8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελληνισμό

Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com
Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΕΜΒΑΔΩΝ ΣΤΟΝ
ΒΥΖΑΝΤΙΝΟ ΚΑΙ ΤΟΝ ΜΕΤΑΒΥΖΑΝΤΙΝΟ
ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα
Θεσσαλονίκη 2016

Από τα αρχεία των ελληνικών
χειρογράφων
 Ανώνυμος Συγγραφἐας: Κώδικας 65 του
15ου αι. της Εθνικής Βιβλιοθήκης της
Αυστρίας.
Ακροατήριο διαφόρων ειδικοτήτων και
ηλικιών.
 Νικηφόρος Θεοτόκης: Κώδικας 72 του 18ου
αι. της Ιστορικής Βιβλιοθήκης της
Δημητσάνας.
Ακροατήριο μαθητές του σημερινού
Γυμνασίου και Λυκείου.

Κώδικας 65 του 15ου αι. Κώδικας 72 του 18ου αι.

Τα εμβαδά στον κώδικα 65
του 15ου αι. Ο Ορισμός του π

 ρξζ' Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ ἐκ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου εἰδέναι τὴν
τούτου διάμετρον.
Ἔστω κύκλος τις ὅστις ἐστὶ ἡ τούτου περίμετρος σπιθαμῶν κβ.
Ζητεῖς δὲ εἰδέναι καὶ τὴν τούτου διάμετρον. Δεῖ οὖν τοῦτο πρῶτον
γιγνώσκειν ὅτι παντὸς κύκλου περίμετρος, τριπλάσιον λόγον καὶ
α/ζ ἔχει ἐκ τῆς διαμέτρου αὐτοῦ. Ποίησον οὖν ἕβδομα ἀκέραια γ
καὶ α/ζ. Τὰ δὲ γ καὶ α/ζ γίνονται κβ ἕβδομα. Ποίησον καὶ τὰς κβ
σπιθαμὰς τῆς περιμέτρου ἕβδομα· ζ-κις οὖν κβ γίνονται ρνδ
ἕβδομα. Μέρισον τὰ ρνδ ἕβδομα μετὰ τῶν κβ ἑβδόμων καὶ γίνεται
ὁ τούτων διαμερισμὸς ζ. Ἐστὶ δὲ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου σπιθαμῶν
ζ, ὅστις κύκλος ἔχει περίμετρον σπιθαμῶν κβ.
Ὡσαύτως δὲ καὶ παντὸς κύκλου ζητῶν εἰδέναι διάμετρον, ποίησον
τὴν τοῦ ζητουμένου κύκλου περίμετρον, ἕβδομα, καὶ μέρισον τὰ
γενόμενα ἕβδομα πάντοτε μετὰ τῶν κβ ἑβδόμων ὧν ποιοῦσιν τὰ γ
καὶ α/ζ. Καὶ ὅσος γένηται ὁ τούτων διαμερισμός, τοσούτων
σπιθαμῶν ἐστὶ ἡ τοῦ ζητουμένου κύκλου διάμετρος.

Τα εμβαδά στον κώδικα 65 του
15ου αι. Ο Ορισμός του π
 Ὁ συγγραφέας θεωρεῖ τὴν Περίμετρο τοῦ κύκλου
Π =(3 1/7)2ρ
δηλ. π =3 1/7 =22/7
 Γιὰ νὰ βρεῖ τὴν διάμετρο 2ρ τοῦ κύκλου, διαιρεῖ τὴν
περίμετρο Π με τὸ 22/7
 Κατὰ τὸν συγγραφέα, τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου, τοῦ
ὁποίου εἶναι γνωστὴ ἡ ἀκτίνα, μπορεῖ νὰ εὑρεθεῖ, ἂν
ὑψώσουμε τὴν περίμετρο στὸ τετράγωνο καὶ
διαιρέσουμε τὸ ἀποτέλεσμα μὲ 12 4/7, δηλ. μὲ τὸ 4π
Π2/4π =(2πρ)2/4π =4π2ρ2/4π =πρ2

Το Εμβαδόν 40-γώνου στον κώδικα
65

 κεφ. 202. Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 40-γώνου ὅταν
δίδεται ἡ πλευρὰ του ἴση μὲ 1/2 μιᾶς σπιθαμῆς.
Στὸ συγκεκριμένο ζήτημα, παρατηρεῖ πὼς ἡ περίμετρος εἶναι
ἴση μὲ 20 σπιθαμές, καὶ τὴν πολλαπλασιάζει μὲ τὸν ἑαυτὸν
της βρίσκοντας 400. Κατόπιν γράφει πὼς διαιροῦμε τὸ 400
πάντοτε μὲ τὸ 12 5/8, καὶ βρίσκουμε πὼς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 40-
γώνου εἶναι ἴσο μὲ 31 7/10.
 κεφ. 203. Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 30-γώνου
πλευρᾶς ἴσης μὲ 2/3.
Γράφει πὼς ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές,
πολλαπλασιάζει τὸ 20 μὲ τὸν ἑαυτόν του, καὶ τὸ ἀποτέλεσμα
τὸ ὁποῖο εἶναι 400 τὸ διαιρεῖ μὲ τὸ 12 2/3 βρίσκοντας γιὰ τὸ
ἐμβαδὸν τὴ τιμὴ 31 11/19 τετραγωνικὲς σπιθαμές

κεφ. 204. Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 20-γώνου πλευρᾶς
ἴσης μὲ 1 σπιθαμὴ.
Στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα διαιρεῖ τὸ 400 μὲ τὸ 12 11/16
βρίσκοντας 31 1/2.
1 1/9 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 3/4, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι
31 1/3.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 5/6, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι
31 1/6
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 11/12, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ
εἶναι 30 29/30.

πλευρᾶς 1 2/3 τῆς σπιθαμῆς.
Διαιρεῖ τὸ 400 μὲ τὸ 13 καὶ βρίσκει 30 10/13.
πλευρᾶς 2 σπιθαμῶν.
εἶναι 30 1/2.
πλευρᾶς 2 1/2 σπιθαμῶν.
εἶναι 30 1/6.
 κεφ. 211. Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ ἑξαγώνου
πλευρᾶς 3 1/3 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 5/7, καὶ ἔτσι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ
εἶναι 29 1/6.

 κεφ. 212. Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἴσης
μὲ 4 σπιθαμές.
Τὸ 400 στὴν συγκεκριμένη περίπτωση διαιρεῖται μὲ τὸ 14 6/13, ὁπότε
προκύπτει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ 27 2/3.
 Στὴ συνέχεια ὁ συγγραφέας κάνει τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ἐμβαδοῦ
κανονικοῦ 9-γώνου μὲ τὴν ἑξῆς μέθοδο:
Μᾶς θυμίζει πὼς ἔχει ἤδη ὑπολογίσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κανονικοῦ 10-
γώνου καθὼς καὶ τοῦ κανονικοῦ 8-γώνου, τὰ ὁποῖα εἶναι 30 1/2 καὶ 30
1/6 ἀντίστοιχα. Βρίσκει τὸ "ἐξ' ἀναλόγου" αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, τὸ
ὁποῖο εἶναι ἴσο μὲ 30 1/3. Βλέπουμε ἐδῶ πὼς ἐννοεῖ τὴν μέση τιμὴ
αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, ἡ ὁποία μέση τιμὴ θεωρεῖ πὼς εἶναι ἡ τιμὴ τοῦ
ἐμβαδοῦ τοῦ 9-γώνου.
 Μὲ τὸν ἴδιο τρόπο ὑπολογίζει τὸ ἐμβαδὸν κανονικοῦ 7-γώνου
 Ὅταν πρόκειται ὅμως γιὰ ἐμβαδὸν παραλληλογράμμου, τραπεζίου,
τετραγώνου, ρόμβου καὶ τριγώνου, οἱ ὑπολογισμοὶ εἶναι ἴδιοι μὲ τοὺς
σημερινούς

Υπολογισμοί σχετιζόμενοι με τη
φορολογία
 Ὅταν ἐπρόκειτο γιὰ εὔφορη γῆ σχήματος
ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου μὲ διαστάσεις
20 ἐπὶ 15 οὐργίες, τότε οἱ Βυζαντινοί ὑπολόγιζαν
τὸ γινόμενο
15.20 =300 μοδία.
 Ὅταν ὅμως ἐπρόκειτο γιὰ ἄγονη γῆ τοῦ ἰδίου
σχήματος μὲ διαστάσεις 30 ἐπὶ 20 οὐργίες, τότε
θεωροῦσαν τὸ ἐμβαδὸν ἴσο μὲ
(20.30)/200 =3 μοδία.

Πώς οι Βυζαντινοί υπολόγιζαν κατά προσέγγιση το
εμβαδόν εκτάσεων ακανονίστου σχήματος, βάσει της
περιμέτρου τους
 Ἔστω μὴ κυρτὸ πολυγωνικὸ σχῆμα μὲ πλευρὲς
30, 8, 10, 20, 80, 2, 1, 5, 68 σχοινία.
 Ἡ περίμετρός του εἶναι ἴση μὲ 224 σχοινία.
 Ἀφαιροῦσαν 1 σχοινίο γιὰ κάθε 20 σχοινία
"λόγω τῶν ὑπερβολῶν καὶ τῶν ἐλλείψεων". Θὰ
ἔπρεπε νὰ εἶχαν λοιπόν: 224-11 =213.
 Ἀντ' αὐτοῦ, ὅμως, ἀφαιροῦσαν τὸ 11 ἀπὸ τὸ
223 καὶ εἶχαν 212 σχοινία.
 Κατόπιν ἔκαναν τὶς ἑξῆς πράξεις:
 212/4 =53, 53.53 =2809 σχοινία.

Ο ανώνυμος συγγραφέας
επηρεάστηκε από
 Τὰ Μετρικὰ τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα
 Ἐπιπεδομετρικά τοῦ Διοφάντου
 Τὴ Σύνοψη περὶ μετρήσεως καὶ μερισμοῦ τῆς
γῆς (γεωδαισία) τοῦ Ἰωάννη Πεδιάσιμου
 Τὸν Αλ Χουαρίζμι, ὁ ὁποῖος συνέθεσε ἔργο
ὅπου περιέχονται προβλήματα μέτρησης
ἐκτάσεων καὶ γενικῶν γεωμετρικῶν
ὑπολογισμῶν
 Τὸν Φιμπονάτσι, ὁ ὁποῖος ἔγραψε σχετικὰ μὲ
τὰ ἐμβαδὰ.

Η σημασία του κώδικα 72 του 18ου αι.
της Βιβλιοθήκης της Δημητσάνας
Από τον Πρόλογο για τη Β’ Έκδοση του Καθηγητή του Μαθηματικού
Τμήματος του Πανεπιστημίου Κρήτης κ. Μιχαήλ Λάμπρου
 Η σπουδαιότητα του Κώδικα 72 της Δημητσάνας, του Θεοτόκη, που
αργότερα εκδόθηκε ως Στοιχεία Μαθηματικών, έγκειται στο ότι είναι ένα
από τα πρώτα κείμενα με μη στοιχειώδη Μαθηματικά την εποχή της
Τουρκοκρατίας. Προγενέστερό του υπήρχε μόνον η Οδός Μαθηματικής του
Ανθρακίτη το οποίο όμως περιείχε αποκλειστικά κλασικά Μαθηματικά ενώ
στερείται παντελώς των σύγχρονων.
 Επίσης, από την αλληλογραφία μεταξύ των Διδασκάλων του Γένους
φαίνεται ότι τα Στοιχεία Μαθηματικών του Θεοτόκη διδάχθηκαν σε διάφορα
σχολεία της εποχής και έχαιραν ευρείας εκτιμήσεως.
 Ο ίδιος, είχε την διορατικότητα να αντιληφθεί ότι τα Μαθηματικά οφείλουν
να είναι πρωτεύον μάθημα στην διδασκαλία, οι λεγόμενες «λαβές της
Φιλοσοφίας» κατά τον Διευθυντή της Πλατωνικής Ακαδημίας, Ξενοκράτη,
συνεχίζοντας έτσι την παράδοση που είχε καθιερωθεί την αρχαιότητα.

Τα Εμβαδά στον κώδικα 72 του 18ου αι.
Βιβλίο 2ο
 Ὁ Ν. Θεοτόκης χρησιμοποιοῦσε τὰ ἔργα:
 1) Tacquet, Elementa geometricae.....,
 2) Ozaman, Les elements d' Euclide
demontrés d' une manière nouvelle et
facile, par M. Audriene, Paris 1746, καὶ
 3) Ch. Wolf, Elementa Matheseos universae,
vol. I, Ἄλλη 1713.

1oς Ὁρισμός
Πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ καὶ ὀρθογώνιον καλεῖν εἰώθασιν, οἷον
τὸ αγεζ περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν
εὐθειῶν, οἷον τῶν γα, αζ· τούτων ἡ μὲν τὸ ὕψος, ἡ δὲ τὴν βάσιν, ἢ ἡ μὲν τὸ
μῆκος, ἡ δὲ τὸ πλάτος τοῦ ὀρθογωνίου ἐμφαίνει

Σημείωσις
Τὰ μὲν α, β, γ, καὶ τὰ ἑξῆς στοιχεῖα τὴν ὁποιανοῦν ἐμφαίνει ποσότητα· τὸ δὲ = τὴν
ἰσότητα, οἷον (30β) τὸ α= β σημαίνει ὅτι τὸ α ἴσον ἐστὶ τῷ β. Τὸ δὲ α+β, τὸ α σὺν τῷ β
εἴθουν τὸ κεφάλαιον τῶν α καὶ β. Τὸ δὲ α-β, τὸ α ἀφαιρεθέντος τοῦ β, τουτέστι τὴν
διαφορὰν τὴν μεταξὺ τοῦ α καὶ β. Λέγεται δὲ τὸ μὲν + μᾶλλον ἢ πλέον, τὸ δὲ - ἧττον ἢ
μεῖον. Τὸ δὲ ᾱ2, ἢ αγ̅2, τὸ τετράγωνον ἐμφαίνει τὸ ἀπὸ τοῦ α, ἢ τὸ ἀπὸ τῆς αγ εὐθείας,
συντομίας δὲ χάριν τούτοις χρώμεθα τοῖς σημείοις.

2ος: Παντὸς παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον αὐτοῦ
ἓν παραλληλόγραμμον ὁποιονοῦν σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι
γνώμων καλείσθω, εἴθουν τοῦ παραλληλογράμμου αβ ἓν περὶ τὴν
διάμετρον παραλληλόγραμμον τὸ γε σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι θδ,
δζ, γνώμων καλεῖται, καταγγέλλεται δὲ διὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας
κλμ

Πρόταση 1η

Πρότασις 1η
Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν
τμήματα τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ
τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου, καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις
ὀρθογωνίοις.
Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ αβ, βγ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ βγ ὡς ἔτυχε κατὰ
τὰ δ, ε σημεῖα. Λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν αβ, βγ περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπό τε τῶν αβ, βδ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, καὶ τῷ ὑπὸ
τῶν αβ, βε, καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ τῶν αβ, εγ (σχ. 4).

Τὸ ὀρθογώνιο τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον εἶναι ἴσο μὲ τὸ
ἄθροισμα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ, καὶ ΑΒ, ΔΕ[1], καὶ ΑΒ, ΕΓ περιεχομένων
παραλληλογράμμων (Τὸ ἐμβαδὸν ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου μὲ
βάση ΒΓ καὶ ὕψος ΑΒ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν
παραλληλογράμμων ποὺ ἔχουν ὕψος ΑΒ καὶ βάσεις ΒΔ, ΔΕ[2], ΕΓ).
[1] Ὁ συγγραφέας γράφει ΒΕ ἀντὶ γιὰ ΔΕ ποὺ εἶναι τὸ ὀρθό.
[2] Τὸ αὐτό.

Κατασκευή
Θεωρεῖ τὴ ΒΖ κάθετη στὴν ΒΓ καὶ ΒΗ=ΑΒ. Ἀπὸ τὸ Η φέρει τὴν ΗΘ
παράλληλη πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ ἀπὸ τὰ Δ, Ε, Γ, τὶς ΔΚ, ΕΛ, ΓΘ παράλληλες
τῆς ΒΗ.

Δεῖξις
Τὸ ὀρθογώνιο ΒΘ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ὀρθογωνίων ΒΚ, ΔΛ,
καὶ ΕΘ. Ἀλλὰ τὸ παραλληλόγραμμο ΒΘ εἶναι τὸ περιεχόμενο ὑπὸ τῶν
ΑΒ καὶ ΒΓ (ἀφοῦ ΑΒ=ΒΗ), τὸ ΒΚ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ, τὸ ΔΛ ὑπὸ τῶν
ΑΒ, ΔΕ[1], καὶ τὸ ΕΘ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΓ. Ἄρα τὸ ὀρθογώνιο τὸ ὑπὸ τῶν
ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ,
καὶ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ΑΒ, ΕΘ περιεχομένων παραλληλογράμμων.
[1] Τὸ αὐτό.

Πρότασις 2α
Ἐὰν Γ τυχὸν σημεῖο εὐθυγράμμου τμήματος ΑΒ, ΑΒΕΔ τετράγωνο, καὶ ΓΖ κάθετη
στὴν ΑΒ, τότε τὰ ὀρθογώνια παραλληλόγραμμα "τὰ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΑΓ καὶ ΓΒ
ἀντίστοιχα", εἶναι "ἴσα" μὲ τὸ τετράγωνο ΑΒΕΔ.
Δεῖξις
Τὸ ΑΒ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ΓΕ καὶ ΑΖ. Ἀλλὰ τὸ ΑΕ εἶναι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ
τετράγωνο, τὸ ΓΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενο ὀρθογώνιο καὶ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν
ΑΒ καὶ ΑΓ. Ἄρα τὰ ὀρθογώνια παραλληλόγραμμα "τὰ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΑΓ καὶ ΓΒ
ἀντίστοιχα", εἶναι "ἴσα" μὲ τὸ τετράγωνο ΑΒΕΔ.

Θεωρεῖ εὐθεῖα ΑΒ καὶ Γ τυχὸν σημεῖο αὐτῆς. Τότε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ περιεχόμενο
ὀρθογώνιο εἶναι ἴσο μὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΓ ὀρθογωνίου σὺν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.
Κατασκευή
Κατασκευάζει τὸ τετράγωνο ΓΔΕΒ καὶ προεκτείνει τὴν ΕΔ μέχρι τὸ Ζ. Ἀπὸ τὸ Α φέρει
τὴν ΑΖ παράλληλη στὶς ΓΔ καὶ ΒΕ.
Δεῖξις
Τὸ ΑΕ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ΑΔ καὶ ΓΕ. Ἀλλὰ τὸ ὀρθογώνιο ΑΕ περιέχεται
μεταξὺ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ, τὸ ΑΔ μεταξὺ τῶν ΑΓ καὶ ΓΒ, καὶ τὸ ΓΕ εἶναι τὸ τετράγωνο μὲ
πλευρὰ τὴν ΓΒ. Ἄρα τὸ ὀρθογώνιο τὸ περιεχόμενο μεταξὺ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ εἶναι ἴσο μὲ
τὸ ὀρθογώνιο ποὺ περιέχεται μεταξὺ τῶν ΑΓ, ΓΒ προστιθέμενου καὶ τοῦ τετραγώνου μὲ
πλευρὰ τὴν ΓΒ.

Οι Ορισμοί του Γνώμονα
 Ο Οινοπίδης o Xίος ονομάζει την χάραξη καθέτου από σημείου προς ευθεία ¨κατά
Γνώμονα¨..
 Αργότερα ως Γνώμων ορίζεται και το όργανο σχεδίασης ορθών γωνιών.
 Κατά τον Αριστοτέλη είναι το σχήμα που όταν προστεθεί σε ένα τετράγωνο
διατηρεί το σχήμα του.
 Στον Ευκλείδη (βιβλίο ορ. 2) ορίζεται ως το σχήμα που όταν προστεθεί σε
παραλληλόγραμμο αυτό παραμένει ίδιο .
 Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ορίζει το Γνώμονα ως το σχήμα το οποίο όταν προστεθεί σε
οποιοδήποτε άλλο σχήμα διατηρείται η ομοιότητα του δεύτερου σχήματος.

Ἔστω εὐθεῖα ΑΒ, Γ μέσον αὐτῆς, καὶ Δ τυχαῖο σημεῖο. Τότε τὸ
ὀρθογώνιο παραλληλόγραμμο τὸ περιεχόμενο μεταξὺ τῶν ΑΔ καὶ ΔΒ
καὶ τὸ τετράγωνο πλευρᾶς ΓΔ, ἔχουν ἄθροισμα ἴσο μὲ τὸ τετράγωνο
πλευρᾶς ΓΒ.
Κατασκευή
Κατασκευάζει τὸ τετράγωνο ΓΕΖΒ καὶ φέρει τὴ διαγώνιο ΒΕ. Ἀπό τὸ Δ
φέρει τὴ ΔΗ παράλληλη πρὸς τὶς ΓΕ καὶ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τὸ Α τὴν ΑΚ
παράλληλη πρὸς τὶς ΓΛ καὶ ΒΜ.

Δεῖξις
Τὸ παραλληλόγραμμο ΓΘ=ΖΘ, ἄρα τὸ παραλληλόγραμμο ΓΜ=ΔΖ, ἐπειδὴ
τὸ τετράγωνο ΔΜ εἶναι κοινό. Ἐπίσης τὸ ΑΛ=ΓΜ, ἄρα ΑΛ=ΔΖ, καὶ ἀφοῦ
ΓΘ κοινό, ἄρα τὸ ΑΘ εἶναι ἴσο μὲ τὸν γνώμωνα ΙΡΝ.
Ὁπότε τὸ ΑΘ σὺν τὸ τετράγωνο ΛΗ θὰ εἶναι ἴσο μὲ τὸ τετράγωνο ΓΖ.
Ἀλλὰ τὸ ὀρθογώνιο ΑΘ περιέχεται μεταξὺ τῶν ΑΔ, ΔΒ, καὶ τὸ τετράγωνο
ΛΗ εἶναι τὸ ἴδιο μὲ τὸ τετράγωνο πλευρᾶς ΓΔ, καὶ τὸ τετράγωνο ΓΖ εἶναι
τὸ ἴδιο μὲ αὐτὸ ποὺ ἔχει πλευρὰ ΓΒ.
Ἄρα τὸ ὀρθογώνιο ποὺ περιέχεται μεταξὺ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄν προστεθεῖ μὲ
τὸ τετράγωνο πλευρᾶς ΓΔ δίνουν τὸ τετράγωνο μὲ πλευρὰ τὴ ΓΒ.

http://anemi.lib.uoc.gr/search (Χάλκου Μαρία)
΄΄ Η διδασκαλία των Μαθηματικών στην Ελλάδα κατά τα
τελευταία χρόνια της Τουρκοκρατίας σύμφωνα με τον κώδικα
72 του 18ου αι. της Βιβλιοθήκης της Δημητσάνας / Εισαγωγή,
έκδοση και σχόλια ΄΄

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ

8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελληνισμό

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to 8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελληνισμό

More from Dr. Maria D. Chalkou

8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελληνισμό