2. 6.1. Означення лишку
( ) ( )∑
∞
−∞=
−=
n
n
n zzazf ,0
Rzz <−< 00
Коефіцієнт який стоїть при в цьому ряді називається лишком
функції відносно точки і позначається або ..Цей
коефіцієнт за формулою (5.8) при дорівнює
,1−a ( ) 1
0
−
− zz
( )0res zf ( )0res zf
1−=n
( )∫=−
L
dzzf
i
a
π2
1
1
Отже, лишок функції можна обчислити через інтеграл від
( ) ( )∫=
L
dzzf
i
zf
π2
1
res 0 (
6.1)
3. 6.2. Теорема Коші про лишки
( )zf
L L
,kz ,,...,2,1 nk =
L iπ2
( ) ( )∫ ∑=
=
L
n
k
kzresfidzzf
1
2π (6.2)
Тоді за наслідком 2 з теореми Коші, формули (4.5), маємо
( ) ( ) ( ) ( )∑∫ ∑ ∫∑ ∫ ===
===
n
k
k
L
n
k C
n
k C
zfidzzf
i
idzzfdzzf
kk
111
res2
2
1
2 π
π
π
4. 6.3. Обчислення лишків
Лишок відносно скінченної усувної особливої точки:
( ) 0res 10 == −azf
Лишок відносно полюса:
( ) ( ) ( )zfzzazf
zz
010
0
limres −==
→
− (6.3)
Нехай функція дорівнює частці двох функцій, аналітичних в околі
точки , яка є простим нулем функції
( )zf
0z ( ) :zψ
Звідси і з формули (6.3) маємо
( ) ( )
( )
,res
0
0
0
z
z
zf
ψ
ϕ
′
= (6.4)
5. 6.3. Обчислення лишків
( )
( )
( )
( )
( ) ....
0
0
0
1
1
0
1
0
∑
∞
=
−
−
−−−
−+
−
++
−
+
−
=
n
n
nm
m
m
m
zza
zz
a
zz
a
zz
a
zf
Звідси
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
−
−−−− −−+−++−+=−
0
00
1
01010 ...
n
n
n
mm
mm
m
zzazzzzazzaazfzz
і тому
( )
( )
( )
( ) ( )( )
1
0
1
10
0
lim
!1
1
res −
−
→
−
−
−
== m
mm
zz dz
zfzzd
m
azf (6.5)
6. 6.4. Застосування лишків до обчислення
дійсних визначених інтегралів
І. Інтеграл виду ( )∫
π2
0
sin,cos dxxxR
За теоремою Коші про лишки маємо
( ) ( ) σπ
π
idzzfdxxxR
z
∫∫ =
==
1
2
0
2sin,cos
ІІ. Інтеграл виду
( )
( )∫
+∞
∞−
dx
xQ
xP
n
m
( ) σπidxxf 2=∫
+∞
∞−
(6.6)
Тоді інтеграл по цьому контуру дорівнює
( ) ( ) .∫∫ +
− K
R
R
dzzfdxxf
7. 6.4. Застосування лишків до обчислення
дійсних визначених інтегралів
Отже, якщо то цей інтеграл прямує до нуля і тому,∞→R
( ) ( )∫ ∫
+∞
∞− −
∞→
==
R
R
R
idxxfdxxf .2lim σπ
Зауваження. Формула (6.6) справедлива і в більш загальних випадках:
а) ( ) δ+
≤ 1
z
M
zf ,0>M ;0>δ
б) ( ) ( ) деzFezf zi
,α
= ,0>α
8. 6.5. Логарифмічний лишок
Аналітична функція називається мероформною в області D, якщо в
цій області серед особливих точок є тільки полюси.
( )zf
Оскільки функція – аналітична в околі , то
( )
( )z
z
ϕ
ϕ′
0z
( )
( )
.
0
0
n
zf
zf
res =
′
Цей лишок називається логарифмічним лишком функції в точці .( )zf 0z
( )zf
( )
( )∫ −=
′
L
PNdz
zf
zf
iπ2
1
( )zf
( )zf
( )
( )∫ =
′
L
Ndz
zf
zf
i
,
2
1
π
