http://e-taksh.blogspot.gr/2015/05/7-41-44.html Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 7ης ενότητας, κεφ. 41-44

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά Ε΄
΄΄ Επανάληψη 7ης
Ενότητας, κεφ. 41 – 44΄΄
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Παρουσιάσεις
 Επαναληπτικά
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

2. Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2

3. Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3

4. Η γωνία
 Η γωνία σχηματίζεται από ένα σημείο το οποίο
ονομάζεται κορυφή και δυο ευθείες οι οποίες
ονομάζονται πλευρές.

πλευρά
κορυφή
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

5. Ονομασία γωνιών
 Για να ονομάσουμε μια γωνία γράφουμε ένα κεφαλαίο
γράμμα δίπλα στην κορυφή της, με ένα σχήμα γωνίας
από πάνω.
(πχ Â, ή ΒÂΓ ή χÂψ)

χ
ψΑ

Α
Β
ΓχÂψ
ΒÂΓ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

6. Μονάδα μέτρησης γωνίας
 Μετρώ μια γωνία, σημαίνει ότι υπολογίζω το άνοιγμά
της.
 Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι
η μοίρα (1ο ).
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.6

7. Το μοιρογνωμόνιο
 Το όργανο το οποίο χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε
ή για να κατασκευάσουμε μια γωνία, λέγεται
μοιρογνωμόνιο.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

8. Είδη γωνιών
 Η γωνία η οποία έχει άνοιγμα 90ο λέγεται ορθή.
 Αν η γωνία είναι μικρότερη από 90ο λέγεται οξεία.
 Η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 90ο λέγεται
αμβλεία.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

9. Είδη γωνιών
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.9

10. Είδη γωνιών
Γιάννης Φερεντίνος
ορθή γωνία οξεία γωνία αμβλεία γωνία
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.10

11. zeleni
Είδη γωνιών
 Η γωνία σχηματίζεται από ένα σημείο το οποίο ονομάζεται
κορυφή και δύο ευθείες οι οποίες ονομάζονται πλευρές.
Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η κορυφή είναι η Ο και οι πλευρές είναι οι ΟΑ και ΟΒ.
 Μπορούμε να ονομάσουμε μια γωνία με τρεις τρόπους:
 Με τρία κεφαλαία γράμματα, από τα οποία το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση.
 
Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η γωνία ονομάζεται ΑΟΒ ή ΒΟΑ.

 Με το γράμμα της κορυφής. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η γωνία ονομάζεται Λ.

 Με ένα μικρό γράμμα. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η γωνία ονομάζεται α.
 Μετρώ μια γωνία σημαίνει ότι υπολογίζω το άνοιγμα της.
 Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η μοίρα (1°).
 Το όργανο το οποίο χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε μια γωνία ή για να
κατασκευάσουμε μια γωνία, λέγεται μοιρογνωμόνιο.
 Η γωνία η οποία έχει άνοιγμα 90° λέγεται ορθή. Αν μια γωνία είναι μικρότερη από 90°
λέγεται οξεία, ενώ αν είναι μεγαλύτερη από 90°λέγεται αμβλεία.
Μάθε για τα τρίγωνα
Τι είναι τρίγωνο;
Τρίγωνο είναι το πολύγωνο
που έχει τρεις πλευρές και
τρεις γωνίες.
Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ,
ΒΓ, και ΓΑ με την επιφάνεια
που περικλείουν αποτελούν
το τρίγωνο ΑΒΓ.
Στοιχεία τριγώνου
Τα κύρια στοιχεία του 1. Πλευρές: ΑΒ, ΒΓ, και ΓΑ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.11

12. zeleni
τριγώνου ΑΒΓ είναι: 2. Γωνίες: Α, Β, και Γ
Ύψος και βάση τριγώνου
Από την κορυφή Γ φέρνουμε
κάθετο στην πλευρά ΑΒ.
Αυτή τέμνει την ΑΒ στο
σημείο Δ.
Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ
είναι το ύψος του τριγώνου
και η πλευρά ΑΒ η βάση του.
Ύψη τριγώνου
Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε
να φέρουμε τρία ύψη από
τις τρεις κορυφές.
Αν χαράξουμε τα τρία ύψη
(ΑΕ, ΒΖ, ΓΔ) του τριγώνου
ΑΒΓ παρατηρούμε ότι
τέμνονται στο σημείο Ο.
Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες
Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με το είδος των γωνιών τους:
 Αν όλες οι γωνίες ενός τριγώνου είναι οξείες, τότε το τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο.
 Αν ένα τρίγωνο έχει μία ορθή γωνία, λέγεται ορθογώνιο.
 Αν ένα τρίγωνο έχει μία αμβλεία γωνία, λέγεται αμβλυγώνιο.
Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των τριών γωνιών του είναι πάντοτε 180°.
Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Το τρίγωνο ΔΕΖ έχει Το τρίγωνο ΗΘΙ έχει
τρεις γωνίες οξείες μια γωνία αμβλεία μια γωνία ορθή.
Είναι οξυγώνιο. Είναι αμβλυγώνιο. Είναι ορθογώνιο
Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές
Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με τις πλευρές τους:
 Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο.
 Αν δύο μόνο από τις πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο λέγεται ισοσκελές.
 Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι διαφορετικές μεταξύ τους, τότε το τρίγωνο
λέγεται σκαληνό.
Τα τρίγωνα μπορούμε να τα χαρακτηρίσουμε και ως προς τις πλευρές τους
και ως προς τις γωνίες τους.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

13. zeleni
Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες.
Στο ισοσκελές τρίγωνο δύο από τις γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες.
Το τρίγωνο ΚΛΜ έχει Το τρίγωνο ΝΞΟ έχει Το τρίγωνο ΠΡΣ έχει
τρεις άνισες πλευρές. δύο πλευρές ίσες. τρεις πλευρές ίσες
Είναι σκαληνό Είναι ισοσκελές. Είναι ισόπλευρο
κι άλλα τρίγωνα
Τα ισόπλευρα τρίγωνα έχουν όλες τις
γωνίες τους ίσες με 60ο
.
Τα ισοσκελή τρίγωνα απέναντι από τις ίσες
πλευρές έχουν ίσες γωνίες
Αυτό το τρίγωνο είναι
ορθογώνιο και ισοσκελές
Αυτό το τρίγωνο είναι
αμβλυγώνιο και ισοσκελές
Καθετότητα
 Δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται και σχηματίζουν γωνίες 90° λέγονται κάθετες. Μπο-
ρούμε να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες χρησιμοποιώντας την ορθή γωνία του γνώμονα.
 Από ένα σημείο μπορούμε να χαράξουμε κάθετη προς μια ευθεία, χρησιμοποιώντας την
ορθή γωνία του γνώμονα. Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα το οποίο προκύπτει είναι η
συντομότερη διαδρομή από το σημείο προς την ευθεία και ονομάζεται απόσταση.
Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ξεκινάει από μια κορυφή τριγώνου και καταλήγει στην
απέναντι πλευρά του τριγώνου, ονομάζεται ύψος του τριγώνου. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.13

14. zeleni
Παράδειγμα:
Πώς από ένα σημείο μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία η οποία να είναι κάθετη σε μια άλλη
ευθεία;
• Σχεδιάζουμε μια ευθεία, π.χ. την (ε), και σημειώνουμε
ένα σημείο το οποίο δεν βρίσκεται πάνω σε αυτήν, π.χ. το σημείο Α.
• Τοποθετούμε τον γνώμονά, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να βρίσκεται πάνω στην ευθεία
(ε) και η άλλη κάθετη πλευρά να διέρχεται από το σημείο Α.
• Προεκτείνουμε την κάθετη πλευρά του γνώμονα που διέρχεται από το σημείο Α προς τα πάνω
και προς τα κάτω.Έτσι προκύπτει η ευθεία (ε') που είναι κάθετη στην ευθεία (ε).
Συμμετρία
Όταν ένα σχήμα μπορεί να χωριστεί με μια ευθεία γραμμή σε δύο τμήματα, έτσι ώστε αν
διπλώσουμε το χαρτί κατά μήκος αυτής της ευθείας γραμμής, το ένα τμήμα του σχήματος να
συμπίπτει με το άλλο, τότε το σχήμα αυτό είναι συμμετρικό ως προς άξονα συμμετρίας, ενώ η
ευθεία γραμμή η οποία χωρίζει το σχήμα στα δύο ονομάζεται άξονας συμμετρίας. Ένα σχήμα
μπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συμμετρίας
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.14

15. www.akida.info
Τι είναι η γωνιά;
• Γωνιά είναι το άνοιγμα μεταξύ δυο
πλευρών που ενώνονται σε μια κορυφή
και, μετριέται σε μοίρες.
α
α = 30°
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.15

16. Πού υπάρχουν γωνιές;
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.16

17. Είδη γωνιών
Οξεία γωνία Αμβλεία γωνία
Ορθή γωνίαΕπιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.17

18. Γεωμετρικό όργανο – Μονάδα
μέτρησης
• Με το μοιρογνωμόνιο
• μοίρα + γνώμων > γιγνώσκω
• μοίρα = η μονάδα μέτρησης της γωνιάς
Δες σελ.101
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.18

19. Τι θα μάθουμε σήμερα
• Πώς χρησιμοποιούμε σωστά το
μοιρογνωμόνιό μας για να μετρήσουμε μια
γωνιά;
• Από τι εξαρτάται το μέγεθος μιας γωνιάς;
• Επαγγέλματα που έχουν σχέση με τη
μέτρηση γωνιών
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.19

20. Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.20

21. ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Ο αρχιτέκτονας ενός σπιτιού πρέπει να δώσει οδηγίες στον κτίστη για το
κόψιμο και την τοποθέτηση των κεραμικών του πλακόστρωτου και της πισίνας,
στον κεραμιδά για το κόψιμο και την τοποθέτηση των κεραμιδιών και στον
πελεκάνο για το σχέδιο και την κατασκευή της εξώπορτας. Για να μπορέσει να
δώσει ακριβείς οδηγίες, χρειάζεται να καταγράψει το μέγεθος των γωνιών που
σχηματίζονται στο πλακόστρωτο, στην πισίνα, στη στέγη και στην εξώπορτα.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.21

22. Όνομα γωνιάς Μέγεθος (σε μοίρες) Είδος (οξεία, ορθή, αμβλεία)
Α

Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.22

23. Όνομα γωνιάς Μέγεθος (σε μοίρες) Είδος (οξεία, ορθή, αμβλεία)
Α

Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.23

24. Πώς χρησιμοποιούμε σωστά το
μοιρογνωμόνιό μας;
• Το μοιρογνωμόνιο «κάθεται» πάνω στη
μια πλευρά της γωνιάς.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.24

25. Πώς χρησιμοποιούμε σωστά το
μοιρογνωμόνιό μας;
• Προσοχή στις ενδείξεις!!!!! (Δεν έχει σημασία το πλαστικό
του μοιρογνωμονίου, αλλά η γραμμή του αριθμού μηδέν !!!!!)
Το κέντρο του μοιρογνωμονίου πρέπει να
είναι στην κορυφή της γωνιάς!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.25

26. Πώς χρησιμοποιούμε σωστά το
μοιρογνωμόνιό μας;
• Ποια από τις δύο ενδείξεις
χρησιμοποιούμε; (π.χ. το 45° ή το 135°)
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.26

27. Έχω πάντα στο μυαλό ότι…
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
από…
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
από …
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
ΜΟΝΟ από …
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.27

28. Έχω πάντα στο μυαλό ότι…
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
από το μήκος των πλευρών της
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
από το μέγεθος του μοιρογνωμονίου
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
ΜΟΝΟ από το ΑΝΟΙΓΜΑ μεταξύ των
πλευρών!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.28

29. Για το σπίτι
• Βιβλίο, σελ.103
• Συζητώ και μαθαίνω για επαγγέλματα που
χρειάζονται μέτρηση γωνιών
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.29

30. 08/03/11
Σκάρπα Ηλέκτρα
ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ:
Οι γωνίες είναι:
Ορθή γωνία Οξεία γωνία Αμβλεία γωνία
= 90 ο
< 90 ο
> 90 ο
Ευθεία γωνία Πλήρης γωνία
= 180 ο
= 360 ο
Πώς ονομάζουμε μία γωνία:
Όλες οι γωνίες ονομάζονται με τρία γράμματα. Τα γράμματα είναι πάντοτε
κεφαλαία και ελληνικά π.χ. γωνία ΑΒΓ. Όταν ονομάζουμε μία γωνία,
προσέχουμε το γράμμα που βρίσκεται στο σημείο που σχηματίζεται η γωνία να
βρίσκεται πάντοτε στη μέση π.χ.
Α
γωνία ΑΒΓ (όχι γωνία ΒΑΓ ή ΒΓΑ)
Β Γ
Πώς συμβολίζουμε μια γωνία:
Για να συμβολίσουμε μια γωνία βάζουμε πάνω από το μεσαίο γράμμα του
ονόματός της το σύμβολο  Έτσι όταν π.χ. βλέπουμε ΑΒΓ διαβάζουμε γωνία
ΑΒΓ.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.30

31. Σκάρπα Ηλέκτρα
Πώς καταλαβαίνουμε ότι μία γωνία είναι οξεία ή αμβλεία;
Για να καταλάβουμε αν μια γωνία είναι οξεία ή αμβλεία θα πρέπει να τη
συγκρίνουμε με την ορθή γωνία. Έτσι, πάνω στη γωνία που μας δίνεται
σχεδιάζουμε την ορθή γωνία και βλέπουμε, αν η γωνία που μας δίνεται είναι
μεγαλύτερη από την ορθή γωνία τότε η γωνία μας είναι αμβλεία, αν η γωνία
που μας δίνεται είναι μικρότερη από την ορθή γωνία τότε η γωνία μας είναι
οξεία π.χ.
Οξεία γωνία Αμβλεία γωνία
Πώς συγκρίνουμε δύο γωνίες;
Έχουμε τη γωνία ΑΒΓ και τη γωνία ΔΕΖ και θέλουμε να δούμε ποια είναι η
μεγαλύτερη. Παίρνω τη γωνία ΑΒΓ και την τοποθετώ ακριβώς πάνω στη
γωνία ΔΕΖ προσέχοντας η πλευρά ΒΓ να πατάει πάνω στην πλευρά ΕΖ.
κάνοντας τις δύο γωνίες μία, βλέπω ποια είναι τελικά η μεγαλύτερη π.χ.
Επομένως, η γωνία ΑΒΓ είναι μικρότερη από τη γωνία ΔΕΖ (ΑΒΓ > ΔΕΖ)
Προσοχή! Το πόσο μεγάλη ή μικρή είναι μια γωνία δεν εξαρτάται από το πόσο
μεγάλες είναι οι πλευρές της π.χ.
Δεν μας ενδιαφέρει που η πρώτη γωνία έχει πιο μεγάλες πλευρές από τη
δεύτερη. Και οι δύο γωνίες είναι ίσες γιατί είναι ορθές.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.31

32. Σχεδιάζω γωνίες
Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.32

33. Σχεδιάζω γωνίες
• Χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο και με τη
βοήθεια του χάρακα, μπορούμε να
σχεδιάσουμε γωνίες οποιουδήποτε μεγέθους
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.33

34. Σχεδιάζω μια γωνία 130ο
• Με το χάρακα χαράζω μια ημιευθεία Αχ
Α χ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

35. Σχεδιάζω μια γωνία 130ο
• Βάζω το μοιρογνωμόνιο έτσι που το κέντρο του να
είναι στο Α και η Αχ να περνάει από το 0 (0 μοίρες).
• Βρίσκω το σημείο που πρέπει στις 130 μοίρες του
μοιρογνωμονίου –πάντα με αρχή το 0- και το
σημειώνω.
Α χ0
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.35

36. Σχεδιάζω μια γωνία 130ο
• Με το χάρακα χαράζω την ημιευθεία Αψ.
Η γωνία που σχηματίστηκε είναι 130ο .
Α
Χ
ψ
130ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.36

37. Κατασκευή γωνιών, άθροισμα και
διαφορά γωνιών
• Μπορούμε να προσθέσουμε ή να
αφαιρέσουμε γωνίες με δυο τρόπους
αριθμητικά ή γεωμετρικά.
• Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε
γωνίες αριθμητικά, αρκεί να προσθέσουμε ή
αφαιρέσουμε τα μεγέθη των γωνιών.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.37

38. Κατασκευή γωνιών, άθροισμα και
διαφορά γωνιών
• Για να προσθέσουμε γωνίες γεωμετρικά , πρέπει
να τις τοποθετήσουμε τη μια δίπλα στην άλλη
και να μετρήσουμε το συνολικό μέγεθος.
25ο + 65ο = 90ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.38

39. Κατασκευή γωνιών, άθροισμα και
διαφορά γωνιών
• Για να αφαιρέσουμε γωνίες γεωμετρικά, πρέπει
να τις τοποθετήσουμε τη μια επάνω στην άλλη
και να μετρήσουμε τη διαφορά τους.
AOC = 60ο
ΒΟC = 25Ο
ΑΟΒ = 60Ο - 25Ο = 35Ο
Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.39

40. Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.40

41. Ως προς τις γωνίες
 Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με το είδος
των γωνιών τους:
Οξυγώνιο τρίγωνο
Ορθογώνιο τρίγωνο
Αμβλυγώνιο τρίγωνο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.41

42. Ως προς τις γωνίες
Αν όλες οι γωνίες του τριγώνου είναι οξείες (<90ο )
τότε το τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.42

43. Ως προς τις γωνίες
Αν ένα τρίγωνο έχει μια ορθή γωνία ( 90ο ) και δυο
οξείες, λέγεται ορθογώνιο.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.43

44. Ως προς τις γωνίες
Αν ένα τρίγωνο έχει μια αμβλεία γωνία (> 90ο ) και δυο
οξείες, λέγεται αμβλυγώνιο.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.44

45. Ως προς τις γωνίες
 Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των τριών γωνιών του
είναι πάντοτε 180ο .
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.45

46. Ως προς τις πλευρές
 Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με τις πλευρές
τους:
Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισοσκελές τρίγωνο
Σκαληνό τρίγωνο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.46

47. Ως προς τις πλευρές
Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το
τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο.
Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι μεταξύ
τους ίσες (60ο η καθεμιά).
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.47

48. Ως προς τις πλευρές
Αν δυο μόνο πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, τότε το
τρίγωνο λέγεται ισοσκελές.
Στο ισοσκελές τρίγωνο δυο από τις γωνίες του – αυτές
που εφάπτονται στην τρίτη και διαφορετική πλευρά -
είναι ίσες μεταξύ τους.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.48

49. Ως προς τις πλευρές
Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι διαφορετικές
μεταξύ τους, τότε το τρίγωνο λέγεται σκαληνό.
Όλες οι γωνίες ενός σκαληνού τριγώνου είναι άνισες
μεταξύ τους.
Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.49

50. ΜΑΜΑΛΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ
Διάκριση τριγώνων ως προς τις πλευρές τους
Α
Β Γ
Δ
Ε Ζ
Κ
Λ Μ
Ασκήσεις
1. Να αντιστοιχήσεις αυτά που ταιριάζουν :
Σκαληνό τρίγωνο ■ ■ το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες
■ το τρίγωνο που έχει δύο γωνίες ίσες
Ισοσκελές τρίγωνο ■ ■ το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές άνισες
■ το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες ίσες
Ισόπλευρο τρίγωνο ■ ■ το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες άνισες
■ το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες
Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες μεταξύ τους.
Επίσης έχει και τις τρεις γωνίες του άνισες μεταξύ τους.
Είναι ένα σκαληνό τρίγωνο .
Το τρίγωνο ΔΕΖ έχει τις δύο πλευρές του ίσες, ΔΕ = ΔΖ.
Είναι ισοσκελές τρίγωνο.
Το ισοσκελές τρίγωνο ΔΕΖ έχει ίσες και τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από
τις δύο ίσες πλευρές.
^ ^
Η γωνία Ζ που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά ΔΕ είναι ίση με τη γωνία Ε
που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά ΔΖ
Το τρίγωνο ΚΛΜ έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες : ΚΛ = ΚΜ = ΜΛ .
Είναι ισόπλευρο τρίγωνο.
Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες :
^ ^ ^
Κ = Λ = Μ = 60˚
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.50

51. ΜΑΜΑΛΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ
2. Χρησιμοποιώντας το χάρακά σου να πει τι είδους είναι τα παρακάτω τρίγωνα
( σκαληνά, ισοσκελή, ισόπλευρα )
Τώρα μέτρησε και τις γωνίες για να είσαι ακόμα πιο σίγουρος – σίγουρη
Επανάληψη στα είδη τριγώνων ως τις γωνίες τους
1. Στα παρακάτω τρίγωνα σου δίνεται μια γωνία.
Να μετρήσεις μόνο μια και να υπολογίσεις την άλλη.
Να πεις τι είδους τρίγωνο είναι ως προς τις γωνίες του ( οξυγώνιο, αμβλυγώνιο, ορθογώνιο )
Παράδειγμα
^
Έχεις το τρίγωνο Γνωρίζεις ότι Β = 80ο
^
Μετρώ την Γ και βρίσκω ότι είναι 50ο
^
Άρα η Α είναι 180 – ( 80 + 50 ) = 180 – 130 = 50ο
Επομένως το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
Έχεις το τρίγωνο ΚΜΛ Έχεις το τρίγωνο ΠΡΣ
^
Γνωρίζεις ότι Μ = 30ο
^
Μετρώ την Λ και βρίσκω ότι είναι …….ο
^
Άρα η Κ είναι 180 – ( …. + … ) = 180 – …. = ….ο
Επομένως το τρίγωνο είναι ………………
Είναι __________
γιατί ..........................
………………………………....
Είναι __________
γιατί ..........................
………………………………....
Είναι __________
γιατί ..........................
………………………………....
Α
Β Γ
Μ
Κ
Λ
Π Ρ
Σ
^
Γνωρίζεις ότι Π = 35ο
^
Μετρώ την Ρ και βρίσκω ότι είναι …….ο
^
Άρα η Σ είναι 180 – ( …. + … ) = 180 – …. = ….ο
Επομένως το τρίγωνο είναι ………………
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.51

52. ΤΡΙΓ ΝΑΤΡΙΓ ΝΑ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.52
www.edc.uoc.gr

53. 1. Ορίζουµε τρία
σηµεία Α, Β, ΓΑ, Β, Γ
πάνω στο επίπεδο
Γ
ΑΑ11 Το τρίγωνοΤο τρίγωνο
2. Ενώνουµε τα
σηµεία Α, Β, ΓΑ, Β, Γ
3. ΧρωµατίζουµεΧρωµατίζουµε το
εσωτερικό του
σχήµατος που
προκύπτει
Α Β
Το σχήµα που
προκύπτει είναι το
τρίγωνο ΑΒΓΑΒΓ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.53

54. Γ
ΑΑ22 Στοιχεία τριγώνουΣτοιχεία τριγώνου
Τα κύρια στοιχεία του
τριγώνου ΑΒΓΑΒΓ είναι:
Α Β
• Οι τρεις πλευρές
ΑΒΑΒ, ΒΓΒΓ και ΓΑΓΑ
• Οι τρεις γωνίες
Α, ΒΑ, Β και ΓΓ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.54

55. ΑΑ33 Ύψος τριγώνουΎψος τριγώνου
Γ
Φέρνουµε κάθετο από
την κορυφή ΓΓ στην
πλευρά ΑΒΑΒ
Το ευθύγραµµο τµήµα
ΓΓ είναι το ύψοςύψος του
Γ
Α Β
ΓΓ είναι το ύψοςύψος του
τριγώνου
Η πλευρά ΑΒΑΒ είναι η
βάσηβάση του τριγώνου
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.55

56. ΑΑ44 Ύψη τριγώνουΎψη τριγώνου
Χρησιµοποιώντας το
τρίγωνό µας ας
προσπαθήσουµε να
χαράξουµε τα τρία ύψητρία ύψη
του τριγώνου ΑΒΓΑΒΓ.
Γ
Ε
Όλα τα ύψη
περνούν από το
σηµείο ΟΟ
του τριγώνου ΑΒΓΑΒΓ.
Α Β
ΖΟΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.56

57. ΑΑ
ΓΓ
ΒΒ
Β.Β. Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες τουςΕίδη τριγώνων ως προς τις γωνίες τους
50ο
60ο
70ο
ΕΕ
ΖΖ
ΗΗ
ΙΙ
ΘΘ
30ο
45ο105ο
90ο
40ο
50ο
Το τρίγωνο ΑΒΓΑΒΓ είναι
οξυγώνιοοξυγώνιο, γιατί έχει
όλες τις γωνίες οξείεςοξείες
Το τρίγωνο ΕΖΕΖ είναι
αµβλυγώνιοαµβλυγώνιο, γιατί έχει
µια γωνία αµβλείααµβλεία
Το τρίγωνο ΗΘΙΗΘΙ είναι
ορθογώνιοορθογώνιο, γιατί έχει
µια γωνία ορθήορθή
Το άθροισµα των γωνιών κάθε
τριγώνου είναι 180180οο
50ο+70ο+60ο=180180ο 105ο+45ο+30ο=180180ο 90ο+50ο+40ο=180180ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.57

58. ΓΓ11 Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τουςΕίδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τους
ΓΓ
ΖΖ
ΙΙ
ΑΑ ΒΒ ΕΕ ΗΗ ΘΘ
5 εκ.5 εκ.6 εκ.
Το τρίγωνο ΑΒΓΑΒΓ
είναι σκαληνόσκαληνό, γιατί
έχει όλες τις πλευρές
του άνισεςάνισες
Το τρίγωνο ΕΖΕΖ
είναι ισοσκελέςισοσκελές,
γιατί έχει δύο
πλευρές ίσεςίσες
Το τρίγωνο ΗΘΙΗΘΙ
είναι ισόπλευροισόπλευρο,
γιατί έχει όλες τις
πλευρές του ίσεςίσες
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.58

59. ΓΓ22 Περίµετρος τριγώνωνΠερίµετρος τριγώνων
ΖΖ
ΙΙΓΓ
ΕΕ ΗΗ ΘΘ
5 εκ.5 εκ.6 εκ.
ΑΑ ΒΒ
Περίµετρος του ΑΒΓΑΒΓ Περίµετρος του ΕΖΕΖ Περίµετρος του ΗΘΙΗΘΙ
Το άθροισµα των µηκών των πλευρών
ενός τριγώνου λέγεται περίµετροςπερίµετρος
6 + 6,5 + 5,4 =19,9 εκ.19,9 εκ. 5 + 6,5 + 6,5 = 18 εκ.18 εκ. 5 + 5 + 5 = 15 εκ.15 εκ.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.59

60. Γ3Γ3 Σύγκριση γωνιών των τριγώνωνΣύγκριση γωνιών των τριγώνων
ΓΓ
ΖΖ
ΙΙ
6060οο
6060οο 6060οο
40ο
7700οο 7700οο
60ο
70ο 50ο
Όλες οι γωνίες
είναι άνισεςάνισες
Οι γωνίες απέναντι από τις
ίσες πλευρές είναι ίσεςίσες
Όλες οι γωνίες
είναι ίσεςίσες
ΑΑ ΒΒ
σκαληνόσκαληνό
ΕΕ
ισοσκελέςισοσκελές
ΗΗ ΘΘ
ισόπλευροισόπλευρο
6060οο 6060οο
7700οο 7700οο
70ο 50ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.60

61. 1η Κατασκευή1η Κατασκευή
Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο έχειΝα κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο έχει ΑΒ = 5ΑΒ = 5
εκ.εκ.,, ΑΓ = 3 εκ.ΑΓ = 3 εκ. καικαι Â = 70Â = 70οο ..
3 εκ.
Γ
3. Μετράµε την
ΑΓ = 3 εκ.= 3 εκ. 4. Ενώνουµε τα
σηµεία Γ και Β
11 Κατασκευές τριγώνωνΚατασκευές τριγώνων
Α 70ο
3 εκ.
5 εκ.
Β
2. Μετράµε την
ΑΒ = 5 εκ.= 5 εκ.
σηµεία Γ και Β
1. Κατασκευάζουµε
την  = 70ο = 70ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.61

62. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίοΝα κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο
έχειέχει ΑΒ = 5 εκ.ΑΒ = 5 εκ.,, AA = 70= 70οο καικαι BB = 40= 40οο ..
3. Κατασκευάζουµε
4. Στο σηµείο που
τέµνονται οι ηµιευθείες
Γ
2η Κατασκευή2η Κατασκευή22 Κατασκευές τριγώνωνΚατασκευές τριγώνων
70ο
Α 5 εκ. Β
1. Χαράζουµε το
ΑΒ = 5 εκ.= 5 εκ.
3. Κατασκευάζουµε
την Β = 40Β = 40οο
2. Κατασκευάζουµε
την Â = 70Â = 70οο
40ο
τέµνονται οι ηµιευθείες
σηµειώνουµε την
κορυφή Γ
40ο70ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.62

63. ΤΡΙΓΩΝΑ
ΚΑΛΩΣ ΗΡΘΑΤΕ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΜΑΣ!
Κόμπου Κατερίνα
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.63

64. ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΥΛΗ
ΤΗΣ Ε! ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
ΣΧΟΛΕΙΟΥ
ΤΡΙΓΩΝΑ
Υπεύθυνος καθηγητής:Παναγιώτης Καλαγιάκος
Από την εκπαιδευτικό:
Κόμπου Αικατερίνη
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.64

65. ΑΣΚΗ
ΣΕΙΣ
ΑΛΛΑ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ
ΤΟ ΥΨΟΣ
Η ΒΑΣΗ
ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
ΟΙ 3 ΠΛΕΥΡΕΣ
ΟΙ 3 ΓΩΝΙΕΣ
ΤΡΙΓΩΝΑ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.65

66. Η ΒΑΣΗ
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ το ονομάζουμε βάση του τριγώνου.
Κάθε πλευρά του τριγώνου μπορεί να γίνει και βάση του.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.66

67. Τι είναι τρίγωνο;
Τρίγωνο είναι το πολύγωνο που έχει τρεις πλευρές και τρεις γωνίες.
Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, και ΓΑ με την επιφάνεια που
περικλείουν αποτελούν το τρίγωνο ΑΒΓ.
Α
Β
Γ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.67

68. ΟΞΥΓΩΝΙΑ
ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΑ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ
ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ
ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ
ΤΟΥΣ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.68

69. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΛΕΓΕΤΑΙ ΚΑΘΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΟΥ ΕΧΕΙ
1 ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
ΓΑ
Β
90˚ 40˚
50˚
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.69

70. ΟΞΥΓΩΝΙΟ
ΕΧΕΙ 3 ΓΩΝΙΕΣ
ΟΞΕΙΕΣ
80˚
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.70

71. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΟΥ ΕΧΕΙ 1 ΑΜΒΛΕΙΑ ΓΩΝΙΑ
ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ
ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ
Α
Β
Γ
100˚
35˚45˚
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.71

72. ΙΣΟΠΛΕΥΡ
Α
ΣΚΑΛΗΝΑ
ΙΣΟΣΚΕΛΗ
ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ
ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥΣ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.72

73. ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΟΥ ΕΧΕΙ 3
ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ
Α
Γ
5εκ.
5εκ 5εκ.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.73

74. ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΟΥ ΕΧΕΙ 2
ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.74

75. ΣΚΑΛΗΝΟ
ΟΤΑΝ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΛΕΥΡΕΣ
ΕΙΝΑΙ ΑΝΙΣΕΣ
Α Β
Γ
6εκ.
4,5εκ.
5,7εκ.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.75

76. ΤΟ ΥΨΟΣ
Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ
είναι το ύψος του
τριγώνου. Κάθε τρίγωνο
έχει 3 ύψη.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.76

77. ΤΟ ΥΨΟΣ 2
Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε να
φέρουμε τρία ύψη από τις
τρεις κορυφές. Αν χαράξουμε
τα τρία ύψη (ΑΕ, ΒΖ, ΓΔ)
του τριγώνου ΑΒΓ
παρατηρούμε ότι τέμνονται
στο σημείο Ο.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.77

78. ΘΥΜΑΜΑΙ ΠΩΣ
 Α+Β+Γ = 50ο+60ο+70ο = 180˚
 Δ+Ε+Ζ = 30ο+50ο+100ο =180˚
 Η+Θ+Ι = 90ο+40ο+50ο = 180˚
 Το άθροισμα των γωνιών
ενός τριγώνου είναι 180˚
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.78

79. ΒΡΕΣ ΤΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΕΙΝΑΙ
4,5εκ
.
Β
8εκ.
Γ
Α
8εκ. ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΣΚΑΛΗΝΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.79

80. Τι είναι;
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.80

81. ΔΙΑΛΕΞΕ ΤΟ ΣΩΣΤΟ !
Τι είδος είναι το τρίγωνο που έχει γωνίες:
Α=95ο, Β=35ο, Γ=50ο
ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ
ΟΞΥΓΩΝΙΟ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.81

82. Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.82

83. Θα το βρεις και αυτό;
Α Γ
Β
90 40
50
ΣΚΑΛΗΝΟ
ΟΞΥΓΩΝΙΟ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.83

84. ΓΙΑ ΠΡΟΣΠΑΘΗΣΕ!
Α Β
Γ
6εκ.
4,5εκ.
5,7εκ.
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΣΚΑΛΗΝΟ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.84

85. ΑΥΤΟ ΤΟ ΓΝΩΡΙΖΕΙΣ;
 Τι είδος είναι το τρίγωνο που έχει πλευρές:
 AB=15εκ.
 ΒΓ=15εκ.
 ΓΑ=15εκ.
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
ΣΚΑΛΗΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.85

86. ΒΡΕΣ ΤΗ ΒΑΣΗ
ΟΞ
ΝΞ
ΝΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.86

87. ΘΑ ΚΑΝΕΙΣ ΤΟ ΙΔΙΟ ΚΑΙ ΜΕ ΤΟ
ΥΨΟΣ;
Β
8εκ.
Γ
Α
8εκ.
Δ
4,5εκ
ΑΓ
ΑΔ
ΔΒ
ΓΔ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.87

88. ΜΑΝΤΕΨΕ !
Ποιο είναι το μέτρο
της γωνίας Ẑ;
Δ
Ε
5εκ.
5εκ 5εκ.
Ζ
5εκ.5εκ.
60˚ ;
60˚
110
85
60
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.88

89. ΛΙΓΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΠΑΝΩ !
Τι είδος είναι το τρίγωνο που έχει γωνίες:
A=145˚ Β=20˚ Γ=15˚
ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
ΟΞΥΓΩΝΙΟ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.89

90. ΕΚΠΛΗΞΗ!!!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.90

91. Αντέχεις ακόμα;
Πόσο είναι το άθροισμα
των γωνιών του
τριγώνου ΑΒΓ;
Α
Β
Γ
100˚
35˚45˚
160180175
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.91

92. ΜΠΡΑΒΟ ΣΟΥ !
 Αν έφτασες εδώ
σημαίνει ότι τα
πήγες πολύ καλά! Τα κατάφερες λοιπόν
και είμαι πολύ
περήφανη για σένα!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.92

93. Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.93

94. Ποιες ευθείες λέγονται κάθετες;
 Δυο ευθείες οι οποίες τέμνονται και σχηματίζουν γωνίες
90ο λέγονται κάθετες.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.94

95. Σχεδιασμός ορθής γωνίας
 Μπορούμε να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες
χρησιμοποιώντας την ορθή γωνία του γνώμονα.
90ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.95

96. Χάραξη κάθετης από σημείο
σε ευθεία
 Από ένα σημείο μπορούμε να χαράξουμε κάθετη προς
μια ευθεία, χρησιμοποιώντας την ορθή γωνία του
γνώμονα.
 Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που προκύπτει είναι η
συντομότερη διαδρομή από το σημείο προς την
ευθεία και ονομάζεται απόσταση.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.96

97. Χάραξη κάθετης από σημείο
σε ευθεία
.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.97

98. Ύψος τριγώνου
 Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει από μια
κορυφή τριγώνου και καταλήγει στην απέναντι
πλευρά του τριγώνου, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.98

99. Ύψη τριγώνου
 Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.
Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.99

100. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ
ΣΧΗΜΑΤΑ
ΤΑΝΙΑ ΤΙ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.100

101. ΚΑΝΟΝΙΚΑ
ΠΟΛΥΓΩΝΑ
• Κανονικά λέγονται
τα πολύγωνα τα
οποία έχουν όλες
τις πλευρές και
όλες τις γωνίες
ίσες!!!!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.101

102. ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ
• Διαγώνιος λέγεται η
ευθεία η οποία σε
ένα πολύγωνο
ενώνει δύο
κορυφές!!!!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.102

103. ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.103

104. ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ
• Ορθή είναι η γωνία
η οποία είναι 90
μοίρες και είναι
κάθετη σε μία
οριζόντια.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.104

105. ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ
• Οξεία λέγεται η
γωνία η οποία είναι
μικρότερη από 90
μοίρες.
• ΔΗΛ.90>
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.105

106. ΑΜΒΛΕΙΑ ΓΩΝΙΑ
• Αμβλεία είναι η
γωνία η οποία είναι
μεγαλύτερη από 90
μοίρες.
• ΔΗΛ.90<
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.106

107. ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.107

108. ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
• Ισόπλευρο λέγεται
ένα τρίγωνο στο
οποίο όλες οι
πλευρές του είναι
ίσες.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.108

109. ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
• Ισοσκελές λέγεται
το τρίγωνο στο
οποίο 2 από τις
πλευρές του είναι
ίσες.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.109

110. ΣΚΑΛΗΝΟ
• Σκαληνό λέγεται το
τρίγωνο στο οποίο
καμία πλευρά του
δεν είναι ίση.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.110

111. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ
• Α’ ΓΩΝΙΑ=60 ΜΟΙΡΕΣ
• Β’ ΓΩΝΙΑ=40 ΜΟΙΡΕΣ
• Γ’ ΓΩΝΙΑ=Χ;
• 60+40+Χ=180
• 100+Χ=180
• Χ=180-100
• Χ=80 μοίρες
• Η γ’ γωνία είναι 80 μοίρες
και το τρίγωνο είναι σκαληνό
επειδή καμία από τις
πλευρές του δεν είναι ίση με
κάποια άλλη!!
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.111

112. Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.112

113. Ιωακειμίδης Παύλος
ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΥΡΟΔΕΝΔΡΙΟΥ Ε` ΤΑΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ` ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ`` , ΚΕΦ. 41 25 / 4 / 2013
ΟΝΟΜΑ : _______________________________
Τα είδη των γωνιών είναι : η οξεία, η ορθή και η αμβλεία.
Η ορθή γωνία είναι 90 μοίρες, η οξεία γωνία είναι μικρότερη της ορθής και η αμβλεία
μεγαλύτερη της ορθής.
Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η γωνία μιας μοίρας, δηλαδή η μία από τις 90 ίσες
γωνίες στις οποίες χωρίζεται η ορθή γωνία: 1 ορθή = 90 μοίρες και
1 μοίρα = 1/90 της ορθής
Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το άνοιγμα των πλευρών της και όχι από το μήκος
των πλευρών της. Για να μετρήσουμε μία γωνία χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.113

114. Ιωακειμίδης Παύλος
(ΠΗΓΗ : http://pemptiselida.blogspot.gr/2013/03/blog-post_10.html)
1. Ελέγχω χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο ή το γνώμονα και χαρακτηρίζω τις γωνίες ,
γράφοντας ``ορθή``, ``οξεία`` , ή ``αμβλεία``.
α. ____________ β. ____________ γ. ____________
2. Συμπληρώνω τον πίνακα, αφού πρώτα χαρακτηρίσω τις γωνίες , με τη βοήθεια του
γνώμονα.
α. β. γ. δ.
ε. στ. ε. ζ.
ΟΡΘΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΟΞΕΙΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΑΜΒΛΕΙΕΣ ΓΩΝΙΕΣ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.114

115. Ιωακειμίδης Παύλος
3. Χρησιμοποιώ το μοιρογνωμόνιό μου. Πρώτα μετράω την κάθε γωνία, γράφω πόσες
μοίρες είναι και κατόπιν τη χαρακτηρίζω ως ``ορθή``, ``οξεία`` , ή ``αμβλεία``.
α
______ μοίρες
___________
β
______ μοίρες
___________
γ
______ μοίρες
___________
δ
______ μοίρες
___________
ε
______ μοίρες
___________
ζ
______ μοίρες
___________
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.115

116. Μάνος Τσιαμτσιαλής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / Ε΄ ΤΑΞΗ
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 7 (Α)
Ενότητα 7η
ΒΑΘΜΟΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ
Υπογραφή γονέα
……..….. / 50
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ................................................................................
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ................................................................................
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!
Α. Στις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λανθασμένη
1
(μον. 6) ……….
 Το μέγεθος μιας γωνίας εξαρτάται από το μήκος των πλευρών της. 
 Ένα ισοσκελές τρίγωνο μπορεί να είναι και ισόπλευρο.
 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180
ο
. 
 Από ένα σημείο μπορούμε να χαράξουμε μια μόνο ευθεία, που είναι κάθετη σε μια άλλη ευθεία.
 Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη. 
 Τα ύψη ενός αμβλυγωνίου τριγώνου τέμνονται σε σημείο μέσα στο τρίγωνο. 
Β. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: (μον. 14) ……….
Ευθύγραμμο τμήμα είναι………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
Κάθετες ονομάζουμε δύο ευθείες που………………………………………………………………………………..
Ύψος τριγώνου είναι…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Η διαγώνιος είναι…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Ποιο τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο, ποιο ισοσκελές και ποιο σκαληνό;
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Ποιο τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο, ποιο ορθογώνιο και ποιο αμβλυγώνιο;
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Για να σχηματιστεί μια γωνία χρειάζονται…………………………………………………………………………….
Γωνία είναι……………………………………………………………………………………………………………….
Τις γωνίες τις μετράμε σε ………………. Κάθε τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών…………………………………
Γ. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 70
ο
και η γωνία Β είναι 30
ο
. Πόσες μοίρες είναι η γωνία Γ; Να χαρακτηρί-
σεις το τρίγωνο ΑΒΓ με κριτήριο τις γωνίες του. (μον. 5) ……….
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1
Όλες οι ασκήσεις, εκτός από τη Β, είναι παρμένες από το βιβλίο «Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού», της Ειρήνης
Αντωνοπούλου, Φωτεινής Βαρελτζή, εκδόσεις Σαββάλας.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.116

117. Μάνος Τσιαμτσιαλής
Δ. Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ, έχει σχεδιαστεί η διαγώνιος ΑΓ.
1. Ποια τρίγωνα σχηματίζονται;
2. Πόσες μοίρες είναι οι γωνίες κάθε τριγώνου;
3. Είναι τα τρίγωνα ίδια;
4. Είναι το σχήμα συμμετρικό ως προς την ΑΓ;
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Ε. Ο Γιώργος βρήκε ότι η γωνία ω είναι μεγαλύτερη από τη γωνία φ. Να μετρήσεις πόσες μοίρες είναι κάθε
γωνία. Είχε δίκιο ο Γιώργος; Γιατί; (μον. 5) ……….
Στ. Να σχεδιάσεις ένα ισοσκελές τρίγωνο, του οποίου η μία γωνία να είναι ορθή. Πόσες μοίρες είναι οι άλλες
δύο γωνίες του τριγώνου; (μον. 5) ……….
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Ζ. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 65 εκ. Καθεμιά από τις ίσες πλευρές του τριγώνου έχει
μήκος 24 εκ. Ποιο είναι το μήκος των 2 πλευρών του τριγώνου; Ποιο είναι το μήκος της τρίτης πλευράς;
(μον. 5) ……….
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Η. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, η γωνία Γ διαφέρει από τη γωνία Α. Αν η γωνία Α είναι 30
ο
, πόσες μοίρες
είναι η γωνία Β; Πόσες μοίρες είναι η γωνία Γ; Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ με κριτήριο τις γωνίες του;
(μον. 5) ……….
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
ω= φ=
Α Β
(μον. 5)…….
Δ Γ
Α=45ο
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
…………………………
………………………….
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.117

118. ….. ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ………………… ΤΑΞΗ Ε΄
Ονοματεπώνυμο: …………………..……………… Ημερομηνία: ………………
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΗΝ 7η
ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
(Κεφάλαια: 41 – 45)
1. Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ αν η
πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λανθασμένη.
 Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο
. ……..
 Κάθετες ονομάζουμε 2 ευθείες που τέμνονται, έτσι ώστε να
σχηματίζουν γωνία 90ο
. …......
 Η αμβλεία γωνία είναι μικρότερη από 90ο
. ……..
 Σκαληνό ονομάζουμε το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του
άνισες. ……
 Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει δύο αμβλείες γωνίες. ………
 Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει δύο ορθές γωνίες. …………
2. Να μετρήσεις με το μοιρογνωμόνιο τις παρακάτω γωνίες και να
τις ονομάσεις ως προς τις γωνίες τους.
3. Να υπολογίσεις πόσες μοίρες είναι οι άγνωστες γωνίες των
τριγώνων. Στη συνέχεια να τα χαρακτηρίσεις με κριτήριο τις γωνίες τους.
4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 70ο
και η γωνία Β είναι 30ο
.
Πόσες μοίρες είναι η γωνία Γ; Να χαρακτηρίσεις το τρίγωνο ΑΒΓ με κριτήριο τις
γωνίες του.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.118

119. 5. Να μετρήσεις τα μήκη των αγνώστων πλευρών των τριγώνων. Στη συνέχεια να τα
χαρακτηρίσεις με κριτήριο τις πλευρές τους.
6. Να σχεδιάσεις με το γνώμονά σου τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα. Σε ποιο σημείο
τέμνονται;
7. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία Α είναι 50ο
και η Β είναι ίση με τη Γ. Πόσες
μοίρες είναι η Β και η Γ;
8. Α)Να βρεις την απόσταση των σημείων Α,Β,Γ,Δ,Ε από την ευθεία (η)
Β) Ποια σημεία απέχουν το ίδιο από την ευθεία (η)
Γ) Ποια σημεία πρέπει να ενώσεις για να σχηματίσεις ευθεία παράλληλη προς την (η);
Πηγή: http://users.sch.gr/xariskuts
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.119

120. 15/04/11
Σκάρπα Ηλέκτρα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΣΧΑ:
1. Στα παρακάτω τρίγωνα βρίσκω πόσες μοίρες είναι η γωνία που
λείπει:
α) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=40ο
και γωνία Β=50ο
:
_______________________________________________________
β) Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=120ο
και γωνία Β=Γ:
_______________________________________________________
γ) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=80ο
και γωνία Γ=30ο
:
_______________________________________________________
δ) Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=15ο
:
_______________________________________________________
ε) Ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=Γ:
_______________________________________________________
στ) Τρίγωνο ΑΒΓ με τρεις γωνίες ίσες:
_______________________________________________________
ζ) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=40ο
και γωνία Β τριπλάσια από τη γωνία Γ:
_______________________________________________________
η) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=35ο
και γωνία Β 20ο
μεγαλύτερη από τη γωνία Α:
_______________________________________________________
2. Στις παρακάτω γωνίες βρίσκω πόσες μοίρες είναι η γωνία που λείπει:
Αν η γωνία φ=35ο
και η ΧΟΥ=120ο
, πόσες μοίρες είναι η γωνία ω;
_______________________________________________________
Αν η γωνία φ=30ο, πόσες μοίρες είναι η γωνία ω;
_______________________________________________________
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.120

121. 15/04/11
Σκάρπα Ηλέκτρα
3. Σχεδιάζω όλα τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα:
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.121

122. Θανάσης Πρέντζας
Κριτήριο Αξιολόγησης
Τάξη: Ε΄
Ενότητα: 7η
Ονοματεπώνυμο:
Ημερομηνία:
1. Ονόμασε τις γωνίες, μέτρησέ τες και γράψε το είδος της καθεμιάς:
Ονομασία:
Μέτρο:
Είδος:
Ονομασία:
Μέτρο:
Είδος:
Ονομασία:
Μέτρο:
Είδος:
2. Χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο και με πλευρά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ
χάραξε γωνία:
α) 120
β) της ορθής
3. Άσκηση:
Να κατασκευάσεις ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά ΑΒ έχει μήκος 4 εκ., η γωνία Α = 45
και η γωνία Β = 45 :
Λύση
 Να υπολογίσεις τη γωνία Γ.
 Να χαρακτηρίσεις το τρίγωνο.
A B
Γ
ω
Δ
Α Β ΒΑ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.122

123. Θανάσης Πρέντζας
4. Υπολόγισε τα μέτρα των γωνιών, αξιολογώντας τα στοιχεία που σου δίνονται:
5. Άσκηση:
Χάραξε τα ύψη των τριγώνων και βρες το σημείο τομής τους.
Λύση
6. Άσκηση:
Βρες την περίμετρο του σχήματος:
Λύση
40°
50°
30°
ΑΒΓ = ισόπλευρο
ΑΓ = 5 εκ.
ΒΔ = 7 εκ.
ΑΒ = ΑΓ
Α
ΓΒ
Δ Ε
Ζ
Η
Θ Ι
3 εκ.
3 εκ.3 εκ.
Κ
Λ Μ
Α Β
Γ
Δ
Ε Ζ
Α
Β Γ
Δ Ε
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.123

124. Θανάσης Πρέντζας
7. Άσκηση:
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η Β=40 και οι άλλες δύο γωνίες έχουν 30 διαφορά.
Να υπολογιστούν οι άλλες γωνίες.
Λύση
8. Άσκηση:
Ένας αθλητής έτρεξε 10 γύρους γύρω από μια ισόπλευρη τριγωνική πλατεία και
διάνυσε απόσταση 2,4 χμ..Πόσα μέτρα είναι η κάθε πλευρά της πλατείας;
Λύση
40°
;
Β
Α Γ
Α
Β Γ
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.124

125. ΦΡΥΔΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε΄ ΤΑΞΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 : Γωνίες - Τρίγωνα - Συμμετρία
Γραπτή δοκιμασία τ……. μαθητ……. ………………………………………………
1. Γνωρίζω, σκέφτομαι, μετρώ και απαντώ ( χρησιμοποιώ γεωμετρικά όργανα ):
● Τι είναι μια γωνία 75ο
........................... μια γωνία 120ο
...........................
και μια γωνία 90ο
........................... ( τις ονομάζω και στη συνέχεια τις κατασκευάζω )
● Μετρώ και ονομάζω τις γωνίες:
...................
................... ...................
................... ...................
● Μετρώ και προσθέτω όλες τις γωνίες των σχημάτων:
………………………… ………………………… …………………………
● Χαρακτηρίζω τα τρίγωνα με κριτήριο τις γωνίες τους:
………………………… ………………………… …………………………
● Χαρακτηρίζω τα τρίγωνα με κριτήριο τις πλευρές τους:
………………………… ………………………… …………………………
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.125

126. ΦΡΥΔΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
● Σχεδιάζω όλα τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ:
Α
Β Γ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ
● Σχεδιάζω τις κάθετες απ’ όλα τα σημεία στην ευθεία ε:
Α . Δ .
Β .
Γ .
ε
Ε .
Ζ .
Η .
● Γράφω τις μοίρες στις γωνίες που δεν έχουν ( δεν χρησιμοποιώ μοιρογνωμόνιο ):
● Τρίγωνο έχει πλευρές 9,5 εκατοστά, 8 εκατοστά, 7,8 εκατοστά. Πόση είναι η περίμετρός
του;
Απάντηση: .........................................................................................
● Τρίγωνο έχει βάση 9,5 μέτρα και ύψος 6,4 μέτρα. Πόσο είναι το εμβαδόν του;
Απάντηση: .............................................................. ...........................
● Σχεδιάζω τους άξονες συμμετρίας στα παρακάτω σχήματα:
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.126

127. Γκουτσίδης Αντώνιος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ______________________________________________________
1. Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψεις τη λέξη ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση
είναι σωστή ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ αν είναι λανθασμένη:
Α) Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο
. __________
Β) Κάθετες ονομάζουμε 2 ευθείες που τέμνονται, έτσι ώστε να σχηματίζουν γωνία 90ο
. _______
Γ) Η αμβλεία γωνία είναι μικρότερη από 90ο
. __________
Δ) Σκαληνό ονομάζουμε το τρίγωνο που όλες οι πλευρές του είναι άνισες. __________
Ε) Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει δύο αμβλείες γωνίες. __________
Στ) Ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές γωνίες. __________
2. Να μετρήσεις τις παρακάτω γωνίες με το μοιρογνωμόνιο και να τις ονομάσεις:
α) ______________ β) ______________ γ) ______________ δ) ______________
3. Να υπολογίσεις πόσες μοίρες είναι οι άγνωστες γωνίες των τριγώνων. Στη συνέχεια να τα
χαρακτηρίσεις με κριτήριο τις γωνίες τους:
α) _______________________ β) _____________________ γ) _____________________
4. Να βρεις τους άξονες συμμετρίας, εάν υπάρχουν, στα παρακάτω σχήματα:
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.127

128. Γκουτσίδης Αντώνιος
5. Να σχεδιάσεις τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα:
6. Να βρεις την απόσταση των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε από την ευθεία (η):
Γ .
Α .
Β .
Ε . (η)
Δ .
7. Να κατασκευάσεις με το χάρακα και το μοιρογνωμόνιό σου α) μια γωνία 130ο
, β) μια γωνία
70ο
και γ) μια ορθή γωνία:
Α) Β) Γ)
Καλή επιτυχία
βαθμός
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.128

129. 06/04/11
Σκάρπα Ηλέκτρα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΑ 24, 25,
26, 33, 41, 42, 43, 44):
Όνομα:__________________________________________________
1. Στο παρακάτω κείμενο συμπληρώνω τα κενά:
 Τις γωνίες τις μετρώ σε ____________ με ένα όργανο που ονομάζεται
____________ .
 Τις γωνίες, ανάλογα με το μέτρο τους, τις χωρίζουμε σε ____________
που ____________ 90ο
, σε ____________ που είναι ____________
από 90ο
, και σε ____________ που είναι ____________ από 90ο
. Η
γωνία που είναι 180ο
ονομάζεται ____________ , ενώ η γωνία που είναι
360ο
ονομάζεται ____________ .
 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ____ ο
.
 Στο ____________ τρίγωνο όλες οι γωνίες του είναι 60ο
.
 Τα τρίγωνα, ανάλογα με το μέτρο των γωνιών τους, τα διακρίνουμε σε
____________, ____________ και ____________ . Τα
____________ τρίγωνα έχουν μία γωνία ορθή και δύο γωνίες
____________ . Τα ____________ τρίγωνα έχουν τρεις γωνίες
____________ . Τα ____________ τρίγωνα έχουν μία γωνία
____________ και δύο γωνίες ____________ .
 Τα τρίγωνα, ανάλογα με το μέτρο των πλευρών τους, τα διακρίνουμε σε
____________ , ____________ και ____________ . Τα
____________ τρίγωνα έχουν τρεις πλευρές άνισες. Τα ____________
έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες. Τα ____________ έχουν δύο πλευρές
ίσες.
 Δύο ευθείες που τέμνονται έτσι ώστε να σχηματίζουν ορθή γωνία
ονομάζονται ____________ . Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από
μια κορυφή ενός τριγώνου και καταλήγει στην απέναντι πλευρά ονομάζεται
____________ .
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.129

130. 06/04/11
Σκάρπα Ηλέκτρα
2. Χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιό μου σχεδιάζω τις παρακάτω γωνίες
γωνία 90ο
γωνία 45ο
γωνία 120ο
3. Συγκρίνω τις παρακάτω γωνίες χωρίς να τις μετρήσω. Ποια από τις
δύο είναι η μεγαλύτερη και γιατί;
_______________________________________________________
_______________________________________________________
4. Στα παρακάτω τρίγωνα, βρίσκω πόσες μοίρες είναι η γωνία που λείπει
1ο τρίγωνο:_______________________________________________
2ο τρίγωνο:______________________________________________
3ο τρίγωνο:______________________________________________
4ο τρίγωνο:______________________________________________
5. Στα παρακάτω τρίγωνα χαράζω όλα τα ύψη και σημειώνω που
συναντιούνται:
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.130

131. 3ο
Δημοτικό Σχολείο Μεσσήνης ΖΑΡΚΙΝΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ
[1]
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ – ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
ΟΝΟΜΑ:____________________________________________________________
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:____/_____/_____ ΒΑΘΜΟΣ:__________________
1.Στο παρακάτω κείμενο συμπληρώνω τα κενά: (30 μον)
Το σημείο απ’ όπου ξεκινούν οι πλευρές μιας γωνίας λέγεται…………………………... της
γωνίας. Τις γωνίες τις μετρώ σε …………………………με το ………………………………………..Τις
γωνίες , ανάλογα με το μέτρο τους, τις ξεχωρίζουμε σε ………………………………….. που
είναι……………………………………………….. από 90° τις ……………………………………………….που
είναι ……………………………………………..από 90° και τις …………………………………… που είναι
………° Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι…………° Τα τρίγωνα, ανάλογα
με το είδος των γωνιών τους , τα διακρίνουμε σε ……………………………………. ,
…………………………………………….και …………………………………Τα ……………………………………..
τρίγωνα έχουν μια γωνία ορθή και δυο γωνίες …………………………….Τα
………………………….τρίγωνα έχουν τρεις γωνίες………………… και τα
………………………………………….. έχουν μια γωνία ………………………………. και τις άλλες δύο
γωνίες οξείες. Τα τρίγωνα , ανάλογα με το μέτρο των πλευρών τους, τα διακρίνουμε
σε…………………………………….. σε…………………………………. και σε ……………………………………
Τα…………………………………………… έχουν τρεις πλευρές άνισες, τα ………………………………
έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες και τα ……………………………έχουν……………………..………
Οι ευθείες που, τεμνόμενες ,σχηματίζουν γωνία 90° λέγονται
……………………………………………… Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια
κορυφή ενός τριγώνου και καταλήγει στην απέναντι πλευρά ονομάζεται
…………………………….Μεγαλύτερες γωνίες από την ορθή είναι η
…………………………………. και η ……………………………….γωνία.
2.Η Μαρίνα υποστηρίζει πως η γωνία ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ΔΕΖ.
Χωρίς να μετρήσετε τις γωνίες, συμφωνείτε ή όχι και γιατί; (10 μον)
A Γ Δ
Ζ
Ε
Β
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.131

132. 3ο
Δημοτικό Σχολείο Μεσσήνης ΖΑΡΚΙΝΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ
[2]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………….....................................................................................
3.Χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιό σου και τις παρακάτω ημιευθείες , να
σχεδιάσεις: ( 20 μον )
.
γωνία 90° γωνία 45°
γωνία 120 ° γωνία 70°
4.Στα παρακάτω τρίγωνα να υπολογίσεις το μέτρο των γωνιών που λείπει, χωρίς
να χρησιμοποιήσεις μοιρογνωμόνιο. Έπειτα να τα χαρακτηρίσεις, ανάλογα με το
είδος των γωνιών. (30 μον)
65° ; 40°
35° 90° 45° 80°
;
…………………………………………. ………………………………………… ……………………………………….
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.132

133. 3ο
Δημοτικό Σχολείο Μεσσήνης ΖΑΡΚΙΝΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ
[3]
50° 35° ;
55° ; 75° 35°
; 105ο
………………………………………. ………………………………………… …………………………………………
5.Στα παρακάτω τρίγωνα να χαράξεις τα ύψη και να γράψεις πού συναντιούνται
αυτά σε κάθε τρίγωνο: (30 μον)
Α
Ζ
Β Γ Δ Ε
Η
Ι Θ
 Στο οξυγώνιο τρίγωνο τα ύψη συναντιούνται
……………………………………………………………
 Στο ορθογώνιο τρίγωνο τα ύψη
συναντιούνται………………………………………………………….
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.133

134. 3ο
Δημοτικό Σχολείο Μεσσήνης ΖΑΡΚΙΝΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ
[4]
 Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο τα ύψη
συναντιούνται……………………………………………………….
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.134

135. ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- Γωνίες & Μέτρηση Γωνιών.
Είδη γωνιών;;;
(α) ________ 90ο
(β) ________ 90ο
(γ) ________ 90ο
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.135

136. Είδη- Μέτρηση γωνιών
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
Μετρώ με το μοιρογνωμόνιό μου τις παρακάτω γωνίες και στη συνέχεια τις χαρακτηρίζω
μέσα στο κουτάκι που υπάρχει σε κάθε ερώτημα.
(α) (β)
(γ) (δ)
(ε) (στ)
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.136

137. ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
Όταν σε μια άσκηση μου
ζητείται να σχεδιάσω την
απόσταση ενός σημείου από
μια ευθεία, τότε παίρνω το
γνώμονα και φέρνω ΚΑΘΕΤΗ
από το σημείο στην ευθεία.
1. Με τη βοήθεια του γνώμονα, σχεδιάζω σε κάθε ερώτημα
την απόσταση του σημείου από την ευθεία.
ᵜ
ᵜ
ᵜ
ᵜ
ᵜ
ᵜ
2. Χρωματίζω τα σχήματα στα οποία αναγνωρίζω κάθετες πλευρές και σημειώνω
τις ορθές γωνίες.
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.137

138. ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
3. Σχεδιάζω τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα.
4. Ονομάζω τα παρακάτω τρίγωνα (α) ως προς τις γωνίες τους,
αλλά και (β) ως προς τις πλευρές τους.
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.138