2. 9.1. Постановка задачі нелінійного
програмування
• Розв’язуючи задачі оптимального
управління (планування), доводиться
враховувати нелінійний характер
взаємозв’язків між економічними
показниками.
.
3. • У загальному вигляді нелінійна
економіко-математична модель має
вигляд:
Z = f ( x1 , x2 , ..., xn ) ® max(min)
qi ( x1 , x2 , ..., xn ) {£,=,³} bi (i = 1,m),
( ) f x1 , x2 , ..., xn ( ) qi x1 , x2 , ..., xn
.
(9.1)
за умов
(9.2)
де
і — нелінійні
функції (9.3)
4. • Труднощі розв’язування задач нелінійного
програмування
• Задачу нелінійного програмування
намагаються звести до лінійного
вигляду, при цьому можливі значні
похибки. Взагалі лінеаризація
нелінійних процесів є досить складною
математичною задачею.
• Для задач нелінійного
програмування не існує універсального
методу розв’язування, тому щоразу слід
доводити існування розв’язку задачі, а
також його єдиність. Це досить складна
математична .
задача.
5. • Відомі точні методи розв’язування
нелінійних задач, але при цьому
постають труднощі обчислювального
характеру. Навіть для сучасних ПЕОМ
відповідні алгоритми є доволі
трудомісткими.
• Для розв’язування нелінійних задач
застосовують наближені методи,
стикаючись із проблемою локальних і
глобальних оптимумів.
.
6. 9.2. Методи розв’язування задач нелінійного
.
програмування
• Для розв’язування задач нелінійного
програмування не існує, як уже
зазначалося, універсального методу, а
тому доводиться застосовувати багато
методів і обчислювальних алгоритмів,
які ґрунтуються, здебільшого, на теорії
диференціального числення, і вибір їх
залежить від конкретної постановки
задачі та форми економіко-
математичної моделі.
• Методи нелінійного програмування
бувають прямі та непрямі.
•
7. Прямими методами оптимальні
розв’язки відшукують у напрямку
найшвидшого збільшення (зменшення)
цільової функції. Типовими для цієї
групи методів є градієнтні.
•
• Непрямі методи полягають у
зведенні задачі до такої, знаходження
оптимуму якої вдається спростити. До
них належать, насамперед, найбільш
розроблені методи квадратичного та
сепарабельного програмування.
.
8. • Оптимізаційні задачі, на змінні яких
не накладаються обмеження,
розв’язують методами класичної
математики.
• Оптимізацію з обмеженнями-
рівностями виконують методами
зведеного градієнта, скажімо
методом Якобі, та множників
Лагранжа.
• У задачах оптимізації з обмеженнями-
нерівностями досліджують необхідні та
достатні умови існування екстремуму
Куна—Таккера.
.
9. 9.3. Метод Лагранжа розв’язування задач
нелінійного програмування
• Розглянемо метод множників
Лагранжа на прикладі такої задачі
нелінійного програмування:
• (9.4)
за умов
Z = f ( x1 , x2 , ..., xn ) ®max(min)
qi ( x1 x2 , ..., xn ) = bi (i = 1.m),
( ) f x1 , x2 , ..., xn ( ) qi x1 , x2 , ..., xn
.
(9.5)
де функції
і (9.6)
диференційовані.
10. • Ідея методу множників Лагранжа
полягає в заміні даної задачі простішою:
на знаходження екстремуму складнішої
функції, але без обмежень.
• Тобто від початкової задачі пошуку
умовного екстремуму переходимо до
задачі відшукання безумовного
екстремального значення іншої функції
методами класичного знаходження
екстремуму функції кількох змінних.
.
11. • Ця функція називається функцією
Лагранжа і подається у вигляді:
( )
L x , x , ..., x ; , , ...,
l l l
1 2 n 1 2 m
m
=
f ( x , x , ..., x ) (b q ( x , x , ..., x )) ,
å== + -
l
1 2 n i i i 1 2 n
.
(9.7)
i 1
- i l
де не визначені поки що величини,
так звані множники Лагранжа.
12. • Знайшовши частинні похідні функції
за всіма змінними і прирівнявши їх до
нуля:
¶
L
x
j
l
¶
.
(9.8)
L
( )
( ) ï ïî
ì
ï ïí
0 j 1,n ,
= =
¶
= =
¶
L 0 i 1,m ,
i
13. Запишемо систему
( ) ( ) ( )
ì
q x , x , ..., x
f x , x , ..., x
¶ 1 2 n - l
¶
i 1 2 n
= =
¶
b q x , x , ..., x 0 i 1,m å= ,
( ) ( ) ïî
.
(9.9)
що забезпечує виконання умов (9.5)
початкової задачі нелінійного
програмування і, яка, як правило,
нелінійна.
ïí
- = =
¶
0 j 1,n ,
x
x
i i 1 2 n
j
m
i 1
i
j
14. • Розв’язавши цю систему, знайдемо
X* = ( x1 , x2 , ..., xn ) ( ) l0 = l1 , l2 , ..., lm
.
і
— стаціонарні точки.
Оскільки їх визначено з необхідної
умови екстремуму, то в них можливий
максимум або мінімум задачі (9.4)-
(9.6), або можуть бути точками перегину
(сідловими точками).
Для визначення достатніх умов
екстремуму та діагностування його типу
існує спеціальний алгоритм.
15. Для діагностування стаціонарних
точок і визначення типу екстремуму
необхідно перевірити виконання
достатніх умов екстремуму, тобто
дослідити в околі стаціонарних точок
диференціали другого порядку (якщо
для функцій
Z = f ( x1 , x2 ,..., xn ),qi ( x1 , x2 ,..., xn )
існують другі частинні похідні і вони
неперервні).
.
16. Узагальнення достатньої умови
існування локального екстремуму для
функції змінних приводить до такого
правила: за функцією Лагранжа виду
(9.7) будується матриця Гессе, що має
блочну структуру розмірністю :
• де матриця розмірністю , що
складається з нульових елементів,
.
n
(m + n )´(m + n )
O - (m´m )
17. P - (m´ n )
матриця розмірністю , елементи якої
визначаються так:
æ
=
... q ( x )
q ( x )
¶
...... ... ......
... q ( x )
¶
q ( x )
• транспонована матриця до розмірністю
матриця розмірністю виду:
Q = ¶ L( x, l
)
.
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç
è
n
m
1
m
n
1
1
1
x
x
x
x
P
¶
¶
¶
¶
¶
¶
PT - P ( n´m )
Q - ( n´ n )
2
¶ x ¶
x
i j
i = 1,m, j = 1,n
18. Розглянемо ознаки виду екстремуму
розв’язку системи (9.9).
Нехай стаціонарна точка має координати
* = * * * ( , ,..., ) 1 2 m
X ( x1 , x2 ,..., xn )
X* (m + 1) ( n - m) H
.
l* = l* l* l*
і .
• 1. Точка є точкою максимуму, якщо,
починаючи з головного мінору порядку ,
наступні головних мінорів матриці
утворюють знакозмінний числовий ряд, знак
першого члена якого визначається множником
.
( -1 )m+1
X*
• 2. Точка є точкою мінімуму, якщо,
починаючи з головного () знак наступних ( n - m)
мінору порядку m + 1,
головних мінорів матриці
• визначається множником .
H ( -1 )m
19. Задача 5. Метод Лагранжа розв’язування задач
нелінійного програмування
• Акціонерне товариство з обмеженою
відповідальністю відвело 1200 га ріллі під основні
рослинницькі культури — озиму пшеницю та цукрові
буряки. Техніко-економічні показники вирощування цих
культур відбиває таблиця:
x1 x2
Ціна, грн./т 800 300
Собівартість,
.
Показник
Площа, га, відведена
під озиму
пшеницю,
під цукровий
буряк,
Урожайність,
т/га
4 35
грн./т
2
y 12,5 x 200 x1 1200
2
1 = 1 - + y 2 = 12,5 x 2 - 150 x2 +
650
• Знайти оптимальну площу посіву озимої пшениці
та цукрових буряків.
20. • Розв’язання
• Нехай:
-площа ріллі під озимою пшеницею,
.
x1
x2
сотні га;
-площа ріллі під цукровими
буряками, сотні га.
• Зауважимо, що собівартість однієї
тони пшениці та цукрових буряків
залежить від відповідної площі посіву.
•
21. • Запишемо економіко-математичну
модель. За критерій оптимальності
візьмемо максимізацію валового
прибутку:
( )
( )
f 4 800 12,5 x 200 x 1200 x
= - + - +
35 300 12,5 x 150 x 650 x
+ - + - =
( ) ( ) 2
x x 12
1 2
.
за умов
.
2
2
3
1 2
2
1
3
1
2 2
2
2
1 1
2
1
4 12,5 x 200 x 400 x 35 12,5 x 150 x 350 x
= - + - + - + -
+ =
1 2
x , x ³
0
22. • Запишемо функцію Лагранжа:
( ) ( )
L x , x , 4 12,5 x 200 x 400 x
= - + - +
35( 12,5 x 150 x 350 x ) (12 x x ) 0.
• Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до
нуля:
l
35 37 ,5 x 300 x 350 0
= - + - - =
¶
.
2 1 1 2
2
2
3
2
1
2
1
3
1 2 1 1
+ - + - + l
- - =
l
( )
( )
ì
ï ï ï í
ï ï ï
î
2 2 1
= - - =
¶
¶
¶
¶
= - + - - =
¶
L 12 x x 0.
L
L
x
4 37 ,5 x 400 x 400 0
x
1 2
2
1 1
2
1
1
l
l
23. • Із цієї системи визначимо сідлову точку. З
першої та другої рівностей знайдемо вирази для і
прирівняємо їх:
.
,
або
• Із останнього рівняння цієї системи
маємо:
.
•
• Підставивши значення , дістанемо:
l1
4( 37 ,5 x 2
400 x 400) 35( 1 37 ,5 x 2
2
300 x2 350)
- 1 + - = - + -
150 x 2
1600 x 1 1600 1312,5 x 2
2
10500 x2 12250.
- 1 + - = - + -
x1 = 12 - x2
150(144 24 x x 2
) 19 200 1600 x 2 1600 1312,5 x 2
2
10 500 x2 12 250 ;
- - 2 + 2 + - - = - + -
2
21 600 3600 x 150 x 19 200 1600 x 2 1600 1312,5 x 2
10 500 x2 12 250 0.
2
+ 2 - 2 + - - + - + =
25. • Тобто сідловими точками є такі:
x =
6 ,47
x 1
2
5,53
2
1
x 10,22
2
2
Перевіримо за допомогою достатньої
умови існування екстремуму спочатку
сідлову точку
• .
.
( )
( ) ïî
ïí ì
=
1
1
( )
( ) ïî
ïí ì =
=
x 1,78
*
X 2
1
1 ) 1 ) 1
(( x ; x ) (
26. m = 1 O( 1´1) = (0)
Оскільки , то матриця ;
q
1
¶
1 =
¶
q
2
¶
1 =
¶
• , , то матриця
•
•
.
1
x
1
x
1
= æ ´ 1
ö çè
PT
2 1
P( 1´2) = ( 1 1) ( ) ÷ø
0
2
L
1 2
¶
x x
=
¶ ¶
0
2
L
2 1
¶
x x
=
¶ ¶
27. 2
= - × +
¶
L
2 1
1
( 4 37 ,5 2 x 400)
2
= - × × +
¶
L
2 2
2
.
x
¶
L
2 1
1
2
( x = 6 ,47 ) = 4( - 37 ,5 × 2 × 6 ,47 + 400) = -
341
x
¶
¶
35( 37 ,5 2 x 300)
x
¶
L
2 2
2
2
( x = 5,53) = 35( - 37 ,5 × 2 × 5,53 + 300) = -
4016 ,25
x
¶
¶
28. матриця Гессе має такий вигляд:
0 1 1
1 34 1 0
= -
1 0 4016 ,25
.
.
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
-
H
29. • За вищезазначеним правилом визначаємо
головні мінори, починаючи з 2-го порядку
• ( ):
m + 1 = 1 + 1 = 2
0 1
2 = -
0 1 1
1 341 0
3 =
• Отже, головні мінори утворюють
знакозмінний ряд та, починаючи з головного
мінору 2-го порядку, наступний мінор
визначається знаком , тобто
• є точкою максимуму.
.
1
1 -
341
D =
4357 ,25
1 0 -
4016 ,25
D = -
2
( -1
1 )m+1 = ( -1 )2
X *
1 ) 1 ) 1
(( x ; x ) (
30. • Обчислимо значення цільової функції в цій
точці:
•
f ( x1 6,47 ; x2 5,53 ) 4( 800 532,26 1294 1200 )647
= = = - + - +
35( 300 382,26 829,5 650 )553 4625863.
+ - + - =
• Аналогічні обчислення для точки
) 2 (1
1 = = *
) 78 , 1 x ; 22 , 10 x ( X ) 2 (2
• показують, що вона не є екстремальною.
• Отже, цільова функція набуває
максимального значення, якщо озима пшениця
вирощується на площі , а цукровий
буряк — на площі .
.
647 га
553 га
31. • Тобто сідловими точками є такі:
x =
6 ,47
x 1
2
5,53
x =
10,22
x 2
2
1,78
( ) ( )
f x1 10,22; x2 1,78 4 800 1305,61 2044 1200 1022 35 ( 300
= = = - + - + -
39,615 267 650 )178 236 247 ;
- + - = -
( ) ( )
f x1 6 ,47 ; x2 5,53 4 800 523,26 1294 1200 647 35 ( 300
= = = - + - + -
382,26 829,5 650 )553 4 625 863.
- + - =
.
•
• Обчислимо значення цільової функції у цих точках:
•
• Отже, цільова функція набуває
максимального значення, якщо 647 га
озима
пшениця вирощується на площі 553 га
, а
цукровий буряк — на площі .
( )
( ) ïî
ïí ì
=
1
1
( )
( ) ïî
ïí ì
=
2
1
