лекція 11

1. Лекція 4. Інтегрування функцій комплексної змінної
Означення інтеграла і його властивості
Інтегрування функціональних рядів
Основна теорема Коші
Формула Коші
Розклад аналітичної функції в степеневий ряд

2. 4.І. Означення інтеграла і його властивості.
( ) ,
1
0
k
n
k
k zf ∆∑
−
=
ζ (4.1)
де .1 kkk zzz −=∆ +
( ) .dzzf
AB
∫ (4.2)

3. 4.І. Означення інтеграла і його властивості.
З цього означення інтеграла безпосередньо випливають такі його властивості:
10
.( ) ( )∫∫ −=
BA
dzzfdzzf
AB
; (орієнтовність)
20
.( ) ( )∫∫ =
ABAB
dzzfCdzzCf ; (лінійність)
30
.( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ +=+
AB ABAB
dzzfdzzfdzzfzf ;2121 (лінійність)
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=
AC CBAB
dzzfdzzfdzzf , ;CBACAB ∪= 40
.якщо (адитивність)
( ) ,Mdzzf
AB
≤∫ ( ) ,Mzf ≤ ,ABz ∈∀

50
.де – довжина кривої АВ.

4. 4.І. Означення інтеграла і його властивості.
( )∫ ∫ ∫ ++−=
AB AB AB
vdyudxivdyudxdzzf ,
(4.3)
де інтеграли справа є криволінійними інтегралами другого роду по кривій АВ.
( ) ( ) ( )[ ]( ) =∆+∆+=∆∑ ∑ kk
k k
kkkkkk yixyxivyxuzzf ,,
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ].,,,, ∑∑ ∆+∆+∆−∆=
k
kkkkkk
k
kkkkkk yyxuxyxviyyxvxyxu
Звідси і випливає формула (4.3)
( ),tyy = ,βα ≤≤ t то ( ),tzz = де ( ) ( ) ( )tiytxtz +=
– комплексно параметричне рівняння кривої АВ і маємо

5. 4.І. Означення інтеграла і його властивості.
( )∫ ∫ ∫ =++−=
AB AB AB
udyvdxivdyudxdzzf
∫∫ =





++





−
β
α
β
α
dt
dt
dy
u
dt
dx
vidt
dt
dy
v
dt
dx
u ( ) ( )∫∫ ==





++
β
α
β
α
dt
dt
dz
zfdt
dt
dy
i
dt
dx
ivu
( )( ) ( )∫ ′=
β
α
.dttztzf
( ) ) ( )( ) ( )∫ ∫ ′=
AB
dttztzfdzzf
β
α
. (4.4)
Формула (4.4) зводить обчислення інтеграла по комплексній змінній від функції
𝑓(𝑓) до обчислення звичайних визначених інтегралів від дійсних функцій.

6. 4.2. Інтегрування функціональних рядів
Розглянемо функціональний ряд ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
=++++=
0
10 ,......
n
nn zfzfzfzfzS
( ) ( )∫ ∑∫
∞
=
=
L n L
n dzzfdzzS
0
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
0 
ε
<−=−= ∑
=
n
k
knn zfzSzSzSzr

7. 4.2. Інтегрування функціональних рядів
( ) ( ) ( ) ( ) ,
00
ε
ε
=≤





−=− ∫ ∑∫ ∑∫ ==

L
n
k
k
L
n
k L
k dzzfzSdzzfdzzS
а це означає, що
( ) ( ) ( ) .lim
00
∑∫∫ ∑∫
∞
==∞→
==
n L
n
L
n
k L
k
n
dzzfdzzfdzzS

8. 4.3. Основна теорема Коші
Теорема Коші. Якщо функція аналітична в однозв’язній області D то інтеграл
від 𝑓(𝑓) по довільному кусково-гладкому замкненому контуру L який цілком
лежить в D дорівнює нулю:
( )∫ =
L
dzzf ,0 .DL∈
,
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂ ( ).
x
v
y
u
∂
−∂
=
∂
∂
( )∫ ∫ ∫ =++−=
L L L
udyvdxivdyudxdzzf .0

9. 4.3. Основна теорема Коші
( )∫ =
L
dzzf .0
( )∫
+++
=
BALABL
dzzf
10
.0

10. 4.3. Основна теорема Коші
Але ( )∫
+
=
BAAB
dzzf ,0 тому ( ) ( ) .0
10
∫∫
+
==
LLL
dzzfdzzf
Аналогічно можна провести доведення для
довільного п.
( ) ( )∫ ∑ ∫=
=
0 1L
n
k kL
dzzfdzzf (4.5)
( ) ( ) 0
0 1
=+∫ ∑ ∫= −L
n
k
kL
dzzfdzzf

11. 4.3. Основна теорема Коші
Оскільки то з (4.6) випливає (4.5). Зокрема, якщо( ) ( )∫∫−
−=
kk LL
dzzfdzzf ,
n=1 (рис. 4.4), то
( ) ( ) .
0 1
∫ ∫=
L L
dzzfdzzf (4.7)
Приклади.
1.Довести, що для довільного замкненого кусочно-гладкого контура L
∫ =
L
n
dzz ,0 ∫ =
L
z
dze ,0 ∫
L
zdz,sin ∫ =
L
zdz .0cos

12. 4.3. Основна теорема Коші
( )∫



−=
−≠
=−
L
n
n
n
dzzz
i .1,1
,1,0
2
1
0
π
(4.8)

13. 4.3. Основна теорема Коші
( ) ( ) ( )∫∫∫ +
=−
BAABLL
dzzfdzzfdzzf
21
маємо інтеграл по замкненому контуру і тому за теоремою Коші він дорівнює нулю.
Звідси ( ) ( )∫∫ =
21 LL
dzzfdzzf •
Таким чином, для аналітичної функції
можна користуватися позначенням
( )∫
2
1
,
z
z
dzzf
оскільки, як ми бачимо,
воно має зміст.

14. 4.3. Основна теорема Коші
( ) ( ) ( ) ( )∫ =−=
2
1
2
1
,12
z
z
z
z
zFzFzFdzzf (4.9)
° Розглянемо інтеграл із змінною верхньою межею
( ) ( )∫=Φ
z
z
dfz
1
.ζζ

15. 4.3. Основна теорема Коші
Тоді
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ ∫
∆+ ∆+ ∆+
−
∆
=
∆
−
∆
=−
∆
Φ−∆+Φ zz
z
zz
z
zz
z
dzff
z
d
z
zf
df
z
zf
z
zzz
.
11
ζζζζζ
( ) ( )( ) ,εεζζ zdzff
zz
z
∆=<−∫
∆+

Звідси
( ) ( ) ( ) ,
1
εε =∆
∆
<−
∆
Φ−∆+Φ
z
z
zf
z
zzz

16. 4.3. Основна теорема Коші
а це означає, що
( ) ( ) ( )zf
z
zzz
z
=
∆
Φ−∆+Φ
→∆ 0
lim або ( ) ( )zfz =Φ′
( ) ( ) ( )∫ +==Φ
z
z
CzFdfz
1
,ζζ const.=C
( ) ( ) ( )∫ −=
z
z
zFzFdf
1
1ζζ і при,2zz = ( ) ( ) ( ) ( ) .2
1
2
1
12
z
z
z
z
zFzFzFdf =−=∫ ζζ •

17. 4.4. Формула Коші
( ) ( ) ( )
0
0
zz
zfzf
z
−
−
=ϕ
( ) ( )∫∫ =
ρ
ϕϕ
LL
dzzdzz
(4.10)
Оскільки ( ) ( )0
0
lim zfz
zz
′=
→
ϕ
,
( ) ( )00 zfz ′=ϕ
( ) .0,, >∈∀≤ MDzMzϕ Тепер за властивістю 5 інтегралів, маємо
( ) MlMdzz
L
πρϕ
ρ
2=≤∫

18. 4.4. Формула Коші
( )∫ =
L
dzz 0ϕ або
( ) ( )
∫ =
−
−
L
dz
zz
zfzf
0
0
0
.
Звідси
( ) ( )∫ ∫ =
−
−
−L L zz
dz
zfdz
zz
zf
.0
0
0
0
Але з формули (4.8) ∫ =
−L
i
zz
dz
,2
0
π
тому
( ) ( )∫ =−
−L
izfdz
zz
zf
,020
0
π звідки
( ) ( )
∫ −
=
L
dz
zz
zf
i
zf .
2
1
0
0
π
(4.11)
( ) ( )
∫ −
=
L
d
z
f
i
zf ,
2
1
ζ
ζ
ζ
π
,Dz ∈ .L∈ζ (4.12)
Формулу Коші з успіхом можна використати для обчислення де-яких інтегралів.

19. 4.4. Формула Коші
Приклад. Обчислити інтеграл
( )( )∫
= ++4
2
.
99z zz
dz
( )( )
.
6
1
3
1
3
1
33
1
9
1
2
iizizizizz






+
−
−
=
+−
=
+
Тоді( )( )∫ ∫∫
= ==
=
+
+−
−
+=
++4 44
2
3
9
1
6
1
3
9
1
6
1
99z zz
dz
iz
z
i
dz
iz
z
izz
dz
=
+−
−
+
=
+
−
+ −== 93
1
393
1
39
1
2
6
1
9
1
2
6
1
33 iiz
i
iz
i
i iziz
ππ
ππ
.
45819
6
393
1
93
1
3
i
i
ii
πππ
−=
−−
=





−
+
+
=

20. 4.4. Формула Коші
Тоді за формулою (4.6):
( )( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫∫
=
=
++
+
++
=
++4 2
2
1
22
999999z LL zz
dz
zz
dz
zz
dz
( )( ) ( )( )
∫ ∫ =
+
+−
+
−
++
=
1 2
3
93
1
3
93
1
L L
dz
iz
ziz
dz
iz
ziz
( )( ) ( )( )
=
+−
+
++
=
−== iziz
ziz
i
ziz
i
33
93
1
2
93
1
2 ππ
( ) ( )
=





−
+
+
=





+−−
+
+
=
93
1
93
1
6
2
936
1
936
1
2
iii
i
iiii
i
π
π .
45819
6
3
i
i ππ
−=
−−

21. 4.5. Розклад аналітичної функції в степеневий
ряд
( ) ( ) ( )
∫∫
==
−
=
−
=
RR
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
ζζ
ζ
ζ
ζ
ζ
π
ζ
ζ
ζ
π
.
1
1
2
1
2
1
( ) ( ) .
z
1
1z1z
...
zz
1
f
z
1
1f
1n
n
n
2
2
ζ
−






ζζ
+





ζ
++
ζ
+
ζ
+
ζ
ζ
=
ζ
−
ζ
ζ
+
ζ
ζζ z
z
r
n
n
−






=
+
1
11
1
маємо таку оцінку: .
1
11 1
q
q
R
r n
n
−
≤ +

22. 4.5. Розклад аналітичної функції в степеневий
ряд
Підставимо значення підінтегральної функції в (4.13) і почленно проінтегруємо.
Тоді
( ) ,...2
210 n
n
n Rzazazaazf +++++= де
( )
∫
=
+
=
R
kk d
f
i
a
ζ
ζ
ζ
ζ
π
,
2
1
1 ( )∫
=
=
R
nn drf
i
R
ζ
ζζ
π
.
2
1
( ) .
1
2
1
11
2
1
2
1 1
1
0
M
q
q
R
q
q
R
Mdrf
i
R
n
n
Rz
nn
−
=
−
≤=
+
+
=−
∫ π
π
ζζ
π ζ
,10 << q 0→nR .∞→n Оскількито при
( ) ∑
∞
=
=
0
,
k
k
k zazf де
( )
∫
=
+
=
Rz
kk d
f
i
a .
2
1
1
ζ
ζ
ζ
π •
( ) ( ) ( )∑
∞
=
−+=
1
00 ,
n
n
n zzazfzf де
( )
( ) ( )
( )
∫ +
−
==
C
n
n
n d
z
f
in
zf
a ,
2
1
! 1
0
0
ζ
ζ
ζ
π
(4.14)
( )
( ) ( )
( )
∫ +
−π
=
L
1n
0
0
n
,dz
zz
zf
i2
!n
zf Dz ∈0 .Lz ∈ (4.15)
( )
( ) ( ) ,...2,1,0n,zfzf 0
==

23. 4.5. Розклад аналітичної функції в степеневий
ряд
Наведемо розклад деяких елементарних функцій в ряд Тейлора в околі точки.00 =z
( ) ...,
32
1ln
32
−+−=+
zz
zz ;1<z (4.16)
...,
5
z
3
z
zztgarc
53
−+−= ;1<z (4.17)
( ) ( ) ( )( ) ...,
!3
21
!2
1
11 32
+
−−
+
−
++=+ z
mmm
z
mm
mzz
m
;1<z (4.18)
...,1
1
1 32
+−+−=
+
zzz
z
;1<z (4.19)
...,
!7
272
!5
16
!3
2 75
3
zz
z
ztgz +++= ;
2
π
<z (4.20)
...,
!3!2
1
32
++++=
zz
zez
;Cz ∈ (4.21)
...,
!5!3
sin
53
−+−=
zz
zz ;Cz ∈ (4.22)
...,
!4!2
1cos
42
−+−=
zz
z ;Cz ∈ (4.23)
Cz
zz
zshz ∈+++= ...
!5!3
53
(4.24
Cz
zz
chz ∈+++= ...
!4!2
1
42
(4.25

24. Запитання для самоконтролю
1. Дати означення інтеграла від функції комплексної змінної.
2. Як проводиться інтегрування многозначної функції?
3. Які функціональні ряди можна почленно інтегрувати?
4. Сформулювати основну теорему Коші.
5. Які важливі наслідки випливають з основної теореми Коші?
6. Записати формулу Коші.
7. Чи можна аналітичну функцію розкласти в ряд Тейлора?