός να αφήσω τον αναγνώστη να ψάξει ο ίδιος για
περισσότερα στοιχεία. Θα ήθελα όμως τελειώνοντας, να δώσω μια μικρή ώθηση σε αυτή την
έρευνα, παραθέτοντας λίγη βιβλιογραφία.
3

4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ- ΠΗΓΕΣ
1) «Η χρυσή τομή» Fernando Corlbalan από την σειρά «Ο κόσμος είναι
μαθηματικά» εκδόσεις 4π
2) «Οι ιστορικές ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηματικών» Bunt L.- Jones Ph.- Bedient
J. εκδόσεις Πνευματικός 1981
3) «Η φύση και η δύναμη των Μαθηματικών» Davis D. Εκδόσεις ΠΕΚ 2001
4) Διαδίκτυο:
http://www.atopo.gr/egkiklopedika/136/
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CF%85%CF%83%CE%AE_%C
F%84%CE%BF%CE%BC%CE%AE
5) Δείτε επίσης άρθρα για τις χρήσεις και το που συναντάται ο αριθμός Φ
http://www.asxetos.gr/entheto/xrysos-arithmos-phi/
6) και πως ο αριθμός Φ «εισχωρεί» στην Μουσική,
http://analogion.com/forum/showthread.php?t=4939
4